Mix Examples-Gravitation Questions in Gujarati

(B) ખોટું. ગુરુત્વાકર્ષી ક્ષેત્રની તીવ્રતા $g(h) = g_0 (1 + h/R)^{-2}$ મુજબ ઊંચાઈ $h$ વધતા ઘટે છે.
$(b)$ સાચું. ચંદ્ર પર નિષ્ક્રમણ વેગ ઓછો હોવાથી,વાયુના અણુઓ ઉષ્મીય ઉર્જાને કારણે સરળતાથી આ વેગ પ્રાપ્ત કરી અવકાશમાં પલાયન કરી જાય છે,તેથી ત્યાં વાતાવરણ ટકી શકતું નથી.
$(c)$ સાચું. ભ્રમણકક્ષામાં રહેલો ઉપગ્રહ પૃથ્વી તરફ મુક્ત પતન કરતો હોવાથી,તેની અંદરની વસ્તુઓ વજનરહિતતા અનુભવે છે.

(B) ખોટું. પૃથ્વી ધ્રુવો પાસે ચપટી અને વિષુવવૃત્ત પાસે ઉપસેલી છે. ધ્રુવો પાસે ત્રિજ્યા વિષુવવૃત્ત કરતા ઓછી છે. $g = GM/R^2$ હોવાથી,ધ્રુવો પાસે $g$ નું મૂલ્ય વિષુવવૃત્ત કરતા વધારે હોય છે.
$(b)$ સાચું. $F = mg$ હોવાથી,$g = F/m$. બળનો એકમ $\text{Newton}$ $(N)$ અને દળનો એકમ $\text{kilogram}$ $(kg)$ છે,તેથી $g$ નો એકમ $N/kg$ થાય,જે $m/s^2$ ને સમાન છે.
$(c)$ ખોટું. નિષ્ક્રમણ વેગનું સૂત્ર $v_e = \sqrt{2GM/R}$ છે. આમ,$v_e$ એ ગ્રહના દળના વર્ગમૂળ $(\sqrt{M})$ ના સમપ્રમાણમાં અને ત્રિજ્યાના વર્ગમૂળ $(1/\sqrt{R})$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે.

(A) સ્થિતિ ઊર્જા $U(r) = -\frac{C}{r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બળ $F$ એ સ્થિતિ ઊર્જાનું ઋણ વિકલન છે: $F = -\frac{dU}{dr} = -\frac{d}{dr}\left(-\frac{C}{r}\right) = -\frac{C}{r^2}$.
વર્તુળાકાર કક્ષામાં ગતિ કરતા કણ માટે,કેન્દ્રગામી બળનું મૂલ્ય કેન્દ્રીય બળ દ્વારા પૂરું પાડવામાં આવે છે: $|F| = \frac{mv^2}{r}$.
બંને મૂલ્યોને સરખાવતા: $\frac{C}{r^2} = \frac{mv^2}{r}$.
આનું સાદું રૂપ આપતા,આપણને મળે છે $\frac{C}{r} = mv^2$,જે સૂચવે છે કે $r = \frac{C}{mv^2}$.
તેથી,$r \propto \frac{1}{v^2}$.
આ સંબંધ એક એવો વક્ર દર્શાવે છે જ્યાં $v$ વધવાની સાથે $r$ ઝડપથી ઘટે છે,જે વિકલ્પ $A$ માં દર્શાવેલ આલેખને અનુરૂપ છે.

