Young’s Modulus Questions in Gujarati

(D) ઘન સળિયામાં લંબગત તરંગનો વેગ શોધવાનું સૂત્ર $v = \sqrt{\frac{Y}{\rho}}$ છે,જ્યાં $Y$ એ યંગ મોડ્યુલસ છે અને $\rho$ એ પદાર્થની ઘનતા છે.
આપેલ કિંમતો $Y = 3.2 \times 10^{11} \, N m^{-2}$ અને $\rho = 8 \times 10^3 \, kg m^{-3}$ છે.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$v = \sqrt{\frac{3.2 \times 10^{11}}{8 \times 10^3}}$
$v = \sqrt{0.4 \times 10^8}$
$v = \sqrt{40 \times 10^6}$
$v = \sqrt{40} \times 10^3 \, m s^{-1}$
કારણ કે $\sqrt{40} \approx 6.32$,તેથી વેગ $6.32 \times 10^3 \, m s^{-1}$ થશે.

(B) યંગ મોડ્યુલસ $Y$ નું સૂત્ર $Y = \frac{F L}{A \Delta L}$ છે,જ્યાં $F$ એ ભાર છે,$L$ એ લંબાઈ છે,$A$ એ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે અને $\Delta L$ એ લંબાઈમાં થતો ફેરફાર છે.
આપેલ છે કે બંને તાર માટે ભાર $F$ અને લંબાઈમાં થતો ફેરફાર $\Delta L$ સમાન છે,તેથી $Y \propto \frac{L}{A}$.
તાર $A$ માટે: $L_A = 5.0 \, m$,$A_A = 2.5 \times 10^{-5} \, m^2$.
તાર $B$ માટે: $L_B = 6.0 \, m$,$A_B = 3.0 \times 10^{-5} \, m^2$.
યંગ મોડ્યુલસનો ગુણોત્તર $\frac{Y_A}{Y_B} = \frac{L_A / A_A}{L_B / A_B} = \frac{L_A}{A_A} \times \frac{A_B}{L_B}$ થશે.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{Y_A}{Y_B} = \frac{5.0}{2.5 \times 10^{-5}} \times \frac{3.0 \times 10^{-5}}{6.0} = \frac{5.0}{2.5} \times \frac{3.0}{6.0} = 2 \times 0.5 = 1$.
આમ,ગુણોત્તર $1:1$ છે.

(C) આપેલ છે:
લંબાઈ $L = 6\,m$
ક્ષેત્રફળ $A = 3\,mm^2 = 3 \times 10^{-6}\,m^2$
યંગ મોડ્યુલસ $Y = 2 \times 10^{11}\,N/m^2$
દળ $m = 4\,kg$
પૃથ્વી પર ગુરુત્વાકર્ષણ $g_e = 10\,m/s^2$
ગ્રહ પર ગુરુત્વાકર્ષણ $g_p = \frac{1}{4} g_e = \frac{10}{4} = 2.5\,m/s^2$
તારમાં તણાવ $F$ એ ગ્રહ પર બ્લોકના વજન જેટલું હોય છે:
$F = m \times g_p = 4 \times 2.5 = 10\,N$
તારમાં થતા વધારા $\Delta L$ માટેનું સૂત્ર:
$\Delta L = \frac{FL}{AY}$
કિંમતો મૂકતા:
$\Delta L = \frac{10 \times 6}{3 \times 10^{-6} \times 2 \times 10^{11}}$
$\Delta L = \frac{60}{6 \times 10^5} = 10 \times 10^{-5} = 10^{-4}\,m$
મિલીમીટરમાં રૂપાંતર કરતા:
$\Delta L = 10^{-4} \times 10^3\,mm = 0.1\,mm$

(D) આપેલ છે: ત્રિજ્યા $r = 20\,mm = 0.02\,m$,બળ $F = 62.8\,kN = 62.8 \times 10^3\,N$,યંગ મોડ્યુલસ $Y = 2.0 \times 10^{11}\,N/m^2$.
સ્ટ્રેસ (પ્રતિબળ) $\text{Stress} = \frac{F}{A} = \frac{F}{\pi r^2}$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત થાય છે.
કિંમતો મૂકતા: $\text{Stress} = \frac{62.8 \times 10^3}{\pi \times (0.02)^2} = \frac{62.8 \times 10^3}{3.14 \times 4 \times 10^{-4}} = \frac{62.8 \times 10^3}{12.56 \times 10^{-4}} = 5 \times 10^7\,N/m^2$.
રેખીય વિકૃતિ (Strain) $\text{Strain} = \frac{\text{Stress}}{Y}$ દ્વારા મળે છે.
$\text{Strain} = \frac{5 \times 10^7}{2.0 \times 10^{11}} = 2.5 \times 10^{-4}$.
જરૂરી ફોર્મેટમાં રૂપાંતર કરતા: $2.5 \times 10^{-4} = 25 \times 10^{-5}$.

(A) સળિયાને વિસ્તરણ કરતા અટકાવવાથી ઉદ્ભવતું થર્મલ સ્ટ્રેસ $\sigma = Y \alpha \Delta T$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
દબાણ બળ $F = \text{સ્ટ્રેસ} \times A = Y A \alpha \Delta T$ છે.
આપેલ કિંમતો:
$Y = 2 \times 10^{11}\,N/m^2$
$A = 10^{-4}\,m^2$
$\alpha = 10^{-5}\,K^{-1}$
$\Delta T = 200^{\circ}C - 0^{\circ}C = 200\,K$
કિંમતો મૂકતા:
$F = (2 \times 10^{11}) \times (10^{-4}) \times (10^{-5}) \times (200)$
$F = 2 \times 10^{11} \times 10^{-9} \times 200$
$F = 2 \times 10^2 \times 200 = 400 \times 100 = 4 \times 10^4\,N$.
આમ,ઉદ્ભવતું દબાણ બળ $4 \times 10^4\,N$ છે.

(D) પિત્તળના તારમાં તણાવ $(T_1)$ એ $1.14\,kg$ દળને ટેકો આપે છે:
$T_1 = 1.14 \times g = 1.14 \times 10 = 11.4\,N$.
સ્ટીલના તારમાં તણાવ $(T_2)$ એ $2\,kg$ અને $1.14\,kg$ બંને દળને ટેકો આપે છે:
$T_2 = (2 + 1.14) \times g = 3.14 \times 10 = 31.4\,N$.
સ્ટીલના તારમાં લંબાઈમાં વધારો $(\Delta L)$ નીચે મુજબ મળે છે:
$\Delta L = \frac{T_2 L}{A Y} = \frac{T_2 L}{(\pi r^2) Y}$.
આપેલ છે: $T_2 = 31.4\,N$, $L = 1.6\,m$, $r = 0.2\,cm = 0.2 \times 10^{-2}\,m$, $Y = 2 \times 10^{11}\,N/m^2$.
$\Delta L = \frac{31.4 \times 1.6}{\pi \times (0.2 \times 10^{-2})^2 \times 2 \times 10^{11}} = \frac{50.24}{3.14 \times 0.04 \times 10^{-4} \times 2 \times 10^{11}} = \frac{50.24}{2.512 \times 10^7} \approx 20 \times 10^{-6}\,m$.
આમ, લંબાઈમાં વધારો $20 \times 10^{-6}\,m$ છે.

