Young’s Modulus Questions in Gujarati

(B) બંને તાર સમાંતર જોડાણમાં એક જ ભાર સાથે જોડાયેલા છે. ધારો કે દરેક તારની લંબાઈ $L$ અને આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $A$ છે.
જ્યારે કુલ બળ $F$ લગાડવામાં આવે છે,ત્યારે બંને તારમાં થતો વધારો $\Delta L$ સમાન હોય છે.
દરેક તારમાં લાગતું બળ $F_1 = \frac{Y_1 A \Delta L}{L}$ અને $F_2 = \frac{Y_2 A \Delta L}{L}$ છે.
કુલ બળ $F = F_1 + F_2 = \frac{(Y_1 + Y_2) A \Delta L}{L}$.
જો $Y_{eq}$ એ સમતુલ્ય યંગ મોડ્યુલસ હોય,તો $F = \frac{Y_{eq} (2A) \Delta L}{L}$ (કારણ કે કુલ ક્ષેત્રફળ $2A$ છે).
$F$ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા: $\frac{Y_{eq} (2A) \Delta L}{L} = \frac{(Y_1 + Y_2) A \Delta L}{L}$.
$Y_{eq}$ માટે ઉકેલતા,આપણને $Y_{eq} = \frac{Y_1 + Y_2}{2}$ મળે છે.

(B) રીંગની પ્રારંભિક લંબાઈ (પરિઘ) $= 2 \pi r$.
રીંગની અંતિમ લંબાઈ (પરિઘ) $= 2 \pi R$.
લંબાઈમાં ફેરફાર $= 2 \pi R - 2 \pi r = 2 \pi (R - r)$.
વિકૃતિ (Strain) $= \frac{\text{લંબાઈમાં ફેરફાર}}{\text{મૂળ લંબાઈ}} = \frac{2 \pi (R - r)}{2 \pi r} = \frac{R - r}{r}$.
વ્યાખ્યા મુજબ,યંગ મોડ્યુલસ $E = \frac{\text{પ્રતિબળ}}{\text{વિકૃતિ}} = \frac{F / A}{\Delta L / L}$.
કિંમતો મૂકતા: $E = \frac{F / A}{(R - r) / r}$.
તેથી,બળ $F = AE \left( \frac{R - r}{r} \right)$.

(C) ધારો કે તંત્રનો પ્રવેગ $a$ છે. તંત્ર માટે ગતિના સમીકરણો:
$T - F = m_1a$ ($m_1$ દળ માટે)
$m_2g - T = m_2a$ ($m_2$ દળ માટે)
આ સમીકરણોનો સરવાળો કરતા: $m_2g - F = (m_1 + m_2)a$
આપેલ છે કે $F = m_2g/2$,તેથી $m_2g - m_2g/2 = (m_1 + m_2)a$,એટલે કે $a = \frac{m_2g}{2(m_1 + m_2)}$.
હવે,$m_2$ માટેના સમીકરણનો ઉપયોગ કરીને દોરીમાં તણાવ $T$ શોધો:
$T = m_2(g - a) = m_2(g - \frac{m_2g}{2(m_1 + m_2)}) = m_2g(1 - \frac{m_2}{2(m_1 + m_2)}) = m_2g(\frac{2m_1 + 2m_2 - m_2}{2(m_1 + m_2)}) = \frac{m_2g(2m_1 + m_2)}{2(m_1 + m_2)}$.
વિકૃતિ (strain) $\text{Strain} = \frac{\text{Stress}}{Y} = \frac{T}{AY}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$T$ ની કિંમત મૂકતા: $\text{Strain} = \frac{m_2g(2m_1 + m_2)}{2AY(m_1 + m_2)}$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(B) યંગ મોડ્યુલસની વ્યાખ્યા $Y = \frac{F \cdot L}{A \cdot \Delta L}$ છે,જ્યાં $F$ એ બળ છે,$L$ એ મૂળ લંબાઈ છે,$A$ એ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે અને $\Delta L$ એ લંબાઈમાં થતો ફેરફાર છે.
બળ માટે સૂત્રને ગોઠવતા,આપણને $F = \frac{Y \cdot A \cdot \Delta L}{L}$ મળે છે.
સ્ટીલની રીંગનો મૂળ પરિઘ $L = 2 \pi r$ છે.
તકતી પર બેસાડ્યા પછીનો અંતિમ પરિઘ $2 \pi R$ છે.
લંબાઈમાં થતો ફેરફાર $\Delta L = 2 \pi R - 2 \pi r = 2 \pi (R - r)$ છે.
આ કિંમતોને બળના સમીકરણમાં મૂકતા:
$F = \frac{Y \cdot A \cdot 2 \pi (R - r)}{2 \pi r} = \frac{YA(R - r)}{r}$.

(B) છતથી $y$ અંતરે $dy$ લંબાઈનો એક નાનો ઘટક ધ્યાનમાં લો.
આ ઘટકની નીચેના સળિયાના ભાગનું દળ (લંબાઈ $L-y$) $m' = \frac{m}{L}(L-y)$ છે.
આ વિભાગ પરનું તણાવ બળ $T$ તેની નીચેના ભાગના વજન જેટલું છે: $T = m'g = \frac{mg}{L}(L-y)$.
નાના ઘટક $dy$ માં થતો લંબાઈનો વધારો $d\Delta L = \frac{T dy}{AY} = \frac{mg(L-y)dy}{LAY}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કુલ લંબાઈમાં વધારો $\Delta L$ શોધવા માટે,$y=0$ થી $y=L$ સુધી સંકલન કરો:
$\Delta L = \int_{0}^{L} \frac{mg(L-y)}{LAY} dy = \frac{mg}{LAY} \left[ Ly - \frac{y^2}{2} \right]_{0}^{L} = \frac{mg}{LAY} \left( L^2 - \frac{L^2}{2} \right) = \frac{mgL}{2AY}$.

(A) બે દ્રઢ આધાર વચ્ચે જડિત સળિયામાં ઉદ્ભવતું ઉષ્મીય પ્રતિબળ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\text{પ્રતિબળ} = Y \alpha \Delta T$.
અહીં,$Y = 1.2 \times 10^{11}\,N/m^2$ એ યંગ મોડ્યુલસ છે.
$\alpha = 1.1 \times 10^{-5}/\,^oC$ એ રેખીય પ્રસરણાંક છે.
$\Delta T = T_f - T_i = 10\,^oC - 20\,^oC = -10\,^oC$.
તાપમાનમાં ફેરફારનું મૂલ્ય $|\Delta T| = 10\,^oC$ છે.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$\text{પ્રતિબળ} = (1.2 \times 10^{11}) \times (1.1 \times 10^{-5}) \times 10$
$\text{પ્રતિબળ} = 1.32 \times 10^{11} \times 10^{-4} = 1.32 \times 10^7\,N/m^2$.

(A) યંગ મોડ્યુલસ $Y$ નું સૂત્ર $Y = \frac{F/A}{\Delta \ell / \ell}$ છે.
લંબાઈમાં થતા વધારા $\Delta \ell$ માટે સૂત્ર $\Delta \ell = \frac{F \ell}{AY}$ થાય.
ક્ષેત્રફળ $A = \pi (d/2)^2 = \frac{\pi d^2}{4}$ હોવાથી,$\Delta \ell = \frac{4F \ell}{\pi d^2 Y}$ મળે.
અહીં $F$ અને $Y$ અચળ હોવાથી,$\Delta \ell \propto \frac{\ell}{d^2}$.
વિકલ્પ $A$ માટે: $\frac{\ell}{d^2} = \frac{50}{(0.5)^2} = 200$.
વિકલ્પ $B$ માટે: $\frac{\ell}{d^2} = \frac{100}{(1)^2} = 100$.
વિકલ્પ $C$ માટે: $\frac{\ell}{d^2} = \frac{200}{(2)^2} = 50$.
વિકલ્પ $D$ માટે: $\frac{\ell}{d^2} = \frac{300}{(3)^2} \approx 33.3$.
આમ,વિકલ્પ $A$ માટે ગુણોત્તર સૌથી વધુ હોવાથી તેમાં લંબાઈમાં વધારો સૌથી વધુ થશે.

