Mix Examples-Gravitation Questions in Gujarati

(D) પૃથ્વીના કેન્દ્રથી અંતર $d$ સાથે ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ $g$ માં થતો ફેરફાર નીચે મુજબ છે:
$1$. પૃથ્વીની અંદર $(d < R)$:
$g = \frac{GM}{R^3} d$
અહીં $G, M,$ અને $R$ અચળ હોવાથી,$g \propto d$ થાય છે. આ ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી એક સીધી રેખા દર્શાવે છે.
$2$. પૃથ્વીની સપાટી પર $(d = R)$:
$g = \frac{GM}{R^2} = g_s$ (મહત્તમ મૂલ્ય).
$3$. પૃથ્વીની બહાર $(d > R)$:
$g = \frac{GM}{d^2}$
અહીં,$g \propto \frac{1}{d^2}$ થાય છે. આ એક લંબચોરસ અતિવલય (rectangular hyperbola) દર્શાવે છે.
આમ,આલેખ કેન્દ્રથી સપાટી સુધી રેખીય વધારો અને સપાટી પછી અંતર વધતા હાયપરબોલિક ઘટાડો દર્શાવે છે. આ આલેખ વિકલ્પ $D$ માં દર્શાવેલ છે.

(B) $\text{કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા: } \Sigma W = \Delta K$.
$\text{જ્યારે ઉપગ્રહ } r = a \text{ થી } r = b \text{ સુધી ગતિ કરે છે ત્યારે ગુરુત્વાકર્ષણ બળ } F = -G \frac{Mm}{r^{2.1}} \text{ દ્વારા થયેલ કાર્ય:}$
$W = \int_{a}^{b} F \cdot dr = \int_{a}^{b} -\frac{GMm}{r^{2.1}} dr$.
$W = -GMm \int_{a}^{b} r^{-2.1} dr = -GMm \left[ \frac{r^{-1.1}}{-1.1} \right]_{a}^{b}$.
$W = \frac{GMm}{1.1} \left[ \frac{1}{b^{1.1}} - \frac{1}{a^{1.1}} \right]$.
$\text{કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય મુજબ, } W = \frac{1}{2}mv^2 - \frac{1}{2}mu^2$.
$\text{બંને સમીકરણોને સરખાવતા:}$
$\frac{GMm}{1.1} \left[ \frac{1}{b^{1.1}} - \frac{1}{a^{1.1}} \right] = \frac{1}{2}m(v^2 - u^2)$.
$m/2 \text{ વડે ભાગતા:}$
$v^2 - u^2 = \frac{2GM}{1.1} \left[ \frac{1}{b^{1.1}} - \frac{1}{a^{1.1}} \right]$.
$v = \sqrt{u^2 + \frac{2}{1.1}GM \left( \frac{1}{b^{1.1}} - \frac{1}{a^{1.1}} \right)}$.

(C) $\text{સ્થિતિ ઊર્જા}$ $U(r)$ આ મુજબ મળે: $U(r) = -\int_{\infty}^{r} F dr = -\int_{\infty}^{r} -\frac{GMm}{r^{2.1}} dr = GMm \int_{\infty}^{r} r^{-2.1} dr$.
$\text{સંકલન કરતા}$: $U(r) = GMm \left[ \frac{r^{-1.1}}{-1.1} \right]_{\infty}^{r} = -\frac{GMm}{1.1 r^{1.1}}$.
$\text{ઊર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ}$: $K_i + U_i = K_f + U_f$.
$\frac{1}{2}mu^2 - \frac{GMm}{1.1 a^{1.1}} = \frac{1}{2}mv^2 - \frac{GMm}{1.1 b^{1.1}}$.
$m/2$ $\text{વડે ભાગતા}$: $u^2 - \frac{2GM}{1.1 a^{1.1}} = v^2 - \frac{2GM}{1.1 b^{1.1}}$.
$v$ $\text{માટે ઉકેલતા}$: $v^2 = u^2 + \frac{2GM}{1.1} \left( \frac{1}{b^{1.1}} - \frac{1}{a^{1.1}} \right)$.
$\text{આમ},v = \sqrt{u^2 + \frac{2}{1.1} GM \left( \frac{1}{b^{1.1}} - \frac{1}{a^{1.1}} \right)}$.

(D) અર્ધગોળાકાર કવચનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર તેના કેન્દ્રથી $3R$ અંતરે હોય છે. ધારો કે કવચનું દળ $m_1 = 2M$ અને બિંદુવત પદાર્થનું દળ $m_2 = M$ છે. તેમની વચ્ચેનું અંતર $d = 3R$ છે.
બે પદાર્થોની સિસ્ટમ માટે,દ્રવ્યમાન કેન્દ્રની આસપાસ વર્તુળાકાર કક્ષાની ત્રિજ્યા $r_1 = \frac{m_2 d}{m_1 + m_2} = \frac{M(3R)}{2M + M} = R$ અને $r_2 = \frac{m_1 d}{m_1 + m_2} = \frac{2M(3R)}{2M + M} = 2R$ છે.
તેમની વચ્ચેનું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $F = \frac{G m_1 m_2}{d^2} = \frac{G(2M)(M)}{(3R)^2} = \frac{2GM^2}{9R^2}$ છે.
બિંદુવત પદાર્થ $M$ માટે,કેન્દ્રગામી બળ ગુરુત્વાકર્ષણ બળ દ્વારા પૂરું પાડવામાં આવે છે: $M \omega^2 r_2 = F$.
$M \omega^2 (2R) = \frac{2GM^2}{9R^2}$.
$\omega^2 = \frac{GM}{9R^3}$.
બંને પદાર્થો સમાન કોણીય ઝડપ $\omega_1 = \omega_2 = \omega$ થી ફરે છે,તેથી $\omega = \sqrt{\frac{GM}{9R^3}}$.

(A) ધારો કે સળિયાઓની રેખીય દળ ઘનતા $\lambda = \frac{M}{L}$ છે.
બીજા સળિયા પર $dx$ લંબાઈનો એક નાનો ઘટક ધ્યાનમાં લો જે પ્રથમ સળિયાના નજીકના છેડાથી $x$ અંતરે છે.
આ ઘટકનું દળ $dm = \lambda dx = \frac{M}{L} dx$ છે.
પ્રથમ સળિયા (દળ $M$) અને આ ઘટક $dm$ વચ્ચેનું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $dF = \frac{G M dm}{x(x+L)}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તેથી,$dF = \frac{G M (M/L) dx}{x(x+L)} = \frac{GM^2}{L} \left( \frac{1}{x} - \frac{1}{x+L} \right) dx$.
કુલ બળ મેળવવા માટે,$x = L$ થી $x = 2L$ સુધી સંકલન કરતા:
$F = \frac{GM^2}{L} \int_{L}^{2L} \left( \frac{1}{x} - \frac{1}{x+L} \right) dx = \frac{GM^2}{L} [\ln x - \ln(x+L)]_{L}^{2L}$.
$F = \frac{GM^2}{L} [\ln(\frac{2L}{3L}) - \ln(\frac{L}{2L})] = \frac{GM^2}{L} [\ln(\frac{2}{3}) - \ln(\frac{1}{2})] = \frac{GM^2}{L} \ln(\frac{4}{3})$.
નોંધ: વિકલ્પોમાં આપેલ મૂલ્ય $\ln(3/4)$ એ $\ln(4/3)$ નું ઋણ મૂલ્ય છે,જે બળના માન (magnitude) તરીકે લેવામાં આવે છે.

(D) $r \ge R$ માટે,ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગ $a_g = \frac{GM}{r^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$M = \rho \cdot \frac{4}{3} \pi R^3$ મૂકતા,આપણને $a_g = \frac{4}{3} \pi G \rho \frac{R^3}{r^2}$ મળે છે.
સપાટી પર $(r = R)$,$a_g = \frac{4}{3} \pi G \rho R$.
આલેખ $1$ અને $2$ એ $r \ge R_2$ માટે એકરૂપ હોવાથી,તેઓ સમાન દળ $M_1 = M_2$ દર્શાવે છે. $R_1 < R_2$ હોવાથી,ઘનતા $\rho = \frac{M}{\frac{4}{3} \pi R^3}$ પરથી કહી શકાય કે $\rho_1 > \rho_2$.
તે જ રીતે,આલેખ $3$ અને $4$ માટે,$M_3 = M_4$ અને $R_3 < R_4$ હોવાથી,$\rho_3 > \rho_4$.
સપાટી પરના મૂલ્યોની સરખામણી કરતા,$1$ અને $2$ માટે પ્રવેગ $3$ અને $4$ કરતા વધારે છે,જે સૂચવે છે કે $M_{1,2} > M_{3,4}$.
આલેખ પરથી,ઘનતા $\rho \propto \frac{a_g}{R}$. સપાટીના મૂલ્યો અને ત્રિજ્યાનું વિશ્લેષણ કરતા,ઘનતાનો ઉતરતો ક્રમ $1, 2, 4, 3$ છે.

