Young’s Modulus Questions in Gujarati

(A) યંગ મોડ્યુલસ $(Y)$ નું સૂત્ર પ્રતિબળ અને વિકૃતિના ગુણોત્તર તરીકે વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે: $Y = \frac{\text{પ્રતિબળ}}{\text{વિકૃતિ}}$.
વિકૃતિ એ પરિમાણરહિત રાશિ હોવાથી (લંબાઈમાં ફેરફાર અને મૂળ લંબાઈનો ગુણોત્તર),યંગ મોડ્યુલસનો એકમ પ્રતિબળના એકમ સમાન હોય છે.
પ્રતિબળને એકમ ક્ષેત્રફળ દીઠ બળ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે: $\text{પ્રતિબળ} = \frac{\text{બળ}}{\text{ક્ષેત્રફળ}}$.
દબાણ પણ એકમ ક્ષેત્રફળ દીઠ બળ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે: $\text{દબાણ} = \frac{\text{બળ}}{\text{ક્ષેત્રફળ}}$.
તેથી,યંગ મોડ્યુલસનો એકમ દબાણના એકમ સમાન હોય છે,જે $N/m^2$ અથવા પાસ્કલ $(Pa)$ છે.

(A) યંગ મોડ્યુલસ $(Y)$ એ પ્રતિબળ (Stress) અને વિકૃતિ (Strain) ના ગુણોત્તર તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે: $Y = \frac{\text{Stress}}{\text{Strain}}$.
વિકૃતિ એ પરિમાણરહિત રાશિ હોવાથી,યંગ મોડ્યુલસનો એકમ પ્રતિબળના એકમ સમાન હોય છે.
પ્રતિબળ એ એકમ ક્ષેત્રફળ દીઠ બળ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે,તેથી તેનો $SI$ એકમ $N m^{-2}$ (અથવા પાસ્કલ,$Pa$) છે અને તેનો $CGS$ એકમ $Dyne cm^{-2}$ છે.
$N m^{-1}$ એ બળ અચળાંક અથવા પૃષ્ઠતાણનો એકમ છે,પ્રતિબળ કે યંગ મોડ્યુલસનો નથી.
તેથી,$N m^{-1}$ એ યંગ મોડ્યુલસનો એકમ નથી.

(B) યંગ મોડ્યુલસ $(Y)$ ને સ્ટ્રેસ (પ્રતિબળ) અને સ્ટ્રેઈન (વિકૃતિ) ના ગુણોત્તર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે:
$Y = \frac{\text{Stress}}{\text{Strain}}$
સ્ટ્રેસને એકમ ક્ષેત્રફળ દીઠ બળ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે,તેથી તેનો એકમ $N/m^2$ અથવા $N m^{-2}$ છે.
સ્ટ્રેઈન એ પરિમાણરહિત રાશિ છે કારણ કે તે પરિમાણમાં થતા ફેરફાર અને મૂળ પરિમાણનો ગુણોત્તર છે.
તેથી,યંગ મોડ્યુલસનો એકમ સ્ટ્રેસના એકમ સમાન એટલે કે $N m^{-2}$ થાય છે.

(A) યંગ મોડ્યુલસ $Y$ એ પ્રતિબળ (stress) અને વિકૃતિ (strain) ના ગુણોત્તર તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે.
$Y = \frac{\text{પ્રતિબળ}}{\text{વિકૃતિ}}$
વિકૃતિ એ પરિમાણરહિત રાશિ હોવાથી,યંગ મોડ્યુલસના પરિમાણો પ્રતિબળના પરિમાણો જેટલા જ હોય છે.
પ્રતિબળ = $\frac{\text{બળ}}{\text{ક્ષેત્રફળ}} = \frac{[M L T^{-2}]}{[L^2]} = [M L^{-1} T^{-2}]$
તેથી,યંગ મોડ્યુલસનું પારિમાણિક સૂત્ર $[M L^{-1} T^{-2}]$ છે.

(D) સ્પ્રિંગનો સ્પ્રિંગ અચળાંક $k$ તેની મૂળ લંબાઈ $l$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે,જે સંબંધ $k \propto \frac{1}{l}$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.
આનું કારણ એ છે કે આપેલ દ્રવ્ય અને આડછેદના ક્ષેત્રફળ માટે,જેમ સ્પ્રિંગની લંબાઈ વધે છે તેમ તેની જડતા (stiffness) ઘટે છે.
ગાણિતિક રીતે,જો $Y$ એ યંગ મોડ્યુલસ હોય અને $A$ એ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ હોય,તો $k = \frac{YA}{l}$ થાય.
આપેલ સ્પ્રિંગ માટે $Y$ અને $A$ અચળ હોવાથી,આપણને $k \propto \frac{1}{l}$ મળે છે.
$k$ વિરુદ્ધ $l$ નો આલેખ એક લંબચોરસ હાયપરબોલા (rectangular hyperbola) દર્શાવે છે,જે આલેખ $D$ માં યોગ્ય રીતે દર્શાવેલ છે.

(C) યંગ મોડ્યુલસ $(Y)$ નું સૂત્ર $Y = \frac{\text{Stress}}{\text{Strain}} = \frac{F/A}{l/L} = \frac{FL}{Al}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
લંબાઈમાં થતા વધારા $(l)$ માટે આ સૂત્રને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને મળે છે:
$l = \frac{FL}{YA}$.
આ સમીકરણ પરથી સ્પષ્ટ થાય છે કે લંબાઈમાં થતો વધારો $(l)$ એ બળ $(F)$ અને મૂળ લંબાઈ $(L)$ ના સમપ્રમાણમાં છે,અને યંગ મોડ્યુલસ $(Y)$ તથા આડછેદના ક્ષેત્રફળ $(A)$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં છે.
તેથી,$l \propto \frac{1}{A}$.
આમ,સાચું વિધાન એ છે કે લંબાઈમાં થતો વધારો $A$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં છે.

