Basic of Elasticity, Stress and Strain relationship and Graphical analysis Questions in Gujarati

(C) સ્ટ્રેસ (પ્રતિબળ) ને એકમ ક્ષેત્રફળ દીઠ લાગતા પુનઃસ્થાપક બળ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
$\text{Stress} = \frac{\text{Force}}{\text{Area}}$
બળનો એકમ ન્યૂટન $(N)$ છે અને ક્ષેત્રફળનો એકમ ચોરસ મીટર $(m^2)$ હોવાથી,સ્ટ્રેસનો એકમ $N/m^2$ (જેને પાસ્કલ,$Pa$ તરીકે પણ ઓળખવામાં આવે છે) થાય છે.

(B) સ્ટ્રેસ (પ્રતિબળ) ને એકમ ક્ષેત્રફળ દીઠ પુનઃસ્થાપક બળ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે,જે $\text{સ્ટ્રેસ} = \frac{\text{બળ}}{\text{ક્ષેત્રફળ}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તેનું પારિમાણિક સૂત્ર $\frac{[MLT^{-2}]}{[L^2]} = [ML^{-1}T^{-2}]$ છે.
દબાણને એકમ ક્ષેત્રફળ દીઠ લંબરૂપે લાગતા બળ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે,જે $\text{દબાણ} = \frac{\text{બળ}}{\text{ક્ષેત્રફળ}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તેનું પારિમાણિક સૂત્ર પણ $\frac{[MLT^{-2}]}{[L^2]} = [ML^{-1}T^{-2}]$ છે.
તેથી,સ્ટ્રેસના પરિમાણો દબાણના પરિમાણો સમાન છે.

(D) વિકૃતિને પરિમાણમાં થતા ફેરફાર અને મૂળ પરિમાણના ગુણોત્તર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
ગાણિતિક રીતે,$\text{Strain} = \frac{\Delta L}{L}$.
અંશ અને છેદ બંને લંબાઈ $(L)$ ના સમાન પરિમાણ ધરાવતા હોવાથી,તેઓ એકબીજાને રદ કરે છે.
તેથી,વિકૃતિ એ પરિમાણરહિત ભૌતિક રાશિ છે,જેને $M^0L^0T^0$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે.

(A) હુકના નિયમ મુજબ સ્પ્રિંગ અચળાંક $k$ ને $F = kx$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે,જ્યાં $F$ એ લાગુ પાડવામાં આવેલ બળ (લોડ) છે અને $x$ એ વિસ્તરણ છે.
આલેખ પરથી,જ્યારે લોડ $1 \, kg$ હોય ત્યારે વિસ્તરણ $x$ શૂન્ય છે. આ પ્રારંભિક ઓફસેટ સૂચવે છે.
આપણે લોડમાં ફેરફાર $\Delta F$ અને વિસ્તરણમાં અનુરૂપ ફેરફાર $\Delta x$ ને ધ્યાનમાં લઈએ છીએ.
લોડ $F_1 = 1 \, kg$ પર,વિસ્તરણ $x_1 = 0 \, cm$ છે.
લોડ $F_2 = 4 \, kg$ પર,વિસ્તરણ $x_2 = 30 \, cm$ છે.
તેથી,$\Delta F = F_2 - F_1 = 4 - 1 = 3 \, kg$.
અને $\Delta x = x_2 - x_1 = 30 - 0 = 30 \, cm$.
સ્પ્રિંગ અચળાંક $k$ એ વિસ્તરણ વિરુદ્ધ લોડના આલેખના ઢાળનો વ્યસ્ત છે (અથવા $k = \frac{\Delta F}{\Delta x}$):
$k = \frac{3 \, kg}{30 \, cm} = 0.1 \, kg/cm$.

(B) હૂકના નિયમ મુજબ,સ્થિતિસ્થાપકતાની મર્યાદામાં,પ્રતિબળ એ વિકૃતિના સમપ્રમાણમાં હોય છે.
પ્રતિબળ $\propto$ વિકૃતિ.
વિકૃતિ એટલે લંબાઈમાં થતો ફેરફાર $(l)$ અને મૂળ લંબાઈ $(L)$ નો ગુણોત્તર.
વિકૃતિ = $\frac{l}{L}$.
તેથી,પ્રતિબળ $\propto \frac{l}{L}$.

(C) હૂકનો નિયમ જણાવે છે કે સ્થિતિસ્થાપક મર્યાદાની અંદર,પદાર્થ પર લાગતું પ્રતિબળ તેમાં ઉત્પન્ન થતી વિકૃતિના સમપ્રમાણમાં હોય છે.
ગાણિતિક રીતે,$\text{Stress} \propto \text{Strain}$.
$\text{Stress} = E \times \text{Strain}$,જ્યાં $E$ એ સમપ્રમાણતાનો અચળાંક છે જેને સ્થિતિસ્થાપકતાનો મોડ્યુલસ (Modulus of Elasticity) કહેવામાં આવે છે.
તેથી,હૂકનો નિયમ સ્થિતિસ્થાપકતાના મોડ્યુલસને વ્યાખ્યાયિત કરે છે.

