Young’s Modulus Questions in Gujarati

(B) હૂકના નિયમ મુજબ,પ્રતિબળ અને વિકૃતિ વચ્ચેનો સંબંધ સ્થિતિસ્થાપકતાના મોડ્યુલસ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રતિબળ (Stress) એ એકમ ક્ષેત્રફળ દીઠ લાગતું બળ છે,જેનું પરિમાણ $[M L^{-1} T^{-2}]$ છે.
વિકૃતિ (Strain) એ પરિમાણમાં થતો ફેરફાર અને મૂળ પરિમાણનો ગુણોત્તર છે,જે પરિમાણરહિત રાશિ છે.
સ્થિતિસ્થાપકતાનો મોડ્યુલસ એ પ્રતિબળ અને વિકૃતિનો ગુણોત્તર છે:
$\text{સ્થિતિસ્થાપકતાનો મોડ્યુલસ} = \frac{\text{પ્રતિબળ}}{\text{વિકૃતિ}}$
વિકૃતિ પરિમાણરહિત હોવાથી,સ્થિતિસ્થાપકતાના મોડ્યુલસના પરિમાણો પ્રતિબળના પરિમાણો સમાન હોય છે.
તેથી,સ્થિતિસ્થાપકતાનો મોડ્યુલસ પરિમાણીય રીતે પ્રતિબળ (Stress) ના સમકક્ષ છે.

(C) લંબાઈમાં થતા ફેરફાર (વિસ્તરણ) $\Delta L$ માટેનું સૂત્ર $\Delta L = \frac{FL}{AY}$ છે.
આપેલ છે:
લંબાઈ $L = 1 \, m$
ક્ષેત્રફળ $A = 1 \, mm^2 = 1 \times 10^{-6} \, m^2$
દળ $M = 1 \, kg$,તેથી બળ $F = Mg = 1 \times 10 = 10 \, N$
યંગ મોડ્યુલસ $Y = 2 \times 10^{11} \, N/m^2$
કિંમતો મૂકતા:
$\Delta L = \frac{10 \times 1}{(1 \times 10^{-6}) \times (2 \times 10^{11})}$
$\Delta L = \frac{10}{2 \times 10^5} = 5 \times 10^{-5} \, m$
$mm$ માં રૂપાંતર કરતા:
$\Delta L = 5 \times 10^{-5} \times 10^3 \, mm = 0.05 \, mm$.

(C) તારના વિસ્તરણ $l$ માટેનું સૂત્ર $l = \frac{FL}{AY}$ છે,જ્યાં $F$ એ ભાર છે,$L$ એ મૂળ લંબાઈ છે,$A$ એ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે અને $Y$ એ યંગ મોડ્યુલસ છે.
ક્ષેત્રફળ $A = \pi r^2$ હોવાથી,$l \propto \frac{F}{r^2}$ થાય.
પ્રારંભિક સ્થિતિ: $l_1 = 1 \ mm$,$F_1 = W$,અને $r_1 = r$.
અંતિમ સ્થિતિ: $F_2 = 4W$ અને $r_2 = 2r$.
પ્રમાણસરતા $l \propto \frac{F}{r^2}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને ગુણોત્તર મળે છે:
$\frac{l_2}{l_1} = \frac{F_2}{F_1} \times \left( \frac{r_1}{r_2} \right)^2$
કિંમતો મૂકતા: $\frac{l_2}{1} = \frac{4W}{W} \times \left( \frac{r}{2r} \right)^2 = 4 \times \left( \frac{1}{2} \right)^2 = 4 \times \frac{1}{4} = 1$.
તેથી,નવું વિસ્તરણ $l_2 = 1 \ mm$ થશે.

(C) યંગનો માપાંક $(Y)$ એ સંગત પ્રતિબળ અને સંગત વિકૃતિનો ગુણોત્તર છે.
$Y = \frac{\text{પ્રતિબળ}}{\text{વિકૃતિ}}$
વિકૃતિ એ પરિમાણરહિત ભૌતિક રાશિ હોવાથી (લંબાઈમાં થતો ફેરફાર અને મૂળ લંબાઈનો ગુણોત્તર),યંગના માપાંકનો એકમ પ્રતિબળના એકમ જેટલો જ થાય છે.
$\text{પ્રતિબળ} = \frac{\text{બળ}}{\text{ક્ષેત્રફળ}}$
બળનો $SI$ એકમ ન્યૂટન $(N)$ છે અને ક્ષેત્રફળનો $SI$ એકમ ચોરસ મીટર $(m^2)$ છે.
તેથી,યંગના માપાંકનો એકમ $N/m^2$ અથવા $N m^{-2}$ થાય છે.

(B) તારની લંબાઈમાં થતો વધારો $l$ એ સૂત્ર $l = \frac{FL}{AY}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $F$ એ ભાર છે,$L$ એ મૂળ લંબાઈ છે,$A$ એ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે અને $Y$ એ યંગ મોડ્યુલસ છે.
તાર સમાન હોવાથી ($L$ સમાન છે),સમાન ભાર હેઠળ ($F$ સમાન છે) અને સમાન દ્રવ્યના હોવાથી ($Y$ સમાન છે),આપણને મળે છે $l \propto \frac{1}{A}$.
તેથી,$\frac{A_2}{A_1} = \frac{l_1}{l_2}$.
આપેલ છે કે $l_1 = 0.1 \ mm$,$l_2 = 0.05 \ mm$,અને $A_1 = 4 \ mm^2$.
આ કિંમતો મૂકતા: $A_2 = A_1 \times \left( \frac{l_1}{l_2} \right) = 4 \times \left( \frac{0.1}{0.05} \right) = 4 \times 2 = 8 \ mm^2$.

(C) તારમાં લંબાઈમાં વધારો $\Delta L$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\Delta L = \frac{FL}{AY} = \frac{FL}{\pi r^2 Y}$.
અહીં $F$,$L$,અને $\Delta L$ બંને તાર માટે અચળ હોવાથી,$r^2 Y = \text{અચળ}$,જેનો અર્થ છે કે $r^2 \propto \frac{1}{Y}$.
તેથી,$\frac{r_2}{r_1} = \sqrt{\frac{Y_1}{Y_2}}$.
આપેલ છે કે $Y_1 = 7 \times 10^{10}\, N/m^2$,$Y_2 = 12 \times 10^{10}\, N/m^2$,અને વ્યાસ $d_1 = 3\, mm$ (તેથી $r_1 = 1.5\, mm$).
$\frac{r_2}{1.5} = \sqrt{\frac{7 \times 10^{10}}{12 \times 10^{10}}} = \sqrt{\frac{7}{12}} \approx 0.7637$.
$r_2 = 1.5 \times 0.7637 \approx 1.145\, mm$.
વ્યાસ $d_2 = 2 \times r_2 = 2 \times 1.145 = 2.29\, mm$.