(D) યંગ મોડ્યુલસનું સૂત્ર $Y = \frac{F \cdot L}{A \cdot \Delta L}$ છે,જ્યાં $F$ એ બળ છે,$L$ એ મૂળ લંબાઈ છે,$A$ એ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે અને $\Delta L$ એ લંબાઈમાં થતો ફેરફાર છે.
$\Delta L$ ને સૂત્રનો કર્તા બનાવતા,$\Delta L = \frac{F \cdot L}{A \cdot Y}$ મળે છે.
દ્રવ્ય સમાન હોવાથી $Y$ અચળ છે. સમાન તણાવ બળ $F$ માટે,$\Delta L \propto \frac{L}{A}$ થાય.
ક્ષેત્રફળ $A = \pi \cdot r^2 = \pi \cdot (d/2)^2 = \frac{\pi \cdot d^2}{4}$ હોવાથી,$\Delta L \propto \frac{L}{d^2}$ મળે.
દરેક વિકલ્પ માટે $\frac{L}{d^2}$ નો ગુણોત્તર ગણતા:
$(a)$ $\frac{100}{1^2} = 100$
$(b)$ $\frac{200}{2^2} = \frac{200}{4} = 50$
$(c)$ $\frac{300}{3^2} = \frac{300}{9} \approx 33.33$
$(d)$ $\frac{50}{0.5^2} = \frac{50}{0.25} = 200$
આમ,વિકલ્પ $(d)$ માટે ગુણોત્તર મહત્તમ હોવાથી,તાર $(d)$ ની લંબાઈમાં વધારો મહત્તમ હશે.

(B) યંગ મોડ્યુલસ $(Y)$ એ તારના દ્રવ્યનો આંતરિક ગુણધર્મ છે.
તે માત્ર દ્રવ્યની પ્રકૃતિ અને તાપમાન પર આધાર રાખે છે,તારના પરિમાણો જેવા કે તેની લંબાઈ $(L)$ અથવા ત્રિજ્યા $(r)$ પર આધાર રાખતું નથી.
તેથી,જો લંબાઈ અને ત્રિજ્યા બદલવામાં આવે તો પણ,યંગ મોડ્યુલસ અચળ રહે છે.
આમ,નવો યંગ મોડ્યુલસ $Y$ જ રહેશે.

(C) બે છેડે ટેકવેલા અને કેન્દ્રમાં $W$ વજન દ્વારા ભારિત $L$ લંબાઈ,$b$ પહોળાઈ અને $d$ ઊંડાઈ ધરાવતા બીમના કેન્દ્રમાં થતું નમન $\delta$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$\delta = \frac{WL^3}{4Ybd^3}$
જ્યાં $Y$ એ બીમના દ્રવ્યનો યંગ મોડ્યુલસ છે.
આ સંબંધ પરથી સ્પષ્ટ થાય છે કે નમન $\delta$ એ દ્રવ્યના યંગ મોડ્યુલસ $Y$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે.
તેથી,$\delta \propto \frac{1}{Y}$.

(C) તારના લંબાઈમાં થતો વધારો $l$ એ સૂત્ર $l = \frac{FL}{AY}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $F$ એ બળ છે,$L$ એ મૂળ લંબાઈ છે,$A$ એ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે અને $Y$ એ યંગ મોડ્યુલસ છે.
ક્ષેત્રફળ $A = \pi r^2 = \pi (d/2)^2$ હોવાથી,$A \propto d^2$ થાય.
અહીં $F$,$L$ અને $Y$ અચળ હોવાથી,લંબાઈમાં વધારો $l$ એ વ્યાસના વર્ગના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે: $l \propto \frac{1}{d^2}$.
ધારો કે $l_1 = 1 \ cm$ અને $d_1 = d$. બીજા તાર માટે,$d_2 = d/2$.
ગુણોત્તર લેતા: $\frac{l_2}{l_1} = \left( \frac{d_1}{d_2} \right)^2 = \left( \frac{d}{d/2} \right)^2 = (2)^2 = 4$.
તેથી,$l_2 = 4 \times l_1 = 4 \times 1 \ cm = 4 \ cm$.

(B) યંગ મોડ્યુલસ $Y$ નું સૂત્ર $Y = \frac{F L}{A \Delta L}$ છે,જ્યાં $A = \pi r^2$ છે.
લંબાઈમાં થતા ફેરફાર $\Delta L$ માટે સૂત્રને ગોઠવતા,$\Delta L = \frac{F L}{\pi r^2 Y}$ મળે છે.
અહીં બળ $F$,મૂળ લંબાઈ $L$ અને યંગ મોડ્યુલસ $Y$ અચળ હોવાથી,સંબંધ $\Delta L \propto \frac{1}{r^2}$ મળે છે.
શરૂઆતની ત્રિજ્યા $r_1$ અને નવી ત્રિજ્યા $r_2 = 2r_1$ છે,તેથી નવો ફેરફાર $\Delta L_2$ અને પ્રારંભિક ફેરફાર $\Delta L_1 = 12 \ mm$ વચ્ચેનો સંબંધ:
$\frac{\Delta L_2}{\Delta L_1} = \left( \frac{r_1}{r_2} \right)^2 = \left( \frac{r_1}{2r_1} \right)^2 = \frac{1}{4}$ થાય.
તેથી,$\Delta L_2 = \frac{\Delta L_1}{4} = \frac{12 \ mm}{4} = 3 \ mm$ થાય.

(C) આપેલ છે:
તારની લંબાઈ $L = 1.1 \, m$
આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $A = 1 \, mm^2 = 1 \times 10^{-6} \, m^2$
દળ $m = 1 \, kg$
યંગ મોડ્યુલસ $Y = 1.1 \times 10^{11} \, N/m^2$
ગુરુત્વપ્રવેગ $g = 10 \, m/s^2$
યંગ મોડ્યુલસનું સૂત્ર $Y = \frac{F \cdot L}{A \cdot \Delta L}$ છે,જ્યાં $F = mg$.
લંબાઈમાં થતા ફેરફાર $\Delta L$ માટે સૂત્ર:
$\Delta L = \frac{mgL}{AY}$
કિંમતો મૂકતા:
$\Delta L = \frac{1 \times 10 \times 1.1}{(1 \times 10^{-6}) \times (1.1 \times 10^{11})}$
$\Delta L = \frac{11}{1.1 \times 10^5} = \frac{10}{10^5} = 10^{-4} \, m$
$mm$ માં રૂપાંતર કરતા:
$\Delta L = 10^{-4} \times 10^3 \, mm = 0.1 \, mm$.

