Young’s Modulus Questions in Gujarati

(A) યંગ મોડ્યુલસનું સૂત્ર $Y = \frac{Fl}{A\Delta l}$ છે.
બંને તારનું કદ $V = A \times L$ સમાન હોવાથી,અને આડછેદના ક્ષેત્રફળ $A_1 = A$ અને $A_2 = 3A$ હોવાથી,તેમની લંબાઈ અનુક્રમે $L_1 = 3l$ અને $L_2 = l$ થશે.
પ્રથમ તાર માટે:
$\Delta l = \frac{F \cdot (3l)}{A \cdot Y} = \frac{3Fl}{AY} \quad ...(i)$
બીજા તાર માટે,ધારો કે જરૂરી બળ $F'$ છે. લંબાઈમાં વધારો $\Delta l$ સમાન છે:
$\Delta l = \frac{F' \cdot l}{(3A) \cdot Y} = \frac{F'l}{3AY} \quad ...(ii)$
સમીકરણ $(i)$ અને $(ii)$ ને સરખાવતા:
$\frac{3Fl}{AY} = \frac{F'l}{3AY}$
$3F = \frac{F'}{3}$
$F' = 9F$

(A) યંગ મોડ્યુલસ $(Y)$ નું સૂત્ર $Y = \frac{\text{Stress}}{\text{Strain}} = \frac{F/A}{\Delta L/L}$ છે।
આપેલ છે:
ક્ષેત્રફળ $(A)$ = $10^{-6} \, m^2$
તણાવબળ $(F)$ = $1000 \, N$
વિકૃતિ $(\frac{\Delta L}{L})$ = $0.1\% = \frac{0.1}{100} = 10^{-3}$.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$Y = \frac{1000 / 10^{-6}}{10^{-3}}$
$Y = \frac{10^3 \times 10^6}{10^{-3}}$
$Y = 10^9 \times 10^3 = 10^{12} \, N/m^2$.
તેથી, સાચો વિકલ્પ $A$ છે।

(D) તોડવા માટેનું બળ (Breaking force) નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $F = \text{Breaking Stress} \times \text{Area of cross-section}$.
તારનું બ્રેકિંગ સ્ટ્રેસ એ દ્રવ્યનો ગુણધર્મ છે અને તે અચળ રહે છે, તેથી તોડવા માટેનું બળ એ તારના આડછેદના ક્ષેત્રફળના સમપ્રમાણમાં હોય છે.
$F \propto A \implies F \propto r^2$, જ્યાં $r$ એ તારની ત્રિજ્યા છે.
તારની લંબાઈ તોડવા માટેના બળને અસર કરતી નથી, કારણ કે બ્રેકિંગ સ્ટ્રેસ લંબાઈથી સ્વતંત્ર છે.
અહીં ત્રિજ્યા બમણી કરવામાં આવી છે $(r' = 2r)$, તેથી નવું તોડવા માટેનું બળ $F'$ નીચે મુજબ થશે:
$F' = F \times (2)^2 = 40 \times 4 = 160 \, kg \, wt$.
તેથી, જરૂરી તોડવાનું વજન $160 \, kg \, wt$ છે.

(D) યંગ મોડ્યુલસ $Y$ નું સૂત્ર $Y = \frac{\text{Stress}}{\text{Strain}} = \frac{F/A}{l/L} = \frac{FL}{Al}$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે તારનું દળ $M = \text{કદ} \times \text{ઘનતા} = (A \times L) \times d$ થાય.
આના પરથી,આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $A = \frac{M}{Ld}$ લખી શકાય.
$A$ ની કિંમત $Y$ ના સૂત્રમાં મૂકતા:
$Y = \frac{FL}{(\frac{M}{Ld})l} = \frac{FL^2d}{Ml} = \frac{Fd{L^2}}{Ml}$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(A) યંગ મોડ્યુલસનું સૂત્ર $Y = \frac{F L}{A l}$ છે,જ્યાં $F$ બળ છે,$L$ મૂળ લંબાઈ છે,$A$ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે અને $l$ લંબાઈમાં વધારો છે.
તાર સમાન હોવાથી,$F, L,$ અને $A$ બંને માટે સમાન છે. તેથી,$l \propto \frac{1}{Y}$.
આથી,$\frac{l_s}{l_c} = \frac{Y_c}{Y_s} = \frac{1.2 \times 10^{11}}{2.0 \times 10^{11}} = \frac{1.2}{2.0} = \frac{3}{5}$.
આનો અર્થ એ થાય કે $l_c = \frac{5}{3} l_s$ ... $(i)$.
આપેલ છે કે લંબાઈમાં વધારાનો તફાવત $l_c - l_s = 0.5 \ cm$ છે ... (ii).
$(i)$ ને (ii) માં મૂકતા: $\frac{5}{3} l_s - l_s = 0.5 \ cm$.
$\frac{2}{3} l_s = 0.5 \ cm \Rightarrow l_s = 0.5 \times \frac{3}{2} = 0.75 \ cm$.
તેથી,$l_c = 0.75 + 0.5 = 1.25 \ cm$.

(D) નળાકારનું કદ $V = \pi r^2 L$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
લોગરીધમિક વિકલન લેતા,આપણને $\frac{\Delta V}{V} = 2 \frac{\Delta r}{r} + \frac{\Delta L}{L}$ મળે છે.
આપેલ છે: $\frac{\Delta V}{V} = 0.2 \% = 0.002$ અને $\frac{\Delta r}{r} = -0.002 \% = -0.00002$ (કારણ કે ખેંચાણ વખતે ત્રિજ્યા ઘટે છે).
આ કિંમતો મૂકતા: $0.002 = 2(-0.00002) + \frac{\Delta L}{L}$.
$0.002 = -0.00004 + \frac{\Delta L}{L} \implies \frac{\Delta L}{L} = 0.00204$.
પ્રતિબળ $\sigma = Y \times \text{વિકૃતિ} = Y \times \frac{\Delta L}{L}$.
$\sigma = (2.0 \times 10^{11}) \times (0.00204) = 4.08 \times 10^8 \ N/m^2$.
નોંધ: આપેલા વિકલ્પોમાં ઘાતાંક અથવા મૂલ્યમાં ભૂલ જણાય છે. ગણતરી મુજબ જવાબ $4.08 \times 10^8 \ N/m^2$ આવે છે.

(A) સળિયાનું ઉષ્મીય પ્રસરણ $\Delta l = l \alpha \Delta t$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\Delta t$ એ તાપમાનમાં થતો ફેરફાર છે.
અહીં $\Delta t = 1^{\circ} C$ આપેલ છે,તેથી $\Delta l = l \alpha$.
યંગ મોડ્યુલસ $E$ ની વ્યાખ્યા $E = \frac{\text{Stress}}{\text{Strain}} = \frac{F/A}{\Delta l / l}$ છે.
વિસ્તરણ અટકાવવા માટે,દબાણ બળ $F$ એ ઉષ્મીય વિકૃતિ જેટલી જ વિકૃતિ ઉત્પન્ન કરવી જોઈએ.
તેથી,$\frac{F}{A} = E \times \frac{\Delta l}{l}$.
$\Delta l = l \alpha \Delta t$ મૂકતા,આપણને $\frac{F}{A} = E \times \frac{l \alpha \Delta t}{l} = E \alpha \Delta t$ મળે છે.
કારણ કે $\Delta t = 1$,તેથી બળ $F = EA\alpha$ થશે.

(B) કિસ્સો $(i)$: જ્યારે $L$ લંબાઈ અને $A$ આડછેદ ધરાવતા તાર પર $W$ જેટલો ભાર લટકાવવામાં આવે છે,ત્યારે તારમાં ઉદ્ભવતું તણાવબળ $T = W$ હોય છે. યંગ મોડ્યુલસના સૂત્ર મુજબ લંબાઈમાં વધારો $l = \frac{WL}{AY}$ થાય છે.
કિસ્સો $(ii)$: જ્યારે તારને ગરગડી પરથી પસાર કરી બંને છેડે $W$ જેટલા વજન લટકાવવામાં આવે છે,ત્યારે પણ તારમાં તણાવબળ $T = W$ જ રહે છે. તારની કુલ લંબાઈ $L$ અને આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $A$ સમાન રહે છે. તેથી,લંબાઈમાં થતો નવો વધારો $l' = \frac{TL}{AY} = \frac{WL}{AY}$ થશે.
આમ,બંને કિસ્સાઓમાં લંબાઈમાં થતો વધારો સમાન એટલે કે $l$ જ રહેશે.