(C) આપેલ છે:
વ્યાસ $d = 0.6 \, mm = 0.6 \times 10^{-3} \, m$,તેથી ત્રિજ્યા $r = 0.3 \times 10^{-3} \, m$.
યંગ મોડ્યુલસ $Y = 0.9 \times 10^{11} \, N/m^2$.
વિકૃતિ $\frac{\Delta L}{L} = 0.2\% = \frac{0.2}{100} = 0.002$.
આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $A = \pi r^2 = \pi \times (0.3 \times 10^{-3})^2 = \pi \times 0.09 \times 10^{-6} \, m^2$.
યંગ મોડ્યુલસના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $Y = \frac{F/A}{\Delta L/L}$,તેથી $F = Y \times A \times \frac{\Delta L}{L}$.
કિંમતો મૂકતા: $F = (0.9 \times 10^{11}) \times (\pi \times 0.09 \times 10^{-6}) \times (0.002)$.
$F = 0.9 \times 10^{11} \times 3.1416 \times 0.09 \times 10^{-6} \times 0.002$.
$F \approx 0.9 \times 0.09 \times 3.1416 \times 200 \approx 50.89 \, N$.
આમ,જરૂરી બળ આશરે $51 \, N$ છે.

(B) યંગ મોડ્યુલસ $(Y)$ એ પ્રતિબળ અને વિકૃતિનો ગુણોત્તર છે.
$Y = \frac{\text{પ્રતિબળ}}{\text{વિકૃતિ}}$
ધારો કે તારની મૂળ લંબાઈ $L$ છે. લંબાઈ બમણી થતી હોવાથી,નવી લંબાઈ $2L$ થાય છે.
લંબાઈમાં થતો ફેરફાર $\Delta L = 2L - L = L$.
વિકૃતિ એ લંબાઈમાં થતો ફેરફાર અને મૂળ લંબાઈનો ગુણોત્તર છે:
$\text{વિકૃતિ} = \frac{\Delta L}{L} = \frac{L}{L} = 1$.
આપેલ પ્રતિબળ = $20 \times 10^8 \ N/m^2$.
આ કિંમતોને યંગ મોડ્યુલસના સૂત્રમાં મૂકતા:
$Y = \frac{20 \times 10^8 \ N/m^2}{1} = 20 \times 10^8 \ N/m^2$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(D) તારના લંબાઈમાં થતા વધારા $l$ નું સૂત્ર $l = \frac{FL}{\pi r^2 Y}$ છે,જ્યાં $F$ એ લાગુ પાડેલ બળ,$L$ એ મૂળ લંબાઈ,$r$ એ ત્રિજ્યા અને $Y$ એ યંગ મોડ્યુલસ છે.
અહીં $F$,$L$ અને $Y$ અચળ હોવાથી,$l \propto \frac{1}{r^2}$ મળે.
પ્રારંભિક ત્રિજ્યા $r_1 = r$ અને પ્રારંભિક વધારો $l_1 = 2.00 \, mm$ છે.
નવી ત્રિજ્યા $r_2 = r/2$ છે.
ગુણોત્તર લેતા: $\frac{l_2}{l_1} = \left( \frac{r_1}{r_2} \right)^2 = \left( \frac{r}{r/2} \right)^2 = (2)^2 = 4$.
તેથી,નવો વધારો $l_2 = 4 \times l_1 = 4 \times 2.00 \, mm = 8.00 \, mm$ થાય.

(B) પરમાણુઓ વચ્ચેનો બળ અચળાંક $K$ એ યંગ મોડ્યુલસ $Y$ અને આંતર-પરમાણ્વીય અંતર $r_0$ સાથે $K = Y \times r_0$ સંબંધ દ્વારા જોડાયેલ છે.

આપેલ છે, $Y = 20 \times 10^{10} \text{ N/m}^2$ અને $r_0 = 3.0 \mathring{A} = 3.0 \times 10^{-10} \text{ m}$.
કિંમતો મૂકતા:
$K = (20 \times 10^{10} \text{ N/m}^2) \times (3.0 \times 10^{-10} \text{ m})$
$K = 60 \text{ N/m}$.
આને $N/\mathring{A}$ માં દર્શાવવા માટે:
$K = 60 \text{ N/m} = 60 \text{ N} / (10^{10} \mathring{A})$
$K = 6 \times 10^1 \times 10^{-10} N/\mathring{A}$
$K = 6 \times 10^{-9} N/\mathring{A}$.

(A) યંગ મોડ્યુલસ $(Y)$ નું સૂત્ર $Y = \frac{F \cdot L}{A \cdot \Delta L}$ છે,જ્યાં $F$ એ બળ છે,$L$ એ મૂળ લંબાઈ છે,$A$ એ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે અને $\Delta L$ એ લંબાઈમાં થતો ફેરફાર છે.
$\Delta L$ ને સૂત્રનો કર્તા બનાવતા: $\Delta L = \frac{F \cdot L}{A \cdot Y}$.
આપેલ કિંમતો:
$F = 4.8 \times 10^3 \, N$
$L = 4.0 \, m$
$A = 1.2 \, cm^2 = 1.2 \times 10^{-4} \, m^2$
$Y = 1.2 \times 10^{11} \, N/m^2$
કિંમતો મૂકતા:
$\Delta L = \frac{4.8 \times 10^3 \times 4.0}{(1.2 \times 10^{-4}) \times (1.2 \times 10^{11})}$
$\Delta L = \frac{19.2 \times 10^3}{1.44 \times 10^7}$
$\Delta L = 13.33 \times 10^{-4} \, m = 1.33 \times 10^{-3} \, m = 1.33 \, mm$.

(B) જ્યારે સળિયાનું તાપમાન $\Delta t$ જેટલું વધે છે,ત્યારે તે $\Delta L = L \alpha \Delta t$ જેટલું વિસ્તરણ પામવાનો પ્રયત્ન કરે છે.
સળિયો બે દ્રઢ આધાર વચ્ચે જકડાયેલો હોવાથી,આ વિસ્તરણ અટકાવવામાં આવે છે,જેના પરિણામે વિકૃતિ $e = \frac{\Delta L}{L} = \alpha \Delta t$ ઉદભવે છે.
હૂકના નિયમ મુજબ,પ્રતિબળ $\sigma = Y e$ થાય,જ્યાં $Y$ એ યંગ મોડ્યુલસ છે.
વિકૃતિની કિંમત મૂકતા,$\sigma = Y \alpha \Delta t$ મળે છે.
પ્રતિબળ એટલે એકમ ક્ષેત્રફળ દીઠ બળ $(\sigma = \frac{F}{A})$ હોવાથી,આધાર પર લાગતું બળ $F = \sigma A$ થાય.
તેથી,$F = Y A \alpha \Delta t$.

(A) યંગ મોડ્યુલસ $Y$ ને રેખીય પ્રતિબળ અને રેખીય વિકૃતિના ગુણોત્તર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
$Y = \frac{\text{Stress}}{\text{Strain}} = \frac{F/A}{\text{Strain}}$
વિકૃતિ માટે સૂત્રને ફરીથી ગોઠવતા:
$\text{Strain} = \frac{F}{AY}$
આમ,પાટિયા પર લાગતી સંકોચન વિકૃતિ $F/AY$ છે.

