Young’s Modulus Questions in Hindi

(A) यंग मापांक $(Y)$ का सूत्र प्रतिबल और विकृति के अनुपात के रूप में परिभाषित है: $Y = \frac{\text{प्रतिबल}}{\text{विकृति}}$.
चूंकि विकृति एक विमाहीन राशि है (लंबाई में परिवर्तन और मूल लंबाई का अनुपात),इसलिए यंग मापांक की इकाइयाँ प्रतिबल की इकाइयों के समान होती हैं।
प्रतिबल को प्रति इकाई क्षेत्रफल पर लगने वाले बल के रूप में परिभाषित किया जाता है: $\text{प्रतिबल} = \frac{\text{बल}}{\text{क्षेत्रफल}}$.
दाब को भी प्रति इकाई क्षेत्रफल पर लगने वाले बल के रूप में परिभाषित किया जाता है: $\text{दाब} = \frac{\text{बल}}{\text{क्षेत्रफल}}$.
इसलिए,यंग मापांक की इकाइयाँ दाब के समान होती हैं,जो $N/m^2$ या पास्कल $(Pa)$ है।

(A) यंग मापांक $(Y)$ को प्रतिबल (Stress) और विकृति (Strain) के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है: $Y = \frac{\text{Stress}}{\text{Strain}}$.
चूंकि विकृति एक विमाहीन राशि है,इसलिए यंग मापांक का मात्रक प्रतिबल के मात्रक के समान होता है।
प्रतिबल को प्रति इकाई क्षेत्रफल बल के रूप में परिभाषित किया जाता है,इसलिए इसका $SI$ मात्रक $N m^{-2}$ (या पास्कल,$Pa$) है और इसका $CGS$ मात्रक $Dyne cm^{-2}$ है।
$N m^{-1}$ बल नियतांक या पृष्ठ तनाव का मात्रक है,न कि प्रतिबल या यंग मापांक का।
अतः,$N m^{-1}$ यंग मापांक का मात्रक नहीं है।

(B) यंग मापांक $(Y)$ को प्रतिबल (Stress) और विकृति (Strain) के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है:
$Y = \frac{\text{Stress}}{\text{Strain}}$
प्रतिबल को प्रति इकाई क्षेत्रफल पर लगने वाले बल के रूप में परिभाषित किया जाता है,इसलिए इसका मात्रक $N/m^2$ या $N m^{-2}$ होता है।
विकृति एक विमाहीन राशि है क्योंकि यह आयाम में परिवर्तन और मूल आयाम का अनुपात है।
इसलिए,यंग मापांक का मात्रक प्रतिबल के मात्रक के समान होता है,जो कि $N m^{-2}$ है।

(A) यंग मापांक $Y$ को प्रतिबल (stress) और विकृति (strain) के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है।
$Y = \frac{\text{प्रतिबल}}{\text{विकृति}}$
चूंकि विकृति एक विमाहीन राशि है,इसलिए यंग मापांक की विमाएँ प्रतिबल की विमाओं के समान होती हैं।
प्रतिबल = $\frac{\text{बल}}{\text{क्षेत्रफल}} = \frac{[M L T^{-2}]}{[L^2]} = [M L^{-1} T^{-2}]$
अतः,यंग मापांक का विमीय सूत्र $[M L^{-1} T^{-2}]$ है।

(D) एक स्प्रिंग का स्प्रिंग नियतांक $k$ उसकी प्राकृतिक लंबाई $l$ के व्युत्क्रमानुपाती होता है,जिसे संबंध $k \propto \frac{1}{l}$ द्वारा दर्शाया जाता है।
इसका कारण यह है कि किसी दिए गए पदार्थ और अनुप्रस्थ काट के क्षेत्रफल के लिए,जैसे-जैसे स्प्रिंग की लंबाई बढ़ती है,उसकी कठोरता (stiffness) कम हो जाती है।
गणितीय रूप से,यदि $Y$ यंग मापांक है और $A$ अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है,तो $k = \frac{YA}{l}$ होता है।
चूंकि एक दी गई स्प्रिंग के लिए $Y$ और $A$ स्थिरांक हैं,इसलिए हमारे पास $k \propto \frac{1}{l}$ है।
$k$ बनाम $l$ का ग्राफ एक आयताकार अतिपरवलय (rectangular hyperbola) को दर्शाता है,जिसे ग्राफ $D$ में सही ढंग से दिखाया गया है।

(C) यंग मापांक $(Y)$ का सूत्र $Y = \frac{\text{Stress}}{\text{Strain}} = \frac{F/A}{l/L} = \frac{FL}{Al}$ द्वारा दिया जाता है।
लंबाई में वृद्धि $(l)$ के लिए इस सूत्र को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$l = \frac{FL}{YA}$.
इस समीकरण से यह स्पष्ट है कि लंबाई में वृद्धि $(l)$,बल $(F)$ और मूल लंबाई $(L)$ के समानुपाती है,और यंग मापांक $(Y)$ तथा अनुप्रस्थ काट के क्षेत्रफल $(A)$ के व्युत्क्रमानुपाती है।
इसलिए,$l \propto \frac{1}{A}$.
अतः,सही कथन यह है कि लंबाई में वृद्धि $A$ के व्युत्क्रमानुपाती होती है।