(C) યંગ મોડ્યુલસ $Y$ ને $Y = \frac{F/A}{\Delta l/l}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે,જ્યાં $A$ એ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે અને $\Delta l$ એ વિસ્તરણ છે.
વિસ્તરણ $\Delta l$ માટે સૂત્રને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને $\Delta l = \frac{F l}{A Y}$ મળે છે.
કદ $V = A l$ અચળ હોવાથી,આપણે $A = V/l$ લખી શકીએ છીએ.
$A$ ની કિંમત વિસ્તરણના સૂત્રમાં મૂકતા: $\Delta l = \frac{F l}{(V/l) Y} = \frac{F l^2}{V Y}$.
અહીં $F$,$V$ અને $Y$ અચળ હોવાથી,વિસ્તરણ $\Delta l$ એ $l^2$ ના સમપ્રમાણમાં છે.

(A) યંગ મોડ્યુલસ $(Y)$ ને રેખીય પ્રતિબળ અને રેખીય વિકૃતિના ગુણોત્તર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે:
$Y = \frac{\text{Stress}}{\text{Strain}} = \frac{F/A}{\Delta L/L}$
બળ $(F)$ માટે સૂત્રને ફરીથી ગોઠવતા:
$F = \left( \frac{YA}{L} \right) \Delta L$
સ્પ્રિંગ માટે હૂકના નિયમ મુજબ,પુનઃસ્થાપક બળ નીચે મુજબ છે:
$F = K \Delta L$
આ બંને સમીકરણોની સરખામણી કરતા,આપણને મળે છે:
$K = \frac{YA}{L}$

(C) યંગ મોડ્યુલસ $Y$ એ સ્ટ્રેસ અને સ્ટ્રેઈનનો ગુણોત્તર છે,જે સ્ટ્રેસ-સ્ટ્રેઈન આલેખના ઢાળ (slope) ને અનુરૂપ છે.
$Y = \frac{\text{Stress}}{\text{Strain}} = \tan \theta$
પદાર્થ $A$ માટે,સ્ટ્રેઈન અક્ષ સાથેનો ખૂણો $\theta_A = 30^\circ$ છે. તેથી,$Y_A = \tan 30^\circ = \frac{1}{\sqrt{3}}$.
પદાર્થ $B$ માટે,સ્ટ્રેઈન અક્ષ સાથેનો ખૂણો $\theta_B = 60^\circ$ છે. તેથી,$Y_B = \tan 60^\circ = \sqrt{3}$.
બંને મોડ્યુલસનો ગુણોત્તર લેતા:
$\frac{Y_B}{Y_A} = \frac{\sqrt{3}}{1/\sqrt{3}} = \sqrt{3} \times \sqrt{3} = 3$
આમ,$Y_B = 3Y_A$.

(C) વિસ્તરણ માટેનું સૂત્ર $\Delta L = \frac{FL}{YA}$ છે.
અહીં,તાંબાના તાર માટે:
$F = 100 \, N$
$L = 6 \, m$
$Y = 1 \times 10^{11} \, N/m^2$
$A = 10^{-5} \, m^2$
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$\Delta L = \frac{100 \times 6}{1 \times 10^{11} \times 10^{-5}}$
$\Delta L = \frac{600}{10^6} = 600 \times 10^{-6} \, m$
$\Delta L = 0.6 \times 10^{-3} \, m = 0.6 \, mm$.

(D) તાર સમાન છે,તેથી તેનું વજન તેની લંબાઈ $L$ પર સમાન રીતે વહેંચાયેલું છે.
તારના એકમ લંબાઈ દીઠ વજન $w = W/L$ છે.
નીચેના છેડેથી $h = 3L/4$ ઊંચાઈએ,આ બિંદુની નીચે રહેલા તારની લંબાઈ $3L/4$ છે.
તારના આ ભાગનું વજન $W_{segment} = w \times (3L/4) = (W/L) \times (3L/4) = \frac{3}{4}W$ થાય.
આ આડછેદ પર લાગતું કુલ બળ એ તેની નીચેના ભાગનું વજન અને લટકાવેલ વજન $W_1$ નો સરવાળો છે.
કુલ બળ $F = \frac{3}{4}W + W_1$.
પ્રતિબળ એટલે એકમ ક્ષેત્રફળ દીઠ લાગતું બળ,તેથી $\text{Stress} = \frac{F}{A} = \frac{\frac{3}{4}W + W_1}{A}$.

(A) યંગ મોડ્યુલસ $(Y)$ એ સ્થિતિસ્થાપક મર્યાદામાં રેખીય પ્રતિબળ અને રેખીય વિકૃતિના ગુણોત્તર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
ગાણિતિક રીતે,$Y = \frac{\text{Stress}}{\text{Strain}} = \frac{F/A}{\Delta L/L}$.
યંગ મોડ્યુલસ એ પદાર્થનો આંતરિક ગુણધર્મ છે,જેનો અર્થ છે કે તે સંપૂર્ણપણે પદાર્થની પ્રકૃતિ (પરમાણુ બંધારણ અને બંધન) પર આધાર રાખે છે.
તે પદાર્થના પરિમાણો (આકાર અને કદ) અથવા તેના પર લાગતા બાહ્ય બળ પર આધાર રાખતું નથી,જ્યાં સુધી પદાર્થ તેની સ્થિતિસ્થાપક મર્યાદામાં રહે છે.

(C) તારની લંબાઈમાં થતા ફેરફાર (લંબાઈમાં વધારો) $\Delta l$ માટેનું સૂત્ર $\Delta l = \frac{Fl}{AY}$ છે,જ્યાં $F$ એ લગાડેલું બળ છે,$l$ એ મૂળ લંબાઈ છે,$A$ એ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે અને $Y$ એ યંગ મોડ્યુલસ છે.
તાર સમાન દ્રવ્યના હોવાથી $Y$ અચળ છે. આપેલ છે કે બંને પર સમાન બળ $F$ લગાડવામાં આવે છે,તેથી $\Delta l \propto \frac{l}{A}$.
ક્ષેત્રફળ $A = \pi r^2$ હોવાથી,આપણે લખી શકીએ $\Delta l \propto \frac{l}{r^2}$.
તેથી,લંબાઈમાં થતા વધારાનો ગુણોત્તર $\frac{\Delta l_1}{\Delta l_2} = \left( \frac{l_1}{l_2} \right) \times \left( \frac{r_2}{r_1} \right)^2$ થશે.
અહીં $\frac{l_1}{l_2} = \frac{1}{2}$ અને $\frac{r_1}{r_2} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ હોવાથી,$\frac{r_2}{r_1} = \sqrt{2}$ મળે.
આ કિંમતો મૂકતા: $\frac{\Delta l_1}{\Delta l_2} = \left( \frac{1}{2} \right) \times (\sqrt{2})^2 = \frac{1}{2} \times 2 = 1$.
આમ,ગુણોત્તર $1 : 1$ છે.

(A) આલેખ પરથી,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે ભારમાં ફેરફાર $\Delta W = (40 - 20) \, N = 20 \, N$ માટે,વિસ્તારમાં ફેરફાર $\Delta(\Delta l) = (2 - 1) \times 10^{-4} \, m = 10^{-4} \, m$ છે.
યંગ મોડ્યુલસ $Y$ નું સૂત્ર $Y = \frac{\text{Stress}}{\text{Strain}} = \frac{F/A}{\Delta l/l} = \frac{F \cdot l}{A \cdot \Delta l}$ છે.
આલેખના ઢાળનો ઉપયોગ કરતા,$\frac{\Delta l}{F} = \frac{10^{-4} \, m}{20 \, N} = 0.05 \times 10^{-4} \, m/N = 5 \times 10^{-6} \, m/N$.
અહીં $l = 1 \, m$ અને $A = 10^{-6} \, m^2$ આપેલ છે,તેથી:
$Y = \frac{l}{A} \cdot \frac{F}{\Delta l} = \frac{1}{10^{-6}} \cdot \frac{1}{5 \times 10^{-6}} = \frac{10^6}{5 \times 10^{-6}} = 0.2 \times 10^{12} \, N/m^2 = 2 \times 10^{11} \, N/m^2$.