(D) યંગનો મોડ્યુલસ $(Y)$ આંતર-પરમાણ્વીય બળ અચળાંક $(k)$ અને સરેરાશ આંતર-પરમાણ્વીય અંતર $(r_0)$ નો ઉપયોગ કરીને નીચેના સૂત્ર દ્વારા ગણી શકાય છે: $Y = \frac{k}{r_0}$.
આપેલ છે:
આંતર-પરમાણ્વીય બળ અચળાંક $k = 7 \ N/m$.
સરેરાશ આંતર-પરમાણ્વીય અંતર $r_0 = 3 \times 10^{-10} \ m$.
કિંમતો મૂકતા:
$Y = \frac{7}{3 \times 10^{-10}} \ N/m^2$.
$Y = 2.333... \times 10^{10} \ N/m^2$.
બે દશાંશ સ્થળ સુધી રાઉન્ડ ઓફ કરતા,આપણને $Y = 2.33 \times 10^{10} \ N/m^2$ મળે છે.

(D) આપેલ છે: યંગ મોડ્યુલસ $Y = 2.0 \times 10^{11} \ N/m^2$,ક્ષેત્રફળ $A = 0.1 \ cm^2 = 0.1 \times 10^{-4} \ m^2 = 10^{-5} \ m^2$.
તારની લંબાઈ બમણી કરવા માટે,લંબાઈમાં ફેરફાર $\Delta L$ એ મૂળ લંબાઈ $L$ જેટલો હોવો જોઈએ,તેથી $\Delta L = L$.
વિકૃતિ (Strain) $\frac{\Delta L}{L} = \frac{L}{L} = 1$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે.
યંગ મોડ્યુલસના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $Y = \frac{F/A}{\Delta L/L}$.
કિંમતો મૂકતા: $2.0 \times 10^{11} = \frac{F}{10^{-5} \times 1}$.
$F = 2.0 \times 10^{11} \times 10^{-5} \ N = 2 \times 10^6 \ N$.

(C) યંગ મોડ્યુલસ $(Y)$ એ તારના દ્રવ્યનો લાક્ષણિક ગુણધર્મ છે.
તે માત્ર દ્રવ્યની પ્રકૃતિ અને તાપમાન પર આધાર રાખે છે.
તે તારના પરિમાણો જેવા કે તેની લંબાઈ $(L)$ અથવા ત્રિજ્યા $(r)$ પર આધાર રાખતું નથી.
તેથી,જો લંબાઈ અને ત્રિજ્યા બમણી કરવામાં આવે,તો $Y$ નું મૂલ્ય સમાન રહેશે.

(B) હૂકના નિયમ મુજબ,યંગ મોડ્યુલસ $Y = \frac{\text{Stress}}{\text{Strain}}$ (પ્રતિબળ/વિકૃતિ) છે.
સંપૂર્ણ દ્રઢ પદાર્થમાં ઉત્પન્ન થતી વિકૃતિ શૂન્ય હોય છે,એટલે કે $\text{Strain} = 0$.
તેથી,$Y = \frac{\text{Stress}}{0} \implies Y = \infty$.
આમ,સંપૂર્ણ દ્રઢ પદાર્થના દ્રવ્ય માટે યંગ મોડ્યુલસ અનંત હોય છે.

(D) તારની લંબાઈમાં થતો વધારો $\Delta L$ એ સૂત્ર $\Delta L = \frac{FL}{AY}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $F$ એ લગાડેલું બળ છે,$L$ એ મૂળ લંબાઈ છે,$A$ એ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે અને $Y$ એ યંગ મોડ્યુલસ છે.
કદ $V = A \times L$ અચળ હોવાથી,આપણે $A = \frac{V}{L}$ લખી શકીએ.
આ કિંમતને લંબાઈમાં થતા વધારાના સૂત્રમાં મૂકતા: $\Delta L = \frac{FL}{(V/L)Y} = \frac{FL^2}{VY}$.
અહીં $F$,$V$ અને $Y$ બંને તાર માટે અચળ હોવાથી,$\Delta L \propto L^2$ મળે છે.
આપેલ છે કે $L_1 = 2\, m$ માટે $\Delta L_1 = 2\, mm$ છે,અને આપણે $L_2 = 8\, m$ માટે $\Delta L_2$ શોધવાનું છે.
ગુણોત્તર લેતા: $\frac{\Delta L_2}{\Delta L_1} = \left( \frac{L_2}{L_1} \right)^2 = \left( \frac{8}{2} \right)^2 = 4^2 = 16$.
તેથી,$\Delta L_2 = 16 \times \Delta L_1 = 16 \times 2\, mm = 32\, mm$.
સેન્ટિમીટરમાં રૂપાંતર કરતા: $32\, mm = 3.2\, cm$.

(A) તારના વિસ્તરણ $(l)$ માટેનું સૂત્ર $l = \frac{FL}{AY}$ છે,જ્યાં $F$ એ બળ છે,$L$ એ મૂળ લંબાઈ છે,$A$ એ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે અને $Y$ એ યંગ મોડ્યુલસ છે.
તારનું દ્રવ્ય $(Y)$,મૂળ લંબાઈ $(L)$ અને લાગુ પાડેલ બળ $(F)$ અચળ હોવાથી,$l \propto \frac{1}{A}$ થાય.
અહીં $A_1 = 4 \; mm^2$,$l_1 = 0.1 \; mm$,અને $A_2 = 8 \; mm^2$ આપેલ છે.
ગુણોત્તર $\frac{l_2}{l_1} = \frac{A_1}{A_2}$ નો ઉપયોગ કરતા,$\frac{l_2}{0.1} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$ મળે.
તેથી,$l_2 = \frac{0.1}{2} = 0.05 \; mm$ થાય.

(A) $L$ લંબાઈ,$d$ ઘનતા અને $Y$ યંગ મોડ્યુલસ ધરાવતા સળિયામાં તેના પોતાના વજનને કારણે થતું વિસ્તરણ $\Delta L$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\Delta L = \frac{L^2 dg}{2Y}$.
આપેલ કિંમતો: $L = 10\, m$,$d = 1500\, kg/m^3$,$Y = 5 \times 10^8\, N/m^2$,અને $g = 10\, m/s^2$.
સૂત્રમાં આ કિંમતો મૂકતા:
$\Delta L = \frac{(10)^2 \times 1500 \times 10}{2 \times 5 \times 10^8}$
$\Delta L = \frac{100 \times 15000}{10 \times 10^8}$
$\Delta L = \frac{1500000}{10^9} = 15 \times 10^5 \times 10^{-9} = 15 \times 10^{-4}\, m$.

