Basic of Elasticity, Stress and Strain relationship and Graphical analysis Questions in Hindi

(C) प्रतिबल को प्रति इकाई क्षेत्रफल पर लगने वाले प्रत्यानयन बल के रूप में परिभाषित किया जाता है।
$\text{Stress} = \frac{\text{Force}}{\text{Area}}$
चूंकि बल का मात्रक न्यूटन $(N)$ है और क्षेत्रफल का मात्रक वर्ग मीटर $(m^2)$ है,इसलिए प्रतिबल का मात्रक $N/m^2$ (जिसे पास्कल,$Pa$ भी कहा जाता है) होता है।

(B) प्रतिबल (Stress) को प्रति इकाई क्षेत्रफल पर लगने वाले प्रत्यानयन बल के रूप में परिभाषित किया जाता है,जो $\text{प्रतिबल} = \frac{\text{बल}}{\text{क्षेत्रफल}}$ द्वारा दिया जाता है।
इसका विमीय सूत्र $\frac{[MLT^{-2}]}{[L^2]} = [ML^{-1}T^{-2}]$ है।
दाब (Pressure) को प्रति इकाई क्षेत्रफल पर लंबवत लगने वाले बल के रूप में परिभाषित किया जाता है,जो $\text{दाब} = \frac{\text{बल}}{\text{क्षेत्रफल}}$ द्वारा दिया जाता है।
इसका विमीय सूत्र भी $\frac{[MLT^{-2}]}{[L^2]} = [ML^{-1}T^{-2}]$ है।
अतः,प्रतिबल की विमाएँ दाब की विमाओं के बराबर होती हैं।

(D) विकृति को विमा में परिवर्तन और मूल विमा के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है।
गणितीय रूप से,$\text{Strain} = \frac{\Delta L}{L}$।
चूंकि अंश और हर दोनों में लंबाई $(L)$ की समान विमा होती है,इसलिए वे एक-दूसरे को निरस्त कर देते हैं।
अतः,विकृति एक विमाहीन राशि है,जिसे $M^0L^0T^0$ के रूप में दर्शाया जाता है।

(A) हुक के नियम के अनुसार स्प्रिंग नियतांक $k$ को $F = kx$ द्वारा परिभाषित किया जाता है,जहाँ $F$ लगाया गया बल (लोड) है और $x$ विस्तार है।
ग्राफ से,जब लोड $1 \, kg$ होता है तो विस्तार $x$ शून्य होता है। यह एक प्रारंभिक ऑफसेट को दर्शाता है।
हम लोड में परिवर्तन $\Delta F$ और विस्तार में संबंधित परिवर्तन $\Delta x$ पर विचार करते हैं।
लोड $F_1 = 1 \, kg$ पर,विस्तार $x_1 = 0 \, cm$ है।
लोड $F_2 = 4 \, kg$ पर,विस्तार $x_2 = 30 \, cm$ है।
इसलिए,$\Delta F = F_2 - F_1 = 4 - 1 = 3 \, kg$.
और $\Delta x = x_2 - x_1 = 30 - 0 = 30 \, cm$.
स्प्रिंग नियतांक $k$,विस्तार बनाम लोड ग्राफ के ढलान का व्युत्क्रम है (या $k = \frac{\Delta F}{\Delta x}$):
$k = \frac{3 \, kg}{30 \, cm} = 0.1 \, kg/cm$.

(B) हुक के नियम के अनुसार,प्रत्यास्थता सीमा के भीतर,प्रतिबल विकृति के सीधे समानुपाती होता है।
प्रतिबल $\propto$ विकृति।
विकृति को लंबाई में परिवर्तन $(l)$ और मूल लंबाई $(L)$ के अनुपात के रूप में परिभाषित किया गया है।
विकृति = $\frac{l}{L}$।
इसलिए,प्रतिबल $\propto \frac{l}{L}$।

(C) हुक का नियम बताता है कि प्रत्यास्थ सीमा के भीतर,किसी सामग्री पर लगाया गया प्रतिबल उसमें उत्पन्न विकृति के सीधे आनुपातिक होता है।
गणितीय रूप से,$\text{Stress} \propto \text{Strain}$.
$\text{Stress} = E \times \text{Strain}$,जहाँ $E$ आनुपातिकता का स्थिरांक है जिसे प्रत्यास्थता गुणांक (Modulus of Elasticity) के रूप में जाना जाता है।
इसलिए,हुक का नियम प्रत्यास्थता गुणांक को परिभाषित करता है।

