Young’s Modulus Questions in Gujarati

(N/A) ત્રિજ્યા $r$ ના થડ પર બેન્ડિંગ ટોર્ક $\tau = \frac{Y \pi r^4}{4R}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $R$ એ વક્રતા ત્રિજ્યા છે.
જ્યારે થડ વળે છે,ત્યારે તેના પોતાના વજન $W$ ને કારણે ટોર્ક $\tau = Wd$ છે,જ્યાં $d$ એ આધારમાંથી પસાર થતી ઊભી અક્ષથી ગુરુત્વાકર્ષણના કેન્દ્રનું આડું સ્થાનાંતર છે.
ટોર્કને સરખાવતા: $Wd = \frac{Y \pi r^4}{4R}$.
ધારો કે વૃક્ષની ઊંચાઈ $h$ છે,તેનું ગુરુત્વાકર્ષણ કેન્દ્ર $h/2$ ઊંચાઈ પર છે. વળેલા વૃક્ષની ભૂમિતિ પરથી,વક્રતાના કેન્દ્ર દ્વારા રચાયેલા ત્રિકોણમાં પાયથાગોરસના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે $R^2 = (R-d)^2 + (h/2)^2$.
આનું વિસ્તરણ કરતા: $R^2 = R^2 - 2Rd + d^2 + h^2/4$. કારણ કે $d$ ખૂબ નાનું છે,$d^2 \approx 0$,તેથી $2Rd \approx h^2/4$,જે $d = h^2 / (8R)$ આપે છે.
ધારો કે $\rho$ એ ઘનતા છે અને $g$ એ ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ છે. વજન $W = \text{Volume} \times \rho g = (\pi r^2 h) \rho g$.
$W$ અને $d$ ને ટોર્ક સમીકરણમાં મૂકતા: $(\pi r^2 h \rho g) \times (h^2 / 8R) = (Y \pi r^4) / (4R)$.
સમીકરણનું સરળીકરણ કરતા: $(\rho g h^3) / 8 = (Y r^2) / 4$.
$h$ માટે ઉકેલતા: $h^3 = (2 Y r^2) / (\rho g)$,તેથી નિર્ણાયક ઊંચાઈ $h = \left( \frac{2 Y r^2}{\rho g} \right)^{1/3}$.

(A) જ્યારે દોરીમાં તરંગનું પ્રસરણ થાય છે,ત્યારે દોરીમાં ખેંચાણ અથવા તણાવ ઉત્પન્ન થાય છે.
આ વિરૂપણ દોરીની લંબાઈમાં થતા ફેરફાર દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.
સ્થિતિસ્થાપક ગુણધર્મ જે પ્રતિબળ અને લંબાઈમાં થતા ફેરફાર (રેખીય વિકૃતિ) વચ્ચે સંબંધ દર્શાવે છે તેને યંગ મોડ્યુલસ $(Y)$ કહેવામાં આવે છે.
તેથી,દોરીમાં તરંગના પ્રસરણ માટે યંગ મોડ્યુલસ જવાબદાર છે.

(D) સળિયા જેવા રેખીય ઘન માધ્યમમાં ધ્વનિનો વેગ $v = \sqrt{\frac{Y}{\rho}}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $Y$ એ યંગ મોડ્યુલસ છે અને $\rho$ એ પદાર્થની ઘનતા છે.
સંપૂર્ણપણે દ્રઢ સળિયા માટે,કોઈપણ લાગુ પાડેલા પ્રતિબળ માટે લંબાઈમાં થતો ફેરફાર $\Delta l$ શૂન્ય હોય છે.
યંગ મોડ્યુલસની વ્યાખ્યા $Y = \frac{\text{Stress}}{\text{Strain}} = \frac{\Delta P}{(\Delta l / l)}$ મુજબ,જેમ $\Delta l \to 0$ થાય,તેમ $Y$ ની કિંમત $\infty$ તરફ જાય છે.
આ કિંમતને વેગના સૂત્રમાં મૂકતા,આપણને $v = \sqrt{\frac{\infty}{\rho}} = \infty$ મળે છે.
તેથી,સંપૂર્ણપણે દ્રઢ સળિયામાં ધ્વનિનો વેગ અનંત હોય છે.

(A) એક સ્થિતિસ્થાપક તારને સ્પ્રિંગ તરીકે ગણી શકાય,જેનો બળ અચળાંક $k = \frac{YA}{L}$ છે.
દળ-સ્પ્રિંગ તંત્ર માટે દોલનની આવૃત્તિ $f$ નું સૂત્ર $f = \frac{1}{2 \pi} \sqrt{\frac{k}{m}}$ છે.
આવૃત્તિના સૂત્રમાં $k$ ની કિંમત મૂકતા:
$f = \frac{1}{2 \pi} \sqrt{\frac{YA/L}{m}}$
તેથી,આવૃત્તિ $f = \frac{1}{2 \pi} \sqrt{\frac{YA}{mL}}$ મળે છે.

(A) યંગ મોડ્યુલસ $(Y)$ એ સંગત પ્રતિબળ અને સંગત વિકૃતિનો ગુણોત્તર છે.
પ્રતિબળ = $\frac{F}{A} = \frac{Mg}{A}$
વિકૃતિ = $\frac{\Delta L}{L} = \frac{L_{1}-L}{L}$
તેથી,$Y = \frac{\text{પ્રતિબળ}}{\text{વિકૃતિ}} = \frac{Mg/A}{(L_{1}-L)/L} = \frac{MgL}{A(L_{1}-L)}$.

(D) યંગ મોડ્યુલસ $Y$ નું સૂત્ર $Y = \frac{F L}{A \Delta L}$ છે,જ્યાં $A = \pi r^2$ છે.
તાર $A$ માટે: $Y = \frac{F L_A}{\pi r_A^2 \Delta L_A} \implies Y = \frac{2 \cdot a}{\pi r_A^2 \cdot 2 \times 10^{-3}} \quad ......(1)$
તાર $B$ માટે: $Y = \frac{F L_B}{\pi r_B^2 \Delta L_B}$. આપેલ છે કે $r_B = 4 r_A$,તેથી $Y = \frac{2 \cdot b}{\pi (4 r_A)^2 \cdot 4 \times 10^{-3}} = \frac{2 \cdot b}{16 \pi r_A^2 \cdot 4 \times 10^{-3}} \quad ......(2)$
બંને તાર સમાન દ્રવ્યના હોવાથી $Y$ સમાન રહેશે. સમીકરણ $(1)$ અને $(2)$ ને સરખાવતા:
$\frac{a}{2 \pi r_A^2 \times 10^{-3}} = \frac{2 b}{64 \pi r_A^2 \times 10^{-3}}$
$\frac{a}{2} = \frac{b}{32} \implies \frac{a}{b} = \frac{2}{64} = \frac{1}{32}$.
તેથી,$x = 32$.

(A) યંગ મોડ્યુલસ $Y$ નું સૂત્ર $Y = \frac{F \cdot \ell}{A \cdot \Delta \ell}$ છે,જ્યાં $A$ એ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે.
લંબાઈમાં થતા વધારા $\Delta \ell$ માટે સૂત્ર બનાવતા,$\Delta \ell = \frac{F \cdot \ell}{Y \cdot A}$ મળે છે.
ક્ષેત્રફળ $A = \pi r^2$ (જ્યાં $r$ એ ત્રિજ્યા છે,જે વ્યાસ $D$ ના અડધા છે),તેથી $\Delta \ell = \frac{F \cdot \ell}{Y \cdot \pi r^2} = \frac{4 F \cdot \ell}{Y \cdot \pi D^2}$ થાય.
આ પરથી,$\Delta \ell \propto \frac{\ell}{D^2}$ મળે છે.
ધારો કે પ્રારંભિક લંબાઈ $\ell_1$ અને પ્રારંભિક વ્યાસ $D_1$ છે. અંતિમ લંબાઈ $\ell_2 = 2\ell_1$ અને અંતિમ વ્યાસ $D_2 = 2D_1$ છે.
તેથી,$\frac{\Delta \ell_2}{\Delta \ell_1} = \left( \frac{\ell_2}{\ell_1} \right) \left( \frac{D_1}{D_2} \right)^2$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{\Delta \ell_2}{\Delta \ell_1} = (2) \left( \frac{1}{2} \right)^2 = 2 \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{2}$.
અહીં $\Delta \ell_1 = 0.04\, m$ આપેલ છે,તેથી $\Delta \ell_2 = \frac{0.04}{2} = 0.02\, m$.
સેન્ટિમીટરમાં ફેરવતા,$\Delta \ell_2 = 2\, cm$ મળે છે.