(D) યંગ મોડ્યુલસ $(Y)$ નું સૂત્ર $Y = \frac{F \cdot L}{A \cdot \Delta L}$ છે,જ્યાં $F$ એ લાગુ પાડવામાં આવેલ બળ છે,$L$ એ મૂળ લંબાઈ છે,$A$ એ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે અને $\Delta L$ એ વિસ્તરણ છે.
બંને તાર સમાન દ્રવ્યના હોવાથી તેમનો યંગ મોડ્યુલસ $(Y)$ સમાન છે. વળી,બંને તાર માટે લાગુ પાડવામાં આવેલ ભાર $(F)$ અને મૂળ લંબાઈ $(L)$ સમાન છે.
તેથી,$A_1 \cdot \Delta L_1 = A_2 \cdot \Delta L_2$.
આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $A = \pi r^2$ છે,જ્યાં $r$ એ ત્રિજ્યા છે.
આમ,$r_1^2 \cdot \Delta L_1 = r_2^2 \cdot \Delta L_2$.
આપેલ છે કે બીજા તારનો વ્યાસ પહેલા તાર કરતા બમણો છે,એટલે કે $d_2 = 2d_1$,જેનો અર્થ છે કે $r_2 = 2r_1$.
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા: $r_1^2 \cdot \Delta L_1 = (2r_1)^2 \cdot \Delta L_2$.
$r_1^2 \cdot \Delta L_1 = 4r_1^2 \cdot \Delta L_2$.
$\frac{\Delta L_1}{\Delta L_2} = \frac{4}{1}$.
તેથી,વિસ્તરણનો ગુણોત્તર $4 : 1$ છે.

(C) આપેલ છે:
સળિયાની લંબાઈ,$L = 2 \, m$
આડછેદનું ક્ષેત્રફળ,$A = 50 \, mm^2 = 50 \times 10^{-6} \, m^2$
લંબાઈમાં ફેરફાર,$\Delta L = 0.5 \, mm = 0.5 \times 10^{-3} \, m$
દળ,$M = 250 \, kg$
બળ,$F = Mg = 250 \times 9.8 = 2450 \, N$
યંગ મોડ્યુલસ $(Y)$ નું સૂત્ર:
$Y = \frac{\text{Stress}}{\text{Strain}} = \frac{F/A}{\Delta L/L} = \frac{F \cdot L}{A \cdot \Delta L}$
કિંમતો મૂકતા:
$Y = \frac{2450 \times 2}{(50 \times 10^{-6}) \times (0.5 \times 10^{-3})}$
$Y = \frac{4900}{25 \times 10^{-9}}$
$Y = \frac{4900}{25} \times 10^9$
$Y = 196 \times 10^9 = 19.6 \times 10^{10} \, N/m^2$

(N/A) આપેલ છે: ત્રિજ્યા $r = 10 \;mm = 10^{-2} \;m$,લંબાઈ $L = 1.0 \;m$,બળ $F = 100 \;kN = 10^5 \;N$,યંગ મોડ્યુલસ $Y = 2.0 \times 10^{11} \;N \;m^{-2}$.
$(a)$ પ્રતિબળ: $\text{પ્રતિબળ} = \frac{F}{A} = \frac{F}{\pi r^2} = \frac{10^5 \;N}{3.14 \times (10^{-2} \;m)^2} = \frac{10^5}{3.14 \times 10^{-4}} \approx 3.18 \times 10^8 \;N \;m^{-2}$.
$(b)$ લંબાઈમાં વધારો: $\Delta L = \frac{FL}{AY}$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$\Delta L = \frac{\text{પ્રતિબળ} \times L}{Y} = \frac{3.18 \times 10^8 \;N \;m^{-2} \times 1.0 \;m}{2.0 \times 10^{11} \;N \;m^{-2}} = 1.59 \times 10^{-3} \;m = 1.59 \;mm$.
$(c)$ વિકૃતિ: $\text{વિકૃતિ} = \frac{\Delta L}{L} = \frac{1.59 \times 10^{-3} \;m}{1.0 \;m} = 1.59 \times 10^{-3} = 0.159 \% \approx 0.16 \%$.

(B) તાંબા અને સ્ટીલના તાર સમાન તણાવ બળ $W$ હેઠળ છે અને બંનેનું આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $A = \pi r^2$ સમાન છે,જ્યાં $r = 1.5 \times 10^{-3} \; m$ છે.
યંગ મોડ્યુલસના સૂત્ર $Y = \frac{W L}{A \Delta L}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે $\Delta L = \frac{W L}{A Y}$.
કુલ લંબાઈમાં વધારો $\Delta L_{total} = \Delta L_c + \Delta L_s = \frac{W L_c}{A Y_c} + \frac{W L_s}{A Y_s} = \frac{W}{A} \left( \frac{L_c}{Y_c} + \frac{L_s}{Y_s} \right)$.
આપેલ છે: $L_c = 2.2 \; m$,$L_s = 1.6 \; m$,$Y_c = 1.1 \times 10^{11} \; N/m^2$,$Y_s = 2.0 \times 10^{11} \; N/m^2$,અને $\Delta L_{total} = 0.70 \times 10^{-3} \; m$.
$A = \pi (1.5 \times 10^{-3})^2 \approx 7.068 \times 10^{-6} \; m^2$.
કિંમતો મૂકતા: $0.70 \times 10^{-3} = \frac{W}{7.068 \times 10^{-6}} \left( \frac{2.2}{1.1 \times 10^{11}} + \frac{1.6}{2.0 \times 10^{11}} \right)$.
$0.70 \times 10^{-3} = \frac{W}{7.068 \times 10^{-6}} \left( 2.0 \times 10^{-11} + 0.8 \times 10^{-11} \right) = \frac{W \times 2.8 \times 10^{-11}}{7.068 \times 10^{-6}}$.
$W = \frac{0.70 \times 10^{-3} \times 7.068 \times 10^{-6}}{2.8 \times 10^{-11}} = 176.7 \; N \approx 180 \; N$.

(N/A) તમામ કલાકારો,ટેબલ,પ્લેક વગેરેનું કુલ દળ $= 280 \; kg$.
તળિયે રહેલા કલાકારનું દળ $= 60 \; kg$.
પિરામિડના તળિયે કલાકારના પગ દ્વારા ટેકો આપવામાં આવતું દળ $= 280 \; kg - 60 \; kg = 220 \; kg$.
આ ટેકો આપેલા દળનું વજન $F = 220 \; kg \times 9.8 \; m/s^2 = 2156 \; N$.
કલાકારના દરેક સાથળના હાડકા દ્વારા ટેકો આપવામાં આવતું વજન $= \frac{1}{2} \times 2156 \; N = 1078 \; N$.
હાડકા માટે યંગ મોડ્યુલસ $Y = 9.4 \times 10^9 \; N/m^2$.
દરેક સાથળના હાડકાની લંબાઈ $L = 50 \; cm = 0.5 \; m$.
સાથળના હાડકાની ત્રિજ્યા $r = 2.0 \; cm = 2.0 \times 10^{-2} \; m$.
સાથળના હાડકાનું આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $A = \pi r^2 = \pi \times (2.0 \times 10^{-2})^2 \; m^2 \approx 1.26 \times 10^{-3} \; m^2$.
દરેક સાથળના હાડકામાં સંકોચન $(\Delta L)$ નીચે મુજબ મળે છે: $\Delta L = \frac{F \times L}{Y \times A}$.
કિંમતો મૂકતા: $\Delta L = \frac{1078 \times 0.5}{9.4 \times 10^9 \times 1.26 \times 10^{-3}} \; m$.
$\Delta L \approx 4.55 \times 10^{-5} \; m = 4.55 \times 10^{-3} \; cm$.