(D) प्रत्यास्थ पश्च प्रभाव (elastic after effect) का अर्थ है विरूपक बल को हटाने के बाद किसी पदार्थ के अपने मूल आकार में वापस आने में होने वाली देरी।
क्वार्ट्ज एक ऐसा पदार्थ है जो व्यावहारिक रूप से कोई प्रत्यास्थ पश्च प्रभाव नहीं दिखाता है,जिसका अर्थ है कि विरूपक बल को हटाने के बाद यह लगभग तुरंत अपनी मूल स्थिति में वापस आ जाता है।
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(A) प्रत्यास्थता गुणांक किसी पदार्थ की कठोरता को दर्शाता है,जो अंतर-आणविक बलों की मजबूती द्वारा निर्धारित होती है।
जब किसी पदार्थ का तापमान बढ़ता है,तो अणुओं की गतिज ऊर्जा बढ़ जाती है,जिससे वे अधिक तीव्रता से कंपन करने लगते हैं।
यह बढ़ी हुई तापीय हलचल उन अंतर-आणविक बलों को कमजोर कर देती है जो परमाणुओं को एक साथ बांधे रखते हैं।
चूंकि प्रत्यास्थता गुणांक सीधे इन बलों की मजबूती से संबंधित है,इसलिए अंतर-आणविक बल में कमी आने से प्रत्यास्थता गुणांक कम हो जाता है।
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(B) प्रतिबल को प्रति इकाई क्षेत्रफल पर लगने वाले बल के रूप में परिभाषित किया जाता है,जिसका सूत्र है: $\text{Stress} = \frac{F}{A} = \frac{F}{\pi r^2}$.
चूंकि दोनों तारों पर समान भार $F$ लगाया गया है,इसलिए प्रतिबल त्रिज्या के वर्ग के व्युत्क्रमानुपाती होता है: $\text{Stress} \propto \frac{1}{r^2}$.
यह दिया गया है कि तार $A$ की त्रिज्या तार $B$ की तुलना में दोगुनी है,यानी $r_A = 2r_B$,जिसका अर्थ है $\frac{r_A}{r_B} = 2$.
तार $B$ पर प्रतिबल $(S_B)$ और तार $A$ पर प्रतिबल $(S_A)$ की तुलना करने पर:
$\frac{S_B}{S_A} = \left( \frac{r_A}{r_B} \right)^2 = (2)^2 = 4$.
अतः,$B$ पर प्रतिबल $A$ पर प्रतिबल का $4$ गुना है $(S_B = 4S_A)$.

(B) जब एक स्प्रिंग का लंबे समय तक उपयोग किया जाता है,तो यह बार-बार लोडिंग और अनलोडिंग के चक्र से गुजरती है। इससे 'इलास्टिक फटीग' (प्रत्यास्थ थकान) नामक घटना होती है। इलास्टिक फटीग के कारण,स्प्रिंग के पदार्थ की प्रत्यास्थता (elasticity) कम हो जाती है। परिणामस्वरूप,स्प्रिंग अपने मूल आकार में पूरी तरह से वापस नहीं आ पाती है,जिससे स्प्रिंग बैलेंस गलत रीडिंग देने लगता है।

(B) भार द्वारा लगाया गया बल $F = mg = 9 \, kg \times 9.8 \, m/s^2 = 88.2 \, N$ है।
तार में उत्पन्न विस्तार $x = 4.5 \, mm = 4.5 \times 10^{-3} \, m$ है।
हुक के नियम के अनुसार बल नियतांक $K = \frac{F}{x}$ होता है।
मान रखने पर: $K = \frac{88.2}{4.5 \times 10^{-3}} = 19.6 \times 10^3 \, N/m = 1.96 \times 10^4 \, N/m$.

(C) इनवार $Fe$ और $Ni$ की एक मिश्र धातु है जो अपने अत्यंत कम तापीय प्रसार गुणांक के लिए जानी जाती है।
चूंकि इनवार तापमान की एक विस्तृत श्रृंखला पर नगण्य तापीय प्रसार या संकुचन प्रदर्शित करता है,इसलिए इसकी आंतरिक परमाणु संरचना काफी स्थिर रहती है।
परिणामस्वरूप,इनवार के प्रत्यास्थ गुण,जैसे कि यंग मापांक,तापमान में परिवर्तन के साथ प्रभावी रूप से स्थिर रहते हैं।
इसलिए,इनवार की प्रत्यास्थता तापमान पर निर्भर नहीं करती है।

(C) प्रत्यास्थता के पश्च-प्रभाव का अर्थ है विरूपक बल को हटाने के बाद किसी पिंड के अपनी मूल स्थिति में वापस आने में होने वाली देरी।
जो पदार्थ अपने मूल आकार में वापस आने में अधिक समय लेते हैं,वे अधिक पश्च-प्रभाव प्रदर्शित करते हैं।
दिए गए विकल्पों में से,$Rubber$ (रबर) एक ऐसा बहुलक है जो महत्वपूर्ण हिस्टैरिसीस प्रदर्शित करता है और विरूपक बल को हटाने के बाद अपनी मूल स्थिति में वापस आने में काफी समय लेता है।
इसलिए,प्रत्यास्थता के पश्च-प्रभाव $Rubber$ के लिए अधिकतम होते हैं।

(D) सही उत्तर $(D)$ है।
प्रत्यास्थता (Elasticity) पदार्थ का वह गुण है जिसके कारण विरूपक बल को हटा लेने पर वह अपने मूल आकार और आकृति को पुनः प्राप्त कर लेता है।
जब किसी वस्तु पर बाहरी बल लगाया जाता है,तो यह उसके आकार,आयतन या लंबाई में परिवर्तन का कारण बनता है। पदार्थ के भीतर के आंतरिक प्रत्यानयन बल (restoring forces) इस परिवर्तन का विरोध करते हैं।
उदाहरण के लिए,जब एक रबर बैंड को खींचा जाता है,तो उसके भीतर आंतरिक प्रत्यानयन बल विकसित होते हैं जो बाहरी खिंचाव का विरोध करते हैं। जैसे ही बाहरी बल को हटा दिया जाता है,ये प्रत्यानयन बल पदार्थ को उसकी मूल स्थिति में वापस ले आते हैं।