(A) રીંગને $\Delta T$ તાપમાન સુધી ગરમ કરવામાં આવે છે જેથી તેની લંબાઈમાં $\Delta L = L\alpha\Delta T$ જેટલો વધારો થાય અને તે $2\pi R$ પરિઘવાળા પૈડા પર બેસી જાય. જ્યારે તે ઠંડું પડે છે,ત્યારે તે રીંગમાં $F$ જેટલું તણાવ બળ ઉત્પન્ન કરે છે. રીંગમાં ઉદ્ભવતું પ્રતિબળ $\sigma = F/S$ છે. વિકૃતિ $\epsilon = \Delta L/L = \alpha\Delta T$ છે. યંગ મોડ્યુલસ $Y = \sigma / \epsilon$ નો ઉપયોગ કરતા,$Y = \frac{F/S}{\alpha\Delta T}$ મળે છે,જે રીંગમાં તણાવ બળ $F = SY\alpha\Delta T$ આપે છે.
પૈડાના એક અર્ધવર્તુળાકાર ભાગનો વિચાર કરો. રીંગ અર્ધવર્તુળના દરેક છેડે સ્પર્શકની દિશામાં $F$ બળ લગાડે છે. બે અર્ધવર્તુળાકાર ભાગોને એકબીજા સાથે દબાવતું કુલ બળ એ બંને સંપર્ક બિંદુઓ પર રીંગ દ્વારા લગાડવામાં આવતા બળોનો સરવાળો છે. કારણ કે રીંગ દરેક છેડે $F$ બળ લગાડે છે,તેથી એક ભાગ બીજા ભાગ પર $2F$ જેટલું બળ લગાડે છે. તેથી,ચોખ્ખું બળ $F_{net} = 2F = 2SY\alpha\Delta T$ થાય છે.

(D) યંગ મોડ્યુલસ $Y$ એ સ્ટ્રેસ અને સ્ટ્રેઈનનો ગુણોત્તર છે: $Y = \frac{\text{stress}}{\text{strain}}$.
લંબાઈ અચળ રાખવા માટે,ઉષ્મીય પ્રસરણને લાગુ પડેલા દબાણને કારણે ઉદ્ભવતા સંકોચન સ્ટ્રેઈન દ્વારા સંતુલિત કરવું આવશ્યક છે.
ઉષ્મીય સ્ટ્રેઈન $\frac{\Delta L}{L} = \alpha \Delta T$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સ્ટ્રેસ $= Y \times \text{strain}$ હોવાથી,જરૂરી દબાણ $P = Y \times \alpha \Delta T$ થશે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $P = (2 \times 10^{11} \ N/m^2) \times (1.1 \times 10^{-5} \ K^{-1}) \times (100 \ K)$.
$P = 2.2 \times 10^{11} \times 10^{-5} \times 10^2 = 2.2 \times 10^8 \ Pa$.

(D) સાદા લોલકનો આવર્તકાળ $T = 2\pi \sqrt{\frac{\ell}{g}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જ્યારે વધારાનું દળ $M$ ઉમેરવામાં આવે છે,ત્યારે તારમાં $\Delta \ell$ જેટલો ખેંચાણ થાય છે,અને નવો આવર્તકાળ $T_M = 2\pi \sqrt{\frac{\ell + \Delta \ell}{g}}$ થાય છે.
ગુણોત્તર લેતા,આપણને $\frac{T_M}{T} = \sqrt{\frac{\ell + \Delta \ell}{\ell}}$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $\left( \frac{T_M}{T} \right)^2 = 1 + \frac{\Delta \ell}{\ell}$.
યંગ મોડ્યુલસ $Y = \frac{Mg/A}{\Delta \ell / \ell}$ ની વ્યાખ્યા પરથી,આપણને $\frac{\Delta \ell}{\ell} = \frac{Mg}{AY}$ મળે છે.
આ કિંમતને સમીકરણમાં મૂકતા: $\left( \frac{T_M}{T} \right)^2 = 1 + \frac{Mg}{AY}$.
$\frac{1}{Y}$ માટે ગોઠવતા,આપણને $\frac{1}{Y} = \left[ \left( \frac{T_M}{T} \right)^2 - 1 \right] \frac{A}{Mg}$ મળે છે.

(C) તારનો બળ અચળાંક $K$ એ $K = \frac{YA}{L}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રથમ તાર માટે,$K_1 = \frac{Y_1 A}{L_1}$.
બીજા તાર માટે,$K_2 = \frac{Y_2 A}{L_2}$.
તાર શ્રેણીમાં જોડાયેલા હોવાથી,અસરકારક બળ અચળાંક $K_{eff}$ એ $\frac{1}{K_{eff}} = \frac{1}{K_1} + \frac{1}{K_2}$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા,$\frac{1}{K_{eff}} = \frac{L_1}{Y_1 A} + \frac{L_2}{Y_2 A} = \frac{Y_2 L_1 + Y_1 L_2}{Y_1 Y_2 A}$.
તેથી,$K_{eff} = \frac{Y_1 Y_2 A}{Y_1 L_2 + Y_2 L_1}$.

(B) ધારો કે $L_A, R_A, Y_A$ અને $L_B, R_B, Y_B$ એ અનુક્રમે વાયર $A$ અને $B$ ની લંબાઈ,ત્રિજ્યા અને યંગ મોડ્યુલસ છે.
આપેલ ગુણોત્તર: $L_A/L_B = r$,$R_A/R_B = 2r$,$Y_A/Y_B = 3r$.
વાયર $B$ માં તણાવ $T_B = m_Q g = 3Mg$ છે.
વાયર $A$ માં તણાવ $T_A = (m_P + m_Q)g = (m_P + 3M)g$ છે.
વાયરમાં લંબાઈમાં વધારો $\Delta L = \frac{TL}{AY} = \frac{TL}{\pi R^2 Y}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
લંબાઈમાં વધારાનો ગુણોત્તર: $\frac{\Delta L_A}{\Delta L_B} = \frac{T_A L_A}{\pi R_A^2 Y_A} \cdot \frac{\pi R_B^2 Y_B}{T_B L_B} = \frac{T_A}{T_B} \cdot \frac{L_A}{L_B} \cdot \left(\frac{R_B}{R_A}\right)^2 \cdot \frac{Y_B}{Y_A}$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $\frac{1}{6r^2} = \frac{(m_P + 3M)g}{3Mg} \cdot r \cdot \left(\frac{1}{2r}\right)^2 \cdot \frac{1}{3r}$.
$\frac{1}{6r^2} = \frac{m_P + 3M}{3M} \cdot r \cdot \frac{1}{4r^2} \cdot \frac{1}{3r} = \frac{m_P + 3M}{3M} \cdot \frac{1}{12r^2}$.
બંને બાજુ $12r^2$ વડે ગુણતા: $2 = \frac{m_P + 3M}{3M}$.
$6M = m_P + 3M \implies m_P = 3M$.

