Stress Strain relationship and Graphical analysis Questions in Gujarati

(A) હૂકનો નિયમ જણાવે છે કે પ્રમાણસરતાની મર્યાદામાં,પ્રતિબળ એ વિકૃતિના સમપ્રમાણમાં હોય છે.
આપેલ પ્રતિબળ-વિકૃતિ આલેખમાં,$OA$ વિભાગ ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી સીધી રેખા છે,જે દર્શાવે છે કે આ વિભાગમાં પ્રતિબળ એ વિકૃતિના સમપ્રમાણમાં છે.
તેથી,હૂકનો નિયમ $OA$ ભાગમાં પાળવામાં આવે છે.

(C) પદાર્થના સ્ટ્રેસ-સ્ટ્રેઈન (પ્રતિબળ-વિકૃતિ) આલેખમાં,બિંદુ $B$ એ યીલ્ડ પોઈન્ટ (પ્રવાહ બિંદુ) દર્શાવે છે.
આ બિંદુએ,પદાર્થ પ્લાસ્ટિક રીતે વિકૃત થવાનું શરૂ કરે છે,જેનો અર્થ છે કે લાગુ પાડવામાં આવેલ પ્રતિબળ દૂર કર્યા પછી પણ તે તેના મૂળ આકારમાં પાછું આવશે નહીં.
આ બિંદુ પછી,પદાર્થ કાયમી વિકૃતિ અનુભવે છે.

(C) પદાર્થ માટેના સામાન્ય સ્ટ્રેસ-સ્ટ્રેઈન વક્રમાં,આલેખ વધતા લોડ હેઠળ પદાર્થનું વર્તન દર્શાવે છે.
બિંદુ $A$ સામાન્ય રીતે પ્રમાણસરતાની મર્યાદા દર્શાવે છે.
બિંદુ $B$ એ યીલ્ડ બિંદુ દર્શાવે છે.
બિંદુ $C$ એ અંતિમ તણાવ શક્તિ (ultimate tensile strength) દર્શાવે છે.
બિંદુ $D$ એ વક્ર પરનું અંતિમ બિંદુ છે જ્યાં પદાર્થ તૂટી જાય છે અથવા નિષ્ફળ જાય છે,જેને બ્રેકિંગ પોઈન્ટ અથવા ફ્રેક્ચર પોઈન્ટ તરીકે ઓળખવામાં આવે છે.
તેથી,બિંદુ $D$ એ બ્રેકિંગ બિંદુ સૂચવે છે.

(D) આપેલ આલેખમાં,$x$-અક્ષ પર પ્રતિબળ (stress) અને $y$-અક્ષ પર વિકૃતિ (strain) દર્શાવેલ છે.
યંગ મોડ્યુલસ $Y$ એ પ્રતિબળ અને વિકૃતિનો ગુણોત્તર છે,એટલે કે $Y = \frac{\text{stress}}{\text{strain}}$.
આલેખ પરથી,રેખાનો ઢાળ $\text{slope} = \frac{\text{strain}}{\text{stress}} = \frac{1}{Y}$ થાય.
તેથી,$Y = \frac{1}{\text{slope}}$.
રેખા $P$ નો ઢાળ સૌથી વધુ હોવાથી,તેનો યંગ મોડ્યુલસ $Y$ સૌથી ઓછો છે.
રેખા $R$ નો ઢાળ સૌથી ઓછો હોવાથી,તેનો યંગ મોડ્યુલસ $Y$ સૌથી વધુ છે.
આમ,તાર $R$ ની સ્થિતિસ્થાપકતા મહત્તમ છે અને તાર $P$ ની ન્યૂનતમ છે.
આપેલ વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,વિકલ્પો $A, B$ અને $C$ ખોટા છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(A) આલેખ રબર બેન્ડ માટે હિસ્ટરેસિસ લૂપ દર્શાવે છે.
$1.$ વિધાન $I$ ખોટું છે કારણ કે આલેખ માત્ર તણાવ બળ હેઠળ વિસ્તરણ દર્શાવે છે,સંકોચન નહીં.
$2.$ વિધાન $II$ ખોટું છે કારણ કે આલેખ ઉગમબિંદુ $(0,0)$ થી શરૂ થાય છે અને ત્યાં જ સમાપ્ત થાય છે,જે સૂચવે છે કે બળ દૂર કર્યા પછી રબર બેન્ડ તેની મૂળ લંબાઈ પર પાછું આવે છે.
$3.$ વિધાન $III$ સાચું છે. હિસ્ટરેસિસ લૂપ દ્વારા ઘેરાયેલું ક્ષેત્રફળ રબર બેન્ડને ખેંચવા અને છોડવાની પ્રક્રિયા દરમિયાન ગરમી તરીકે વ્યય થતી ઉર્જા દર્શાવે છે. તેથી,રબર બેન્ડ ગરમ થશે.