(C) अनुदैर्ध्य विकृति (longitudinal strain) को किसी वस्तु पर विरूपक बल लगाने पर उसकी लंबाई में परिवर्तन और मूल लंबाई के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है।
चूंकि अनुदैर्ध्य विकृति के लिए लंबाई में परिवर्तन और उस लंबाई को बनाए रखने के लिए एक निश्चित आकार की आवश्यकता होती है,इसलिए यह केवल ठोस पदार्थों में ही संभव है।
गैसों और तरल पदार्थों (fluids) का कोई निश्चित आकार या लंबाई नहीं होती है,और प्रतिबल (stress) लगाने पर उनमें अनुदैर्ध्य परिवर्तन के बजाय आयतन में परिवर्तन होता है।
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(D) प्रत्यास्थ सीमा की अवधारणा ठोस पदार्थों के लिए परिभाषित की गई है,जिनका एक निश्चित आकार और माप होता है और जो विरूपक बल को हटाने के बाद अपनी मूल स्थिति में वापस आ सकते हैं। गैसों का कोई निश्चित आकार या माप नहीं होता है और उनका व्यवहार दबाव और आयतन के संबंधों (जैसे आदर्श गैस नियम) द्वारा नियंत्रित होता है। जब किसी गैस को संपीड़ित या विस्तारित किया जाता है,तो वह ठोस की तरह प्रत्यास्थ सीमा प्रदर्शित नहीं करती है,क्योंकि उसके पास वापस लौटने के लिए कोई स्थायी संरचना नहीं होती है। इसलिए,गैस के लिए प्रत्यास्थ सीमा का अस्तित्व नहीं होता है।

(A) हुक के नियम के अनुसार,प्रत्यास्थ सीमा के भीतर प्रतिबल,विकृति के सीधे आनुपातिक होता है। इसलिए,हुक का नियम केवल किसी पदार्थ की प्रत्यास्थ सीमा के भीतर ही मान्य है।
विकल्प $A$ सही है क्योंकि यह हुक के नियम की वैधता के लिए शर्त का सटीक वर्णन करता है।
विकल्प $B$ गलत है क्योंकि रुद्धोष्म प्रत्यास्थता गुणांक,समतापीय प्रत्यास्थता गुणांक का $\gamma$ गुना होता है।
विकल्प $C$ गलत है क्योंकि यंग मापांक की इकाइयाँ प्रतिबल ($\text{N/m}^2$ या $\text{Pa}$) के समान होती हैं।
विकल्प $D$ गलत है क्योंकि ऊर्जा घनत्व (प्रति इकाई आयतन संचित ऊर्जा) $\frac{1}{2} \times \text{stress} \times \text{strain}$ द्वारा दी जाती है।

(B) बल प्रति इकाई क्षेत्रफल का मात्रक $N/m^2$ या पास्कल $(Pa)$ होता है।
प्रतिबल (Stress) को प्रति इकाई क्षेत्रफल पर लगने वाले प्रत्यानयन बल के रूप में परिभाषित किया जाता है,इसलिए इसका मात्रक $N/m^2$ है।
दाब (Pressure) को प्रति इकाई क्षेत्रफल पर लगने वाले अभिलंब बल के रूप में परिभाषित किया जाता है,इसलिए इसका मात्रक $N/m^2$ है।
यंग मापांक (Young's modulus) प्रतिबल और विकृति का अनुपात है। चूंकि विकृति विमाहीन है,इसलिए यंग मापांक का मात्रक प्रतिबल के समान ही $N/m^2$ होता है।
विकृति (Strain) को विमा में परिवर्तन और मूल विमा के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है। चूंकि यह दो समान राशियों का अनुपात है,इसलिए यह एक विमाहीन और मात्रकहीन राशि है।
अतः,सही विकल्प $(B)$ है।

(C) ठोसों में,अंतर-परमाणु बल आकर्षी और प्रतिकर्षी दोनों बलों का संयोजन होते हैं।
बड़ी दूरियों पर,अंतर-परमाणु बल आकर्षी होता है,जो परमाणुओं को एक साथ बांधे रखता है।
बहुत कम दूरियों पर,इलेक्ट्रॉन बादलों के अतिव्यापन (overlapping) के कारण अंतर-परमाणु बल प्रबल रूप से प्रतिकर्षी हो जाता है,जो परमाणुओं को एक-दूसरे में समाहित होने से रोकता है।
इसलिए,ठोस में परमाणुओं की संतुलन स्थिति इन दो बलों के बीच के संतुलन द्वारा निर्धारित होती है।