(D) સ્થિતિસ્થાપક આફ્ટર ઇફેક્ટ એટલે વિરૂપક બળ દૂર કર્યા પછી પદાર્થના મૂળ આકારમાં પાછા આવવામાં થતો વિલંબ.
ક્વાર્ટઝ એવો પદાર્થ છે જે વ્યવહારમાં લગભગ કોઈ પણ પ્રકારની સ્થિતિસ્થાપક આફ્ટર ઇફેક્ટ દર્શાવતો નથી,જેનો અર્થ છે કે વિરૂપક બળ દૂર કર્યા પછી તે તરત જ તેની મૂળ સ્થિતિમાં પાછો આવે છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(A) સ્થિતિસ્થાપકતાનો મોડ્યુલસ પદાર્થની કઠિનતા દર્શાવે છે,જે આંતરઆણ્વિય બળોની મજબૂતી દ્વારા નક્કી થાય છે.
જ્યારે પદાર્થનું તાપમાન વધે છે,ત્યારે અણુઓની ગતિ ઊર્જા વધે છે,જેના કારણે તેઓ વધુ જોરથી કંપન કરે છે.
આ વધેલી ઉષ્મીય ગતિને કારણે અણુઓને એકબીજા સાથે જકડી રાખતા આંતરઆણ્વિય બળો નબળા પડે છે.
સ્થિતિસ્થાપકતાનો મોડ્યુલસ આ બળોની મજબૂતી સાથે સીધો સંબંધિત હોવાથી,આંતરઆણ્વિય બળમાં ઘટાડો થવાથી સ્થિતિસ્થાપકતાનો મોડ્યુલસ ઘટે છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(B) પ્રતિબળ એ એકમ ક્ષેત્રફળ દીઠ લાગતા બળ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે,જેનું સૂત્ર છે: $\text{Stress} = \frac{F}{A} = \frac{F}{\pi r^2}$.
અહીં બંને તાર પર સમાન ભાર $F$ લગાડવામાં આવે છે,તેથી પ્રતિબળ એ ત્રિજ્યાના વર્ગના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે: $\text{Stress} \propto \frac{1}{r^2}$.
આપેલ છે કે તાર $A$ ની ત્રિજ્યા $B$ કરતા બમણી છે,એટલે કે $r_A = 2r_B$,જેનો અર્થ છે કે $\frac{r_A}{r_B} = 2$.
તાર $B$ પરનું પ્રતિબળ $(S_B)$ અને તાર $A$ પરનું પ્રતિબળ $(S_A)$ ની સરખામણી કરતા:
$\frac{S_B}{S_A} = \left( \frac{r_A}{r_B} \right)^2 = (2)^2 = 4$.
આમ,$B$ પરનું પ્રતિબળ એ $A$ પરના પ્રતિબળ કરતા $4$ ગણું છે $(S_B = 4S_A)$.

(B) જ્યારે સ્પ્રિંગનો લાંબા સમય સુધી ઉપયોગ કરવામાં આવે છે,ત્યારે તે વારંવાર લોડિંગ અને અનલોડિંગના ચક્રમાંથી પસાર થાય છે. આનાથી 'ઇલાસ્ટિક ફેટિગ' (સ્થિતિસ્થાપક થાક) નામની ઘટના સર્જાય છે. ઇલાસ્ટિક ફેટિગને કારણે,સ્પ્રિંગના પદાર્થની સ્થિતિસ્થાપકતા ઘટે છે. પરિણામે,સ્પ્રિંગ તેના મૂળ આકારમાં સંપૂર્ણપણે પાછી આવતી નથી,જેના કારણે સ્પ્રિંગ બેલેન્સ ખોટું વાંચન આપે છે.

(B) ભાર દ્વારા લાગતું બળ $F = mg = 9 \, kg \times 9.8 \, m/s^2 = 88.2 \, N$ છે.
તારમાં ઉત્પન્ન થતો વધારો $x = 4.5 \, mm = 4.5 \times 10^{-3} \, m$ છે.
હૂકના નિયમ મુજબ બળ અચળાંક $K = \frac{F}{x}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $K = \frac{88.2}{4.5 \times 10^{-3}} = 19.6 \times 10^3 \, N/m = 1.96 \times 10^4 \, N/m$.

(C) ઇન્વાર એ $Fe$ અને $Ni$ ની મિશ્રધાતુ છે જે તેના અત્યંત ઓછા ઉષ્મીય પ્રસરણ ગુણાંક માટે જાણીતી છે.
ઇન્વાર તાપમાનની વિશાળ શ્રેણીમાં નહિવત ઉષ્મીય પ્રસરણ કે સંકોચન દર્શાવતું હોવાથી,તેની આંતરિક પરમાણુ રચના અત્યંત સ્થિર રહે છે.
પરિણામે,ઇન્વારના સ્થિતિસ્થાપક ગુણધર્મો,જેમ કે યંગ મોડ્યુલસ,તાપમાનમાં ફેરફાર સાથે અસરકારક રીતે અચળ રહે છે.
તેથી,ઇન્વારની સ્થિતિસ્થાપકતા તાપમાન પર આધાર રાખતી નથી.

(C) સ્થિતિસ્થાપકતાની આડઅસરો એટલે કે વિરૂપક બળ દૂર કર્યા પછી પદાર્થની મૂળ સ્થિતિમાં પાછા આવવામાં લાગતો વિલંબ.
જે પદાર્થોને તેમના મૂળ આકારમાં પાછા આવવા માટે વધુ સમય લાગે છે,તેઓ વધુ આડઅસરો દર્શાવે છે.
આપેલા વિકલ્પોમાંથી,$Rubber$ (રબર) એક એવો પોલિમર છે જે નોંધપાત્ર હિસ્ટરેસિસ દર્શાવે છે અને વિરૂપક બળ દૂર કર્યા પછી તેની મૂળ સ્થિતિમાં પાછા આવવા માટે ઘણો સમય લે છે.
તેથી,સ્થિતિસ્થાપકતાની આડઅસરો $Rubber$ માટે મહત્તમ હોય છે.

(D) સાચો જવાબ $(D)$ છે.
સ્થિતિસ્થાપકતા એ પદાર્થનો એવો ગુણધર્મ છે જેના કારણે પદાર્થ પરથી વિરૂપક બળ દૂર કરવામાં આવે ત્યારે તે પોતાનો મૂળ આકાર અને કદ પાછું મેળવે છે.
જ્યારે કોઈ પદાર્થ પર બાહ્ય બળ લગાડવામાં આવે છે,ત્યારે તેના આકાર,કદ અથવા લંબાઈમાં ફેરફાર થાય છે. પદાર્થની અંદર રહેલા આંતરિક પુનઃસ્થાપક બળો આ ફેરફારનો વિરોધ કરે છે.
ઉદાહરણ તરીકે,જ્યારે રબર બેન્ડને ખેંચવામાં આવે છે,ત્યારે તેની અંદર આંતરિક પુનઃસ્થાપક બળો ઉત્પન્ન થાય છે જે બાહ્ય ખેંચાણનો વિરોધ કરે છે. એકવાર બાહ્ય બળ દૂર કરવામાં આવે,ત્યારે આ પુનઃસ્થાપક બળો પદાર્થને તેની મૂળ સ્થિતિમાં પાછું લાવે છે.