(D) $1$. બ્લેક હોલની આસપાસ કોણીય વેગમાનનું સંરક્ષણ:
$mv_0 R = mva \implies v = \frac{v_0 R}{a}$
$2$. યાંત્રિક ઉર્જાનું સંરક્ષણ:
પ્રારંભિક ઉર્જા = સૌથી નજીકના અંતરે અંતિમ ઉર્જા
$\frac{1}{2}mv_0^2 + 0 = \frac{1}{2}mv^2 - \frac{GMm}{a}$
$3$. ઉર્જાના સમીકરણમાં $v$ ની કિંમત મૂકતા:
$\frac{1}{2}v_0^2 = \frac{1}{2}\left(\frac{v_0 R}{a}\right)^2 - \frac{GM}{a}$
$v_0^2 = \frac{v_0^2 R^2}{a^2} - \frac{2GM}{a}$
$1 = \frac{R^2}{a^2} - \frac{2GM}{a v_0^2}$
$\frac{R^2}{a^2} = 1 + \frac{2GM}{a v_0^2}$
$\frac{R}{a} = \left(1 + \frac{2GM}{a v_0^2}\right)^{1/2}$
$a = R\left(1 + \frac{2GM}{a v_0^2}\right)^{-1/2}$

(B) $3\rho$ ઘનતા ધરાવતા ગર્ભની અંદર કેન્દ્રથી $r$ અંતરે રહેલા $m$ દળના કણ પર લાગતું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ નીચે મુજબ છે:
$F = -\frac{G M_{enc} m}{r^2} = -\frac{G (\frac{4}{3} \pi r^3 \cdot 3\rho) m}{r^2}$
$F = -4\pi G \rho m r$
$F = ma$ હોવાથી,પ્રવેગ:
$a = -4\pi G \rho r$
આ સરળ આવર્ત ગતિનું સમીકરણ $a = -\omega^2 r$ છે,જ્યાં $\omega^2 = 4\pi G \rho$.
તેથી,કોણીય આવૃત્તિ $\omega = \sqrt{4\pi G \rho}$ છે.
પૂર્ણ દોલનનો આવર્તકાળ $T = \frac{2\pi}{\omega} = \frac{2\pi}{\sqrt{4\pi G \rho}} = \sqrt{\frac{\pi}{G \rho}}$ છે.
કણ $A$ થી $B$ સુધી પહોંચવા માટે આવર્તકાળના અડધા સમય જેટલો સમય લે છે:
$t = \frac{T}{2} = \frac{1}{2}\sqrt{\frac{\pi}{G \rho}}$.

(A) કેન્દ્રીય બળ હેઠળ લંબગોળ કક્ષા માટે,ઉર્જા સંરક્ષણ અને કોણીય વેગમાન સંરક્ષણના નિયમો લાગુ પડે છે.
સૌથી નજીકના અંતર $(r_1)$ અને સૌથી દૂરના અંતર $(r_2)$ પર,વેગ ત્રિજ્યા સદિશને લંબ હોય છે.
કોણીય વેગમાન સંરક્ષણ: $L = mv_1r_1 = mv_2r_2 \implies v_1 = \frac{L}{mr_1}$ અને $v_2 = \frac{L}{mr_2}$.
ઉર્જા સંરક્ષણ: $\frac{1}{2}mv_1^2 - \frac{Qq}{4\pi\varepsilon_0r_1} = \frac{1}{2}mv_2^2 - \frac{Qq}{4\pi\varepsilon_0r_2}$.
$v_1$ અને $v_2$ ની કિંમત મૂકતા: $\frac{L^2}{2m}(\frac{1}{r_1^2} - \frac{1}{r_2^2}) = \frac{Qq}{4\pi\varepsilon_0}(\frac{1}{r_1} - \frac{1}{r_2})$.
$a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$ નો ઉપયોગ કરતા: $\frac{L^2}{2m} \frac{(r_2-r_1)(r_2+r_1)}{r_1^2r_2^2} = \frac{Qq}{4\pi\varepsilon_0} \frac{(r_2-r_1)}{r_1r_2}$.
$L$ માટે ઉકેલતા: $L^2 = \frac{2mQq}{4\pi\varepsilon_0} \frac{r_1r_2}{r_1+r_2} = \frac{mr_1r_2Qq}{2\pi\varepsilon_0(r_1+r_2)}$.
આમ,$L = \sqrt{\frac{mr_1r_2Qq}{2\pi\varepsilon_0(r_1+r_2)}}$.

(D) પૃથ્વીના કેન્દ્રથી $r$ અંતરે રહેલા $m$ દળ પર લાગતું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $F = -\frac{GMm}{R^3}r$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આ બળ $F = -kr$ સ્વરૂપનું છે,જ્યાં $k = \frac{GMm}{R^3}$ છે.
આ ગતિ સરળ આવર્ત ગતિ છે,જેની કોણીય આવૃત્તિ $\omega = \sqrt{\frac{k}{m}} = \sqrt{\frac{GM}{R^3}}$ છે.
આવર્તકાળ $T = \frac{2\pi}{\omega} = 2\pi \sqrt{\frac{R^3}{GM}}$ છે.
આવર્તકાળ $T$ માત્ર પૃથ્વીના દળ $M$ અને તેની ત્રિજ્યા $R$ પર આધાર રાખે છે,તેથી તે દોલન કરતા દળ $m$ થી સ્વતંત્ર છે.
તેથી,જો દળ બદલીને $4m$ કરવામાં આવે,તો પણ આવર્તકાળ $T$ જ રહેશે.

(A) $m$ દળ ધરાવતા કણોમાંથી કોઈ એક પર લાગતા બળોનો વિચાર કરો. ધારો કે આ કણ નીચેની સ્થિતિમાં છે.
બે નજીકના કણો વચ્ચેનું અંતર $d = \sqrt{r^2 + r^2} = r\sqrt{2}$ છે.
આ બે કણોમાંથી દરેક દ્વારા લાગતું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $F_1 = \frac{Gm^2}{(r\sqrt{2})^2} = \frac{Gm^2}{2r^2}$ છે.
આ બે બળોના સમક્ષિતિજ ઘટકો એકબીજાને નાબૂદ કરે છે,જ્યારે શિરોલંબ ઘટકો કેન્દ્ર તરફ ઉમેરાય છે.
દરેક બળનો શિરોલંબ ઘટક $F_1 \cos(45^\circ) = \frac{Gm^2}{2r^2} \times \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{Gm^2}{2\sqrt{2}r^2}$ છે.
આ બે કણો દ્વારા લાગતું કુલ શિરોલંબ બળ $2 \times \frac{Gm^2}{2\sqrt{2}r^2} = \frac{Gm^2}{\sqrt{2}r^2}$ છે.
ઉપરના કણનું અંતર $2r$ છે.
ઉપરના કણ દ્વારા લાગતું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $F_2 = \frac{Gm^2}{(2r)^2} = \frac{Gm^2}{4r^2}$ છે.
કેન્દ્ર તરફ લાગતું કુલ ચોખ્ખું બળ $F_{net} = \frac{Gm^2}{\sqrt{2}r^2} + \frac{Gm^2}{4r^2} = \frac{Gm^2}{r^2} \left( \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{4} \right) = \frac{Gm^2}{r^2} \left( \frac{2\sqrt{2} + 1}{4} \right)$ છે.
આ ચોખ્ખું બળ જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ પૂરું પાડે છે: $\frac{mv^2}{r} = F_{net}$.
$\frac{mv^2}{r} = \frac{Gm^2}{r^2} \left( \frac{1 + 2\sqrt{2}}{4} \right)$.
$v^2 = \frac{Gm}{r} \left( \frac{1 + 2\sqrt{2}}{4} \right)$.
$v = \sqrt{\frac{Gm}{r} \left( \frac{1 + 2\sqrt{2}}{4} \right)}$.