(A) ધારો કે ચાર કણો $R$ ત્રિજ્યાના વર્તુળમાં અંતર્ગત ચોરસના ખૂણાઓ પર છે. કોઈપણ એક કણ માટે,અન્ય ત્રણ કણો દ્વારા લાગતું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ નીચે મુજબ છે:
$1$. વ્યાસાંત સામેના કણ દ્વારા લાગતું બળ $F_1 = \frac{G m^2}{(2R)^2} = \frac{G m^2}{4R^2}$.
$2$. પાસપાસેના બે કણો દ્વારા લાગતું બળ $F_2 = F_3 = \frac{G m^2}{(\sqrt{2}R)^2} = \frac{G m^2}{2R^2}$.
કેન્દ્ર તરફ લાગતું કુલ ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $F_{\text{net}}$ એ આ બળોના ત્રિજ્યાવર્તી ઘટકોનો સરવાળો છે:
$F_{\text{net}} = F_1 + F_2 \cos 45^{\circ} + F_3 \cos 45^{\circ}$
$F_{\text{net}} = \frac{G m^2}{4R^2} + \frac{G m^2}{2R^2} \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right) + \frac{G m^2}{2R^2} \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)$
$F_{\text{net}} = \frac{G m^2}{R^2} \left(\frac{1}{4} + \frac{1}{\sqrt{2}}\right) = \frac{G m^2}{4R^2} (1 + 2\sqrt{2})$.
આ કુલ બળ વર્તુળાકાર ગતિ માટે જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ પૂરું પાડે છે: $F_{\text{net}} = \frac{m v^2}{R}$.
બંનેને સરખાવતા: $\frac{m v^2}{R} = \frac{G m^2}{4R^2} (1 + 2\sqrt{2})$.
$v^2 = \frac{G m}{4R} (1 + 2\sqrt{2})$.
$m = 1 \, kg$ અને $R = 1 \, m$ લેતા,$v^2 = \frac{G}{4} (1 + 2\sqrt{2})$.
$v = \sqrt{\frac{G}{4} (1 + 2\sqrt{2})} = \frac{\sqrt{G(1+2\sqrt{2})}}{2}$.

(C) ધારો કે નક્કર ગોળાનું પ્રારંભિક દળ $M$ છે. ગોળાની ઘનતા $\rho = \frac{M}{\frac{4}{3}\pi R^3}$ છે.
કેન્દ્રથી $3R$ અંતરે $m$ દળના કણ પર લાગતું બળ $F_{1}$ નીચે મુજબ છે:
$F_{1} = \frac{GMm}{(3R)^2} = \frac{GMm}{9R^2}$.
જ્યારે $r = \frac{R}{2}$ ત્રિજ્યાની ગોળાકાર પોલાણ બનાવવામાં આવે છે,ત્યારે દૂર કરેલા ભાગનું દળ $M' = \rho \cdot \frac{4}{3}\pi (\frac{R}{2})^3 = M \cdot (\frac{1}{2})^3 = \frac{M}{8}$ થાય છે.
પોલાણનું કેન્દ્ર ગોળાના કેન્દ્રથી $\frac{R}{2}$ અંતરે છે. કણ ગોળાના કેન્દ્રથી $3R$ અંતરે છે,તેથી તે પોલાણના કેન્દ્રથી $3R - \frac{R}{2} = \frac{5R}{2}$ અંતરે છે.
નવું બળ $F_{2}$ એ મૂળ ગોળાને કારણે લાગતું બળ અને દૂર કરેલા ભાગને કારણે લાગતા બળનો તફાવત છે:
$F_{2} = \frac{GMm}{(3R)^2} - \frac{G(M/8)m}{(5R/2)^2} = \frac{GMm}{9R^2} - \frac{GMm}{8 \cdot \frac{25R^2}{4}} = \frac{GMm}{R^2} (\frac{1}{9} - \frac{1}{50})$.
$F_{2} = \frac{GMm}{R^2} (\frac{50 - 9}{450}) = \frac{41}{450} \frac{GMm}{R^2}$.
તેથી,ગુણોત્તર $F_{1} : F_{2}$:
$\frac{F_{1}}{F_{2}} = \frac{GMm/9R^2}{41GMm/450R^2} = \frac{1}{9} \cdot \frac{450}{41} = \frac{50}{41}$.
આમ,ગુણોત્તર $50:41$ છે.