(D) આપેલ છે:
તારની લંબાઈ $L = 2\, m$
લંબાઈમાં ફેરફાર $\Delta L = 0.5\, mm = 0.5 \times 10^{-3}\, m$
આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $A = 2\, mm^2 = 2 \times 10^{-6}\, m^2$
યંગ મોડ્યુલસ $Y = 2.2 \times 10^{11}\, N/m^2$
યંગ મોડ્યુલસનું સૂત્ર $Y = \frac{F \cdot L}{A \cdot \Delta L}$ છે.
બળ $F$ માટે સૂત્ર:
$F = \frac{Y \cdot A \cdot \Delta L}{L}$
કિંમતો મૂકતા:
$F = \frac{(2.2 \times 10^{11}) \times (2 \times 10^{-6}) \times (0.5 \times 10^{-3})}{2}$
$F = \frac{2.2 \times 10^{11} \times 1 \times 10^{-9}}{2}$
$F = \frac{2.2 \times 10^2}{2} = 1.1 \times 10^2\, N$.

(A) આંતર-પરમાણ્વીય બળ અચળાંક $K$ એ યંગ મોડ્યુલસ $Y$ અને આંતર-પરમાણ્વીય અંતર $r_0$ સાથે સૂત્ર $K = Y \times r_0$ દ્વારા સંબંધિત છે.
આપેલ છે:
યંગ મોડ્યુલસ $Y = 2 \times 10^{11} \ N/m^2$.
આંતર-પરમાણ્વીય અંતર $r_0 = 3 \times 10^{-10} \ m$.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$K = (2 \times 10^{11} \ N/m^2) \times (3 \times 10^{-10} \ m)$
$K = 6 \times 10^{1} \ N/m$
$K = 60 \ N/m$.
તેથી,આંતર-પરમાણ્વીય બળ અચળાંક $60 \ N/m$ છે.

(B) યંગ મોડ્યુલસ $(Y)$ એ રેખીય પ્રતિબળ અને રેખીય વિકૃતિનો ગુણોત્તર છે: $Y = \frac{\text{Stress}}{\text{Strain}} = \frac{F/A}{\Delta L/L}$.
અહીં લંબાઈ બમણી કરવાની હોવાથી,લંબાઈમાં થતો ફેરફાર $\Delta L = L$ થાય,તેથી વિકૃતિ $\frac{\Delta L}{L} = 1$ મળે.
કિંમતો મૂકતા,$Y = \frac{F/A}{1}$,જેનો અર્થ છે કે $F = Y \times A$.
આપેલ છે કે $Y = 2 \times 10^{12} \text{ dyn/cm}^2$ અને એકમ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $A = 1 \text{ cm}^2$.
તેથી,$F = (2 \times 10^{12} \text{ dyn/cm}^2) \times (1 \text{ cm}^2) = 2 \times 10^{12} \text{ dynes}$.

(A) આપેલ છે: વ્યાસ $d = 4 \ mm = 4 \times 10^{-3} \ m$.
ત્રિજ્યા $r = 2 \times 10^{-3} \ m$.
ક્ષેત્રફળ $A = \pi r^2 = \pi (2 \times 10^{-3})^2 = 4\pi \times 10^{-6} \ m^2$.
યંગ મોડ્યુલસ $Y = 9 \times 10^{10} \ N/m^2$.
વિકૃતિ $\frac{\Delta L}{L} = 0.1\% = \frac{0.1}{100} = 10^{-3}$.
યંગ મોડ્યુલસના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $Y = \frac{F/A}{\Delta L/L}$.
બળ માટે સૂત્ર ગોઠવતા: $F = Y \cdot A \cdot \left( \frac{\Delta L}{L} \right)$.
કિંમતો મૂકતા: $F = (9 \times 10^{10}) \times (4\pi \times 10^{-6}) \times (10^{-3})$.
$F = 36\pi \times 10^{10-6-3} = 36\pi \times 10^1 = 360\pi \ N$.

(C) બળ $F$ હેઠળ તારનું વિસ્તરણ $l$ એ સૂત્ર $l = \frac{FL}{AY}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $A$ એ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે અને $Y$ એ યંગ મોડ્યુલસ છે.
અહીં $F,$ $A,$ અને $Y$ અચળ હોવાથી,વિસ્તરણ $l$ એ તારની મૂળ લંબાઈ $L$ ના સમપ્રમાણમાં છે $(l \propto L)$.
જો લંબાઈ $L$ ને અડધી કરવામાં આવે (એટલે કે $L' = \frac{L}{2}$),તો લંબાઈમાં નવો વધારો $l'$ એ $l' = \frac{Fl'}{AY} = \frac{F(L/2)}{AY} = \frac{1}{2} \left( \frac{FL}{AY} \right) = \frac{l}{2}$ થશે.

(B) દોરીની લંબાઈ $L$,ઘનતા $d$ અને યંગ મોડ્યુલસ $Y$ હોય,તો તેના પોતાના વજનને કારણે થતો વધારો $\Delta L = \frac{L^2 dg}{2Y}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
આપેલ કિંમતો: $L = 8\, cm = 8 \times 10^{-2}\, m$,$d = 1.5\, kg/m^3$,$Y = 5 \times 10^8\, N/m^2$,અને $g = 9.8\, m/s^2$.
સૂત્રમાં કિંમતો મુકતા:
$\Delta L = \frac{(8 \times 10^{-2})^2 \times 1.5 \times 9.8}{2 \times 5 \times 10^8}$
$\Delta L = \frac{64 \times 10^{-4} \times 14.7}{10^9}$
$\Delta L = \frac{940.8 \times 10^{-4}}{10^9} = 9.408 \times 10^{-11}\, m$.
આપેલા વિકલ્પો મુજબ નજીકની કિંમત $9.6 \times 10^{-11}\, m$ છે.

(D) યંગ મોડ્યુલસનું સૂત્ર $Y = \frac{\text{Stress}}{\text{Strain}} = \frac{F/A}{\Delta L/L}$ છે.
અહીં લંબાઈ બમણી કરવામાં આવે છે,તેથી લંબાઈમાં થતો ફેરફાર $\Delta L = L_{final} - L_{initial} = 2L - L = L$.
તેથી,વિકૃતિ (Strain) $\frac{\Delta L}{L} = \frac{L}{L} = 1$ થશે.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા: $Y = \frac{F/A}{1} \implies F = Y \times A$.
આપેલ છે કે $Y = 10^{12} \, dyne/cm^2$ અને $A = 0.5 \, cm^2$.
$F = 10^{12} \times 0.5 = 0.5 \times 10^{12} \, dyne$.

