Rigidity Modulus Questions in Gujarati

(D) દ્રઢતા મોડ્યુલસ (જેને શીયર મોડ્યુલસ પણ કહેવાય છે) ને શીયર સ્ટ્રેસ અને શીયર સ્ટ્રેઈનના ગુણોત્તર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
$\text{દ્રઢતા મોડ્યુલસ} = \frac{\text{શીયર સ્ટ્રેસ}}{\text{શીયર સ્ટ્રેઈન}}$
કારણ કે શીયર સ્ટ્રેઈન એ પરિમાણરહિત રાશિ છે (તે બે લંબાઈનો ગુણોત્તર છે),તેથી દ્રઢતા મોડ્યુલસનો એકમ સ્ટ્રેસના એકમ સમાન જ હોય છે.
સ્ટ્રેસને એકમ ક્ષેત્રફળ દીઠ બળ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે,તેથી તેનો એકમ $\frac{N}{m^2}$ અથવા $\text{પાસ્કલ} (Pa)$ છે.
તેથી,સાચો એકમ $N/m^2$ છે.

(D) દ્રઢતા મોડ્યુલસ $(\eta)$ એ શીયર સ્ટ્રેસ (shear stress) અને શીયર સ્ટ્રેન (shear strain) ના ગુણોત્તર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
શીયર સ્ટ્રેસ એ એકમ ક્ષેત્રફળ દીઠ બળ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે,તેથી તેનું પારિમાણિક સૂત્ર $[F]/[A] = [MLT^{-2}]/[L^2] = [ML^{-1}T^{-2}]$ છે.
શીયર સ્ટ્રેન એ પરિમાણરહિત રાશિ છે કારણ કે તે બે લંબાઈનો ગુણોત્તર છે.
તેથી,દ્રઢતા મોડ્યુલસનું પારિમાણિક સૂત્ર સ્ટ્રેસ જેવું જ છે,જે $[ML^{-1}T^{-2}]$ છે.
આમ,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(C) શીયર મોડ્યુલસને શીયરિંગ સ્ટ્રેસ અને શીયરિંગ સ્ટ્રેઈનના ગુણોત્તર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
શીયરિંગ સ્ટ્રેસ = $\frac{\text{બળ}}{\text{ક્ષેત્રફળ}} = \frac{[MLT^{-2}]}{[L^2]} = [ML^{-1}T^{-2}]$.
શીયરિંગ સ્ટ્રેઈન એ પરિમાણરહિત રાશિ છે.
તેથી,શીયર મોડ્યુલસના પરિમાણો સ્ટ્રેસના પરિમાણો સમાન હોય છે,જે $[ML^{-1}T^{-2}]$ છે.

(B) દ્રઢતા મોડ્યુલસ (જેને શીયર મોડ્યુલસ તરીકે પણ ઓળખવામાં આવે છે) એ પદાર્થની શીયર વિરૂપણ સામે પ્રતિકાર કરવાની ક્ષમતા માપે છે. હીરો એ કુદરતી રીતે મળી આવતો સૌથી સખત પદાર્થ છે,જે તેની અત્યંત મજબૂત સહસંયોજક સ્ફટિક રચના માટે જાણીતો છે. આ અત્યંત મજબૂત પરમાણુ બંધારણને કારણે,તે તમામ જાણીતા પદાર્થોમાં વિરૂપણ સામે સૌથી વધુ પ્રતિકાર દર્શાવે છે. તેથી,તેનો દ્રઢતા મોડ્યુલસ અન્ય કોઈપણ પદાર્થ કરતા વધારે હોય છે. સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(D) મોડ્યુલસ ઓફ રિજિડિટી (જેને શીયર મોડ્યુલસ પણ કહેવાય છે) એ પદાર્થના દ્રવ્યનો આંતરિક ગુણધર્મ છે.
સળિયા $A$ અને $B$ બંને એક જ દ્રવ્યમાંથી બનેલા હોવાથી,તેમનો મોડ્યુલસ ઓફ રિજિડિટી સમાન રહેશે.
તેથી,$A$ અને $B$ ના મોડ્યુલસ ઓફ રિજિડિટીનો ગુણોત્તર $1:1$ થશે.

(C) $l$ લંબાઈ,$r$ ત્રિજ્યા અને $\eta$ દ્રઢતા મોડ્યુલસ ધરાવતા તારમાં $\theta$ જેટલો વળનો ખૂણો ઉત્પન્ન કરવા માટે જરૂરી ટોર્ક $C$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$C = \frac{\pi \eta r^4 \theta}{2l}$
આ સમીકરણ પરથી જોઈ શકાય છે કે જો ટોર્ક $C$,લંબાઈ $l$ અને દ્રવ્યનો ગુણધર્મ $\eta$ સમાન હોય,તો:
$\theta = \frac{2lC}{\pi \eta r^4}$
આનો અર્થ એ છે કે $\theta \propto \frac{1}{r^4}$.
તેથી,$r_1$ અને $r_2$ ત્રિજ્યા ધરાવતા તાર $A$ અને $B$ માટે,વળના ખૂણા $\theta_1$ અને $\theta_2$ નો ગુણોત્તર:
$\frac{\theta_1}{\theta_2} = \frac{r_2^4}{r_1^4}$
આમ,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(C) દ્રઢતા મોડ્યુલસ,જેને શીયર મોડ્યુલસ તરીકે પણ ઓળખવામાં આવે છે,તે શીયર સ્ટ્રેસ અને શીયર સ્ટ્રેઈનના ગુણોત્તર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
પ્રવાહીનો કોઈ નિશ્ચિત આકાર હોતો નથી અને તે શીયર સ્ટ્રેસ સામે કોઈ પ્રતિકાર આપતું નથી.
જ્યારે પ્રવાહી પર શીયર સ્ટ્રેસ લાગુ કરવામાં આવે છે,ત્યારે તે સતત વહેવા લાગે છે,જેના પરિણામે કોઈપણ મર્યાદિત શીયર સ્ટ્રેસ માટે શીયર સ્ટ્રેઈન ખૂબ જ મોટી (અનંત) થઈ જાય છે.
દ્રઢતા મોડ્યુલસ એ $\text{Shear Stress} / \text{Shear Strain}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત હોવાથી,અને પ્રવાહી માટે શીયર સ્ટ્રેઈન અનંત હોવાથી,પ્રવાહીનો દ્રઢતા મોડ્યુલસ $0$ હોય છે.