(B) સ્ટ્રેસ-સ્ટ્રેન (પ્રતિબળ-વિકૃતિ) આલેખમાં,જે વિસ્તારમાં પદાર્થ પ્લાસ્ટિક વિરૂપણ અનુભવે છે અને પ્રવાહીની જેમ વહે છે,તે વિસ્તારમાં લાગુ પાડેલ બળ ઘટવા છતાં વિકૃતિ વધે છે. આપેલ આલેખમાં,આ ભાગ $bc$ ને અનુરૂપ છે,જ્યાં પદાર્થ પ્લાસ્ટિક પ્રવાહ દર્શાવે છે.

(C) લાગુ પાડેલ બળ $(F)$ અને લંબાઈમાં વધારા $(x)$ વચ્ચેનો આલેખ સીધી રેખા હોય છે કારણ કે હૂકના નિયમ મુજબ,$F = kx$,જેનો અર્થ છે કે $F \propto x$.
જો કે,લંબાઈમાં વધારા $(x)$ અને સંગ્રહિત સ્થિતિસ્થાપક સ્થિતિ ઉર્જા $(U)$ વચ્ચેનો આલેખ પરવલયાકાર (parabolic) હોય છે.
સંગ્રહિત સ્થિતિસ્થાપક સ્થિતિ ઉર્જાનું સૂત્ર $U = \frac{1}{2} k x^2$ છે,જેનો અર્થ છે કે $U \propto x^2$.
આપેલ આલેખ પરવલયાકાર હોવાથી,$P$ એ લંબાઈમાં વધારો $(x)$ દર્શાવે છે અને $Q$ એ સંગ્રહિત સ્થિતિસ્થાપક ઉર્જા $(U)$ દર્શાવે છે.

(B) બે અણુઓ વચ્ચેનું બળ $F$ એ સ્થિતિઊર્જા $U$ સાથે $F = -\frac{dU}{dx}$ સંબંધ દ્વારા જોડાયેલું છે.
વિસ્તાર $BC$ માં,આલેખનો ઢાળ $\frac{dU}{dx}$ ધન છે.
તેથી,$F = -(\text{ધન}) = \text{ઋણ}$,જેનો અર્થ છે કે બળ આકર્ષી પ્રકારનું છે.
વિસ્તાર $AB$ માં,આલેખનો ઢાળ $\frac{dU}{dx}$ ઋણ છે.
તેથી,$F = -(\text{ઋણ}) = \text{ધન}$,જેનો અર્થ છે કે બળ અપાકર્ષી પ્રકારનું છે.
આમ,જ્યારે $x$ એ $B$ અને $C$ ની વચ્ચે હોય ત્યારે અણુઓ આકર્ષાય છે અને જ્યારે $X$ એ $A$ અને $B$ ની વચ્ચે હોય ત્યારે અપાકર્ષાય છે.

(B) તન્ય પદાર્થો માટે સ્ટ્રેસ-સ્ટ્રેન આલેખ નોંધપાત્ર પ્લાસ્ટિક વિસ્તાર દર્શાવે છે જ્યાં પદાર્થ તૂટતા પહેલા મોટી વિકૃતિ અનુભવે છે,જે ઘણીવાર યીલ્ડ પોઈન્ટ દર્શાવે છે.
તેની સામે,બરડ પદાર્થ સ્થિતિસ્થાપક મર્યાદા પછી તરત જ તૂટી જાય છે,જેમાં ખૂબ ઓછી અથવા કોઈ પ્લાસ્ટિક વિકૃતિ જોવા મળતી નથી.
આલેખ જોતા,પદાર્થ $A$ સ્પષ્ટ યીલ્ડ પોઈન્ટ અને નોંધપાત્ર પ્લાસ્ટિક વિસ્તાર દર્શાવે છે,જે તન્ય પદાર્થની લાક્ષણિકતા છે.
પદાર્થ $B$ નો આલેખ નોંધપાત્ર પ્લાસ્ટિક વિસ્તાર કે યીલ્ડ પોઈન્ટ વગર અચાનક પૂરો થાય છે,જે બરડ પદાર્થની લાક્ષણિકતા છે.
તેથી,$A$ તન્ય છે અને $B$ બરડ છે.

(D) યંગ મોડ્યુલસ $(Y)$ એ સ્થિતિસ્થાપક મર્યાદા (ગ્રાફનો રેખીય ભાગ) ની અંદર પ્રતિબળ અને વિકૃતિના ગુણોત્તર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
આપેલ ગ્રાફ પરથી,આપણે રેખીય ભાગમાં એક બિંદુ પસંદ કરીએ છીએ જ્યાં પ્રતિબળ $8 \times 10^7 \ N/m^2$ છે અને તેની અનુરૂપ વિકૃતિ $4 \times 10^{-4}$ છે.
સૂત્ર $Y = \frac{\text{Stress}}{\text{Strain}}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$Y = \frac{8 \times 10^7}{4 \times 10^{-4}}$
$Y = 2 \times 10^{11} \ N/m^2$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $(D)$ છે.