(D) તારમાં થતા વિસ્તરણનું સૂત્ર $l = \frac{FL}{AY}$ છે,જ્યાં $F$ એ બળ છે,$L$ એ લંબાઈ છે,$A$ એ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે અને $Y$ એ યંગ મોડ્યુલસ છે.
તાર એક જ દ્રવ્યના બનેલા હોવાથી,$Y$ સમાન છે. $F$ અને $L$ પણ સમાન હોવાથી,$l \propto \frac{1}{A}$ થાય.
ક્ષેત્રફળ $A = \pi r^2$ હોવાથી,$l \propto \frac{1}{r^2}$ મળે.
તાર $A$ નો વ્યાસ તાર $B$ કરતા બમણો હોવાથી,ત્રિજ્યા $r_A = 2r_B$ થાય.
તેથી,$\frac{l_A}{l_B} = \left( \frac{r_B}{r_A} \right)^2 = \left( \frac{r_B}{2r_B} \right)^2 = \left( \frac{1}{2} \right)^2 = \frac{1}{4}$.
આમ,$l_A = \frac{1}{4} l_B$,જેનો અર્થ છે કે તાર $A$ ની લંબાઈમાં થતો વધારો તાર $B$ કરતા ચોથા ભાગનો છે.

(C) સ્પ્રિંગ ત્યારે વધુ સારી ગણાય છે જ્યારે તે વિરૂપિત થવા પર તેમાં મોટું પુનઃસ્થાપક બળ ઉત્પન્ન થાય. આ ગુણધર્મ પદાર્થની સ્થિતિસ્થાપકતા પર આધાર રાખે છે. સ્ટીલનો યંગ મોડ્યુલસ (Young's modulus) તાંબા કરતા વધારે હોવાથી,સ્પ્રિંગ બનાવવા માટે સ્ટીલને પ્રાધાન્ય આપવામાં આવે છે.

(B) તારના વિસ્તરણ $l$ માટેનું સૂત્ર $l = \frac{FL}{AY}$ છે,જ્યાં $F$ એ લાગુ પાડવામાં આવેલ બળ છે,$L$ એ મૂળ લંબાઈ છે,$A$ એ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે અને $Y$ એ યંગ મોડ્યુલસ છે.
તારની લંબાઈ $(L)$ સમાન હોવાથી,સમાન વજન $(F)$ વડે ખેંચવામાં આવે છે અને જો તેમનું આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $(A)$ સમાન હોય,તો વિસ્તરણ $l$ એ યંગ મોડ્યુલસ $(Y)$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે: $l \propto \frac{1}{Y}$.
તેથી,સ્ટીલ $(l_S)$ અને તાંબા $(l_{Cu})$ ની લંબાઈમાં થતા વધારાનો ગુણોત્તર $\frac{l_S}{l_{Cu}} = \frac{Y_{Cu}}{Y_S}$ થશે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $\frac{l_S}{l_{Cu}} = \frac{1.2 \times 10^{11}}{2 \times 10^{11}} = \frac{1.2}{2} = \frac{12}{20} = \frac{3}{5}$.

(B) આપેલ છે:
આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $A = 2 \, cm^2$
બળ $F = 2 \times 10^5 \, dynes$
પ્રારંભિક લંબાઈ $= L$
અંતિમ લંબાઈ $= 2L$
લંબાઈમાં ફેરફાર $\Delta L = 2L - L = L$
વિકૃતિ (Strain) $= \frac{\Delta L}{L} = \frac{L}{L} = 1$
યંગ મોડ્યુલસ $Y = \frac{\text{Stress}}{\text{Strain}} = \frac{F/A}{\Delta L/L}$
કિંમતો મૂકતા:
$Y = \frac{(2 \times 10^5) / 2}{1} = 10^5 \, dyne/cm^2$
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(B) તારના વિસ્તરણનું સૂત્ર $\Delta L = \frac{FL}{AY} = \frac{FL}{\pi r^2 Y}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં વજન $F$ અને યંગ મોડ્યુલસ $Y$ અચળ હોવાથી,વિસ્તરણ $\Delta L$ એ $\frac{L}{r^2}$ ના સમપ્રમાણમાં છે.
ધારો કે પ્રારંભિક લંબાઈ $L_1 = L$ અને પ્રારંભિક ત્રિજ્યા $r_1 = r$ છે. પ્રારંભિક વિસ્તરણ $\Delta L_1 = 1 \, mm$ છે.
બીજા તાર માટે,લંબાઈ $L_2 = 2L$ અને ત્રિજ્યા $r_2 = 2r$ છે.
સમપ્રમાણતાનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{\Delta L_2}{\Delta L_1} = \frac{L_2}{L_1} \times \left( \frac{r_1}{r_2} \right)^2$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{\Delta L_2}{1} = \frac{2L}{L} \times \left( \frac{r}{2r} \right)^2 = 2 \times \left( \frac{1}{2} \right)^2 = 2 \times \frac{1}{4} = 0.5$.
તેથી,લંબાઈમાં થતો વધારો $0.5 \, mm$ થશે.

(C) જ્યારે સળિયાને ગરમ કરવામાં આવે છે,ત્યારે તે વિસ્તરણ પામવાનો પ્રયત્ન કરે છે. જો તેને વિસ્તરણ કરતા અટકાવવામાં આવે,તો સળિયામાં થર્મલ સ્ટ્રેસ (ઉષ્મીય પ્રતિબળ) ઉત્પન્ન થાય છે.
થર્મલ સ્ટ્રેઈન (ઉષ્મીય વિકૃતિ) $\frac{\Delta l}{l} = \alpha \Delta \theta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\alpha$ એ રેખીય પ્રસરણાંક છે અને $\Delta \theta$ એ તાપમાનમાં થતો ફેરફાર છે.
યંગ મોડ્યુલસની વ્યાખ્યા મુજબ $Y = \frac{\text{Stress}}{\text{Strain}} = \frac{F/A}{\Delta l/l}$.
તેથી,ઉત્પન્ન થતું બળ $F = YA \left( \frac{\Delta l}{l} \right) = YA \alpha \Delta \theta$.
અહીં $Y$,$\alpha$,અને $\Delta \theta$ અચળ હોવાથી,$F \propto A$ થાય છે.

(D) યંગ મોડ્યુલસનું સૂત્ર $Y = \frac{\text{Stress}}{\text{Strain}} = \frac{F/A}{\text{Strain}}$ છે.
આડછેદના ક્ષેત્રફળ $A$ ને સૂત્રનો કર્તા બનાવતા,$A = \frac{F}{Y \times \text{Strain}}$ મળે.
આપેલ છે: ભાર $F = 10^4 \, N$,યંગ મોડ્યુલસ $Y = 7 \times 10^9 \, N/m^2$,અને બ્રેકિંગ સ્ટ્રેન $= 0.2\% = 0.002$.
કિંમતો મૂકતા: $A = \frac{10^4}{7 \times 10^9 \times 0.002}$.
$A = \frac{10^4}{1.4 \times 10^7} = \frac{1}{1400} \approx 7.14 \times 10^{-4} \, m^2$.
આમ,લઘુત્તમ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $7.1 \times 10^{-4} \, m^2$ છે.