(C) લોન્ગીટ્યુડિનલ સ્ટ્રેન (લંબાઈની વિકૃતિ) એટલે જ્યારે પદાર્થ પર વિરૂપક બળ લગાડવામાં આવે ત્યારે તેની લંબાઈમાં થતો ફેરફાર અને મૂળ લંબાઈનો ગુણોત્તર.
લોન્ગીટ્યુડિનલ સ્ટ્રેન માટે લંબાઈમાં ફેરફાર અને તે લંબાઈ જાળવી રાખવા માટે નિશ્ચિત આકારની જરૂર હોય છે,જે માત્ર ઘન પદાર્થોમાં જ શક્ય છે.
વાયુઓ અને પ્રવાહીઓ (ફ્લુઈડ્સ) ને કોઈ નિશ્ચિત આકાર કે લંબાઈ હોતી નથી,તેથી તેમના પર બળ લગાડતા તેમાં લંબાઈને બદલે કદમાં ફેરફાર થાય છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(D) સ્થિતિસ્થાપકતાની મર્યાદાનો ખ્યાલ ઘન પદાર્થો માટે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવ્યો છે,જે ચોક્કસ આકાર અને કદ ધરાવે છે અને વિરૂપક બળ દૂર કર્યા પછી તેમની મૂળ સ્થિતિમાં પાછા આવી શકે છે. વાયુઓનો કોઈ નિશ્ચિત આકાર કે કદ હોતું નથી અને તેમનું વર્તન દબાણ અને કદના સંબંધો (જેમ કે આદર્શ વાયુ સમીકરણ) દ્વારા નક્કી થાય છે. જ્યારે વાયુને સંકોચવામાં કે વિસ્તૃત કરવામાં આવે છે,ત્યારે તે ઘન પદાર્થની જેમ સ્થિતિસ્થાપક મર્યાદા દર્શાવતું નથી,કારણ કે તેની પાસે પાછા ફરવા માટે કોઈ કાયમી માળખું હોતું નથી. તેથી,વાયુ માટે સ્થિતિસ્થાપકતાની મર્યાદા અસ્તિત્વ ધરાવતી નથી.

(A) હૂકના નિયમ મુજબ,સ્થિતિસ્થાપક મર્યાદામાં સ્ટ્રેસ એ સ્ટ્રેનના સીધા પ્રમાણમાં હોય છે. તેથી,હૂકનો નિયમ માત્ર પદાર્થની સ્થિતિસ્થાપક મર્યાદામાં જ માન્ય છે.
વિકલ્પ $A$ સાચો છે કારણ કે તે હૂકના નિયમની માન્યતા માટેની શરતનું સચોટ વર્ણન કરે છે.
વિકલ્પ $B$ ખોટો છે કારણ કે એડિબેટિક સ્થિતિસ્થાપક અચળાંક એ આઇસોથર્મલ સ્થિતિસ્થાપક અચળાંક કરતા $\gamma$ ગણો હોય છે.
વિકલ્પ $C$ ખોટો છે કારણ કે યંગ મોડ્યુલસના એકમો સ્ટ્રેસ ($\text{N/m}^2$ અથવા $\text{Pa}$) જેવા જ હોય છે.
વિકલ્પ $D$ ખોટો છે કારણ કે ઉર્જા ઘનતા (એકમ કદ દીઠ સંગ્રહિત ઉર્જા) $\frac{1}{2} \times \text{stress} \times \text{strain}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.

(B) બળ પ્રતિ એકમ ક્ષેત્રફળનો એકમ $N/m^2$ અથવા પાસ્કલ $(Pa)$ છે.
પ્રતિબળ (Stress) એ એકમ ક્ષેત્રફળ દીઠ પુનઃસ્થાપક બળ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે,તેથી તેનો એકમ $N/m^2$ છે.
દબાણ (Pressure) એ એકમ ક્ષેત્રફળ દીઠ લાગતા લંબ બળ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે,તેથી તેનો એકમ $N/m^2$ છે.
યંગ મોડ્યુલસ (Young's modulus) એ પ્રતિબળ અને વિકૃતિનો ગુણોત્તર છે. વિકૃતિ પરિમાણરહિત હોવાથી,યંગ મોડ્યુલસનો એકમ પ્રતિબળ જેવો જ એટલે કે $N/m^2$ થાય છે.
વિકૃતિ (Strain) એ પરિમાણમાં થતો ફેરફાર અને મૂળ પરિમાણનો ગુણોત્તર છે. તે બે સમાન રાશિઓનો ગુણોત્તર હોવાથી,તે પરિમાણરહિત અને એકમરહિત રાશિ છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $(B)$ છે.

(C) ઘન પદાર્થોમાં,આંતર-પરમાણ્વીય બળો એ આકર્ષી અને અપાકર્ષી બંને બળોનું મિશ્રણ છે.
મોટા અંતરે,આંતર-પરમાણ્વીય બળ આકર્ષી હોય છે,જે પરમાણુઓને એકબીજા સાથે જકડી રાખે છે.
ખૂબ જ ઓછા અંતરે,ઇલેક્ટ્રોન વાદળોના ઓવરલેપિંગને કારણે આંતર-પરમાણ્વીય બળ પ્રબળ રીતે અપાકર્ષી બની જાય છે,જે પરમાણુઓને એકબીજામાં ભળી જતા અટકાવે છે.
તેથી,ઘન પદાર્થમાં પરમાણુઓની સંતુલિત સ્થિતિ આ બે બળો વચ્ચેના સંતુલન દ્વારા નક્કી થાય છે.