(A) હૂકના નિયમ મુજબ,$F = kx$,જ્યાં $k$ એ તારનો બળ અચળાંક છે. $F-x$ આલેખનો ઢાળ એ બળ અચળાંક $k = \frac{YA}{L}$ જેટલો હોય છે,જ્યાં $Y$ એ યંગ મોડ્યુલસ છે,$A$ એ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે અને $L$ એ તારની લંબાઈ છે.
સામાન્ય રીતે તાપમાન વધવાની સાથે પદાર્થની સ્થિતિસ્થાપકતા (યંગ મોડ્યુલસ $Y$) ઘટે છે.
આપેલ આલેખમાં,$T_2$ માટેની રેખાનો ઢાળ $T_1$ માટેની રેખાના ઢાળ કરતા વધારે છે (એટલે કે,$\text{slope}_{T_2} > \text{slope}_{T_1}$).
જેમ કે ઊંચો ઢાળ એ ઊંચા યંગ મોડ્યુલસ $(Y)$ ને અનુરૂપ છે,અને ઊંચો $Y$ એ નીચા તાપમાનને અનુરૂપ છે,તેથી તે સાબિત થાય છે કે $T_2 < T_1$ અથવા $T_1 > T_2$.

(C) યંગ મોડ્યુલસ $(Y)$ ને સ્થિતિસ્થાપક મર્યાદામાં પ્રતિબળ અને વિકૃતિના ગુણોત્તર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે,જે સૂત્ર $Y = \frac{\text{Stress}}{\text{Strain}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
હૂકના નિયમ મુજબ,સ્થિતિસ્થાપક મર્યાદામાં,પ્રતિબળ એ વિકૃતિના સમપ્રમાણમાં હોય છે,એટલે કે $\text{Stress} \propto \text{Strain}$.
તેથી,$X$-અક્ષ પર વિકૃતિ અને $Y$-અક્ષ પર પ્રતિબળ (અથવા તેનાથી ઉલટું) લઈને દોરવામાં આવેલ આલેખ ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી સીધી રેખા આપે છે.
આપેલા વિકલ્પોમાંથી,યંગ મોડ્યુલસના નિર્ધારણ માટે સૌથી પ્રમાણભૂત રજૂઆત પ્રતિબળ-વિકૃતિ આલેખ છે,જ્યાં $Y$-અક્ષ પર પ્રતિબળ અને $X$-અક્ષ પર વિકૃતિ લેવામાં આવે છે.
આમ,$X$ અને $Y$ અક્ષ પરની રાશિઓ અનુક્રમે વિકૃતિ અને પ્રતિબળ છે. જો કે,આપેલા વિકલ્પોને જોતા,વિકલ્પ $C$ એ મૂળભૂત ભૌતિક સંબંધ દર્શાવે છે.

(C) સ્ટ્રેસ-સ્ટ્રેઈન વક્રનો ઢાળ પદાર્થના યંગ મોડ્યુલસ $(Y)$ ને દર્શાવે છે,જ્યાં $Y = \tan \theta$ થાય છે.
આકૃતિ મુજબ,સ્ટ્રેઈન અક્ષ સાથેના ખૂણાઓ $\theta_A > \theta_B > \theta_C$ શરતનું પાલન કરે છે.
ટેન્જેન્ટ વિધેય પ્રથમ ચરણમાં વધતું હોવાથી,$\tan \theta_A > \tan \theta_B > \tan \theta_C$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $Y_A > Y_B > Y_C$.
આપેલ પદાર્થોના યંગ મોડ્યુલસના મૂલ્યોની સરખામણી કરતા,આપણે જાણીએ છીએ કે સ્ટીલ સૌથી વધુ સખત (સૌથી વધુ $Y$) છે,ત્યારબાદ પિત્તળ આવે છે,અને રબર સૌથી ઓછું સખત (સૌથી ઓછું $Y$) છે.
તેથી,રેખાઓ $A, B$ અને $C$ અનુક્રમે સ્ટીલ,પિત્તળ અને રબર માટે છે.

(A) પ્રશ્નમાં જણાવ્યા મુજબ,એરોટાની સ્થિતિસ્થાપક પેશી માટે,સ્ટ્રેસ એ સ્ટ્રેઈનના વર્ગના પ્રમાણમાં છે. ગાણિતિક રીતે,આને નીચે મુજબ દર્શાવી શકાય:
$Stress \propto (Strain)^2$
$Stress = k \cdot (Strain)^2$
જ્યાં $k$ એક અચળાંક છે.
આ સમીકરણ એક પરવલય (parabola) દર્શાવે છે જે ઉગમબિંદુ $(0,0)$ થી શરૂ થઈને ઉપરની તરફ ખુલે છે.
જેમ જેમ સ્ટ્રેઈન વધે છે,તેમ સ્ટ્રેસ પ્રવેગિત દરે વધે છે,જે વિકલ્પ $A$ માં દર્શાવેલ ઉપરની તરફ વક્રતા ધરાવતા આલેખને અનુરૂપ છે.