(C) $M$ દળના ગ્રહની આસપાસ $r$ ત્રિજ્યાની વર્તુળાકાર કક્ષામાં $m$ દળ ધરાવતા પદાર્થની કુલ ઉર્જા $E = -\frac{GMm}{2r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$R$ ત્રિજ્યા પર $m$ દળ ધરાવતા પદાર્થની પ્રારંભિક કુલ ઉર્જા:
$E_i = -\frac{GMm}{2R}$
વિભાજન પછી,પદાર્થ બે દળમાં વહેંચાય છે,દરેકનું દળ $m' = \frac{m}{2}$ છે.
પ્રથમ દળ $r_1 = \frac{R}{2}$ ત્રિજ્યાની કક્ષામાં અને બીજું દળ $r_2 = \frac{3R}{2}$ ત્રિજ્યાની કક્ષામાં ગતિ કરે છે.
અંતિમ કુલ ઉર્જા $E_f$ એ બંને દળોની ઉર્જાનો સરવાળો છે:
$E_f = -\frac{GM(m/2)}{2(R/2)} - \frac{GM(m/2)}{2(3R/2)}$
$E_f = -\frac{GMm}{2R} - \frac{GMm}{6R}$
$E_f = -\frac{3GMm + GMm}{6R} = -\frac{4GMm}{6R} = -\frac{2GMm}{3R}$
અંતિમ અને પ્રારંભિક કુલ ઉર્જા વચ્ચેનો તફાવત:
$\Delta E = E_f - E_i = -\frac{2GMm}{3R} - (-\frac{GMm}{2R})$
$\Delta E = -\frac{2GMm}{3R} + \frac{GMm}{2R} = \frac{-4GMm + 3GMm}{6R} = -\frac{GMm}{6R}$

(A) $M$ દળ ધરાવતા પદાર્થ દ્વારા $r$ અંતરે રહેલા $m$ દળ પર લાગતું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $F = \frac{GMm}{r^2}$ છે.
પૃથ્વી પરના સૌથી નજીકના બિંદુ $(r-R_e)$ અને સૌથી દૂરના બિંદુ $(r+R_e)$ વચ્ચે બળનો તફાવત $\Delta F = \frac{GMm}{(r-R_e)^2} - \frac{GMm}{(r+R_e)^2} \approx \frac{4GMmR_e}{r^3}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $R_e$ એ પૃથ્વીની ત્રિજ્યા છે.
ચંદ્ર માટે: $\Delta F_1 = \frac{4GM_m m R_e}{r_1^3}$.
સૂર્ય માટે: $\Delta F_2 = \frac{4GM_s m R_e}{r_2^3}$.
ગુણોત્તર લેતા:
$\frac{\Delta F_1}{\Delta F_2} = \frac{M_m}{M_s} \times \left( \frac{r_2}{r_1} \right)^3$.
આપેલ કિંમતો: $M_m = 8 \times 10^{22} \, kg$,$M_s = 2 \times 10^{30} \, kg$,$r_1 = 0.4 \times 10^6 \, km$,$r_2 = 150 \times 10^6 \, km$.
$\frac{\Delta F_1}{\Delta F_2} = \left( \frac{8 \times 10^{22}}{2 \times 10^{30}} \right) \times \left( \frac{150 \times 10^6}{0.4 \times 10^6} \right)^3 = (4 \times 10^{-8}) \times (375)^3$.
$(375)^3 = 52,734,375$.
$\frac{\Delta F_1}{\Delta F_2} = 4 \times 10^{-8} \times 5.27 \times 10^7 \approx 2.1$.
આમ,સૌથી નજીકની પૂર્ણાંક સંખ્યા $2$ છે.

(C) કેપ્લરના ત્રીજા નિયમ મુજબ,$M$ દળ ધરાવતા ગ્રહની આસપાસ $r$ ત્રિજ્યામાં ભ્રમણ કરતા ઉપગ્રહનો આવર્તકાળ $T$ નીચે મુજબ છે:
$T = 2\pi \sqrt{\frac{r^3}{GM}}$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$T^2 = \frac{4\pi^2}{GM} r^3$
દળ $M$ ને સૂત્રનો કર્તા બનાવતા:
$M = \frac{4\pi^2 r^3}{GT^2}$
સાપેક્ષ અનિશ્ચિતતા શોધવા માટે બંને બાજુ લઘુગણક લઈને વિકલન કરતા:
$\ln M = \ln(4\pi^2) + 3\ln r - \ln G - 2\ln T$
$\frac{\Delta M}{M} = 3\frac{\Delta r}{r} - 2\frac{\Delta T}{T}$
અહીં ત્રિજ્યામાં સાપેક્ષ અનિશ્ચિતતા $\frac{\Delta r}{r}$ નગણ્ય છે (એટલે કે $\frac{\Delta r}{r} = 0$):
$\left| \frac{\Delta M}{M} \right| = |-2| \frac{\Delta T}{T} = 2 \times 10^{-2}$

(B) $r$ ત્રિજ્યા $(r \leq R)$ ધરાવતા ગોળાની અંદર સમાવિષ્ટ દળ $M(r)$ નીચે મુજબ છે:
$M(r) = \int_0^r \rho(r') 4\pi r'^2 dr' = \int_0^r \frac{k}{r'} 4\pi r'^2 dr' = 4\pi k \int_0^r r' dr' = 2\pi k r^2$.
$r$ અંતરે રહેલા ટેસ્ટ કણનો પ્રવેગ $a = \frac{GM(r)}{r^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$r \leq R$ માટે:
$a = \frac{G(2\pi k r^2)}{r^2} = 2\pi G k = \text{અચળ}$.
$r > R$ માટે,કુલ દળ $M = M(R) = 2\pi k R^2$ અચળ રહે છે.
$a = \frac{GM}{r^2} = \frac{G(2\pi k R^2)}{r^2} \propto \frac{1}{r^2}$.
આમ,$r \leq R$ માટે પ્રવેગ અચળ છે અને $r > R$ માટે તે $1/r^2$ મુજબ ઘટે છે. આ વર્તણૂક દર્શાવતો સાચો આલેખ વિકલ્પ $(b)$ છે.

(A) ખૂબ જ લાંબા નળાકાર દળ વિતરણ માટે,ધરીથી $r$ $(r > R)$ અંતરે ગુરુત્વાકર્ષણ ક્ષેત્ર $E$ ગુરુત્વાકર્ષણ માટેના ગૌસના નિયમ દ્વારા આપવામાં આવે છે: $E = \frac{2GM}{Lr}$.
$m$ દળ ધરાવતા તારા પર લાગતું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $F = mE = \frac{2GMm}{Lr}$ છે.
તારો વર્તુળાકાર પથ પર ભ્રમણ કરતો હોવાથી,આ ગુરુત્વાકર્ષણ બળ જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ પૂરું પાડે છે: $\frac{mv^2}{r} = \frac{2GMm}{Lr}$.
$v = r\omega = r(\frac{2\pi}{T})$ મૂકતા,આપણને મળે છે: $m r (\frac{2\pi}{T})^2 = \frac{2GMm}{Lr}$.
સમીકરણનું સાદું રૂપ આપતા: $r \frac{4\pi^2}{T^2} = \frac{2GM}{Lr}$.
$T^2$ માટે ગોઠવતા: $T^2 = \frac{4\pi^2 L}{2GM} r^2$.
તેથી,$T^2 \propto r^2$,જેનો અર્થ છે કે $T \propto r$.

(D) ગેસના અણુની ગતિ ઊર્જા $KE = \frac{3}{2} k_B T$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ તાપમાન $T = 0^{\circ}C = 273 \ K$ છે.
તાપમાનની કિંમત મૂકતા,$KE = \frac{3}{2} k_B (273) = \frac{819 k_B}{2}$.
જ્યારે અણુ $h$ ઊંચાઈ સુધી પહોંચે છે,ત્યારે તેની ગતિ ઊર્જા સ્થિતિ ઊર્જામાં રૂપાંતરિત થાય છે,$PE = Mgh$.
ગતિ ઊર્જા અને સ્થિતિ ઊર્જાને સરખાવતા: $\frac{819 k_B}{2} = Mgh$.
ઊંચાઈ $h$ માટે ઉકેલતા,આપણને $h = \frac{819 k_B}{2Mg}$ મળે છે.