(B) સળિયામાં થતું વિસ્તરણ $l$ એ સૂત્ર $l = \frac{FL}{AY} = \frac{FL}{\pi r^2 Y}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $F$ એ બળ છે,$L$ એ લંબાઈ છે,$A$ એ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે,$r$ એ ત્રિજ્યા છે અને $Y$ એ યંગ મોડ્યુલસ છે.
સળિયા સમાન હોવાથી ($Y$ અચળ છે) અને બળ $F$ સમાન હોવાથી,વિસ્તરણ $l$ એ $\frac{L}{r^2}$ અથવા $\frac{L}{D^2}$ ના સમપ્રમાણમાં છે (જ્યાં $D$ એ વ્યાસ છે).
દરેક વિકલ્પ માટે $\frac{L}{D^2}$ નો ગુણોત્તર ગણતા:
$(a)$ $\frac{10}{1^2} = 10$
$(b)$ $\frac{100}{2^2} = \frac{100}{4} = 25$
$(c)$ $\frac{200}{3^2} = \frac{200}{9} \approx 22.22$
$(d)$ $\frac{300}{4^2} = \frac{300}{16} = 18.75$
આ મૂલ્યોની સરખામણી કરતા,વિકલ્પ $(b)$ માટે ગુણોત્તર મહત્તમ છે.

(A) ખેંચાયેલા તારમાં સંગ્રહિત એકમ કદ દીઠ ઉર્જા $(E)$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$E = \frac{1}{2} \times Y \times (\text{strain})^2$
વિકૃતિ (strain) શોધવા માટે સૂત્રને ફરીથી ગોઠવતા:
$(\text{strain})^2 = \frac{2E}{Y}$
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા:
$\text{strain} = \sqrt{\frac{2E}{Y}}$
આમ,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(A) એકમ કદ દીઠ સ્થિતિસ્થાપક સ્થિતિ ઉર્જા $(u)$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે: $u = \frac{\text{stress}^2}{2Y}$,જ્યાં $Y$ એ યંગ મોડ્યુલસ છે.
આપેલ છે કે બંને તાર પર લગાડવામાં આવેલ પ્રતિબળ સમાન છે,તેથી $u \propto \frac{1}{Y}$ થાય.
તેથી,બે તાર માટે એકમ કદ દીઠ સ્થિતિસ્થાપક ઉર્જાનો ગુણોત્તર:
$\frac{u_1}{u_2} = \frac{Y_2}{Y_1}$ થશે.
યંગ મોડ્યુલસનો ગુણોત્તર $\frac{Y_1}{Y_2} = \frac{2}{3}$ આપેલ છે,તેથી કિંમત મૂકતા:
$\frac{u_1}{u_2} = \frac{3}{2}$ મળે.
આમ,એકમ કદ દીઠ સ્થિતિસ્થાપક ઉર્જાનો ગુણોત્તર $3:2$ છે.

(B) રબરની દોરીના મુક્ત છેડાથી $x$ અંતરે $dx$ લંબાઈનો એક નાનો ઘટક ધ્યાનમાં લો.
આ ઘટકની નીચેના ભાગનું વજન $W = (A \cdot x \cdot D) \cdot g$ છે.
આ વિભાગ પરનું પ્રતિબળ $\sigma = \frac{W}{A} = x D g$ છે.
હૂકના નિયમ મુજબ,વિકૃતિ $\epsilon = \frac{\sigma}{E} = \frac{x D g}{E}$ છે.
નાના ઘટક $dx$ નું વિસ્તરણ $dl = \epsilon dx = \frac{x D g}{E} dx$ છે.
કુલ વિસ્તરણ $l$ શોધવા માટે,આપણે $x = 0$ થી $x = L$ સુધી સંકલન કરીએ છીએ:
$l = \int_{0}^{L} \frac{D g}{E} x dx = \frac{D g}{E} \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{L} = \frac{L^2 D g}{2 E}$.

(C) બે મજબૂત દીવાલો વચ્ચે જડિત સળિયાને $\Delta \theta$ તાપમાનના ફેરફારથી ગરમ કરવામાં આવે ત્યારે તેમાં ઉત્પન્ન થતો થર્મલ સ્ટ્રેસ $\sigma$ નીચે મુજબના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$\sigma = Y \alpha \Delta \theta$
જ્યાં $Y$ એ યંગ મોડ્યુલસ છે અને $\alpha$ એ રેખીય પ્રસરણ ગુણાંક છે.
આપેલ છે કે થર્મલ સ્ટ્રેસ સમાન છે $(\sigma_1 = \sigma_2)$ અને તાપમાનમાં વધારો $\Delta \theta$ બંને સળિયા માટે સમાન છે,તેથી:
$Y_1 \alpha_1 \Delta \theta = Y_2 \alpha_2 \Delta \theta$
$Y_1 \alpha_1 = Y_2 \alpha_2$
$Y_1 : Y_2$ નો ગુણોત્તર શોધવા માટે પદોને ગોઠવતા:
$\frac{Y_1}{Y_2} = \frac{\alpha_2}{\alpha_1}$
આપેલ છે કે $\alpha_1 : \alpha_2 = 2 : 3$,તેથી $\frac{\alpha_1}{\alpha_2} = \frac{2}{3}$,જેનો અર્થ છે કે $\frac{\alpha_2}{\alpha_1} = \frac{3}{2}$.
તેથી,$\frac{Y_1}{Y_2} = \frac{3}{2}$ અથવા $Y_1 : Y_2 = 3 : 2$.

(C) જ્યારે સળિયાને વિસ્તરણ કરતા અટકાવવામાં આવે ત્યારે તેમાં ઉદ્ભવતું ઉષ્મીય પ્રતિબળ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\sigma = Y \alpha \Delta \theta$,જ્યાં $Y$ એ યંગ મોડ્યુલસ છે,$\alpha$ એ રેખીય પ્રસરણાંક છે,અને $\Delta \theta$ એ તાપમાનમાં થતો ફેરફાર છે.
આ સૂત્ર પરથી સ્પષ્ટ થાય છે કે પ્રતિબળ દ્રવ્યના ગુણધર્મો ($Y$ અને $\alpha$) અને તાપમાનના ફેરફાર $(\Delta \theta)$ પર આધાર રાખે છે.
તે સળિયાની મૂળ લંબાઈ $(L)$ અથવા આડછેદના ક્ષેત્રફળ $(A)$ પર આધાર રાખતું નથી.
તેથી,પ્રતિબળ સળિયાની લંબાઈથી સ્વતંત્ર છે.

(A) રીંગને પૈડા પર બેસાડવા માટે ગરમ કરવામાં આવે છે. જ્યારે તે ઠંડી પડે છે,ત્યારે તે પૈડા પર તણાવ બળ $F$ લગાડે છે.
તાપમાનમાં ફેરફાર $\Delta T$ ને કારણે ઉદ્ભવતી થર્મલ વિકૃતિ $\epsilon = \alpha \Delta T$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
યંગ મોડ્યુલસની વ્યાખ્યા મુજબ,$Y = \frac{\text{Stress}}{\text{Strain}} = \frac{F/S}{\Delta L/L}$.
અહીં,વિકૃતિ $\frac{\Delta L}{L}$ એ $\alpha \Delta T$ જેટલી છે.
તેથી,રીંગમાં ઉદ્ભવતું તણાવ બળ $F = Y S \alpha \Delta T$ થાય છે.
રીંગ વર્તુળાકાર હોવાથી અને બે અર્ધવર્તુળાકાર ભાગો પર બળ લગાડતી હોવાથી,રીંગના એક ભાગ દ્વારા બીજા ભાગ પર લાગતું બળ $F = SY \alpha \Delta T$ મળે છે.