(D) यंग मापांक का सूत्र $Y = \frac{F \cdot L}{A \cdot \Delta L}$ है,जहाँ $F$ बल है,$L$ मूल लंबाई है,$A$ अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है और $\Delta L$ लंबाई में परिवर्तन है।
$\Delta L$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर,$\Delta L = \frac{F \cdot L}{A \cdot Y}$ प्राप्त होता है।
चूंकि पदार्थ समान है,$Y$ स्थिर है। समान तनाव $F$ के लिए,$\Delta L \propto \frac{L}{A}$ होता है।
चूंकि $A = \pi \cdot r^2 = \pi \cdot (d/2)^2 = \frac{\pi \cdot d^2}{4}$,इसलिए $\Delta L \propto \frac{L}{d^2}$ होता है।
प्रत्येक विकल्प के लिए $\frac{L}{d^2}$ का अनुपात ज्ञात करने पर:
$(a)$ $\frac{100}{1^2} = 100$
$(b)$ $\frac{200}{2^2} = \frac{200}{4} = 50$
$(c)$ $\frac{300}{3^2} = \frac{300}{9} \approx 33.33$
$(d)$ $\frac{50}{0.5^2} = \frac{50}{0.25} = 200$
चूंकि विकल्प $(d)$ के लिए अनुपात अधिकतम है,इसलिए तार $(d)$ की लंबाई में वृद्धि अधिकतम होगी।

(B) यंग मापांक $(Y)$ तार के पदार्थ का एक आंतरिक गुण है।
यह केवल पदार्थ की प्रकृति और तापमान पर निर्भर करता है,न कि तार के आयामों जैसे कि उसकी लंबाई $(L)$ या त्रिज्या $(r)$ पर।
इसलिए,यदि लंबाई और त्रिज्या को बदल भी दिया जाए,तो भी यंग मापांक स्थिर रहता है।
अतः,नया यंग मापांक $Y$ ही होगा।

(C) दो सिरों पर समर्थित और केंद्र पर $W$ भार से लदी $L$ लंबाई,$b$ चौड़ाई और $d$ गहराई वाली बीम के केंद्र पर अवसाद $\delta$ निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$\delta = \frac{WL^3}{4Ybd^3}$
जहाँ $Y$ बीम की सामग्री का यंग मापांक (Young's modulus) है।
इस संबंध से यह स्पष्ट है कि अवसाद $\delta$ सामग्री के यंग मापांक $Y$ के व्युत्क्रमानुपाती होता है।
इसलिए,$\delta \propto \frac{1}{Y}$.

(C) तार की लंबाई में वृद्धि $l$ का सूत्र $l = \frac{FL}{AY}$ है,जहाँ $F$ बल है,$L$ मूल लंबाई है,$A$ अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है और $Y$ यंग मापांक है।
चूँकि $A = \pi r^2 = \pi (d/2)^2$,इसलिए $A \propto d^2$ होता है।
यहाँ $F$,$L$ और $Y$ स्थिर हैं,इसलिए लंबाई में वृद्धि $l$ व्यास के वर्ग के व्युत्क्रमानुपाती होती है: $l \propto \frac{1}{d^2}$।
माना $l_1 = 1 \ cm$ और $d_1 = d$ है। दूसरे तार के लिए,$d_2 = d/2$ है।
अनुपात लेने पर: $\frac{l_2}{l_1} = \left( \frac{d_1}{d_2} \right)^2 = \left( \frac{d}{d/2} \right)^2 = (2)^2 = 4$।
अतः,$l_2 = 4 \times l_1 = 4 \times 1 \ cm = 4 \ cm$।

(B) यंग मापांक $Y$ का सूत्र $Y = \frac{F L}{A \Delta L}$ है,जहाँ $A = \pi r^2$ है।
लंबाई में परिवर्तन $\Delta L$ के लिए सूत्र को व्यवस्थित करने पर,$\Delta L = \frac{F L}{\pi r^2 Y}$ प्राप्त होता है।
चूँकि बल $F$,मूल लंबाई $L$ और यंग मापांक $Y$ स्थिर हैं,इसलिए संबंध $\Delta L \propto \frac{1}{r^2}$ है।
प्रारंभिक त्रिज्या $r_1$ है और नई त्रिज्या $r_2 = 2r_1$ है,इसलिए नया परिवर्तन $\Delta L_2$ और प्रारंभिक परिवर्तन $\Delta L_1 = 12 \ mm$ के बीच संबंध:
$\frac{\Delta L_2}{\Delta L_1} = \left( \frac{r_1}{r_2} \right)^2 = \left( \frac{r_1}{2r_1} \right)^2 = \frac{1}{4}$ होगा।
अतः,$\Delta L_2 = \frac{\Delta L_1}{4} = \frac{12 \ mm}{4} = 3 \ mm$ होगा।

(C) दिया गया है:
तार की लंबाई $L = 1.1 \, m$
अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल $A = 1 \, mm^2 = 1 \times 10^{-6} \, m^2$
द्रव्यमान $m = 1 \, kg$
यंग मापांक $Y = 1.1 \times 10^{11} \, N/m^2$
गुरुत्वीय त्वरण $g = 10 \, m/s^2$
यंग मापांक का सूत्र $Y = \frac{F \cdot L}{A \cdot \Delta L}$ है,जहाँ $F = mg$ है।
लंबाई में परिवर्तन $\Delta L$ के लिए सूत्र:
$\Delta L = \frac{mgL}{AY}$
मान रखने पर:
$\Delta L = \frac{1 \times 10 \times 1.1}{(1 \times 10^{-6}) \times (1.1 \times 10^{11})}$
$\Delta L = \frac{11}{1.1 \times 10^5} = \frac{10}{10^5} = 10^{-4} \, m$
$mm$ में बदलने पर:
$\Delta L = 10^{-4} \times 10^3 \, mm = 0.1 \, mm$.

(D) दिया गया है:
तार की लंबाई $L = 2\, m$
लंबाई में परिवर्तन $\Delta L = 0.5\, mm = 0.5 \times 10^{-3}\, m$
अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल $A = 2\, mm^2 = 2 \times 10^{-6}\, m^2$
यंग मापांक $Y = 2.2 \times 10^{11}\, N/m^2$
यंग मापांक का सूत्र $Y = \frac{F \cdot L}{A \cdot \Delta L}$ है।
बल $F$ के लिए सूत्र:
$F = \frac{Y \cdot A \cdot \Delta L}{L}$
मान रखने पर:
$F = \frac{(2.2 \times 10^{11}) \times (2 \times 10^{-6}) \times (0.5 \times 10^{-3})}{2}$
$F = \frac{2.2 \times 10^{11} \times 1 \times 10^{-9}}{2}$
$F = \frac{2.2 \times 10^2}{2} = 1.1 \times 10^2\, N$.