(B) શિયરિંગ ખૂણો $\phi$ શોધવાનું સૂત્ર $\phi = \frac{r\theta}{L}$ છે,જ્યાં $r$ એ તારની ત્રિજ્યા છે,$\theta$ એ વળનો ખૂણો છે અને $L$ એ તારની લંબાઈ છે.
આપેલ છે: $r = 4\, mm = 0.4\, cm$,$L = 100\, cm$,અને $\theta = 30^\circ$.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$\phi = \frac{0.4\, cm}{100\, cm} \times 30^\circ$
$\phi = 0.004 \times 30^\circ = 0.12^\circ$.
આમ,શિયરિંગ ખૂણો $0.12^\circ$ છે.

(D) સળિયાની ટોર્સનલ રિજિડિટી (torsional rigidity) $C = \frac{\pi \eta r^4}{2L}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\eta$ એ રિજિડિટી મોડ્યુલસ છે.
સળિયા શ્રેણીમાં જોડાયેલા હોવાથી,બંને સળિયામાંથી પસાર થતો ટોર્ક $\tau$ સમાન હોય છે.
ધારો કે સાંધા આગળ વળનો ખૂણો $\theta_0$ છે.
નાના સળિયા માટે (લંબાઈ $l/2$,ત્રિજ્યા $r/2$): $\tau = C_1(\theta_0 - 0) = \frac{\pi \eta (r/2)^4}{2(l/2)} \theta_0 = \frac{\pi \eta r^4}{16(l/2)} \theta_0 = \frac{\pi \eta r^4}{8l} \theta_0$.
મોટા સળિયા માટે (લંબાઈ $l$,ત્રિજ્યા $r$): $\tau = C_2(\theta - \theta_0) = \frac{\pi \eta r^4}{2l} (\theta - \theta_0)$.
ટોર્કને સરખાવતા: $\frac{\pi \eta r^4}{8l} \theta_0 = \frac{\pi \eta r^4}{2l} (\theta - \theta_0)$.
$\frac{\theta_0}{4} = \theta - \theta_0 \Rightarrow \theta_0 = 4\theta - 4\theta_0 \Rightarrow 5\theta_0 = 4\theta$.
ફરીથી ગણતરી કરતા: $C_1 = \frac{\pi \eta r^4}{16l}$ અને $C_2 = \frac{\pi \eta r^4}{2l}$.
$C_1 \theta_0 = C_2(\theta - \theta_0) \Rightarrow \frac{\theta_0}{16} = \frac{\theta - \theta_0}{2} \Rightarrow \theta_0 = 8(\theta - \theta_0) \Rightarrow 9\theta_0 = 8\theta \Rightarrow \theta_0 = 8\theta/9$.

(C) $l$ લંબાઈ,$r$ ત્રિજ્યા અને $\eta$ દ્રઢતા મોડ્યુલસ ધરાવતા તારમાં $\theta$ કોણીય સ્થાનાંતર ઉત્પન્ન કરવા માટે જરૂરી ટોર્ક $\tau = \frac{\pi \eta r^4 \theta}{2l}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બંને તારો માટે લંબાઈ $l$ અને દ્રવ્ય $(\eta)$ સમાન હોવાથી,અને લાગુ પાડવામાં આવેલ ટોર્ક $\tau$ સમાન હોવાથી:
$\tau_1 = \tau_2$
$\frac{\pi \eta r_1^4 \theta_1}{2l} = \frac{\pi \eta r_2^4 \theta_2}{2l}$
$r_1^4 \theta_1 = r_2^4 \theta_2$
$\frac{\theta_1}{\theta_2} = \frac{r_2^4}{r_1^4}$

(C) દ્રઢતા મોડ્યુલસ $\eta$ ને શીયરિંગ સ્ટ્રેસ અને શીયરિંગ સ્ટ્રેઈનના ગુણોત્તર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે:
$\eta = \frac{F/A}{x/L}$
જ્યાં $F$ એ સ્પર્શક બળ છે,$A$ એ સપાટીનું ક્ષેત્રફળ છે જેના પર બળ લગાડવામાં આવે છે,$x$ એ પાર્શ્વીય સ્થાનાંતર છે,અને $L$ એ બળને લંબ બ્લોકની ઊંચાઈ છે.
સ્થાનાંતર $x$ માટે સૂત્ર:
$x = \frac{F \cdot L}{\eta \cdot A}$
તમામ કિસ્સાઓ માટે $\eta$ અને $F$ અચળ હોવાથી,સ્થાનાંતર $x$ એ ઊંચાઈ અને ક્ષેત્રફળના ગુણોત્તરના સમપ્રમાણમાં છે: $x \propto \frac{L}{A}$.
દરેક સ્થિતિ માટે $L/A$ ની ગણતરી:
સ્થિતિ $P$ માટે: $L = 5\,cm$,$A = 10 \times 8 = 80\,cm^2$. તેથી,$L/A = 5/80 = 0.0625\,cm^{-1}$.
સ્થિતિ $Q$ માટે: $L = 10\,cm$,$A = 8 \times 5 = 40\,cm^2$. તેથી,$L/A = 10/40 = 0.25\,cm^{-1}$.
સ્થિતિ $R$ માટે: $L = 8\,cm$,$A = 10 \times 5 = 50\,cm^2$. તેથી,$L/A = 8/50 = 0.16\,cm^{-1}$.
કિંમતોની સરખામણી કરતા,$L/A$ નો ગુણોત્તર $Q$ સ્થિતિમાં મહત્તમ છે. તેથી,સ્થાનાંતર $Q$ સ્થિતિમાં મહત્તમ હશે.