(B) કુલ દળ $M = 50 \times 10^{3} \; \text{kg}$ ને $4$ સમાન સ્તંભો દ્વારા ટેકો આપવામાં આવે છે.
દરેક સ્તંભ પર લાગતું બળ $F = \frac{Mg}{4} = \frac{50 \times 10^{3} \times 9.8}{4} = 1.225 \times 10^{5} \; \text{N}$.
પોલા નળાકારનું આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $A = \pi(R^2 - r^2)$,જ્યાં $R = 1.0 \; \text{m}$ અને $r = 0.5 \; \text{m}$ છે.
$A = \pi(1.0^2 - 0.5^2) = \pi(1 - 0.25) = 0.75\pi \; \text{m}^2$.
યંગ મોડ્યુલસ $Y = \frac{\text{Stress}}{\text{Strain}} = \frac{F/A}{\Delta L/L}$.
તેથી,સંકોચન વિકૃતિ $\frac{\Delta L}{L} = \frac{F}{AY}$.
કિંમતો મૂકતા: $\text{Strain} = \frac{1.225 \times 10^{5}}{0.75 \times \pi \times 2.0 \times 10^{11}}$.
$\text{Strain} = \frac{1.225 \times 10^{5}}{1.5 \times \pi \times 10^{11}} \approx 2.60 \times 10^{-7}$.

(A) જ્યારે ગરમ કરવાને કારણે સળિયાને વિસ્તરતા અટકાવવામાં આવે છે,ત્યારે તેમાં થર્મલ સ્ટ્રેસ (ઉષ્મીય પ્રતિબળ) ઉત્પન્ન થાય છે.
ઉષ્મીય બળ $F$ નું સૂત્ર: $F = Y A \alpha \Delta T$ છે.
અહીં,$Y = 2.0 \times 10^{11} \, N/m^2$,$A = 10 \, cm^2 = 10 \times 10^{-4} \, m^2 = 10^{-3} \, m^2$,$\alpha = 10^{-5} \, ^\circ C^{-1}$,અને $\Delta T = 400^\circ C - 0^\circ C = 400^\circ C$.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$F = (2.0 \times 10^{11}) \times (10^{-3}) \times (10^{-5}) \times (400)$
$F = 2.0 \times 10^{11} \times 10^{-8} \times 400$
$F = 2.0 \times 10^3 \times 400$
$F = 800 \times 10^3 \, N = 8 \times 10^5 \, N$.
આને $x \times 10^5 \, N$ સાથે સરખાવતા,આપણને $x = 8$ મળે છે.

(C) શ્રેણી જોડાણમાં,કુલ લંબાઈમાં વધારો $\Delta l$ એ વ્યક્તિગત વધારાના સરવાળા જેટલો હોય છે: $\Delta l = \Delta l_{1} + \Delta l_{2}$.
યંગ મોડ્યુલસની વ્યાખ્યા મુજબ,$Y = \frac{F/A}{\Delta l/l}$,તેથી $\Delta l = \frac{Fl}{AY}$.
તાર શ્રેણીમાં હોવાથી,બંને તાર માટે બળ $F$ અને આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $A$ સમાન રહેશે.
$2l$ લંબાઈ અને $Y$ યંગ મોડ્યુલસ ધરાવતા સમતુલ્ય તાર માટે,કુલ વધારો $\Delta l = \frac{F(2l)}{AY}$ થશે.
$\Delta l, \Delta l_{1}$ અને $\Delta l_{2}$ ની કિંમતો મૂકતા:
$\frac{F(2l)}{AY} = \frac{Fl}{AY_{1}} + \frac{Fl}{AY_{2}}$.
બંને બાજુ $Fl/A$ વડે ભાગતા:
$\frac{2}{Y} = \frac{1}{Y_{1}} + \frac{1}{Y_{2}}$.
$\frac{2}{Y} = \frac{Y_{1} + Y_{2}}{Y_{1} Y_{2}}$.
તેથી,$Y = \frac{2 Y_{1} Y_{2}}{Y_{1} + Y_{2}}$.

(D) પોતાના વજન હેઠળ લટકતા તારનું વિસ્તરણ $\Delta \ell = \frac{MgL}{2AY}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $M$ એ દળ છે,$g$ એ ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ છે,$L$ એ લંબાઈ છે,$A$ એ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે અને $Y$ એ યંગ મોડ્યુલસ છે.
તાર અને તેના પરિમાણો સમાન રહેતા હોવાથી,$\Delta \ell \propto g$ થાય.
તેથી,$\frac{\Delta \ell_{\text{earth}}}{\Delta \ell_{\text{planet}}} = \frac{g_{\text{earth}}}{g_{\text{planet}}}$.
આપેલ છે કે $\Delta \ell_{\text{earth}} = 10^{-4} \; m$,$\Delta \ell_{\text{planet}} = 6 \times 10^{-5} \; m$,અને $g_{\text{earth}} = 10 \; m/s^2$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{10^{-4}}{6 \times 10^{-5}} = \frac{10}{g_{\text{planet}}}$.
$\frac{10}{6} = \frac{10}{g_{\text{planet}}}$.
આમ,$g_{\text{planet}} = 6 \; m/s^2$.

(C) હૂકના નિયમ મુજબ,લંબાઈમાં થતો વધારો $\Delta L$ એ લાગુ પાડેલા બળ $F$ ના સમપ્રમાણમાં હોય છે,એટલે કે $F = k \Delta L$,જ્યાં $k$ એ તારનો બળ અચળાંક છે.
પ્રથમ કિસ્સા માટે,$F_{1} = m_{1}g = 1 \cdot g = 10 \, N$ ($g = 10 \, m/s^2$ લેતા),અને લંબાઈમાં વધારો $\Delta L_{1} = L_{1} - L$ છે.
તેથી,$10 = k(L_{1} - L)$ --- $(1)$
બીજા કિસ્સા માટે,$F_{2} = m_{2}g = 2 \cdot g = 20 \, N$,અને લંબાઈમાં વધારો $\Delta L_{2} = L_{2} - L$ છે.
તેથી,$20 = k(L_{2} - L)$ --- $(2)$
સમીકરણ $(1)$ ને સમીકરણ $(2)$ વડે ભાગતા:
$\frac{10}{20} = \frac{k(L_{1} - L)}{k(L_{2} - L)}$
$\frac{1}{2} = \frac{L_{1} - L}{L_{2} - L}$
$L_{2} - L = 2(L_{1} - L)$
$L_{2} - L = 2L_{1} - 2L$
$L = 2L_{1} - L_{2}$

(D) તારની લંબાઈમાં થતા ફેરફાર $\Delta \ell$ નું સૂત્ર $\Delta \ell = \frac{F L}{A Y}$ છે,જ્યાં $A = \pi r^2$ છે.
પ્રથમ તાર માટે: $\Delta \ell_1 = \frac{F L}{\pi r^2 Y} = 5\,cm$.
બીજા તાર માટે: $L_2 = 4L$,$r_2 = 4r$,અને $F_2 = 4F$.
નવું ક્ષેત્રફળ $A_2 = \pi (4r)^2 = 16 \pi r^2$ થાય.
લંબાઈમાં થતો ફેરફાર $\Delta \ell_2 = \frac{F_2 L_2}{A_2 Y} = \frac{(4F)(4L)}{(16 \pi r^2) Y} = \frac{16 F L}{16 \pi r^2 Y} = \frac{F L}{\pi r^2 Y}$.
આમ,$\frac{F L}{\pi r^2 Y} = 5\,cm$ હોવાથી,બીજા તારની લંબાઈમાં થતો વધારો $5\,cm$ છે.