(1.79:1) આપેલ છે:
સ્ટીલના તારની લંબાઈ,$L_{1} = 4.7\; m$
સ્ટીલના તારનું આડછેદનું ક્ષેત્રફળ,$A_{1} = 3.0 \times 10^{-5}\; m^{2}$
તાંબાના તારની લંબાઈ,$L_{2} = 3.5\; m$
તાંબાના તારનું આડછેદનું ક્ષેત્રફળ,$A_{2} = 4.0 \times 10^{-5}\; m^{2}$
બંને તારમાં લંબાઈમાં થતો ફેરફાર સમાન છે,$\Delta L_{1} = \Delta L_{2} = \Delta L$
બંને કિસ્સામાં લાગુ પાડવામાં આવેલ બળ સમાન છે,$F_{1} = F_{2} = F$
યંગ મોડ્યુલસ $Y$ નું સૂત્ર $Y = \frac{F \cdot L}{A \cdot \Delta L}$ છે.
સ્ટીલના તાર માટે:
$Y_{1} = \frac{F \cdot L_{1}}{A_{1} \cdot \Delta L} = \frac{F \cdot 4.7}{3.0 \times 10^{-5} \cdot \Delta L} \quad \dots(i)$
તાંબાના તાર માટે:
$Y_{2} = \frac{F \cdot L_{2}}{A_{2} \cdot \Delta L} = \frac{F \cdot 3.5}{4.0 \times 10^{-5} \cdot \Delta L} \quad \dots(ii)$
સમીકરણ $(i)$ ને $(ii)$ વડે ભાગતા:
$\frac{Y_{1}}{Y_{2}} = \frac{F \cdot 4.7}{3.0 \times 10^{-5} \cdot \Delta L} \times \frac{4.0 \times 10^{-5} \cdot \Delta L}{F \cdot 3.5}$
$\frac{Y_{1}}{Y_{2}} = \frac{4.7 \times 4.0}{3.0 \times 3.5} = \frac{18.8}{10.5} \approx 1.79$
સ્ટીલ અને તાંબાના યંગ મોડ્યુલસનો ગુણોત્તર $1.79:1$ છે.

(N/A) આપેલ છે:
તારનો વ્યાસ,$d = 0.25 \; cm = 0.25 \times 10^{-2} \; m$
તારની ત્રિજ્યા,$r = d/2 = 0.125 \times 10^{-2} \; m$
સ્ટીલના તારની લંબાઈ,$L_s = 1.5 \; m$
પિત્તળના તારની લંબાઈ,$L_b = 1.0 \; m$
સ્ટીલનો યંગ મોડ્યુલસ,$Y_s = 2.0 \times 10^{11} \; Pa$
પિત્તળનો યંગ મોડ્યુલસ,$Y_b = 0.91 \times 10^{11} \; Pa$
$1$. સ્ટીલના તાર માટે:
સ્ટીલનો તાર $4.0 \; kg$ અને $6.0 \; kg$ બંને દળને આધાર આપે છે.
કુલ બળ,$F_s = (4.0 + 6.0) \times 9.8 = 98 \; N$
લંબાઈમાં વધારો,$\Delta L_s = \frac{F_s L_s}{A Y_s} = \frac{F_s L_s}{\pi r^2 Y_s}$
$\Delta L_s = \frac{98 \times 1.5}{\pi \times (0.125 \times 10^{-2})^2 \times 2.0 \times 10^{11}} \approx 1.49 \times 10^{-4} \; m$
$2$. પિત્તળના તાર માટે:
પિત્તળનો તાર માત્ર $6.0 \; kg$ દળને આધાર આપે છે.
કુલ બળ,$F_b = 6.0 \times 9.8 = 58.8 \; N$
લંબાઈમાં વધારો,$\Delta L_b = \frac{F_b L_b}{A Y_b} = \frac{F_b L_b}{\pi r^2 Y_b}$
$\Delta L_b = \frac{58.8 \times 1.0}{\pi \times (0.125 \times 10^{-2})^2 \times 0.91 \times 10^{11}} \approx 1.3 \times 10^{-4} \; m$

(D) કુલ દળ $M = 50,000 \; kg$. કુલ બળ $F_{total} = Mg = 50,000 \times 9.8 = 490,000 \; N$.
અહીં $4$ સ્તંભો હોવાથી,દરેક સ્તંભ પર લાગતું બળ $F = \frac{490,000}{4} = 122,500 \; N$ છે.
દરેક પોલા સ્તંભના આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $A = \pi(R^2 - r^2)$ છે,જ્યાં $R = 0.6 \; m$ અને $r = 0.3 \; m$.
$A = \pi(0.6^2 - 0.3^2) = \pi(0.36 - 0.09) = 0.27\pi \; m^2$.
દરેક સ્તંભ પરનું પ્રતિબળ $\sigma = \frac{F}{A} = \frac{122,500}{0.27\pi} \; Pa$ છે.
યંગ મોડ્યુલસ $Y = \frac{\text{પ્રતિબળ}}{\text{વિકૃતિ}}$ નો ઉપયોગ કરતા,વિકૃતિ $\epsilon = \frac{\sigma}{Y}$ મળે.
$Y = 2.0 \times 10^{11} \; Pa$ આપેલ છે,તેથી $\epsilon = \frac{122,500}{0.27 \times \pi \times 2.0 \times 10^{11}}$.
$\epsilon = \frac{122,500}{1.69646 \times 10^{11}} \approx 7.22 \times 10^{-7}$.

(A) આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $A = 15.2 \times 10^{-3} \; m \times 19.1 \times 10^{-3} \; m = 2.9032 \times 10^{-4} \; m^2 \approx 2.9 \times 10^{-4} \; m^2$ છે.
લાગતું તણાવ બળ $F = 44,500 \; N$ છે.
તાંબાનો સ્થિતિસ્થાપકતા અંક $\eta = 42 \times 10^9 \; N/m^2$ આપેલ છે.
સ્ટ્રેસ (પ્રતિબળ) $\sigma = \frac{F}{A} = \frac{44,500}{2.9 \times 10^{-4}} \approx 1.534 \times 10^8 \; N/m^2$.
વિકૃતિ (strain) $\epsilon = \frac{\sigma}{\eta} = \frac{1.534 \times 10^8}{42 \times 10^9} \approx 3.65 \times 10^{-3}$.

(A) દરેક તાર પર લાગતું તણાવ બળ $F$ સમાન છે. તારની લંબાઈ $L$ સમાન હોવાથી,દરેક કિસ્સામાં લંબાઈમાં થતો વધારો $\Delta L$ સમાન છે. તેથી,વિકૃતિ $\epsilon = \frac{\Delta L}{L}$ બધા તાર માટે સમાન છે.
યંગ મોડ્યુલસની વ્યાખ્યા $Y = \frac{\text{Stress}}{\text{Strain}} = \frac{F/A}{\epsilon}$ પરથી,આપણને $A = \frac{F}{Y \epsilon}$ મળે છે.
અહીં $F$ અને $\epsilon$ અચળ હોવાથી,$A \propto \frac{1}{Y}$ થાય.
વર્તુળાકાર તારનું ક્ષેત્રફળ $A = \frac{\pi d^2}{4}$ હોવાથી,$d^2 \propto \frac{1}{Y}$ અથવા $d \propto \frac{1}{\sqrt{Y}}$ થાય.
તેથી,તાંબાના તારના વ્યાસ $(d_c)$ અને લોખંડના તારના વ્યાસ $(d_i)$ નો ગુણોત્તર $\frac{d_c}{d_i} = \sqrt{\frac{Y_i}{Y_c}}$ થશે.
અહીં $Y_i = 190 \times 10^9 \; Pa$ અને $Y_c = 110 \times 10^9 \; Pa$ આપેલ છે,તેથી:
$\frac{d_c}{d_i} = \sqrt{\frac{190 \times 10^9}{110 \times 10^9}} = \sqrt{\frac{19}{11}} \approx 1.31$.
આમ,તેમના વ્યાસનો ગુણોત્તર $1.31:1$ છે.