(B) તારમાં વિસ્તરણ $\Delta L$ માટેનું સૂત્ર $\Delta L = \frac{FL}{AY}$ છે,જ્યાં $F$ એ ભાર છે,$L$ એ લંબાઈ છે,$A$ એ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે અને $Y$ એ યંગ મોડ્યુલસ છે.
આપેલ છે કે બંને તાર માટે ભાર $F$ અને લંબાઈ $L$ સમાન છે,તેથી $\Delta L \propto \frac{1}{AY}$.
તેથી,વિસ્તરણનો ગુણોત્તર $\frac{\Delta L_A}{\Delta L_B} = \frac{A_B}{A_A} \times \frac{Y_B}{Y_A}$ થશે.
અહીં $\frac{Y_A}{Y_B} = \frac{1}{4}$ અને $\frac{A_A}{A_B} = \frac{1}{3}$ આપેલ છે.
આ કિંમતો મૂકતા,$\frac{\Delta L_A}{\Delta L_B} = \frac{3}{1} \times \frac{4}{1} = \frac{12}{1}$ મળે છે.
આમ,ગુણોત્તર $12: 1$ છે.

(B) ધારો કે તારની મૂળભૂત લંબાઈ $\ell_0$ છે અને બળ અચળાંક $K$ છે.
હૂકના નિયમ મુજબ,$T = K(\ell - \ell_0)$.
પ્રથમ કિસ્સા માટે: $100 = K(l_1 - \ell_0)$ --- $(1)$
બીજા કિસ્સા માટે: $120 = K(l_2 - \ell_0)$ --- $(2)$
સમીકરણ $(1)$ ને $(2)$ વડે ભાગતા:
$\frac{100}{120} = \frac{l_1 - \ell_0}{l_2 - \ell_0} \Rightarrow \frac{5}{6} = \frac{l_1 - \ell_0}{l_2 - \ell_0}$
$5(l_2 - \ell_0) = 6(l_1 - \ell_0)$
$5l_2 - 5\ell_0 = 6l_1 - 6\ell_0$
$\ell_0 = 6l_1 - 5l_2$
આપેલ છે કે $10l_2 = 11l_1$,તેથી $l_2 = \frac{11}{10}l_1$.
$\ell_0$ ના સમીકરણમાં $l_2$ ની કિંમત મૂકતા:
$\ell_0 = 6l_1 - 5(\frac{11}{10}l_1)$
$\ell_0 = 6l_1 - \frac{11}{2}l_1$
$\ell_0 = \frac{12l_1 - 11l_1}{2} = \frac{1}{2}l_1$
આને $\frac{1}{x}l_1$ સાથે સરખાવતા,આપણને $x = 2$ મળે છે.

(B) યંગ મોડ્યુલસ $Y$ નું સૂત્ર $Y = \frac{F/A}{\Delta L/L} = \frac{FL}{A\Delta L}$ છે,જ્યાં $A = \pi r^2$ છે.
પ્રથમ તાર માટે: $Y = \frac{fL}{(\pi r^2)l} \Rightarrow l = \frac{fL}{Y\pi r^2}$.
બીજા તાર માટે: $Y = \frac{(2f)(2L)}{\pi(2r)^2 l'} = \frac{4fL}{4\pi r^2 l'} = \frac{fL}{\pi r^2 l'}$.
$Y$ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા: $\frac{fL}{\pi r^2 l} = \frac{fL}{\pi r^2 l'}$.
તેથી,$l' = l$.

(D) યંગ મોડ્યુલસ $Y$ નું સૂત્ર: $Y = \frac{\text{Stress}}{\text{Strain}} = \frac{F/A}{\ell/L} = \frac{FL}{A\ell}$.
અહીં $A = \pi r^2$ હોવાથી,$Y = \frac{FL}{\pi r^2 \ell}$,જેનો અર્થ છે કે $\ell = \frac{FL}{Y \pi r^2}$.
પ્રારંભિક સ્થિતિમાં,લંબાઈમાં વધારો $\ell = \frac{FL}{Y \pi r^2}$ છે.
નવી સ્થિતિમાં,બળ $F' = F/2$ અને ત્રિજ્યા $r' = r/2$ છે. લંબાઈ $L$ અચળ રહે છે.
નવો વધારો $\ell'$ આ મુજબ મળે: $\ell' = \frac{F' L}{Y \pi (r')^2} = \frac{(F/2) L}{Y \pi (r/2)^2}$.
આનું સાદું રૂપ આપતા: $\ell' = \frac{(F/2) L}{Y \pi (r^2/4)} = \frac{FL}{2 Y \pi (r^2/4)} = \frac{FL}{Y \pi r^2 / 2} = 2 \times \frac{FL}{Y \pi r^2}$.
પ્રારંભિક $\ell$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $\ell' = 2\ell$ મળે છે.
તેથી,લંબાઈમાં થતો વધારો મૂળ મૂલ્ય કરતા $2$ ગણો થશે.

(A) યંગ મોડ્યુલસ $Y$ નું સૂત્ર $Y = \frac{\text{Stress}}{\text{Strain}} = \frac{F/A}{\Delta l/l} = \frac{Fl}{A\Delta l}$ છે.
વિસ્તરણ માટે સૂત્રને ગોઠવતા,$\Delta l = \frac{Fl}{AY}$ મળે છે.
કદ $V = A \times l$ હોવાથી,આપણે $l = \frac{V}{A}$ લખી શકીએ.
$l$ ની કિંમત વિસ્તરણના સૂત્રમાં મૂકતા: $\Delta l = \frac{F(V/A)}{AY} = \frac{FV}{A^2Y}$.
બંને તાર માટે $Y$ અને $V$ સમાન હોવાથી,$\Delta l \propto \frac{F}{A^2}$.
અહીં $\Delta l_1 = \Delta l_2$ આપેલ હોવાથી,$\frac{F_1}{A_1^2} = \frac{F_2}{A_2^2}$ થાય.
તેથી,$\frac{F_1}{F_2} = \frac{A_1^2}{A_2^2} = \left(\frac{A_1}{A_2}\right)^2$.
ક્ષેત્રફળનો ગુણોત્તર $\frac{A_1}{A_2} = \frac{4}{1}$ આપેલ હોવાથી,$\frac{F_1}{F_2} = (4)^2 = 16$ મળે છે.

(C) યંગ મોડ્યુલસ એ તારના દ્રવ્યનો આંતરિક ગુણધર્મ છે.
તે માત્ર દ્રવ્યની પ્રકૃતિ અને તાપમાન પર આધાર રાખે છે,તારના પરિમાણો જેવા કે તેની લંબાઈ $L$ અથવા આડછેદના ક્ષેત્રફળ $A$ પર આધાર રાખતું નથી.
તેથી,જો લંબાઈ બમણી કરવામાં આવે અને આડછેદનું ક્ષેત્રફળ અડધું કરવામાં આવે,તો પણ યંગ મોડ્યુલસ $Y$ બદલાતો નથી.

(D) તારમાં તણાવબળ $T$ એ એટવુડ મશીન માટેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$T = \frac{2 m_1 m_2}{m_1 + m_2} g = \frac{2 \times 2 \times 4}{2 + 4} \times 10 = \frac{16}{6} \times 10 = \frac{80}{3} \ N$
તારનું આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $A$:
$A = \pi r^2 = \pi (4.0 \times 10^{-5})^2 = 16 \pi \times 10^{-10} \ m^2$
રેખીય વિકૃતિની વ્યાખ્યા:
$\text{Strain} = \frac{\Delta \ell}{\ell} = \frac{F}{AY} = \frac{T}{AY}$
કિંમતો મૂકતા:
$\text{Strain} = \frac{80/3}{16 \pi \times 10^{-10} \times 2.0 \times 10^{11}}$
$\text{Strain} = \frac{80/3}{32 \pi \times 10} = \frac{80}{3 \times 320 \pi} = \frac{80}{960 \pi} = \frac{1}{12 \pi}$
આને $\frac{1}{\alpha \pi}$ સાથે સરખાવતા,આપણને $\alpha = 12$ મળે છે.

