$(a)$ વર્તુળાકાર આડછેદની ત્રિજયા $1\,m$ અને એકમ લંબાઈ દીઠ $\mu $ દળ ધરાવતો સ્ટીલનો તાર છે જ્યારે તાર સમક્ષિતિજ પડેલો હોય કે છત પરથી લટકાવ્યો હોય ત્યારે તેની લંબાઈ $10\, m$ છે. તેના મુકત છેડે $25\, kg$ નો દળ લટકાવેલો છે. જો રેખીય વિકૃતિ $< \,<$ સંગત વિકૃતિ હોય અને તાર નિયમિત હોય, તો તારની લંબાઈનો વધારો કેટલો ? સ્ટીલની ઘનતા $7860\, kgm^{-3}$ અને યંગ મોડયુલસ $2 \times 10^{11}\,Nm^{-2}$ છે.
$(b)$ જો સ્ટીલની મજબૂતાઈ $2.5 \times 10^8\,Nm^{-2}$ હોય, તો તારના નીચેના છેડે કેટલું મહત્તમ વજન લટકાવી શકાય ?
$(a)$ વર્તુળાકાર આડછેદની ત્રિજયા $1\,m$ અને એકમ લંબાઈ દીઠ $\mu $ દળ ધરાવતો સ્ટીલનો તાર છે જ્યારે તાર સમક્ષિતિજ પડેલો હોય કે છત પરથી લટકાવ્યો હોય ત્યારે તેની લંબાઈ $10\, m$ છે. તેના મુકત છેડે $25\, kg$ નો દળ લટકાવેલો છે. જો રેખીય વિકૃતિ $< \,<$ સંગત વિકૃતિ હોય અને તાર નિયમિત હોય, તો તારની લંબાઈનો વધારો કેટલો ? સ્ટીલની ઘનતા $7860\, kgm^{-3}$ અને યંગ મોડયુલસ $2 \times 10^{11}\,Nm^{-2}$ છે.
$(b)$ જો સ્ટીલની મજબૂતાઈ $2.5 \times 10^8\,Nm^{-2}$ હોય, તો તારના નીચેના છેડે કેટલું મહત્તમ વજન લટકાવી શકાય ?
$(a)$ Consider an element $d x$ at a distance $x$ from the load $(x=0)$. If $\mathrm{T}(x)$ and $\mathrm{T}(x+d x)$ are tensions on the two cross sections a distance $d x$ apart then,
$\therefore \mathrm{T}(x+d x)-\mathrm{T}(x)=g d m$
$\quad=\mu g d x$
(where $d m=$ mass of wire $d x$ and $\mu=$ is the mass per unit length $=\frac{d m}{d x}$ )
$\therefore d \mathrm{~T}=\mu g d x \quad[\because \mathrm{T}(x+d x)-\mathrm{T}(x)=d \mathrm{~T}]$
Integrating on both side,
$\therefore \mathrm{T}(x)=\mu g x+\mathrm{C}$
but at $x=0$, tension $\mathrm{T}(0)=0+\mathrm{C}$
$\therefore \mathrm{Mg}=\mathrm{C}$ where $\mathrm{M}$ is suspended mass
$\therefore \mathrm{T}(x)=\mu g x+\mathrm{Mg}$
If element $d x$, increases by length $d r$ then strain $=\frac{d r}{d x}$
Young modulus $\mathrm{Y}=\frac{\frac{\mathrm{T}(x)}{\mathrm{A}}}{\frac{d r}{d x}}$
$\frac{d r}{d x}=\frac{\mathrm{T}(x)}{\mathrm{YA}}$
Similar Questions
$20 \times {10^8}N/{m^2}$ નું પ્રતિબળ લગાવતા સંપૂર્ણ સ્થિતિસ્થાપક તારની લંબાઈ બમણી થઈજતી હોય તો યંગ મોડ્યુલસનું મૂલ્ય કેટલું હશે?
$20 \times {10^8}N/{m^2}$ નું પ્રતિબળ લગાવતા સંપૂર્ણ સ્થિતિસ્થાપક તારની લંબાઈ બમણી થઈજતી હોય તો યંગ મોડ્યુલસનું મૂલ્ય કેટલું હશે?