(D) ધારો કે સૌથી નીચલા બિંદુએ તારમાં થતો વધારો $\Delta l$ છે.
સૌથી નીચલા બિંદુએ,તાર પર લાગતું કુલ બળ $F$ એ ગુરુત્વાકર્ષણ બળ અને કેન્દ્રગામી બળનો સરવાળો છે:
$F = mg + ml\omega^2$
આપેલ છે: $m = 14.5\; kg$,$l = 1.0\; m$,$\omega = 2\; rev/s$ (અહીં ગણતરી માટે $\omega = 2\; rad/s$ લેતા).
$F = 14.5 \times 9.8 + 14.5 \times 1.0 \times (2)^2 = 142.1 + 58 = 200.1\; N$.
યંગ મોડ્યુલસ $Y = \frac{F/A}{\Delta l/l}$ પરથી,$\Delta l = \frac{Fl}{AY}$.
સ્ટીલ માટે $Y = 2 \times 10^{11}\; Pa$ અને $A = 0.065 \times 10^{-4}\; m^2$.
$\Delta l = \frac{200.1 \times 1.0}{0.065 \times 10^{-4} \times 2 \times 10^{11}} = 1.539 \times 10^{-4}\; m$.

(0.0106 M) સ્ટીલના તારની લંબાઈ $L = 1.0 \; m$.
આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $A = 0.50 \times 10^{-2} \; cm^{2} = 0.50 \times 10^{-6} \; m^{2}$.
દળ $m = 100 \; g = 0.1 \; kg$.
ધારો કે મધ્યબિંદુએ થતું નમન $l$ છે. તાર મૂળ સમક્ષિતિજ સ્થિતિ સાથે ત્રિકોણ બનાવે છે. તારના દરેક અડધા ભાગની નવી લંબાઈ $\sqrt{(L/2)^2 + l^2}$ થાય.
લંબાઈમાં વધારો $\Delta L = 2 \sqrt{(L/2)^2 + l^2} - L = 2(L/2) [1 + (l/(L/2))^2]^{1/2} - L \approx L(1 + l^2/(L/2)^2) - L = 2l^2/L$.
વિકૃતિ (Strain) $= \Delta L / L = 2l^2/L^2$.
મધ્યબિંદુએ બળ સંતુલન પરથી,$mg = 2T \sin \theta$,જ્યાં $\sin \theta = l / \sqrt{(L/2)^2 + l^2} \approx l / (L/2) = 2l/L$.
તેથી,$mg = 2T (2l/L) \implies T = mgL / 4l$.
પ્રતિબળ (Stress) $= T/A = mgL / (4lA)$.
યંગ મોડ્યુલસ $Y = \text{પ્રતિબળ} / \text{વિકૃતિ} = (mgL / 4lA) / (2l^2/L^2) = mgL^3 / (8Al^3)$.
$l^3 = mgL^3 / (8AY) \implies l = L \sqrt[3]{mg / (8AY)}$.
$Y = 2 \times 10^{11} \; Pa$ લેતા,$l = 1.0 \times \sqrt[3]{(0.1 \times 9.8) / (8 \times 0.50 \times 10^{-6} \times 2 \times 10^{11})} = \sqrt[3]{0.98 / 800000} \approx 0.0106 \; m$.

(N/A) સ્થિતિસ્થાપકતાના મોડ્યુલસ $(Y)$ ને સ્ટ્રેસ (પ્રતિબળ) અને સ્ટ્રેઈન (વિકૃતિ) ના ગુણોત્તર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
$Y = \frac{\text{Stress}}{\text{Strain}}$
વિકૃતિ એ પરિમાણરહિત રાશિ હોવાથી (પરિમાણમાં ફેરફાર અને મૂળ પરિમાણનો ગુણોત્તર),સ્થિતિસ્થાપકતાના મોડ્યુલસનો એકમ અને પરિમાણ એ સ્ટ્રેસ (પ્રતિબળ) ના એકમ અને પરિમાણ સમાન હોય છે.
સ્ટ્રેસને એકમ ક્ષેત્રફળ દીઠ બળ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે: $\text{Stress} = \frac{F}{A}$.
બળનો $SI$ એકમ ન્યૂટન $(N)$ છે અને ક્ષેત્રફળનો $SI$ એકમ ચોરસ મીટર $(m^2)$ છે.
તેથી,સ્થિતિસ્થાપકતાના મોડ્યુલસનો $SI$ એકમ $N/m^2$ અથવા પાસ્કલ $(Pa)$ છે.
બળનું પારિમાણિક સૂત્ર $[M^1 L^1 T^{-2}]$ છે અને ક્ષેત્રફળનું $[L^2]$ છે.
આમ,સ્થિતિસ્થાપકતાના મોડ્યુલસનું પારિમાણિક સૂત્ર $\frac{[M^1 L^1 T^{-2}]}{[L^2]} = [M^1 L^{-1} T^{-2}]$ થાય છે.

(A) પ્રારંભિક તાપમાન $T_{1} = 27\;^{\circ}C$. અંતિમ તાપમાન $T_{2} = -39\;^{\circ}C$. તાપમાનમાં ફેરફાર $\Delta T = T_{2} - T_{1} = -39 - 27 = -66\;^{\circ}C$ (અથવા $K$).
લંબાઈ $L = 1.8\; m$. વ્યાસ $d = 2.0 \times 10^{-3}\; m$. ત્રિજ્યા $r = 1.0 \times 10^{-3}\; m$.
આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $A = \pi r^{2} = 3.14 \times (1.0 \times 10^{-3})^{2} = 3.14 \times 10^{-6}\; m^{2}$.
ઉષ્મીય વિકૃતિ $\frac{\Delta L}{L} = \alpha \Delta T$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
હૂકના નિયમ મુજબ,$Y = \frac{\text{Stress}}{\text{Strain}} = \frac{F/A}{\Delta L/L}$.
તેથી,$F = Y A \alpha \Delta T$.
કિંમતો મૂકતા:
$F = (0.91 \times 10^{11}) \times (3.14 \times 10^{-6}) \times (2.0 \times 10^{-5}) \times (-66)$.
$F = 0.91 \times 3.14 \times 2.0 \times 66 \times 10^{11-6-5} = 5.71228 \times 66 \approx 377\; N$.
ઉદ્ભવતા તણાવનું મૂલ્ય આશરે $3.8 \times 10^{2}\; N$ છે.

(N/A) પ્રાયોગિક અવલોકનો દર્શાવે છે કે આપેલ પદાર્થ માટે,તણાવ (tensile) હોય કે દબાણ (compressive),ઉત્પન્ન થતી વિકૃતિનું મૂલ્ય સમાન હોય છે.
તણાવ (અથવા દબાણ) પ્રતિબળ $(\sigma)$ અને સંગત વિકૃતિ $(\varepsilon)$ ના ગુણોત્તરને યંગ મોડ્યુલસ કહેવામાં આવે છે અને તેને $Y$ સંજ્ઞા વડે દર્શાવવામાં આવે છે.
$\text{યંગ મોડ્યુલસ} = \frac{\text{તણાવ પ્રતિબળ } (\sigma)}{\text{સંગત વિકૃતિ } (\varepsilon)}$
$Y = \frac{\sigma}{\varepsilon}$
$\therefore Y = \frac{(F / A)}{(\Delta L / L)} = \frac{(F \times L)}{(A \times \Delta L)}$
વિકૃતિ એ પરિમાણરહિત રાશિ હોવાથી,યંગ મોડ્યુલસનો એકમ પ્રતિબળના એકમ જેવો જ એટલે કે $N \ m^{-2}$ અથવા પાસ્કલ $(Pa)$ થાય છે.
પારિમાણિક સૂત્ર: $[M^1 L^{-1} T^{-2}]$.
કેટલાક પદાર્થોના યંગ મોડ્યુલસ,સ્થિતિસ્થાપક મર્યાદા અને તણાવ મજબૂતી નીચે મુજબ છે:
(કોષ્ટક ઉપર મુજબ જ રહેશે)
ધાતુઓ માટે યંગ મોડ્યુલસનું મૂલ્ય મોટું હોય છે,તેથી આ પદાર્થોમાં લંબાઈમાં નાનો ફેરફાર કરવા માટે મોટા બળની જરૂર પડે છે.
સ્ટીલ એ તાંબા,પિત્તળ અને એલ્યુમિનિયમ કરતા વધુ સ્થિતિસ્થાપક છે. આ કારણોસર ભારે મશીનો અને માળખાકીય ડિઝાઇનમાં સ્ટીલને પ્રાધાન્ય આપવામાં આવે છે.
લાકડું,હાડકું,કોંક્રિટ અને કાચના યંગ મોડ્યુલસ પ્રમાણમાં નાના હોય છે.