(A) अंतर-परमाण्विक बल नियतांक $K$,यंग मापांक $Y$ और अंतर-परमाण्विक दूरी $r_0$ से सूत्र $K = Y \times r_0$ द्वारा संबंधित है।
दिया गया है:
यंग मापांक $Y = 2 \times 10^{11} \ N/m^2$.
अंतर-परमाण्विक दूरी $r_0 = 3 \times 10^{-10} \ m$.
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$K = (2 \times 10^{11} \ N/m^2) \times (3 \times 10^{-10} \ m)$
$K = 6 \times 10^{1} \ N/m$
$K = 60 \ N/m$.
अतः,अंतर-परमाण्विक बल नियतांक $60 \ N/m$ है।

(B) यंग मापांक $(Y)$ को अनुदैर्ध्य प्रतिबल और अनुदैर्ध्य विकृति के अनुपात के रूप में परिभाषित किया गया है: $Y = \frac{\text{Stress}}{\text{Strain}} = \frac{F/A}{\Delta L/L}$।
चूंकि लंबाई को दोगुना करना है,इसलिए लंबाई में परिवर्तन $\Delta L = L$ होगा,जिससे विकृति $\frac{\Delta L}{L} = 1$ प्राप्त होगी।
मान रखने पर,$Y = \frac{F/A}{1}$,जिसका अर्थ है $F = Y \times A$।
दिया गया है कि $Y = 2 \times 10^{12} \text{ dyn/cm}^2$ और इकाई अनुप्रस्थ काट क्षेत्रफल $A = 1 \text{ cm}^2$ है।
अतः,$F = (2 \times 10^{12} \text{ dyn/cm}^2) \times (1 \text{ cm}^2) = 2 \times 10^{12} \text{ dynes}$।

(A) दिया गया है: व्यास $d = 4 \ mm = 4 \times 10^{-3} \ m$.
त्रिज्या $r = 2 \times 10^{-3} \ m$.
क्षेत्रफल $A = \pi r^2 = \pi (2 \times 10^{-3})^2 = 4\pi \times 10^{-6} \ m^2$.
यंग मापांक $Y = 9 \times 10^{10} \ N/m^2$.
विकृति $\frac{\Delta L}{L} = 0.1\% = \frac{0.1}{100} = 10^{-3}$.
यंग मापांक के सूत्र का उपयोग करने पर: $Y = \frac{F/A}{\Delta L/L}$.
बल के लिए सूत्र को व्यवस्थित करने पर: $F = Y \cdot A \cdot \left( \frac{\Delta L}{L} \right)$.
मान रखने पर: $F = (9 \times 10^{10}) \times (4\pi \times 10^{-6}) \times (10^{-3})$.
$F = 36\pi \times 10^{10-6-3} = 36\pi \times 10^1 = 360\pi \ N$.

(C) भार $F$ के तहत एक तार का विस्तार $l$ सूत्र $l = \frac{FL}{AY}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $A$ अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है और $Y$ यंग मापांक है।
चूंकि $F,$ $A,$ और $Y$ स्थिर हैं,इसलिए विस्तार $l$ तार की मूल लंबाई $L$ के सीधे आनुपातिक है $(l \propto L)$।
यदि लंबाई $L$ को आधा कर दिया जाए (अर्थात $L' = \frac{L}{2}$),तो लंबाई में नई वृद्धि $l'$ होगी $l' = \frac{Fl'}{AY} = \frac{F(L/2)}{AY} = \frac{1}{2} \left( \frac{FL}{AY} \right) = \frac{l}{2}$।

(B) डोरी की लंबाई $L$,घनत्व $d$ और यंग मापांक $Y$ होने पर,अपने स्वयं के भार के कारण लंबाई में वृद्धि का सूत्र $\Delta L = \frac{L^2 dg}{2Y}$ है।
दी गई मान हैं: $L = 8\, cm = 8 \times 10^{-2}\, m$,$d = 1.5\, kg/m^3$,$Y = 5 \times 10^8\, N/m^2$,और $g = 9.8\, m/s^2$.
सूत्र में मान रखने पर:
$\Delta L = \frac{(8 \times 10^{-2})^2 \times 1.5 \times 9.8}{2 \times 5 \times 10^8}$
$\Delta L = \frac{64 \times 10^{-4} \times 14.7}{10^9}$
$\Delta L = \frac{940.8 \times 10^{-4}}{10^9} = 9.408 \times 10^{-11}\, m$.
दिए गए विकल्पों के अनुसार निकटतम मान $9.6 \times 10^{-11}\, m$ है।

(D) यंग मापांक (Young's modulus) का सूत्र $Y = \frac{\text{Stress}}{\text{Strain}} = \frac{F/A}{\Delta L/L}$ है।
चूंकि लंबाई दोगुनी की जाती है,इसलिए लंबाई में परिवर्तन $\Delta L = L_{final} - L_{initial} = 2L - L = L$ होगा।
अतः,विकृति (Strain) $\frac{\Delta L}{L} = \frac{L}{L} = 1$ होगी।
सूत्र में मान रखने पर: $Y = \frac{F/A}{1} \implies F = Y \times A$।
दिया गया है $Y = 10^{12} \, dyne/cm^2$ और $A = 0.5 \, cm^2$।
$F = 10^{12} \times 0.5 = 0.5 \times 10^{12} \, dyne$।