(B) યંગનો સ્થિતિસ્થાપકતા મોડ્યુલસ $(Y)$ એ પદાર્થની જડતાનું માપ છે.
જ્યારે ઘન પદાર્થનું તાપમાન વધે છે,ત્યારે અણુઓની ઉષ્મીય ઉર્જા વધે છે,જેના કારણે આંતર-પરમાણ્વીય બંધો નબળા પડે છે.
જેમ જેમ આંતર-પરમાણ્વીય બળો ઘટે છે,તેમ પદાર્થ ઓછો જડ બને છે,જે યંગના સ્થિતિસ્થાપકતા મોડ્યુલસમાં ઘટાડો તરફ દોરી જાય છે.
તેથી,તાપમાનમાં વધારો થવાથી,યંગનો સ્થિતિસ્થાપકતા મોડ્યુલસ ઘટે છે.

(D) રેખીય વિકૃતિ $\text{Strain} = \frac{\Delta L}{L} = \frac{F}{AY}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બંને તાર માટે આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $A$ અને યંગ મોડ્યુલસ $Y$ સમાન હોવાથી,વિકૃતિ એ તારમાં રહેલા તણાવ બળ $F$ ના સમપ્રમાણમાં હોય છે.
નીચેના તાર માટે,તણાવ બળ $F_2$ એ $1 \ kg$ ના ભારને કારણે છે: $F_2 = m_2 g = 1 \ kg \times 10 \ ms^{-2} = 10 \ N$.
ઉપરના તાર માટે,તણાવ બળ $F_1$ એ $2 \ kg$ અને $1 \ kg$ બંને ભારને કારણે છે: $F_1 = (m_1 + m_2) g = (2 \ kg + 1 \ kg) \times 10 \ ms^{-2} = 30 \ N$.
ઉપરના તારની રેખીય વિકૃતિ અને નીચેના તારની રેખીય વિકૃતિનો ગુણોત્તર:
$\frac{\text{Strain}_1}{\text{Strain}_2} = \frac{F_1 / AY}{F_2 / AY} = \frac{F_1}{F_2} = \frac{30 \ N}{10 \ N} = 3$.

(C) દળના સંતુલન માટે શિરોલંબ દિશામાં,તારમાં રહેલા તણાવ $T$ ના શિરોલંબ ઘટકો દળના વજનને સંતુલિત કરે છે:
$2T \sin \theta = mg$
અહીં $m = 2 \text{ kg}$,$g = 10 \text{ m/s}^2$,અને $\theta = \frac{1}{100} \text{ rad}$ આપેલ છે. નાના ખૂણાના અંદાજનો ઉપયોગ કરતા $\sin \theta \approx \theta$:
$2T \theta = 20$
$T = \frac{10}{\theta} = \frac{10}{1/100} = 1000 \text{ N}$
તારની મૂળ લંબાઈ $2L = 2 \text{ m}$ છે,તેથી $L = 1 \text{ m}$.
તારની નવી લંબાઈ $2 \sqrt{L^2 + x^2}$ છે,જ્યાં $x = L \tan \theta \approx L \theta$.
લંબાઈમાં ફેરફાર $\Delta L$ નીચે મુજબ છે:
$\Delta L = 2 \sqrt{L^2 + x^2} - 2L = 2L \left( \sqrt{1 + \tan^2 \theta} - 1 \right) \approx 2L \left( 1 + \frac{\tan^2 \theta}{2} - 1 \right) = L \tan^2 \theta \approx L \theta^2$
$\Delta L = 1 \times (1/100)^2 = 10^{-4} \text{ m}$
યંગ મોડ્યુલસ $Y = \frac{T/A}{\Delta L / (2L)}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$2 \times 10^{11} = \frac{1000 / A}{10^{-4} / 2}$
$2 \times 10^{11} = \frac{2000}{A \times 10^{-4}}$
$A = \frac{2000}{2 \times 10^{11} \times 10^{-4}} = \frac{1000}{10^7} = 10^{-4} \text{ m}^2$
આમ,$A$ નું મૂલ્ય $1 \times 10^{-4} \text{ m}^2$ છે.

(C) યંગ મોડ્યુલસ $(Y)$ માટેનું સૂત્ર $Y = \frac{F/A}{\Delta \ell / \ell}$ છે, જ્યાં $F$ એ લાગુ પાડેલ બળ છે, $A$ એ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે, $\ell$ એ મૂળ લંબાઈ છે અને $\Delta \ell$ એ લંબાઈમાં થતો ફેરફાર છે.
આપેલ છે:
બળ $F = 200 \, N$ (નોંધ: જ્યારે તારને બંને છેડેથી $200 \, N$ ના બળથી ખેંચવામાં આવે, ત્યારે તારમાં ઉદ્ભવતું તણાવબળ $200 \, N$ જ રહે છે)
મૂળ લંબાઈ $\ell = 2 \, m$
આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $A = 2 \, cm^2 = 2 \times 10^{-4} \, m^2$
યંગ મોડ્યુલસ $Y = 1 \times 10^{11} \, N \, m^{-2}$
લંબાઈમાં થતો વધારો $\Delta \ell$ શોધવા માટે સૂત્રને ફરીથી ગોઠવતા:
$\Delta \ell = \frac{F \ell}{AY}$
કિંમતો મૂકતા:
$\Delta \ell = \frac{200 \times 2}{(2 \times 10^{-4}) \times (1 \times 10^{11})}$
$\Delta \ell = \frac{400}{2 \times 10^7}$
$\Delta \ell = 200 \times 10^{-7} \, m$
$\Delta \ell = 2 \times 10^{-5} \, m$
માઈક્રોમીટર $(\mu m)$ માં રૂપાંતર કરતા:
$1 \, m = 10^6 \, \mu m$
$\Delta \ell = 2 \times 10^{-5} \times 10^6 \, \mu m = 20 \, \mu m$.

(D) મહત્તમ લંબાઈમાં વધારા માટે,લાગુ પડતું સ્ટ્રેસ (પ્રતિબળ) પદાર્થની સ્થિતિસ્થાપક મર્યાદા જેટલું હોવું જોઈએ.
આપેલ છે:
તારની લંબાઈ,$L = 1 \,m$
સ્થિતિસ્થાપક મર્યાદા (મહત્તમ પ્રતિબળ),$\sigma = 8 \times 10^8 \,N \,m^{-2}$
યંગ મોડ્યુલસ,$Y = 2 \times 10^{11} \,N \,m^{-2}$
યંગ મોડ્યુલસના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $Y = \frac{\text{Stress}}{\text{Strain}} = \frac{\sigma}{\Delta L / L}$
લંબાઈમાં વધારા $\Delta L$ માટે સૂત્રને ગોઠવતા:
$\Delta L = \frac{\sigma \times L}{Y}$
કિંમતો મૂકતા:
$\Delta L = \frac{8 \times 10^8 \times 1}{2 \times 10^{11}}$
$\Delta L = 4 \times 10^{-3} \,m$
મિલીમીટરમાં રૂપાંતર કરતા:
$\Delta L = 4 \,mm$
આમ,મહત્તમ લંબાઈમાં વધારો $4 \,mm$ છે.