(N/A) તારના દ્રવ્યનો યંગ મોડ્યુલસ નક્કી કરવા માટેની લાક્ષણિક પ્રાયોગિક ગોઠવણી આકૃતિમાં દર્શાવેલ છે.
તેમાં સમાન લંબાઈ અને સમાન ત્રિજ્યા ધરાવતા બે લાંબા સીધા તાર હોય છે,જેમને એક નિશ્ચિત દ્રઢ આધાર પરથી બાજુ-બાજુમાં લટકાવવામાં આવે છે.
તાર $A$ (સંદર્ભ તાર) પર એક મિલીમીટર મુખ્ય સ્કેલ $M$ અને વજન મૂકવા માટે એક પલ્લું હોય છે. સમાન આડછેદનું ક્ષેત્રફળ ધરાવતા તાર $B$ (પ્રાયોગિક તાર) પર પણ એક પલ્લું હોય છે જેમાં જાણીતા વજન મૂકી શકાય છે.
એક વર્નિયર સ્કેલ $V$ ને પ્રાયોગિક તાર $B$ ના નીચેના ભાગમાં એક પોઇન્ટર સાથે જોડવામાં આવે છે અને મુખ્ય સ્કેલ $M$ ને સંદર્ભ તાર $A$ સાથે જોડવામાં આવે છે.
પલ્લામાં મૂકવામાં આવેલા વજન નીચેની તરફ બળ લગાડે છે અને પ્રાયોગિક તારને તણાવ પ્રતિબળ હેઠળ ખેંચે છે. તારનું વિસ્તરણ વર્નિયર ગોઠવણી દ્વારા માપવામાં આવે છે. સંદર્ભ તારનો ઉપયોગ ઓરડાના તાપમાનમાં ફેરફારને કારણે લંબાઈમાં થતા કોઈપણ ફેરફારને સરભર કરવા માટે થાય છે; સંદર્ભ તારની લંબાઈમાં થતો કોઈપણ ફેરફાર પ્રાયોગિક તારમાં સમાન ફેરફાર સાથે જોવા મળશે.
તારને સીધા રાખવા માટે સંદર્ભ અને પ્રાયોગિક બંને તારને શરૂઆતમાં થોડો ભાર આપવામાં આવે છે અને વર્નિયરનું અવલોકન નોંધવામાં આવે છે.
હવે,પ્રાયોગિક તારને તણાવ પ્રતિબળ હેઠળ લાવવા માટે ધીમે ધીમે વધુ વજન ઉમેરવામાં આવે છે અને વર્નિયરનું અવલોકન ફરીથી નોંધવામાં આવે છે.
બે વર્નિયર અવલોકનો વચ્ચેનો તફાવત તારમાં ઉત્પન્ન થયેલ વિસ્તરણ આપે છે.
ધારો કે $r$ અને $L$ એ પ્રાયોગિક તારની પ્રારંભિક ત્રિજ્યા અને લંબાઈ છે,તો તારના આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $A = \pi r^2$ થશે. યંગ મોડ્યુલસ $Y$ ને $Y = \frac{FL}{A \Delta L}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $F$ એ લાગુ પાડવામાં આવેલ બળ $(mg)$ છે અને $\Delta L$ એ વિસ્તરણ છે.

(B) યંગ મોડ્યુલસ $(Y)$ એ ઘન પદાર્થની જડતાનું માપ છે. તે રેખીય પ્રતિબળ અને રેખીય વિકૃતિના ગુણોત્તર તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે.
સ્ટીલ માટે,યંગ મોડ્યુલસનું મૂલ્ય આશરે $2.0 \times 10^{11} \ N/m^2$ છે.
તાંબા માટે,યંગ મોડ્યુલસનું મૂલ્ય આશરે $1.1 \times 10^{11} \ N/m^2$ છે.
કારણ કે $2.0 \times 10^{11} > 1.1 \times 10^{11}$,તેથી સ્ટીલનો યંગ મોડ્યુલસ તાંબા કરતા વધારે છે.
આમ,સ્ટીલ એ તાંબા કરતા વધુ સ્થિતિસ્થાપક (વધુ જડ) છે.

(N/A) બેન્ડિંગ એ ટ્રાન્સવર્સ લોડ હેઠળ સ્ટ્રક્ચરલ તત્વ (જેમ કે બીમ) નું વિરૂપણ છે,જેના કારણે તે નીચે તરફ નમે છે.
અતિશય બેન્ડિંગને રોકવા માટે,આપણે $l$ લંબાઈ,$b$ પહોળાઈ અને $d$ ઊંડાઈ ધરાવતા બીમ માટેના ડિપ્રેશન (સેગ) ના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ છીએ,જે કેન્દ્રમાં $W$ વજન સાથે લોડ થયેલ છે: $\delta = \frac{W l^3}{4 b d^3 Y}$,જ્યાં $Y$ એ યંગ મોડ્યુલસ છે. બેન્ડિંગ $(\delta)$ ઘટાડવા માટે:
$1$. સપોર્ટ વચ્ચેની લંબાઈ $(l)$ ઘટાડવી જોઈએ.
$2$. બીમની ઊંડાઈ $(d)$ વધારવી જોઈએ (કારણ કે $\delta \propto 1/d^3$).
$3$. ઉચ્ચ યંગ મોડ્યુલસ $(Y)$ ધરાવતી સામગ્રીનો ઉપયોગ કરવો જોઈએ.
બકલિંગ એ સ્ટ્રક્ચરલ અસ્થિરતાનું એક સ્વરૂપ છે જે ત્યારે થાય છે જ્યારે લાંબા,પાતળા સ્તંભ (column) પર કોમ્પ્રેસિવ એક્સિયલ લોડ લાગુ કરવામાં આવે છે. ફક્ત દબાવવાને બદલે,સ્તંભ અચાનક વળી જાય છે અથવા બાજુ તરફ નમી જાય છે,જે સંભવિત સ્ટ્રક્ચરલ નિષ્ફળતા તરફ દોરી જાય છે.

(N/A) સળિયા (અથવા બીમ) ના વળાંક માટેનું સમીકરણ નીચે મુજબ છે: $M = \frac{Y I_g}{R}$,જ્યાં $M$ એ બેન્ડિંગ મોમેન્ટ છે,$Y$ એ પદાર્થનો યંગ મોડ્યુલસ છે,$I_g$ એ તટસ્થ અક્ષની સાપેક્ષમાં આડછેદની ભૌમિતિક જડત્વની ક્ષણ (geometrical moment of inertia) છે,અને $R$ એ તટસ્થ અક્ષની વક્રતા ત્રિજ્યા છે.
બેન્ડિંગ મોમેન્ટ $M$ એ બળ અને અંતરનો ગુણાકાર છે,તેથી તેનો $SI$ એકમ $N \cdot m$ (ન્યૂટન-મીટર) છે.
બેન્ડિંગ મોમેન્ટ માટેનું પારિમાણિક સૂત્ર $[M^1 L^2 T^{-2}]$ છે.

(B) સ્ટીલ એ રબર કરતા વધુ સ્થિતિસ્થાપક છે.
સ્થિતિસ્થાપકતા એ યંગ મોડ્યુલસ $(Y)$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે,જે પ્રતિબળ અને વિકૃતિનો ગુણોત્તર છે $(Y = \frac{\text{stress}}{\text{strain}})$.
આપેલ પ્રતિબળ માટે,સ્ટીલમાં ઉત્પન્ન થતી વિકૃતિ રબરમાં ઉત્પન્ન થતી વિકૃતિ કરતા ઘણી ઓછી હોય છે.
અચળ પ્રતિબળ માટે $Y$ એ વિકૃતિના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોવાથી,નાની વિકૃતિનો અર્થ એ છે કે યંગ મોડ્યુલસનું મૂલ્ય વધારે છે.
તેથી,રબરની તુલનામાં સમાન પ્રમાણમાં વિરૂપણ ઉત્પન્ન કરવા માટે સ્ટીલને વધુ બળની જરૂર પડે છે,જે તેને વધુ સ્થિતિસ્થાપક બનાવે છે.