(B) हुक के नियम के अनुसार,प्रत्यास्थ सीमा के भीतर,किसी पदार्थ पर लगाया गया प्रतिबल उसमें उत्पन्न विकृति के सीधे समानुपाती होता है।
गणितीय रूप से,इसे $\text{Stress} \propto \text{Strain}$ या $\text{Stress} = E \times \text{Strain}$ के रूप में व्यक्त किया जाता है,जहाँ $E$ प्रत्यास्थता गुणांक (यंग मापांक,अपरूपण मापांक या आयतन मापांक) है।
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(A) प्रतिबल और विकृति के अनुपात को प्रत्यास्थता गुणांक (या यंग मापांक,कर्तन मापांक,या आयतन मापांक,जो प्रतिबल और विकृति के प्रकार पर निर्भर करता है) के रूप में परिभाषित किया गया है।
किसी पदार्थ की प्रत्यास्थ सीमा के भीतर,हुक के नियम के अनुसार,प्रतिबल विकृति के सीधे आनुपातिक होता है।
इसलिए,$\text{Stress} / \text{Strain} = \text{Constant} = \text{Modulus of elasticity}$.
यह स्थिरांक पदार्थ की कठोरता (stiffness) को दर्शाता है।

(C) ब्रेकिंग स्ट्रेस तार के पदार्थ का एक अभिलक्षणिक गुण है।
यह उस अधिकतम प्रतिबल को दर्शाता है जिसे कोई पदार्थ टूटने से पहले सहन कर सकता है।
चूंकि यह एक आंतरिक गुण है,इसलिए यह तार के आयामों जैसे लंबाई,त्रिज्या या अनुप्रस्थ काट के आकार पर निर्भर नहीं करता है।
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(C) हुक के नियम के अनुसार,किसी प्रत्यास्थ पदार्थ के लिए प्रत्यास्थता सीमा के भीतर,पदार्थ एक स्प्रिंग की तरह कार्य करता है जो किसी बाहरी बल द्वारा विरूपित होने के बाद अपने आकार को पुनः प्राप्त कर लेता है।
इसके परिणामस्वरूप एक प्रत्यानयन बल (restoring force) $F$ उत्पन्न होता है,जिसका समीकरण है:
$F = -kx$,जहाँ $k$ स्प्रिंग नियतांक है।
चूंकि $k$ एक नियतांक है,इसलिए प्रत्यानयन बल का परिमाण विस्थापन $x$ के सीधे समानुपाती होता है।
अतः,$F \propto x$।

(D) किसी पदार्थ का ब्रेकिंग स्ट्रेस (breaking stress) प्रति इकाई क्षेत्रफल वह अधिकतम बल है जिसे पदार्थ टूटने से पहले सहन कर सकता है। यह पदार्थ का एक स्थिर गुण है।
ब्रेकिंग स्ट्रेस = $\frac{\text{ब्रेकिंग फोर्स}}{\text{अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल}}$
ब्रेकिंग फोर्स = $\text{ब्रेकिंग स्ट्रेस} \times \text{क्षेत्रफल} = \text{ब्रेकिंग स्ट्रेस} \times \pi r^2 = \text{ब्रेकिंग स्ट्रेस} \times \pi \left(\frac{d}{2}\right)^2$.
चूंकि पदार्थ समान है,ब्रेकिंग स्ट्रेस स्थिर रहता है। इसलिए,ब्रेकिंग फोर्स व्यास के वर्ग के सीधे आनुपातिक होता है $(F \propto d^2)$.
दिया गया है: $d_1 = 1\, mm$,$F_1 = 1000\, N$,$d_2 = 2\, mm$.
$\frac{F_2}{F_1} = \left(\frac{d_2}{d_1}\right)^2 = \left(\frac{2}{1}\right)^2 = 4$.
$F_2 = 4 \times F_1 = 4 \times 1000\, N = 4000\, N$.

(A) जब एक सर्पिल स्प्रिंग से भार लटकाया जाता है,तो स्प्रिंग का तार मरोड़ (twisting) का अनुभव करता है।
यह मरोड़ प्रभाव तार के भीतर एक टॉर्क उत्पन्न करता है,जिसके परिणामस्वरूप अपरूपण प्रतिबल (shearing stress) उत्पन्न होता है।
परिणामस्वरूप,स्प्रिंग के पदार्थ में उत्पन्न विकृति अपरूपण विकृति (shearing strain) होती है।

(D) अपरूपण विकृति $\varphi$ को ऊपरी सतह के सापेक्ष विस्थापन $(x)$ और सतहों के बीच की दूरी $(L)$ के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है।
दिया गया है:
भुजा की लंबाई $L = 0.1 \, m = 10 \, cm$.
विस्थापन $x = 0.02 \, cm$.
सूत्र: $\varphi = \frac{x}{L}$.
मान रखने पर:
$\varphi = \frac{0.02 \, cm}{10 \, cm} = 0.002$.
अतः,अपरूपण विकृति $0.002$ है।

(B) जब किसी पिंड पर स्पर्शरेखीय बल लगाया जाता है,तो उसके आकार में परिवर्तन होता है जबकि उसका आयतन स्थिर रहता है। इस प्रकार के विरूपण को अपरूपण विकृति (Shearing strain) कहा जाता है। अतः,एक नियमित पिंड के आकार में परिवर्तन अपरूपण विकृति के कारण होता है।