(B) હૂકના નિયમ અનુસાર,સ્થિતિસ્થાપક મર્યાદામાં,પદાર્થ પર લાગતું પ્રતિબળ તેમાં ઉત્પન્ન થતી વિકૃતિના સમપ્રમાણમાં હોય છે.
ગાણિતિક રીતે,આને $\text{Stress} \propto \text{Strain}$ અથવા $\text{Stress} = E \times \text{Strain}$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે,જ્યાં $E$ એ સ્થિતિસ્થાપકતાનો અંક (યંગ મોડ્યુલસ,શીયર મોડ્યુલસ અથવા બલ્ક મોડ્યુલસ) છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(A) સ્ટ્રેસ અને સ્ટ્રેઈનનો ગુણોત્તર સ્થિતિસ્થાપકતાના મોડ્યુલસ (અથવા યંગ મોડ્યુલસ,શિયર મોડ્યુલસ,અથવા બલ્ક મોડ્યુલસ,જે સ્ટ્રેસ અને સ્ટ્રેઈનના પ્રકાર પર આધાર રાખે છે) તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
પદાર્થની સ્થિતિસ્થાપક મર્યાદાની અંદર,હૂકના નિયમ મુજબ,સ્ટ્રેસ એ સ્ટ્રેઈનના સીધા પ્રમાણમાં હોય છે.
તેથી,$\text{Stress} / \text{Strain} = \text{Constant} = \text{Modulus of elasticity}$.
આ અચળાંક પદાર્થની કઠિનતા (stiffness) દર્શાવે છે.

(C) બ્રેકિંગ સ્ટ્રેસ એ તારના દ્રવ્યનો લાક્ષણિક ગુણધર્મ છે.
તે મહત્તમ પ્રતિબળ દર્શાવે છે જે પદાર્થ તૂટતા પહેલા સહન કરી શકે છે.
તે આંતરિક ગુણધર્મ હોવાથી,તે તારના પરિમાણો જેવા કે લંબાઈ,ત્રિજ્યા અથવા આડછેદના આકાર પર આધાર રાખતું નથી.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(C) હૂકના નિયમ અનુસાર,સ્થિતિસ્થાપક પદાર્થ માટે સ્થિતિસ્થાપકતાની મર્યાદામાં,પદાર્થ એક સ્પ્રિંગ તરીકે વર્તે છે જે બાહ્ય બળ દ્વારા વિકૃત થયા પછી તેનો મૂળ આકાર ધારણ કરે છે.
આના પરિણામે પુનઃસ્થાપક બળ $F$ ઉદભવે છે,જેનું સમીકરણ છે:
$F = -kx$,જ્યાં $k$ એ સ્પ્રિંગ અચળાંક છે.
અહીં $k$ અચળ હોવાથી,પુનઃસ્થાપક બળનું મૂલ્ય સ્થાનાંતર $x$ ના સીધા પ્રમાણમાં હોય છે.
તેથી,$F \propto x$.

(D) પદાર્થનું બ્રેકિંગ સ્ટ્રેસ (breaking stress) એ એકમ ક્ષેત્રફળ દીઠ લાગતું મહત્તમ બળ છે જે પદાર્થ તૂટતા પહેલા સહન કરી શકે છે. તે પદાર્થનો અચળ ગુણધર્મ છે.
બ્રેકિંગ સ્ટ્રેસ = $\frac{\text{બ્રેકિંગ ફોર્સ}}{\text{આડછેદનું ક્ષેત્રફળ}}$
બ્રેકિંગ ફોર્સ = $\text{બ્રેકિંગ સ્ટ્રેસ} \times \text{ક્ષેત્રફળ} = \text{બ્રેકિંગ સ્ટ્રેસ} \times \pi r^2 = \text{બ્રેકિંગ સ્ટ્રેસ} \times \pi \left(\frac{d}{2}\right)^2$.
દ્રવ્ય સમાન હોવાથી,બ્રેકિંગ સ્ટ્રેસ અચળ રહે છે. તેથી,બ્રેકિંગ ફોર્સ એ વ્યાસના વર્ગના સમપ્રમાણમાં હોય છે $(F \propto d^2)$.
આપેલ છે: $d_1 = 1\, mm$,$F_1 = 1000\, N$,$d_2 = 2\, mm$.
$\frac{F_2}{F_1} = \left(\frac{d_2}{d_1}\right)^2 = \left(\frac{2}{1}\right)^2 = 4$.
$F_2 = 4 \times F_1 = 4 \times 1000\, N = 4000\, N$.

(A) જ્યારે સર્પાકાર સ્પ્રિંગ પર ભાર લટકાવવામાં આવે છે,ત્યારે સ્પ્રિંગનો તાર વળવાની અસર અનુભવે છે.
આ વળવાની અસર તારની અંદર ટોર્ક ઉત્પન્ન કરે છે,જેના પરિણામે શીયરિંગ સ્ટ્રેસ (રૂપાંતરિત પ્રતિબળ) ઉદભવે છે.
પરિણામે,સ્પ્રિંગના દ્રવ્યમાં ઉત્પન્ન થતી વિકૃતિ એ શીયરિંગ સ્ટ્રેન (રૂપાંતરિત વિકૃતિ) છે.

(D) શીયરિંગ વિકૃતિ $\varphi$ એ ઉપરની સપાટીના સાપેક્ષ સ્થાનાંતર $(x)$ અને સપાટીઓ વચ્ચેના અંતર $(L)$ ના ગુણોત્તર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
આપેલ છે:
બાજુની લંબાઈ $L = 0.1 \, m = 10 \, cm$.
સ્થાનાંતર $x = 0.02 \, cm$.
સૂત્ર: $\varphi = \frac{x}{L}$.
કિંમતો મૂકતા:
$\varphi = \frac{0.02 \, cm}{10 \, cm} = 0.002$.
તેથી,શીયરિંગ વિકૃતિ $0.002$ છે.