(B) યંગનો મોડ્યુલસ $Y = \frac{4MgL}{\pi d^2 \Delta L}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે: $M = 10 \, kg$,$L = 2 \, m$,$g = 9.8 \, m/s^2$,$d = 0.4 \times 10^{-3} \, m$,$\Delta d = 0.01 \times 10^{-3} \, m$,$\Delta L = 0.88 \times 10^{-3} \, m$,$\delta(\Delta L) = 0.05 \times 10^{-3} \, m$.
$Y$ ની ગણતરી: $Y = \frac{4 \times 10 \times 9.8 \times 2}{3.14 \times (0.4 \times 10^{-3})^2 \times 0.88 \times 10^{-3}} \approx 2.0 \times 10^{11} \, N/m^2$.
સાપેક્ષ ત્રુટિ: $\frac{\Delta Y}{Y} = 2 \frac{\Delta d}{d} + \frac{\Delta(\Delta L)}{\Delta L} = 2 \left( \frac{0.01}{0.4} \right) + \frac{0.05}{0.88} \approx 0.1068$.
નિરપેક્ષ ત્રુટિ: $\Delta Y = 0.1068 \times 2.0 \times 10^{11} \approx 0.2 \times 10^{11} \, N/m^2$.
આમ,$Y = (2.0 \pm 0.2) \times 10^{11} \, N/m^2$.

(A) આપેલ છે: વ્યાસ $d = 4 \, mm$,તેથી ત્રિજ્યા $r = 2 \times 10^{-3} \, m$.
યંગ મોડ્યુલસ $Y = 9 \times 10^{10} \, N/m^2$.
વિકૃતિ $\frac{l}{L} = 0.1\% = \frac{0.1}{100} = 0.001$.
યંગ મોડ્યુલસનું સૂત્ર $Y = \frac{F \cdot L}{A \cdot l}$ છે,જ્યાં $A = \pi r^2$.
બળ માટે સૂત્ર: $F = Y \cdot A \cdot \frac{l}{L}$.
કિંમતો મૂકતા: $F = (9 \times 10^{10}) \times (\pi \times (2 \times 10^{-3})^2) \times 0.001$.
$F = 9 \times 10^{10} \times \pi \times 4 \times 10^{-6} \times 10^{-3}$.
$F = 36 \times 10^1 \times \pi = 360 \pi \, N$.

(D) તારની લંબાઈમાં થતા વધારા $l$ નું સૂત્ર $l = \frac{FL}{AY}$ છે.
કદ $V = A \times L$ હોવાથી,આપણે $A = \frac{V}{L}$ લખી શકીએ.
આ કિંમત સૂત્રમાં મૂકતા,$l = \frac{FL}{(V/L)Y} = \frac{FL^2}{VY}$ મળે છે.
અહીં $V$,$Y$ અને $F$ અચળ હોવાથી,$l \propto L^2$ થાય.
તેથી,$\frac{l_2}{l_1} = \left( \frac{L_2}{L_1} \right)^2$ થાય.
અહીં $L_1 = 2 \, m$,$L_2 = 8 \, m$ અને $l_1 = 2 \, mm = 0.2 \, cm$ આપેલ છે.
$\frac{l_2}{0.2} = \left( \frac{8}{2} \right)^2 = (4)^2 = 16$.
$l_2 = 16 \times 0.2 \, cm = 3.2 \, cm$.

(A) તારની લંબાઈમાં થતા વધારા $l$ નું સૂત્ર $l = \frac{FL}{A Y} = \frac{FL}{\pi r^2 Y}$ છે,જ્યાં $Y$ એ યંગ મોડ્યુલસ છે.
પ્રથમ તાર માટે: $l_1 = \frac{F_1 L_1}{\pi r_1^2 Y} = \frac{FL}{\pi r^2 Y} = l$.
બીજા તાર માટે: $l_2 = \frac{F_2 L_2}{\pi r_2^2 Y} = \frac{(2F)(2L)}{\pi (2r)^2 Y} = \frac{4FL}{\pi (4r^2) Y} = \frac{FL}{\pi r^2 Y}$.
બંનેની સરખામણી કરતા,આપણને $l_2 = l_1 = l$ મળે છે.

(D) યંગ મોડ્યુલસ $Y$ નું સૂત્ર $Y = \frac{F L}{A \Delta l}$ છે,જ્યાં $A = \pi r^2$ એ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે.
બળ $F$ માટે સૂત્ર બનાવતા,$F = \frac{Y A \Delta l}{L} = \frac{Y \pi r^2 \Delta l}{L}$ મળે.
અહીં દ્રવ્ય સમાન હોવાથી $Y_A = Y_B$ અને લંબાઈમાં થતો વધારો $\Delta l$ સમાન હોવાથી $\Delta l_A = \Delta l_B$ છે.
બળનો ગુણોત્તર $\frac{F_A}{F_B} = \frac{Y_A \pi r_A^2 \Delta l_A / L_A}{Y_B \pi r_B^2 \Delta l_B / L_B} = \left( \frac{r_A}{r_B} \right)^2 \left( \frac{L_B}{L_A} \right)$ થાય.
આપેલ છે કે $\frac{L_A}{L_B} = \frac{1}{2}$ અને $\frac{r_A}{r_B} = \frac{2}{1}$.
આ કિંમતો મૂકતા: $\frac{F_A}{F_B} = (2)^2 \times (2) = 4 \times 2 = 8$.
તેથી,$\frac{F_A}{F_B} = 8:1$ થાય.

(B) હૂકના નિયમ મુજબ,$F$ તણાવ હેઠળ તારની લંબાઈ $L_{total} = L_0 + \frac{F}{k}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $L_0$ એ મૂળ લંબાઈ છે અને $k$ એ બળ અચળાંક છે.
$F = 4 \, N$ માટે,$L_0 + \frac{4}{k} = a$ --- $(i)$
$F = 5 \, N$ માટે,$L_0 + \frac{5}{k} = b$ --- $(ii)$
સમીકરણ $(ii)$ માંથી $(i)$ બાદ કરતા:
$\frac{5}{k} - \frac{4}{k} = b - a \implies \frac{1}{k} = b - a$.
$\frac{1}{k}$ ની કિંમત $(i)$ માં મૂકતા:
$L_0 + 4(b - a) = a \implies L_0 = a - 4b + 4a = 5a - 4b$.
હવે,$F = 9 \, N$ માટે:
$L_{total} = L_0 + \frac{9}{k} = (5a - 4b) + 9(b - a)$.
$L_{total} = 5a - 4b + 9b - 9a = 5b - 4a$.