(D) $h$ ઊંચાઈએ ઉપગ્રહનો કક્ષીય વેગ $v = \sqrt{\frac{GM}{R+h}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. કારણ કે $h \ll R$,આપણે $R+h \approx R$ લઈ શકીએ છીએ. તેથી,$v = \sqrt{\frac{GM}{R}}$.
સંબંધ $g = \frac{GM}{R^2}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $GM = gR^2$ મળે છે. આ કિંમત મૂકતા,$v = \sqrt{\frac{gR^2}{R}} = \sqrt{gR}$.
$h$ ઊંચાઈએથી પૃથ્વીના ગુરુત્વાકર્ષણ ક્ષેત્રમાંથી મુક્ત થવા માટે જરૂરી નિષ્ક્રમણ વેગ $v' = \sqrt{\frac{2GM}{R+h}}$ છે.
ફરીથી,$h \ll R$ નો ઉપયોગ કરતા,$v' = \sqrt{\frac{2GM}{R}} = \sqrt{2gR}$.
ઝડપમાં જરૂરી લઘુત્તમ વધારો $\Delta v = v' - v$ છે.
$\Delta v = \sqrt{2gR} - \sqrt{gR} = \sqrt{gR}(\sqrt{2} - 1)$.

(B) ધારો કે ચાર કણો $a$ બાજુવાળા ચોરસના ખૂણા પર છે. ચોરસના કેન્દ્રથી દરેક કણનું અંતર $r = \frac{a}{\sqrt{2}}$ છે.
$M$ દળના એક કણનો વિચાર કરો. અન્ય ત્રણ કણોને કારણે તેના પર લાગતા ગુરુત્વાકર્ષણ બળો નીચે મુજબ છે:
$1$. ચોરસની બાજુઓ પર $F_1 = \frac{GM^2}{a^2}$ મૂલ્યના બે બળો.
$2$. વિકર્ણ પર $F_2 = \frac{GM^2}{(a\sqrt{2})^2} = \frac{GM^2}{2a^2}$ મૂલ્યનું એક બળ.
કેન્દ્ર તરફનું પરિણામી બળ $F_c$ એ આ બળોના વિકર્ણ પરના ઘટકોનો સરવાળો છે:
$F_c = F_1 \cos(45^\circ) + F_1 \cos(45^\circ) + F_2$
$F_c = 2 \left( \frac{GM^2}{a^2} \right) \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{GM^2}{2a^2} = \frac{GM^2}{a^2} \left( \sqrt{2} + \frac{1}{2} \right)$.
આ બળ વર્તુળાકાર ગતિ માટે જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ પૂરું પાડે છે: $F_c = \frac{Mv^2}{r}$.
$r = \frac{a}{\sqrt{2}}$ મૂકતા:
$\frac{Mv^2}{a/\sqrt{2}} = \frac{GM^2}{a^2} \left( \sqrt{2} + 0.5 \right)$
$v^2 = \frac{GM}{a} \left( \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} + \frac{0.5}{\sqrt{2}} \right) = \frac{GM}{a} (1 + 0.3535) \approx 1.3535 \frac{GM}{a}$.
$v \approx 1.16 \sqrt{\frac{GM}{a}}$.

(D) $M_E$ દળ ધરાવતી પૃથ્વીની આસપાસ $r$ ત્રિજ્યાની વર્તુળાકાર કક્ષામાં રહેલા $m$ દળના ઉપગ્રહ માટે:
$1$. ગતિ ઉર્જા $(K)$: કેન્દ્રગામી બળ ગુરુત્વાકર્ષણ બળ દ્વારા પૂરું પાડવામાં આવે છે,તેથી $\frac{mv^2}{r} = \frac{GM_Em}{r^2}$,જે $v^2 = \frac{GM_E}{r}$ આપે છે. આમ,$K = \frac{1}{2}mv^2 = \frac{GM_Em}{2r}$. જે $(s)$ સાથે મેળ ખાય છે.
$2$. સ્થિતિ ઉર્જા $(U)$: ગુરુત્વાકર્ષણ સ્થિતિ ઉર્જા $U = -\frac{GM_Em}{r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. જે $(r)$ સાથે મેળ ખાય છે.
$3$. કુલ ઉર્જા $(E)$: $E = K + U = \frac{GM_Em}{2r} - \frac{GM_Em}{r} = -\frac{GM_Em}{2r}$. જે $(p)$ સાથે મેળ ખાય છે.
$4$. કક્ષીય વેગ $(v)$: $v = \sqrt{\frac{GM_E}{r}}$. જે $(q)$ સાથે મેળ ખાય છે.
તેથી,સાચી જોડ $A-s, B-r, C-p, D-q$ છે.

(B) બે કણો વચ્ચેનું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ વર્તુળાકાર ગતિ માટે જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ પૂરું પાડે છે.
બે કણો વચ્ચેનું અંતર $2r$ છે.
ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $F = \frac{G \cdot m \cdot m}{(2r)^2} = \frac{Gm^2}{4r^2}$ છે.
$r$ ત્રિજ્યાના વર્તુળમાં $v$ વેગથી ગતિ કરતા $m$ દળના કણ માટે જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ $F_c = \frac{mv^2}{r}$ છે.
બંને બળોને સરખાવતા: $\frac{mv^2}{r} = \frac{Gm^2}{4r^2}$.
$v$ માટે ઉકેલતા: $v^2 = \frac{Gm}{4r} \implies v = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{Gm}{r}}$.
આવર્તકાળ $T = \frac{2\pi r}{v}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$v$ ની કિંમત મૂકતા: $T = \frac{2\pi r}{\frac{1}{2} \sqrt{\frac{Gm}{r}}} = 4\pi r \sqrt{\frac{r}{Gm}} = \frac{4\pi r^{3/2}}{\sqrt{Gm}}$.

(B) $m$ દળ ધરાવતા બે કણો એકબીજાથી $2R$ અંતરે છે અને તેઓ તેમના સામાન્ય દ્રવ્યમાન કેન્દ્રની આસપાસ $R$ ત્રિજ્યાના વર્તુળમાં ફરે છે.
તેમની વચ્ચેનું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ વર્તુળાકાર ગતિ માટે જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ પૂરું પાડે છે.
ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $F = \frac{G m^2}{(2R)^2} = \frac{G m^2}{4R^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$R$ ત્રિજ્યાના વર્તુળમાં $v$ ઝડપથી ગતિ કરતા $m$ દળના કણ માટે જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ $F_c = \frac{m v^2}{R}$ છે.
બંને બળોને સરખાવતા:
$\frac{m v^2}{R} = \frac{G m^2}{4R^2}$
$v$ માટે ઉકેલતા:
$v^2 = \frac{G m}{4R}$
$v = \sqrt{\frac{Gm}{4R}}$

(C) $M$ દળ અને $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતા સમાન ગોળાના કેન્દ્રથી $r$ અંતરે ગુરુત્વાકર્ષણ ક્ષેત્ર $F$ નીચે મુજબ છે:
$1$. ગોળાની અંદર $(r < R)$: $F = \frac{GM r}{R^3}$,જે સૂચવે છે કે $F \propto r$.
તેથી,$r_1 < R$ અને $r_2 < R$ માટે $\frac{F_1}{F_2} = \frac{r_1}{r_2}$ થાય.
$2$. ગોળાની બહાર $(r > R)$: $F = \frac{GM}{r^2}$,જે સૂચવે છે કે $F \propto \frac{1}{r^2}$.
તેથી,$r_1 > R$ અને $r_2 > R$ માટે $\frac{F_1}{F_2} = \frac{r_2^2}{r_1^2}$ થાય.
આમ,વિધાન $A$ અને $B$ બંને સાચા હોવાથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(D) બે કણો વચ્ચેનું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ તેમની વર્તુળાકાર ગતિ માટે જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ તરીકે કાર્ય કરે છે.
બે કણો વચ્ચેનું અંતર $d = r + r = 2r$ છે.
ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $F = \frac{G m m}{(2r)^2} = \frac{G m^2}{4r^2}$ છે.
$r$ ત્રિજ્યાના વર્તુળમાં $v$ ઝડપથી ગતિ કરતા $m$ દળના કણ માટે જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ $F_c = \frac{m v^2}{r}$ છે.
બંને બળોને સરખાવતા: $\frac{m v^2}{r} = \frac{G m^2}{4r^2}$.
$v^2$ માટે સાદું રૂપ આપતા: $v^2 = \frac{G m}{4r}$.
વર્ગમૂળ લેતા,દરેક કણની ઝડપ $v = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{Gm}{r}}$ મળે છે.