(A) સળિયામાં ઉત્પન્ન થતી ઉષ્મીય વિકૃતિ $\epsilon = \alpha \Delta T$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $\alpha = 10^{-5} \,^{\circ}C^{-1}$ અને $\Delta T = 100^{\circ}C - 0^{\circ}C = 100^{\circ}C$ આપેલ છે.
તેથી, $\epsilon = 10^{-5} \times 100 = 10^{-3}$.
સળિયાને વિસ્તરણ કરતા અટકાવવામાં આવતો હોવાથી, સંકોચન પ્રતિબળ $\sigma = Y \times \epsilon$ દ્વારા મળે છે, જ્યાં $Y$ એ યંગ મોડ્યુલસ છે.
$\sigma = (0.5 \times 10^{11} \,N \,m^{-2}) \times 10^{-3} = 0.5 \times 10^8 \,N \,m^{-2}$.
સંકોચન બળ $F = \sigma \times A$ દ્વારા મળે છે, જ્યાં $A$ એ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે.
$F = (0.5 \times 10^8 \,N \,m^{-2}) \times (10^{-3} \,m^2) = 0.5 \times 10^5 \,N = 50 \times 10^3 \,N$.

(B) યંગ મોડ્યુલસનું સૂત્ર $Y = \frac{FL}{Ae} = \frac{4FL}{\pi D^2 e}$ છે.
આપેલ છે: $L = 2 \,m$, $F = 1.0 \times 9.8 \,N$, $e = 0.8 \times 10^{-3} \,m$, $\Delta e = 0.05 \times 10^{-3} \,m$, $D = 0.4 \times 10^{-3} \,m$, $\Delta D = 0.01 \times 10^{-3} \,m$.
પ્રથમ, $Y$ નું મૂલ્ય ગણો:
$Y = \frac{4 \times 9.8 \times 2}{\pi \times (0.4 \times 10^{-3})^2 \times (0.8 \times 10^{-3})} = \frac{78.4}{\pi \times 0.16 \times 10^{-6} \times 0.8 \times 10^{-3}} \approx 1.95 \times 10^{11} \,N/m^2 \approx 2.0 \times 10^{11} \,N/m^2$.
હવે, સાપેક્ષ અનિશ્ચિતતા $\frac{\Delta Y}{Y}$ ગણો:
$\frac{\Delta Y}{Y} = \frac{\Delta F}{F} + \frac{\Delta L}{L} + 2\frac{\Delta D}{D} + \frac{\Delta e}{e}$.
$F$ અને $L$ ચોક્કસ હોવાથી, $\frac{\Delta F}{F} = 0$ અને $\frac{\Delta L}{L} = 0$.
$\frac{\Delta Y}{Y} = 2 \left( \frac{0.01}{0.4} \right) + \left( \frac{0.05}{0.8} \right) = 2(0.025) + 0.0625 = 0.05 + 0.0625 = 0.1125$.
નિર્પેક્ષ અનિશ્ચિતતા $\Delta Y = 0.1125 \times Y = 0.1125 \times 1.95 \times 10^{11} \approx 0.22 \times 10^{11} \,N/m^2$.
એક દશાંશ સ્થળ સુધી રાઉન્ડ ઓફ કરતા, $\Delta Y \approx 0.2 \times 10^{11} \,N/m^2$.
આમ, $Y = (2.0 \pm 0.2) \times 10^{11} \,N/m^2$.

(C) $L$ લંબાઈ, $A$ આડછેદ અને $Y$ યંગ મોડ્યુલસ ધરાવતા તાર પર લટકાવેલા $m$ દળની કોણીય આવૃત્તિ $\omega$ નું સૂત્ર $\omega = \sqrt{\frac{YA}{mL}}$ છે。
આપેલ છે: $m = 0.1 \,kg$, $L = 1 \,m$, $A = 4.9 \times 10^{-7} \,m^2$, $\omega = 140 \,rad \,s^{-1}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $\omega^2 = \frac{YA}{mL}$.
$Y$ ને કર્તા બનાવતા: $Y = \frac{\omega^2 mL}{A}$.
કિંમતો મૂકતા: $Y = \frac{(140)^2 \times 0.1 \times 1}{4.9 \times 10^{-7}} = \frac{19600 \times 0.1}{4.9 \times 10^{-7}} = \frac{1960}{4.9 \times 10^{-7}} = 400 \times 10^7 = 4 \times 10^9 \,N \,m^{-2}$.
આને $n \times 10^9 \,N \,m^{-2}$ સાથે સરખાવતા, આપણને $n = 4$ મળે છે.

(A) $m$ દળ દ્વારા ઉત્પન્ન થતું વિસ્તરણ $\Delta L = \frac{FL}{AY} = \frac{mgL}{AY}$ છે.
ઠંડકને કારણે થતું સંકોચન $\Delta L = L \alpha \Delta T$ છે.
તાર તેની મૂળ લંબાઈ પાછી મેળવે છે,તેથી દળને કારણે થતું વિસ્તરણ એ ઠંડકને કારણે થતા સંકોચન જેટલું હોવું જોઈએ:
$\frac{mgL}{AY} = L \alpha \Delta T \Rightarrow mg = AY \alpha \Delta T$.
અહીં $r = 1 \ mm = 10^{-3} \ m$,તેથી $A = \pi r^2 = \pi \times (10^{-3})^2 = \pi \times 10^{-6} \ m^2$.
આપેલ છે કે $\Delta T = 40^{\circ} C - 30^{\circ} C = 10^{\circ} C$,$\alpha = 10^{-5} /^{\circ} C$,$Y = 10^{11} \ N/m^2$,અને $g \approx 10 \ m/s^2$.
કિંમતો મૂકતા:
$m = \frac{A Y \alpha \Delta T}{g} = \frac{(\pi \times 10^{-6}) \times 10^{11} \times 10^{-5} \times 10}{10} = \pi \approx 3.14 \ kg$.
નજીકના પૂર્ણાંકમાં,$m \approx 3 \ kg$.

(A) યંગ મોડ્યુલસનું સૂત્ર $Y = \frac{4 MLg}{\pi \ell d^2}$ છે.
$Y$ માં મહત્તમ સાપેક્ષ ભૂલ $\left(\frac{\Delta Y}{Y}\right)_{\max} = \frac{\Delta \ell}{\ell} + 2 \frac{\Delta d}{d}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બંને સાધનોનું લઘુત્તમ માપ (Least Count) $\text{LC} = \frac{\text{pitch}}{\text{divisions}} = \frac{0.5 \ mm}{100} = 0.005 \ mm$ છે. તેથી,$\Delta d = \Delta \ell = 0.005 \ mm$.
$\ell$ ને કારણે સાપેક્ષ ભૂલનો ફાળો $\frac{\Delta \ell}{\ell} = \frac{0.005 \ mm}{0.25 \ mm} = 0.02$ છે.
$d$ ને કારણે સાપેક્ષ ભૂલનો ફાળો $2 \frac{\Delta d}{d} = 2 \times \frac{0.005 \ mm}{0.5 \ mm} = 2 \times 0.01 = 0.02$ છે.
બંને ફાળો $0.02$ જેટલો સમાન હોવાથી,$d$ અને $\ell$ ના માપનમાં થતી ભૂલો $Y$ ની મહત્તમ સંભવિત ભૂલમાં સમાન ફાળો આપે છે.