(D) तार में विस्तार का सूत्र $l = \frac{FL}{AY}$ है,जहाँ $F$ बल है,$L$ लंबाई है,$A$ अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है और $Y$ यंग मापांक है।
चूंकि तार एक ही पदार्थ के बने हैं,इसलिए $Y$ समान है। दिया गया है कि $F$ और $L$ भी समान हैं,अतः $l \propto \frac{1}{A}$ होगा।
क्षेत्रफल $A = \pi r^2$ होने के कारण,$l \propto \frac{1}{r^2}$ प्राप्त होता है।
तार $A$ का व्यास तार $B$ से दोगुना है,इसलिए त्रिज्या $r_A = 2r_B$ होगी।
अतः,$\frac{l_A}{l_B} = \left( \frac{r_B}{r_A} \right)^2 = \left( \frac{r_B}{2r_B} \right)^2 = \left( \frac{1}{2} \right)^2 = \frac{1}{4}$।
इसका अर्थ है कि $l_A = \frac{1}{4} l_B$,यानी तार $A$ की लंबाई में वृद्धि तार $B$ की तुलना में एक-चौथाई है।

(C) एक स्प्रिंग को बेहतर तब माना जाता है जब विरूपित होने पर उसमें एक बड़ा प्रत्यानयन बल (restoring force) उत्पन्न हो। यह गुण पदार्थ की प्रत्यास्थता (elasticity) पर निर्भर करता है। चूंकि स्टील का यंग मापांक (Young's modulus) तांबे की तुलना में अधिक होता है,इसलिए स्प्रिंग बनाने के लिए स्टील को प्राथमिकता दी जाती है।

(B) तार के विस्तार $l$ का सूत्र $l = \frac{FL}{AY}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $F$ लगाया गया बल है,$L$ मूल लंबाई है,$A$ अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है और $Y$ यंग मापांक है।
चूंकि तारों की लंबाई $(L)$ समान है,उन्हें समान वजन $(F)$ से खींचा जाता है और यदि उनका अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल $(A)$ समान है,तो विस्तार $l$ यंग मापांक $(Y)$ के व्युत्क्रमानुपाती होता है: $l \propto \frac{1}{Y}$।
इसलिए,स्टील $(l_S)$ और तांबे $(l_{Cu})$ की लंबाई में वृद्धि का अनुपात $\frac{l_S}{l_{Cu}} = \frac{Y_{Cu}}{Y_S}$ होगा।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{l_S}{l_{Cu}} = \frac{1.2 \times 10^{11}}{2 \times 10^{11}} = \frac{1.2}{2} = \frac{12}{20} = \frac{3}{5}$।

(B) दिया गया है:
अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल $A = 2 \, cm^2$
बल $F = 2 \times 10^5 \, dynes$
प्रारंभिक लंबाई $= L$
अंतिम लंबाई $= 2L$
लंबाई में परिवर्तन $\Delta L = 2L - L = L$
विकृति (Strain) $= \frac{\Delta L}{L} = \frac{L}{L} = 1$
यंग मापांक $Y = \frac{\text{Stress}}{\text{Strain}} = \frac{F/A}{\Delta L/L}$
मान रखने पर:
$Y = \frac{(2 \times 10^5) / 2}{1} = 10^5 \, dyne/cm^2$
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(B) तार के विस्तार का सूत्र $\Delta L = \frac{FL}{AY} = \frac{FL}{\pi r^2 Y}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि भार $F$ और यंग मापांक $Y$ स्थिर रहते हैं,इसलिए विस्तार $\Delta L$,$\frac{L}{r^2}$ के समानुपाती होता है।
मान लीजिए प्रारंभिक लंबाई $L_1 = L$ और प्रारंभिक त्रिज्या $r_1 = r$ है। प्रारंभिक विस्तार $\Delta L_1 = 1 \, mm$ है।
दूसरे तार के लिए,लंबाई $L_2 = 2L$ और त्रिज्या $r_2 = 2r$ है।
समानुपातिकता का उपयोग करते हुए: $\frac{\Delta L_2}{\Delta L_1} = \frac{L_2}{L_1} \times \left( \frac{r_1}{r_2} \right)^2$.
मान रखने पर: $\frac{\Delta L_2}{1} = \frac{2L}{L} \times \left( \frac{r}{2r} \right)^2 = 2 \times \left( \frac{1}{2} \right)^2 = 2 \times \frac{1}{4} = 0.5$.
अतः,लंबाई में वृद्धि $0.5 \, mm$ होगी।

(C) जब किसी छड़ को गर्म किया जाता है,तो वह फैलने की प्रवृत्ति रखती है। यदि उसे फैलने से रोका जाता है,तो छड़ में तापीय प्रतिबल (thermal stress) उत्पन्न होता है।
तापीय विकृति (thermal strain) $\frac{\Delta l}{l} = \alpha \Delta \theta$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $\alpha$ रैखिक प्रसार गुणांक है और $\Delta \theta$ तापमान में परिवर्तन है।
यंग मापांक की परिभाषा से $Y = \frac{\text{Stress}}{\text{Strain}} = \frac{F/A}{\Delta l/l}$।
इसलिए,उत्पन्न बल $F = YA \left( \frac{\Delta l}{l} \right) = YA \alpha \Delta \theta$ है।
चूँकि $Y$,$\alpha$,और $\Delta \theta$ दी गई छड़ के लिए स्थिर हैं,इसलिए $F \propto A$ है।

(D) यंग मापांक का सूत्र $Y = \frac{\text{Stress}}{\text{Strain}} = \frac{F/A}{\text{Strain}}$ है।
अनुप्रस्थ काट क्षेत्रफल $A$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर,$A = \frac{F}{Y \times \text{Strain}}$ प्राप्त होता है।
दिया गया है: भार $F = 10^4 \, N$,यंग मापांक $Y = 7 \times 10^9 \, N/m^2$,और ब्रेकिंग स्ट्रेन $= 0.2\% = 0.002$.
मान रखने पर: $A = \frac{10^4}{7 \times 10^9 \times 0.002}$.
$A = \frac{10^4}{1.4 \times 10^7} = \frac{1}{1400} \approx 7.14 \times 10^{-4} \, m^2$.
अतः,न्यूनतम अनुप्रस्थ काट क्षेत्रफल $7.1 \times 10^{-4} \, m^2$ है।