(C) સમબાજુ ત્રિકોણના કેન્દ્રથી દરેક કણનું અંતર $r = \frac{l}{\sqrt{3}}$ છે.
અન્ય બે કણો દ્વારા એક કણ પર લાગતું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ એ બે બળોનો સદિશ સરવાળો છે,જેનું મૂલ્ય $F = \frac{Gm^2}{l^2}$ છે.
કેન્દ્ર તરફનું પરિણામી બળ $F_{net} = 2F \cos(30^\circ) = 2 \left( \frac{Gm^2}{l^2} \right) \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}Gm^2}{l^2}$ છે.
આ બળ વર્તુળાકાર ગતિ માટે જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ પૂરું પાડે છે: $\frac{mv^2}{r} = F_{net}$.
$r = \frac{l}{\sqrt{3}}$ મૂકતા,આપણને $\frac{mv^2}{l/\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}Gm^2}{l^2}$ મળે છે,જેનું સાદું રૂપ આપતા $v^2 = \frac{Gm}{l}$ અથવા $v = \sqrt{\frac{Gm}{l}}$ મળે છે.
સમયગાળો $T = \frac{2\pi r}{v} = \frac{2\pi (l/\sqrt{3})}{\sqrt{Gm/l}} = \frac{2\pi}{\sqrt{3G m}} l^{3/2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આમ,$T \propto l^{3/2}$.

(C) $m$ દળ ધરાવતા બે કણો એકબીજાથી $2R$ અંતરે છે.
તેમની વચ્ચેનું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ વર્તુળાકાર ગતિ માટે જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ પૂરું પાડે છે.
ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $F = \frac{G m^2}{(2R)^2} = \frac{G m^2}{4R^2}$ છે.
$R$ ત્રિજ્યાના વર્તુળમાં $v$ ઝડપથી ગતિ કરતા $m$ દળના કણ માટે જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ $F_c = \frac{mv^2}{R}$ છે.
બંને બળોને સરખાવતા: $\frac{mv^2}{R} = \frac{Gm^2}{4R^2}$.
$v$ માટે સાદું રૂપ આપતા: $v^2 = \frac{Gm}{4R}$.
તેથી,$v = \sqrt{\frac{Gm}{4R}} = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{Gm}{R}}$.

(D) પૃથ્વી-ચંદ્ર તંત્રનું કોણીય વેગમાન સંરક્ષિત રહે છે કારણ કે તેના પર કોઈ બાહ્ય ટોર્ક લાગતું નથી.
સંબંધ $\tau = \frac{dL}{dt}$ પરથી,જો $\tau = 0$ હોય,તો $\frac{dL}{dt} = 0$ થાય,જેનો અર્થ છે કે $L$ અચળ છે.
તેથી,$Reason$ ખોટું છે.
ભરતીના ઘર્ષણને કારણે,પૃથ્વીનું પરિભ્રમણ ધીમું થાય છે,એટલે કે તેનો કોણીય વેગ $\omega_1$ ઘટે છે. કુલ કોણીય વેગમાન $L = I_1\omega_1 + I_2\omega_2$ અચળ રહેવું જોઈએ,તેથી પૃથ્વીના પરિભ્રમણના કોણીય વેગમાનમાં થયેલા ઘટાડાને સરભર કરવા માટે ચંદ્રની કક્ષાનું કોણીય વેગમાન વધવું જોઈએ.
જેમ જેમ ચંદ્ર કોણીય વેગમાન મેળવે છે,તેમ તેની કક્ષાની ત્રિજ્યા $r_2$ વધે છે,જેના કારણે ચંદ્ર પૃથ્વીથી દૂર જાય છે. આમ,$Assertion$ પણ ખોટું છે.

(B) પદાર્થો શરૂઆતમાં સ્થિર હોવાથી,તંત્રનું કુલ વેગમાન શૂન્ય છે. વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,$m_1 v_1 = m_2 v_2$,જ્યાં $v_1$ અને $v_2$ એ $r$ અંતરે પદાર્થોની ઝડપ છે.
ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,ગુરુત્વાકર્ષણ સ્થિતિ ઉર્જામાં ઘટાડો એ ગતિ ઉર્જામાં થતા વધારા બરાબર છે: $G m_1 m_2 / r = 1/2 m_1 v_1^2 + 1/2 m_2 v_2^2$.
વેગમાનના સમીકરણ પરથી,$v_1 = (m_2/m_1) v_2$. આ કિંમત ઉર્જાના સમીકરણમાં મૂકતા:
$G m_1 m_2 / r = 1/2 m_1 (m_2/m_1)^2 v_2^2 + 1/2 m_2 v_2^2 = 1/2 (m_2^2/m_1 + m_2) v_2^2 = 1/2 [m_2(m_1 + m_2)/m_1] v_2^2$.
$v_2$ માટે ઉકેલતા,$v_2 = \sqrt{2 G m_1^2 / (r(m_1 + m_2))}$. તેવી જ રીતે,$v_1 = \sqrt{2 G m_2^2 / (r(m_1 + m_2))}$.
સાપેક્ષ અભિગમ વેગ $v_{rel} = v_1 + v_2 = \sqrt{2 G / (r(m_1 + m_2))} (m_1 + m_2) = \sqrt{2 G (m_1 + m_2) / r}$ થાય.

(A) ઉપગ્રહ પર લાગતું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ હંમેશા પૃથ્વીના કેન્દ્ર તરફ હોય છે. તેથી,ઉપગ્રહ $S$ નો પ્રવેગ હંમેશા પૃથ્વીના કેન્દ્ર તરફ હોય છે.
ગુરુત્વાકર્ષણ બળ એ કેન્દ્રીય બળ હોવાથી,પૃથ્વીના કેન્દ્રની સાપેક્ષે આ બળનું કુલ ટોર્ક શૂન્ય છે. પરિણામે,પૃથ્વીના કેન્દ્રની સાપેક્ષે $S$ નું કોણીય વેગમાન (મૂલ્ય અને દિશા બંનેમાં) ગતિ દરમિયાન અચળ રહે છે.
ગુરુત્વાકર્ષણ બળ સંરક્ષી પ્રકારનું હોવાથી,ઉપગ્રહની કુલ યાંત્રિક ઉર્જા અચળ રહે છે.
જ્યારે ઉપગ્રહ પૃથ્વીની સૌથી નજીક હોય ત્યારે $S$ ની ઝડપ મહત્તમ હોય છે અને જ્યારે તે સૌથી દૂર હોય ત્યારે લઘુત્તમ હોય છે.

(A) વર્તુળાકાર ગતિ માટે જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ એ અન્ય ત્રણ કણોને કારણે એક કણ પર લાગતા કુલ ગુરુત્વાકર્ષણ બળ દ્વારા પૂરું પાડવામાં આવે છે.
ધારો કે કણો $\sqrt{2}r$ બાજુવાળા ચોરસના ખૂણાઓ પર છે.
એક કણ પર કેન્દ્ર તરફ લાગતું કુલ ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $F_{net}$:
$F_{net} = 2F \cos(45^{\circ}) + F_1$
જ્યાં $F = \frac{Gm^2}{(\sqrt{2}r)^2} = \frac{Gm^2}{2r^2}$ એ પાસપાસેના બે કણો દ્વારા લાગતું બળ છે,અને $F_1 = \frac{Gm^2}{(2r)^2} = \frac{Gm^2}{4r^2}$ એ વિકર્ણની સામેના કણ દ્વારા લાગતું બળ છે.
$F_{net} = 2 \left( \frac{Gm^2}{2r^2} \right) \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{Gm^2}{4r^2} = \frac{Gm^2}{r^2} \left( \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{4} \right) = \frac{Gm^2}{r^2} \left( \frac{2\sqrt{2} + 1}{4} \right)$.
આને કેન્દ્રગામી બળ $\frac{mv^2}{r}$ સાથે સરખાવતા:
$\frac{mv^2}{r} = \frac{Gm^2}{r^2} \left( \frac{2\sqrt{2} + 1}{4} \right)$
$v^2 = \frac{Gm}{r} \left( \frac{2\sqrt{2} + 1}{4} \right)$
$v = \sqrt{\frac{Gm}{r} \left( \frac{1 + 2\sqrt{2}}{4} \right)}$

(A) કોઈપણ બિંદુએ ગુરુત્વાકર્ષી સ્થિતિમાન $V$ એ ગોલીય કવચને કારણે ઉદ્ભવતું સ્થિતિમાન અને કેન્દ્ર પર રહેલા કણને કારણે ઉદ્ભવતા સ્થિતિમાનનો સરવાળો છે.
$1$. $M$ દળ અને $a$ ત્રિજ્યા ધરાવતા ગોલીય કવચ માટે,કવચની અંદરના કોઈપણ બિંદુએ (જ્યાં અંતર $r < a$ હોય) સ્થિતિમાન અચળ હોય છે અને તે તેની સપાટી પરના સ્થિતિમાન જેટલું હોય છે: $V_{\text{shell}} = - \frac{GM}{a}$.
$2$. કેન્દ્ર પર રહેલા $M$ દળના કણ માટે,$\frac{a}{2}$ અંતરે સ્થિતિમાન નીચે મુજબ મળે છે: $V_{\text{particle}} = - \frac{GM}{r} = - \frac{GM}{a/2} = - \frac{2GM}{a}$.
$3$. તે બિંદુએ કુલ ગુરુત્વાકર્ષી સ્થિતિમાન $V_{\text{total}}$:
$V_{\text{total}} = V_{\text{shell}} + V_{\text{particle}}$
$V_{\text{total}} = - \frac{GM}{a} - \frac{2GM}{a} = - \frac{3GM}{a}$.