(C) શીયરિંગ સ્ટ્રેસ એ બળને સમાંતર સપાટીના ક્ષેત્રફળ અને શીયરિંગ બળના ગુણોત્તર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
આપેલ છે,શીયરિંગ સ્ટ્રેન્થ (મહત્તમ શીયરિંગ સ્ટ્રેસ) $\tau_{max} = 345 \, MN/m^2 = 345 \times 10^6 \, N/m^2$.
શીયરિંગ હેઠળની $ABCD$ સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $A = BC \times BE = 2 \, cm \times 2 \, cm = 4 \, cm^2 = 4 \times 10^{-4} \, m^2$ છે.
સળિયો સહન કરી શકે તેવું મહત્તમ શીયરિંગ બળ $F = \tau_{max} \times A$ છે.
$F = (345 \times 10^6 \, N/m^2) \times (4 \times 10^{-4} \, m^2) = 345 \times 4 \times 10^2 \, N = 138000 \, N$.
કારણ કે $F = mg$,જ્યાં $m$ એ ભારનું દળ છે અને $g = 10 \, m/s^2$ છે:
$m = F / g = 138000 / 10 = 13800 \, kg$.
આમ,મહત્તમ ભાર $13800 \, kg$ છે.

(A) બ્લોક એક ઢળતી સપાટી પર સ્થિર છે. ગુરુત્વાકર્ષણ બળ બ્લોક પર કાર્ય કરે છે,જેને બે ઘટકોમાં વિભાજિત કરી શકાય છે: એક ઢળતી સપાટીને લંબ $(mg \cos \theta)$ અને એક ઢળતી સપાટીને સમાંતર $(mg \sin \theta)$.
ઘટક $mg \sin \theta$ એ બ્લોક પર શીયર ફોર્સ (shear force) તરીકે કાર્ય કરે છે,જેના કારણે તેના ઓછા શીયર મોડ્યુલસને લીધે તે વિકૃત થાય છે. આ વિકૃતિ એ શીયર સ્ટ્રેન (shear strain) છે,જેના પરિણામે બ્લોક બળની દિશામાં નમે છે.
આધાર સ્થિર હોવાથી,બ્લોકની ઉપરની સપાટી ઢળતી સપાટીને સમાંતર ખસશે જ્યારે ઊભી બાજુઓ નમશે. આના પરિણામે બ્લોક સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ (parallelogram) જેવો આકાર ધારણ કરશે,જે વિકલ્પ $A$ માં દર્શાવેલ છે.

(B) સમાન દ્રવ્ય માટે,દ્રઢતા મોડ્યુલસ $\eta$ અચળ રહે છે,જ્યાં $\eta = \frac{\text{શીયર સ્ટ્રેસ}}{\text{શીયર સ્ટ્રેન}}$.
શીયર સ્ટ્રેસ $\sigma = \frac{F}{A}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $A = L^2$ એ સપાટીનું ક્ષેત્રફળ છે.
શીયર સ્ટ્રેન $\gamma = \frac{\Delta x}{L}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\Delta x$ એ સ્થાનાંતર છે અને $L$ એ બાજુની લંબાઈ છે.
આમ,$\eta = \frac{F/L^2}{\Delta x/L} = \frac{F}{L \cdot \Delta x}$.
પ્રથમ સમઘન માટે: $L_1 = 10\,cm$,$\Delta x_1 = 0.5\,cm$,$F = 10^5\,N$.
બીજા સમઘન માટે: $L_2 = 20\,cm$,$\Delta x_2 = x$,$F = 10^5\,N$.
દ્રવ્ય સમાન હોવાથી,$\eta_1 = \eta_2$:
$\frac{F}{L_1 \cdot \Delta x_1} = \frac{F}{L_2 \cdot \Delta x_2}$
$L_1 \cdot \Delta x_1 = L_2 \cdot \Delta x_2$
$10\,cm \times 0.5\,cm = 20\,cm \times x$
$5 = 20x$
$x = \frac{5}{20} = 0.25\,cm$.

(C) $0.3 \, cm$ જાડાઈ ધરાવતી સ્ટીલની શીટમાં $D = 1 \, cm = 10^{-2} \, m$ વ્યાસનું કાણું પાડવા માટે,શીયર બળ કાણાની નળાકાર સપાટીના ક્ષેત્રફળ પર લાગવું જોઈએ.
શીયર સ્ટ્રેસ $\sigma_{max} = 3.5 \times 10^8 \, N \, m^{-2}$ આપેલ છે.
શીયરનો સામનો કરતું ક્ષેત્રફળ $A$ એ પંચ કરેલા નળાકારની પાર્શ્વ સપાટીનું ક્ષેત્રફળ છે:
$A = \text{પરિઘ} \times \text{જાડાઈ} = (\pi D) \times h$
કિંમતો મૂકતા:
$A = \pi \times (10^{-2} \, m) \times (0.3 \times 10^{-2} \, m) = 0.3 \pi \times 10^{-4} \, m^2$
જરૂરી બળ $F$:
$F = \sigma_{max} \times A$
$F = (3.5 \times 10^8 \, N \, m^{-2}) \times (0.3 \pi \times 10^{-4} \, m^2)$
$F = 3.5 \times 0.3 \times 3.14159 \times 10^4 \, N$
$F \approx 3.298 \times 10^4 \, N$
નજીકની કિંમત લેતા,$F \approx 3.3 \times 10^4 \, N$ મળે છે.