(A) તાપમાનમાં વધારાને કારણે સળિયાનું મુક્ત પ્રસરણ $\Delta \ell_{free} = \ell \alpha \Delta T$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $\ell = 1000\, mm = 1\, m$,$\alpha = 10^{-4} / ^\circ C$,અને $\Delta T = 20^\circ C$ આપેલ છે.
$\Delta \ell_{free} = 1 \times 10^{-4} \times 20 = 20 \times 10^{-4}\, m = 2\, mm$.
સળિયા અને દીવાલો વચ્ચેની જગ્યા $1001\, mm - 1000\, mm = 1\, mm$ છે.
સળિયો $2\, mm$ જેટલો વિસ્તરે છે પરંતુ તેની પાસે માત્ર $1\, mm$ ની મુક્ત જગ્યા હોવાથી,તે $\Delta \ell_{comp} = 2\, mm - 1\, mm = 1\, mm = 10^{-3}\, m$ જેટલો દબાઈ જશે.
સળિયામાં ઉદ્ભવતું પ્રતિબળ $\sigma = Y \times \text{strain} = Y \times \frac{\Delta \ell_{comp}}{\ell}$ દ્વારા મળે છે.
$\sigma = 10^{11} \times \frac{10^{-3}}{1} = 10^8\, N/m^2$.
$1\, MPa = 10^6\, N/m^2$ હોવાથી,$\sigma = 100\, MPa$ મળે છે.

(A) સળિયાનું ઉષ્મીય સંકોચન $\Delta L_{thermal} = L \alpha \Delta \theta = 4 \times (2.2 \times 10^{-4}) \times 100 = 0.088 \ m = 8.8 \ cm$ છે.
ધારો કે સળિયાની લંબાઈમાં થતો વાસ્તવિક ઘટાડો $x$ છે. સળિયાના સંકોચનને કારણે સ્પ્રિંગ $x$ જેટલી ખેંચાય છે.
સ્પ્રિંગ દ્વારા લાગતું બળ $F = Kx$ છે.
સળિયામાં ઉદ્ભવતું પ્રતિબળ $\sigma = \frac{F}{A} = \frac{Kx}{A}$ છે.
સળિયામાં ઉદ્ભવતી વિકૃતિ $\epsilon = \frac{\Delta L_{thermal} - x}{L}$ છે.
હૂકના નિયમ મુજબ,$Y = \frac{\sigma}{\epsilon} = \frac{KxL}{A(\Delta L_{thermal} - x)}$.
$x$ માટે સાદું રૂપ આપતા: $x = \frac{Y A \Delta L_{thermal}}{YA + KL} = \frac{(10^{11}) \times (4 \times 10^{-4}) \times 0.088}{(10^{11} \times 4 \times 10^{-4}) + (10^4 \times 4)} = \frac{3520}{44000} = 0.08 \ m = 8 \ cm$ (ગણતરી મુજબ $8.79 \ cm$ મળે છે).
સૌથી નજીકનો પૂર્ણાંક $9 \ cm$ છે.

(A) ધારો કે રીંગનો એક નાનો ભાગ જેની લંબાઈ $dl$ છે તે કેન્દ્ર પર $2\theta$ ખૂણો આંતરે છે. આ ભાગ પર લાગતું પૃષ્ઠતાણ બળ $2\sigma dl$ છે (કારણ કે ફિલ્મની બે સપાટીઓ હોય છે). આ બળ તારમાં રહેલા તણાવ $F$ ના ત્રિજ્યાવર્તી ઘટક $2F \sin \theta$ દ્વારા સંતુલિત થાય છે.
નાના $\theta$ માટે,$\sin \theta \approx \theta$. વળી,$dl = r(2\theta)$,જ્યાં $r$ એ રીંગની ત્રિજ્યા છે.
બળોને સરખાવતા: $2F \theta = 2\sigma (2r\theta) \Rightarrow F = 2\sigma r$.
પરિઘ $l = 2\pi r$ હોવાથી,$r = \frac{l}{2\pi}$ મળે.
$r$ ની કિંમત મૂકતા: $F = 2\sigma \left(\frac{l}{2\pi}\right) = \frac{l\sigma}{\pi}$.
યંગ મોડ્યુલસ $Y$ ની વ્યાખ્યા મુજબ,$Y = \frac{\text{Stress}}{\text{Strain}} = \frac{F/a}{\text{Strain}}$.
તેથી,$\text{Strain} = \frac{F}{aY} = \frac{l\sigma / \pi}{aY} = \frac{l\sigma}{\pi aY}$.

(D) તારના લંબાઈમાં થતો વધારો $\Delta \ell$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\Delta \ell = \frac{F \ell}{A Y} = \frac{F \ell}{\pi r^2 Y}$.
અહીં દ્રવ્ય (યંગ મોડ્યુલસ $Y$) અને બળ $F$ બધા તાર માટે સમાન હોવાથી,લંબાઈમાં થતો વધારો $\frac{\ell}{r^2}$ ના પ્રમાણમાં હોય છે.
દરેક વિકલ્પ માટે ગુણોત્તર $k = \frac{\ell}{r^2}$ ની ગણતરી કરીએ:
$A$: $k = \frac{3}{3^2} = \frac{3}{9} = 0.333 \ m/mm^2$.
$B$: $k = \frac{0.5}{0.5^2} = \frac{0.5}{0.25} = 2.0 \ m/mm^2$.
$C$: $k = \frac{2}{2^2} = \frac{2}{4} = 0.5 \ m/mm^2$.
$D$: $k = \frac{2}{3^2} = \frac{2}{9} = 0.222 \ m/mm^2$.
કિંમતોની સરખામણી કરતા,વિકલ્પ $D$ નો ગુણોત્તર સૌથી ઓછો છે,તેથી તેમાં લંબાઈમાં થતો વધારો ન્યૂનતમ હશે.

(B) યંગ મોડ્યુલસનું સૂત્ર $Y = \frac{F L}{A \Delta L}$ છે,જ્યાં $F$ એ બળ છે,$L$ એ મૂળ લંબાઈ છે,$A$ એ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે અને $\Delta L$ એ લંબાઈમાં થતો ફેરફાર છે.
$\Delta L$ માટે સૂત્ર ગોઠવતા,$\Delta L = \frac{F L}{A Y}$ મળે.
સ્ટીલના તાર માટે,તણાવ $F_s = 3Mg$ છે. એલ્યુમિનિયમના તાર માટે,તણાવ $F_a = (3M + 2M)g = 5Mg$ છે.
આપેલ ગુણોત્તર: $\frac{L_s}{L_a} = a$,$\frac{r_s}{r_a} = b$,અને $\frac{Y_s}{Y_a} = c$.
ક્ષેત્રફળનો ગુણોત્તર $\frac{A_s}{A_a} = \frac{\pi r_s^2}{\pi r_a^2} = b^2$ છે.
લંબાઈમાં થતા વધારાનો ગુણોત્તર $\frac{\Delta L_s}{\Delta L_a} = \frac{F_s L_s}{A_s Y_s} \times \frac{A_a Y_a}{F_a L_a} = \left(\frac{F_s}{F_a}\right) \left(\frac{L_s}{L_a}\right) \left(\frac{A_a}{A_s}\right) \left(\frac{Y_a}{Y_s}\right)$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{\Delta L_s}{\Delta L_a} = \left(\frac{3Mg}{5Mg}\right) \times (a) \times \left(\frac{1}{b^2}\right) \times \left(\frac{1}{c}\right) = \frac{3a}{5b^2c}$.

(D) ધારો કે પ્રથમ તારની ત્રિજ્યા $r$ અને ક્ષેત્રફળ $A_1 = \pi r^2$ છે. ધારો કે બીજા તારની ત્રિજ્યા $2r$ અને ક્ષેત્રફળ $A_2 = \pi (2r)^2 = 4A_1$ છે.
તાર શ્રેણીમાં હોવાથી,બંને પર સમાન બળ $F$ લાગે છે.
પ્રથમ તારનું વિસ્તરણ $\Delta l_1 = \frac{FL}{A_1 Y}$ છે.
બીજા તારનું વિસ્તરણ $\Delta l_2 = \frac{FL}{A_2 Y} = \frac{FL}{4A_1 Y} = \frac{\Delta l_1}{4}$ છે.
કુલ વિસ્તરણ $\Delta l_1 + \Delta l_2 = 10 \ mm$ છે.
$\Delta l_2 = \frac{\Delta l_1}{4}$ મૂકતા,આપણને $\Delta l_1 + \frac{\Delta l_1}{4} = 10 \ mm$ મળે છે.
$\frac{5}{4} \Delta l_1 = 10 \ mm \Rightarrow \Delta l_1 = 8 \ mm$.
જંકશન બિંદુ $A$ એ પ્રથમ તારના વિસ્તરણ જેટલું સ્થાનાંતરિત થશે,જે $\Delta l_1 = 8 \ mm$ છે.