(C) દિવસની લંબાઈ ધીમે ધીમે વધી રહી છે,જેનું કારણ સૌરમંડળના અન્ય ગ્રહોનું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ નથી,પરંતુ પૃથ્વી અને ચંદ્ર વચ્ચેના ભરતીના ઘર્ષણ (tidal friction) અને પૃથ્વી તથા તેના વાતાવરણ વચ્ચેના સ્નિગ્ધ બળો (viscous forces) છે.
આ પ્રક્રિયા પૃથ્વીની પરિભ્રમણ ઉર્જાનો ક્રમશઃ વ્યય કરે છે,જેના કારણે તેની પરિભ્રમણ ગતિ ધીમી પડે છે.
આ સંદર્ભમાં સૌરમંડળના અન્ય ગ્રહોનું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ ભરતીની અસરોની સરખામણીમાં નગણ્ય છે.
તેથી,$Assertion$ સાચું છે,પરંતુ $Reason$ ખોટું છે.

(A) $Assertion$ સાચું છે: પૃથ્વીની ભ્રમણ ગતિનો લાભ લેવા માટે રોકેટને પશ્ચિમથી પૂર્વ દિશામાં છોડવામાં આવે છે,જે ઓછા બળતણ સાથે કક્ષીય વેગ પ્રાપ્ત કરવામાં મદદ કરે છે.
$Reason$ પણ સાચું છે: ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે અસરકારક પ્રવેગ $g'$ એ $g' = g - \omega^2 R \cos^2 \lambda$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. વિષુવવૃત્ત પર અક્ષાંશ $\lambda = 0$ છે,તેથી $\cos \lambda = 1$,જે $g' = g - \omega^2 R$ બનાવે છે,જે ન્યૂનતમ મૂલ્ય છે.
જોકે,$Reason$ એ સમજાવતું નથી કે રોકેટ શા માટે પશ્ચિમથી પૂર્વ દિશામાં છોડવામાં આવે છે. લોન્ચિંગની દિશા પૃથ્વીના પરિભ્રમણ પર આધારિત છે,વિષુવવૃત્ત પર $g$ ના મૂલ્ય પર નહીં. તેથી,બંને સાચા છે,પરંતુ $Reason$ એ $Assertion$ ની સાચી સમજૂતી નથી.

(N/A) $GC$ અને ધન $x$-અક્ષ વચ્ચેનો ખૂણો $30^{\circ}$ છે,અને $GB$ તથા ઋણ $x$-અક્ષ વચ્ચેનો ખૂણો પણ $30^{\circ}$ છે. સદિશ સ્વરૂપમાં વ્યક્તિગત બળો નીચે મુજબ છે:
$F_{GA} = \frac{G m (2m)}{1^2} \hat{j} = 2Gm^2 \hat{j}$
$F_{GB} = \frac{G m (2m)}{1^2} (-\cos 30^{\circ} \hat{i} - \sin 30^{\circ} \hat{j}) = 2Gm^2 (-\frac{\sqrt{3}}{2} \hat{i} - \frac{1}{2} \hat{j}) = -Gm^2 \sqrt{3} \hat{i} - Gm^2 \hat{j}$
$F_{GC} = \frac{G m (2m)}{1^2} (+\cos 30^{\circ} \hat{i} - \sin 30^{\circ} \hat{j}) = 2Gm^2 (\frac{\sqrt{3}}{2} \hat{i} - \frac{1}{2} \hat{j}) = Gm^2 \sqrt{3} \hat{i} - Gm^2 \hat{j}$
સુપરપોઝિશનના સિદ્ધાંત મુજબ,$(2m)$ પર લાગતું પરિણામી ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $F_R$:
$F_R = F_{GA} + F_{GB} + F_{GC} = 2Gm^2 \hat{j} + (-Gm^2 \sqrt{3} \hat{i} - Gm^2 \hat{j}) + (Gm^2 \sqrt{3} \hat{i} - Gm^2 \hat{j}) = 0$
વૈકલ્પિક રીતે,સંમિતિના આધારે પરિણામી બળ શૂન્ય થાય છે.
$(b)$ જો શિરોબિંદુ $A$ પરનું દળ બમણું કરવામાં આવે,તો નવું બળ $F'_{GA} = \frac{G (2m) (2m)}{1^2} \hat{j} = 4Gm^2 \hat{j}$.
$F_{GB}$ અને $F_{GC}$ બળો બદલાતા નથી.
$F'_R = F'_{GA} + F_{GB} + F_{GC} = 4Gm^2 \hat{j} - Gm^2 \hat{j} - Gm^2 \hat{j} = 2Gm^2 \hat{j}$ ($A$ ની દિશામાં).

(N/A) ભાગ $(i)$: કેપ્લરના ત્રીજા નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$T^{2} = \frac{4 \pi^{2}}{G M_{m}} R^{3}$.
મંગળના દળ $(M_{m})$ માટે સૂત્ર: $M_{m} = \frac{4 \pi^{2} R^{3}}{G T^{2}}$.
અહીં $T = 7 \text{ કલાક } 39 \text{ મિનિટ} = 27540 \text{ સેકન્ડ}$ અને $R = 9.4 \times 10^{6} \text{ મીટર}$.
$M_{m} = \frac{4 \times (3.14)^{2} \times (9.4 \times 10^{6})^{3}}{6.67 \times 10^{-11} \times (27540)^{2}} \approx 6.48 \times 10^{23} \text{ kg}$.
ભાગ $(ii)$: સૂર્યની આસપાસ ગ્રહોની કક્ષા માટે કેપ્લરનો ત્રીજો નિયમ: $\frac{T_{M}^{2}}{T_{E}^{2}} = \frac{R_{M}^{3}}{R_{E}^{3}}$.
આપેલ છે કે $\frac{R_{M}}{R_{E}} = 1.52$ અને $T_{E} = 365 \text{ દિવસ}$.
$T_{M} = T_{E} \times (1.52)^{3/2} = 365 \times 1.873 \approx 684 \text{ દિવસ}$.

(N/A) રીત $1$: પૃથ્વીની સપાટી પર ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગનો ઉપયોગ કરીને。
$M_E = \frac{g R_E^2}{G}$
$M_E = \frac{9.81 \times (6.37 \times 10^6)^2}{6.67 \times 10^{-11}}$
$M_E \approx 5.97 \times 10^{24} \; kg$
રીત $2$: ચંદ્રની કક્ષીય ગતિનો ઉપયોગ કરીને。
કેપ્લરના ત્રીજા નિયમ મુજબ, $T^2 = \frac{4 \pi^2 R^3}{G M_E}$, તેથી $M_E = \frac{4 \pi^2 R^3}{G T^2}$.
અહીં $T = 27.3 \; \text{દિવસ} = 27.3 \times 24 \times 3600 \; s = 2.3587 \times 10^6 \; s$.
$M_E = \frac{4 \times (3.14)^2 \times (3.84 \times 10^8)^3}{6.67 \times 10^{-11} \times (2.3587 \times 10^6)^2}$
$M_E \approx 6.02 \times 10^{24} \; kg$.
બંને પદ્ધતિઓ લગભગ સમાન જવાબ આપે છે, જેમાં તફાવત $1 \%$ કરતા ઓછો છે.