કુદરતી ચનાઓ પ્રતાન વિકૃતિને કારણે તૂટવાને બદલે મોટે ભાગે વળ કે નમનને કારણે ઉદ્ભવેલા મોટા મૂલ્યના ટોર્કને કારણે તૂટી પડે છે. કોઈ બંધારણની તૂટી પડવાની આવી ક્રિયાને વંકન કહે છે. વૃક્ષો જેવી ઊંચી નળાકારીય રચનાઓના નમન માટેનું જવાબદાર ટોર્ક, તેના પોતાના વજનને કારણે ઉદ્ભવતું હોય છે. આવા કિસ્સામાં તેના ગુરુત્વકેન્દ્રમાંથી પસાર થતો શિરોલંબ, તેના પાયામાંથી પસાર થતો હોતો નથી. આ શિરોલંબને અનુલક્ષીને વૃક્ષના નમન માટેનું જરૂરી ટોર્ક $\frac{{Y\pi {r^4}}}{{4R}}$ જેટલું હોય છે. જ્યાં $Y =$ યંગ મોડ્યુલસ, $r =$ વૃક્ષના થડના આડછેદની ત્રિજ્યા તથા $R$ $=$ નમેલા વૃક્ષ વડે રચાયેલા વક્રની વક્રતાત્રિજયા. પ્રસ્તુત કિસ્સામાં વૃક્ષના થડના આડછેદની આપેલી ત્રિજયા માટે વૃક્ષની સીમાંત ઊંચાઈ (Critical Height) નો અંદાજ મેળવો.
કુદરતી ચનાઓ પ્રતાન વિકૃતિને કારણે તૂટવાને બદલે મોટે ભાગે વળ કે નમનને કારણે ઉદ્ભવેલા મોટા મૂલ્યના ટોર્કને કારણે તૂટી પડે છે. કોઈ બંધારણની તૂટી પડવાની આવી ક્રિયાને વંકન કહે છે. વૃક્ષો જેવી ઊંચી નળાકારીય રચનાઓના નમન માટેનું જવાબદાર ટોર્ક, તેના પોતાના વજનને કારણે ઉદ્ભવતું હોય છે. આવા કિસ્સામાં તેના ગુરુત્વકેન્દ્રમાંથી પસાર થતો શિરોલંબ, તેના પાયામાંથી પસાર થતો હોતો નથી. આ શિરોલંબને અનુલક્ષીને વૃક્ષના નમન માટેનું જરૂરી ટોર્ક $\frac{{Y\pi {r^4}}}{{4R}}$ જેટલું હોય છે. જ્યાં $Y =$ યંગ મોડ્યુલસ, $r =$ વૃક્ષના થડના આડછેદની ત્રિજ્યા તથા $R$ $=$ નમેલા વૃક્ષ વડે રચાયેલા વક્રની વક્રતાત્રિજયા. પ્રસ્તુત કિસ્સામાં વૃક્ષના થડના આડછેદની આપેલી ત્રિજયા માટે વૃક્ષની સીમાંત ઊંચાઈ (Critical Height) નો અંદાજ મેળવો.
નીચેના બધા તાર પર સમાન બળ લગાવવામાં આવે તો લંબાઈમાં મહત્તમ વધારો શેમાં થાય ?
નીચેના બધા તાર પર સમાન બળ લગાવવામાં આવે તો લંબાઈમાં મહત્તમ વધારો શેમાં થાય ?
એક અચળ કદ ધરાવતા લોખંડના ટુકડામાથી એક તાર બનાવવામાં આવે છે તો તેના પર અચળ બળ $F$ લગાવવા તેની લંબાઈમાં થતો વધારો કોના સમપ્રમાણ માં હોય ?
એક અચળ કદ ધરાવતા લોખંડના ટુકડામાથી એક તાર બનાવવામાં આવે છે તો તેના પર અચળ બળ $F$ લગાવવા તેની લંબાઈમાં થતો વધારો કોના સમપ્રમાણ માં હોય ?
સર્કસમાં માનવ પિરામિડમાં સંતુલિત ગ્રુપનો તમામ બોજ એક વ્યક્તિ કે જે પોતાની પીઠના સહારે સુઈ ગયો હોય છે તેના પગ પર ટેકવાય છે (આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ). પિરામિડની રચના કરતાં તમામ કલાકારો, પાટિયા અને ટેબલનું કુલ દળ $280\, kg$ છે. તળિયે પોતાની પીઠ પર સૂઈ રહેલ વ્યક્તિનું દળ $60\, kg$ છે. આ વ્યક્તિના દરેક સાથળનાં હાડકાંની લંબાઈ $50\, cm$ અને અસરકારક ત્રિજ્યા $2.0\, cm$ છે. વધારાના બોજને કારણે સાથળના દરેક હાડકાનું સંકોચન શોધો.
સર્કસમાં માનવ પિરામિડમાં સંતુલિત ગ્રુપનો તમામ બોજ એક વ્યક્તિ કે જે પોતાની પીઠના સહારે સુઈ ગયો હોય છે તેના પગ પર ટેકવાય છે (આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ). પિરામિડની રચના કરતાં તમામ કલાકારો, પાટિયા અને ટેબલનું કુલ દળ $280\, kg$ છે. તળિયે પોતાની પીઠ પર સૂઈ રહેલ વ્યક્તિનું દળ $60\, kg$ છે. આ વ્યક્તિના દરેક સાથળનાં હાડકાંની લંબાઈ $50\, cm$ અને અસરકારક ત્રિજ્યા $2.0\, cm$ છે. વધારાના બોજને કારણે સાથળના દરેક હાડકાનું સંકોચન શોધો.