(A) યંગ મોડ્યુલસ $(Y)$ એ પ્રતિબળ અને વિકૃતિનો ગુણોત્તર છે,જે $Y = \frac{F \cdot l}{A \cdot \Delta l}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સમાન લંબાઈ $(l)$ અને આડછેદના ક્ષેત્રફળ $(A)$ ધરાવતા સ્ટીલના તાર અને પ્લાસ્ટિકના તાર પર સમાન વિરૂપક બળ $(F)$ લગાડતા:
સ્ટીલ માટે: $Y_{S} = \frac{F \cdot l}{A \cdot \Delta l_{S}}$
પ્લાસ્ટિક માટે: $Y_{P} = \frac{F \cdot l}{A \cdot \Delta l_{P}}$
સમાન બળ માટે પ્લાસ્ટિકમાં સ્ટીલ કરતા વધુ લંબાઈમાં વધારો થાય છે,તેથી $\Delta l_{P} > \Delta l_{S}$.
ગુણોત્તર લેતા: $\frac{Y_{S}}{Y_{P}} = \frac{\Delta l_{P}}{\Delta l_{S}}$.
અહીં $\Delta l_{P} > \Delta l_{S}$ હોવાથી,$\frac{Y_{S}}{Y_{P}} > 1$ થાય,જેનો અર્થ છે કે $Y_{S} > Y_{P}$.
સ્થિતિસ્થાપકતા એ પદાર્થની વિરૂપણનો પ્રતિકાર કરવાની ક્ષમતા છે,જે યંગ મોડ્યુલસના સમપ્રમાણમાં હોય છે. તેથી,સ્ટીલ એ પ્લાસ્ટિક કરતા વધુ સ્થિતિસ્થાપક છે.

(B) ધારો કે મૂળ લંબાઈ $l$ છે અને આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $A$ છે. યંગ મોડ્યુલસ $Y$ નું સૂત્ર $Y = \frac{T}{A} \cdot \frac{l}{\Delta l}$ છે,જ્યાં $\Delta l$ એ લંબાઈમાં થતો ફેરફાર છે.
તણાવ $T_1$ માટે,લંબાઈ $l_1$ છે,તેથી $\Delta l_1 = l_1 - l$. આમ,$Y = \frac{T_1}{A} \cdot \frac{l}{l_1 - l}$.
તણાવ $T_2$ માટે,લંબાઈ $l_2$ છે,તેથી $\Delta l_2 = l_2 - l$. આમ,$Y = \frac{T_2}{A} \cdot \frac{l}{l_2 - l}$.
પદાર્થ સમાન હોવાથી,$Y$ અચળ રહેશે. બંને સમીકરણોને સરખાવતા:
$\frac{T_1}{A} \cdot \frac{l}{l_1 - l} = \frac{T_2}{A} \cdot \frac{l}{l_2 - l}$
$\frac{T_1}{l_1 - l} = \frac{T_2}{l_2 - l}$
$T_1(l_2 - l) = T_2(l_1 - l)$
$T_1 l_2 - T_1 l = T_2 l_1 - T_2 l$
$T_2 l - T_1 l = T_2 l_1 - T_1 l_2$
$l(T_2 - T_1) = T_2 l_1 - T_1 l_2$
$l = \frac{T_2 l_1 - T_1 l_2}{T_2 - T_1}$

(B) યંગ મોડ્યુલસ $(Y)$ ને સ્ટ્રેસ અને સ્ટ્રેઇનના ગુણોત્તર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે,$Y = \frac{\text{Stress}}{\text{Strain}}$.
જ્યારે ઘન પદાર્થનું તાપમાન વધે છે,ત્યારે આંતર-પરમાણ્વીય બંધો નબળા પડે છે,જેના કારણે આપેલ સ્ટ્રેસ માટે સ્ટ્રેઇનમાં વધારો થાય છે.
છેદમાં રહેલ સ્ટ્રેઇન તાપમાન સાથે વધતું હોવાથી,યંગ મોડ્યુલસ $(Y)$ નું મૂલ્ય ઘટે છે.
તેનાથી વિપરીત,જ્યારે તાપમાન ઘટે છે,ત્યારે આંતર-પરમાણ્વીય બંધો મજબૂત બને છે,જેના કારણે સ્ટ્રેઇન ઘટે છે,પરિણામે યંગ મોડ્યુલસ $(Y)$ માં વધારો થાય છે.

(D) સ્થિતિસ્થાપક સ્પ્રિંગનું વિસ્તરણ $\Delta l$ એ હૂકના નિયમ $F = k \Delta l$ દ્વારા નક્કી થાય છે,જ્યાં $k$ એ સ્પ્રિંગ અચળાંક છે.
$1$. $\Delta l = \frac{F}{k} = \frac{mg}{k}$,તેથી વિસ્તરણ એ લાગુ પાડેલા વજન $(mg)$ ના સમપ્રમાણમાં છે.
$2$. તાર માટે સ્પ્રિંગ અચળાંક $k = \frac{YA}{l}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $Y$ એ યંગ મોડ્યુલસ છે,$A$ એ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે અને $l$ એ મૂળ લંબાઈ છે.
$3$. વિસ્તરણના સૂત્રમાં $k$ ની કિંમત મૂકતા: $\Delta l = \frac{mg l}{YA}$.
$4$. આમ,$\Delta l$ એ વજન $(mg)$,મૂળ લંબાઈ $(l)$,આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $(A)$ અને દ્રવ્યના ગુણધર્મો ($Y$,જે સ્પ્રિંગનો પ્રકાર નક્કી કરે છે) પર આધાર રાખે છે.

(B) ભાર $F$ હેઠળ તારનું વિસ્તરણ $\Delta l$ એ સૂત્ર $\Delta l = \frac{Fl}{AY}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $F$ એ લાગુ પાડવામાં આવેલ બળ છે,$l$ એ મૂળ લંબાઈ છે,$A$ એ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે અને $Y$ એ યંગ મોડ્યુલસ છે.
આ સંબંધ પરથી,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે $\Delta l \propto l$.
જેহেতু મૂળ લંબાઈ $l$ અડધી કરવામાં આવે છે,તેથી નવી લંબાઈ $l' = \frac{l}{2}$ થાય છે.
તેથી,નવું વિસ્તરણ $\Delta l'$ એ $\Delta l' = \frac{F(l/2)}{AY} = \frac{1}{2} \Delta l$ થશે.
આમ,લંબાઈમાં થતો વધારો અડધો થઈ જશે.

(B) યંગ મોડ્યુલસ $(Y)$ નું સૂત્ર આ મુજબ છે: $Y = \frac{\text{Stress}}{\text{Strain}} = \frac{F/A}{\Delta L/L}$.
આપેલ છે: પ્રતિબળ (Stress) = $10^8 \, N m^{-2}$,$\Delta L = 1 \, mm = 10^{-3} \, m$,અને મૂળ લંબાઈ $L = 1 \, m$.
કિંમતો મૂકતા: $Y = \frac{10^8}{10^{-3} / 1} = 10^8 \times 10^3 = 10^{11} \, N m^{-2}$.

(A) ગરમીને કારણે સળિયામાં ઉત્પન્ન થતી થર્મલ વિકૃતિ (thermal strain) $\epsilon = \frac{\Delta L}{L} = \alpha \Delta t = \alpha t$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
હૂકના નિયમ મુજબ,યંગ મોડ્યુલસ $Y$ એ પ્રતિબળ અને વિકૃતિનો ગુણોત્તર છે: $Y = \frac{\text{Stress}}{\text{Strain}} = \frac{F / A}{\alpha t}$.
બળ $F$ માટે આ સૂત્રને ગોઠવતા,આપણને મળે છે: $F = Y A \alpha t$.
તેથી,સળિયામાં ઉત્પન્ન થતું બળ $Y A \alpha t$ છે.