(A) પદાર્થનું બ્રેકિંગ સ્ટ્રેસ (તોડવા માટેનું પ્રતિબળ) અચળ રહે છે,કારણ કે તે પદાર્થનો આંતરિક ગુણધર્મ છે.
બ્રેકિંગ સ્ટ્રેસ = $\frac{\text{મહત્તમ ભાર}}{\text{આડછેદનું ક્ષેત્રફળ}}$.
ધારો કે $A_1 = 2.5 \times 10^{-4} \, m^2$ એ $L_1 = 10$ મેટ્રિક ટન ભાર માટેનું પ્રારંભિક ક્ષેત્રફળ છે.
ધારો કે $A_2$ એ $L_2 = 25$ મેટ્રિક ટન ભાર માટે જરૂરી ક્ષેત્રફળ છે.
બ્રેકિંગ સ્ટ્રેસ અચળ હોવાથી: $\frac{L_1}{A_1} = \frac{L_2}{A_2}$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{10}{2.5 \times 10^{-4}} = \frac{25}{A_2}$.
$A_2 = \frac{25 \times 2.5 \times 10^{-4}}{10}$.
$A_2 = 6.25 \times 10^{-4} \, m^2$.

(B) પોતાના વજનને કારણે $\ell$ લંબાઈ,$m$ દળ અને $A$ આડછેદના ક્ષેત્રફળ ધરાવતા સળિયામાં થતું વિસ્તરણ $\Delta \ell$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$\Delta \ell = \frac{mg\ell}{2AY}$
આપેલ કિંમતો:
$m = 20\,kg$
$A = 0.4\,m^{2}$
$\ell = 20\,m$
$Y = 2 \times 10^{11}\,N/m^{2}$
$g = 10\,m/s^{2}$
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$\Delta \ell = \frac{20 \times 10 \times 20}{2 \times 0.4 \times 2 \times 10^{11}}$
$\Delta \ell = \frac{4000}{1.6 \times 10^{11}}$
$\Delta \ell = 2500 \times 10^{-11}\,m$
$\Delta \ell = 25 \times 10^{-9}\,m$
આને $x \times 10^{-9}\,m$ સાથે સરખાવતા,આપણને $x = 25$ મળે છે.

(C) યંગ મોડ્યુલસનું સૂત્ર $Y = \frac{FL}{A\Delta L} = \frac{mgL}{(\pi d^2/4)\Delta L} = \frac{4mgL}{\pi d^2 \Delta L}$ છે.
આપેલ છે: $L = 1\;m$,$m = 1\;kg$,$g = 10\;m/s^2$,$\Delta L = 0.4 \times 10^{-3}\;m$,$d = 0.4 \times 10^{-3}\;m$.
$Y = \frac{4 \times 1 \times 10 \times 1}{\pi \times (0.4 \times 10^{-3})^2 \times 0.4 \times 10^{-3}} = \frac{40}{\pi \times 0.064 \times 10^{-9}} \approx 1.99 \times 10^{11}\;N/m^2$.
$Y$ માં સાપેક્ષ ત્રુટિ $\frac{\Delta Y}{Y} = \frac{\Delta m}{m} + \frac{\Delta L}{L} + 2\frac{\Delta d}{d} + \frac{\Delta(\Delta L)}{\Delta L}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ધારો કે $\Delta m = 0$ અને $\Delta L = 0$ (કારણ કે લંબાઈ ચોક્કસ છે),$\frac{\Delta Y}{Y} = 2\frac{\Delta d}{d} + \frac{\Delta(\Delta L)}{\Delta L} = 2 \times \frac{0.01}{0.4} + \frac{0.02}{0.4} = 0.05 + 0.05 = 0.1$.
$\Delta Y = 0.1 \times Y = 0.1 \times 1.99 \times 10^{11} = 1.99 \times 10^{10}\;N/m^2$.
$x \times 10^{10}$ સાથે સરખાવતા,આપણને $x \approx 2$ મળે છે.

(D) કુલ લંબાઈમાં વધારો $\Delta \ell$ એ સ્ટીલના તાર $(\Delta \ell_{S})$ અને તાંબાના તાર $(\Delta \ell_{C})$ ના વ્યક્તિગત લંબાઈમાં વધારાનો સરવાળો છે:
$\Delta \ell = \Delta \ell_{S} + \Delta \ell_{C}$
લંબાઈમાં વધારાના સૂત્ર $\Delta \ell = \frac{F \ell}{AY}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\Delta \ell = \frac{F \ell_{S}}{A Y_{S}} + \frac{F \ell_{C}}{A Y_{C}} = \frac{F}{A} \left( \frac{\ell_{S}}{Y_{S}} + \frac{\ell_{C}}{Y_{C}} \right)$
અહીં $r = 1.4 \, mm = 1.4 \times 10^{-3} \, m$ આપેલ છે,તેથી આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $A = \pi r^{2} = \frac{22}{7} \times (1.4 \times 10^{-3})^{2} = 6.16 \times 10^{-6} \, m^{2}$.
કિંમતો મૂકતા:
$1.4 \times 10^{-3} = \frac{F}{6.16 \times 10^{-6}} \left( \frac{3.2}{2.0 \times 10^{11}} + \frac{4.4}{1.1 \times 10^{11}} \right)$
$1.4 \times 10^{-3} = \frac{F}{6.16 \times 10^{-6}} \left( 1.6 \times 10^{-11} + 4.0 \times 10^{-11} \right)$
$1.4 \times 10^{-3} = \frac{F}{6.16 \times 10^{-6}} \times 5.6 \times 10^{-11}$
$F = \frac{1.4 \times 10^{-3} \times 6.16 \times 10^{-6}}{5.6 \times 10^{-11}} = 154 \, N$.

(B) યંગ મોડ્યુલસ $Y$ નું સૂત્ર $Y = \frac{F/A}{\Delta l/L} = \frac{F \cdot L}{A \cdot \Delta l}$ છે.
આને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને વિસ્તરણ અને લોડનો ગુણોત્તર $\frac{\Delta l}{F} = \frac{L}{YA}$ મળે છે.
અહીં,આલેખમાં $y$-અક્ષ પર $\frac{\Delta l}{F}$ અને $x$-અક્ષ પર $L$ લેવામાં આવ્યા છે.
આ આલેખનો ઢાળ $m = \frac{\Delta l/F}{L} = \frac{1}{YA}$ છે.
આલેખ પરથી,આપણે ઢાળ $m = \frac{0.25 \times 10^{-5}}{1} = 0.25 \times 10^{-5}\,m/N$ ગણી શકીએ છીએ.
આપેલ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $A = 2\,mm^2 = 2 \times 10^{-6}\,m^2$ છે.
આ કિંમતોને ઢાળના સમીકરણમાં મૂકતા: $0.25 \times 10^{-5} = \frac{1}{Y \times 2 \times 10^{-6}}$.
$Y = \frac{1}{0.25 \times 10^{-5} \times 2 \times 10^{-6}} = \frac{1}{0.5 \times 10^{-11}} = 2 \times 10^{11}\,N/m^2$.
આને $x \times 10^{11}\,N/m^2$ સાથે સરખાવતા,આપણને $x = 2$ મળે છે.

(C) યંગ મોડ્યુલસ $(Y)$ નું સૂત્ર $Y = \frac{F/A}{\Delta l/l}$ છે,જ્યાં $F$ એ બળ છે,$A$ એ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે,$\Delta l$ એ લંબાઈમાં ફેરફાર છે અને $l$ એ મૂળ લંબાઈ છે.
બળ માટે સૂત્રને ગોઠવતા: $F = Y A \frac{\Delta l}{l}$.
આપેલ છે: $A = 1 \ cm^{2} = 10^{-4} \ m^{2}$,$Y = 2 \times 10^{11} \ N/m^{2}$,અને લંબાઈ બમણી કરવામાં આવે છે,તેથી $\Delta l = 2l - l = l$.
આ કિંમતો મૂકતા: $F = (2 \times 10^{11} \ N/m^{2}) \times (10^{-4} \ m^{2}) \times (l/l)$.
$F = 2 \times 10^{7} \ N$.