(A) શિયરિંગ બળ કાણાની પરિમિતિ (boundary) ના ક્ષેત્રફળ પર લાગે છે.
ચોરસ કાણાની પરિમિતિ $P = 4 \times \text{બાજુ} = 4 \times 2\,cm = 8\,cm = 0.08\,m$ છે.
શીટની જાડાઈ $t = 2\,mm = 0.002\,m = 2 \times 10^{-3}\,m$ છે.
જે ક્ષેત્રફળ $A$ પર શિયરિંગ બળ લાગે છે તે પરિમિતિ અને જાડાઈનો ગુણાકાર છે:
$A = P \times t = 0.08\,m \times 0.002\,m = 1.6 \times 10^{-4}\,m^2$.
આપેલ શિયરિંગ સ્ટ્રેસ $\tau = 3.5 \times 10^8\,N/m^2$ માટે, બળ $F$ નીચે મુજબ ગણી શકાય:
$F = \tau \times A$
$F = (3.5 \times 10^8\,N/m^2) \times (1.6 \times 10^{-4}\,m^2)$
$F = 5.6 \times 10^4\,N$.

(C) આપેલ છે:
તારની લંબાઈ $L = 1\,m = 100\,cm$.
તારની ત્રિજ્યા $r = 4\,mm = 0.4\,cm$.
મરોડનો ખૂણો $\theta = 30^\circ$.
મરોડાયેલા નળાકારની ભૂમિતિ પરથી,ચાપની લંબાઈ $BB^{\prime}$ ને બે રીતે દર્શાવી શકાય છે:
$BB^{\prime} = r \theta = L \phi$
જ્યાં $\phi$ એ શીયરિંગ ખૂણો છે.
$\phi$ માટે સૂત્ર બનાવતા:
$\phi = \frac{r \theta}{L}$
કિંમતો મૂકતા:
$\phi = \frac{0.4\,cm \times 30^\circ}{100\,cm}$
$\phi = \frac{12}{100} = 0.12^\circ$.
આમ,શીયરિંગ ખૂણો $0.12^\circ$ છે.

(D) આપેલ છે: ત્રિજ્યા $r = 4 \, mm = 4 \times 10^{-3} \, m$,લંબાઈ $L = 100 \, cm = 1 \, m$,અને ટ્વિસ્ટનો ખૂણો $\theta = 60^o = 60 \times \frac{\pi}{180} \, rad = \frac{\pi}{3} \, rad$.
જ્યારે તારને $\theta$ ખૂણે વળવામાં આવે ત્યારે સપાટી પરનો શીયરિંગ ખૂણો $\phi$ એ $\phi = \frac{r \theta}{L}$ સંબંધ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા: $\phi = \frac{4 \times 10^{-3} \, m \times (60^o)}{1 \, m} = 4 \times 10^{-3} \times 60^o = 0.24^o$.

(D) શીયર મોડ્યુલસ,જેને દ્રઢતા મોડ્યુલસ તરીકે પણ ઓળખવામાં આવે છે,તે પદાર્થના શીયર વિરૂપણ (shear deformation) સામેના અવરોધને માપે છે.
તે ફક્ત ઘન પદાર્થો માટે જ વ્યાખ્યાયિત છે કારણ કે તેઓ ચોક્કસ આકાર ધરાવે છે અને સ્પર્શક બળોનો સામનો કરી શકે છે.
પ્રવાહી અને વાયુઓ (ફ્લુઇડ્સ) નિશ્ચિત આકાર ધરાવતા નથી અને શીયર સ્ટ્રેસ સહન કરી શકતા નથી; જ્યારે આવા બળો લાગુ કરવામાં આવે ત્યારે તેઓ વહેવા લાગે છે.
તેથી,પ્રવાહી અને વાયુઓ બંને માટે શીયર મોડ્યુલસ $0$ હોય છે.

(N/A) સીસાનો સ્લેબ નીચેથી જડેલો છે અને $F = 9.0 \times 10^{4} \, N$ જેટલું શીયરિંગ બળ ઉપરની સાંકડી સપાટીને સમાંતર લગાડવામાં આવે છે.
જે સપાટી પર બળ લગાડવામાં આવે છે તેનું ક્ષેત્રફળ $A$ છે:
$A = 50 \, cm \times 10 \, cm = 0.5 \, m \times 0.1 \, m = 0.05 \, m^2$
શીયરિંગ સ્ટ્રેસ (પ્રતિબળ) નીચે મુજબ મળે છે:
$\text{Stress} = \frac{F}{A} = \frac{9.0 \times 10^{4} \, N}{0.05 \, m^2} = 1.8 \times 10^{6} \, N/m^2$
આપણે જાણીએ છીએ કે શીયરિંગ સ્ટ્રેન (વિકૃતિ) નીચે મુજબ વ્યાખ્યાયિત થાય છે:
$\text{Strain} = \frac{\Delta x}{L} = \frac{\text{Stress}}{G}$
જ્યાં $L = 50 \, cm = 0.5 \, m$ એ સ્લેબની ઊંચાઈ છે અને $G = 5.6 \times 10^{9} \, N/m^2$ એ સીસાનો શીયર મોડ્યુલસ છે.
તેથી,સ્થાનાંતર $\Delta x$ નીચે મુજબ છે:
$\Delta x = \frac{\text{Stress} \times L}{G} = \frac{1.8 \times 10^{6} \, N/m^2 \times 0.5 \, m}{5.6 \times 10^{9} \, N/m^2}$
$\Delta x = \frac{0.9 \times 10^{6}}{5.6 \times 10^{9}} \, m \approx 0.1607 \times 10^{-3} \, m$
$\Delta x \approx 1.6 \times 10^{-4} \, m = 0.16 \, mm$