(B) अनुदैर्ध्य विकृति (longitudinal strain) का सूत्र $\text{strain} = \frac{\Delta L}{L} = \frac{\text{stress}}{Y} = \frac{F}{A \cdot Y}$ है,जहाँ $F$ बल है,$A$ अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है और $Y$ यंग मापांक है।
चूंकि दोनों तार तांबे के हैं,इसलिए $Y$ दोनों के लिए समान होगा।
समान बल $F$ के लिए,विकृति क्षेत्रफल $A$ के व्युत्क्रमानुपाती होती है: $\text{strain} \propto \frac{1}{A}$.
चूंकि $A = \pi r^2$,इसलिए $\text{strain} \propto \frac{1}{r^2}$.
अतः,विकृति का अनुपात $\frac{\text{strain}_1}{\text{strain}_2} = \frac{r_2^2}{r_1^2} = \left( \frac{r_2}{r_1} \right)^2$ होगा।
यहाँ $\frac{r_1}{r_2} = \frac{1}{4}$ दिया गया है,इसलिए $\frac{r_2}{r_1} = 4$.
इस प्रकार,विकृति का अनुपात $(4)^2 = 16$ अर्थात $16:1$ होगा।

(A) दिया गया है: बल $F = mg = 200 \, kg \times 9.8 \, m/s^2 \approx 2000 \, N$ ($g = 10 \, m/s^2$ लेने पर),
प्रारंभिक लंबाई $L = 600.5 \, cm - 0.5 \, cm = 600 \, cm = 6 \, m$,
लंबाई में परिवर्तन $\Delta L = 0.5 \, cm = 0.5 \times 10^{-2} \, m$,
क्षेत्रफल $A = 1 \, mm^2 = 10^{-6} \, m^2$.
यंग मापांक के सूत्र $Y = \frac{F \cdot L}{A \cdot \Delta L}$ का उपयोग करने पर:
$Y = \frac{2000 \times 6}{10^{-6} \times 0.5 \times 10^{-2}}$
$Y = \frac{12000}{0.5 \times 10^{-8}} = 2.4 \times 10^{12} \, N/m^2$.
दिए गए विकल्पों को देखते हुए,सबसे निकटतम मान $2.35 \times 10^{12} \, N/m^2$ है।

(A) तार के विस्तार $(l)$ का सूत्र $l = \frac{FL}{AY} = \frac{FL}{\pi r^2 Y}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि पदार्थ समान है,$Y$ स्थिर है। यह दिया गया है कि भार $(F)$ और लंबाई $(L)$ भी स्थिर हैं,इसलिए $l \propto \frac{1}{r^2}$ है।
मान लीजिए $d_1$ और $d_2$ दो तारों के व्यास हैं। हमें $\frac{d_1}{d_2} = n : 1$ दिया गया है,जिसका अर्थ है कि $\frac{r_1}{r_2} = n$ है।
पतले तार (तार $2$) के लिए,मोटे तार (तार $1$) के सापेक्ष विस्तार $l_2$ का मान $\frac{l_2}{l_1} = \left( \frac{r_1}{r_2} \right)^2 = n^2$ होगा।
अतः,$l_2 = n^2 l_1$।

(B) दिया गया है: प्रतिबल $\sigma = 1\,kg/mm^2 = 10^6\,kg/m^2$.
$N/m^2$ में बदलने पर ($g = 10\,m/s^2$ लेते हुए): $\sigma = 10^6 \times 10 = 10^7\,N/m^2$.
यंग मापांक $Y = 10^{11}\,N/m^2$.
अनुदैर्ध्य विकृति $\frac{\Delta L}{L} = \frac{\sigma}{Y} = \frac{10^7}{10^{11}} = 10^{-4}$.
लंबाई में प्रतिशत वृद्धि $= \frac{\Delta L}{L} \times 100 = 10^{-4} \times 100 = 0.01\%$.

(D) यंग मापांक $(Y)$ एक निश्चित तापमान पर पदार्थ का एक आंतरिक गुण है। यह पदार्थ की प्रकृति और तापमान पर निर्भर करता है,न कि तार के आयामों जैसे कि उसकी लंबाई या त्रिज्या पर। इसलिए,तार की त्रिज्या या लंबाई बदलने से $Y$ का मान नहीं बदलेगा। $Y$ का मान केवल पदार्थ के तापमान में परिवर्तन करके ही बदला जा सकता है। अतः,दिए गए विकल्पों में से कोई भी सही नहीं है।

(A) यंग मापांक $Y$ को अंतर-परमाणु बल नियतांक $k$ और अंतर-परमाणु दूरी $r$ के पदों में $Y = \frac{k}{r}$ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।
दिया गया है:
अंतर-परमाणु दूरी $r = 3 \times 10^{-10} \ m$.
अंतर-परमाणु बल नियतांक $k = 3.6 \times 10^{-9} \ N/\mathring{A}$.
चूंकि $1 \mathring{A} = 10^{-10} \ m$,इसलिए $k = 3.6 \times 10^{-9} \ N / (10^{-10} \ m) = 36 \ N/m$.
अब,सूत्र में मान रखने पर:
$Y = \frac{36 \ N/m}{3 \times 10^{-10} \ m} = 12 \times 10^{9} \ N/m^2 = 1.2 \times 10^{11} \ N/m^2$.
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(D) तार का बल नियतांक $K$ सूत्र $K = \frac{YA}{L}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $Y$ यंग मापांक है,$A$ अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है और $L$ तार की लंबाई है।
$A = \pi r^2$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $K = \frac{Y \pi r^2}{L}$ प्राप्त होता है।
इस संबंध से यह स्पष्ट है कि $K$ निम्नलिखित कारकों पर निर्भर करता है:
$1$. पदार्थ की प्रकृति ($Y$ द्वारा दर्शाया गया)।
$2$. तार की त्रिज्या $(r)$।
$3$. तार की लंबाई $(L)$।
चूंकि बल नियतांक इन सभी कारकों पर निर्भर करता है,इसलिए सही विकल्प $(d)$ है।