(B) રેખીય વિકૃતિ (longitudinal strain) નું સૂત્ર $\text{strain} = \frac{\Delta L}{L} = \frac{\text{stress}}{Y} = \frac{F}{A \cdot Y}$ છે,જ્યાં $F$ એ બળ છે,$A$ એ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે અને $Y$ એ યંગ મોડ્યુલસ છે.
બંને તાર તાંબાના હોવાથી,$Y$ બંને માટે સમાન રહેશે.
સમાન બળ $F$ માટે,વિકૃતિ એ ક્ષેત્રફળ $A$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે: $\text{strain} \propto \frac{1}{A}$.
ક્ષેત્રફળ $A = \pi r^2$ હોવાથી,$\text{strain} \propto \frac{1}{r^2}$.
તેથી,વિકૃતિનો ગુણોત્તર $\frac{\text{strain}_1}{\text{strain}_2} = \frac{r_2^2}{r_1^2} = \left( \frac{r_2}{r_1} \right)^2$ થશે.
અહીં $\frac{r_1}{r_2} = \frac{1}{4}$ આપેલ છે,તેથી $\frac{r_2}{r_1} = 4$.
આમ,વિકૃતિનો ગુણોત્તર $(4)^2 = 16$ એટલે કે $16:1$ થશે.

(A) આપેલ છે: બળ $F = mg = 200 \, kg \times 9.8 \, m/s^2 \approx 2000 \, N$ ($g = 10 \, m/s^2$ લેતા),
મૂળ લંબાઈ $L = 600.5 \, cm - 0.5 \, cm = 600 \, cm = 6 \, m$,
લંબાઈમાં ફેરફાર $\Delta L = 0.5 \, cm = 0.5 \times 10^{-2} \, m$,
ક્ષેત્રફળ $A = 1 \, mm^2 = 10^{-6} \, m^2$.
યંગ મોડ્યુલસના સૂત્ર $Y = \frac{F \cdot L}{A \cdot \Delta L}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$Y = \frac{2000 \times 6}{10^{-6} \times 0.5 \times 10^{-2}}$
$Y = \frac{12000}{0.5 \times 10^{-8}} = 2.4 \times 10^{12} \, N/m^2$.
આપેલા વિકલ્પોને ધ્યાનમાં લેતા,સૌથી નજીકનું મૂલ્ય $2.35 \times 10^{12} \, N/m^2$ છે.

(A) તારના વિસ્તરણ $(l)$ માટેનું સૂત્ર $l = \frac{FL}{AY} = \frac{FL}{\pi r^2 Y}$ છે.
દ્રવ્ય સમાન હોવાથી,$Y$ અચળ છે. આપેલ છે કે ભાર $(F)$ અને લંબાઈ $(L)$ પણ અચળ છે,તેથી $l \propto \frac{1}{r^2}$ મળે.
ધારો કે $d_1$ અને $d_2$ એ બે તારના વ્યાસ છે. આપણને $\frac{d_1}{d_2} = n : 1$ આપેલ છે,જેનો અર્થ છે કે $\frac{r_1}{r_2} = n$.
પાતળા તાર (તાર $2$) માટે,જાડા તાર (તાર $1$) ની સાપેક્ષમાં વિસ્તરણ $l_2$ એ $\frac{l_2}{l_1} = \left( \frac{r_1}{r_2} \right)^2 = n^2$ દ્વારા મળે છે.
તેથી,$l_2 = n^2 l_1$.

(B) આપેલ છે: પ્રતિબળ $\sigma = 1\,kg/mm^2 = 10^6\,kg/m^2$.
$N/m^2$ માં રૂપાંતર કરતા ($g = 10\,m/s^2$ લેતા): $\sigma = 10^6 \times 10 = 10^7\,N/m^2$.
યંગ મોડ્યુલસ $Y = 10^{11}\,N/m^2$.
લંબગત વિકૃતિ $\frac{\Delta L}{L} = \frac{\sigma}{Y} = \frac{10^7}{10^{11}} = 10^{-4}$.
લંબાઈમાં થતો પ્રતિશત વધારો $= \frac{\Delta L}{L} \times 100 = 10^{-4} \times 100 = 0.01\%$.

(D) યંગ મોડ્યુલસ $(Y)$ એ આપેલ તાપમાને પદાર્થનો આંતરિક ગુણધર્મ છે. તે પદાર્થની પ્રકૃતિ અને તાપમાન પર આધાર રાખે છે,તારના પરિમાણો જેવા કે તેની લંબાઈ કે ત્રિજ્યા પર નહીં. તેથી,તારની ત્રિજ્યા કે લંબાઈ બદલવાથી $Y$ નું મૂલ્ય બદલાશે નહીં. $Y$ નું મૂલ્ય માત્ર પદાર્થના તાપમાનમાં ફેરફાર કરીને જ બદલી શકાય છે. આમ,આપેલા વિકલ્પોમાંથી કોઈ પણ સાચું નથી.

(A) યંગ મોડ્યુલસ $Y$ ને આંતર-પરમાણ્વીય બળ અચળાંક $k$ અને આંતર-પરમાણ્વીય અંતર $r$ ના પદમાં $Y = \frac{k}{r}$ તરીકે દર્શાવી શકાય છે.
આપેલ છે:
આંતર-પરમાણ્વીય અંતર $r = 3 \times 10^{-10} \ m$.
આંતર-પરમાણ્વીય બળ અચળાંક $k = 3.6 \times 10^{-9} \ N/\mathring{A}$.
કારણ કે $1 \mathring{A} = 10^{-10} \ m$,તેથી $k = 3.6 \times 10^{-9} \ N / (10^{-10} \ m) = 36 \ N/m$.
હવે,સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$Y = \frac{36 \ N/m}{3 \times 10^{-10} \ m} = 12 \times 10^{9} \ N/m^2 = 1.2 \times 10^{11} \ N/m^2$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(D) તારનો બળ અચળાંક $K$ એ સૂત્ર $K = \frac{YA}{L}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $Y$ એ યંગ મોડ્યુલસ છે,$A$ એ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે અને $L$ એ તારની લંબાઈ છે.
$A = \pi r^2$ મૂકતા,આપણને $K = \frac{Y \pi r^2}{L}$ મળે છે.
આ સંબંધ પરથી સ્પષ્ટ થાય છે કે $K$ નીચેના પરિબળો પર આધાર રાખે છે:
$1$. પદાર્થની પ્રકૃતિ ($Y$ દ્વારા દર્શાવેલ).
$2$. તારની ત્રિજ્યા $(r)$.
$3$. તારની લંબાઈ $(L)$.
આમ,બળ અચળાંક આ તમામ પરિબળો પર આધાર રાખતો હોવાથી,સાચો વિકલ્પ $(d)$ છે.