(B) જ્યારે કોઈ પદાર્થ પર સ્પર્શકની દિશામાં બળ લગાડવામાં આવે છે,ત્યારે તેના આકારમાં ફેરફાર થાય છે પરંતુ તેનું કદ અચળ રહે છે. આ પ્રકારની વિકૃતિને રૂપાંતરક વિકૃતિ (Shearing strain) કહેવામાં આવે છે. તેથી,નિયમિત પદાર્થના આકારમાં થતો ફેરફાર રૂપાંતરક વિકૃતિને કારણે હોય છે.

(D) જ્યારે સમઘનની સપાટી પર $30^{\circ}$ ના ખૂણે બળ લગાડવામાં આવે છે,ત્યારે તેને બે લંબ ઘટકોમાં વિભાજિત કરી શકાય છે.
$1$. સપાટીને સમાંતર ઘટક $(F cos 30^{\circ})$ શીયર સ્ટ્રેસ (રૂપભંગ પ્રતિબળ) ઉત્પન્ન કરે છે,જેના પરિણામે સમઘનના આકારમાં ફેરફાર થાય છે.
$2$. સપાટીને લંબ ઘટક $(F sin 30^{\circ})$ નોર્મલ સ્ટ્રેસ (પ્રતિબળ) ઉત્પન્ન કરે છે,જેના પરિણામે સમઘનના કદમાં ફેરફાર થાય છે.
તેથી,લાગુ પાડવામાં આવેલ બળ શીયર અને નોર્મલ બંને પ્રકારના પ્રતિબળ ઉત્પન્ન કરે છે,જે સમઘનના આકાર અને કદ બંનેમાં ફેરફાર લાવે છે.

(C) શીયરિંગ સ્ટ્રેસ એટલે પદાર્થની સપાટી પર એકમ ક્ષેત્રફળ દીઠ સ્પર્શકની દિશામાં લાગતું બળ.
જ્યારે કોઈ પદાર્થ પર શીયરિંગ સ્ટ્રેસ લગાડવામાં આવે છે,ત્યારે તેના આકારમાં ફેરફાર થાય છે,પરંતુ તેનું કદ અચળ રહે છે.
આ પ્રકારના વિરૂપણને શીયરિંગ સ્ટ્રેન કહેવામાં આવે છે,જેમાં પદાર્થની સપાટીઓ વચ્ચેના ખૂણામાં ફેરફાર થાય છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(C) તારમાં કોઈપણ બિંદુએ પ્રતિબળ એ તે બિંદુએ આડછેદ પર લાગતા બળ અને આડછેદના ક્ષેત્રફળ $S$ નો ગુણોત્તર છે.
નીચેના છેડેથી $3L/4$ ઊંચાઈએ,આડછેદ પર લાગતું કુલ બળ એ નીચે લટકાવેલું વજન $W_1$ અને તે બિંદુની નીચે રહેલા તારના ભાગનું વજન છે.
તાર સમાન હોવાથી,તારના ભાગનું વજન તેની લંબાઈના પ્રમાણમાં હોય છે.
નીચેના છેડેથી $3L/4$ ઊંચાઈએ આવેલા બિંદુની નીચે તારની લંબાઈ $3L/4$ છે.
તેથી,તારના આ ભાગનું વજન $(3/4)W$ થશે.
આ આડછેદ પર લાગતું કુલ બળ $F = W_1 + (3W/4)$ છે.
આમ,પ્રતિબળ $\sigma = \frac{F}{S} = \frac{W_1 + (3W/4)}{S}$ થશે.

(C) ઘન પદાર્થોમાં બંધનની મજબૂતી તે બંધ તોડવા માટે જરૂરી ઉર્જા દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે.
$1$. આયનીય બંધ એ આયનો વચ્ચેનું સ્થિર વિદ્યુતીય આકર્ષણ છે,જે ખૂબ જ મજબૂત હોય છે.
$2$. ધાત્વિક બંધમાં ધન આયનોની જાળી વચ્ચે મુક્ત ઇલેક્ટ્રોનની વહેંચણી થાય છે,જે મજબૂત હોય છે.
$3$. સહસંયોજક બંધમાં પરમાણુઓ વચ્ચે ઇલેક્ટ્રોન યુગ્મની વહેંચણી થાય છે,જે ખૂબ જ મજબૂત હોય છે.
$4$. વાન ડર વાલ્સ બળો એ અસ્થાયી અથવા કાયમી દ્વિધ્રુવીય-દ્વિધ્રુવીય આંતરક્રિયાઓથી ઉદ્ભવતા નિર્બળ આંતરઆણ્વિય બળો છે.
તેથી,આપેલા વિકલ્પોમાં વાન ડર વાલ્સ બંધન સૌથી નિર્બળ છે.