(A) હૂકના નિયમ મુજબ,સ્ટ્રેસ $F = Y \cdot \text{strain} = Y \cdot (X/L)$,જ્યાં $Y$ એ યંગ મોડ્યુલસ છે અને $L$ એ મૂળ લંબાઈ છે.
આમ,$X = (F \cdot L) / Y$.
$F-X$ આલેખનો ઢાળ $F/X = Y/L$ છે.
જેમ તાપમાન વધે છે,તેમ પદાર્થનો યંગ મોડ્યુલસ $Y$ સામાન્ય રીતે ઘટે છે.
આપેલ આલેખમાં,$T_1$ માટેની રેખાનો ઢાળ $T_2$ માટેની રેખાના ઢાળ કરતા ઓછો છે (એટલે કે,$\text{slope}_{T_1} < \text{slope}_{T_2}$).
કારણ કે $\text{slope} = Y/L$,આનો અર્થ એ થાય છે કે $Y_{T_1} < Y_{T_2}$.
યંગ મોડ્યુલસ તાપમાનમાં વધારા સાથે ઘટતું હોવાથી,નીચો યંગ મોડ્યુલસ ઊંચા તાપમાનને અનુરૂપ છે.
તેથી,$T_1 > T_2$.

(A) સ્ટ્રેસ-સ્ટ્રેન વક્રમાં,અલ્ટીમેટ સ્ટ્રેન્થ પોઈન્ટ એ પદાર્થ સહન કરી શકે તેવા મહત્તમ પ્રતિબળને દર્શાવે છે. ફ્રેક્ચર પોઈન્ટ એ બિંદુ છે જ્યાં પદાર્થ તૂટી જાય છે.
બરડ પદાર્થ માટે,પદાર્થ સ્થિતિસ્થાપક મર્યાદા અથવા અલ્ટીમેટ સ્ટ્રેન્થ પોઈન્ટ પછી તરત જ તૂટી જાય છે,જેનો અર્થ છે કે ફ્રેક્ચર પોઈન્ટ અલ્ટીમેટ સ્ટ્રેન્થ પોઈન્ટની ખૂબ નજીક હોય છે.
તન્ય પદાર્થ માટે,પદાર્થ અલ્ટીમેટ સ્ટ્રેન્થ પોઈન્ટ પછી નોંધપાત્ર પ્લાસ્ટિક વિરૂપણ અનુભવે છે અને ત્યારબાદ તે તૂટે છે,જેનો અર્થ છે કે ફ્રેક્ચર પોઈન્ટ અલ્ટીમેટ સ્ટ્રેન્થ પોઈન્ટથી ઘણો દૂર હોય છે.
પદાર્થ $X$ માટે આ બિંદુઓ નજીક હોવાથી,તે બરડ છે.
પદાર્થ $Y$ માટે આ બિંદુઓ દૂર હોવાથી,તે તન્ય છે.
તેથી,$X$ અને $Y$ અનુક્રમે બરડ અને તન્ય છે.

(N/A) આપેલ આલેખ પરથી સ્પષ્ટ છે કે $150 \times 10^{6} \, N/m^{2}$ ના સ્ટ્રેસ (પ્રતિબળ) માટે,સ્ટ્રેઈન (વિકૃતિ) $0.002$ છે.
$(a)$ યંગ મોડ્યુલસ,$Y = \frac{\text{stress}}{\text{strain}}$
$Y = \frac{150 \times 10^{6} \, N/m^{2}}{0.002} = 7.5 \times 10^{10} \, N/m^{2}$
તેથી,આપેલ પદાર્થ માટે યંગ મોડ્યુલસ $7.5 \times 10^{10} \, N/m^{2}$ છે.
$(b)$ પદાર્થની યીલ્ડ સ્ટ્રેન્થ એ મહત્તમ સ્ટ્રેસ છે જે પદાર્થ સ્થિતિસ્થાપકતાની મર્યાદા ઓળંગ્યા વગર સહન કરી શકે છે.
આપેલ આલેખ પરથી સ્પષ્ટ છે કે આ પદાર્થની અંદાજિત યીલ્ડ સ્ટ્રેન્થ $300 \times 10^{6} \, N/m^{2}$ અથવા $3 \times 10^{8} \, N/m^{2}$ છે.