(D) जब किसी घन की सतह पर $30^{\circ}$ के कोण पर बल लगाया जाता है,तो इसे दो आयताकार घटकों में विभाजित किया जा सकता है।
$1$. सतह के समानांतर घटक $(F cos 30^{\circ})$ अपरूपण प्रतिबल (shear stress) उत्पन्न करता है,जिसके परिणामस्वरूप घन के आकार में परिवर्तन होता है।
$2$. सतह के लंबवत घटक $(F sin 30^{\circ})$ अभिलंब प्रतिबल (normal stress) उत्पन्न करता है,जिसके परिणामस्वरूप घन के आमाप (साइज) में परिवर्तन होता है।
अतः,लगाया गया बल अपरूपण और अभिलंब दोनों प्रकार के प्रतिबल उत्पन्न करता है,जिससे घन के आकार और आमाप दोनों में परिवर्तन होता है।

(C) शीयरिंग स्ट्रेस को किसी सतह पर प्रति इकाई क्षेत्रफल में स्पर्शरेखीय रूप से लगाए गए बल के रूप में परिभाषित किया जाता है।
जब किसी वस्तु पर शीयरिंग स्ट्रेस लगाया जाता है,तो यह वस्तु के आकार में परिवर्तन का कारण बनता है जबकि उसका आयतन स्थिर रहता है।
इस प्रकार के विरूपण को शीयरिंग स्ट्रेन कहा जाता है,जिसमें वस्तु के फलकों के बीच के कोणों में परिवर्तन होता है।
इसलिए,सही विकल्प $C$ है।

(C) तार में किसी भी बिंदु पर प्रतिबल को उस बिंदु पर अनुप्रस्थ काट पर कार्य करने वाले बल और अनुप्रस्थ काट के क्षेत्रफल $S$ के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है।
निचले सिरे से $3L/4$ ऊंचाई पर,अनुप्रस्थ काट पर कार्य करने वाला कुल बल नीचे लटकाए गए भार $W_1$ और उस बिंदु के नीचे तार के हिस्से के भार का योग है।
चूंकि तार एक समान है,इसलिए तार के एक हिस्से का भार उसकी लंबाई के समानुपाती होता है।
निचले सिरे से $3L/4$ ऊंचाई पर स्थित बिंदु के नीचे तार की लंबाई $3L/4$ है।
इसलिए,तार के इस हिस्से का भार $(3/4)W$ होगा।
इस अनुप्रस्थ काट पर कुल बल $F = W_1 + (3W/4)$ है।
अतः,प्रतिबल $\sigma = \frac{F}{S} = \frac{W_1 + (3W/4)}{S}$ होगा।

(C) ठोस पदार्थों में बंधन की मजबूती उस ऊर्जा द्वारा निर्धारित की जाती है जो बंधनों को तोड़ने के लिए आवश्यक होती है।
$1$. आयनिक बंधन आयनों के बीच स्थिर वैद्युत आकर्षण है,जो बहुत मजबूत होते हैं।
$2$. धात्विक बंधन में धनात्मक आयनों के जालक के बीच मुक्त इलेक्ट्रॉनों की साझेदारी होती है,जो मजबूत होते हैं।
$3$. सहसंयोजक बंधन में परमाणुओं के बीच इलेक्ट्रॉन युग्मों की साझेदारी होती है,जो बहुत मजबूत होते हैं।
$4$. वान डर वाल्स बल अस्थायी या स्थायी द्विध्रुव-द्विध्रुव अंतःक्रियाओं से उत्पन्न होने वाले कमजोर अंतर-आणविक बल हैं।
इसलिए,दिए गए विकल्पों में वान डर वाल्स बंधन सबसे कमजोर है।

(B) एक क्रिस्टल में,परमाणु एक स्थिर जालक (lattice) संरचना में व्यवस्थित होते हैं।
किसी निकाय के स्थिर होने के लिए,उसकी स्थितिज ऊर्जा न्यूनतम होनी चाहिए।
यदि परमाणु किसी अन्य स्थिति में होते,तो उनके बीच लगने वाले बल उन्हें तब तक स्थानांतरित करते जब तक वे संतुलन स्थिति में नहीं पहुँच जाते,जहाँ स्थितिज ऊर्जा न्यूनतम होती है।
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(A) अक्रिस्टलीय ठोस वे ठोस होते हैं जिनमें घटक कण (परमाणु, अणु या आयन) लंबी दूरी तक पूरी तरह से अनियमित या यादृच्छिक तरीके से व्यवस्थित होते हैं।
दिए गए विकल्पों में से, $\text{कांच}$ अक्रिस्टलीय ठोस का एक उत्कृष्ट उदाहरण है, जिसे अक्सर अतिशीतित द्रव (supercooled liquid) भी कहा जाता है।
हीरा, नमक $(NaCl)$ और चीनी सभी क्रिस्टलीय ठोस के उदाहरण हैं, जिनमें एक लंबी दूरी की व्यवस्थित संरचना होती है।
अतः, सही विकल्प $A$ है।

(C) निचले सिरे से $x$ दूरी पर स्थित अनुप्रस्थ काट पर कार्य करने वाला कुल बल $W_1$ वजन और उस बिंदु के नीचे स्थित तार के हिस्से के वजन का योग है।
चूंकि तार का वजन $W$ और लंबाई $L$ समान है,इसलिए प्रति इकाई लंबाई वजन $W/L$ है।
$3L/4$ लंबाई वाले तार के हिस्से का वजन $(W/L) \times (3L/4) = 3W/4$ है।
इसलिए,इस अनुप्रस्थ काट पर कुल बल $F = W_1 + 3W/4$ है।
प्रतिबल को प्रति इकाई क्षेत्रफल बल के रूप में परिभाषित किया गया है,इसलिए $\text{प्रतिबल} = F/S = \frac{W_1 + 3W/4}{S}$.