(B) સ્ફટિકમાં,પરમાણુઓ એક સ્થિર લેટીસ રચનામાં ગોઠવાયેલા હોય છે.
કોઈપણ તંત્ર સ્થિર રહે તે માટે તેની સ્થિતિ ઉર્જા ન્યૂનતમ હોવી જોઈએ.
જો પરમાણુઓ અન્ય કોઈ સ્થાને હોય,તો તેમની વચ્ચે લાગતા બળો તેમને ત્યાં સુધી ખસેડશે જ્યાં સુધી તેઓ સંતુલન સ્થિતિમાં ન આવે,જ્યાં સ્થિતિ ઉર્જા ન્યૂનતમ હોય છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(A) અસ્ફટિકમય ઘન એવા ઘન પદાર્થો છે જેમાં ઘટક કણો (પરમાણુઓ, અણુઓ અથવા આયનો) લાંબા અંતર સુધી સંપૂર્ણપણે અનિયમિત અથવા અવ્યવસ્થિત રીતે ગોઠવાયેલા હોય છે.
આપેલા વિકલ્પોમાંથી, $\text{કાચ}$ એ અસ્ફટિકમય ઘનનું ઉત્તમ ઉદાહરણ છે, જેને ઘણીવાર સુપરકૂલ્ડ પ્રવાહી તરીકે પણ ઓળખવામાં આવે છે.
હીરો, મીઠું $(NaCl)$ અને ખાંડ એ બધા સ્ફટિકમય ઘન પદાર્થોના ઉદાહરણો છે, જે લાંબા ગાળાની વ્યવસ્થિત રચના ધરાવે છે.
તેથી, સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(C) તારના નીચેના છેડાથી $x$ અંતરે આવેલા આડછેદ પર લાગતું કુલ બળ એ $W_1$ વજન અને તે બિંદુની નીચે રહેલા તારના ભાગના વજનનો સરવાળો છે.
તારનું વજન $W$ અને લંબાઈ $L$ સમાન હોવાથી,એકમ લંબાઈ દીઠ વજન $W/L$ થાય.
$3L/4$ લંબાઈના તારના ભાગનું વજન $(W/L) \times (3L/4) = 3W/4$ થાય.
તેથી,આ આડછેદ પર લાગતું કુલ બળ $F = W_1 + 3W/4$ થાય.
પ્રતિબળ એટલે એકમ ક્ષેત્રફળ દીઠ લાગતું બળ,તેથી $\text{પ્રતિબળ} = F/S = \frac{W_1 + 3W/4}{S}$.

(C) તારને ખેંચતી વખતે તેનું કદ અચળ રહે છે. ધારો કે પ્રારંભિક લંબાઈ $l$ અને પ્રારંભિક ક્ષેત્રફળ $A$ છે. પ્રારંભિક કદ $V = A \cdot l$ છે.
જ્યારે લંબાઈ બમણી થાય $(l' = 2l)$,ત્યારે નવું ક્ષેત્રફળ $A'$ એ $A' \cdot l' = A \cdot l$ શરતનું પાલન કરવું જોઈએ.
$l' = 2l$ મૂકતા,આપણને $A' \cdot (2l) = A \cdot l$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $A' = A/2$.
પ્રતિબળની વ્યાખ્યા એકમ ક્ષેત્રફળ દીઠ લાગતા બળ તરીકે થાય છે: $\text{Stress} = \frac{F}{A'}$.
$F = Mg$ અને $A' = A/2$ કિંમતો મૂકતા,આપણને $\text{Stress} = \frac{Mg}{A/2} = \frac{2Mg}{A}$ મળે છે.

(C) તણાવ પ્રતિબળ એટલે આડછેદ પર લાગતું લંબ બળ પ્રતિ એકમ ક્ષેત્રફળ.
ધારો કે $A$ એ બળ $F$ ને લંબ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે.
નમેલા આડછેદ $PQRS$ નું ક્ષેત્રફળ $A' = A / \cos \theta$ થાય.
આડછેદ $PQRS$ ને લંબ બળ $F$ નો ઘટક $F_N = F \cos \theta$ થાય.
તેથી,તણાવ પ્રતિબળ $\sigma$ નીચે મુજબ મળે:
$\sigma = \frac{F_N}{A'} = \frac{F \cos \theta}{A / \cos \theta} = \frac{F \cos^2 \theta}{A}$.

(C) આડછેદ સાથે $\theta$ ખૂણે રહેલા નમેલા સમતલ પર સ્પર્શીય પ્રતિબળ (શીયર સ્ટ્રેસ) નું સૂત્ર: $\tau = \frac{F \sin 2\theta}{2A}$ છે.
સ્પર્શીય પ્રતિબળ મહત્તમ થવા માટે,$\sin 2\theta$ નું મૂલ્ય મહત્તમ હોવું જોઈએ.
$\sin 2\theta$ નું મહત્તમ મૂલ્ય $1$ છે.
તેથી,$\sin 2\theta = 1 \implies 2\theta = 90^o$.
$\theta$ માટે ઉકેલતા,આપણને $\theta = 45^o$ મળે છે.

(D) સ્પર્શીય વિકૃતિ (અથવા શિયર સ્ટ્રેન) એ ઉપરની સપાટીના સાપેક્ષ સ્થાનાંતર $(x)$ અને બે સપાટીઓ વચ્ચેના અંતર $(L)$ ના ગુણોત્તર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
આપેલ છે:
સ્થાનાંતર $x = 0.02 \,cm = 0.02 \times 10^{-2} \,m = 2 \times 10^{-4} \,m$.
બાજુની લંબાઈ $L = 0.1 \,m = 10^{-1} \,m$.
સ્પર્શીય વિકૃતિ $\varphi = \frac{x}{L}$.
કિંમતો મૂકતા:
$\varphi = \frac{2 \times 10^{-4} \,m}{10^{-1} \,m} = 2 \times 10^{-3} = 0.002$.
તેથી,સ્પર્શીય વિકૃતિ $0.002$ છે.

(B) વિકૃતિ એ લંબાઈમાં થતો ફેરફાર અને મૂળ લંબાઈનો ગુણોત્તર છે.
ધારો કે તારની મૂળ લંબાઈ $L$ છે.
જ્યારે લંબાઈ બમણી કરવામાં આવે,ત્યારે નવી લંબાઈ $2L$ થાય છે.
લંબાઈમાં થતો ફેરફાર $\Delta L = 2L - L = L$ છે.
તેથી,વિકૃતિ $= \frac{\Delta L}{L} = \frac{L}{L} = 1$ થાય.