(D) લંબાઈમાં થતો ફેરફાર $\Delta L$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\Delta L = \frac{FL}{AY} = \frac{FL}{\pi (d/2)^2 Y} = \frac{4FL}{\pi d^2 Y}$.
અહીં બળ $F$,યંગ મોડ્યુલસ $Y$ અને $\pi$ બધા તાર માટે સમાન હોવાથી,$\Delta L \propto \frac{L}{d^2}$ મળે.
વિકલ્પ $A$ માટે: $\frac{100}{1^2} = 100$.
વિકલ્પ $B$ માટે: $\frac{200}{2^2} = \frac{200}{4} = 50$.
વિકલ્પ $C$ માટે: $\frac{300}{3^2} = \frac{300}{9} \approx 33.33$.
વિકલ્પ $D$ માટે: $\frac{50}{0.5^2} = \frac{50}{0.25} = 200$.
કિંમતોની સરખામણી કરતા,વિકલ્પ $D$ માટે ગુણોત્તર મહત્તમ $(200)$ છે.
તેથી,વિકલ્પ $D$ વાળા તારમાં લંબાઈમાં થતો વધારો મહત્તમ હશે.

(A) યંગ મોડ્યુલસ $(Y)$ એ દ્રવ્યનો ગુણધર્મ છે જે માત્ર દ્રવ્યની પ્રકૃતિ પર આધાર રાખે છે,પદાર્થના પરિમાણો (લંબાઈ,ત્રિજ્યા વગેરે) પર નહીં.
બંને તાર સમાન દ્રવ્યના બનેલા હોવાથી,તેમનો યંગ મોડ્યુલસ સમાન રહેશે.
તેથી,બીજા તારનો યંગ મોડ્યુલસ $Y$ જ રહેશે.

(A) જ્યારે તાર બંને છેડે જડિત હોય (અથવા તેને વિસ્તરણ કરતા અટકાવવામાં આવે),ત્યારે તાપમાનમાં થતા ફેરફાર $\Delta \theta$ ને કારણે ઉદ્ભવતું ઉષ્મીય પ્રતિબળ નીચેના સૂત્ર દ્વારા મળે છે: $\sigma = Y \alpha \Delta \theta$.
અહીં,$Y = 1.2 \times 10^{11} \ N/m^2$,$\alpha = 1.1 \times 10^{-5} \ ^oC^{-1}$,અને $\Delta \theta = 10^oC$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$\sigma = (1.2 \times 10^{11}) \times (1.1 \times 10^{-5}) \times 10$
$\sigma = 1.32 \times 10^{11} \times 10^{-4}$
$\sigma = 1.32 \times 10^7 \ N/m^2$.
નોંધ: અહીં $200 \ N$ નું લગાડેલું બળ ઉષ્મીય પ્રતિબળની ગણતરી માટે અપ્રસ્તુત છે કારણ કે પ્રશ્ન તાપમાનના ફેરફારને કારણે ઉદ્ભવતા પ્રતિબળ વિશે છે.

(A) આપેલ છે:
આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $A = 1 \, cm^2 = 1 \times 10^{-4} \, m^2$.
યંગ મોડ્યુલસ $Y = 2 \times 10^{11} \, N/m^2$.
અંતિમ લંબાઈ $L_2 = 1.1 \, L_1$.
વિકૃતિ (Strain) $\frac{\Delta L}{L_1} = \frac{L_2 - L_1}{L_1} = \frac{1.1 \, L_1 - L_1}{L_1} = 0.1$.
યંગ મોડ્યુલસના સૂત્ર મુજબ: $Y = \frac{F \cdot L_1}{A \cdot \Delta L}$,તેથી બળ $F$ શોધવા માટે:
$F = Y \cdot A \cdot \left( \frac{\Delta L}{L_1} \right)$.
કિંમતો મૂકતા:
$F = (2 \times 10^{11}) \times (1 \times 10^{-4}) \times (0.1)$.
$F = 2 \times 10^{11} \times 10^{-4} \times 10^{-1}$.
$F = 2 \times 10^{6} \, N$.

(B) પ્રથમ કિસ્સામાં,તારને દઢ આધાર પરથી લટકાવેલ છે અને તેના મુક્ત છેડે $W$ વજન લટકાવેલ છે. તારમાં ઉદ્ભવતું તણાવબળ $T_1 = W$ છે. લંબાઈમાં થતો વધારો $\Delta l_1 = \frac{T_1 L}{AY} = \frac{WL}{AY} = 1.0 \, mm$ છે.
બીજા કિસ્સામાં,તારને દળરહિત અને ઘર્ષણરહિત ગરગડી પરથી પસાર કરવામાં આવે છે અને તેના બંને છેડે $W$ વજન લટકાવવામાં આવે છે. આ કિસ્સામાં તારના દરેક ભાગમાં તણાવબળ $T_2 = W$ રહે છે.
આ કિસ્સામાં લંબાઈમાં થતો વધારો $\Delta l_2 = \frac{T_2 L}{AY} = \frac{WL}{AY}$ થશે.
અહીં $T_1 = T_2 = W$ હોવાથી,લંબાઈમાં થતો વધારો સમાન રહેશે.
તેથી,$\Delta l_2 = 1.0 \, mm$.

(D) તારમાં થતા લંબાઈના વધારાનું સૂત્ર $\Delta L = \frac{FL}{AY}$ છે,જ્યાં $F$ એ બળ છે,$L$ એ મૂળ લંબાઈ છે,$A$ એ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે અને $Y$ એ યંગ મોડ્યુલસ છે.
ધારો કે બધા તારની મૂળ લંબાઈ $L$ સમાન છે,તેથી લંબાઈમાં વધારો $\Delta L$ એ $\frac{1}{AY}$ ના સમપ્રમાણમાં છે.
આપેલ ગુણોત્તર: $Y_1 : Y_2 : Y_3 = 2 : 2 : 1$ અને $A_1 : A_2 : A_3 = 1 : 2 : 3$.
લંબાઈમાં વધારાનો ગુણોત્તર $\Delta L_1 : \Delta L_2 : \Delta L_3 = \frac{1}{A_1 Y_1} : \frac{1}{A_2 Y_2} : \frac{1}{A_3 Y_3}$ થશે.
કિંમતો મૂકતા: $\Delta L_1 : \Delta L_2 : \Delta L_3 = \frac{1}{1 \times 2} : \frac{1}{2 \times 2} : \frac{1}{3 \times 1}$.
આનું સાદું રૂપ $\frac{1}{2} : \frac{1}{4} : \frac{1}{3}$ થાય છે.
છેદ દૂર કરવા માટે,લઘુત્તમ સામાન્ય અવયવી $(12)$ વડે ગુણતા: $\frac{12}{2} : \frac{12}{4} : \frac{12}{3} = 6 : 3 : 4$.

(C) બિંદુ $B$ નું સ્થાનાંતર એ તારના ભાગ $AB$ માં થતા વધારા (elongation) જેટલું હોય છે.
લંબાઈમાં વધારા $\Delta L$ માટેનું સૂત્ર $\Delta L = \frac{MgL}{AY}$ છે,જ્યાં $M$ દળ છે,$g$ ગુરુત્વપ્રવેગ છે,$L$ તારની લંબાઈ છે,$A$ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે અને $Y$ યંગ મોડ્યુલસ છે.
ભાગ $AB$ માટે:
$M = 10 \, kg$
$g = 10 \, m/s^2$
$L = 0.1 \, m$
$A = 10^{-4} \, m^2$
$Y = 2.5 \times 10^{10} \, N/m^2$
આ કિંમતો મૂકતા:
$\Delta L_{AB} = \frac{10 \times 10 \times 0.1}{10^{-4} \times 2.5 \times 10^{10}}$
$\Delta L_{AB} = \frac{10}{2.5 \times 10^6} = 4 \times 10^{-6} \, m$
તેથી,બિંદુ $B$ નું સ્થાનાંતર $4 \times 10^{-6} \, m$ છે.