(A) ; $(b)$ $A$
આપેલ વિકૃતિ માટે,પદાર્થ $A$ માટેનું પ્રતિબળ પદાર્થ $B$ કરતા વધારે છે,જે બંને આલેખમાં જોઈ શકાય છે.
યંગ મોડ્યુલસ $= \frac{\text{પ્રતિબળ}}{\text{વિકૃતિ}}$
આપેલ વિકૃતિ માટે,જો કોઈ પદાર્થ માટે પ્રતિબળ વધારે હોય,તો તે પદાર્થ માટે યંગ મોડ્યુલસ પણ વધારે હોય છે. તેથી,પદાર્થ $A$ નો યંગ મોડ્યુલસ પદાર્થ $B$ કરતા વધારે છે.
પદાર્થની મજબૂતી તે પદાર્થને તોડવા માટે જરૂરી પ્રતિબળના જથ્થા દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે,જે તેના ફ્રેક્ચર પોઈન્ટ (ભંગાણ બિંદુ) ને અનુરૂપ હોય છે. ફ્રેક્ચર પોઈન્ટ એ સ્ટ્રેસ-સ્ટ્રેન વક્રનું અંતિમ બિંદુ છે. આલેખનું અવલોકન કરતા,પદાર્થ $A$ માટે ફ્રેક્ચર પોઈન્ટ પરનું પ્રતિબળ પદાર્થ $B$ કરતા વધારે છે.
તેથી,પદાર્થ $A$ એ પદાર્થ $B$ કરતા વધુ મજબૂત છે.

(N/A) ધાતુ માટે પ્રતિબળ $\to$ વિકૃતિનો આલેખ આકૃતિમાં દર્શાવેલ છે.
આલેખ પરથી આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે $O$ થી $A$ વચ્ચેના વિસ્તારમાં,વક્ર રેખીય છે. આ વિસ્તારમાં હૂકનો નિયમ પાળવામાં આવે છે.
જ્યારે લાગુ પાડવામાં આવેલ બળ દૂર કરવામાં આવે ત્યારે પદાર્થ તેના મૂળ પરિમાણો પાછા મેળવે છે. આ વિસ્તારમાં ઘન પદાર્થ સ્થિતિસ્થાપક પદાર્થ તરીકે વર્તે છે.
$A$ થી $B$ સુધીના વિસ્તારમાં પ્રતિબળ અને વિકૃતિ પ્રમાણસર નથી. જ્યારે ભાર દૂર કરવામાં આવે ત્યારે પણ પદાર્થ તેના મૂળ પરિમાણમાં પાછો ફરે છે. વક્રમાં બિંદુ $B$ ને આધીનબિંદુ (યીલ્ડ પોઈન્ટ) (જેને સ્થિતિસ્થાપક હદ પણ કહેવાય છે) તરીકે ઓળખવામાં આવે છે અને અનુરૂપ પ્રતિબળને પદાર્થની આધીન પ્રબળતા (યીલ્ડ સ્ટ્રેન્થ) $(\sigma_{y})$ તરીકે ઓળખવામાં આવે છે.
જો ભારમાં વધુ વધારો કરવામાં આવે,તો બિંદુ $B$ થી વિકસિત પ્રતિબળ આધીન પ્રબળતા કરતા વધી જાય છે અને વિકૃતિ ઝડપથી વધે છે.
$B$ અને $D$ વચ્ચેનો વક્રનો ભાગ આ દર્શાવે છે; જ્યારે ભાર દૂર કરવામાં આવે,ધારો કે $B$ અને $D$ ની વચ્ચે કોઈ બિંદુ $C$ પર,તો પદાર્થ તેના મૂળ પરિમાણો પાછા મેળવતો નથી.
આ સ્થિતિમાં,જ્યારે પ્રતિબળ શૂન્ય હોય ત્યારે પણ,વિકૃતિ શૂન્ય હોતી નથી. પદાર્થમાં કાયમી સ્થાપન (પરમેનન્ટ સેટ) થયું છે તેમ કહેવાય છે. આ વિરૂપણને પ્લાસ્ટિક વિરૂપણ કહેવામાં આવે છે. વક્ર પરનું બિંદુ $D$ એ પદાર્થની અલ્ટીમેટ ટેન્સાઈલ સ્ટ્રેન્થ $(\sigma_{u})$ છે. આ બિંદુથી આગળ,ઘટાડેલા લાગુ બળ દ્વારા પણ વધારાની વિકૃતિ ઉત્પન્ન થાય છે અને બિંદુ $E$ પર ફ્રેક્ચર (ભંગાણ) થાય છે.
જો અલ્ટીમેટ સ્ટ્રેન્થ અને ફ્રેક્ચર પોઈન્ટ્સ $D$ અને $E$ નજીક હોય,તો પદાર્થ બરડ (brittle) છે તેમ કહેવાય છે. જો તેઓ દૂર હોય,તો પદાર્થ તન્ય (ductile) છે તેમ કહેવાય છે.