(D) जब तार के प्रसार को रोका जाता है,तो उसमें उत्पन्न तापीय प्रतिबल $\sigma = Y \alpha \Delta \theta$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि प्रतिबल $\sigma = \frac{F}{A}$ होता है,इसलिए तनाव में वृद्धि $\Delta F = YA \alpha \Delta \theta$ होगी।
दिया गया है:
$Y = 2.2 \times 10^{11}\, N/m^2$
$A = 10^{-2}\, cm^2 = 10^{-2} \times 10^{-4}\, m^2 = 10^{-6}\, m^2$
$\alpha = 8 \times 10^{-6}\, ^\circ C^{-1}$
$\Delta \theta = 5\, ^\circ C$
इन मानों को रखने पर:
$\Delta F = (2.2 \times 10^{11}) \times (10^{-6}) \times (8 \times 10^{-6}) \times 5$
$\Delta F = 2.2 \times 8 \times 5 \times 10^{11-6-6}$
$\Delta F = 88 \times 10^{-1} = 8.8\, N$.

(A) यंग मापांक $(Y)$ को अनुदैर्ध्य प्रतिबल और अनुदैर्ध्य विकृति के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है।
किसी दिए गए पदार्थ के लिए,जैसे-जैसे घनत्व बढ़ता है,परमाणुओं के निकट संकुलन के कारण अंतर-परमाणु बल आमतौर पर मजबूत हो जाते हैं।
इसका अर्थ है कि समान विकृति उत्पन्न करने के लिए अधिक बल (प्रतिबल) की आवश्यकता होती है।
चूंकि $Y = \frac{\text{Stress}}{\text{Strain}}$,इसलिए समान विकृति के लिए आवश्यक प्रतिबल में वृद्धि होने से यंग मापांक का मान बढ़ जाता है।

(C) दिया गया है: यंग मापांक $Y = 10^4 \ N/m^2$,क्षेत्रफल $A = 2 \ cm^2 = 2 \times 10^{-4} \ m^2$,बल $F = 2 \times 10^5 \ dynes = 2 \ N$.
लंबाई में वृद्धि $\Delta L$ का सूत्र है: $\Delta L = \frac{FL}{AY}$.
मान रखने पर: $\Delta L = \frac{2 \times L}{(2 \times 10^{-4}) \times 10^4} = \frac{2L}{2} = L$.
अंतिम लंबाई प्रारंभिक लंबाई और वृद्धि का योग है: $L_{final} = L + \Delta L = L + L = 2L$.

(B) यंग मापांक $(Y)$ को अनुदैर्ध्य प्रतिबल (longitudinal stress) और अनुदैर्ध्य विकृति (longitudinal strain) के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है।
एक ठोस पदार्थ के लिए,$Y$ का मान निश्चित और धनात्मक होता है।
हालाँकि,पाउडर के लिए,पदार्थ एक निरंतर ठोस की तरह विरूपण (deformation) का विरोध नहीं करता है,जिससे प्रभावी रूप से यंग मापांक $Y = 0$ हो जाता है।
इसलिए,पदार्थ की सही अवस्था पाउडर के रूप में ठोस है।

(A) तार में विस्तार $l$ का सूत्र $l = \frac{FL}{AY}$ है,जहाँ $A = \pi r^2$ अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है और $Y$ यंग मापांक है।
अतः,$l = \frac{FL}{\pi r^2 Y}$.
चूंकि पदार्थ समान है,$Y$ स्थिर रहेगा। इसलिए,$l \propto \frac{FL}{r^2}$.
पहले तार के लिए: $l_1 = l$,$F_1 = F$,$L_1 = L$,$r_1 = r$.
दूसरे तार के लिए: $F_2 = 2F$,$L_2 = 2L$,$r_2 = 2r$.
अनुपात लेने पर: $\frac{l_2}{l_1} = \left( \frac{F_2}{F_1} \right) \times \left( \frac{L_2}{L_1} \right) \times \left( \frac{r_1}{r_2} \right)^2$.
मान रखने पर: $\frac{l_2}{l} = \left( \frac{2F}{F} \right) \times \left( \frac{2L}{L} \right) \times \left( \frac{r}{2r} \right)^2 = 2 \times 2 \times \left( \frac{1}{4} \right) = 1$.
इसलिए,$l_2 = l$.

(D) प्रतिबल,विकृति और यंग मापांक $(Y)$ के बीच का संबंध हुक के नियम द्वारा दिया जाता है: $Y = \frac{\text{stress}}{\text{strain}}$.
इसलिए,ब्रेकिंग प्रतिबल की गणना इस प्रकार की जाती है: $\text{Breaking stress} = Y \times \text{strain}$.
दिया गया है: $Y = 2 \times 10^{11} \, N/m^2$ और $\text{strain} = 0.15$.
$\text{Breaking stress} = (2 \times 10^{11}) \times 0.15 = 0.30 \times 10^{11} = 3 \times 10^{10} \, N/m^2$.