(B) તારમાં લંબગત તરંગની ઝડપ $v = \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $T$ એ તણાવ છે અને $\mu$ એ રેખીય દળ ઘનતા છે.
રેખીય દળ ઘનતા $\mu = \frac{m}{L} = \frac{10 \times 10^{-3} \; kg}{0.5 \; m} = 0.02 \; kg/m$.
આપેલ છે $v = 60 \; ms^{-1}$,તેથી $60 = \sqrt{\frac{T}{0.02}}$,જેનો અર્થ છે કે $T = 3600 \times 0.02 = 72 \; N$.
લંબાઈમાં વધારો $\Delta L$ હૂકના નિયમ દ્વારા મળે છે: $\Delta L = \frac{TL}{AY}$.
કિંમતો મૂકતા: $A = 2.0 \; mm^2 = 2.0 \times 10^{-6} \; m^2$,$L = 0.5 \; m$,$Y = 1.2 \times 10^{11} \; Nm^{-2}$.
$\Delta L = \frac{72 \times 0.5}{2.0 \times 10^{-6} \times 1.2 \times 10^{11}} = \frac{36}{2.4 \times 10^5} = 15 \times 10^{-5} \; m$.
આને $x \times 10^{-5} \; m$ સાથે સરખાવતા,આપણને $x = 15$ મળે છે.

(A) યંગ મોડ્યુલસ $(Y)$ એ તારના દ્રવ્યનો લાક્ષણિક ગુણધર્મ છે.
તે માત્ર દ્રવ્યની પ્રકૃતિ અને તાપમાન પર આધાર રાખે છે.
તે તારના પરિમાણો જેવા કે તેની લંબાઈ $(L)$ અથવા ત્રિજ્યા $(r)$ પર આધાર રાખતું નથી.
તેથી,તારની લંબાઈ અથવા ત્રિજ્યા બદલવાથી દ્રવ્યના યંગ મોડ્યુલસ પર કોઈ અસર થશે નહીં.
આમ,યંગ મોડ્યુલસ સમાન રહેશે.

(C) આપેલ છે:
પ્રારંભિક લંબાઈ $L = 100 \, m$
પ્રારંભિક તાપમાન $T_1 = 25^{\circ} C$
અંતિમ તાપમાન $T_2 = 40^{\circ} C$
તાપમાનમાં ફેરફાર $\Delta T = T_2 - T_1 = 40 - 25 = 15^{\circ} C$
રેખીય પ્રસરણાંક $\alpha = 1.1 \times 10^{-5} /^{\circ} C$
યંગ મોડ્યુલસ $Y = 2 \times 10^{11} \, Pa$
ટ્રેકને વિસ્તરણ કરતા અટકાવવામાં આવ્યો હોવાથી,પદાર્થમાં ઉષ્મીય પ્રતિબળ ઉત્પન્ન થાય છે.
ઉષ્મીય પ્રતિબળ $\sigma$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$\sigma = Y \cdot \alpha \cdot \Delta T$
કિંમતો મૂકતા:
$\sigma = (2 \times 10^{11} \, Pa) \times (1.1 \times 10^{-5} /^{\circ} C) \times (15^{\circ} C)$
$\sigma = 2 \times 1.1 \times 15 \times 10^{11-5} \, Pa$
$\sigma = 33 \times 10^6 \, Pa$
$\sigma = 3.3 \times 10^7 \, Pa$
આમ,ટ્રેક પરનું પ્રતિબળ $3.3 \times 10^7 \, Pa$ છે.

(C) યંગ મોડ્યુલસ $(Y)$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$Y = \frac{F \times L}{A \times \Delta L}$
આપેલ કિંમતો:
દળ $(m)$ = $2 \,kg$,તેથી બળ $(F)$ = $mg = 2 \times 9.8 = 19.6 \,N$ (જો $g = 10 \,m/s^2$ લેવામાં આવે તો $20 \,N$).
લંબાઈ $(L)$ = $3 \,m$.
વ્યાસ $(d)$ = $1 \,mm = 10^{-3} \,m$,તેથી ત્રિજ્યા $(r)$ = $0.5 \times 10^{-3} \,m$.
વિસ્તરણ $(\Delta L)$ = $1 \,mm = 10^{-3} \,m$.
આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $(A)$ = $\pi r^2 = \pi \times (0.5 \times 10^{-3})^2 = \pi \times 0.25 \times 10^{-6} \,m^2$.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$Y = \frac{20 \times 3}{(\pi \times 0.25 \times 10^{-6}) \times 10^{-3}}$
$Y = \frac{60}{\pi \times 0.25 \times 10^{-9}}$
ગણતરી કરતા,$Y \approx 7.48 \times 10^{10} \,Nm^{-2}$ મળે છે.

(C) યંગ મોડ્યુલસ $(Y)$ એ પદાર્થનો આંતરિક ગુણધર્મ છે જે તેની કઠિનતા દર્શાવે છે.
તેને સ્થિતિસ્થાપક મર્યાદામાં રેખીય પ્રતિબળ અને રેખીય વિકૃતિના ગુણોત્તર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
જોકે તે નિશ્ચિત તાપમાને આપેલ પદાર્થ માટે અચળ હોય છે,પરંતુ તે તાપમાન સાથે બદલાય છે.
જેમ પદાર્થનું તાપમાન વધે છે,તેમ આંતર-પરમાણ્વીય બંધો નબળા પડે છે,જેના કારણે સામાન્ય રીતે યંગ મોડ્યુલસમાં ઘટાડો થાય છે.
તેથી,યંગ મોડ્યુલસ પદાર્થના તાપમાન પર આધાર રાખે છે.

(D) સંપૂર્ણ દ્રઢ પદાર્થ માટે શરત એ છે કે કોઈપણ બળ માટે તેમાં કોઈ લંબાઈમાં વધારો $(\Delta L = 0)$ થવો જોઈએ નહીં.
યંગ મોડ્યુલસ $(Y)$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$Y = \frac{F \cdot L}{A \cdot \Delta L}$
જ્યાં:
$F$ એ લાગુ પાડવામાં આવેલ બળ છે,
$L$ એ મૂળ લંબાઈ છે,
$A$ એ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે,
$\Delta L$ એ લંબાઈમાં થતો ફેરફાર છે.
સૂત્રમાં $\Delta L = 0$ મૂકતા:
$Y = \frac{F \cdot L}{A \cdot 0} = \infty$
તેથી,સંપૂર્ણ દ્રઢ પદાર્થ માટે યંગ મોડ્યુલસ અનંત હોય છે.

(C) તારના વિસ્તરણનું સૂત્ર $\Delta x = \frac{F L}{A Y}$ છે,જ્યાં $F$ એ બળ છે,$L$ એ મૂળ લંબાઈ છે,$A$ એ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે અને $Y$ એ યંગ મોડ્યુલસ છે.
દ્રવ્ય અને વ્યાસ સમાન હોવાથી,$A$ અને $Y$ અચળ રહે છે. તેથી,$F \propto \frac{\Delta x}{L}$ અથવા $F = \frac{A Y}{L} \Delta x$.
પ્રથમ તાર માટે: $L_1 = 1 \,m$,$\Delta x_1 = 1 \,mm = 10^{-3} \,m$,$F_1 = 200 \,N$.
બીજા તાર માટે: $L_2 = 10 \,m$,$\Delta x_2 = 1002 \,cm - 1000 \,cm = 2 \,cm = 0.02 \,m$,$F_2 = ?$.
ગુણોત્તર લેતા: $\frac{F_2}{F_1} = \frac{\Delta x_2 / L_2}{\Delta x_1 / L_1} = \frac{\Delta x_2}{\Delta x_1} \times \frac{L_1}{L_2}$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{F_2}{200} = \frac{0.02}{10^{-3}} \times \frac{1}{10} = 20 \times 0.1 = 2$.
તેથી,$F_2 = 200 \times 2 = 400 \,N$.