(N/A) ના. ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રભાવને સુરક્ષિત (shield) કરી શકાતો નથી કારણ કે ગુરુત્વાકર્ષણ માધ્યમના પ્રકાર અને અન્ય દ્રવ્યની હાજરીથી સ્વતંત્ર છે.
$(b)$ હા. જો અવકાશ મથકનું કદ મોટું હોય,તો અવકાશયાત્રી મથકના પરિમાણોમાં ગુરુત્વાકર્ષણ ક્ષેત્રમાં થતા ફેરફાર (ભરતી બળો) ને શોધી શકે છે.
$(c)$ ભરતીની અસર ગુરુત્વાકર્ષણ ક્ષેત્રના ઢાળ (gradient) પર આધાર રાખે છે,જે $1/r^3$ ના પ્રમાણમાં હોય છે,જ્યારે ગુરુત્વાકર્ષણ બળ પોતે $1/r^2$ ના પ્રમાણમાં હોય છે. ચંદ્ર પૃથ્વીની સૂર્ય કરતા ઘણો નજીક હોવાથી,ચંદ્રના ગુરુત્વાકર્ષણ ક્ષેત્રનો ઢાળ મોટો હોય છે,જેના પરિણામે ભરતીની અસર વધારે જોવા મળે છે.

(B, C, D) સાચા લક્ષણો $(b)$,$(c)$,અને $(d)$ છે.
પૃથ્વી પર ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે ઊભા રહેતી વખતે પગ શરીરનું આખું વજન સહન કરે છે. અવકાશમાં,ગુરુત્વાકર્ષણના અભાવને કારણે અવકાશયાત્રી વજનહીનતા અનુભવે છે,તેથી પૃથ્વીની જેમ પગમાં સોજા આવતા નથી.
અવકાશમાં વજનહીનતાને કારણે શરીરના પ્રવાહીનું ઉપરના ભાગમાં સ્થળાંતર થાય છે,જેના પરિણામે ચહેરા પર સોજો આવે છે.
માનસિક તાણ,ઇન્ટ્રાક્રેનિયલ દબાણમાં ફેરફાર અને માઇક્રોગ્રેવિટી વાતાવરણમાં અનુકૂલન સાધવાના તણાવને કારણે અવકાશયાત્રીઓને વારંવાર માથાનો દુખાવો થાય છે.
દિશાભ્રમની સમસ્યાઓ સર્જાય છે કારણ કે વેસ્ટિબ્યુલર સિસ્ટમ,જે દિશા નક્કી કરવા માટે ગુરુત્વાકર્ષણ પર આધાર રાખે છે,તે અવકાશમાં સામાન્ય રીતે કાર્ય કરતી નથી,જેના કારણે અવકાશી દિશાભ્રમ થાય છે.

(A) જો તારાનું અંદરની તરફનું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ,તારાના પરિભ્રમણને કારણે ઉદ્ભવતા બહારની તરફના કેન્દ્રત્યાગી બળ કરતાં વધારે હોય,તો પદાર્થ તારાની સપાટી પર ચોંટેલો રહે છે.
ગુરુત્વાકર્ષણ બળ,$f_g = \frac{GMm}{R^2}$
જ્યાં,
$M = \text{તારાનું દળ} = 2.5 \times 2 \times 10^{30} = 5 \times 10^{30} \;kg$
$m = \text{પદાર્થનું દળ}$
$R = \text{તારાની ત્રિજ્યા} = 12 \;km = 1.2 \times 10^4 \;m$
$G = 6.67 \times 10^{-11} \;N \cdot m^2/kg^2$
$f_g = \frac{6.67 \times 10^{-11} \times 5 \times 10^{30} \times m}{(1.2 \times 10^4)^2} \approx 2.31 \times 10^{11} \;m \;N$
કેન્દ્રત્યાગી બળ,$f_c = mR\omega^2$
જ્યાં $\omega = 2\pi v$ અને $v = 1.2 \;rev/s$
$f_c = m \times (1.2 \times 10^4) \times (2 \times 3.14 \times 1.2)^2$
$f_c = m \times (1.2 \times 10^4) \times (7.54)^2 \approx 6.82 \times 10^5 \;m \;N$
આમ,$f_g > f_c$ હોવાથી,ગુરુત્વાકર્ષણ બળ કેન્દ્રત્યાગી બળ કરતાં ઘણું વધારે છે. તેથી,પદાર્થ તારાની સપાટી પર ચોંટેલો રહેશે.

(495 KM) રોકેટનો પ્રારંભિક વેગ,$v = 2 \; km/s = 2 \times 10^3 \; m/s$.
મંગળનું દળ,$M = 6.4 \times 10^{23} \; kg$.
મંગળની ત્રિજ્યા,$R = 3395 \; km = 3.395 \times 10^6 \; m$.
ગુરુત્વાકર્ષણનો અચળાંક,$G = 6.67 \times 10^{-11} \; N m^2 kg^{-2}$.
પ્રારંભિક ગતિઊર્જા $K_i = \frac{1}{2} m v^2$.
પ્રારંભિક સ્થિતિઊર્જા $U_i = -\frac{GMm}{R}$.
$20 \%$ ગતિઊર્જા ગુમાવાતી હોવાથી,ઉપલબ્ધ અસરકારક ગતિઊર્જા $0.8 K_i = 0.4 m v^2$ છે.
કુલ પ્રારંભિક ઊર્જા $E_i = 0.4 m v^2 - \frac{GMm}{R}$.
મહત્તમ ઊંચાઈ $h$ પર,અંતિમ વેગ શૂન્ય થાય છે,તેથી અંતિમ ઊર્જા $E_f = -\frac{GMm}{R+h}$.
ઊર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,$E_i = E_f$:
$0.4 m v^2 - \frac{GMm}{R} = -\frac{GMm}{R+h}$.
$m$ વડે ભાગતા અને સાદું રૂપ આપતા: $0.4 v^2 = GM \left( \frac{1}{R} - \frac{1}{R+h} \right) = \frac{GMh}{R(R+h)}$.
$h$ માટે ઉકેલતા: $\frac{R+h}{h} = \frac{GM}{0.4 v^2 R} \implies \frac{R}{h} = \frac{GM}{0.4 v^2 R} - 1$.
$h = \frac{0.4 R^2 v^2}{GM - 0.4 v^2 R}$.
કિંમતો મૂકતા: $h = \frac{0.4 \times (3.395 \times 10^6)^2 \times (2 \times 10^3)^2}{(6.67 \times 10^{-11} \times 6.4 \times 10^{23}) - (0.4 \times (2 \times 10^3)^2 \times 3.395 \times 10^6)}$.
$h = \frac{18.442 \times 10^{18}}{42.688 \times 10^{12} - 5.432 \times 10^{12}} = \frac{18.442}{37.256} \times 10^6 \approx 495 \; km$.

(A) પૃથ્વી તેની ધરી પર $360^{\circ}$ નું એક સંપૂર્ણ પરિભ્રમણ પૂર્ણ કરવા માટે $24\; h$ લે છે.
$1\; h = 60\; min$ હોવાથી,કુલ સમય મિનિટમાં $24 \times 60 = 1440\; min$ થાય.
$1^{\circ}$ ના સ્થાનાંતર માટે લાગતો સમય શોધવા માટે,આપણે કુલ સમયને $360^{\circ}$ વડે ભાગીશું:
$1^{\circ}$ માટેનો સમય $= \frac{1440\; min}{360} = 4\; min$.
તેથી,સૂર્ય $4\; min$ માં $1^{\circ}$ જેટલો ખસતો દેખાય છે.

(N/A) પૃથ્વીનું પોપડું એકસમાન નથી; તેમાં અસતતતા અને સ્થાનાંતરણ જોવા મળે છે જેને ફોલ્ટ લાઇન (fault lines) કહેવામાં આવે છે.
પૃથ્વીના પોપડામાં રહેલી આ ફોલ્ટ લાઇન સંકુચિત સ્પ્રિંગ જેવી હોય છે અને તેમાં મોટા પ્રમાણમાં સ્થિતિ ઊર્જા (potential energy) સંગ્રહિત હોય છે.
જ્યારે આ ફોલ્ટ લાઇન ફરીથી ગોઠવાય છે અથવા તેમાં હલનચલન થાય છે,ત્યારે ભૂકંપ ઉદ્ભવે છે.