(D) જ્યારે તારનું પ્રસરણ અટકાવવામાં આવે ત્યારે તેમાં ઉદ્ભવતું ઉષ્મીય પ્રતિબળ $\sigma = Y \alpha \Delta \theta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રતિબળ $\sigma = \frac{F}{A}$ હોવાથી,તણાવમાં થતો વધારો $\Delta F = YA \alpha \Delta \theta$ થાય.
આપેલ છે:
$Y = 2.2 \times 10^{11}\, N/m^2$
$A = 10^{-2}\, cm^2 = 10^{-2} \times 10^{-4}\, m^2 = 10^{-6}\, m^2$
$\alpha = 8 \times 10^{-6}\, ^\circ C^{-1}$
$\Delta \theta = 5\, ^\circ C$
આ કિંમતો મૂકતા:
$\Delta F = (2.2 \times 10^{11}) \times (10^{-6}) \times (8 \times 10^{-6}) \times 5$
$\Delta F = 2.2 \times 8 \times 5 \times 10^{11-6-6}$
$\Delta F = 88 \times 10^{-1} = 8.8\, N$.

(A) યંગ મોડ્યુલસ $(Y)$ ને સંગત પ્રતિબળ અને સંગત વિકૃતિના ગુણોત્તર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
કોઈપણ પદાર્થ માટે,જેમ ઘનતા વધે છે,તેમ પરમાણુઓ એકબીજાની નજીક ગોઠવાતા હોવાથી આંતર-પરમાણ્વીય બળો સામાન્ય રીતે મજબૂત બને છે.
આનો અર્થ એ છે કે સમાન વિકૃતિ ઉત્પન્ન કરવા માટે વધુ બળ (પ્રતિબળ) ની જરૂર પડે છે.
કારણ કે $Y = \frac{\text{Stress}}{\text{Strain}}$,તેથી સમાન વિકૃતિ માટે જરૂરી પ્રતિબળમાં વધારો થવાથી યંગ મોડ્યુલસનું મૂલ્ય વધે છે.

(C) આપેલ છે: યંગ મોડ્યુલસ $Y = 10^4 \ N/m^2$,ક્ષેત્રફળ $A = 2 \ cm^2 = 2 \times 10^{-4} \ m^2$,બળ $F = 2 \times 10^5 \ dynes = 2 \ N$.
લંબાઈમાં થતો વધારો $\Delta L$ શોધવાનું સૂત્ર: $\Delta L = \frac{FL}{AY}$.
કિંમતો મૂકતા: $\Delta L = \frac{2 \times L}{(2 \times 10^{-4}) \times 10^4} = \frac{2L}{2} = L$.
અંતિમ લંબાઈ એ પ્રારંભિક લંબાઈ અને વધારાનો સરવાળો છે: $L_{final} = L + \Delta L = L + L = 2L$.

(B) યંગ મોડ્યુલસ $(Y)$ એ લોન્ગીટ્યુડિનલ સ્ટ્રેસ અને લોન્ગીટ્યુડિનલ સ્ટ્રેનનો ગુણોત્તર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
ઘન પદાર્થ માટે,$Y$ નું મૂલ્ય નિશ્ચિત અને ધન હોય છે.
જો કે,પાવડર માટે,પદાર્થ સતત ઘન પદાર્થની જેમ વિરૂપણ (deformation) સામે પ્રતિકાર કરતું નથી,જેના કારણે યંગ મોડ્યુલસ $Y = 0$ થાય છે.
તેથી,પદાર્થની સાચી સ્થિતિ પાવડર સ્વરૂપમાં રહેલો ઘન પદાર્થ છે.

(A) તારમાં થતા વિસ્તરણ $l$ માટેનું સૂત્ર $l = \frac{FL}{AY}$ છે,જ્યાં $A = \pi r^2$ એ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે અને $Y$ એ યંગ મોડ્યુલસ છે.
આમ,$l = \frac{FL}{\pi r^2 Y}$.
દ્રવ્ય સમાન હોવાથી,$Y$ અચળ રહેશે. તેથી,$l \propto \frac{FL}{r^2}$.
પ્રથમ તાર માટે: $l_1 = l$,$F_1 = F$,$L_1 = L$,$r_1 = r$.
બીજા તાર માટે: $F_2 = 2F$,$L_2 = 2L$,$r_2 = 2r$.
ગુણોત્તર લેતા: $\frac{l_2}{l_1} = \left( \frac{F_2}{F_1} \right) \times \left( \frac{L_2}{L_1} \right) \times \left( \frac{r_1}{r_2} \right)^2$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{l_2}{l} = \left( \frac{2F}{F} \right) \times \left( \frac{2L}{L} \right) \times \left( \frac{r}{2r} \right)^2 = 2 \times 2 \times \left( \frac{1}{4} \right) = 1$.
તેથી,$l_2 = l$.

(D) સ્ટ્રેસ,સ્ટ્રેઈન અને યંગ મોડ્યુલસ $(Y)$ વચ્ચેનો સંબંધ હૂકના નિયમ દ્વારા આપવામાં આવે છે: $Y = \frac{\text{stress}}{\text{strain}}$.
તેથી,બ્રેકિંગ સ્ટ્રેસની ગણતરી આ રીતે થાય છે: $\text{Breaking stress} = Y \times \text{strain}$.
આપેલ છે: $Y = 2 \times 10^{11} \, N/m^2$ અને $\text{strain} = 0.15$.
$\text{Breaking stress} = (2 \times 10^{11}) \times 0.15 = 0.30 \times 10^{11} = 3 \times 10^{10} \, N/m^2$.