(A) યંગ મોડ્યુલસનું સૂત્ર $Y = \frac{F L}{A \Delta L}$ છે.
લંબાઈમાં થતા પ્રતિશત વધારા માટે: $\frac{\Delta L}{L} \times 100 = \frac{F}{A Y} \times 100$.
આપેલ છે: વ્યાસ $d = 2.5 \,mm = 0.25 \,cm$. ત્રિજ્યા $r = 0.125 \,cm$.
ક્ષેત્રફળ $A = \pi r^2 = 3.14 \times (0.125)^2 \approx 0.049 \,cm^2$.
બળ $F = 100 \,kg \text{ wt} = 100 \times 980 \times 980 \,dyne \approx 9.8 \times 10^7 \,dyne$ ($g \approx 980 \,cm/s^2$ લેતા).
$Y = 12.5 \times 10^{11} \,dyne/cm^2$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{\Delta L}{L} \times 100 = \frac{9.8 \times 10^7}{0.049 \times 12.5 \times 10^{11}} \times 100$.
$\frac{\Delta L}{L} \times 100 = \frac{9.8 \times 10^9}{0.6125 \times 10^{11}} = \frac{9.8}{61.25} \approx 0.16 \%$.

(B) લંબાઈમાં વધારા $\Delta L$ માટેનું સૂત્ર $\Delta L = \frac{FL}{AY}$ છે,જ્યાં $F$ બળ છે,$L$ મૂળ લંબાઈ છે,$A$ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે અને $Y$ એ યંગ મોડ્યુલસ છે.
બંને તાર માટે $F$,$L$ અને $A$ સમાન હોવાથી,$\Delta L \propto \frac{1}{Y}$ મળે.
ધારો કે સ્ટીલના તારમાં લંબાઈમાં વધારો $\Delta L_s$ છે અને તાંબાના તારમાં લંબાઈમાં વધારો $\Delta L_c$ છે.
આપેલ છે કે $\Delta L_s + \Delta L_c = 2 \,cm$.
પ્રમાણસરતા પરથી,$\frac{\Delta L_s}{\Delta L_c} = \frac{Y_c}{Y_s} = \frac{12 \times 10^{11}}{20 \times 10^{11}} = \frac{12}{20} = 0.6$.
આમ,$\Delta L_s = 0.6 \Delta L_c$.
આ કિંમતને કુલ લંબાઈના વધારાના સમીકરણમાં મૂકતા: $0.6 \Delta L_c + \Delta L_c = 2 \,cm$.
$1.6 \Delta L_c = 2 \,cm \implies \Delta L_c = \frac{2}{1.6} = 1.25 \,cm$.
તેથી,$\Delta L_s = 2 - 1.25 = 0.75 \,cm$.
આમ,સ્ટીલના તારમાં લંબાઈમાં વધારો $0.75 \,cm$ અને તાંબાના તારમાં $1.25 \,cm$ છે.

(B) આપેલ છે:
ત્રિજ્યા $r = 10 \,mm = 10^{-2} \,m$
લંબાઈ $L = 1.0 \,m$
વિકૃતિ $\frac{\Delta L}{L} = 0.32 \% = 0.32 \times 10^{-2} = 3.2 \times 10^{-3}$
યંગ મોડ્યુલસ $Y = 2.0 \times 10^{11} \,N/m^2$
સૂત્ર:
$Y = \frac{\text{Stress}}{\text{Strain}} = \frac{F/A}{\Delta L/L}$
$F = Y \times A \times \left(\frac{\Delta L}{L}\right)$
ગણતરી:
ક્ષેત્રફળ $A = \pi r^2 = 3.14 \times (10^{-2})^2 = 3.14 \times 10^{-4} \,m^2$
$F = (2.0 \times 10^{11}) \times (3.14 \times 10^{-4}) \times (3.2 \times 10^{-3})$
$F = 2.0 \times 3.14 \times 3.2 \times 10^{11-4-3}$
$F = 20.096 \times 10^4 \,N$
$F = 200960 \,N = 200.96 \,kN \approx 201 \,kN$
આમ,બળનું મૂલ્ય $201 \,kN$ છે.

(B) આપેલ છે:
પ્રમાણસર મર્યાદા (સ્ટ્રેસ) $\sigma = 8 \times 10^8 \, N/m^2$
યંગ મોડ્યુલસ $Y = 2 \times 10^{11} \, N/m^2$
મૂળ લંબાઈ $L = 1 \, m$
સ્થિતિસ્થાપક મર્યાદામાં હૂકના નિયમ મુજબ:
$\text{સ્ટ્રેસ} = Y \times \text{સ્ટ્રેન}$
$\text{સ્ટ્રેસ} = Y \times \frac{\Delta L}{L}$
મહત્તમ લંબાઈમાં વધારો $\Delta L$ શોધવા માટે:
$\Delta L = \frac{\text{સ્ટ્રેસ} \times L}{Y}$
કિંમતો મૂકતા:
$\Delta L = \frac{8 \times 10^8 \times 1}{2 \times 10^{11}}$
$\Delta L = 4 \times 10^{-3} \, m$
મિલીમીટરમાં રૂપાંતર કરતા $(1 \, m = 1000 \, mm)$:
$\Delta L = 4 \times 10^{-3} \times 10^3 \, mm = 4 \, mm$
આમ,મહત્તમ લંબાઈમાં વધારો $4 \, mm$ છે.

(B) સળિયાના નીચેના છેડાથી $x$ અંતરે $dx$ લંબાઈનો એક નાનો ઘટક ધ્યાનમાં લો.
આ ઘટકનું વજન $dW = \left( \frac{W}{L} \right) dx$ છે.
આ ઘટક તેની નીચેના ભાગના વજન દ્વારા ખેંચાય છે,જે $W(x) = \left( \frac{W}{L} \right) x$ છે.
આ નાના ઘટકમાં થતું વિસ્તરણ $d(\Delta L) = \frac{F dx}{A Y} = \frac{(W/L) x dx}{A Y}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કુલ વિસ્તરણ $\Delta L$ શોધવા માટે $x = 0$ થી $x = L$ સુધી સંકલન કરતા:
$\Delta L = \int_{0}^{L} \frac{W x}{A Y L} dx = \frac{W}{A Y L} \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{L} = \frac{W L^2}{2 A Y L} = \frac{W L}{2 A Y}$.
આમ,સળિયામાં તેના પોતાના વજનને કારણે ઉત્પન્ન થતું વિસ્તરણ $\frac{W L}{2 A Y}$ છે.

(C) $L$ લંબાઈ,$A$ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ અને $Y$ યંગ મોડ્યુલસ ધરાવતા તારમાં $T$ તણાવ હેઠળ થતા વિસ્તરણ $\Delta L$ નું સૂત્ર $\Delta L = \frac{TL}{AY}$ છે.
કિસ્સા $A$ માં,તાર એક છેડે $W$ વજન સાથે લટકાવેલ છે. તારમાં તણાવ $T_A = W$ છે.
કિસ્સા $B$ માં,તાર ગરગડી પરથી પસાર થાય છે અને બંને બાજુ $W$ વજન લટકાવેલ છે. તારમાં તણાવ $T_B = W$ છે.
બંને કિસ્સામાં તણાવ $T$ સમાન હોવાથી $(T_A = T_B = W)$ અને તારના પરિમાણો $(L, A, Y)$ સમાન હોવાથી,બંને કિસ્સામાં વિસ્તરણ સમાન જ રહેશે.
તેથી,કિસ્સા $B$ માં પણ વિસ્તરણ $l$ થશે.

(A) યંગ મોડ્યુલસ $Y$ નું સૂત્ર $Y = \frac{F L}{A \Delta L}$ છે,જ્યાં $F$ એ લોડ છે,$L$ એ મૂળ લંબાઈ છે,$A$ એ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે અને $\Delta L$ એ વિસ્તરણ છે.
આપેલ છે કે બંને તારના પરિમાણો ($L$ અને $A$) સમાન છે,તેથી અચળ લોડ $F$ માટે $Y \propto \frac{1}{\Delta L}$ થાય.
ગ્રાફ પરથી,સમાન લોડ $F$ માટે,તાર $A$ નું વિસ્તરણ $\Delta L_A$ એ તાર $B$ ના વિસ્તરણ $\Delta L_B$ કરતા ઓછું છે (એટલે કે $\Delta L_A < \Delta L_B$).
કારણ કે $Y \propto \frac{1}{\Delta L}$,ઓછું વિસ્તરણ એ મોટા યંગ મોડ્યુલસને અનુરૂપ છે.
તેથી,$Y_A > Y_B$,જેનો અર્થ છે કે યંગ મોડ્યુલસ $A$ માટે $B$ કરતા વધારે છે.