(A) બિંદુનું સ્થાનાંતર એ $AB$,$BC$ અને $CD$ વિભાગોના લંબાઈમાં થતા વધારાનો સરવાળો છે. બળ $F = Mg = 10 \times 10 = 100 \ N$ બધા વિભાગો પર લાગે છે.
લંબાઈમાં વધારો $\Delta L = \frac{FL}{AY}$.
વિભાગ $AB$ માટે: $\Delta L_{AB} = \frac{100 \times 0.1}{10^{-4} \times 2.5 \times 10^{10}} = \frac{10}{2.5 \times 10^6} = 4 \times 10^{-6} \ m$.
વિભાગ $BC$ માટે: $\Delta L_{BC} = \frac{100 \times 0.2}{10^{-4} \times 4 \times 10^{10}} = \frac{20}{4 \times 10^6} = 5 \times 10^{-6} \ m$.
વિભાગ $CD$ માટે: $\Delta L_{CD} = \frac{100 \times 0.15}{10^{-4} \times 1 \times 10^{10}} = \frac{15}{1 \times 10^6} = 15 \times 10^{-6} \ m$.
$D$ બિંદુનું કુલ સ્થાનાંતર $= \Delta L_{AB} + \Delta L_{BC} + \Delta L_{CD} = (4 + 5 + 15) \times 10^{-6} \ m = 24 \times 10^{-6} \ m$.

(B) ગરગડી પરથી પસાર થતી દોરી સાથે જોડાયેલા બે દળ $m_1$ અને $m_2$ માટે,દોરીમાં તણાવબળ $T$ નીચે મુજબ મળે છે:
$T = \frac{{2{m_1}{m_2}}}{{{m_1} + {m_2}}}g$
દોરીમાં ઉદ્ભવતું પ્રતિબળ (Stress) એ એકમ ક્ષેત્રફળ દીઠ બળ છે:
$\text{Stress} = \frac{T}{S} = \frac{{2{m_1}{m_2}g}}{{S({m_1} + {m_2})}}$
હૂકના નિયમ મુજબ,યંગ મોડ્યુલસ $Y$ એ પ્રતિબળ અને વિકૃતિનો ગુણોત્તર છે:
$Y = \frac{\text{Stress}}{\text{Strain}} = \frac{\text{Stress}}{l/L}$
લંબાઈમાં વધારો $l$ માટે સૂત્ર બનાવતા:
$l = \frac{\text{Stress} \cdot L}{Y} = \frac{{2{m_1}{m_2}g}}{{S({m_1} + {m_2})}} \cdot \frac{L}{Y}$
તેથી,લંબાઈમાં થતો વધારો $l$:
$l = \frac{{2{m_1}{m_2}gL}}{{YS({m_1} + {m_2})}}$

(C) દળ $m$ ના સંતુલન માટે,તારમાં રહેલા તણાવ $T$ નો ઉર્ધ્વ ઘટક વજનને સંતુલિત કરે છે:
$2T \sin \theta = mg$
$x << L$ હોવાથી,$\sin \theta \approx \tan \theta = \frac{x}{L}$.
તેથી,$T = \frac{mg}{2 \sin \theta} = \frac{mgL}{2x}$.
તારમાં થતો વધારો $\Delta L$ એ તારની નવી લંબાઈ અને મૂળ લંબાઈ વચ્ચેનો તફાવત છે:
$\Delta L = 2 \sqrt{L^2 + x^2} - 2L = 2L \left[ (1 + \frac{x^2}{L^2})^{1/2} - 1 \right]$
દ્વિપદી વિસ્તરણ $(1+z)^n \approx 1+nz$ નો ઉપયોગ કરતા ($z << 1$ માટે):
$\Delta L \approx 2L \left[ 1 + \frac{1}{2} \frac{x^2}{L^2} - 1 \right] = \frac{x^2}{L}$.
યંગ મોડ્યુલસ $Y = \frac{T/A}{\Delta L / L_{original}}$ પરથી,જ્યાં તારના દરેક અડધા ભાગ માટે $L_{original} = L$ છે:
$T = \frac{YA \Delta L}{L} = \frac{YA (x^2/L)}{L} = \frac{YAx^2}{L^2}$.
$T$ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા:
$\frac{mgL}{2x} = \frac{YAx^2}{L^2}$
$mg = \frac{2YAx^3}{L^3}$
$m = \frac{2YAx^3}{gL^3}$.
નોંધ: આપેલા વિકલ્પો મુજબ,સૌથી નજીકનું સ્વરૂપ $m = \frac{YAx^3}{gL^3}$ (વિકલ્પ $C$) છે.

(B) તારનો બળ અચળાંક $k$ એ $k = \frac{YA}{L}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બે તાર સમાંતર હોવાથી,કુલ બળ અચળાંક $k_{eq}$ એ વ્યક્તિગત બળ અચળાંકોનો સરવાળો છે: $k_{eq} = k_1 + k_2$.
$k_1$ અને $k_2$ માટેના સૂત્રો મૂકતા: $\frac{Y_{eq} (2A)}{L} = \frac{Y_1 A}{L} + \frac{Y_2 A}{L}$.
અહીં,સમતુલ્ય તંત્રનું કુલ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $2A$ છે અને લંબાઈ $L$ સમાન છે.
સમીકરણનું સાદું રૂપ આપતા: $Y_{eq} (2A) = (Y_1 + Y_2) A$.
તેથી,$Y_{eq} = \frac{Y_1 + Y_2}{2}$.

(D) તાપમાનમાં $T$ જેટલો ફેરફાર થવાને કારણે તારમાં ઉદ્ભવતી થર્મલ વિકૃતિ $\frac{\Delta L}{L} = \alpha T$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\alpha$ એ રેખીય પ્રસરણાંક છે.
કદ પ્રસરણાંક $\gamma = 3\alpha$ હોવાથી,આપણને $\alpha = \frac{\gamma}{3}$ મળે છે.
આમ,વિકૃતિ $\frac{\Delta L}{L} = \frac{\gamma T}{3}$ થાય.
ખેંચાયેલા તારમાં સંગ્રહિત ઊર્જા ઘનતા $u$ (એકમ કદ દીઠ ઊર્જા) $u = \frac{1}{2} \times \text{Stress} \times \text{Strain}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
હૂકના નિયમ મુજબ,$\text{Stress} = Y \times \text{Strain}$,તેથી $u = \frac{1}{2} Y (\text{Strain})^2$.
વિકૃતિની કિંમત મૂકતા: $u = \frac{1}{2} Y \left( \frac{\gamma T}{3} \right)^2$.
$u = \frac{1}{2} Y \left( \frac{\gamma^2 T^2}{9} \right) = \frac{1}{18} \gamma^2 T^2 Y$.