(N/A) જે પદાર્થોને ખેંચવાથી તેમાં મોટી માત્રામાં વિકૃતિ ઉત્પન્ન કરી શકાય છે,તેમને ઇલાસ્ટોમર્સ કહેવામાં આવે છે. ઉદાહરણ તરીકે: રબર,મહાધમની (aorta) ના સ્થિતિસ્થાપક પેશીઓ.
રબરને તેની મૂળ લંબાઈ કરતા અનેકગણું ખેંચી શકાય છે અને તે પાછું તેના મૂળ આકારમાં આવી જાય છે.
આકૃતિમાં મહાધમની (aorta) ની સ્થિતિસ્થાપક પેશી માટે પ્રતિબળ $\to$ વિકૃતિનો આલેખ દર્શાવેલ છે,જે હૃદયમાંથી રુધિર લઈ જતી મોટી નળી છે.
આલેખ પરથી નોંધવા જેવી બાબતો:
$1$. સ્થિતિસ્થાપક વિસ્તાર ખૂબ જ મોટો છે.
$2$. આ પદાર્થ મોટાભાગના વિસ્તારમાં હૂકનો નિયમ પાળતું નથી.
$3$. આ પદાર્થો માટે કોઈ સુસ્પષ્ટ પ્લાસ્ટિક વિસ્તાર હોતો નથી.

(A) પદાર્થ માટેનો પ્રતિબળ-વિકૃતિ આલેખ તેના યાંત્રિક ગુણધર્મો દર્શાવે છે.
$1$. જો કોઈ પદાર્થ તૂટતા પહેલા પ્લાસ્ટિક વિરૂપણનો મોટો વિસ્તાર દર્શાવે,તો તેને તન્ય પદાર્થ કહેવામાં આવે છે. આલેખ $A$ સ્પષ્ટ યીલ્ડ પોઈન્ટ અને નોંધપાત્ર પ્લાસ્ટિક પ્રવાહ દર્શાવે છે,જે તન્ય પદાર્થોની લાક્ષણિકતા છે.
$2$. જો કોઈ પદાર્થ સ્થિતિસ્થાપક મર્યાદા પછી તરત જ ખૂબ ઓછા પ્લાસ્ટિક વિરૂપણ સાથે તૂટી જાય,તો તેને બરડ પદાર્થ કહેવામાં આવે છે. આલેખ $B$ એ $A$ ની સરખામણીમાં પ્લાસ્ટિક વિરૂપણનો નાનો વિસ્તાર દર્શાવે છે,જે સૂચવે છે કે તે વધુ બરડ છે.
તેથી,સાચી જોડ છે: $(a-i)$ અને $(b-iv)$.

(D) સાચો વિકલ્પ $(d)$ છે.
$1$. સ્ટ્રેસ-સ્ટ્રેઈન વક્રનો ઢાળ $(\tan \theta)$ આપેલ પદાર્થ માટે યંગ મોડ્યુલસ $(Y)$ નું મૂલ્ય આપે છે, એટલે કે $Y = \tan \theta$.
$2$. આપેલા આલેખ પરથી સ્પષ્ટ છે કે $\theta_A > \theta_B$, જેનો અર્થ છે કે $\tan \theta_A > \tan \theta_B$. તેથી, પદાર્થ $A$ નો યંગ મોડ્યુલસ વધારે છે.
$3$. બિંદુ $P$ થી $Q$ સુધીનું અંતર પદાર્થનો પ્લાસ્ટિક વિસ્તાર દર્શાવે છે. પદાર્થ $A$ માં $PQ$ અંતર એ પદાર્થ $B$ માં $PQ$ અંતર કરતા વધારે છે, જે સૂચવે છે કે પદાર્થ $A$ તૂટતા પહેલા પદાર્થ $B$ ની સરખામણીમાં વધુ પ્લાસ્ટિક વિકૃતિ અનુભવી શકે છે.
$4$. જે પદાર્થો તૂટતા પહેલા નોંધપાત્ર પ્લાસ્ટિક વિકૃતિ અનુભવે છે તેમને તન્ય (ductile) કહેવામાં આવે છે, જ્યારે જેઓ સ્થિતિસ્થાપક મર્યાદા પછી તરત જ તૂટી જાય છે તેમને બરડ (brittle) કહેવામાં આવે છે. આમ, પદાર્થ $A$ તન્ય છે અને પદાર્થ $B$ બરડ છે.
આમ, બધા વિધાનો સાચા હોવાથી, સાચો વિકલ્પ $(d)$ છે.

(B) પદાર્થનો યંગ મોડ્યુલસ $(Y)$ એ સ્ટ્રેસ અને સ્ટ્રેઈનના ગુણોત્તર તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે,જે સ્ટ્રેસ-સ્ટ્રેઈન આલેખના ઢાળ (slope) ને અનુરૂપ છે.
આપેલ આલેખ પરથી,$T_2$ માટેની રેખાનો ઢાળ $T_1$ માટેની રેખાના ઢાળ કરતા વધારે છે. તેથી,$Y_{T_2} > Y_{T_1}$.
જેમ પદાર્થનું તાપમાન વધે છે,તેમ આંતર-પરમાણ્વીય બળો નબળા પડે છે,જેના કારણે પદાર્થ વધુ નરમ બને છે અને તેની કઠિનતા ઘટે છે,પરિણામે યંગ મોડ્યુલસમાં ઘટાડો થાય છે.
જેમ તાપમાન વધે છે તેમ $Y$ ઘટે છે,તેથી ઉચ્ચ યંગ મોડ્યુલસ એ નીચા તાપમાનને અનુરૂપ છે.
આમ,$T_1 > T_2$.