(D) પ્રતિબળ એ બળ (તણાવ) અને આડછેદના ક્ષેત્રફળનો ગુણોત્તર છે: $\text{પ્રતિબળ} = \frac{T}{A}$.
આપેલ છે કે બંને તારમાં પ્રતિબળ સમાન છે,તેથી:
$\frac{T_1}{A_1} = \frac{T_2}{A_2}$
તણાવનો ગુણોત્તર શોધવા માટે પદોને ગોઠવતા:
$\frac{T_1}{T_2} = \frac{A_1}{A_2}$
આપેલ કિંમતો $A_1 = 0.1 \,cm^2$ અને $A_2 = 0.2 \,cm^2$ મૂકતા:
$\frac{T_1}{T_2} = \frac{0.1}{0.2} = 0.5$
તેથી,તણાવનો ગુણોત્તર $0.5$ છે.

(D) બ્રેકિંગ બળ $F$ એ તારના આડછેદના ક્ષેત્રફળ $A$ ના સમપ્રમાણમાં હોય છે.
$F = \sigma \times A$,જ્યાં $\sigma$ એ બ્રેકિંગ સ્ટ્રેસ છે (જે પદાર્થનો ગુણધર્મ છે).
ક્ષેત્રફળ $A = \pi r^2$ હોવાથી,$F \propto r^2$ થાય.
અહીં $r_1 = 1 \, mm$ માટે $F_1 = 1000 \, N$ આપેલ છે.
આપણે $r_2 = 2 \, mm$ માટે $F_2$ શોધવાનું છે.
ગુણોત્તર લેતા: $\frac{F_2}{F_1} = \left( \frac{r_2}{r_1} \right)^2$.
$\frac{F_2}{1000} = \left( \frac{2 \, mm}{1 \, mm} \right)^2 = 2^2 = 4$.
તેથી,$F_2 = 1000 \times 4 = 4000 \, N$.

(D) ધારો કે સમઘનની બાજુ $L$ છે. સમઘનનું કદ $V = L^3$ છે.
વિકલન લેતા,કદમાં થતો ફેરફાર $\Delta V = 3L^2 \Delta L$ દ્વારા મળે છે.
કદમાં થતો આંશિક ફેરફાર (કદ વિકૃતિ) $\frac{\Delta V}{V} = \frac{3L^2 \Delta L}{L^3} = 3 \frac{\Delta L}{L}$ છે.
આપેલ છે કે બાજુમાં $1\%$ નો ઘટાડો થાય છે,તેથી $\frac{\Delta L}{L} = 1\% = 0.01$.
તેથી,કદ વિકૃતિ $3 \times 1\% = 3\%$ થાય.
આમ,કદ વિકૃતિ $3\%$ છે.

(A) બ્રેકિંગ સ્ટ્રેસ એ દ્રવ્યનો આંતરિક ગુણધર્મ છે.
તે માત્ર દ્રવ્યની પ્રકૃતિ પર આધાર રાખે છે,તારના પરિમાણો જેવા કે તેની લંબાઈ કે ત્રિજ્યા પર આધાર રાખતું નથી.
બીજો તાર પણ પ્રથમ તારના સમાન દ્રવ્યનો બનેલો હોવાથી,તેનું બ્રેકિંગ સ્ટ્રેસ સમાન જ રહેશે.
તેથી,$2L$ લંબાઈ અને $2r$ ત્રિજ્યા ધરાવતા તારનું બ્રેકિંગ સ્ટ્રેસ $5 \ kg-wt/m^2$ જ રહેશે.

(C) રેખીય વિકૃતિ ત્યારે જ ઉત્પન્ન થાય છે જ્યારે લંબાઈમાં થતા વધારા કે ઘટાડાનો વિરોધ કરવામાં આવે.
સળિયો લીસી આડી સપાટી પર હોવાથી,તેના વિસ્તરણનો વિરોધ કરવા માટે કોઈ ઘર્ષણ કે બાહ્ય બળ હાજર નથી.
સળિયો મુક્તપણે વિસ્તરણ કરી શકે છે,તેથી લંબાઈમાં ફેરફાર કોઈ પણ આંતરિક પ્રતિબળ વગર થાય છે.
તેથી,સળિયામાં ઉદ્ભવતી રેખીય વિકૃતિ $0$ છે.

(C) યંગ મોડ્યુલસના સૂત્ર $Y = \frac{F L}{A \Delta L}$ પરથી,આપણને મળે છે $\Delta L = \frac{F L}{A Y}$.
દ્રવ્ય સમાન હોવાથી,$Y$ અચળ છે. સમાન લંબાઈ $L$ ધરાવતા તાર માટે,$\Delta L \propto \frac{1}{A}$ થાય.
$A = \pi r^2$ હોવાથી,$\Delta L \propto \frac{1}{r^2}$ થાય.
આનો અર્થ એ છે કે આપેલ લોડ $F$ માટે,જે તારની ત્રિજ્યા સૌથી મોટી (સૌથી જાડો તાર) હશે,તે ન્યૂનતમ લંબાઈમાં વધારો $\Delta L$ દર્શાવશે.
લોડ વિરુદ્ધ લંબાઈમાં વધારાના આલેખમાં,ઢાળ $\frac{\text{load}}{\text{elongation}} = \frac{F}{\Delta L} = \frac{A Y}{L}$ દ્વારા મળે છે.
વધારે ઢાળ એ મોટા ક્ષેત્રફળ $A$ ને સૂચવે છે,જે જાડા તારને અનુરૂપ છે.
આલેખ જોતા,રેખા $OD$ નો ઢાળ સૌથી વધુ છે,જે આપેલ લોડ માટે ન્યૂનતમ લંબાઈમાં વધારો દર્શાવે છે.
તેથી,સૌથી જાડો તાર રેખા $OD$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.