(A) પૃથ્વીના કેન્દ્રથી $r$ અંતરે રહેલા $m$ દળના કણ પર લાગતું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $F = -\frac{GMmr}{R^3}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ટનલમાં,આ બળનો ટનલની દિશામાં ઘટક $F_t = F \cos \theta$ છે,જ્યાં $\theta$ એ સ્થાન સદિશ $r$ અને ટનલને લંબ દિશા વચ્ચેનો ખૂણો છે.
ટનલની ભૂમિતિ મુજબ,કેન્દ્રથી લંબ અંતર $d = R/2$ છે. જો $x$ એ જીવાના મધ્યબિંદુથી કણનું સ્થાનાંતર હોય,તો $r \cos \theta = x$ થાય.
આમ,પુનઃસ્થાપક બળ $F_t = -\left(\frac{GMm}{R^3}\right) r \cos \theta = -\left(\frac{GMm}{R^3}\right) x$ છે.
ચૂક્યું કે $g = \frac{GM}{R^2}$,તેથી આપણે $F_t = -\left(\frac{mg}{R}\right) x$ લખી શકીએ.
પ્રવેગ $a = \frac{F_t}{m} = -\left(\frac{g}{R}\right) x$ છે.
આ સરળ આવર્ત ગતિનું સમીકરણ $a = -\omega^2 x$ છે,જ્યાં $\omega^2 = \frac{g}{R}$ છે.
આવર્તકાળ $T = \frac{2\pi}{\omega} = 2\pi \sqrt{\frac{R}{g}}$ મળે છે.

(A) $M$ દળ અને $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતા એક સમાન ગોલીય કવચ માટે,અંદરના કોઈપણ બિંદુએ $(r < R)$ ગુરુત્વાકર્ષણ ક્ષેત્ર $E = 0$ હોય છે.
ગુરુત્વાકર્ષણ ક્ષેત્ર $E = -dV/dr$ હોવાથી,જો $E = 0$ હોય,તો સ્થિતિમાન $V$ સમગ્ર અંદરના ભાગમાં અચળ રહેવું જોઈએ.
આ અચળ સ્થિતિમાનનું મૂલ્ય $V = -GM/R$ છે,જે શૂન્ય નથી.
તેથી,વિધાનો $(a), (c)$ અને $(d)$ સાચા છે,જ્યારે $(b)$ ખોટું છે.
આમ,સાચો વિકલ્પ માત્ર $(a), (c)$ અને $(d)$ છે.

(A) $M$ દળ ધરાવતા એક કણને ધ્યાનમાં લો. અન્ય ત્રણ કણોને કારણે તેના પર લાગતા ગુરુત્વાકર્ષણ બળો નીચે મુજબ છે:
$1$. બે બળો $F = \frac{GM^2}{(\sqrt{2}R)^2}$ જે ચોરસની બાજુઓ પર ($90^\circ$ ના ખૂણે) લાગે છે.
$2$. એક બળ $F_1 = \frac{GM^2}{(2R)^2}$ જે વિકર્ણ પર લાગે છે.
વર્તુળના કેન્દ્ર તરફ લાગતું કુલ ગુરુત્વાકર્ષણ બળ:
$F_{\text{net}} = \sqrt{F^2 + F^2} + F_1 = \sqrt{2}F + F_1$
$F_{\text{net}} = \sqrt{2} \left( \frac{GM^2}{2R^2} \right) + \frac{GM^2}{4R^2} = \frac{GM^2}{R^2} \left( \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{1}{4} \right) = \frac{GM^2}{R^2} \left( \frac{2\sqrt{2} + 1}{4} \right)$
આ કુલ બળ વર્તુળાકાર ગતિ માટે જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ પૂરું પાડે છે:
$F_{\text{net}} = \frac{MV^2}{R}$
$\frac{MV^2}{R} = \frac{GM^2}{R^2} \left( \frac{2\sqrt{2} + 1}{4} \right)$
$V^2 = \frac{GM}{R} \left( \frac{2\sqrt{2} + 1}{4} \right)$
$V = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{GM}{R}(2\sqrt{2} + 1)}$

(D) મુસાફરનું વજન $W = mg_{eff}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $g_{eff}$ એ અવકાશયાનમાં વ્યક્તિ દ્વારા અનુભવાતો અસરકારક ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગ છે.
જેમ જેમ અવકાશયાન પૃથ્વીથી મંગળ તરફ જાય છે,તેમ તે એક તટસ્થ બિંદુમાંથી પસાર થાય છે જ્યાં પૃથ્વી અને મંગળનું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ એકબીજાને રદ કરે છે,જેનાથી અસરકારક ગુરુત્વાકર્ષણ $g_{eff} = 0$ થાય છે.
આ તટસ્થ બિંદુ પર,મુસાફરનું વજન $W = 100\, {kg} \times 0\, {m/s^2} = 0\, {N}$ થાય છે.
આપેલ વક્રોને જોતા,માત્ર વક્ર $(d)$ પૃથ્વી અને મંગળની વચ્ચે કોઈ બિંદુએ સમયની ધરીને (જ્યાં વજન $0\, {N}$ છે) સ્પર્શે છે.
તેથી,વક્ર $(d)$ એ સમયના વિધેય તરીકે મુસાફરના વજનનું સાચું નિરૂપણ છે.