(B) ધારો કે $PQ$ અને $RS$ સળિયામાં તણાવ બળો અનુક્રમે $T_Q$ અને $T_S$ છે.
દ્રઢ સળિયાના બળ સંતુલન પરથી: $T_Q + T_S = F$.
બિંદુ $S$ ની આસપાસ ટોર્ક લેતા: $T_Q \times (2L) = F \times (4L) \implies T_Q = 2F$.
બળના સમીકરણમાં $T_Q$ ની કિંમત મૂકતા: $2F + T_S = F \implies T_S = -F$ (ઋણ નિશાની દર્શાવે છે કે સળિયો $RS$ દબાણ હેઠળ છે).
સળિયા $PQ$ નું વિચલન $\delta_Q = \frac{T_Q L}{AY} = \frac{(2F)L}{AY} = \frac{2FL}{AY}$ (ઉપરની તરફ).
સળિયા $RS$ નું વિચલન $\delta_S = \frac{|T_S| (3L/2)}{(2A)(2Y)} = \frac{F(3L/2)}{4AY} = \frac{3FL}{8AY}$ (નીચેની તરફ).
સળિયો દ્રઢ હોવાથી,વિચલનો $\delta_Q$ અને $\delta_S$ સળિયાની ભૂમિતિના આધારે રેખીય સંબંધ ધરાવે છે. પ્રશ્નમાં સીધું જ છેડા $S$ નું વિચલન પૂછવામાં આવ્યું છે,જે સળિયા $RS$ નું સંકોચન છે,જેની ગણતરી $\delta_S = \frac{3FL}{8AY}$ મુજબ થાય છે.

(B) ધારો કે સ્કેલની કુલ લંબાઈ $L = 100\ cm$ છે. નીચેના છેડાથી $x$ અંતરે તણાવ $T = \frac{mgx}{L}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
યંગ મોડ્યુલસ $Y = \frac{\text{stress}}{\text{strain}} = \frac{T/A}{dy/dx}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $dy = \frac{T}{AY} dx = \frac{mgx}{LAY} dx$ મળે છે.
$30\ cm$ અને $70\ cm$ ના માર્ક વચ્ચેનું વિસ્તરણ $\Delta y$ (નીચેના છેડાથી માપતા,જ્યાં $x=0$ નીચે છે) એ $x_1 = 100-70 = 30\ cm$ થી $x_2 = 100-30 = 70\ cm$ ના ભાગને અનુરૂપ છે.
$\Delta y = \int_{30}^{70} \frac{mgx}{LAY} dx = \frac{mg}{LAY} \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{30}^{70} = \frac{mg}{LAY} \left( \frac{4900 - 900}{2} \right) = \frac{mg}{LAY} \times 2000 = \frac{mg}{AY \times 100} \times 2000 = 20 \frac{mg}{AY}$.
મૂળ અંતર $70\ cm - 30\ cm = 40\ cm$ છે.
આમ,નવું અંતર $40\ cm + 20\frac{mg}{AY}\ cm$ થશે.

(B) ધારો કે મૂળ તારની લંબાઈ $L_1 = 2L$,આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $A_1 = A$ અને બ્રેકિંગ સ્ટ્રેસ $\sigma_b$ છે. બ્રેકિંગ લોડ $W = \sigma_b A_1 = \sigma_b A$ છે.
તારને ઓગાળીને $L_2 = L$ લંબાઈનો નવો તાર બનાવવામાં આવે છે,તેથી કદ $V$ અચળ રહે છે.
$V = A_1 L_1 = A_2 L_2 \Rightarrow A(2L) = A_2(L) \Rightarrow A_2 = 2A$.
નવા તાર માટે બ્રેકિંગ લોડ $W' = \sigma_b A_2 = \sigma_b (2A) = 2W$ થાય છે.
અહીં લાગુ પાડવામાં આવેલ ભાર $W$ એ નવા બ્રેકિંગ લોડ $2W$ કરતા ઓછો હોવાથી,તાર ચોક્કસપણે તૂટશે નહીં.

(D) સ્થિતિસ્થાપક ઉર્જા ઘનતા $u$ એ $u = \frac{1}{2} \frac{(\text{stress})^2}{Y}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $u$ અચળ છે,તેથી $\frac{(\text{stress})^2}{Y} = \text{અચળ}$,જેનો અર્થ છે કે $Y \propto (\text{stress})^2$.
સળિયાના મુક્ત છેડાથી $x$ અંતરે તણાવ (stress) $\sigma = \frac{F}{A} = \frac{(\frac{m}{L} x) g}{A} = (\frac{mg}{AL}) x$ છે.
જેથી $\sigma \propto x$,આપણને મળે છે $Y \propto (\sigma)^2 \propto x^2$.
તેથી,યંગ મોડ્યુલસ $Y$ વિરુદ્ધ $x$ નો આલેખ ઉપરની તરફ ખુલતો પરવલય છે,જે આલેખ $D$ ને અનુરૂપ છે.

(C) તારના વિસ્તરણ $\ell$ માટેનું સૂત્ર $\ell = \frac{FL}{AY}$ છે,જ્યાં $F$ એ બળ,$L$ એ લંબાઈ,$A$ એ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ અને $Y$ એ યંગ મોડ્યુલસ છે.
દ્રવ્ય સમાન હોવાથી $Y$ અચળ છે. આપેલ છે કે બળ $F$ પણ સમાન છે,તેથી $\ell \propto \frac{L}{A}$ મળે.
ક્ષેત્રફળ $A = \pi r^2 = \pi (d/2)^2$ હોવાથી,$A \propto d^2$ થાય,જ્યાં $d$ એ વ્યાસ છે.
આમ,$\ell \propto \frac{L}{d^2}$ મળે.
આપેલ છે કે $\frac{L_A}{L_B} = \frac{1}{2}$ અને $\frac{d_A}{d_B} = \frac{2}{1}$,તેથી લંબાઈમાં થતા વધારાનો ગુણોત્તર:
$\frac{\ell_A}{\ell_B} = \frac{L_A}{L_B} \times \left(\frac{d_B}{d_A}\right)^2 = \frac{1}{2} \times \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{2} \times \frac{1}{4} = \frac{1}{8}$.

(A) સળિયાનું ઉષ્મીય પ્રસરણ $\Delta L = \alpha L \Delta T$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\Delta T = t$ છે.
સળિયાને બંને છેડે એવી રીતે પકડી રાખવામાં આવ્યો છે કે તેની લંબાઈ અચળ રહે,તેથી ઉત્પન્ન થતી વિકૃતિ $\epsilon = \frac{\Delta L}{L} = \alpha t$ થાય.
હૂકના નિયમ મુજબ,પ્રતિબળ $\sigma$ અને વિકૃતિ $\epsilon$ વચ્ચેનો સંબંધ યંગ મોડ્યુલસ $Y$ દ્વારા $\sigma = Y \epsilon$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે.
વિકૃતિની કિંમત મૂકતા,આપણને $\sigma = Y \alpha t$ મળે છે.
તેથી,સળિયામાં ઉત્પન્ન થતું રેખીય પ્રતિબળ $Y \alpha t$ છે.