(C) ધારો કે $T_S$ એ સ્ટીલના તારમાં તણાવ છે અને $T_C$ એ તાંબાના તારમાં તણાવ છે.
ક્ષૈતિજ $(x)$ દિશામાં બળોનું સંતુલન લેતા:
$T_C \cos 30^{\circ} = T_S \cos 60^{\circ}$
$T_C \times \frac{\sqrt{3}}{2} = T_S \times \frac{1}{2}$
$T_S = \sqrt{3} T_C \quad \dots (i)$
શિરોલંબ $(y)$ દિશામાં બળોનું સંતુલન લેતા:
$T_C \sin 30^{\circ} + T_S \sin 60^{\circ} = 100$
$\frac{T_C}{2} + \frac{T_S \sqrt{3}}{2} = 100 \quad \dots (ii)$
સમીકરણ $(i)$ ને $(ii)$ માં મૂકતા:
$\frac{T_C}{2} + \frac{(\sqrt{3} T_C) \sqrt{3}}{2} = 100$
$\frac{T_C}{2} + \frac{3 T_C}{2} = 100 \implies 2 T_C = 100 \implies T_C = 50 \ N$
$T_S = \sqrt{3} \times 50 = 50\sqrt{3} \ N$
લંબાઈમાં વધારાનું સૂત્ર $\Delta \ell = \frac{FL}{AY}$ વાપરતા:
$\frac{\Delta \ell_C}{\Delta \ell_S} = \frac{T_C L_C}{A_C Y_C} \times \frac{A_S Y_S}{T_S L_S}$
અહીં $A_C = A_S = 0.5 \ cm^2$,$L_C = \sqrt{3} \ m$,$L_S = 1 \ m$,$Y_C = 1 \times 10^{11} \ N/m^2$,$Y_S = 2 \times 10^{11} \ N/m^2$ છે:
$\frac{\Delta \ell_C}{\Delta \ell_S} = \left( \frac{50 \times \sqrt{3}}{0.5 \times 10^{11}} \right) \times \left( \frac{0.5 \times 2 \times 10^{11}}{50\sqrt{3} \times 1} \right) = \frac{50\sqrt{3}}{50\sqrt{3}} \times \frac{2}{1} = 2$
આમ,ગુણોત્તર $2$ છે.

(C) ધારો કે પાતળા તારની લંબાઈ $L_1 = L$ અને ત્રિજ્યા $r_1 = R$ છે. તેનું ક્ષેત્રફળ $A_1 = \pi R^2$ છે.
ધારો કે જાડા તારની લંબાઈ $L_2 = 2L$ અને ત્રિજ્યા $r_2 = 2R$ છે. તેનું ક્ષેત્રફળ $A_2 = \pi (2R)^2 = 4\pi R^2 = 4A_1$ છે.
તાર શ્રેણીમાં હોવાથી,બંને તાર પર સમાન બળ $F$ લાગે છે.
યંગ મોડ્યુલસ $Y = \frac{F/A}{\Delta L/L}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,તેથી $\Delta L = \frac{FL}{AY}$.
પાતળા તાર માટે: $\Delta L_1 = \frac{FL_1}{A_1 Y} = \frac{FL}{\pi R^2 Y}$.
જાડા તાર માટે: $\Delta L_2 = \frac{FL_2}{A_2 Y} = \frac{F(2L)}{(4\pi R^2) Y} = \frac{FL}{2\pi R^2 Y}$.
પાતળા તારમાં થતા વિસ્તરણ અને જાડા તારમાં થતા વિસ્તરણનો ગુણોત્તર $\frac{\Delta L_1}{\Delta L_2} = \frac{FL/\pi R^2 Y}{FL/2\pi R^2 Y} = 2$ થાય છે.

(D) હૂકના નિયમ મુજબ,દોરીમાં તણાવ $T$ તેની લંબાઈમાં થતા વધારાના સમપ્રમાણમાં હોય છે: $T = K(\ell - \ell_0)$,જ્યાં $K$ એ બળ અચળાંક છે,$\ell$ એ ખેંચાયેલી લંબાઈ છે અને $\ell_0$ એ મૂળ લંબાઈ છે.
પ્રથમ કિસ્સા માટે: $5 = K(1.4 - \ell_0)$ -- (સમીકરણ $1$)
બીજા કિસ્સા માટે: $7 = K(1.56 - \ell_0)$ -- (સમીકરણ $2$)
સમીકરણ $1$ ને સમીકરણ $2$ વડે ભાગતા:
$\frac{5}{7} = \frac{1.4 - \ell_0}{1.56 - \ell_0}$
$5(1.56 - \ell_0) = 7(1.4 - \ell_0)$
$7.8 - 5\ell_0 = 9.8 - 7\ell_0$
$2\ell_0 = 9.8 - 7.8$
$2\ell_0 = 2.0$
$\ell_0 = 1 \ m$.

(B) આપેલ છે: $\frac{L_A}{L_B} = \frac{1}{3}$ અને $\frac{d_A}{d_B} = 2$.
તારની લંબાઈમાં થતો વધારો $\Delta L$ એ સૂત્ર $\Delta L = \frac{FL}{AY}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $F$ એ બળ છે,$L$ એ લંબાઈ છે,$A$ એ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે અને $Y$ એ યંગ મોડ્યુલસ છે.
બંને તાર સમાન દ્રવ્યના બનેલા હોવાથી,$Y_A = Y_B$. આપેલ છે કે લાગુ પાડવામાં આવેલ બળ સમાન છે,તેથી $F_A = F_B$.
લંબાઈમાં થતા વધારાનો ગુણોત્તર $\frac{\Delta L_A}{\Delta L_B} = \frac{F_A L_A}{A_A Y_A} \times \frac{A_B Y_B}{F_B L_B} = \left(\frac{L_A}{L_B}\right) \left(\frac{A_B}{A_A}\right)$ છે.
ક્ષેત્રફળ $A = \pi r^2 = \pi (d/2)^2 = \frac{\pi d^2}{4}$ હોવાથી,ક્ષેત્રફળનો ગુણોત્તર $\frac{A_B}{A_A} = \left(\frac{d_B}{d_A}\right)^2$ થાય.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $\frac{\Delta L_A}{\Delta L_B} = \left(\frac{1}{3}\right) \times \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{3} \times \frac{1}{4} = \frac{1}{12}$.

(A) યંગ મોડ્યુલસ $(Y)$ માટેનું સૂત્ર $Y = \frac{F \cdot L}{A \cdot \Delta L}$ છે.
અહીં,$F = mg = 50 \times 3 \pi \ N$,$L = 3 \ m$,$r = 3 \times 10^{-3} \ m$,અને $\Delta L = 0.1 \times 10^{-3} \ m$ છે.
ક્ષેત્રફળ $A = \pi r^2 = \pi \times (3 \times 10^{-3})^2 = 9 \pi \times 10^{-6} \ m^2$ થાય.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$Y = \frac{(50 \times 3 \pi) \times 3}{(9 \pi \times 10^{-6}) \times (0.1 \times 10^{-3})}$
$Y = \frac{450 \pi}{0.9 \pi \times 10^{-9}} = \frac{450}{0.9} \times 10^9 = 500 \times 10^9 = 5 \times 10^{11} \ Nm^{-2}$.
આને $P \times 10^{11} \ Nm^{-2}$ સાથે સરખાવતા,આપણને $P = 5$ મળે છે.

(A) યંગ મોડ્યુલસ $(Y)$ નું સૂત્ર $Y = \frac{F \cdot \ell}{A \cdot \Delta \ell} = \frac{F}{A \cdot (\Delta \ell / \ell)}$ છે.
આપેલ છે:
ક્ષેત્રફળ $(A)$ = $10^{-6} \ m^2$
વિકૃતિ $(\Delta \ell / \ell)$ = $0.1 \% = 0.1 / 100 = 10^{-3}$
તણાવબળ $(F)$ = $1000 \ N$
કિંમતો મૂકતા:
$Y = \frac{1000}{10^{-6} \times 10^{-3}}$
$Y = \frac{10^3}{10^{-9}}$
$Y = 10^{12} \ N/m^2$.