(B) $m = 1 \, kg$ દળ ધરાવતા બે કણો વચ્ચેનું અંતર $d = 2R$ છે.
તેમની વચ્ચેનું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ વર્તુળાકાર ગતિ માટે જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ પૂરું પાડે છે.
ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $F = \frac{G m^2}{(2R)^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$R$ ત્રિજ્યાના વર્તુળમાં $\omega$ કોણીય ઝડપ સાથે ગતિ કરતા $m$ દળના કણ માટે જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ $F_c = m R \omega^2$ છે.
બંને બળોને સરખાવતા: $\frac{G m^2}{4 R^2} = m R \omega^2$.
$\omega^2$ માટે સાદું રૂપ આપતા: $\omega^2 = \frac{G m}{4 R^3}$.
$m = 1 \, kg$ આપેલ હોવાથી,આપણને $\omega^2 = \frac{G}{4 R^3}$ મળે છે.
વર્ગમૂળ લેતા,$\omega = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{G}{R^3}}$ મળે છે.

(A) $1$. ગુરુત્વાકર્ષણનો સાર્વત્રિક અચળાંક $(G)$: $F = G \frac{m_1 m_2}{r^2}$ પરથી,$G = \frac{F r^2}{m_1 m_2}$. પારિમાણિક સૂત્ર $[MLT^{-2}][L^2] / [M^2] = [M^{-1}L^3T^{-2}]$ થાય છે. તેથી,$(a)-(ii)$.
$2$. ગુરુત્વીય સ્થિતિઊર્જા $(U)$: $U = -\frac{G M m}{r}$. પારિમાણિક સૂત્ર $[MLT^{-2}][L] = [ML^2T^{-2}]$ થાય છે. તેથી,$(b)-(iv)$.
$3$. ગુરુત્વીય સ્થિતિમાન $(V)$: $V = \frac{U}{m}$. પારિમાણિક સૂત્ર $[ML^2T^{-2}] / [M] = [L^2T^{-2}]$ થાય છે. તેથી,$(c)-(i)$.
$4$. ગુરુત્વીય તીવ્રતા $(E)$: $E = \frac{F}{m}$. પારિમાણિક સૂત્ર $[MLT^{-2}] / [M] = [LT^{-2}]$ થાય છે. તેથી,$(d)-(iii)$.
આમ,સાચી જોડ $(a)-(ii), (b)-(iv), (c)-(i), (d)-(iii)$ છે.

(B) ધારો કે દરેક કણનું દળ $M = 100 \, kg$ છે. અંતર $AB = BC = r = 13 \, m$ છે. કણ $P$ એ $AC$ ના લંબ દ્વિભાજક પર $B$ થી $r = 13 \, m$ અંતરે છે.
$P$ નું $B$ થી અંતર $r_B = 13 \, m$ છે.
$P$ નું $A$ અને $C$ થી અંતર $r_A = r_C = \sqrt{13^2 + 13^2} = 13\sqrt{2} \, m$ છે.
$B$ દ્વારા $P$ પર લાગતું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $F_B = \frac{GM^2}{r^2}$ છે જે $B$ તરફ લાગે છે.
$A$ અને $C$ દ્વારા $P$ પર લાગતું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $F_A = F_C = \frac{GM^2}{(13\sqrt{2})^2} = \frac{GM^2}{2r^2}$ છે.
$F_A$ અને $F_C$ ના સમક્ષિતિજ ઘટકો એકબીજાને નાબૂદ કરે છે. ઉર્ધ્વ ઘટકોનો સરવાળો થાય છે:
$F_{net} = F_B + 2 \times F_A \cos(\theta)$,જ્યાં $\cos(\theta) = \frac{13}{13\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
$F_{net} = \frac{GM^2}{r^2} + 2 \times \frac{GM^2}{2r^2} \times \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{GM^2}{r^2} (1 + \frac{1}{\sqrt{2}})$.
$M = 100 \, kg$ અને $r = 13 \, m$ મૂકતા:
$F_{net} = \frac{G \times 100^2}{13^2} (1 + 0.707) \approx 100 G$.