(C) तार को खींचने के दौरान उसका आयतन स्थिर रहता है। मान लीजिए प्रारंभिक लंबाई $l$ और प्रारंभिक क्षेत्रफल $A$ है। प्रारंभिक आयतन $V = A \cdot l$ है।
जब लंबाई दोगुनी हो जाती है $(l' = 2l)$,तो नया क्षेत्रफल $A'$ को $A' \cdot l' = A \cdot l$ शर्त को पूरा करना चाहिए।
$l' = 2l$ रखने पर,हमें $A' \cdot (2l) = A \cdot l$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है कि $A' = A/2$ है।
प्रतिबल को प्रति इकाई क्षेत्रफल पर लगने वाले बल के रूप में परिभाषित किया जाता है: $\text{Stress} = \frac{F}{A'}$.
$F = Mg$ और $A' = A/2$ मान रखने पर,हमें $\text{Stress} = \frac{Mg}{A/2} = \frac{2Mg}{A}$ प्राप्त होता है।

(C) तनन प्रतिबल को अनुप्रस्थ काट पर कार्य करने वाले प्रति इकाई क्षेत्रफल के अभिलंब बल के रूप में परिभाषित किया जाता है।
माना $A$ बल $F$ के लंबवत अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है।
झुकी हुई अनुप्रस्थ काट $PQRS$ का क्षेत्रफल $A' = A / \cos \theta$ है।
अनुप्रस्थ काट $PQRS$ के लंबवत बल $F$ का घटक $F_N = F \cos \theta$ है।
इसलिए,तनन प्रतिबल $\sigma$ इस प्रकार दिया जाता है:
$\sigma = \frac{F_N}{A'} = \frac{F \cos \theta}{A / \cos \theta} = \frac{F \cos^2 \theta}{A}$.

(C) अनुप्रस्थ काट के साथ $\theta$ कोण पर झुके हुए तल पर स्पर्शरेखीय प्रतिबल (अपरूपण प्रतिबल) का सूत्र है: $\tau = \frac{F \sin 2\theta}{2A}$।
स्पर्शरेखीय प्रतिबल को अधिकतम होने के लिए,$\sin 2\theta$ का मान अधिकतम होना चाहिए।
$\sin 2\theta$ का अधिकतम मान $1$ होता है।
अतः,$\sin 2\theta = 1 \implies 2\theta = 90^o$।
$\theta$ के लिए हल करने पर,हमें $\theta = 45^o$ प्राप्त होता है।

(D) स्पर्शरेखीय विकृति (या अपरूपण विकृति) को ऊपरी सतह के सापेक्ष विस्थापन $(x)$ और सतहों के बीच की दूरी $(L)$ के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है।
दिया गया है:
विस्थापन $x = 0.02 \,cm = 0.02 \times 10^{-2} \,m = 2 \times 10^{-4} \,m$.
भुजा की लंबाई $L = 0.1 \,m = 10^{-1} \,m$.
स्पर्शरेखीय विकृति $\varphi = \frac{x}{L}$.
मान रखने पर:
$\varphi = \frac{2 \times 10^{-4} \,m}{10^{-1} \,m} = 2 \times 10^{-3} = 0.002$.
अतः,स्पर्शरेखीय विकृति $0.002$ है।

(B) विकृति को लंबाई में परिवर्तन और मूल लंबाई के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है।
मान लीजिए तार की मूल लंबाई $L$ है।
जब लंबाई दोगुनी की जाती है,तो नई लंबाई $2L$ हो जाती है।
लंबाई में परिवर्तन $\Delta L = 2L - L = L$ है।
इसलिए,विकृति $= \frac{\Delta L}{L} = \frac{L}{L} = 1$ होगी।

(D) प्रतिबल को बल (तनाव) और अनुप्रस्थ काट के क्षेत्रफल के अनुपात के रूप में परिभाषित किया गया है: $\text{प्रतिबल} = \frac{T}{A}$।
यह दिया गया है कि दोनों तारों में प्रतिबल समान है,इसलिए:
$\frac{T_1}{A_1} = \frac{T_2}{A_2}$
तनाव का अनुपात ज्ञात करने के लिए पदों को व्यवस्थित करने पर:
$\frac{T_1}{T_2} = \frac{A_1}{A_2}$
दिए गए मान $A_1 = 0.1 \,cm^2$ और $A_2 = 0.2 \,cm^2$ रखने पर:
$\frac{T_1}{T_2} = \frac{0.1}{0.2} = 0.5$
अतः,तनाव का अनुपात $0.5$ है।