(B) યંગ મોડ્યુલસ $Y$ ને $Y = \frac{FL}{A\Delta L} = \frac{4FL}{\pi D^2 \Delta L}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
લંબાઈમાં થતા ફેરફાર માટે સૂત્રને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને $\Delta L = \frac{4FL}{\pi D^2 Y}$ મળે છે.
ધારો કે સબસ્ક્રિપ્ટ $S$ અને $C$ અનુક્રમે સ્ટીલ અને કોપરના તાર માટે છે.
સ્ટીલના તાર પર લાગતું બળ $F_S = (5m + 2m)g = 7mg$ છે.
કોપરના તાર પર લાગતું બળ $F_C = 5mg$ છે.
આપેલ ગુણોત્તર $\frac{D_S}{D_C} = p$,$\frac{L_S}{L_C} = q$,અને $\frac{Y_S}{Y_C} = s$ છે.
તેમની લંબાઈમાં થતા વધારાનો ગુણોત્તર $\frac{\Delta L_S}{\Delta L_C} = \left( \frac{F_S}{F_C} \right) \left( \frac{L_S}{L_C} \right) \left( \frac{D_C}{D_S} \right)^2 \left( \frac{Y_C}{Y_S} \right)$ છે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $\frac{\Delta L_S}{\Delta L_C} = \left( \frac{7mg}{5mg} \right) (q) \left( \frac{1}{p} \right)^2 \left( \frac{1}{s} \right) = \frac{7q}{5p^2s}$.

(A) યંગ મોડ્યુલસનું સૂત્ર $Y = \frac{FL}{A \Delta L} = \frac{4FL}{\pi D^2 \Delta L}$ છે.
વિસ્તરણ માટે સૂત્રને ગોઠવતા,$\Delta L = \frac{4FL}{\pi D^2 Y}$ મળે છે.
તમામ તાર એક જ દ્રવ્યના બનેલા હોવાથી અને સમાન તણાવ $F$ લાગુ કરવામાં આવતો હોવાથી,$Y$ અને $F$ અચળ છે.
તેથી,$\Delta L \propto \frac{L}{D^2}$.
દરેક કિસ્સા માટે $\frac{L}{D^2}$ ગુણોત્તરની ગણતરી કરતા:
$(a)$ $\frac{50}{(0.5)^2} = \frac{50}{0.25} = 200 \; cm^{-1}$
$(b)$ $\frac{100}{(1)^2} = 100 \; cm^{-1}$
$(c)$ $\frac{200}{(2)^2} = \frac{200}{4} = 50 \; cm^{-1}$
$(d)$ $\frac{300}{(3)^2} = \frac{300}{9} \approx 33.3 \; cm^{-1}$
મૂલ્યોની સરખામણી કરતા,વિકલ્પ $(a)$ માટે ગુણોત્તર સૌથી મોટો છે.

(B) આપેલ છે કે તાંબાના તારનું કદ $V$ અચળ છે,તેથી $V = A \cdot l$,જ્યાં $A$ એ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે અને $l$ એ તારની લંબાઈ છે.
આના પરથી,આપણે ક્ષેત્રફળને $A = \frac{V}{l}$ તરીકે દર્શાવી શકીએ છીએ.
હૂકના નિયમ મુજબ,યંગ મોડ્યુલસ $Y$ ને $Y = \frac{\text{Stress}}{\text{Strain}} = \frac{F/A}{\Delta l/l} = \frac{F \cdot l}{A \cdot \Delta l}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
વિસ્તરણ $\Delta l$ માટે આ સૂત્રને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને $\Delta l = \frac{F \cdot l}{Y \cdot A}$ મળે છે.
સમીકરણમાં $A = \frac{V}{l}$ મૂકતા,આપણને $\Delta l = \frac{F \cdot l}{Y \cdot (V/l)} = \frac{F \cdot l^2}{Y \cdot V}$ મળે છે.
અહીં $F$,$Y$ અને $V$ અચળ હોવાથી,$\Delta l \propto l^2$ થાય છે.
તેથી,$\Delta l$ અને $l^2$ વચ્ચેનો આલેખ ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી સીધી રેખા હશે.

(A) ધારો કે $L$ અને $A$ એ દરેક તારની લંબાઈ અને આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે.
તારના નીચેના છેડા સમાન સ્તરે રહે તે માટે,બંને તારમાં ઉત્પન્ન થતું વિસ્તરણ સમાન હોવું જોઈએ.
ધારો કે સ્ટીલ અને પિત્તળના તાર પર લટકાવેલા વજન અનુક્રમે $W_s$ અને $W_b$ છે.
યંગ મોડ્યુલસની વ્યાખ્યા $Y = \frac{W/A}{\Delta L/L}$ મુજબ,સ્ટીલના તારમાં ઉત્પન્ન થતું વિસ્તરણ $\Delta L_s = \frac{W_s L}{Y_s A}$ છે.
પિત્તળના તારમાં ઉત્પન્ન થતું વિસ્તરણ $\Delta L_b = \frac{W_b L}{Y_b A}$ છે.
કારણ કે $\Delta L_s = \Delta L_b$,તેથી $\frac{W_s L}{Y_s A} = \frac{W_b L}{Y_b A}$.
આ સમીકરણનું સાદું રૂપ આપતા $\frac{W_s}{W_b} = \frac{Y_s}{Y_b}$ મળે છે.
આપેલ છે કે સ્ટીલનો યંગ મોડ્યુલસ પિત્તળ કરતા બમણો છે,એટલે કે $Y_s = 2 Y_b$,તેથી $\frac{Y_s}{Y_b} = 2$.
તેથી,$\frac{W_s}{W_b} = 2$,જેનો અર્થ છે કે ગુણોત્તર $2:1$ છે.

(A) યંગ મોડ્યુલસનું સૂત્ર $Y = \frac{Fl}{A\Delta l}$ છે.
બંને તારનું કદ $V = A \times L$ સમાન હોવાથી,અને આડછેદના ક્ષેત્રફળ $A_1 = A$ અને $A_2 = 3A$ હોવાથી,તેમની લંબાઈ અનુક્રમે $L_1 = 3l$ અને $L_2 = l$ થશે.
પ્રથમ તાર માટે:
$\Delta l = \frac{F \cdot (3l)}{A \cdot Y} = \frac{3Fl}{AY} \quad ...(i)$
બીજા તાર માટે,ધારો કે જરૂરી બળ $F'$ છે. લંબાઈમાં વધારો $\Delta l$ સમાન છે:
$\Delta l = \frac{F' \cdot l}{(3A) \cdot Y} = \frac{F'l}{3AY} \quad ...(ii)$
સમીકરણ $(i)$ અને $(ii)$ ને સરખાવતા:
$\frac{3Fl}{AY} = \frac{F'l}{3AY}$
$3F = \frac{F'}{3}$
$F' = 9F$