(B) લંબાઈમાં થતા ફેરફાર (વિસ્તરણ) માટેનું સૂત્ર $\Delta \ell = \frac{F \ell}{AY}$ છે.
અહીં,$F = mg = 8000 \ kg \times 10 \ m/s^2 = 80000 \ N$ છે.
આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $A = \frac{\pi d^2}{4}$,જ્યાં $d = 2.5 \ mm = 2.5 \times 10^{-3} \ m$ છે.
$A = \frac{3.14 \times (2.5 \times 10^{-3})^2}{4} \approx 4.906 \times 10^{-6} \ m^2$.
કિંમતો મૂકતા: $\Delta \ell = \frac{80000 \times 3.14}{4.906 \times 10^{-6} \times 2 \times 10^{11}}$.
$\Delta \ell = \frac{251200}{9.812 \times 10^5} \approx 0.0256 \times 10^{-2} \ m = 0.256 \times 10^{-3} \ m = 0.256 \ mm$.
આપેલા વિકલ્પો અને આવા પ્રશ્નોમાં સામાન્ય અંદાજોને ધ્યાનમાં લેતા,સૌથી નજીકની કિંમત $0.026 \ mm$ છે.

(B) યંગ મોડ્યુલસ $Y$ ને $Y = \frac{F/A}{\Delta l/l}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
તાર સમાન હોવાથી,તેમની લંબાઈ $l$ અને આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $A$ સમાન છે. ખેંચાણ બળ $F$ પણ બંને માટે સમાન છે.
તેથી,$Y \propto \frac{1}{\Delta l}$.
આપેલ છે કે $Q$ નું વિસ્તરણ $P$ કરતા વધારે છે,એટલે કે $(\Delta l)_Q > (\Delta l)_P$.
જેમ કે $Y$ એ વિસ્તરણના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં છે,તેથી $Y_P > Y_Q$ મળે છે.
વધુ યંગ મોડ્યુલસ સૂચવે છે કે પદાર્થ વધુ સ્થિતિસ્થાપક છે (વિરૂપણ સામે વધુ પ્રતિકાર).
આમ,$P$ એ $Q$ કરતા વધુ સ્થિતિસ્થાપક છે.

(A) ધારો કે તારની લંબાઈ $L$,આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $A$ અને કદ $V$ છે. કદ અચળ હોવાથી,$V = A \times L$,જેનો અર્થ છે કે $A = \frac{V}{L}$.
યંગ મોડ્યુલસના સૂત્ર મુજબ,$Y = \frac{F \times L}{A \times \Delta L}$,જ્યાં $\Delta L$ એ લંબાઈમાં થતો વધારો છે.
$\Delta L$ માટે સૂત્ર બનાવતા,આપણને મળે છે $\Delta L = \frac{F \times L}{Y \times A}$.
સમીકરણમાં $A = \frac{V}{L}$ મૂકતા,આપણને મળે છે $\Delta L = \frac{F \times L}{Y \times (V/L)} = \frac{F \times L^{2}}{Y \times V}$.
અહીં $F$,$Y$,અને $V$ અચળ હોવાથી,લંબાઈમાં થતો વધારો $\Delta L$ એ $L^{2}$ ના પ્રમાણમાં છે.

(A) તારમાં થતું વિસ્તરણ $\Delta l$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\Delta l = \frac{F \cdot l}{Y \cdot A}$,જ્યાં $F$ એ લાગુ પાડેલ બળ છે,$l$ એ લંબાઈ છે,$Y$ એ યંગ મોડ્યુલસ છે,અને $A$ એ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે.
બંને તાર સમાન દ્રવ્યના બનેલા હોવાથી,$Y$ બંને માટે સમાન રહેશે. ક્ષેત્રફળ $A = \pi r^2$.
જાડા તાર $(1)$ માટે: $l_1 = 2L$,$r_1 = 2R$,$A_1 = \pi (2R)^2 = 4\pi R^2$.
પાતળા તાર $(2)$ માટે: $l_2 = L$,$r_2 = R$,$A_2 = \pi R^2$.
બંને તાર શ્રેણીમાં જોડાયેલા હોવાથી,બંને પર સમાન બળ $F$ લાગે છે.
તેથી,વિસ્તરણનો ગુણોત્તર:
$\frac{\Delta l_1}{\Delta l_2} = \frac{F \cdot l_1 / (Y \cdot A_1)}{F \cdot l_2 / (Y \cdot A_2)} = \frac{l_1}{l_2} \cdot \frac{A_2}{A_1}$
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{\Delta l_1}{\Delta l_2} = \frac{2L}{L} \cdot \frac{\pi R^2}{4\pi R^2} = 2 \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{2}$.
આમ,જાડા તારમાં થતા વિસ્તરણ અને પાતળા તારમાં થતા વિસ્તરણનો ગુણોત્તર $1:2$ છે.

(A) તારની લંબાઈમાં થતો વધારો $\Delta L$ એ સૂત્ર $\Delta L = \frac{FL}{AY}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $F$ એ બળ છે,$L$ એ લંબાઈ છે,$A$ એ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે અને $Y$ એ યંગ મોડ્યુલસ છે.
બંને તાર માટે $F$,$L$ અને $Y$ સમાન હોવાથી,$\Delta L \propto \frac{1}{A}$ થાય.
તારનું દળ $m$ એ $m = \rho AL$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\rho$ એ ઘનતા છે. $\rho$ અને $L$ સમાન હોવાથી,$m \propto A$ થાય.
તેથી,$\Delta L \propto \frac{1}{m}$ થાય.
દળનો ગુણોત્તર $\frac{m_1}{m_2} = \frac{3}{4}$ આપેલ હોવાથી,લંબાઈમાં થતા વધારાનો ગુણોત્તર $\frac{\Delta L_1}{\Delta L_2} = \frac{m_2}{m_1} = \frac{4}{3}$ થશે.

(B) યંગ મોડ્યુલસ $Y$ નું સૂત્ર: $Y = \frac{F \cdot l}{A \cdot \Delta l}$ છે.
કદ $V = A \cdot l$ હોવાથી,$l = \frac{V}{A}$ લખી શકાય.
આ કિંમત સૂત્રમાં મૂકતા: $Y = \frac{F \cdot (V/A)}{A \cdot \Delta l} = \frac{F \cdot V}{A^2 \cdot \Delta l}$.
વિસ્તરણ $\Delta l$ માટે સૂત્ર: $\Delta l = \frac{F \cdot V}{Y \cdot A^2}$.
અહીં $F, V,$ અને $Y$ અચળ હોવાથી,$\Delta l \propto \frac{1}{A^2}$.
આડછેદ ગોળાકાર હોવાથી,ક્ષેત્રફળ $A \propto d^2$,તેથી $\Delta l \propto \frac{1}{d^4}$.
આપેલ છે કે $d_1 = \frac{1}{2} d_2$,એટલે કે $d_2 = 2 d_1$.
વિસ્તરણનો ગુણોત્તર $\frac{\Delta l_1}{\Delta l_2} = \left( \frac{d_2}{d_1} \right)^4 = \left( \frac{2 d_1}{d_1} \right)^4 = 2^4 = 16$.
આમ,ગુણોત્તર $16: 1$ છે.