(A) તારની લંબાઈમાં થતો ફેરફાર $\Delta L$ એ સૂત્ર $\Delta L = \frac{FL}{AY}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $F$ એ બળ છે,$L$ એ લંબાઈ છે,$A$ એ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે અને $Y$ એ યંગ મોડ્યુલસ છે.
દ્રવ્ય સમાન હોવાથી,$Y$ અચળ છે. આપેલ છે કે બંને તાર માટે $\Delta L$ પણ સમાન છે,તેથી $F \propto \frac{A}{L}$ થાય.
ક્ષેત્રફળ $A = \pi r^2$ હોવાથી,આપણે લખી શકીએ કે $F \propto \frac{r^2}{L}$.
તેથી,બળોનો ગુણોત્તર $\frac{F_A}{F_B} = \left(\frac{r_A}{r_B}\right)^2 \times \left(\frac{L_B}{L_A}\right)$ થશે.
અહીં $\frac{r_A}{r_B} = \frac{2}{1}$ અને $\frac{L_A}{L_B} = \frac{4}{1}$ આપેલ છે,આ કિંમતો મૂકતા:
$\frac{F_A}{F_B} = (2)^2 \times \left(\frac{1}{4}\right) = 4 \times \frac{1}{4} = 1$.
આમ,ગુણોત્તર $1:1$ છે.

(A) ધારો કે તારની મૂળભૂત લંબાઈ $L$ છે.
હૂકના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,લંબાઈમાં થતો વધારો $\Delta l = \frac{FL}{AY}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $F$ એ લાગુ પાડવામાં આવેલ બળ છે,$A$ એ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે અને $Y$ એ યંગ મોડ્યુલસ છે.
જ્યારે માત્ર $M_1$ દળ લટકાવેલું હોય,ત્યારે કુલ લંબાઈ $l_1$ છે,તેથી લંબાઈમાં વધારો $(l_1 - L)$ થાય.
આમ,$(l_1 - L) = \frac{M_1 g L}{AY} \quad \dots(1)$
જ્યારે $M_1$ અને $M_2$ બંને દળ લટકાવેલા હોય,ત્યારે કુલ લંબાઈ $l_2$ છે,તેથી લંબાઈમાં વધારો $(l_2 - L)$ થાય.
આમ,$(l_2 - L) = \frac{(M_1 + M_2) g L}{AY} \quad \dots(2)$
સમીકરણ $(1)$ ને સમીકરણ $(2)$ વડે ભાગતા:
$\frac{l_1 - L}{l_2 - L} = \frac{M_1}{M_1 + M_2}$
ચોકડી ગુણાકાર કરતા:
$(l_1 - L)(M_1 + M_2) = M_1(l_2 - L)$
$l_1 M_1 + l_1 M_2 - L M_1 - L M_2 = M_1 l_2 - L M_1$
$l_1 M_1 + l_1 M_2 - L M_2 = M_1 l_2$
$L M_2 = l_1 M_1 + l_1 M_2 - M_1 l_2$
$L M_2 = M_1(l_1 - l_2) + l_1 M_2$
$M_2$ વડે ભાગતા:
$L = \frac{M_1}{M_2}(l_1 - l_2) + l_1$

(C) જ્યારે સળિયાને ગરમ કરવામાં આવે છે,ત્યારે તે $\Delta L = L \alpha \Delta T$ જેટલું વિસ્તરણ પામવાનો પ્રયત્ન કરે છે,જ્યાં $\alpha$ એ રેખીય પ્રસરણ ગુણાંક છે અને $\Delta T$ એ તાપમાનમાં થતો ફેરફાર છે.
સળિયો બે દ્રઢ દીવાલો વચ્ચે જકડાયેલો હોવાથી,તે વિસ્તરણ પામી શકતો નથી. આ અવરોધ સળિયામાં સંકોચન પ્રતિબળ અને અનુરૂપ બળ $F$ ઉત્પન્ન કરે છે.
તાપીય પ્રતિબળ $\sigma = Y \frac{\Delta L}{L}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $Y$ એ યંગ મોડ્યુલસ છે.
$\Delta L = L \alpha \Delta T$ મૂકતા,આપણને $\sigma = Y \alpha \Delta T$ મળે છે.
બળ $F = \sigma A$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $A = \pi r^2$ એ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે.
તેથી,$F = (Y \alpha \Delta T) (\pi r^2)$.
આપેલ પદાર્થ અને તાપમાનના ફેરફાર માટે $Y$,$\alpha$,$\Delta T$ અને $\pi$ અચળ હોવાથી,બળ $F$ એ $r^2$ ના પ્રમાણમાં હોય છે.

(A) જો તાર મુક્ત હોય તો થતું ઉષ્મીય પ્રસરણ $\Delta L = L \alpha \Delta T$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,$L = 2 \,m$,$\alpha = 10^{-6} /^{\circ}C$,અને $\Delta T = 80^{\circ}C - 0^{\circ}C = 80^{\circ}C$ છે.
તેથી,$\Delta L = 2 \times 10^{-6} \times 80 = 1.6 \times 10^{-4} \,m$.
આ પ્રસરણને રોકવા માટે,સંકોચન બળ $F$ એવી રીતે લાગુ પાડવું જોઈએ કે જેથી સંકોચન ઉષ્મીય પ્રસરણ જેટલું થાય.
યંગ મોડ્યુલસના સૂત્ર પરથી,$Y = \frac{F/A}{\Delta L/L}$,તેથી $F = \frac{Y A \Delta L}{L}$.
અહીં $A = 1 \,cm^2 = 10^{-4} \,m^2$ અને $Y = 10^{10} \,N/m^2$ આપેલ છે.
કિંમતો મૂકતા: $F = \frac{10^{10} \times 10^{-4} \times 1.6 \times 10^{-4}}{2}$.
$F = \frac{1.6 \times 10^2}{2} = 0.8 \times 100 = 80 \,N$.

(C) સંયુક્ત સળિયાનું કુલ વિસ્તરણ એ દરેક સળિયાના વ્યક્તિગત વિસ્તરણનો સરવાળો છે.
ધારો કે ત્રણ સળિયાઓ માટે વિસ્તરણ અનુક્રમે $x_1, x_2$ અને $x_3$ છે.
વિસ્તરણ માટેનું સૂત્ર $\Delta l = \frac{Fl}{AY}$ છે.
પ્રથમ સળિયા માટે: $x_1 = \frac{Fl}{AY}$.
બીજા સળિયા માટે: $x_2 = \frac{F(2l)}{(2A)Y} = \frac{Fl}{AY}$.
ત્રીજા સળિયા માટે: $x_3 = \frac{F(3l)}{(3A)Y} = \frac{Fl}{AY}$.
કુલ વિસ્તરણ $x = x_1 + x_2 + x_3 = \frac{Fl}{AY} + \frac{Fl}{AY} + \frac{Fl}{AY} = \frac{3Fl}{AY}$.

(B) લંબાઈમાં થતા વધારા $\Delta L$ નું સૂત્ર $\Delta L = \frac{F L}{A Y}$ છે,જ્યાં $A = \pi r^2$ છે.
તાર $A$ માટે:
$\Delta L_A = \frac{F \cdot L_A}{\pi r_A^2 \cdot Y_A} \dots (1)$
તાર $B$ માટે:
$\Delta L_B = \frac{F \cdot L_B}{\pi r_B^2 \cdot Y_B} \dots (2)$
સમીકરણ $(1)$ ને $(2)$ વડે ભાગતા:
$\frac{\Delta L_A}{\Delta L_B} = \frac{F \cdot L_A}{\pi r_A^2 \cdot Y_A} \times \frac{\pi r_B^2 \cdot Y_B}{F \cdot L_B} = \left(\frac{L_A}{L_B}\right) \times \left(\frac{r_B}{r_A}\right)^2 \times \left(\frac{Y_B}{Y_A}\right)$
આપેલા ગુણોત્તરોની કિંમત મૂકતા:
$\frac{L_A}{L_B} = 4$,$\frac{r_B}{r_A} = \frac{1}{3}$,અને $\frac{Y_B}{Y_A} = \frac{2}{1}$.
$\frac{\Delta L_A}{\Delta L_B} = 4 \times \left(\frac{1}{3}\right)^2 \times 2 = 4 \times \frac{1}{9} \times 2 = \frac{8}{9}$.