(D) સમાન સપાટી દળ ઘનતા $\sigma$ ધરાવતી અતિ પાતળી ડિસ્ક માટે,અક્ષ પર કેન્દ્રથી $z$ અંતરે ગુરુત્વાકર્ષણ ક્ષેત્ર $g = 2\pi G \sigma \left(1 - \frac{z}{\sqrt{z^2 + R^2}}\right)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$z \ll R$ હોવાથી,આપણે દ્વિપદી વિસ્તરણનો ઉપયોગ કરીએ છીએ: $\frac{z}{\sqrt{z^2 + R^2}} = \frac{z}{R(1 + z^2/R^2)^{1/2}} \approx \frac{z}{R}(1 - \frac{z^2}{2R^2}) \approx \frac{z}{R}$.
આમ,$g \approx 2\pi G \sigma (1 - \frac{z}{R}) \approx 2\pi G \sigma$.
આનો અર્થ એ છે કે નાના $z$ માટે,ગુરુત્વાકર્ષણ ક્ષેત્ર લગભગ અચળ છે,$g = g_0 = 2\pi G \sigma$.
$z$ ઊંચાઈએ તારા માટે ગતિનું સમીકરણ $\ddot{z} = -g_0 \text{sgn}(z)$ છે.
આ ડિસ્ક તરફ અચળ પ્રવેગ સાથેની ગતિ દર્શાવે છે. $z_0$ થી $0$ સુધી મુસાફરી કરવા માટેનો સમય $t = \sqrt{2z_0/g_0}$ છે.
એક સંપૂર્ણ દોલન ( $z_0$ થી $-z_0$ અને પાછા) માટેનો કુલ આવર્તકાળ $T = 4t = 4\sqrt{\frac{2z_0}{g_0}}$ છે.
તેથી,$T \propto \sqrt{z_0}$.
આવર્તકાળનો ગુણોત્તર $\frac{T_A}{T_B} = \sqrt{\frac{2z_0}{z_0}} = \sqrt{2} = 2^{1/2}$ છે.

(A) $r$ ત્રિજ્યા અને $dr$ જાડાઈ ધરાવતા ગોળાકાર કવચ માટે,સ્તરનું વજન સ્તરની આસપાસના દબાણના તફાવત દ્વારા સંતુલિત થાય છે.
$\therefore$ વજન $= \{p - (p + dp)\} 4 \pi r^{2} = -dp \cdot 4 \pi r^{2}$
વધુમાં,વજન $= (dm)g = (\rho \cdot 4 \pi r^{2} dr) \cdot \frac{GM(r)}{r^{2}}$,જ્યાં $M(r) = \rho \cdot \frac{4}{3} \pi r^{3}$ છે.
તેથી,$-dp \cdot 4 \pi r^{2} = \rho \cdot 4 \pi r^{2} dr \cdot \frac{G \rho \cdot \frac{4}{3} \pi r^{3}}{r^{2}}$
$-dp = \frac{4}{3} \pi G \rho^{2} r dr$
$r=0$ થી $R$ સુધી સંકલન કરતા,જ્યાં $p(R)=0$ અને $p(0)=P_{center}$ છે:
$P_{center} = \int_{0}^{R} \frac{4}{3} \pi G \rho^{2} r dr = \frac{2}{3} \pi G \rho^{2} R^{2}$
કારણ કે $\rho = \frac{M}{\frac{4}{3} \pi R^{3}}$,તેથી $\rho^{2} = \frac{M^{2}}{\frac{16}{9} \pi^{2} R^{6}}$ મળે.
દબાણના સમીકરણમાં $\rho^{2}$ ની કિંમત મૂકતા:
$P \propto \frac{M^{2}}{R^{6}} \cdot R^{2} = \frac{M^{2}}{R^{4}}$
આમ,સરેરાશ ગુરુત્વાકર્ષણ દબાણ $P_{av} \propto \frac{1}{R^{4}}$ થાય.