(A) આપેલ છે:
આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $A = 1\,cm^2 = 1 \times 10^{-4}\,m^2$.
યંગ મોડ્યુલસ $Y = 2 \times 10^{11}\,N/m^2$.
અંતિમ લંબાઈ $L' = 1.1L$,તેથી લંબાઈમાં ફેરફાર $\Delta L = L' - L = 0.1L$.
વિકૃતિ (Strain) $= \frac{\Delta L}{L} = 0.1$.
યંગ મોડ્યુલસના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $Y = \frac{F/A}{\Delta L/L}$.
બળ માટે સૂત્ર ગોઠવતા: $F = Y \times A \times \text{Strain}$.
$F = (2 \times 10^{11}\,N/m^2) \times (1 \times 10^{-4}\,m^2) \times (0.1)$.
$F = 2 \times 10^{11} \times 10^{-4} \times 10^{-1} = 2 \times 10^6\,N$.

(A) સ્થિતિસ્થાપકતાનું માપન યંગ મોડ્યુલસ ($Y$ અથવા $E$) દ્વારા કરવામાં આવે છે. યંગ મોડ્યુલસનું ઊંચું મૂલ્ય દર્શાવે છે કે પદાર્થ વધુ સ્થિતિસ્થાપક છે (એટલે કે,આપેલ વિકૃતિ ઉત્પન્ન કરવા માટે વધુ પ્રતિબળની જરૂર પડે છે).
આપેલ પદાર્થો માટે યંગ મોડ્યુલસના અંદાજિત મૂલ્યો નીચે મુજબ છે:
$1$. કાચ: $50 - 90 \, GPa$
$2$. રબર: $0.01 - 0.1 \, GPa$
$3$. સ્ટીલ: $200 \, GPa$
$4$. તાંબુ: $117 \, GPa$
આ મૂલ્યોની સરખામણી કરતા,સ્ટીલનો યંગ મોડ્યુલસ સૌથી વધુ છે. તેથી,આપેલા વિકલ્પોમાંથી સ્ટીલ સૌથી વધુ સ્થિતિસ્થાપક પદાર્થ છે.

(D) સ્ટ્રેસ (પ્રતિબળ) ને $\text{Stress} = \frac{F}{A}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
બંને તાર શ્રેણીમાં જોડાયેલા હોવાથી,બંને તારમાંથી સમાન બળ $F$ પસાર થાય છે. આપેલ છે કે બંનેનો વ્યાસ સમાન છે,તેથી તેમનું આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $A$ પણ સમાન છે. તેથી,બંને તારમાં સ્ટ્રેસ સમાન હશે.
સ્ટ્રેઈન (વિકૃતિ) ને $\text{Strain} = \frac{\text{Stress}}{Y}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે,જ્યાં $Y$ એ પદાર્થનો યંગ મોડ્યુલસ છે.
સ્ટીલનો યંગ મોડ્યુલસ $(Y_s)$ તાંબાના યંગ મોડ્યુલસ $(Y_c)$ કરતા વધારે હોવાથી,અને બંને માટે સ્ટ્રેસ સમાન હોવાથી,સ્ટીલના તારમાં સ્ટ્રેઈન તાંબાના તાર કરતા ઓછી હશે.
આમ,બંને તારમાં સ્ટ્રેસ સમાન હશે પરંતુ સ્ટ્રેઈન અલગ-અલગ હશે.

(A) તારનું વિસ્તરણ $l$ એ સૂત્ર $l = \frac{FL}{AY} = \frac{FL}{\pi r^2 Y}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં દ્રવ્ય $(Y)$ અને લંબાઈ $(L)$ અચળ હોવાથી,$l \propto \frac{F}{r^2}$ થાય.
ધારો કે પ્રારંભિક બળ $F_1 = F$,પ્રારંભિક ત્રિજ્યા $r_1 = r$ અને પ્રારંભિક વિસ્તરણ $l_1 = 1 \ mm$ છે.
બીજા તાર માટે,બળ $F_2 = 2F$ અને ત્રિજ્યા $r_2 = \frac{r}{2}$ છે.
ગુણોત્તર લેતા: $\frac{l_2}{l_1} = \frac{F_2}{F_1} \times \left( \frac{r_1}{r_2} \right)^2$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{l_2}{1} = \frac{2F}{F} \times \left( \frac{r}{r/2} \right)^2 = 2 \times (2)^2 = 2 \times 4 = 8$.
તેથી,વિસ્તરણ $l_2 = 8 \ mm$ થશે.

(B) યંગ મોડ્યુલસ $Y$ નું સૂત્ર $Y = \frac{F \cdot L}{A \cdot \Delta l}$ છે,જ્યાં $F$ એ બળ છે,$L$ એ મૂળ લંબાઈ છે,$A$ એ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે અને $\Delta l$ એ લંબાઈમાં થતો ફેરફાર છે.
બળ માટે સૂત્રને ગોઠવતા,$F = \frac{Y \cdot A \cdot \Delta l}{L}$ મળે છે.
ક્ષેત્રફળ $A = \pi r^2 = \frac{\pi D^2}{4}$ હોવાથી,$F \propto D^2$ થાય (જ્યાં $D$ એ વ્યાસ છે,અને $Y, L, \Delta l$ અચળ છે).
શરૂઆતનું બળ $F_1 = 10^3 \ N$ અને શરૂઆતનો વ્યાસ $D_1 = D$ છે,નવો વ્યાસ $D_2 = 4D$ છે.
તેથી,બળનો ગુણોત્તર $\frac{F_2}{F_1} = \left(\frac{D_2}{D_1}\right)^2 = (4)^2 = 16$ થાય.
આમ,$F_2 = 16 \times F_1 = 16 \times 10^3 \ N$.

(D) ધારો કે રબરના દોરડાની લંબાઈ $L$,આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $A$ અને ઘનતા $d$ છે. દોરડાનું દળ $M = A \cdot L \cdot d$ થાય.
જ્યારે દોરડું શિરોલંબ લટકાવવામાં આવે છે,ત્યારે તેનું વજન તેના દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર ($L/2$ પર) કાર્ય કરે છે.
મુક્ત છેડાથી $x$ અંતરે તણાવ (stress) તેની નીચેના ભાગના વજનને કારણે હોય છે.
લંબાઈમાં વધારો $l$ એ લંબાઈ પરના વિકૃતિના સંકલન દ્વારા મળે છે: $l = \int_{0}^{L} \frac{F(x) dx}{AY}$,જ્યાં $F(x) = (A \cdot x \cdot d)g$.
$F(x)$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને મળે છે $l = \int_{0}^{L} \frac{Axdg}{AY} dx = \frac{dg}{Y} \int_{0}^{L} x dx = \frac{dg}{Y} [ \frac{x^2}{2} ]_{0}^{L} = \frac{L^2 dg}{2Y}$.
અહીં $g$ અને $Y$ (યંગ મોડ્યુલસ) અચળ હોવાથી,લંબાઈમાં વધારો $l$ એ $dL^2$ ના સમપ્રમાણમાં છે.