(N/A) દ્રઢ પદાર્થ માટે યંગ મોડ્યુલસ અનંત હોય છે. દ્રઢ પદાર્થમાં કોઈ વિકૃતિ (strain) ઉદ્ભવતી નથી,તેથી $Y = \frac{\text{stress}}{\text{strain}} = \frac{\text{stress}}{0} = \infty$.
$(b)$ આપેલ છે: $\frac{\Delta l}{l} = 10^{-6}$ અને $\text{stress} = 10^8 \ N/m^2$.
સૂત્ર $Y = \frac{\text{stress}}{\text{strain}} = \frac{10^8}{10^{-6}} = 10^{14} \ N/m^2$ નો ઉપયોગ કરતા.
$(c)$ સ્ટીલ માટે પોઈસન ગુણોત્તરનું મૂલ્ય સામાન્ય રીતે $0.28$ થી $0.30$ ની વચ્ચે હોય છે.

(B) જ્યારે ઘન પદાર્થનું તાપમાન વધે છે,ત્યારે આંતર-પરમાણ્વીય બળો નબળા પડે છે,જેના પરિણામે યંગ મોડ્યુલસમાં ઘટાડો થાય છે. તેથી,$(a-iii)$ સાચું છે.
$(b)$ યંગ મોડ્યુલસ ઘન પદાર્થો માટે વ્યાખ્યાયિત છે. હવા એક વાયુ છે અને તેનો કોઈ નિશ્ચિત આકાર હોતો નથી કે તે ઘન પદાર્થોની જેમ શીયર સ્ટ્રેસનો પ્રતિકાર કરી શકતી નથી,તેથી તેનો યંગ મોડ્યુલસ શૂન્ય ગણવામાં આવે છે. તેથી,$(b-i)$ સાચું છે.
આમ,સાચી જોડ $(a-iii), (b-i)$ છે.

(A) યંગ મોડ્યુલસ $Y$ એ ટેન્સાઈલ સ્ટ્રેસ અને લોન્ગીટ્યુડિનલ સ્ટ્રેનનો ગુણોત્તર છે:
$Y = \frac{\text{Tensile stress}}{\text{Longitudinal strain}}$
સૂત્રને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને મળે છે:
$\text{Tensile stress} = Y \times \text{Longitudinal strain}$
સમાન લોન્ગીટ્યુડિનલ સ્ટ્રેન માટે,ટેન્સાઈલ સ્ટ્રેસ એ યંગ મોડ્યુલસ $(Y)$ ના સમપ્રમાણમાં હોય છે:
$\text{Stress} \propto Y$
સ્ટીલનો યંગ મોડ્યુલસ $(Y_{\text{steel}})$ એ રબરના યંગ મોડ્યુલસ $(Y_{\text{rubber}})$ કરતા ઘણો વધારે હોવાથી,તે સાબિત થાય છે કે:
$\text{Stress}_{\text{steel}} > \text{Stress}_{\text{rubber}}$
તેથી,સ્ટીલમાં વધુ ટેન્સાઈલ સ્ટ્રેસ હશે.

(A) યંગ મોડ્યુલસ $(Y)$ ની વ્યાખ્યા $Y = \frac{F}{A} \times \frac{L}{\Delta L}$ છે.
સંપૂર્ણ દ્રઢ પદાર્થ માટે,કોઈપણ લાગુ પાડેલા બળ માટે લંબાઈમાં થતો ફેરફાર $\Delta L = 0$ હોય છે.
તેથી,$Y = \frac{FL}{0} = \infty$ (અનંત).
બલ્ક મોડ્યુલસ $(B)$ ની વ્યાખ્યા $B = -\frac{P}{\Delta V / V}$ છે.
સંપૂર્ણ દ્રઢ પદાર્થ માટે,કોઈપણ લાગુ પાડેલા દબાણ માટે કદમાં થતો ફેરફાર $\Delta V = 0$ હોય છે.
તેથી,$B = \frac{PV}{0} = \infty$ (અનંત).

(B) તાપમાનમાં થતો ફેરફાર $\Delta t = 200\,^{\circ}C - 0\,^{\circ}C = 200\,^{\circ}C$ છે.
આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $A = 1\,cm^2 = 10^{-4}\,m^2$ છે.
જ્યારે સળિયાને વિસ્તરતા અટકાવવામાં આવે છે,ત્યારે ઉત્પન્ન થતું ઉષ્મીય પ્રતિબળ $\sigma = Y \alpha \Delta t$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તણાવ બળ $F = \sigma A = Y A \alpha \Delta t$ દ્વારા મળે છે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$F = (2.0 \times 10^{11}) \times (10^{-4}) \times (10^{-5}) \times (200)$.
$F = 2 \times 10^{11} \times 10^{-9} \times 200$.
$F = 2 \times 10^2 \times 200 = 400 \times 100 = 4 \times 10^4 \,N$.

(A) યંગ મોડ્યુલસ $(Y)$ નું સૂત્ર $Y = \frac{F \cdot l}{A \cdot \Delta l}$ છે,જ્યાં $F$ એ બળ છે,$l$ એ મૂળ લંબાઈ છે,$A$ એ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે અને $\Delta l$ એ લંબાઈમાં થતો ફેરફાર છે.
$\Delta l$ ને સૂત્રનો કર્તા બનાવતા,$\Delta l = \frac{F \cdot l}{A \cdot Y}$ મળે.
આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $A = \pi r^2$,જ્યાં $r = 5 \times 10^{-3} \, m$.
કિંમતો મૂકતા: $A = 3.14 \times (5 \times 10^{-3})^2 = 3.14 \times 25 \times 10^{-6} = 7.85 \times 10^{-5} \, m^2$.
હવે,$\Delta l = \frac{800 \times 9.1}{7.85 \times 10^{-5} \times 2 \times 10^{11}}$.
$\Delta l = \frac{7280}{15.7 \times 10^6} = 463.69 \times 10^{-6} \, m = 4.6369 \times 10^{-4} \, m$.
આમ,કેબલ આશરે $4.64 \times 10^{-4} \, m$ જેટલો ખેંચાયો છે.

(N/A) ધારો કે $L = 10\,m$,$r = 0.1\,cm = 10^{-3}\,m$,$M = 25\,kg$,$\rho = 7860\,kg/m^3$,$Y = 2 \times 10^{11}\,N/m^2$.
આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $A = \pi r^2 = \pi (10^{-3})^2 = \pi \times 10^{-6}\,m^2$.
એકમ લંબાઈ દીઠ દળ $\mu = \rho A = 7860 \times \pi \times 10^{-6} \approx 0.0247\,kg/m$.
નીચેના છેડેથી $x$ અંતરે તણાવ $T(x) = Mg + \mu gx$ છે.
$dx$ લંબાઈના ઘટક માટે લંબાઈમાં વધારો $d\Delta L = \frac{T(x)dx}{AY} = \frac{(Mg + \mu gx)dx}{AY}$.
$x=0$ થી $x=L$ સુધી સંકલન કરતા:
$\Delta L = \int_0^L \frac{(Mg + \mu gx)dx}{AY} = \frac{1}{AY} [MgL + \frac{1}{2}\mu gL^2] = \frac{gL}{AY} (M + \frac{1}{2}\mu L)$.
કિંમતો મૂકતા: $\Delta L = \frac{9.8 \times 10}{(\pi \times 10^{-6})(2 \times 10^{11})} (25 + 0.5 \times 0.0247 \times 10) = \frac{98}{2\pi \times 10^5} (25.1235) \approx 3.92 \times 10^{-3}\,m = 3.92\,mm$.
$(b)$ મહત્તમ પ્રતિબળ $\sigma_{max} = \frac{T_{max}}{A} = \text{Yield Strength} = 2.5 \times 10^8\,N/m^2$.
ઉપરના છેડે તણાવ $T_{max} = Mg + \mu gL$ છે.
$Mg + \mu gL = \sigma_{max} A$.
$Mg = \sigma_{max} A - \mu gL = (2.5 \times 10^8)(\pi \times 10^{-6}) - (0.0247)(9.8)(10) = 785.4 - 2.42 = 782.98\,N$.
મહત્તમ દળ $M = \frac{782.98}{9.8} \approx 79.9\,kg$.