(C) શિયર મોડ્યુલસ $\eta$ એ શિયર સ્ટ્રેસ અને શિયર સ્ટ્રેઈનનો ગુણોત્તર છે:
$\eta = \frac{F/A}{\Delta L/L}$
જ્યાં $F$ એ લાગુ પાડવામાં આવેલ બળ છે,$A$ એ બાજુનું ક્ષેત્રફળ છે,$L$ એ સમઘનની ધારની લંબાઈ છે,અને $\Delta L$ એ શિરોલંબ વિચલન છે.
$\Delta L$ માટે સૂત્ર:
$\Delta L = \frac{F L}{A \eta}$
આપેલ છે:
$F = mg = 100\; kg \times 9.8\; m/s^2 = 980\; N$
$L = 10\; cm = 0.1\; m$
$A = L^2 = (0.1\; m)^2 = 0.01\; m^2 = 10^{-2}\; m^2$
$\eta = 25\; GPa = 25 \times 10^9\; Pa$
કિંમતો મૂકતા:
$\Delta L = \frac{980 \times 0.1}{10^{-2} \times 25 \times 10^9}$
$\Delta L = \frac{98}{0.25 \times 10^9} = 392 \times 10^{-9}\; m = 3.92 \times 10^{-7}\; m$
આમ,આ બાજુનું શિરોલંબ વિચલન $3.92 \times 10^{-7}\; m$ છે.

(B) શીયર મોડ્યુલસ $(G)$ ને શીયર સ્ટ્રેસ અને શીયર સ્ટ્રેઇનના ગુણોત્તર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
પ્રવાહીનો આકાર નિશ્ચિત હોતો નથી અને તે સ્પર્શક (શીયર) બળને સહન કરી શકતું નથી.
જ્યારે પ્રવાહી પર સ્પર્શક બળ લગાડવામાં આવે છે,ત્યારે તે સતત વહે છે,જેનો અર્થ છે કે શીયર સ્ટ્રેઇન સમય સાથે અનંત વધે છે.
પ્રવાહી શીયર સ્ટ્રેસનો પ્રતિકાર કરી શકતું ન હોવાથી,પ્રવાહી માટે શીયર મોડ્યુલસ $0$ હોય છે.

(B) જ્યારે સ્પ્રિંગને ખેંચવામાં આવે છે,ત્યારે સ્પ્રિંગના તારમાં લંબાઈમાં ફેરફાર થવાને બદલે આકારમાં ફેરફાર (ટ્વિસ્ટિંગ/શિયરિંગ) થાય છે. તેથી,સ્પ્રિંગની જડતા તેના દ્રવ્યના શિયર મોડ્યુલસ $(G)$ દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે.
વિધાન $(A)$ સાચું છે.
કારણ $(R)$ ના સંદર્ભમાં,તાંબાની સરખામણીમાં સ્ટીલનો યંગ મોડ્યુલસ અને તણાવ શક્તિ ઘણી વધારે હોય છે. તેથી,સમાન પરિમાણો ધરાવતી તાંબાની સ્પ્રિંગ કરતા સ્ટીલની સ્પ્રિંગ વધુ મજબૂત હોય છે અને તે વિરૂપણ સામે વધુ પ્રતિકાર કરે છે. આમ,તાંબાની સ્પ્રિંગની તણાવ શક્તિ સ્ટીલની સ્પ્રિંગ કરતા વધારે છે તે વિધાન ખોટું છે.
કારણ $(R)$ ખોટું છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $(B)$ છે.

(C) શીયર મોડ્યુલસ $\eta$ નું સૂત્ર: $\eta = \frac{F/A}{x/L}$,જ્યાં $F$ એ શીયરિંગ બળ છે,$A$ એ સપાટીનું ક્ષેત્રફળ છે જેના પર બળ લાગે છે,$x$ એ સ્થાનાંતર છે અને $L$ એ સ્લેબની બાજુની લંબાઈ છે.
સ્થાનાંતર $x$ માટે સૂત્ર: $x = \frac{F \cdot L}{A \cdot \eta}$.
આપેલ છે: $F = 18.0 \times 10^{4} \, N$,$L = 60 \, cm = 0.6 \, m$,જાડાઈ $t = 15 \, cm = 0.15 \, m$,અને $\eta = 25 \times 10^{9} \, N m^{-2}$.
સાંકડી સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $A = L \times t = 0.6 \, m \times 0.15 \, m = 0.09 \, m^2$.
કિંમતો મૂકતા: $x = \frac{18.0 \times 10^{4} \times 0.6}{0.09 \times 25 \times 10^{9}}$.
$x = \frac{10.8 \times 10^{4}}{2.25 \times 10^{9}} = 4.8 \times 10^{-5} \, m = 48 \times 10^{-6} \, m = 48 \, \mu m$.

(B) દ્રઢતા મોડ્યુલસ $(G)$ એ શીયર સ્ટ્રેસ અને શીયર સ્ટ્રેઈનનો ગુણોત્તર છે.
$G = \frac{\text{Shear Stress}}{\text{Shear Strain}} = \frac{F/A}{x/L} = \frac{FL}{Ax}$
આપેલ છે:
$F = 10 \, kN = 10 \times 10^3 \, N$
$L = 4 \, cm = 0.04 \, m$
$A = 1 \, cm^2 = 1 \times 10^{-4} \, m^2$
$G = 8 \times 10^{11} \, N/m^2$
પાર્શ્વીય સ્થાનાંતર $x$ શોધવા માટે સૂત્રને ફરીથી ગોઠવતા:
$x = \frac{FL}{AG}$
કિંમતો મૂકતા:
$x = \frac{10 \times 10^3 \times 0.04}{1 \times 10^{-4} \times 8 \times 10^{11}}$
$x = \frac{400}{8 \times 10^7} = 50 \times 10^{-7} = 5 \times 10^{-6} \, m$
આમ,પાર્શ્વીય સ્થાનાંતર $5 \times 10^{-6} \, m$ છે.