(C) જ્યારે બંને છેડે જડેલા તારને ઠંડો કરવામાં આવે ત્યારે તેમાં ઉદ્ભવતું ઉષ્મીય પ્રતિબળ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $F = Y A \alpha \Delta T$.
આપેલ છે:
આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $A = 3 \, mm^2 = 3 \times 10^{-6} \, m^2$.
યંગ મોડ્યુલસ $Y = 2 \times 10^{11} \, N/m^2$.
રેખીય પ્રસરણાંક $\alpha = 10^{-5} \, ^{\circ}C^{-1}$.
તાપમાનમાં ફેરફાર $\Delta T = 20^{\circ}C - 10^{\circ}C = 10^{\circ}C$.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$F = (2 \times 10^{11} \, N/m^2) \times (3 \times 10^{-6} \, m^2) \times (10^{-5} \, ^{\circ}C^{-1}) \times (10^{\circ}C)$.
$F = 2 \times 3 \times 10^{11 - 6 - 5 + 1} \, N$.
$F = 6 \times 10^1 \, N = 60 \, N$.
તેથી,તારમાં ઉદ્ભવતું તણાવ બળ $60 \, N$ છે.

(A) તારનું વિસ્તરણ $l$ એ સૂત્ર $l = \frac{FL}{AY} = \frac{FL}{\pi r^2 Y}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બળ $F$ અને યંગ મોડ્યુલસ $Y$ અચળ હોવાથી,$l \propto \frac{L}{r^2}$ મળે છે.
ધારો કે મૂળ લંબાઈ $L_1 = L$ અને ત્રિજ્યા $r_1 = r$ છે. વિસ્તરણ $l_1 = 0.01 \ m$ છે.
બીજા તાર માટે,લંબાઈ $L_2 = 2L$ છે અને વ્યાસ બમણો હોવાથી ત્રિજ્યા $r_2 = 2r$ થાય છે.
પ્રમાણસરતાનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{l_2}{l_1} = \frac{L_2}{L_1} \times \left( \frac{r_1}{r_2} \right)^2$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{l_2}{l_1} = \left( \frac{2L}{L} \right) \times \left( \frac{r}{2r} \right)^2 = 2 \times \left( \frac{1}{2} \right)^2 = 2 \times \frac{1}{4} = \frac{1}{2}$.
તેથી,$l_2 = \frac{l_1}{2} = \frac{0.01 \ m}{2} = 0.005 \ m$.

(A) તારના વિસ્તરણ $(l)$ માટેનું સૂત્ર $l = \frac{FL}{AY}$ છે,જ્યાં $F$ એ લાગુ પાડેલ ભાર છે,$L$ એ મૂળ લંબાઈ છે,$A$ એ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે અને $Y$ એ યંગ મોડ્યુલસ છે.
ક્ષેત્રફળ $A = \pi r^2$ હોવાથી,$l = \frac{FL}{\pi r^2 Y}$ મળે.
અહીં દ્રવ્ય $(Y)$,લંબાઈ $(L)$ અને ભાર $(F)$ અચળ હોવાથી,વિસ્તરણ એ ત્રિજ્યાના વર્ગના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં છે: $l \propto \frac{1}{r^2}$.
ધારો કે $l_1 = 3 \ mm$ અને $r_1 = r$. તો $r_2 = \frac{r}{2}$ થાય.
ગુણોત્તર લેતા: $\frac{l_2}{l_1} = \left(\frac{r_1}{r_2}\right)^2 = \left(\frac{r}{r/2}\right)^2 = (2)^2 = 4$.
તેથી,$l_2 = 4 \times l_1 = 4 \times 3 \ mm = 12 \ mm$.

(D) તારમાં વિસ્તરણ $\Delta L$ નું સૂત્ર $\Delta L = \frac{FL}{AY}$ છે,જ્યાં $F$ એ બળ,$L$ એ મૂળ લંબાઈ,$A$ એ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ અને $Y$ એ યંગ મોડ્યુલસ છે.
ક્ષેત્રફળ $A = \pi r^2 = \pi (d/2)^2$ હોવાથી,$\Delta L = \frac{4FL}{\pi d^2 Y}$ મળે.
અહીં $F$ અને $Y$ અચળ હોવાથી,વિસ્તરણ $\Delta L \propto \frac{L}{d^2}$ થાય.
દરેક કિસ્સા માટે $\frac{L}{d^2}$ નો ગુણોત્તર ગણતા:
$(a)$ $\frac{500}{(0.05)^2} = 200,000$
$(b)$ $\frac{200}{(0.02)^2} = 500,000$
$(c)$ $\frac{300}{(0.03)^2} \approx 333,333$
$(d)$ $\frac{400}{(0.01)^2} = 4,000,000$
આમ,કિસ્સા $(d)$ માં ગુણોત્તર મહત્તમ છે,તેથી તેમાં મહત્તમ વિસ્તરણ થશે.

(C) તારની લંબાઈમાં થતા ફેરફાર $l$ નું સૂત્ર $l = \frac{FL}{AY}$ છે,જ્યાં $A = \pi r^2$ એ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે.
દ્રવ્ય સમાન હોવાથી યંગ મોડ્યુલસ $Y$ અચળ છે. આપેલ છે કે બળ $F$ પણ અચળ છે,તેથી $l \propto \frac{L}{r^2}$ મળે.
પ્રથમ તાર માટે: $l_1 = l$,$L_1 = L$,$r_1 = r$.
બીજા તાર માટે: $L_2 = 2L$,$r_2 = 2r$.
ગુણોત્તર લેતા: $\frac{l_2}{l_1} = \frac{L_2}{L_1} \times \left( \frac{r_1}{r_2} \right)^2$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{l_2}{l} = \frac{2L}{L} \times \left( \frac{r}{2r} \right)^2 = 2 \times \left( \frac{1}{2} \right)^2 = 2 \times \frac{1}{4} = \frac{1}{2}$.
આમ,બીજા તારની લંબાઈમાં થતો ફેરફાર $l_2 = \frac{l}{2}$ છે.