(N/A) પૃથ્વીની ત્રિજ્યા $R = 6400 \, km = 6.4 \times 10^6 \, m$.
સમયગાળો $T = 1 \, \text{દિવસ} = 86400 \, s$.
કેન્દ્રગામી પ્રવેગ $a_c = \omega^2 R = R \left( \frac{2\pi}{T} \right)^2 = \frac{4\pi^2 R}{T^2}$.
$a_c = \frac{4 \times (3.14)^2 \times 6.4 \times 10^6}{(86400)^2} \approx 0.034 \, m/s^2$.
અક્ષાંશ $\theta$ પર, વર્તુળાકાર માર્ગની ત્રિજ્યા $R \cos \theta$ છે, તેથી $a_c(\theta) = \omega^2 R \cos \theta = 0.034 \cos \theta \, m/s^2$.
$g$ સાથે સરખામણી: $\frac{a_c}{g} = \frac{0.034}{9.8} \approx \frac{1}{288}$, જે $g$ કરતા ઘણો ઓછો છે.
$(b)$ કક્ષીય ત્રિજ્યા $R' = 1.5 \times 10^{11} \, m$.
સમયગાળો $T' = 1 \, \text{વર્ષ} = 365 \times 24 \times 3600 \approx 3.15 \times 10^7 \, s$.
કેન્દ્રગામી પ્રવેગ $a_c' = \frac{4\pi^2 R'}{T'^2} = \frac{4 \times (3.14)^2 \times 1.5 \times 10^{11}}{(3.15 \times 10^7)^2} \approx 5.97 \times 10^{-3} \, m/s^2$.
$g$ સાથે સરખામણી: $\frac{a_c'}{g} = \frac{5.97 \times 10^{-3}}{9.8} \approx \frac{1}{1642}$, જે $g$ કરતા ઘણો ઓછો છે.

(C) $(i)$ જેમ જેમ અવકાશયાન પૃથ્વીથી દૂર ચંદ્ર તરફ જાય છે,તેમ પૃથ્વીનું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ ઘટતું જાય છે,તેથી તેનું વજન ઘટે છે.
$(ii)$ પૃથ્વી અને ચંદ્રની વચ્ચે એક ચોક્કસ બિંદુ પર,જેને તટસ્થ બિંદુ કહેવાય છે,પૃથ્વી અને ચંદ્ર દ્વારા લાગતા ગુરુત્વાકર્ષણ બળો એકબીજાને નાબૂદ કરે છે,જેનાથી તેનું કુલ વજન શૂન્ય થઈ જાય છે.
$(iii)$ જેમ જેમ અવકાશયાન ચંદ્ર તરફ આગળ વધે છે,તેમ ચંદ્રનું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ વધતું જાય છે,જેના કારણે વજન શૂન્યથી વધવા લાગે છે અને ચંદ્રની સપાટી પર પહોંચતા તેનું વજન $\frac{mg}{6}$ જેટલું થાય છે (જ્યાં $g$ એ પૃથ્વી પરનું ગુરુત્વપ્રવેગ છે).

(N/A) દરરોજ,પૃથ્વી તેની ભ્રમણકક્ષામાં આશરે $1^{\circ}$ જેટલી આગળ વધે છે.
સૂર્યને ફરીથી ઝેનિથ બિંદુ પર લાવવા માટે,પૃથ્વીએ $361^{\circ}$ જેટલું પરિભ્રમણ કરવું પડે છે (જેને આપણે $1$ સરેરાશ સૌર દિવસ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરીએ છીએ).
કારણ કે $361^{\circ}$ એ $24\,\text{h}$ ને અનુરૂપ છે,તેથી $1^{\circ}$ માટે લાગતો સમય નીચે મુજબ ગણી શકાય:
$\because 361^{\circ}$ કાપવા માટે લાગતો સમય $= 24\,\text{h}$
$\because 1^{\circ}$ કાપવા માટે લાગતો સમય $= t$
$t = \frac{24}{361} \times 1 \approx 0.0664\,\text{h}$
$t = 0.0664 \times 60\,\text{min} \approx 3.99\,\text{min} \approx 4\,\text{min}$.
આમ,સરેરાશ સૌર દિવસ એ નક્ષત્ર દિવસ કરતા $4\,\text{min}$ લાંબો છે,અને દૂરના તારાઓ દરરોજ $4\,\text{min}$ વહેલા ઉગે છે.

(N/A) પૃથ્વીના કેન્દ્રથી $r$ અંતરે પૃથ્વીની અંદર ગુરુત્વપ્રવેગ $g' = \frac{GM}{R^3} r$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. તેથી,$g' \propto r$ (સમપ્રમાણમાં).
$(b)$ વસ્તુનું વજન $W = mg$ છે. કારણ કે $g = \frac{GM}{R^2}$,જો ત્રિજ્યા $R$ ઘટીને $R' = \frac{R}{2}$ થાય,તો નવો ગુરુત્વપ્રવેગ $g'$:
$g' = \frac{GM}{(R/2)^2} = 4 \frac{GM}{R^2} = 4g$.
તેથી,નવું વજન $W' = mg' = 4mg$,જે મૂળ વજન કરતા $4$ ગણું છે.
$(c)$ કક્ષીય વેગ $v_0 = \sqrt{\frac{GM_e}{r}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ભૂસ્થિર ઉપગ્રહ માટે,$r \approx 42260 \times 10^3 \ m$.
$G = 6.67 \times 10^{-11} \ N \ m^2/kg^2$ અને $M_e = 5.98 \times 10^{24} \ kg$ કિંમતો મૂકતા:
$v_0 = \sqrt{\frac{6.67 \times 10^{-11} \times 5.98 \times 10^{24}}{42260 \times 10^3}} \approx 3070 \ m/s \approx 3 \ km/s$.

(N/A) પૃથ્વીના કેન્દ્ર પર ગુરુત્વ તીવ્રતા શૂન્ય $(0)$ છે,કારણ કે $r=0$ ત્રિજ્યા ધરાવતા ગોળાની અંદર ઘેરાયેલું દળ શૂન્ય હોય છે.
$(b)$ ઉપગ્રહની બંધનઊર્જા $(BE)$ એ તેની કુલ યાંત્રિક ઊર્જાના ઋણ મૂલ્ય તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. જો સ્થિતિઊર્જા $(PE)$ $-8 \times 10^9 \, J$ હોય,તો કુલ ઊર્જા $E = PE/2 = -4 \times 10^9 \, J$ થાય. તેથી,બંધનઊર્જા $BE = -E = 4 \times 10^9 \, J$ થાય. જો આપેલી કિંમત કુલ ઊર્જા હોય,તો બંધનઊર્જા $8 \times 10^9 \, J$ થાય.
$(c)$ કેપ્લરનો બીજો નિયમ (ક્ષેત્રફળનો નિયમ) એ કોણીય વેગમાનના સંરક્ષણના નિયમનું સીધું પરિણામ છે.

(A) કેપ્લરના ત્રીજા નિયમ મુજબ,$T^2 \propto r^3$,તેથી $r \propto T^{2/3}$. આપેલ છે કે $T_M = 8 T_m$,તેથી $r_M = r_m \times (8)^{2/3} = 5.79 \times 10^{10} \times 4 = 23.16 \times 10^{10} \, m$.
$(b)$ દળ એ દ્રવ્યનો આંતરિક ગુણધર્મ છે અને તે સ્થાન બદલાવા છતાં અચળ રહે છે. તેથી,ચંદ્ર પર પણ દળ $m \, kg$ જ રહેશે.
$(c)$ ભૂ-સ્થિર ઉપગ્રહ પૃથ્વીની સપાટીથી આશરે $35,800 \, km$ ની ઊંચાઈએ ભ્રમણ કરે છે.
$(d)$ ન્યૂટનના ગુરુત્વાકર્ષણના નિયમ મુજબ,$F = \frac{G m_1 m_2}{r^2}$. અહીં $m_1 = 1 \, kg$,$m_2 = 1 \, kg$,$r = 1 \, mm = 10^{-3} \, m$. તેથી,$F = \frac{6.67 \times 10^{-11} \times 1 \times 1}{(10^{-3})^2} = 6.67 \times 10^{-11} \times 10^6 = 6.67 \times 10^{-5} \, N$.

(A) ખોટું. પૃથ્વીની સપાટીથી $d$ ઊંડાઈએ ગુરુત્વપ્રવેગનું મૂલ્ય $g_d = g(1 - d/R)$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે,જે ઊંડાઈ $d$ વધતા ઘટે છે.
$(b)$ ખોટું. નિષ્ક્રમણ ઝડપનું સૂત્ર $v_e = \sqrt{2GM/R}$ છે. તે પદાર્થના દળ $m$ પર આધારિત નથી. તેથી,$2m$ દળના પદાર્થ માટે પણ નિષ્ક્રમણ ઝડપ $11.2 \, km/s$ જ રહે.
$(c)$ ખોટું. દળ એ પદાર્થનો આંતરિક ગુણધર્મ છે અને તે ગુરુત્વાકર્ષણથી સ્વતંત્ર અચળ રહે છે. વજન એ ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $(W = mg)$ છે,તેથી જો ગુરુત્વાકર્ષણ અદશ્ય થઈ જાય તો વજન શૂન્ય થઈ જાય,પરંતુ દળ બદલાતું નથી.