(D) શરૂઆતમાં,પૃથ્વીની સાપેક્ષે અવકાશયાનનો વેગ $\vec{v}_{SE, i} = u \hat{i}$ છે.
પૃથ્વીની સાપેક્ષે ગ્રહનો વેગ $\vec{v}_{PE} = -3u \hat{i}$ છે.
તેથી,ગ્રહની સાપેક્ષે અવકાશયાનનો પ્રારંભિક વેગ $\vec{v}_{SP, i} = \vec{v}_{SE, i} - \vec{v}_{PE} = u \hat{i} - (-3u \hat{i}) = 4u \hat{i}$ થશે.
ગ્રહ ખૂબ જ વિશાળ હોવાથી,અવકાશયાન ગ્રહના સંદર્ભ ફ્રેમમાં સ્થિતિસ્થાપક અથડામણ અનુભવે છે. વેગનું મૂલ્ય સમાન રહે છે,પરંતુ દિશા ઉલટાઈ જાય છે. આમ,ગ્રહની સાપેક્ષે અવકાશયાનનો અંતિમ વેગ $\vec{v}_{SP, f} = -4u \hat{i}$ થશે.
અંતે,પૃથ્વીની સાપેક્ષે અવકાશયાનનો વેગ $\vec{v}_{SE, f} = \vec{v}_{SP, f} + \vec{v}_{PE} = -4u \hat{i} + (-3u \hat{i}) = -7u \hat{i}$ થશે.
પૃથ્વીની સાપેક્ષે અવકાશયાનની ઝડપ $|\vec{v}_{SE, f}| = |-7u| = 7u$ થશે.

(D) તારાની સપાટી પરથી ઉત્સર્જિત થતા વિકિરણની તીવ્રતા તેના પ્રક્ષેપિત ક્ષેત્રફળના પ્રમાણમાં હોય છે.
ધારો કે $I \propto A$,જ્યાં $A$ એ તારાની ડિસ્કનું ક્ષેત્રફળ છે.
જો $I_0$ એ પિતૃ તારાની તીવ્રતા હોય,તો $I_0 = k \pi (100 R)^2 = k \pi R^2 \times 10000$,જ્યાં $k$ એ અચળાંક છે.
જ્યારે એક્ઝોપ્લેનેટ તારાની સામે હોય,ત્યારે અવલોકિત તીવ્રતા લઘુત્તમ $(I_{\min })$ હોય છે. આ એટલા માટે થાય છે કારણ કે એક્ઝોપ્લેનેટ તેના પોતાના આડછેદના ક્ષેત્રફળ $\pi R^2$ જેટલો તારાની ડિસ્કનો ભાગ રોકે છે.
આમ,$I_{\min } = k [\pi (100 R)^2 - \pi R^2]$
$I_{\min } = k \pi R^2 (10000 - 1) = k \pi R^2 \times 9999$
લઘુત્તમ તીવ્રતા અને મૂળ તીવ્રતાનો ગુણોત્તર લેતા:
$\frac{I_{\min }}{I_0} = \frac{k \pi R^2 \times 9999}{k \pi R^2 \times 10000} = \frac{9999}{10000} = 0.9999$
તેથી,$I_{\min } = 0.9999 \,I_0$.

(A) સૂર્યની આસપાસ લંબગોળ કક્ષામાં ભ્રમણ કરતા ગ્રહ માટે,કુલ યાંત્રિક ઊર્જા $E$ એ $E = K + U$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ગ્રહ સૂર્ય સાથે બંધાયેલો હોવાથી,કુલ ઊર્જા $E$ ઋણ હોય છે $(E < 0)$.
ગુરુત્વાકર્ષણ સ્થિતિમાન $V \propto r^{-1}$ માટે વિરિયલ પ્રમેય મુજબ,સરેરાશ ગતિઊર્જા $\langle K \rangle$ અને સરેરાશ સ્થિતિઊર્જા $\langle U \rangle$ વચ્ચેનો સંબંધ $\langle K \rangle = -\frac{1}{2} \langle U \rangle$ છે.
ચોક્કસ રીતે,કક્ષાના કોઈપણ બિંદુએ,સ્થિતિઊર્જા $U = -\frac{GMm}{r}$ છે અને ગતિઊર્જા $K = \frac{GMm}{2r} + \text{કક્ષા પર આધારિત અચળ પદો}$ છે.
સરળ રીતે કહીએ તો,બંધ કક્ષા માટે,કુલ ઊર્જા $E = K + U < 0$,જે સૂચવે છે કે $K + U < 0$,અથવા $K < -U$. કારણ કે $U$ ઋણ છે,તેથી $-U = |U|$.
તેથી,બંધ લંબગોળ કક્ષા માટે $K < |U|$ હંમેશા સાચું છે.