(D) કુલ લંબાઈમાં થતો વધારો શોધવા માટે,આપણે સળિયાના દરેક ભાગમાં આંતરિક બળનું વિશ્લેષણ કરીએ છીએ.
$1$. પ્રથમ ભાગ ($I^{st}$ part) માટે (ડાબી બાજુનો $l$ લંબાઈનો વિભાગ): ડાબા છેડા પર લાગતું બળ $3F$ (ડાબી તરફ) છે. સંતુલન જાળવવા માટે,આ વિભાગમાં આંતરિક તણાવ બળ $3F$ હોવું જોઈએ. તેથી,લંબાઈમાં વધારો $\Delta x_1 = \frac{(3F)l}{AE} = \frac{3Fl}{AE}$ છે.
$2$. બીજા ભાગ ($II^{nd}$ part) માટે (જમણી બાજુનો $l$ લંબાઈનો વિભાગ): જમણા છેડા પર લાગતું બળ $F$ (જમણી તરફ) છે. આ વિભાગમાં આંતરિક તણાવ બળ $F$ છે. તેથી,લંબાઈમાં વધારો $\Delta x_2 = \frac{Fl}{AE}$ છે.
$3$. કુલ લંબાઈમાં વધારો: બંને ભાગો ખેંચાઈ રહ્યા હોવાથી,કુલ લંબાઈમાં વધારો $\Delta x = \Delta x_1 + \Delta x_2 = \frac{3Fl}{AE} + \frac{Fl}{AE} = \frac{4Fl}{AE}$ થશે.

(A) ધારો કે મધ્યબિંદુએ થતું નમન $x$ છે. તારના દરેક અડધા ભાગની મૂળ લંબાઈ $l$ છે. દરેક અડધા ભાગની નવી લંબાઈ $\sqrt{l^2 + x^2}$ છે.
તારની લંબાઈમાં થતો વધારો $\Delta L = 2(\sqrt{l^2 + x^2} - l) = 2l(\sqrt{1 + (x/l)^2} - 1)$ છે.
નાના $x/l$ માટે દ્વિપદી અંદાજ $(1 + \epsilon)^n \approx 1 + n\epsilon$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $\Delta L \approx 2l(1 + \frac{1}{2} \frac{x^2}{l^2} - 1) = \frac{x^2}{l}$ મળે છે.
વિકૃતિ (strain) $\frac{\Delta L}{2l} = \frac{x^2/l}{2l} = \frac{x^2}{2l^2}$ છે.
મધ્યબિંદુએ બળ સંતુલન પરથી,$2T \sin \theta = mg$,જ્યાં $\sin \theta = \frac{x}{\sqrt{l^2 + x^2}} \approx \frac{x}{l}$ છે.
તેથી,$2T(x/l) = mg \implies T = \frac{mgl}{2x}$.
પ્રતિબળ (stress) $\frac{T}{A} = \frac{mgl}{2Ax}$ છે.
યંગ મોડ્યુલસ $Y = \frac{\text{Stress}}{\text{Strain}} = \frac{mgl/2Ax}{x^2/2l^2} = \frac{mgl^3}{Ax^3}$ નો ઉપયોગ કરતા.
$x$ માટે ઉકેલતા,આપણને $x^3 = \frac{mgl^3}{YA} \implies x = l \left( \frac{mg}{YA} \right)^{1/3}$ મળે છે.

(C) આપેલ છે કે દરેક તારમાં તણાવ $T$ સમાન છે.
સળિયાના ફ્રી બોડી ડાયાગ્રામ પરથી,કુલ ઉપરની તરફનું બળ $3T$ છે અને નીચેની તરફનું બળ $mg = 15 \times 10 = 150 \, N$ છે.
તેથી,$3T = 150 \, N \Rightarrow T = 50 \, N$.
સળિયાને સપ્રમાણ રીતે ટેકો આપવામાં આવ્યો હોવાથી,દરેક તારમાં લંબાઈમાં થતો વધારો $\Delta L$ સમાન હશે.
આપણે જાણીએ છીએ કે લંબાઈમાં વધારો $\Delta L = \frac{FL}{AY}$,જ્યાં $F$ એ તણાવ,$L$ એ લંબાઈ,$A$ એ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ અને $Y$ એ યંગ મોડ્યુલસ છે.
તમામ તાર માટે $F$,$L$ અને $\Delta L$ સમાન હોવાથી,આપણને $A_C Y_C = A_S Y_S$ મળે છે,જ્યાં $C$ તાંબા માટે અને $S$ સ્ટીલ માટે છે.
તેથી,$\frac{A_C}{A_S} = \frac{Y_S}{Y_C}$.
$A = \frac{\pi d^2}{4}$ મૂકતા,આપણને $\frac{d_C^2}{d_S^2} = \frac{Y_S}{Y_C}$ મળે છે.
$\frac{d_C}{d_S} = \sqrt{\frac{Y_S}{Y_C}} = \sqrt{\frac{190 \times 10^9}{110 \times 10^9}} = \sqrt{\frac{19}{11}}$.

(A) પોતાના વજન હેઠળ સળિયાના વિસ્તરણ માટે, નીચેના છેડાથી $x$ અંતરે $dx$ લંબાઈનો એક નાનો ભાગ ધ્યાનમાં લો.
આ ભાગની નીચેના ભાગનું વજન $W = (\text{ભાગનું દળ}) \times g = (\rho \cdot A \cdot x) \cdot g$ છે, જ્યાં $\rho$ ઘનતા છે, $A$ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે અને $g$ ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગ છે.
આ બિંદુએ પ્રતિબળ $\sigma = \frac{W}{A} = \rho g x$ છે.
હૂકના નિયમનો ઉપયોગ કરતા, વિકૃતિ $\epsilon = \frac{\sigma}{Y} = \frac{\rho g x}{Y}$ છે, જ્યાં $Y$ એ યંગ મોડ્યુલસ છે.
$dx$ ભાગ માટે વિસ્તરણ $dy = \epsilon dx = \frac{\rho g x}{Y} dx$ છે.
નીચેના છેડાથી $x$ અંતરે કુલ વિસ્તરણ $y$ શોધવા માટે, આપણે $0$ થી $x$ સુધી સંકલન કરીએ છીએ:
$y = \int_{0}^{x} \frac{\rho g x'}{Y} dx' = \frac{\rho g}{Y} \left[ \frac{x'^2}{2} \right]_{0}^{x} = \frac{\rho g x^2}{2Y}$.
આમ $y \propto x^2$ હોવાથી, વિસ્તરણ $(y)$ વિરુદ્ધ અંતર $(x)$ નો આલેખ ઉગમબિંદુથી શરૂ થતો ઉપરની તરફ ખુલતો પરવલય છે. તેથી, સાચો વક્ર વિકલ્પ $A$ માં દર્શાવેલ છે.

(D) $L$ લંબાઈ,$b$ પહોળાઈ અને $d$ જાડાઈ ધરાવતા બીમમાં જ્યારે તેના મધ્યબિંદુ પર $W$ જેટલો ભાર મૂકવામાં આવે ત્યારે ઉત્પન્ન થતું નમન (depression) $\delta$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$\delta = \frac{W L^3}{4 Y b d^3}$
જ્યાં $Y$ એ બીમના દ્રવ્યનો યંગ મોડ્યુલસ છે.
આ સંબંધ પરથી સ્પષ્ટ થાય છે કે નમન $\delta$ એ બીમની લંબાઈના ઘન સાથે સમપ્રમાણમાં છે,એટલે કે $\delta \propto L^3$.
તેથી,વિકલ્પ $(D)$ સાચો છે.