(A) दिया गया है:
अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल $A = 1\,cm^2 = 1 \times 10^{-4}\,m^2$.
यंग मापांक $Y = 2 \times 10^{11}\,N/m^2$.
अंतिम लंबाई $L' = 1.1L$,इसलिए लंबाई में परिवर्तन $\Delta L = L' - L = 0.1L$.
विकृति (Strain) $= \frac{\Delta L}{L} = 0.1$.
यंग मापांक के सूत्र का उपयोग करते हुए: $Y = \frac{F/A}{\Delta L/L}$.
बल के लिए सूत्र को व्यवस्थित करने पर: $F = Y \times A \times \text{Strain}$.
$F = (2 \times 10^{11}\,N/m^2) \times (1 \times 10^{-4}\,m^2) \times (0.1)$.
$F = 2 \times 10^{11} \times 10^{-4} \times 10^{-1} = 2 \times 10^6\,N$.

(A) प्रत्यास्थता को यंग मापांक ($Y$ या $E$) द्वारा मापा जाता है। यंग मापांक का उच्च मान यह दर्शाता है कि पदार्थ अधिक प्रत्यास्थ है (अर्थात,एक निश्चित विकृति उत्पन्न करने के लिए अधिक प्रतिबल की आवश्यकता होती है)।
दिए गए पदार्थों के लिए यंग मापांक के अनुमानित मान इस प्रकार हैं:
$1$. कांच: $50 - 90 \, GPa$
$2$. रबर: $0.01 - 0.1 \, GPa$
$3$. स्टील: $200 \, GPa$
$4$. तांबा: $117 \, GPa$
इन मानों की तुलना करने पर,स्टील का यंग मापांक सबसे अधिक है। इसलिए,दिए गए विकल्पों में से स्टील सबसे अधिक प्रत्यास्थ पदार्थ है।

(D) प्रतिबल (stress) को $\text{Stress} = \frac{F}{A}$ के रूप में परिभाषित किया जाता है।
चूंकि दोनों तार श्रेणी क्रम में जुड़े हैं,इसलिए दोनों तारों पर समान बल $F$ कार्य करता है। यह दिया गया है कि उनका व्यास समान है,इसलिए उनका अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल $A$ भी समान है। अतः,दोनों तारों में प्रतिबल समान होगा।
विकृति (strain) को $\text{Strain} = \frac{\text{Stress}}{Y}$ के रूप में परिभाषित किया जाता है,जहाँ $Y$ पदार्थ का यंग मापांक (Young's modulus) है।
चूंकि स्टील का यंग मापांक $(Y_s)$ तांबे के यंग मापांक $(Y_c)$ से अधिक है,और दोनों के लिए प्रतिबल समान है,इसलिए स्टील के तार में विकृति तांबे के तार की तुलना में कम होगी।
अतः,दोनों तारों में प्रतिबल समान होगा लेकिन विकृति अलग-अलग होगी।

(A) तार का विस्तार $l$ सूत्र $l = \frac{FL}{AY} = \frac{FL}{\pi r^2 Y}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि पदार्थ $(Y)$ और लंबाई $(L)$ स्थिर हैं,इसलिए $l \propto \frac{F}{r^2}$ है।
मान लीजिए प्रारंभिक बल $F_1 = F$,प्रारंभिक त्रिज्या $r_1 = r$ और प्रारंभिक विस्तार $l_1 = 1 \ mm$ है।
दूसरे तार के लिए,बल $F_2 = 2F$ और त्रिज्या $r_2 = \frac{r}{2}$ है।
अनुपात का उपयोग करने पर: $\frac{l_2}{l_1} = \frac{F_2}{F_1} \times \left( \frac{r_1}{r_2} \right)^2$.
मान रखने पर: $\frac{l_2}{1} = \frac{2F}{F} \times \left( \frac{r}{r/2} \right)^2 = 2 \times (2)^2 = 2 \times 4 = 8$.
अतः,विस्तार $l_2 = 8 \ mm$ होगा।

(B) यंग मापांक $Y$ का सूत्र $Y = \frac{F \cdot L}{A \cdot \Delta l}$ है,जहाँ $F$ बल है,$L$ मूल लंबाई है,$A$ अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है और $\Delta l$ लंबाई में परिवर्तन है।
बल के लिए सूत्र को व्यवस्थित करने पर,$F = \frac{Y \cdot A \cdot \Delta l}{L}$ प्राप्त होता है।
चूंकि क्षेत्रफल $A = \pi r^2 = \frac{\pi D^2}{4}$ है,इसलिए $F \propto D^2$ होता है (जहाँ $D$ व्यास है,और $Y, L, \Delta l$ स्थिर हैं)।
प्रारंभिक बल $F_1 = 10^3 \ N$ और प्रारंभिक व्यास $D_1 = D$ है,नया व्यास $D_2 = 4D$ है।
अतः,बलों का अनुपात $\frac{F_2}{F_1} = \left(\frac{D_2}{D_1}\right)^2 = (4)^2 = 16$ होगा।
इस प्रकार,$F_2 = 16 \times F_1 = 16 \times 10^3 \ N$।

(D) माना रबर की डोरी की लंबाई $L$,अनुप्रस्थ काट क्षेत्रफल $A$ और घनत्व $d$ है। डोरी का द्रव्यमान $M = A \cdot L \cdot d$ है।
जब डोरी को ऊर्ध्वाधर लटकाया जाता है,तो उसका भार उसके द्रव्यमान केंद्र ($L/2$ पर) कार्य करता है।
मुक्त सिरे से $x$ दूरी पर प्रतिबल (stress) उसके नीचे के भाग के भार के कारण होता है।
लंबाई में वृद्धि $l$ को लंबाई पर विकृति के समाकलन द्वारा प्राप्त किया जाता है: $l = \int_{0}^{L} \frac{F(x) dx}{AY}$,जहाँ $F(x) = (A \cdot x \cdot d)g$ है।
$F(x)$ का मान रखने पर,हमें प्राप्त होता है $l = \int_{0}^{L} \frac{Axdg}{AY} dx = \frac{dg}{Y} \int_{0}^{L} x dx = \frac{dg}{Y} [ \frac{x^2}{2} ]_{0}^{L} = \frac{L^2 dg}{2Y}$।
चूंकि $g$ और $Y$ (यंग मापांक) नियतांक हैं,इसलिए लंबाई में वृद्धि $l$,$dL^2$ के समानुपाती है।