(C) સળિયાના કોઈપણ આડછેદ પરનું પ્રતિબળ તે આડછેદ પર લાગતા બળ અને ક્ષેત્રફળ $A$ ના ગુણોત્તર તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે.
$m_1$ દળ અને $L$ લંબાઈનો સળિયો ધ્યાનમાં લો. એકમ લંબાઈ દીઠ દળ $\lambda = \frac{m_1}{L}$ છે.
સળિયાના મધ્યબિંદુએ,નીચેની તરફ લાગતું કુલ બળ એ $m_2$ દળ અને સળિયાના નીચેના અડધા ભાગના દળનો સરવાળો છે.
સળિયાના નીચેના અડધા ભાગનું દળ $m_{half} = \frac{m_1}{2}$ છે.
તેથી,મધ્યબિંદુએ લાગતું કુલ બળ $F$:
$F = (m_2 + \frac{m_1}{2})g$
પ્રતિબળનું સૂત્ર $\text{Stress} = \frac{F}{A}$ છે.
$F$ ની કિંમત મૂકતા:
$\text{Stress} = \frac{(m_2 + \frac{m_1}{2})g}{A} = \frac{(\frac{2m_2 + m_1}{2})g}{A} = \frac{g(2m_2 + m_1)}{2A}$.

(C) દોરીમાં કોઈપણ બિંદુએ પ્રતિબળ $\text{Stress} = \frac{F}{A}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $F$ એ તે બિંદુએ તણાવ બળ છે.
નીચેની દોરી માટે,મહત્તમ પ્રતિબળ તેના ઉપરના ભાગમાં હોય છે,જ્યાં તે પોતાનું વજન ટેકવે છે: $\sigma_l = \frac{m_l g}{A_l} = \frac{d_l A_l L_l g}{A_l} = d_l L_l g$.
ઉપરની દોરી માટે,મહત્તમ પ્રતિબળ તેના ઉપરના ભાગમાં હોય છે,જ્યાં તે ઉપરની અને નીચેની બંને દોરીઓનું વજન ટેકવે છે: $\sigma_u = \frac{(m_u + m_l) g}{A_u} = \frac{(d_u A_u L_u + d_l A_l L_l) g}{A_u} = (d_u L_u + d_l L_l \frac{A_l}{A_u}) g$.
હવે,ગુણોત્તર $\frac{\sigma_u}{\sigma_l}$ ની ગણતરી કરતા:
$\frac{\sigma_u}{\sigma_l} = \frac{d_u L_u + d_l L_l (A_l / A_u)}{d_l L_l} = \frac{d_u}{d_l} \cdot \frac{L_u}{L_l} + \frac{A_l}{A_u} = (\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2}) + \frac{1}{2} = \frac{1}{3} + \frac{1}{2} = \frac{2+3}{6} = \frac{5}{6}$.

(A) મુક્ત છેડાથી $x$ અંતરે પ્રતિબળ $\sigma = \frac{F}{A}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$dx$ લંબાઈ અને $dm = \rho A dx$ દળ ધરાવતા નાના ઘટક માટે,તેને પ્રવેગિત કરવા માટે જરૂરી બળ $dF = (dm)a = \rho A a dx$ છે.
આમ,$x$ ની સાપેક્ષમાં પ્રતિબળના ફેરફારનો દર $\frac{d\sigma}{dx} = \frac{1}{A} \frac{dF}{dx} = \frac{\rho A a}{A} = \rho a$ છે.
આ પ્રતિબળ-અંતરના આલેખનો ઢાળ દર્શાવે છે,તેથી $\tan \theta = \rho a$.
સળિયા માટે પ્રવેગ $a$ અચળ હોવાથી,$\frac{\tan \theta_1}{\tan \theta_2} = \frac{\rho_1}{\rho_2}$ મળે.
અહીં $\theta_1 = 37^\circ$ અને $\theta_2 = 53^\circ$ છે,અને $\rho_1 = 9 \text{ g/cm}^3$ આપેલ છે:
$\frac{\tan 37^\circ}{\tan 53^\circ} = \frac{9}{\rho_2} \Rightarrow \frac{3/4}{4/3} = \frac{9}{\rho_2} \Rightarrow \frac{9}{16} = \frac{9}{\rho_2}$.
તેથી,$\rho_2 = 16 \text{ g/cm}^3$.

(D) નળાકારના પાયા પરનું દબાણ એ વાતાવરણીય દબાણ $(P_0)$ અને નળાકારના વજન દ્વારા લાગતા દબાણ $(P_{solid} = h \rho g)$ નો સરવાળો છે.
આપેલ છે કે જ્યારે કુલ દબાણ $P_{max} = 13 \ atm$ થી વધી જાય ત્યારે ઘન પદાર્થ તૂટી જાય છે,તેથી:
$P_{total} = P_0 + h \rho g \leq P_{max}$
$h \rho g \leq P_{max} - P_0$
$h \leq \frac{P_{max} - P_0}{\rho g}$
અહીં,$P_{max} = 13 \ atm = 13 \times 10^5 \ Pa$,$P_0 = 1 \ atm = 1 \times 10^5 \ Pa$,અને ઘન પદાર્થની ઘનતા $\rho = 4 \times 10^3 \ kg/m^3$ (કારણ કે વિશિષ્ટ ગુરુત્વાકર્ષણ $4$ છે).
$h = \frac{(13 - 1) \times 10^5}{4 \times 10^3 \times 10} = \frac{12 \times 10^5}{4 \times 10^4} = 30 \ m$.

(A) બ્રેકિંગ સ્ટ્રેસ એ તારના દ્રવ્યનો મૂળભૂત ગુણધર્મ છે. તે માત્ર દ્રવ્યની પ્રકૃતિ પર આધાર રાખે છે,તારના પરિમાણો જેવા કે તેની ત્રિજ્યા કે લંબાઈ પર નહીં.
દ્રવ્ય સમાન હોવાથી,ત્રિજ્યામાં ફેરફાર કરવા છતાં બ્રેકિંગ સ્ટ્રેસ બદલાતો નથી.
તેથી,$2r$ ત્રિજ્યા ધરાવતા તાર માટે પણ બ્રેકિંગ સ્ટ્રેસ $F \ Nm^{-2}$ જ રહેશે.