(B) ધારો કે સળિયા $AB$ અને $BC$ ની લંબાઈ અનુક્રમે $L_1$ અને $L_2$ છે. તેમના યંગ મોડ્યુલસ $Y_1 = 1.2 \times 10^{11} \, N/m^2$ અને $Y_2 = 1.5 \times 10^{11} \, N/m^2$ છે. તેમના રેખીય પ્રસરણાંક અનુક્રમે $\alpha_1 = 1.5 \times 10^{-5} /^{\circ}C$ અને $\alpha_2$ છે.
કોઈપણ તાપમાનના ફેરફાર $\Delta \theta$ માટે જંકશન $B$ માં કોઈ સ્થાનાંતર ન થાય તે માટે,સળિયા $AB$ નું ઉષ્મીય પ્રસરણ એ સળિયા $BC$ ના ઉષ્મીય સંકોચન જેટલું હોવું જોઈએ.
ઉષ્મીય પ્રસરણ $\Delta L_1 = \alpha_1 L_1 \Delta \theta$.
સળિયા $BC$ માં ઉદ્ભવતું ઉષ્મીય પ્રતિબળ $\sigma = Y_2 \frac{\Delta L_2}{L_2}$ છે. બળ $F = \sigma A = Y_2 A \frac{\Delta L_2}{L_2}$.
જંકશન સ્થાનાંતરિત થતું ન હોવાથી,બંને સળિયા દ્વારા લાગતું બળ સમાન હોવું જોઈએ: $F = \frac{Y_1 A \Delta L_1}{L_1} = \frac{Y_2 A \Delta L_2}{L_2}$.
કોઈ સ્થાનાંતર ન થાય તે માટે $\Delta L_1 = \Delta L_2$ આપેલ છે,તેથી $Y_1 \alpha_1 \Delta \theta = Y_2 \alpha_2 \Delta \theta$.
આમ,$Y_1 \alpha_1 = Y_2 \alpha_2$.
કિંમતો મૂકતા: $(1.2 \times 10^{11}) \times (1.5 \times 10^{-5}) = (1.5 \times 10^{11}) \times \alpha_2$.
$\alpha_2 = \frac{1.2 \times 10^{11} \times 1.5 \times 10^{-5}}{1.5 \times 10^{11}} = 1.2 \times 10^{-5} /^{\circ}C$.

(C) દળ $m$ દ્વારા ઉત્પન્ન થતું વિસ્તરણ $\Delta \ell = \frac{mgL}{AY}$ છે.
ઠંડકને કારણે થતું સંકોચન $\Delta \ell = L\alpha \Delta T$ છે.
તાર તેની મૂળ લંબાઈ પાછી મેળવે છે,તેથી દળને કારણે થતું વિસ્તરણ એ ઠંડકને કારણે થતા સંકોચન જેટલું હોવું જોઈએ:
$\frac{mgL}{AY} = L\alpha \Delta T$
$m$ માટે ઉકેલતા:
$m = \frac{YA\alpha \Delta T}{g}$
આપેલ છે:
$Y = 10^{11} N/m^2$
$A = \pi r^2 = \pi (10^{-3} m)^2 = \pi \times 10^{-6} m^2$
$\alpha = 10^{-5} /^{\circ}C$
$\Delta T = 40^{\circ}C - 30^{\circ}C = 10^{\circ}C$
$g = 10 m/s^2$
કિંમતો મૂકતા:
$m = \frac{10^{11} \times (\pi \times 10^{-6}) \times 10^{-5} \times 10}{10}$
$m = \pi \times 10^{11-6-5+1-1} = \pi \approx 3.14 kg$
આમ,$m$ નું મૂલ્ય આશરે $3 kg$ છે.

(D) તારમાં થતા વધારા (elongation) $\Delta L$ માટેનું સૂત્ર $\Delta L = \frac{FL}{AY}$ છે.
આપેલ કિંમતો:
ભાર $F = 250\,N$
લંબાઈ $L = 100\,m$
ક્ષેત્રફળ $A = 6.25 \times 10^{-4}\,m^2$
યંગ મોડ્યુલસ $Y = 10^{10}\,N/m^2$
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$\Delta L = \frac{250 \times 100}{6.25 \times 10^{-4} \times 10^{10}}$
$\Delta L = \frac{25000}{6.25 \times 10^6}$
$\Delta L = \frac{25000}{6250000} = 0.004\,m$
$\Delta L = 4 \times 10^{-3}\,m$.

(D) આલેખ પરથી,વિસ્તરણ-ભાર વક્રનો ઢાળ $\tan(45^{\circ}) = 1$ છે.
તેથી,$\frac{\Delta L}{F} = 1\,m/N$.
યંગ મોડ્યુલસ $Y$ નું સૂત્ર $Y = \frac{F L}{A \Delta L}$ છે,જ્યાં $L$ લંબાઈ છે,$A$ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે,અને $\Delta L$ વિસ્તરણ છે.
ગોઠવતા,$Y = \frac{L}{A} \times \frac{F}{\Delta L} = \frac{L}{A} \times \frac{1}{1} = \frac{L}{A}$.
અહીં $L = 62.8\,cm = 0.628\,m$ અને વ્યાસ $d = 4\,mm = 4 \times 10^{-3}\,m$ આપેલ છે.
ત્રિજ્યા $r = 2 \times 10^{-3}\,m$.
ક્ષેત્રફળ $A = \pi r^2 = 3.14 \times (2 \times 10^{-3})^2 = 3.14 \times 4 \times 10^{-6} = 12.56 \times 10^{-6}\,m^2$.
કિંમતો મૂકતા: $Y = \frac{0.628}{12.56 \times 10^{-6}} = \frac{628000}{12.56} = 50000 = 5 \times 10^4\,N/m^2$.
આને $x \times 10^4\,N/m^2$ સાથે સરખાવતા,$x = 5$ મળે છે.

(D) યંગ મોડ્યુલસ $Y$ નું સૂત્ર $Y = \frac{F/A}{\Delta \ell / \ell}$ છે,જ્યાં $F$ બળ છે,$A$ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે,$\ell$ મૂળ લંબાઈ છે અને $\Delta \ell$ લંબાઈમાં થતો વધારો છે.
પદાર્થ સમાન હોવાથી (સ્ટીલ),$Y$ અચળ રહેશે. સૂત્રને ગોઠવતા,$\Delta \ell = \frac{F \ell}{Y A}$ મળે.
તાર '$A$' માટે: $\Delta \ell_A = \frac{F \ell_A}{Y A_A} = 0.2\,mm$.
તાર '$B$' માટે: $\ell_B = 2 \ell_A$ અને $d_B = 2.4 d_A$. ક્ષેત્રફળ $A = \pi (d/2)^2$ હોવાથી,$A_B = (2.4)^2 A_A = 5.76 A_A$.
હવે,$\Delta \ell_B = \frac{F \ell_B}{Y A_B} = \frac{F (2 \ell_A)}{Y (5.76 A_A)} = \frac{2}{5.76} \times \left( \frac{F \ell_A}{Y A_A} \right)$.
$\Delta \ell_A = 0.2\,mm$ કિંમત મૂકતા: $\Delta \ell_B = \frac{2}{5.76} \times 0.2 = \frac{0.4}{5.76} \approx 0.06944\,mm$.
આપેલ ફોર્મેટમાં ફેરવતા: $0.06944\,mm = 6.944 \times 10^{-2}\,mm$. નજીકના વિકલ્પ મુજબ,જવાબ $6.9 \times 10^{-2}\,mm$ મળે છે.

(A) ઠંડકને કારણે લંબાઈમાં થતો ઘટાડો $\Delta l = l \alpha \Delta T$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $l = 1\;m$,$\alpha = 2 \times 10^{-5}\;K^{-1}$,અને $\Delta T = (210 - 160) = 50\;K$ આપેલ છે.
તેથી,$\Delta l = 1 \times 2 \times 10^{-5} \times 50 = 10^{-3}\;m$.
મૂળ લંબાઈ પાછી મેળવવા માટે,દળ $M$ એ $\Delta l$ જેટલો વધારો ઉત્પન્ન કરવો જોઈએ.
યંગ મોડ્યુલસના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $Y = \frac{F/A}{\Delta l/l}$,જ્યાં $F = Mg$.
કિંમતો મૂકતા: $2 \times 10^{11} = \frac{Mg / (3 \times 10^{-6})}{10^{-3} / 1}$.
$Mg = 2 \times 10^{11} \times 3 \times 10^{-9} = 600\;N$.
તેથી,$M = \frac{600}{10} = 60\;kg$.