(B) તાર પર લગાડવામાં આવતું ટોર્સનલ કપલ (ટોર્ક) $\tau$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\tau = \frac{\pi \eta r^4 \phi}{2L}$,જ્યાં $\eta$ એ દ્રઢતા મોડ્યુલસ છે,$r$ એ ત્રિજ્યા છે,$\phi$ એ મરોડકોણ (angle of twist) છે અને $L$ એ તારની લંબાઈ છે.
તારની લંબાઈ $L$ સમાન છે,દ્રવ્ય સમાન છે (તેથી $\eta$ સમાન છે) અને સમાન ટોર્સનલ કપલ $\tau$ લગાડવામાં આવે છે,તેથી: $\tau = \frac{\pi \eta r_1^4 \phi_A}{2L} = \frac{\pi \eta r_2^4 \phi_B}{2L}$.
આ બંને પદોને સરખાવતા: $r_1^4 \phi_A = r_2^4 \phi_B$.
તેથી,તાર $A$ ના છેડે મરોડકોણ અને તાર $B$ ના છેડે મરોડકોણનો ગુણોત્તર: $\frac{\phi_A}{\phi_B} = \frac{r_2^4}{r_1^4}$ થાય.

(D) શિયર મોડ્યુલસ $\eta$ એ શિયર સ્ટ્રેસ અને શિયર સ્ટ્રેન $\phi$ નો ગુણોત્તર છે:
$\eta = \frac{\text{Shear stress}}{\phi}$
તેથી,શિયર સ્ટ્રેસ આ મુજબ મળે છે:
$\text{Shear stress} = \eta \phi$
એકમ કદ દીઠ સ્ટ્રેન ઉર્જાનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$\text{Energy density} = \frac{1}{2} \times \text{Shear stress} \times \text{Shear strain}$
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{\text{Strain energy}}{V} = \frac{1}{2} \times (\eta \phi) \times \phi$
$\frac{\text{Strain energy}}{V} = \frac{1}{2} \eta \phi^2$
કદ $V$ વડે ગુણતા,આપણને કુલ સ્ટ્રેન ઉર્જા મળે છે:
$\text{Strain energy} = \frac{1}{2} \eta \phi^2 V$
આમ,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(C) મરોડાયેલા તારમાં સંગ્રહિત સ્થિતિસ્થાપક સ્થિતિઊર્જા $U$ એ તેને મરોડવા માટે કરેલા કાર્ય જેટલી હોય છે.
$L$ લંબાઈ,$r$ ત્રિજ્યા અને $\eta$ દ્રઢતા અંક ધરાવતા તારને $\alpha$ ખૂણે મરોડવા માટે કરેલા કાર્યનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$U = \frac{1}{2} C \alpha^2$
જ્યાં $C$ એ તારનો ટોર્સનલ રિજિડિટી (મરોડ અચળાંક) છે.
ટોર્સનલ રિજિડિટી $C$ નું મૂલ્ય:
$C = \frac{\pi \eta r^4}{2 L}$
ઊર્જાના સમીકરણમાં $C$ ની કિંમત મૂકતા:
$U = \frac{1}{2} \left( \frac{\pi \eta r^4}{2 L} \right) \alpha^2$
$U = \frac{\pi \eta r^4 \alpha^2}{4 L}$
આમ,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(B) આપેલ છે: વ્યાસ $d = 12\,mm$,તેથી ત્રિજ્યા $r = 6\,mm = 6 \times 10^{-3}\,m$.
તારની લંબાઈ $\ell = 1\,m$.
ટ્વિસ્ટનો ખૂણો $\theta = 30^{\circ}$.
તાર માટે શીયરિંગ ખૂણો $\phi$ અને ટ્વિસ્ટના ખૂણા $\theta$ વચ્ચેનો સંબંધ $r \theta = \ell \phi$ છે.
તેથી,$\phi = \frac{r \theta}{\ell}$.
કિંમતો મૂકતા: $\phi = \frac{6 \times 10^{-3}\,m \times 30^{\circ}}{1\,m} = 180 \times 10^{-3}\,^{\circ} = 0.18^{\circ}$.
આમ,શીયરિંગ ખૂણો $0.18^{\circ}$ છે.

(B) શીયર સ્ટ્રેસ $\sigma$ ને એકમ ક્ષેત્રફળ $A$ પર લાગતા બળ $F$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. $l$ બાજુ અને $d$ જાડાઈ ધરાવતા સ્લેબ માટે,જે સપાટી પર બળ લાગે છે તેનું ક્ષેત્રફળ $A = l \times d$ છે.
આમ,બે સ્લેબ માટે શીયર સ્ટ્રેસ:
$\sigma_1 = \frac{F}{l d_1}$ અને $\sigma_2 = \frac{F}{l d_2}$.
શીયર મોડ્યુલસ $\eta$ ને શીયર સ્ટ્રેસ અને વિરૂપણના ખૂણા $\theta$ ના ગુણોત્તર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે (નાના ખૂણાઓ માટે,$\theta \approx \tan \theta$):
$\eta = \frac{\sigma}{\theta} \Rightarrow \theta = \frac{\sigma}{\eta}$.
આપેલ છે કે $\theta_2 = 2\theta_1$,આપણે અભિવ્યક્તિઓ મૂકીએ:
$\frac{\sigma_2}{\eta_2} = 2 \left( \frac{\sigma_1}{\eta_1} \right)$.
$\sigma_1 = \frac{F}{l d_1}$,$\sigma_2 = \frac{F}{l d_2}$,અને $d_2 = 2d_1$ મૂકતા:
$\frac{F}{l d_2 \eta_2} = 2 \left( \frac{F}{l d_1 \eta_1} \right)$.
$\frac{1}{2d_1 \eta_2} = \frac{2}{d_1 \eta_1} \Rightarrow \frac{1}{\eta_2} = \frac{4}{\eta_1} \Rightarrow \eta_2 = \frac{\eta_1}{4}$.
આપેલ છે કે $\eta_1 = 4 \times 10^9 \ N/m^2$,તેથી:
$\eta_2 = \frac{4 \times 10^9}{4} = 1 \times 10^9 \ N/m^2$.
આને $x \times 10^9 \ N/m^2$ સાથે સરખાવતા,આપણને $x = 1$ મળે છે.