(C) સ્ટ્રેસ-સ્ટ્રેન હિસ્ટરિસીસ લૂપ દ્વારા ઘેરાયેલું ક્ષેત્રફળ લોડિંગ અને અનલોડિંગના એક ચક્ર દરમિયાન એકમ કદ દીઠ ઉષ્મા સ્વરૂપે વ્યય થતી ઉર્જા દર્શાવે છે.
$1$. જે પદાર્થોમાં હિસ્ટરિસીસ લૂપ મોટું હોય (વધારે ક્ષેત્રફળ) તે શોક એબ્સોર્બર માટે યોગ્ય છે કારણ કે તે યાંત્રિક ઉર્જાનો નોંધપાત્ર જથ્થો શોષી અને વ્યય કરી શકે છે,જેનાથી આંચકાઓ અસરકારક રીતે ડૅમ્પ (ન્યૂન) થાય છે.
$2$. જે પદાર્થોમાં હિસ્ટરિસીસ લૂપ નાનું હોય (ઓછું ક્ષેત્રફળ) તે કારના ટાયર માટે યોગ્ય છે કારણ કે તે ઉષ્મા સ્વરૂપે ઉર્જાનો વ્યય ઘટાડે છે,જેથી સતત ઉપયોગ દરમિયાન ટાયર વધુ ગરમ થતા નથી.
આપેલ આલેખ જોતા,પદાર્થ $B$ માટે લૂપનું ક્ષેત્રફળ પદાર્થ $A$ કરતા વધારે છે. તેથી,પદાર્થ $B$ શોક એબ્સોર્બર માટે વધુ યોગ્ય છે અને પદાર્થ $A$ કારના ટાયર માટે વધુ યોગ્ય છે.

(C) યંગ મોડ્યુલસ $Y$ ને $Y = \frac{\text{stress}}{\text{strain}}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
આપેલ આલેખમાં,સ્ટ્રેન $y$-અક્ષ પર છે અને સ્ટ્રેસ $x$-અક્ષ પર છે. તેથી,આલેખનો ઢાળ $\frac{\text{strain}}{\text{stress}} = \frac{1}{Y}$ થાય છે.
પદાર્થ $P$ નો ઢાળ પદાર્થ $Q$ ના ઢાળ કરતા વધારે હોવાથી,$\frac{1}{Y_P} > \frac{1}{Y_Q}$ થાય,જેનો અર્થ છે કે $Y_P < Y_Q$. આમ,વિધાન $(D)$ ખોટું છે.
પદાર્થ $P$ એ $Q$ ની સરખામણીમાં આપેલ સ્ટ્રેસ માટે વધુ સ્ટ્રેન દર્શાવે છે,જે સૂચવે છે કે $P$ એ $Q$ કરતા વધુ ડક્ટાઈલ છે. આમ,વિધાન $(B)$ સાચું છે.
$P$ વધુ ડક્ટાઈલ હોવાથી,તે $Q$ કરતા ઓછું બરડ છે. આમ,વિધાન $(C)$ ખોટું છે.
ટેન્સાઈલ સ્ટ્રેન્થ એ પદાર્થ તૂટતા પહેલા સહન કરી શકે તેવો મહત્તમ સ્ટ્રેસ છે. આલેખ પરથી,$Q$ એ $P$ કરતા વધુ સ્ટ્રેસ સહન કરી શકે છે,તેથી $Q$ ની ટેન્સાઈલ સ્ટ્રેન્થ $P$ કરતા વધારે છે. આમ,વિધાન $(A)$ ખોટું છે.
તેથી,માત્ર વિધાન $(B)$ સાચું છે.

(C) તન્ય પદાર્થો એવા પદાર્થો છે જેને ખેંચીને પાતળા તાર બનાવી શકાય છે. આ ગુણધર્મ સ્થિતિસ્થાપક મર્યાદા અને ભંગાણ બિંદુ વચ્ચેના મોટા પ્લાસ્ટિક વિરૂપણ (plastic deformation) વિસ્તારને કારણે હોય છે.
તેથી,વિધાન $(A)$ સાચું છે.
તન્ય પદાર્થો માટેના પ્રતિબળ-વિકૃતિ વક્રમાં,સ્થિતિસ્થાપક મર્યાદા અને ભંગાણ બિંદુ વચ્ચેનો વિસ્તાર મોટો હોય છે,જે પદાર્થ તૂટે તે પહેલાં નોંધપાત્ર લંબાઈમાં વધારો કરવાની મંજૂરી આપે છે.
કારણ $(R)$ જણાવે છે કે આ લંબાઈ ખૂબ જ નાની છે,જે ખોટું છે.
આમ,$(A)$ સાચું છે પરંતુ $(R)$ ખોટું છે.