(D) $1$. પ્રતિબળ એટલે એકમ ક્ષેત્રફળ દીઠ લાગતું બળ $(Stress = F/A)$. બંને તારનો વ્યાસ $d$ સમાન હોવાથી,તેમનું આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $A = \pi(d/2)^2$ પણ સમાન છે. જ્યારે સંયુક્ત તાર પર $F$ બળ લગાડવામાં આવે છે,ત્યારે દરેક તાર પર સમાન બળ $F$ લાગે છે. તેથી,બંને તાર સમાન પ્રતિબળ અનુભવે છે.
$2$. વિકૃતિ એટલે લંબાઈમાં થતો ફેરફાર અને મૂળ લંબાઈનો ગુણોત્તર $(Strain = \Delta L / L)$. હૂકના નિયમ મુજબ,$Stress = Y \times Strain$,જ્યાં $Y$ એ દ્રવ્યનો યંગ મોડ્યુલસ છે.
$3$. તાર અલગ-અલગ દ્રવ્યના હોવાથી,તેમના યંગ મોડ્યુલસ અલગ-અલગ $(Y_1 \neq Y_2)$ હશે.
$4$. $Strain = Stress / Y$ હોવાથી,અને બંને માટે પ્રતિબળ સમાન હોવા છતાં યંગ મોડ્યુલસ અલગ હોવાથી,બંને તારમાં વિકૃતિ અલગ-અલગ હશે.
$5$. આમ,તારમાં સમાન પ્રતિબળ પરંતુ અલગ વિકૃતિ જોવા મળે છે.

(A) મુક્ત છેડાથી $x$ અંતરે સ્ટ્રેસ (પ્રતિબળ) $\sigma = \frac{(\rho A x) g}{A} = \rho g x$ છે.
નાના ખંડ $dx$ માં થતો લંબાઈનો વધારો $d\ell = \frac{\sigma dx}{Y} = \frac{\rho g x dx}{Y}$ દ્વારા મળે છે.
$x = 0$ થી $x = L$ સુધી સંકલન કરતા,કુલ લંબાઈમાં વધારો $\ell$ મળે છે:
$\ell = \int_0^L \frac{\rho g x}{Y} dx = \frac{\rho g}{Y} \left[ \frac{x^2}{2} \right]_0^L = \frac{\rho g L^2}{2Y}$.
યંગ મોડ્યુલસ $Y$ માટે સૂત્ર બનાવતા:
$Y = \frac{\rho g L^2}{2 \ell}$.

(B) યંગ મોડ્યુલસ $Y$ નું સૂત્ર $Y = \frac{F l}{A \Delta l}$ છે,જ્યાં $A = \pi r^2$ છે.
લંબાઈમાં થતા ફેરફાર $\Delta l$ માટે સૂત્ર બનાવતા,$\Delta l = \frac{F l}{\pi r^2 Y}$ મળે છે.
દ્રવ્ય સમાન હોવાથી $Y$ અચળ છે. આપેલ છે કે બળ $F$ પણ સમાન છે,તેથી $\Delta l \propto \frac{l}{r^2}$ થાય.
ધારો કે લંબાઈ $l_1 = l$ અને $l_2 = 2l$ છે,અને ત્રિજ્યા $r_1 = r$ અને $r_2 = \sqrt{2}r$ છે.
લંબાઈમાં થતા વધારાનો ગુણોત્તર $\frac{\Delta l_1}{\Delta l_2} = \frac{l_1}{r_1^2} \times \frac{r_2^2}{l_2} = \frac{l}{r^2} \times \frac{(\sqrt{2}r)^2}{2l} = \frac{l}{r^2} \times \frac{2r^2}{2l} = 1$ મળે છે.
આમ,ગુણોત્તર $1:1$ છે.

(A) યંગ મોડ્યુલસનું સૂત્ર $Y = \frac{F L}{A \Delta L}$ છે,જ્યાં $F$ એ બળ છે,$L$ એ મૂળ લંબાઈ છે,$A$ એ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે અને $\Delta L$ એ લંબાઈમાં થતો ફેરફાર છે.
બળ માટે સૂત્રને ગોઠવતા,આપણને $F = \frac{Y A \Delta L}{L}$ મળે છે.
રીંગની મૂળ લંબાઈ $L = 2 \pi r$ છે.
જ્યારે રીંગને ડિસ્ક પર બેસાડવામાં આવે ત્યારે તેની અંતિમ લંબાઈ $2 \pi R$ થાય છે.
લંબાઈમાં થતો ફેરફાર $\Delta L = 2 \pi R - 2 \pi r = 2 \pi (R - r)$ છે.
આ કિંમતોને બળના સમીકરણમાં મૂકતા:
$F = \frac{Y A \times 2 \pi (R - r)}{2 \pi r} = \frac{Y A (R - r)}{r}$.

(D) યંગ મોડ્યુલસ $Y$ નું સૂત્ર: $Y = \frac{F L}{A l} = \frac{F L}{\pi r^2 l}$ છે.
પ્રથમ તાર માટે: $Y = \frac{F L}{\pi r^2 l} \quad \dots (i)$.
બીજા તાર માટેના પરિમાણો: $L' = 2L$,$r' = 2r$,$F' = 2F$ છે અને ધારો કે નવો વધારો $l'$ છે.
દ્રવ્ય સમાન હોવાથી,યંગ મોડ્યુલસ $Y$ અચળ રહેશે.
$Y = \frac{F' L'}{\pi (r')^2 l'} = \frac{(2F) (2L)}{\pi (2r)^2 l'} = \frac{4 F L}{\pi (4 r^2) l'} = \frac{F L}{\pi r^2 l'} \quad \dots (ii)$.
સમીકરણ $(i)$ અને $(ii)$ ની સરખામણી કરતા:
$\frac{F L}{\pi r^2 l} = \frac{F L}{\pi r^2 l'}$.
તેથી,$l' = l$ મળે છે.

(C) યંગ મોડ્યુલસ $Y$ એ સંગત પ્રતિબળ અને સંગત વિકૃતિના ગુણોત્તર તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે.
$Y = \frac{\text{Stress}}{\text{Strain}} = \frac{F/A}{\Delta L/L}$
લંબાઈમાં થતા ફેરફાર $\Delta L$ માટે સૂત્રને ફરીથી ગોઠવતા:
$Y = \frac{F L}{A \Delta L}$
$\Delta L = \frac{F L}{A Y}$
આમ,લંબાઈમાં થતો ઘટાડો $\frac{F L}{A Y}$ છે.

(B) જો સળિયો મુક્ત હોય તો તેનું ઉષ્મીય વિસ્તરણ $\Delta L = \alpha L T$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આ વિસ્તરણને રોકવા માટે,એક દબાણ બળ $F$ લગાડવું આવશ્યક છે.
ઉત્પન્ન થતો પ્રતિબળ $\sigma = \frac{F}{A}$ છે.
ઉત્પન્ન થતી વિકૃતિ $\epsilon = \frac{\Delta L}{L_{new}}$ છે,જ્યાં $L_{new} = L(1 + \alpha T)$.
યંગ મોડ્યુલસ $Y = \frac{\text{Stress}}{\text{Strain}} = \frac{F/A}{\Delta L / L(1 + \alpha T)}$ નો ઉપયોગ કરતા.
$F$ માટે સૂત્ર બનાવતા,આપણને $F = \frac{Y A \Delta L}{L(1 + \alpha T)}$ મળે છે.
$\Delta L = \alpha L T$ મૂકતા,આપણને $F = \frac{Y A (\alpha L T)}{L(1 + \alpha T)}$ મળે છે.
તેથી,$F = \frac{Y A \alpha T}{1 + \alpha T}$.