(A) શીયર મોડ્યુલસ $G$ એ શીયર સ્ટ્રેસ અને શીયર સ્ટ્રેઈન (નાના ખૂણાઓ માટે કોણીય સ્થાનાંતર $\theta$) ના ગુણોત્તર તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે.
$G = \frac{\text{Shear Stress}}{\theta}$
શીયર સ્ટ્રેસ $\sigma = \frac{F}{A}$,જ્યાં $F = 10^5 \ N$ અને $A = \pi r^2$ છે.
આપેલ છે કે $r = 4 \ cm = 0.04 \ m = 4 \times 10^{-2} \ m$.
ક્ષેત્રફળ $A = \pi \times (4 \times 10^{-2})^2 = 16 \pi \times 10^{-4} \ m^2$.
હવે,સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$10^{10} = \frac{10^5 / (16 \pi \times 10^{-4})}{\theta}$
$\theta = \frac{10^5}{16 \pi \times 10^{-4} \times 10^{10}}$
$\theta = \frac{10^5}{16 \pi \times 10^6} = \frac{1}{160 \pi} \text{ radian}$.

(B) આપેલ છે: સળિયાની લંબાઈ $L = 2 \ m = 200 \ cm$. સળિયાની ત્રિજ્યા $R = 1 \ cm$. વળનો ખૂણો $\theta = 0.8 \ rad$.
એક છેડેથી વળ આપેલા સળિયા માટે,શીયર સ્ટ્રેન $\phi$,ત્રિજ્યા $R$,વળનો ખૂણો $\theta$ અને લંબાઈ $L$ વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબ છે: $L \phi = R \theta$.
સમીકરણમાં કિંમતો મૂકતા:
$\phi = \frac{R \theta}{L} = \frac{1 \ cm \times 0.8 \ rad}{200 \ cm}$.
$\phi = \frac{0.8}{200} = 0.004 \ rad$.
તેથી,ઉદ્ભવતું શીયર સ્ટ્રેન $0.004 \ rad$ છે.

(B) શીયર મોડ્યુલસ $\eta$ ને $\eta = \frac{\text{શીયર સ્ટ્રેસ}}{\text{શીયર સ્ટ્રેન}} = \frac{F/A}{\Delta x/L}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે,જ્યાં $A$ એ ફલકનું ક્ષેત્રફળ છે,$\Delta x$ એ સ્થાનાંતર છે અને $L$ એ બાજુની લંબાઈ છે.
પ્રથમ સમઘન માટે: $\eta = \frac{F/L^2}{x_{1}/L} = \frac{F}{L x_{1}}$.
તેથી,$x_{1} = \frac{F}{\eta L}$.
$2L$ બાજુવાળા બીજા સમઘન માટે: ક્ષેત્રફળ $A' = (2L)^2 = 4L^2$. દ્રવ્ય સમાન હોવાથી શીયર મોડ્યુલસ $\eta$ સમાન રહેશે.
ધારો કે નવું સ્થાનાંતર $x_{2}$ છે. તો $\eta = \frac{F/A'}{x_{2}/(2L)} = \frac{F/(4L^2)}{x_{2}/(2L)} = \frac{F}{2L x_{2}}$.
$\eta$ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા: $\frac{F}{L x_{1}} = \frac{F}{2L x_{2}}$.
$x_{2}$ માટે ઉકેલતા: $x_{2} = \frac{x_{1}}{2}$.

(A) ધારો કે $l$ એ તારની લંબાઈ છે,$r$ એ ત્રિજ્યા છે,$\theta$ એ મરોડનો ખૂણો છે અને $\phi$ એ શીયરિંગ ખૂણો છે.
મરોડાયેલા તારની ભૂમિતિ પરથી,પરિઘ પરની ચાપની લંબાઈ $s = r \theta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
નાના ખૂણાઓ માટે,શીયરિંગ ખૂણો $\phi$ એ ચાપની લંબાઈ $s$ અને તારની લંબાઈ $l$ સાથે $\phi = \frac{s}{l}$ સંબંધ ધરાવે છે.
$s = r \theta$ મૂકતા,આપણને $\phi = \frac{r \theta}{l}$ મળે છે.
આપેલ છે: $l = 1 \text{ m}$,$r = 2 \text{ mm} = 2 \times 10^{-3} \text{ m}$,અને $\theta = 45^{\circ}$.
આ કિંમતો મૂકતા: $\phi = \frac{2 \times 10^{-3} \text{ m} \times 45^{\circ}}{1 \text{ m}} = 90 \times 10^{-3} \text{ degrees} = 0.09^{\circ}$.
તેથી,શીયરિંગ ખૂણો $0.09^{\circ}$ છે.

(A) આપેલ છે: બળ $F = 50 \text{ kN} = 50 \times 10^3 \text{ N}$.
પરિમાણ: $40 \text{ mm} \times 20 \text{ mm} = 40 \times 10^{-3} \text{ m} \times 20 \times 10^{-3} \text{ m} = 800 \times 10^{-6} \text{ m}^2$.
શીયર મોડ્યુલસ $G = 40 \times 10^9 \text{ Nm}^{-2}$.
સ્ટ્રેસ $\sigma = \frac{F}{A} = \frac{50 \times 10^3}{800 \times 10^{-6}} = \frac{50 \times 10^9}{800} = 0.0625 \times 10^9 \text{ Nm}^{-2} = 6.25 \times 10^7 \text{ Nm}^{-2}$.
વિકૃતિ $\epsilon = \frac{\text{Stress}}{G} = \frac{6.25 \times 10^7}{40 \times 10^9} = \frac{6.25}{40} \times 10^{-2} = 0.15625 \times 10^{-2} = 1.5625 \times 10^{-3}$.
આમ,વિકૃતિ આશરે $1.56 \times 10^{-3}$ છે.