(B) વિધાન $(i)$ સાચું છે: નિષ્ક્રમણ વેગનું સૂત્ર $v_e = \sqrt{\frac{2GM}{R}}$ છે,જે પદાર્થના દળ $m$ પર આધારિત નથી.
વિધાન $(ii)$ સાચું છે: જો ઉપગ્રહની કુલ ઊર્જા ઋણ હોય તો તે પૃથ્વી સાથે બંધાયેલો રહે છે. જો કુલ ઊર્જા ધન (અથવા શૂન્ય) થાય,તો તે પૃથ્વીના ગુરુત્વાકર્ષણ ક્ષેત્રમાંથી મુક્ત થઈ જાય છે.
વિધાન $(iii)$ સાચું છે: ભૂસ્થિર ભ્રમણકક્ષાને પાર્કિંગ ઓર્બિટ કહેવામાં આવે છે કારણ કે આ કક્ષામાં રહેલો ઉપગ્રહ પૃથ્વીની સાપેક્ષમાં સ્થિર દેખાય છે,જાણે કે તે કોઈ ચોક્કસ સ્થાન પર 'પાર્ક' કરેલો હોય.
તેથી,ત્રણેય વિધાનો સાચા છે. સાચો વિકલ્પ $(b)$ છે.

(D) સાચો વિકલ્પ $(d)$ છે.
$1$. જ્યારે કણ પૃથ્વીની બહાર હોય છે (કેન્દ્રથી $r > R$ અંતરે),ત્યારે તેના પર લાગતું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $F = \frac{GMm}{r^2}$ છે,જે $\frac{1}{r^2}$ ના પ્રમાણમાં છે.
$2$. જ્યારે કણ ટનલની અંદર હોય છે (કેન્દ્રથી $r < R$ અંતરે),ત્યારે તેના પર લાગતું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $F = \frac{GMmr}{R^3}$ છે,જે $r$ ના પ્રમાણમાં છે.
$3$. બંને કિસ્સાઓમાં,બળ હંમેશા પૃથ્વીના કેન્દ્ર તરફ લાગે છે. કણ પૃથ્વીની સપાટીથી $R$ ઊંચાઈએથી છોડવામાં આવતો હોવાથી,યાંત્રિક ઉર્જાના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ તે ટનલમાં પડશે,કેન્દ્રમાંથી પસાર થશે અને બીજી બાજુ $R$ ઊંચાઈ સુધી પહોંચશે.
$4$. આ ગતિ પુનરાવર્તિત અને સીમિત હોવાથી તે આવર્ત અને દોલિત છે. જોકે,સમગ્ર માર્ગ દરમિયાન બળ સ્થાનાંતરના પ્રમાણમાં નથી (તે $\propto \frac{1}{r^2}$ થી બદલાઈને $\propto r$ થાય છે),તેથી આ ગતિ સરળ આવર્ત ગતિ $(SHM)$ નથી.
તેથી,વિધાન $(a)$ અને $(b)$ બંને સાચા છે.

(B) ગુરુત્વાકર્ષણ બળ દ્વારા ગ્રહ પર થયેલું કાર્ય કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય મુજબ આપવામાં આવે છે: $W = \Delta K = K_f - K_i$.
પેરિહેલિયન $(P)$ પર,ગ્રહ સૂર્યની સૌથી નજીક હોય છે અને તેની ઝડપ $(v_P)$ મહત્તમ હોય છે.
એફેલિયન $(A)$ પર,ગ્રહ સૂર્યથી સૌથી દૂર હોય છે અને તેની ઝડપ $(v_A)$ ન્યૂનતમ હોય છે.
ગ્રહ પેરિહેલિયનથી એફેલિયન તરફ ગતિ કરે છે,તેથી અંતિમ સ્થિતિ એફેલિયન છે અને પ્રારંભિક સ્થિતિ પેરિહેલિયન છે.
તેથી,$W = \frac{1}{2} m (v_A^2 - v_P^2)$.
ચૂકી $v_A < v_P$ છે,તેથી $v_A^2 - v_P^2 < 0$ થાય.
આમ,ગુરુત્વાકર્ષણ બળ દ્વારા થયેલું કાર્ય ઋણ છે.