(B) બંને છેડે ટેકવેલા અને કેન્દ્ર પર ભારિત બીમનો ઝુકાવ (sag) $\delta$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\delta = \frac{W l^3}{48 Y I}$.
અહીં,$W$ એ ભાર છે,$l$ એ લંબાઈ છે,$Y$ એ યંગ મોડ્યુલસ છે અને $I$ એ ભૌમિતિક જડત્વની ક્ષણ (moment of inertia) છે.
$b$ પહોળાઈ અને $d$ ઊંડાઈ ધરાવતા લંબચોરસ આડછેદ માટે,જડત્વની ક્ષણ $I = \frac{b d^3}{12}$ છે.
$\delta$ ના સૂત્રમાં $I$ ની કિંમત મૂકતા:
$\delta = \frac{W l^3}{48 Y (\frac{b d^3}{12})}$
$\delta = \frac{W l^3}{48 Y} \times \frac{12}{b d^3}$
$\delta = \frac{W l^3}{4 b d^3 Y}$.

(D) તારની લંબાઈ $l$,આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $A$ અને યંગ મોડ્યુલસ $Y$ ધરાવતા તારમાં $\Delta l$ જેટલો વધારો કરવા માટે જરૂરી બળ $F = \frac{Y A \Delta l}{l}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ક્ષેત્રફળ $A = \pi \left(\frac{d}{2}\right)^2 = \frac{\pi d^2}{4}$ હોવાથી,આપણે બળને $F = \frac{Y \pi d^2 \Delta l}{4 l}$ તરીકે લખી શકીએ.
સમાન દ્રવ્યના તાર માટે,$Y$ અચળ છે. તેથી,$F \propto \frac{d^2 \Delta l}{l}$.
અહીં $\Delta l_A = \Delta l_B$ આપેલ છે,તેથી બળનો ગુણોત્તર $\frac{F_A}{F_B} = \frac{d_A^2}{d_B^2} \times \frac{l_B}{l_A}$ થાય.
આપેલ છે કે $\frac{l_A}{l_B} = \frac{1}{2} \implies \frac{l_B}{l_A} = 2$ અને $\frac{d_A}{d_B} = \frac{2}{1}$.
આ કિંમતો મૂકતા: $\frac{F_A}{F_B} = \left(\frac{2}{1}\right)^2 \times 2 = 4 \times 2 = 8$.
તેથી,ગુણોત્તર $F_A : F_B = 8: 1$ મળે છે.

(A) લંબાઈમાં થતો વધારો $\Delta L$ એ સૂત્ર $\Delta L = \frac{FL}{AY} = \frac{FL}{\pi r^2 Y}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તાર સમાન દ્રવ્યના હોવાથી અને સમાન ભાર વડે ખેંચાતા હોવાથી,$F$ અને $Y$ અચળ રહેશે.
તેથી,$\Delta L \propto \frac{L}{r^2}$.
દરેક કિસ્સા માટે પ્રમાણસરતા અચળાંક $\frac{L}{r^2}$ ની ગણતરી કરતા:
$A$ માટે: $\frac{100}{1^2} = 100$.
$B$ માટે: $\frac{200}{3^2} = \frac{200}{9} \approx 22.22$.
$C$ માટે: $\frac{300}{3^2} = \frac{300}{9} \approx 33.33$.
$D$ માટે: $\frac{400}{4^2} = \frac{400}{16} = 25$.
કિંમતોની સરખામણી કરતા,$L=100 \ cm$ અને $r=1 \ mm$ ધરાવતો તાર $\frac{L}{r^2}$ નું સૌથી મોટું મૂલ્ય ધરાવે છે,તેથી તે સૌથી વધુ લંબાઈ પામશે.

(B) લંબાઈમાં વધારા $l$ નું સૂત્ર $l = \frac{F L}{A Y} = \frac{F L}{\pi r^2 Y}$ છે.
અહીં $l, F,$ અને $L$ બંને તાર માટે અચળ હોવાથી, $r^2 Y = \text{અચળ}$, જેનો અર્થ છે કે $r^2 \propto \frac{1}{Y}$.
તેથી, $\frac{r_2}{r_1} = \sqrt{\frac{Y_1}{Y_2}}$.
આપેલ છે કે $Y_1 = 7 \times 10^{10} \,N/m^2$, $Y_2 = 12 \times 10^{10} \,N/m^2$, અને વ્યાસ $d_1 = 3 \,mm$ (તેથી $r_1 = 1.5 \,mm$).
$r_2 = r_1 \sqrt{\frac{Y_1}{Y_2}} = 1.5 \times \sqrt{\frac{7 \times 10^{10}}{12 \times 10^{10}}} = 1.5 \times \sqrt{\frac{7}{12}} \approx 1.5 \times 0.7637 \approx 1.145 \,mm$.
વ્યાસ $d_2 = 2 \times r_2 = 2 \times 1.145 = 2.29 \,mm$.

(C) ઠંડકને કારણે થતું ઉષ્મીય સંકોચન $\Delta L = L \alpha \Delta T$ છે。
આ સંકોચનને રોકવા માટે, દળ '$m$' દ્વારા લાગુ પડતું તણાવ બળ $F$ સમાન લંબાઈનો વધારો ઉત્પન્ન કરવું જોઈએ: $\Delta L = \frac{FL}{AY}$.
બંને સમીકરણોને સરખાવતા: $L \alpha \Delta T = \frac{FL}{AY}$.
આમ, જરૂરી બળ $F = AY \alpha \Delta T$ છે。
કારણ કે $F = Mg$, તેથી $Mg = AY \alpha \Delta T$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $M = \frac{AY \alpha \Delta T}{g}$.
$M = \frac{(3 \times 10^{-6} \,m^{2}) \times (10^{11} \,N/m^{2}) \times (10^{-5} /K) \times (100 - 0) \,K}{10 \,m/s^{2}}$.
$M = \frac{3 \times 10^{0} \times 100}{10} = \frac{300}{10} = 30 \,kg$.

(C) સળિયાનું ઉષ્મીય પ્રસરણ $\Delta L = L \alpha \Delta \theta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આ પ્રસરણને અટકાવવા માટે,એક સંકોચન બળ $F$ એવી રીતે લગાડવું જોઈએ કે જેથી સંકોચન ઉષ્મીય પ્રસરણ જેટલું થાય.
યંગ મોડ્યુલસની વ્યાખ્યા મુજબ,$Y = \frac{\text{Stress}}{\text{Strain}} = \frac{F/A}{\Delta L/L}$.
તેથી,પ્રતિબળ $\sigma = \frac{F}{A} = Y \frac{\Delta L}{L}$.
પ્રતિબળના સમીકરણમાં $\Delta L = L \alpha \Delta \theta$ મૂકતા:
$\sigma = Y \frac{L \alpha \Delta \theta}{L} = Y \alpha \Delta \theta$.

(C) સળિયાનું ઉષ્મીય પ્રસરણ $\Delta L = L \alpha T$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આ પ્રસરણને રોકવા માટે,આપણે એવું દબાણ બળ $F$ લગાડવું જોઈએ કે જેથી સંકોચન વિકૃતિ એ ઉષ્મીય વિકૃતિ જેટલી થાય.
ઉદ્ભવતું પ્રતિબળ $\sigma = Y \times \text{વિકૃતિ} = Y \times \frac{\Delta L}{L_{final}}$ છે.
ગરમ કર્યા પછી સળિયાની અંતિમ લંબાઈ $L_{final} = L(1 + \alpha T)$ છે.
આમ,બળ $F = \text{પ્રતિબળ} \times A = Y \times \frac{\Delta L}{L_{final}} \times A$.
કિંમતો મૂકતા,$F = Y \times \frac{L \alpha T}{L(1 + \alpha T)} \times A = \frac{YA \alpha T}{1 + \alpha T}$.