(B) જ્યારે સર્પાકાર સ્પ્રિંગ પર ભાર લટકાવવામાં આવે છે,ત્યારે સ્પ્રિંગના તારમાં વળ (twisting) ઉત્પન્ન થાય છે.
આ વળની અસરને કારણે તારના આડછેદના આકારમાં ફેરફાર થાય છે,પરંતુ તેના કદમાં કોઈ ફેરફાર થતો નથી.
આ પ્રકારની વિકૃતિને રૂપાંતરક વિકૃતિ (shearing strain) કહેવામાં આવે છે.
તેથી,જ્યારે સર્પાકાર સ્પ્રિંગને ખેંચવામાં આવે છે ત્યારે તેમાં ઉત્પન્ન થતી વિકૃતિ રૂપાંતરક વિકૃતિ છે.

(C) દ્રઢતા અંક $\eta$ એ સ્પર્શક પ્રતિબળ અને શિયર વિકૃતિના ગુણોત્તર તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે: $\eta = \frac{F/A}{\Delta x/L}$,જ્યાં $F$ એ સ્પર્શક બળ છે,$A$ એ સપાટીનું ક્ષેત્રફળ છે,$\Delta x$ એ પાર્શ્વ સ્થાનાંતર છે અને $L$ એ સમઘનની બાજુની લંબાઈ છે.
આપેલ છે: $L = 5 \ cm = 0.05 \ m$,$A = L^2 = (0.05 \ m)^2 = 25 \times 10^{-4} \ m^2$,$F = 1800 \ N$,અને $\eta = 2.4 \times 10^6 \ N \ m^{-2}$.
પાર્શ્વ સ્થાનાંતર $\Delta x$ માટે સૂત્રને ગોઠવતા: $\Delta x = \frac{F \cdot L}{A \cdot \eta}$.
કિંમતો મૂકતા: $\Delta x = \frac{1800 \times 0.05}{25 \times 10^{-4} \times 2.4 \times 10^6}$.
$\Delta x = \frac{90}{6000} = 0.015 \ m$.
મિલીમીટરમાં રૂપાંતર કરતા: $\Delta x = 0.015 \times 1000 \ mm = 15 \ mm$.

(B) કેન્ટીલીવર સળિયાના છેડે $F = mg$ જેટલું વજન લટકાવવાથી થતું શિરોલંબ વિચલન $x$ અને શીયર મોડ્યુલસ $\eta$ વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબ છે:
$\eta = \frac{F L}{A x} \Rightarrow x = \frac{mg L}{A \eta}$
અહીં $L = 6 \text{ cm} = 6 \times 10^{-2} \text{ m}$,ત્રિજ્યા $r = 2 \text{ cm} = 2 \times 10^{-2} \text{ m}$,$m = 400 \pi \text{ kg}$,$g = 10 \text{ m/s}^2$,અને $\eta = 3 \times 10^{10} \text{ N/m}^2$ છે.
આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $A = \pi r^2 = \pi (2 \times 10^{-2})^2 = 4 \pi \times 10^{-4} \text{ m}^2$.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$x = \frac{(400 \pi \times 10) \times (6 \times 10^{-2})}{(4 \pi \times 10^{-4}) \times (3 \times 10^{10})}$
$x = \frac{4000 \pi \times 6 \times 10^{-2}}{12 \pi \times 10^6}$
$x = \frac{24000 \pi \times 10^{-2}}{12 \pi \times 10^6} = \frac{240 \pi}{12 \pi \times 10^6} = 20 \times 10^{-6} \text{ m}$
$x = 20 \times 10^{-3} \text{ mm} = 0.02 \text{ mm}$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(B) આપેલ છે: સ્લેબની બાજુ $L = 50 \text{ cm} = 0.5 \text{ m}$, જાડાઈ $t = 10 \text{ cm} = 0.1 \text{ m}$, શીયરિંગ બળ $F = 10^5 \text{ N}$, સ્થાનાંતર $x = 0.2 \text{ mm} = 0.2 \times 10^{-3} \text{ m}$.
બળ લાગતી સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $A = L \times t = 0.5 \text{ m} \times 0.1 \text{ m} = 0.05 \text{ m}^2$.
શીયર સ્ટ્રેસ $= \frac{F}{A} = \frac{10^5}{0.05} = 2 \times 10^6 \text{ N/m}^2$.
શીયર સ્ટ્રેઈન $= \frac{x}{L} = \frac{0.2 \times 10^{-3} \text{ m}}{0.5 \text{ m}} = 0.4 \times 10^{-3} = 4 \times 10^{-4}$.
શીયર મોડ્યુલસ $\eta = \frac{\text{શીયર સ્ટ્રેસ}}{\text{શીયર સ્ટ્રેઈન}} = \frac{2 \times 10^6}{4 \times 10^{-4}} = 0.5 \times 10^{10} \text{ N/m}^2 = 5 \times 10^9 \text{ N/m}^2 = 5 \text{ GPa}$.

(B) દ્રઢતા અંક $\eta$ એ શીયર સ્ટ્રેસ અને શીયર સ્ટ્રેઈનનો ગુણોત્તર છે: $\eta = \frac{\text{Shear Stress}}{\text{Shear Strain}} = \frac{F/A}{x/L}$.
સ્થાનાંતર $x$ શોધવા માટે સૂત્રને ફરીથી ગોઠવતા: $x = \frac{FL}{A\eta}$.
આપેલ કિંમતો: બાજુની લંબાઈ $L = 5$ cm $= 0.05$ m,ક્ષેત્રફળ $A = L^2 = (0.05)^2 = 0.0025$ m$^2$,બળ $F = 10$ $N$,અને દ્રઢતા અંક $\eta = 10^5$ $N$/m$^2$.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા: $x = \frac{10 \times 0.05}{0.0025 \times 10^5}$.
$x = \frac{0.5}{250} = 0.002$ m.
મીટરને મિલીમીટરમાં ફેરવતા: $0.002$ m $= 2$ mm.