(B) ધારો કે દોરીની મૂળભૂત લંબાઈ $L$ છે અને સ્પ્રિંગ અચળાંક $k$ છે. હૂકના નિયમ મુજબ,તણાવ $F$ એ વિસ્તરણ $(l - L)$ ના સમપ્રમાણમાં હોય છે,જ્યાં $l$ એ ખેંચાયેલી લંબાઈ છે.
$F = k(l - L)$
પ્રથમ કિસ્સા માટે: $8 = k(x - L) \quad ...(1)$
બીજા કિસ્સા માટે: $10 = k(y - L) \quad ...(2)$
ધારો કે જ્યારે તણાવ $18 \, N$ હોય ત્યારે લંબાઈ $z$ છે: $18 = k(z - L) \quad ...(3)$
સમીકરણ $(2)$ માંથી $(1)$ બાદ કરતા: $10 - 8 = k(y - L) - k(x - L) \Rightarrow 2 = k(y - x) \Rightarrow k = \frac{2}{y - x}$.
$k$ ની કિંમત $(2)$ માં મૂકતા: $10 = \frac{2}{y - x}(y - L) \Rightarrow 5(y - x) = y - L \Rightarrow L = y - 5y + 5x = 5x - 4y$.
હવે,$k$ અને $L$ ની કિંમત $(3)$ માં મૂકતા: $18 = \frac{2}{y - x}(z - (5x - 4y))$
$9(y - x) = z - 5x + 4y$
$9y - 9x = z - 5x + 4y$
$z = 9y - 4y - 9x + 5x = 5y - 4x$.

(A) સૌથી નીચેના સ્થાને,તારમાં તણાવ $T$ એ ગુરુત્વાકર્ષણ બળ અને કેન્દ્રગામી બળના સરવાળા જેટલું હોય છે: $T = Mg + M\omega^2\ell$.
અહીં,$M = 3\,kg$,$\ell = 1.5\,m$,$g = 10\,m/s^2$,અને આવૃત્તિ $f = 2\,Hz$ છે.
કોણીય વેગ $\omega = 2\pi f = 2 \times 3.14 \times 2 = 12.56\,rad/s$ છે.
તણાવ $T = 3 \times 10 + 3 \times (12.56)^2 \times 1.5 = 30 + 3 \times 157.75 \times 1.5 = 30 + 710 = 740\,N$ થાય.
વિસ્તરણ $\Delta\ell$ એ $\Delta\ell = \frac{T\ell}{AY}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે,જ્યાં $A = \pi r^2 = 3.14 \times (10^{-3})^2 = 3.14 \times 10^{-6}\,m^2$ છે.
$\Delta\ell = \frac{740 \times 1.5}{3.14 \times 10^{-6} \times 2 \times 10^{11}} = \frac{1110}{6.28 \times 10^5} \approx 1.77 \times 10^{-3}\,m$.

(B) આપેલ છે:
સ્ટ્રેસ $(\sigma) = 1.5 \, kg.wt/mm^2 = 1.5 \times 9.8 \, N / (10^{-3} \, m)^2 \approx 1.5 \times 10 \times 10^6 \, N/m^2 = 1.5 \times 10^7 \, N/m^2$.
યંગ મોડ્યુલસ $(Y) = 5 \times 10^{11} \, N/m^2$.
આપણે જાણીએ છીએ કે યંગ મોડ્યુલસ $Y = \frac{\text{સ્ટ્રેસ}}{\text{સ્ટ્રેન}}$,જ્યાં $\text{સ્ટ્રેન} = \frac{\Delta \ell}{\ell}$.
તેથી,$\frac{\Delta \ell}{\ell} = \frac{\sigma}{Y}$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{\Delta \ell}{\ell} = \frac{1.5 \times 10^7}{5 \times 10^{11}} = 0.3 \times 10^{-4} = 3 \times 10^{-5}$.
ટકાવારી વધારો શોધવા માટે: $\frac{\Delta \ell}{\ell} \times 100 = 3 \times 10^{-5} \times 100 = 3 \times 10^{-3} \%$.

(B) આપેલ છે:
આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $A = 0.1 \, cm^2 = 0.1 \times 10^{-4} \, m^2 = 10^{-5} \, m^2$.
યંગ મોડ્યુલસ $Y = 2 \times 10^{11} \, N \, m^{-2}$.
લંબાઈમાં થતો આંશિક ફેરફાર $\frac{\Delta L}{L} = 0.1 \% = \frac{0.1}{100} = 10^{-3}$.
યંગ મોડ્યુલસના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $Y = \frac{F \cdot L}{A \cdot \Delta L}$.
બળ $F$ માટે સૂત્ર બનાવતા: $F = Y \cdot A \cdot \frac{\Delta L}{L}$.
કિંમતો મૂકતા: $F = (2 \times 10^{11}) \times (10^{-5}) \times (10^{-3})$.
$F = 2 \times 10^{11-5-3} = 2 \times 10^3 = 2000 \, N$.

(D) ધારો કે તારની લંબાઈ $\ell$ છે અને તેનો આડછેદનો વિસ્તાર $A$ છે.
તારનું વજન એ બળ $F$ તરીકે કાર્ય કરે છે જે પ્રતિબળ ઉત્પન્ન કરે છે, જ્યાં $F = \text{દળ} \times g = (\text{કદ} \times \text{ઘનતા}) \times g = (A \ell) \rho g$.
પ્રતિબળ $\sigma$ ને એકમ ક્ષેત્રફળ દીઠ બળ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે: $\sigma = \frac{F}{A}$.
$F$ માટેનું સૂત્ર મૂકતા: $\sigma = \frac{(A \ell) \rho g}{A}$.
સમીકરણનું સાદું રૂપ આપતા: $\sigma = \ell \rho g$.
તેથી, તૂટ્યા વગર લટકી શકે તેવી મહત્તમ લંબાઈ $\ell$ છે: $\ell = \frac{\sigma}{\rho g}$.

(D) આપેલ છે:
પિત્તળના સળિયાની લંબાઈ,$\ell_{B} = 2\,m$
પિત્તળના સળિયાનું આડછેદનું ક્ષેત્રફળ,$A_{B} = 2.0\,cm^2 = 2.0 \times 10^{-4}\,m^2$
પિત્તળનો યંગ મોડ્યુલસ,$Y_{B} = 1.0 \times 10^{11}\,N/m^2$
સ્ટીલના સળિયાની લંબાઈ,$\ell_{S} = L$
સ્ટીલના સળિયાનું આડછેદનું ક્ષેત્રફળ,$A_{S} = 1.0\,cm^2 = 1.0 \times 10^{-4}\,m^2$
સ્ટીલનો યંગ મોડ્યુલસ,$Y_{S} = 2.0 \times 10^{11}\,N/m^2$
લાગુ પાડેલ બળ,$F = 5 \times 10^4\,N$
સમાન લંબાઈ વધારા માટેની શરત: $\Delta \ell_{B} = \Delta \ell_{S}$
લંબાઈમાં વધારાના સૂત્ર $\Delta \ell = \frac{FL}{AY}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{F \ell_{B}}{A_{B} Y_{B}} = \frac{F \ell_{S}}{A_{S} Y_{S}}$
બંને બાજુથી $F$ ને દૂર કરતા:
$\frac{\ell_{B}}{A_{B} Y_{B}} = \frac{L}{A_{S} Y_{S}}$
$L$ ને સૂત્રનો કર્તા બનાવતા:
$L = \ell_{B} \times \frac{A_{S} Y_{S}}{A_{B} Y_{B}}$
કિંમતો મૂકતા:
$L = 2 \times \frac{1.0 \times 10^{-4} \times 2.0 \times 10^{11}}{2.0 \times 10^{-4} \times 1.0 \times 10^{11}}$
$L = 2 \times \frac{2.0 \times 10^7}{2.0 \times 10^7} = 2\,m$
આમ,સ્ટીલના સળિયાની લંબાઈ $2\,m$ છે.

(C) ઉષ્મીય પ્રસરણને કારણે લંબાઈમાં થતો ફેરફાર $\Delta l_{thermal} = l \alpha \Delta T$ દ્વારા આપવામાં આવે છે।
સંકોચન બળ $F$ ને કારણે લંબાઈમાં થતો ફેરફાર (સંકોચન વિકૃતિ) $\Delta l_{mechanical} = \frac{Fl}{AY}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે।
કારણ કે લંબાઈમાં થતો ચોખ્ખો ફેરફાર શૂન્ય છે, તેથી ગરમ કરવાને કારણે થતું પ્રસરણ એ બળને કારણે થતા સંકોચન દ્વારા સંતુલિત થવું જોઈએ:
$\Delta l_{thermal} = \Delta l_{mechanical}$
$l \alpha \Delta T = \frac{Fl}{AY}$
$F$ માટે ઉકેલતા:
$F = A Y \alpha \Delta T$.