(C) યંગ મોડ્યુલસ $Y$ એ સ્ટ્રેસ અને સ્ટ્રેઈનના ગુણોત્તર તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે, જે સ્ટ્રેસ-સ્ટ્રેઈન આલેખના ઢાળ (slope) ને અનુરૂપ છે.
$Y = \text{slope} = \tan(\theta)$, જ્યાં $\theta$ એ રેખાએ સ્ટ્રેઈન અક્ષ સાથે બનાવેલો ખૂણો છે.
તાર $A$ માટે, સ્ટ્રેઈન અક્ષ સાથેનો ખૂણો $\theta_A = 30^{\circ}$ છે.
તેથી, $Y_A = \tan(30^{\circ}) = \frac{1}{\sqrt{3}}$.
તાર $B$ માટે, સ્ટ્રેઈન અક્ષ સાથેનો ખૂણો $\theta_B = 30^{\circ} + 30^{\circ} = 60^{\circ}$ છે.
તેથી, $Y_B = \tan(60^{\circ}) = \sqrt{3}$.
હવે, ગુણોત્તર $\frac{Y_B}{Y_A} = \frac{\sqrt{3}}{1/\sqrt{3}} = 3$ ગણતા.
આમ, $Y_B = 3 Y_A$.

(B) સ્ટ્રેસ-સ્ટ્રેન આલેખમાં,જે પદાર્થ તૂટતા પહેલા મોટી પ્લાસ્ટિક વિકૃતિ દર્શાવે છે તેને તન્ય (ductile) કહેવામાં આવે છે,જ્યારે જે પદાર્થ સ્થિતિસ્થાપક મર્યાદા પછી તરત જ તૂટી જાય છે તેને બરડ (brittle) કહેવામાં આવે છે.
આપેલ આલેખ પરથી,પદાર્થ $A$ ભંગાણ પહેલા નોંધપાત્ર પ્લાસ્ટિક વિસ્તાર દર્શાવે છે (જે આલેખ આગળ વધે છે અને યીલ્ડ પોઈન્ટ દર્શાવે છે તેના દ્વારા સૂચિત છે),જે તન્ય પદાર્થોની લાક્ષણિકતા છે.
પદાર્થ $B$ વિકૃતિનો નાનો વિસ્તાર દર્શાવે છે અને સ્થિતિસ્થાપક મર્યાદા પછી પ્રમાણમાં ઝડપથી તૂટી જાય છે,જે બરડ પદાર્થોની લાક્ષણિકતા છે.
તેથી,$A$ તન્ય છે અને $B$ બરડ છે.

(C) ધાતુ માટેના લાક્ષણિક સ્ટ્રેસ-સ્ટ્રેન વક્રમાં:
$P$ એ પ્રમાણસરતાની સીમા દર્શાવે છે.
$Q$ એ સ્થિતિસ્થાપક સીમા (અથવા યીલ્ડ પોઈન્ટ) દર્શાવે છે.
$R$ એ અલ્ટીમેટ ટેન્સાઈલ સ્ટ્રેન્થ (અંતિમ તણાવ ક્ષમતા) દર્શાવે છે,જે મહત્તમ પ્રતિબળ છે જે પદાર્થ નેકિંગ શરૂ થાય તે પહેલાં સહન કરી શકે છે.
$S$ એ ફ્રેક્ચર અથવા તૂટવાનું બિંદુ દર્શાવે છે.
તેથી,બિંદુ $R$ એ પદાર્થની અલ્ટીમેટ ટેન્સાઈલ સ્ટ્રેન્થને અનુરૂપ છે.

(A) યંગ મોડ્યુલસ $(Y)$ ને સ્ટ્રેસ અને સ્ટ્રેઈનના ગુણોત્તર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે: $Y = \frac{\text{Stress}}{\text{Strain}}$.
આપેલ આલેખમાં,સ્ટ્રેઈન $y$-અક્ષ પર અને સ્ટ્રેસ $x$-અક્ષ પર દર્શાવેલ છે.
તેથી,આલેખનો ઢાળ $\text{Slope} = \frac{\text{Strain}}{\text{Stress}} = \frac{1}{Y}$ થશે.
સૌથી વધુ યંગ મોડ્યુલસ $(Y)$ મેળવવા માટે,$\frac{1}{Y}$ ની કિંમત સૌથી ઓછી હોવી જોઈએ.
આનો અર્થ એ છે કે સ્ટ્રેઈન-સ્ટ્રેસ આલેખનો ઢાળ ન્યૂનતમ હોવો જોઈએ.
આકૃતિ જોતા,પદાર્થ $C$ નો ઢાળ સૌથી ઓછો છે.
આમ,પદાર્થ $C$ નો યંગ મોડ્યુલસ સૌથી વધુ છે.