(C) दोनों सिरों पर स्थिर तार को ठंडा करने पर उत्पन्न तापीय प्रतिबल का सूत्र है: $F = Y A \alpha \Delta T$.
दिया गया है:
अनुप्रस्थ काट क्षेत्रफल $A = 3 \, mm^2 = 3 \times 10^{-6} \, m^2$.
यंग मापांक $Y = 2 \times 10^{11} \, N/m^2$.
रेखीय प्रसार गुणांक $\alpha = 10^{-5} \, ^{\circ}C^{-1}$.
तापमान में परिवर्तन $\Delta T = 20^{\circ}C - 10^{\circ}C = 10^{\circ}C$.
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$F = (2 \times 10^{11} \, N/m^2) \times (3 \times 10^{-6} \, m^2) \times (10^{-5} \, ^{\circ}C^{-1}) \times (10^{\circ}C)$.
$F = 2 \times 3 \times 10^{11 - 6 - 5 + 1} \, N$.
$F = 6 \times 10^1 \, N = 60 \, N$.
अतः,तार में उत्पन्न तनाव $60 \, N$ है।

(A) तार का विस्तार $l$ सूत्र $l = \frac{FL}{AY} = \frac{FL}{\pi r^2 Y}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि बल $F$ और यंग मापांक $Y$ स्थिर हैं,इसलिए $l \propto \frac{L}{r^2}$ है।
मान लीजिए मूल लंबाई $L_1 = L$ और त्रिज्या $r_1 = r$ है। विस्तार $l_1 = 0.01 \ m$ है।
दूसरे तार के लिए,लंबाई $L_2 = 2L$ है और व्यास दोगुना होने के कारण त्रिज्या $r_2 = 2r$ है।
समानुपातिकता का उपयोग करते हुए: $\frac{l_2}{l_1} = \frac{L_2}{L_1} \times \left( \frac{r_1}{r_2} \right)^2$.
मान रखने पर: $\frac{l_2}{l_1} = \left( \frac{2L}{L} \right) \times \left( \frac{r}{2r} \right)^2 = 2 \times \left( \frac{1}{2} \right)^2 = 2 \times \frac{1}{4} = \frac{1}{2}$.
अतः,$l_2 = \frac{l_1}{2} = \frac{0.01 \ m}{2} = 0.005 \ m$.

(A) तार के विस्तार $(l)$ का सूत्र $l = \frac{FL}{AY}$ है,जहाँ $F$ आरोपित भार है,$L$ मूल लंबाई है,$A$ अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है और $Y$ यंग मापांक है।
चूँकि $A = \pi r^2$,इसलिए $l = \frac{FL}{\pi r^2 Y}$ होता है।
चूँकि पदार्थ $(Y)$,लंबाई $(L)$ और भार $(F)$ स्थिर हैं,इसलिए विस्तार त्रिज्या के वर्ग के व्युत्क्रमानुपाती होता है: $l \propto \frac{1}{r^2}$.
माना $l_1 = 3 \ mm$ और $r_1 = r$ है। तब $r_2 = \frac{r}{2}$ होगा।
अनुपात का उपयोग करने पर: $\frac{l_2}{l_1} = \left(\frac{r_1}{r_2}\right)^2 = \left(\frac{r}{r/2}\right)^2 = (2)^2 = 4$.
अतः,$l_2 = 4 \times l_1 = 4 \times 3 \ mm = 12 \ mm$।

(D) तार में विस्तार $\Delta L$ का सूत्र $\Delta L = \frac{FL}{AY}$ है,जहाँ $F$ बल है,$L$ मूल लंबाई है,$A$ अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है और $Y$ यंग मापांक है।
चूँकि $A = \pi r^2 = \pi (d/2)^2$,इसलिए $\Delta L = \frac{4FL}{\pi d^2 Y}$ होता है।
चूँकि $F$ और $Y$ सभी तारों के लिए स्थिर हैं,इसलिए विस्तार $\Delta L \propto \frac{L}{d^2}$ होगा।
प्रत्येक स्थिति के लिए $\frac{L}{d^2}$ का अनुपात ज्ञात करने पर:
$(a)$ $\frac{500}{(0.05)^2} = 200,000$
$(b)$ $\frac{200}{(0.02)^2} = 500,000$
$(c)$ $\frac{300}{(0.03)^2} \approx 333,333$
$(d)$ $\frac{400}{(0.01)^2} = 4,000,000$
तुलना करने पर,स्थिति $(d)$ में अनुपात अधिकतम है,इसलिए तार $(d)$ में अधिकतम विस्तार होगा।

(C) तार की लंबाई में परिवर्तन $l$ का सूत्र $l = \frac{FL}{AY}$ है,जहाँ $A = \pi r^2$ अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है।
पदार्थ समान होने के कारण यंग मापांक $Y$ स्थिर है। दिया गया है कि बल $F$ भी स्थिर है,इसलिए $l \propto \frac{L}{r^2}$ प्राप्त होता है।
पहले तार के लिए: $l_1 = l$,$L_1 = L$,$r_1 = r$.
दूसरे तार के लिए: $L_2 = 2L$,$r_2 = 2r$.
अनुपात लेने पर: $\frac{l_2}{l_1} = \frac{L_2}{L_1} \times \left( \frac{r_1}{r_2} \right)^2$.
मान रखने पर: $\frac{l_2}{l} = \frac{2L}{L} \times \left( \frac{r}{2r} \right)^2 = 2 \times \left( \frac{1}{2} \right)^2 = 2 \times \frac{1}{4} = \frac{1}{2}$.
अतः,दूसरे तार की लंबाई में परिवर्तन $l_2 = \frac{l}{2}$ है।