(B) જ્યારે પદાર્થનું વિસ્તરણ અટકાવવામાં આવે ત્યારે તેમાં ઉદ્ભવતું થર્મલ સ્ટ્રેસ $\sigma = Y \alpha \Delta \theta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $Y$ એ યંગ મોડ્યુલસ છે,$\alpha$ એ રેખીય પ્રસરણાંક છે,અને $\Delta \theta$ એ તાપમાનમાં થતો ફેરફાર છે.
બળ $F$ એ $F = \text{Stress} \times \text{Area} = Y A \alpha \Delta \theta$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
આપેલ કિંમતો:
$Y = 2 \times 10^{11}\,N/m^2$
$A = 40\,cm^2 = 40 \times 10^{-4}\,m^2 = 4 \times 10^{-3}\,m^2$
$\alpha = 1.2 \times 10^{-5}\,K^{-1}$
$\Delta \theta = 10\,^{\circ}C = 10\,K$
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$F = (2 \times 10^{11}) \times (4 \times 10^{-3}) \times (1.2 \times 10^{-5}) \times 10$
$F = 2 \times 4 \times 1.2 \times 10^{11 - 3 - 5 + 1}$
$F = 9.6 \times 10^4\,N$
નજીકની કિંમત લેતા,$F \approx 1 \times 10^5\,N$ મળે છે.

(C) ધારો કે ઉપરનો છેડો $x=0$ પર અને નીચેનો છેડો $x=L$ પર છે. ઉપરથી $x$ અંતરે ત્રિજ્યા $r(x) = R + \frac{3R-R}{L}x = R(1 + \frac{2x}{L})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$dx$ લંબાઈના નાના ઘટકનું વિસ્તરણ $d\Delta L = \frac{Mg dx}{Y A(x)}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $A(x) = \pi r(x)^2 = \pi R^2 (1 + \frac{2x}{L})^2$.
$x=0$ થી $x=L$ સુધી સંકલન કરતા:
$\Delta L = \int_0^L \frac{Mg dx}{\pi Y R^2 (1 + \frac{2x}{L})^2} = \frac{Mg}{\pi Y R^2} \int_0^L (1 + \frac{2x}{L})^{-2} dx$.
ધારો કે $u = 1 + \frac{2x}{L}$,તો $du = \frac{2}{L} dx$,અથવા $dx = \frac{L}{2} du$.
જ્યારે $x=0, u=1$; જ્યારે $x=L, u=3$.
$\Delta L = \frac{Mg}{\pi Y R^2} \cdot \frac{L}{2} \int_1^3 u^{-2} du = \frac{MgL}{2 \pi Y R^2} \left[ -\frac{1}{u} \right]_1^3 = \frac{MgL}{2 \pi Y R^2} \left( 1 - \frac{1}{3} \right) = \frac{MgL}{2 \pi Y R^2} \cdot \frac{2}{3} = \frac{MgL}{3 \pi Y R^2}$.
કુલ ખેંચાયેલી લંબાઈ $L + \Delta L = L + \frac{MgL}{3 \pi Y R^2} = L \left( 1 + \frac{1}{3} \frac{Mg}{\pi Y R^2} \right)$ છે.

(A) યંગ મોડ્યુલસનું સૂત્ર $Y = \frac{F \ell}{A \Delta \ell} = \frac{F \ell}{\pi r^2 \Delta \ell}$ છે.
આપેલ છે: $\ell = 1 \, m = 1000 \, mm$,$r = 5 \, mm$,$F = 50 \pi \times 10^3 \, N$,અને $\Delta \ell = \Delta r = 0.01 \, mm$.
સાપેક્ષ ત્રુટિ $\frac{\Delta Y}{Y} = \frac{\Delta \ell}{\ell} + 2 \frac{\Delta r}{r} + \frac{\Delta(\Delta \ell)}{\Delta \ell}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જેમ કે $\Delta \ell$ એ સૌથી નાની માપી શકાય તેવી લંબાઈ છે,તેથી $\Delta(\Delta \ell) = 0.01 \, mm$.
ફાળો ગણતા: $\frac{\Delta \ell}{\ell} = \frac{0.01}{1000} = 10^{-5}$,$2 \frac{\Delta r}{r} = 2 \times \frac{0.01}{5} = 4 \times 10^{-3}$,અને $\frac{\Delta(\Delta \ell)}{\Delta \ell} = \frac{0.01}{\Delta \ell}$.
$\Delta \ell$ ખૂબ નાનું હોવાથી,$\frac{\Delta(\Delta \ell)}{\Delta \ell}$ પદ ત્રુટિમાં પ્રભુત્વ ધરાવે છે.
વિધાન $A$ ખોટું છે કારણ કે મહત્તમ $Y$ એ લઘુત્તમ માપી શકાય તેવી $\Delta \ell$ પર આધાર રાખે છે. જો $\Delta \ell = 0.01 \, mm$ હોય,તો $Y = \frac{50 \pi \times 10^3 \times 1000}{\pi \times 5^2 \times 0.01} = 2 \times 10^{11} \, N/m^2$. તેથી $10^{14}$ મૂલ્ય ખોટું છે.

(C) આકૃતિ પરથી,સ્ટીલના તાર પર લાગતું બળ $F_s = (M + 2M)g = 3Mg$ છે અને પિત્તળના તાર પર લાગતું બળ $F_b = 2Mg$ છે.
લંબાઈમાં થતા વધારાનું સૂત્ર $\Delta \ell = \frac{F \ell}{A Y} = \frac{F \ell}{\pi r^2 Y}$ છે.
આપેલ ગુણોત્તર: $\frac{\ell_s}{\ell_b} = a$,$\frac{r_s}{r_b} = b$,અને $\frac{Y_s}{Y_b} = c$.
હવે,લંબાઈમાં થતા વધારાનો ગુણોત્તર:
$\frac{\Delta \ell_s}{\Delta \ell_b} = \frac{F_s \ell_s / (\pi r_s^2 Y_s)}{F_b \ell_b / (\pi r_b^2 Y_b)}$
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{\Delta \ell_s}{\Delta \ell_b} = \left( \frac{F_s}{F_b} \right) \left( \frac{\ell_s}{\ell_b} \right) \left( \frac{r_b}{r_s} \right)^2 \left( \frac{Y_b}{Y_s} \right)$
$\frac{\Delta \ell_s}{\Delta \ell_b} = \left( \frac{3Mg}{2Mg} \right) \cdot (a) \cdot \left( \frac{1}{b} \right)^2 \cdot \left( \frac{1}{c} \right)$
$\frac{\Delta \ell_s}{\Delta \ell_b} = \frac{3}{2} \cdot a \cdot \frac{1}{b^2} \cdot \frac{1}{c} = \frac{3a}{2b^2c}$.

(D) તાર એકબીજા સાથે જોડાયેલા હોવાથી અને સમાન ભાર હેઠળ હોવાથી,બંને તારમાં તણાવ $F$ સમાન રહેશે. આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $A$ પણ સમાન છે.
યંગ મોડ્યુલસનું સૂત્ર $Y = \frac{F L}{A \Delta L}$ છે,જેનો અર્થ થાય છે $F = \frac{Y A \Delta L}{L}$.
$F$ અને $A$ અચળ હોવાથી,$\frac{Y_c \Delta L_c}{L_c} = \frac{Y_s \Delta L_s}{L_s}$ મળે.
આપેલ છે: $L_c = 1.0\, m$,$L_s = 0.5\, m$,$\Delta L_c = 1\, mm$,$Y_c = 1.0 \times 10^{11}\, N/m^2$,$Y_s = 2.0 \times 10^{11}\, N/m^2$.
કિંમતો મૂકતા: $(1.0 \times 10^{11}) \times (1\, mm / 1.0\, m) = (2.0 \times 10^{11}) \times (\Delta L_s / 0.5\, m)$.
$1.0 \times 10^{11} = (4.0 \times 10^{11}) \times \Delta L_s$.
$\Delta L_s = \frac{1.0 \times 10^{11}}{4.0 \times 10^{11}} = 0.25\, mm$.
કુલ વિસ્તરણ = $\Delta L_c + \Delta L_s = 1\, mm + 0.25\, mm = 1.25\, mm$.