(D) ब्रेकिंग बल $F$,तार के अनुप्रस्थ काट के क्षेत्रफल $A$ के समानुपाती होता है।
$F = \sigma \times A$,जहाँ $\sigma$ ब्रेकिंग स्ट्रेस है (जो पदार्थ का गुण है)।
चूँकि $A = \pi r^2$,इसलिए $F \propto r^2$ होता है।
यहाँ $r_1 = 1 \, mm$ के लिए $F_1 = 1000 \, N$ दिया गया है।
हमें $r_2 = 2 \, mm$ के लिए $F_2$ ज्ञात करना है।
अनुपात का उपयोग करने पर: $\frac{F_2}{F_1} = \left( \frac{r_2}{r_1} \right)^2$.
$\frac{F_2}{1000} = \left( \frac{2 \, mm}{1 \, mm} \right)^2 = 2^2 = 4$.
अतः,$F_2 = 1000 \times 4 = 4000 \, N$.

(D) माना घन की भुजा $L$ है। घन का आयतन $V = L^3$ है।
अवकलन करने पर,आयतन में परिवर्तन $\Delta V = 3L^2 \Delta L$ द्वारा प्राप्त होता है।
आयतन में भिन्नात्मक परिवर्तन (आयतन विकृति) $\frac{\Delta V}{V} = \frac{3L^2 \Delta L}{L^3} = 3 \frac{\Delta L}{L}$ है।
यह दिया गया है कि भुजा में $1\%$ की कमी होती है,इसलिए $\frac{\Delta L}{L} = 1\% = 0.01$ है।
अतः,आयतन विकृति $3 \times 1\% = 3\%$ होगी।
इस प्रकार,आयतन विकृति $3\%$ है।

(A) ब्रेकिंग स्ट्रेस पदार्थ का एक आंतरिक गुण है।
यह केवल पदार्थ की प्रकृति पर निर्भर करता है,न कि तार के आयामों जैसे कि उसकी लंबाई या त्रिज्या पर।
चूंकि दूसरा तार भी उसी पदार्थ से बना है जिससे पहला तार बना है,इसलिए इसका ब्रेकिंग स्ट्रेस समान रहेगा।
अतः,$2L$ लंबाई और $2r$ त्रिज्या वाले तार का ब्रेकिंग स्ट्रेस $5 \ kg-wt/m^2$ होगा।

(C) अनुदैर्ध्य विकृति केवल तभी उत्पन्न होती है जब लंबाई में वृद्धि या कमी का विरोध किया जाता है।
चूंकि छड़ एक चिकनी क्षैतिज सतह पर रखी है,इसलिए इसके विस्तार का विरोध करने के लिए कोई घर्षण या बाहरी बल मौजूद नहीं है।
छड़ स्वतंत्र रूप से फैल सकती है,इसलिए लंबाई में परिवर्तन बिना किसी आंतरिक प्रतिबल के होता है।
अतः,छड़ में उत्पन्न अनुदैर्ध्य विकृति $0$ है।

(C) यंग मापांक के सूत्र $Y = \frac{F L}{A \Delta L}$ से,हमारे पास $\Delta L = \frac{F L}{A Y}$ है।
चूंकि पदार्थ समान है,$Y$ स्थिर है। समान लंबाई $L$ वाले तारों के लिए,$\Delta L \propto \frac{1}{A}$ होता है।
चूंकि $A = \pi r^2$ है,इसलिए $\Delta L \propto \frac{1}{r^2}$ होता है।
इसका अर्थ है कि दिए गए भार $F$ के लिए,जिस तार की त्रिज्या सबसे बड़ी (सबसे मोटा तार) होगी,वह न्यूनतम विस्तार $\Delta L$ दिखाएगा।
भार बनाम विस्तार ग्राफ में,ढाल $\frac{\text{load}}{\text{elongation}} = \frac{F}{\Delta L} = \frac{A Y}{L}$ द्वारा दी जाती है।
अधिक ढाल बड़े क्षेत्रफल $A$ को इंगित करती है,जो एक मोटे तार के अनुरूप है।
ग्राफ को देखने पर,रेखा $OD$ की ढाल सबसे अधिक है,जो दिए गए भार के लिए न्यूनतम विस्तार को दर्शाती है।
इसलिए,सबसे मोटा तार रेखा $OD$ द्वारा दर्शाया गया है।

(C) छड़ के किसी भी अनुप्रस्थ काट पर प्रतिबल को उस अनुप्रस्थ काट पर कार्य करने वाले बल और क्षेत्रफल $A$ के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है।
$m_1$ द्रव्यमान और $L$ लंबाई की छड़ पर विचार करें। प्रति इकाई लंबाई द्रव्यमान $\lambda = \frac{m_1}{L}$ है।
छड़ के मध्य बिंदु पर,नीचे की ओर कार्य करने वाला कुल बल $m_2$ द्रव्यमान और छड़ के निचले आधे हिस्से के द्रव्यमान का योग है।
छड़ के निचले आधे हिस्से का द्रव्यमान $m_{half} = \frac{m_1}{2}$ है।
इसलिए,मध्य बिंदु पर कुल बल $F$ है:
$F = (m_2 + \frac{m_1}{2})g$
प्रतिबल का सूत्र $\text{Stress} = \frac{F}{A}$ है।
$F$ का मान रखने पर:
$\text{Stress} = \frac{(m_2 + \frac{m_1}{2})g}{A} = \frac{(\frac{2m_2 + m_1}{2})g}{A} = \frac{g(2m_2 + m_1)}{2A}$.