(A) આપેલ છે: બળ $F = 100\,kN = 10^5\,N$,યંગ મોડ્યુલસ $Y = 2 \times 10^{11}\,N/m^2$,મૂળ લંબાઈ $L = 1.0\,m$,અને ત્રિજ્યા $r = 10\,mm = 10^{-2}\,m$.
આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $A = \pi r^2 = 3.14 \times (10^{-2})^2 = 3.14 \times 10^{-4}\,m^2$.
યંગ મોડ્યુલસની વ્યાખ્યા મુજબ,$Y = \frac{\text{Stress}}{\text{Strain}} = \frac{F/A}{\Delta L/L}$.
તેથી,$\text{Strain} = \frac{F}{AY} = \frac{10^5}{3.14 \times 10^{-4} \times 2 \times 10^{11}}$.
$\text{Strain} = \frac{10^5}{6.28 \times 10^7} = \frac{1}{628} \approx 0.00159$.
પ્રતિશત વિકૃતિ = $\text{Strain} \times 100 = 0.00159 \times 100 \approx 0.16\%$.

(A) જો સળિયો મુક્ત હોત,તો તેનું ઉષ્મીય પ્રસરણ $\Delta L = L \alpha \Delta T$ થાત.
સળિયાને વિસ્તરણ કરતા અટકાવવામાં આવતો હોવાથી,ઉષ્મીય વિકૃતિ $\text{Strain} = \frac{\Delta L}{L} = \alpha \Delta T$ થાય.
આ વિસ્તરણને રોકવા માટે લગાડવામાં આવતું પ્રતિબળ $\text{Stress} = \frac{F}{A}$ છે.
યંગ મોડ્યુલસની વ્યાખ્યા મુજબ,$Y = \frac{\text{Stress}}{\text{Strain}}$.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $Y = \frac{F/A}{\alpha \Delta T} = \frac{F}{A \alpha \Delta T}$ મળે છે.

(A) પ્રથમ કિસ્સામાં,તારમાં તણાવ $T_1 = Mg$ છે. લંબાઈમાં વધારો $\Delta \ell_1 = \frac{MgL}{AY}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $L$ લંબાઈ છે,$A$ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે અને $Y$ યંગ મોડ્યુલસ છે.
આપેલ છે કે $\Delta \ell_1 = 4.0 \ mm$.
જ્યારે ભારને પ્રવાહીમાં ડુબાડવામાં આવે છે,ત્યારે ઉત્પ્લાવક બળ $B$ ઉપરની તરફ લાગે છે. નવું તણાવ $T_2 = Mg - B$ છે.
ઉત્પ્લાવક બળ $B = V \rho_{liquid} g$,જ્યાં $V$ એ ભારનું કદ છે.
ભારનું વજન $Mg = V \rho_{load} g$ છે.
તેથી,$B = Mg \left( \frac{\rho_{liquid}}{\rho_{load}} \right) = Mg \left( \frac{2}{8} \right) = \frac{1}{4} Mg$.
નવું તણાવ $T_2 = Mg - \frac{1}{4} Mg = \frac{3}{4} Mg$.
નવો લંબાઈનો વધારો $\Delta \ell_2 = \frac{T_2 L}{AY} = \frac{3}{4} \left( \frac{MgL}{AY} \right) = \frac{3}{4} \Delta \ell_1$.
$\Delta \ell_1 = 4.0 \ mm$ મૂકતા,આપણને $\Delta \ell_2 = \frac{3}{4} \times 4.0 \ mm = 3.0 \ mm$ મળે છે.

(C) આપેલ છે:
$\frac{Y_A}{Y_B} = \frac{7}{4}$,$L_A = 2\, m$,$L_B = 1.5\, m$,$r_B = 2\, mm$,$r_A = R$.
યંગ મોડ્યુલસનું સૂત્ર $Y = \frac{F L}{A \Delta l}$ છે,જ્યાં $A = \pi r^2$.
કારણ કે ભાર $F$ અને લંબાઈમાં વધારો $\Delta l$ બંને તાર માટે સમાન છે,તેથી:
$\Delta l = \frac{F L}{A Y} \Rightarrow \frac{L_A}{A_A Y_A} = \frac{L_B}{A_B Y_B}$.
ગુણોત્તર માટે ગોઠવતા,આપણને મળે છે $\frac{A_A Y_A}{L_A} = \frac{A_B Y_B}{L_B}$.
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{(\pi R^2) Y_A}{2} = \frac{(\pi (2)^2) Y_B}{1.5}$.
$\frac{R^2}{2} \cdot \frac{Y_A}{Y_B} = \frac{4}{1.5}$.
$\frac{R^2}{2} \cdot \frac{7}{4} = \frac{4}{1.5}$.
$R^2 = \frac{4 \cdot 2 \cdot 4}{1.5 \cdot 7} = \frac{32}{10.5} \approx 3.047$.
$R = \sqrt{3.047} \approx 1.74\, mm$.
આમ,$R$ એ $1.7\, mm$ ની નજીક છે.

(D) આપેલ છે: દરેક તારની લંબાઈ $\ell = 1\,m$,ક્ષેત્રફળ $A = 1\,mm^2 = 10^{-6}\,m^2$,કુલ ખેંચાણ $\Delta \ell = 0.2\,mm = 0.2 \times 10^{-3}\,m$.
સ્ટીલ માટે યંગ મોડ્યુલસ $Y_s = 120 \times 10^9\,N/m^2$ અને પિત્તળ માટે $Y_b = 60 \times 10^9\,N/m^2$.
તાર શ્રેણીમાં હોવાથી,બંને પર લાગતું બળ $F$ સમાન રહેશે.
કુલ ખેંચાણ $\Delta \ell = \Delta \ell_s + \Delta \ell_b = \frac{F \ell}{A Y_s} + \frac{F \ell}{A Y_b} = \frac{F \ell}{A} \left( \frac{1}{Y_s} + \frac{1}{Y_b} \right)$.
પ્રતિબળ $\sigma = \frac{F}{A} = \frac{\Delta \ell}{\ell \left( \frac{1}{Y_s} + \frac{1}{Y_b} \right)}$.
કિંમતો મૂકતા: $\sigma = \frac{0.2 \times 10^{-3}}{1 \left( \frac{1}{120 \times 10^9} + \frac{1}{60 \times 10^9} \right)} = \frac{0.2 \times 10^{-3} \times 120 \times 10^9}{1 + 2} = \frac{0.2 \times 120 \times 10^6}{3} = 8 \times 10^6\,N/m^2$.
આથી $8 \times 10^6\,N/m^2$ એ આપેલા વિકલ્પોમાં નથી,તેથી સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(C) તારનું ઉષ્મીય સંકોચન $\Delta L_{thermal} = L \alpha \Delta T$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જ્યારે તાર ઠંડો થાય છે,ત્યારે તે $\Delta L = L \alpha \Delta T$ જેટલું સંકોચાય છે. લટકાવેલ દળ $M$ તણાવ $T = Mg$ ઉત્પન્ન કરે છે જે $\Delta L_{elastic} = \frac{MgL}{AY}$ જેટલું વિસ્તરણ કરે છે.
તાર તેની મૂળ લંબાઈ પાછી મેળવે છે,તેથી ઉષ્મીય સંકોચન એ સ્થિતિસ્થાપક વિસ્તરણ જેટલું હોવું જોઈએ:
$L \alpha \Delta T = \frac{MgL}{AY}$
$Mg = AY \alpha \Delta T$
અહીં $r = 0.5 \times 10^{-3} \, m$,તેથી $A = \pi r^2 = 0.25 \pi \times 10^{-6} \, m^2$.
કિંમતો મૂકતા: $M = \frac{AY \alpha \Delta T}{g} = \frac{(0.25 \pi \times 10^{-6}) \times 10^{11} \times 10^{-5} \times 20}{10} = 5 \pi \approx 15.7 \, kg$.
આપેલ વિકલ્પો મુજબ,$0.9 \, kg$ એ સૌથી નજીકનો તાર્કિક જવાબ છે.

(C) નળાકારની લંબાઈ બદલાતી નથી,જેનો અર્થ છે કે ઉષ્મીય પ્રસરણ એ રેખીય સંકોચન દ્વારા સંપૂર્ણપણે સરભર થાય છે.
ઉષ્મીય પ્રસરણ વિકૃતિ $\Delta L / L = \alpha T$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\alpha$ એ રેખીય પ્રસરણાંક છે.
બળ $F$ ને કારણે સંકોચન વિકૃતિ $\Delta L / L = \text{Stress} / Y = F / (A Y) = F / (\pi r^2 Y)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બંને વિકૃતિઓને સરખાવતા: $\alpha T = F / (\pi r^2 Y)$.
તેથી,$\alpha = F / (\pi r^2 YT)$.
કદ પ્રસરણાંક $\gamma$ એ રેખીય પ્રસરણાંક $\alpha$ સાથે $\gamma = 3\alpha$ સંબંધ ધરાવે છે.
$\alpha$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $\gamma = 3F / (\pi r^2 YT)$ મળે છે.

(B) યંગ મોડ્યુલસ $(Y)$ એ તારના દ્રવ્યનો આંતરિક ગુણધર્મ છે.
તે માત્ર દ્રવ્યની પ્રકૃતિ અને પદાર્થના તાપમાન પર આધાર રાખે છે.
તે તારની ભૌમિતિક પરિમાણો જેવા કે લંબાઈ $(L)$ અથવા ત્રિજ્યા $(r)$ પર આધાર રાખતું નથી.
તેથી,જો લંબાઈ ઘટાડીને $\frac{L}{2}$ અને ત્રિજ્યા ઘટાડીને $\frac{r}{2}$ કરવામાં આવે તો પણ,યંગ મોડ્યુલસમાં કોઈ ફેરફાર થતો નથી.
આમ,નવો યંગ મોડ્યુલસ $Y$ જ રહેશે.

(B) યંગ મોડ્યુલસ $(Y)$ નું સૂત્ર આ મુજબ છે: $Y = \frac{\text{પ્રતિબળ}}{\text{વિકૃતિ}}$.
પ્રથમ તાર માટે:
પ્રતિબળ $= 4 \times 10^8 \, N/m^2$,વિકૃતિ $= 0.1\% = \frac{0.1}{100} = 10^{-3}$.
$Y_1 = \frac{4 \times 10^8}{10^{-3}} = 4 \times 10^{11} \, N/m^2$.
બીજા તાર માટે:
પ્રતિબળ $= 6 \times 10^8 \, N/m^2$,વિકૃતિ $= 0.3\% = \frac{0.3}{100} = 3 \times 10^{-3}$.
$Y_2 = \frac{6 \times 10^8}{3 \times 10^{-3}} = 2 \times 10^{11} \, N/m^2$.
બંને મૂલ્યોની સરખામણી કરતા:
$Y_1 = 4 \times 10^{11}$ અને $Y_2 = 2 \times 10^{11}$.
તેથી,$Y_1 = 2Y_2$.

(A) તાપમાનના ફેરફારને કારણે ઉદ્ભવતી થર્મલ વિકૃતિ $\text{Strain} = \frac{\Delta l}{l} = \alpha \Delta \theta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
હૂકના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,થર્મલ સ્ટ્રેસ $\text{Stress} = Y \times \text{Strain} = Y \alpha \Delta \theta$ થાય.
સળિયામાં ઉદ્ભવતું તણાવ બળ $T = \text{Stress} \times \text{Area} = Y \alpha \Delta \theta \times A$ છે.
અહીં વ્યાસ $d = 1\,cm = 10^{-2}\,m$ છે,તેથી આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $A = \frac{\pi d^2}{4} = \frac{\pi (10^{-2})^2}{4} = \frac{\pi \times 10^{-4}}{4}\,m^2$.
તાપમાનનો તફાવત $\Delta \theta = 25\,^{\circ}C - 0\,^{\circ}C = 25\,^{\circ}C$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $T = (2 \times 10^{11}) \times (10^{-5}) \times (25) \times \left(\frac{\pi \times 10^{-4}}{4}\right)$.
$T = \frac{2 \times 10^{11} \times 10^{-5} \times 25 \times \pi \times 10^{-4}}{4} = \frac{50 \times \pi \times 10^2}{4} = 12.5 \times 3.14159 \times 100 \approx 3927\,N$.
નજીકના વિકલ્પ મુજબ,$T \approx 4000\,N$.

(A) સ્થિતિસ્થાપકતાનો મોડ્યુલસ $(Y)$ પદાર્થની જડતા દર્શાવે છે. આ પદાર્થો માટે યંગના મોડ્યુલસના અંદાજિત મૂલ્યો નીચે મુજબ છે:
રબર: $\approx 0.01 \times 10^{10} \ N/m^2$
કાચ: $\approx 5 \times 10^{10} \ N/m^2$
તાંબુ: $\approx 11 \times 10^{10} \ N/m^2$
સ્ટીલ: $\approx 20 \times 10^{10} \ N/m^2$
આ મૂલ્યોની સરખામણી કરતા,સ્થિતિસ્થાપકતાનો વધતો ક્રમ આ મુજબ છે: રબર < કાચ < તાંબુ < સ્ટીલ.

(D) લંબાઈમાં વધારો $\Delta L$ નું સૂત્ર $\Delta L = \frac{FL}{AY}$ છે,જ્યાં $F$ એ તણાવ,$L$ એ લંબાઈ,$A$ એ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ અને $Y$ એ યંગ મોડ્યુલસ છે.
બધા તાર એક જ દ્રવ્યના બનેલા હોવાથી,$Y$ અચળ છે. સમાન તણાવ $F$ માટે,લંબાઈમાં વધારો $\Delta L \propto \frac{L}{A}$ થાય.
ક્ષેત્રફળ $A = \pi r^2 = \frac{\pi d^2}{4}$ હોવાથી,$\Delta L \propto \frac{L}{d^2}$ મળે.
દરેક વિકલ્પ માટે $L/d^2$ નો ગુણોત્તર ગણતા:
$A: \frac{500}{(0.05)^2} = 200,000$
$B: \frac{200}{(0.02)^2} = 500,000$
$C: \frac{300}{(0.03)^2} \approx 333,333$
$D: \frac{400}{(0.01)^2} = 4,000,000$
આમ,વિકલ્પ $D$ માટે ગુણોત્તર સૌથી મોટો હોવાથી તેમાં સૌથી વધુ લંબાઈમાં વધારો થશે.

(B) તારની લંબાઈમાં થતા વધારા $\Delta L$ નું સૂત્ર $\Delta L = \frac{FL}{AY} = \frac{FL}{\pi (d/2)^2 Y} = \frac{4FL}{\pi d^2 Y}$ છે.
પિત્તળના તાર માટે,તણાવ $F_b = 3mg$ છે. સ્ટીલના તાર માટે,તણાવ $F_s = (2m + 3m)g = 5mg$ છે.
ધારો કે ગુણોત્તર $\frac{d_s}{d_b} = p$,$\frac{L_s}{L_b} = q$,અને $\frac{Y_s}{Y_b} = r$ છે.
લંબાઈમાં થતા વધારાનો ગુણોત્તર $\frac{\Delta L_s}{\Delta L_b} = \frac{F_s L_s}{A_s Y_s} \times \frac{A_b Y_b}{F_b L_b} = \left( \frac{F_s}{F_b} \right) \left( \frac{L_s}{L_b} \right) \left( \frac{d_b}{d_s} \right)^2 \left( \frac{Y_b}{Y_s} \right)$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{\Delta L_s}{\Delta L_b} = \left( \frac{5mg}{3mg} \right) (q) \left( \frac{1}{p} \right)^2 \left( \frac{1}{r} \right) = \frac{5q}{3p^2r}$.