(C) रस्सी में किसी भी बिंदु पर प्रतिबल $\text{Stress} = \frac{F}{A}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $F$ उस बिंदु पर तनाव बल है।
निचली रस्सी के लिए,अधिकतम प्रतिबल उसके ऊपरी सिरे पर होता है,जहाँ वह अपना स्वयं का भार उठाती है: $\sigma_l = \frac{m_l g}{A_l} = \frac{d_l A_l L_l g}{A_l} = d_l L_l g$.
ऊपरी रस्सी के लिए,अधिकतम प्रतिबल उसके ऊपरी सिरे पर होता है,जहाँ वह ऊपरी और निचली दोनों रस्सियों का भार उठाती है: $\sigma_u = \frac{(m_u + m_l) g}{A_u} = \frac{(d_u A_u L_u + d_l A_l L_l) g}{A_u} = (d_u L_u + d_l L_l \frac{A_l}{A_u}) g$.
अब,अनुपात $\frac{\sigma_u}{\sigma_l}$ की गणना करते हुए:
$\frac{\sigma_u}{\sigma_l} = \frac{d_u L_u + d_l L_l (A_l / A_u)}{d_l L_l} = \frac{d_u}{d_l} \cdot \frac{L_u}{L_l} + \frac{A_l}{A_u} = (\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2}) + \frac{1}{2} = \frac{1}{3} + \frac{1}{2} = \frac{2+3}{6} = \frac{5}{6}$.

(A) मुक्त सिरे से $x$ दूरी पर प्रतिबल $\sigma = \frac{F}{A}$ द्वारा दिया जाता है।
$dx$ लंबाई और $dm = \rho A dx$ द्रव्यमान वाले एक छोटे अवयव के लिए,इसे त्वरित करने के लिए आवश्यक बल $dF = (dm)a = \rho A a dx$ है।
अतः,$x$ के सापेक्ष प्रतिबल के परिवर्तन की दर $\frac{d\sigma}{dx} = \frac{1}{A} \frac{dF}{dx} = \frac{\rho A a}{A} = \rho a$ है।
यह प्रतिबल-दूरी ग्राफ की ढाल को दर्शाता है,इसलिए $\tan \theta = \rho a$।
पूरी छड़ के लिए त्वरण $a$ नियत है,इसलिए $\frac{\tan \theta_1}{\tan \theta_2} = \frac{\rho_1}{\rho_2}$ होगा।
यहाँ $\theta_1 = 37^\circ$ और $\theta_2 = 53^\circ$ है,और $\rho_1 = 9 \text{ g/cm}^3$ दिया गया है:
$\frac{\tan 37^\circ}{\tan 53^\circ} = \frac{9}{\rho_2} \Rightarrow \frac{3/4}{4/3} = \frac{9}{\rho_2} \Rightarrow \frac{9}{16} = \frac{9}{\rho_2}$।
अतः,$\rho_2 = 16 \text{ g/cm}^3$।

(D) बेलन के आधार पर दबाव वायुमंडलीय दबाव $(P_0)$ और बेलन के भार द्वारा लगाए गए दबाव $(P_{solid} = h \rho g)$ का योग है।
यह दिया गया है कि जब कुल दबाव $P_{max} = 13 \ atm$ से अधिक हो जाता है तो ठोस टूट जाता है,इसलिए:
$P_{total} = P_0 + h \rho g \leq P_{max}$
$h \rho g \leq P_{max} - P_0$
$h \leq \frac{P_{max} - P_0}{\rho g}$
यहाँ,$P_{max} = 13 \ atm = 13 \times 10^5 \ Pa$,$P_0 = 1 \ atm = 1 \times 10^5 \ Pa$,और ठोस का घनत्व $\rho = 4 \times 10^3 \ kg/m^3$ (क्योंकि विशिष्ट गुरुत्व $4$ है)।
$h = \frac{(13 - 1) \times 10^5}{4 \times 10^3 \times 10} = \frac{12 \times 10^5}{4 \times 10^4} = 30 \ m$.

(A) ब्रेकिंग स्ट्रेस तार के पदार्थ का एक मौलिक गुण है। यह केवल पदार्थ की प्रकृति पर निर्भर करता है,न कि तार के आयामों जैसे कि उसकी त्रिज्या या लंबाई पर।
चूंकि पदार्थ समान है,इसलिए त्रिज्या में परिवर्तन के बावजूद ब्रेकिंग स्ट्रेस अपरिवर्तित रहता है।
अतः,$2r$ त्रिज्या वाले तार के लिए भी ब्रेकिंग स्ट्रेस $F \ Nm^{-2}$ ही होगा।