(D) પૃથ્વી (દળ $M_e$,ત્રિજ્યા $R_e$) ની સપાટીથી $h$ ઊંચાઈ પર ભ્રમણ કરતા $m_s$ દળના ઉપગ્રહ માટે:
$1$. સ્થિતિ ઊર્જા $(P.E.)$ નું સૂત્ર $P.E. = -\frac{G M_e m_s}{R_e + h}$ છે. જેમ $h$ વધે છે,તેમ છેદ વધે છે,જેથી કિંમત ઓછી ઋણ બને છે,જેનો અર્થ છે કે $P.E.$ વધે છે.
$2$. ગતિ ઊર્જા $(K.E.)$ નું સૂત્ર $K.E. = \frac{G M_e m_s}{2(R_e + h)}$ છે. જેમ $h$ વધે છે,તેમ છેદ વધે છે,તેથી $K.E.$ ઘટે છે.
$3$. કુલ ઊર્જા $(T.E.)$ નું સૂત્ર $T.E. = P.E. + K.E. = -\frac{G M_e m_s}{2(R_e + h)}$ છે. જેમ $h$ વધે છે,તેમ કિંમત ઓછી ઋણ બને છે,જેનો અર્થ છે કે $T.E.$ વધે છે.
તેથી,આપેલા તમામ વિધાનો સાચા છે. સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(B) કોણીય વેગમાનના સંરક્ષણના સિદ્ધાંત મુજબ,પૃથ્વી પર કોઈ બાહ્ય ટોર્ક લાગતું ન હોવાથી,કોણીય વેગમાન $L = I\omega$ અચળ રહે છે.
શરૂઆતમાં,જડત્વની ચાકમાત્રા $I_1 = \frac{2}{5}MR^2$ છે અને કોણીય વેગ $\omega_1 = \frac{2\pi}{T_1}$ છે,જ્યાં $T_1 = 24 \text{ કલાક}$ છે.
અંતે,ત્રિજ્યા $R' = nR$ થાય છે,તેથી નવી જડત્વની ચાકમાત્રા $I_2 = \frac{2}{5}M(nR)^2 = n^2 I_1$ થાય છે.
$I_1 \omega_1 = I_2 \omega_2$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I_1 \times \frac{2\pi}{24} = (n^2 I_1) \times \frac{2\pi}{T_2}$
બંને બાજુથી $I_1$ અને $2\pi$ ને દૂર કરતા:
$\frac{1}{24} = \frac{n^2}{T_2}$
$T_2$ માટે ઉકેલતા:
$T_2 = 24 n^2 \text{ કલાક}$.
આમ,દિવસનો સમયગાળો $24 n^2$ કલાક થશે.

(C) પૃથ્વીના કેન્દ્રથી $x$ અંતરે રહેલા $m$ દળના કણ પર લાગતું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $F = -\frac{G M m x}{R^3}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$F = ma$ હોવાથી,આપણને $a = -\frac{G M}{R^3} x$ મળે છે.
આ સરળ આવર્ત ગતિનું સમીકરણ $(a = -\omega^2 x)$ છે,જ્યાં $\omega^2 = \frac{G M}{R^3}$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $g = \frac{G M}{R^2}$,તેથી $\frac{G M}{R^3} = \frac{g}{R}$ થાય.
આમ,$\omega^2 = \frac{g}{R}$,જેનો અર્થ છે કે $\omega = \sqrt{\frac{g}{R}}$.
આવર્તકાળ $T$ નું સૂત્ર $T = \frac{2 \pi}{\omega}$ છે.
$\omega$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $T = 2 \pi \sqrt{\frac{R}{g}}$ મળે છે.

(A) ન્યૂટનના સાર્વત્રિક ગુરુત્વાકર્ષણના નિયમ મુજબ,સૂર્ય અને ગ્રહ વચ્ચેનું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $F = \frac{GMm}{r^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$1$. વિધાન $A$ સાચું છે કારણ કે $F \propto \frac{1}{r^2}$.
$2$. વિધાન $B$ ખોટું છે કારણ કે બળ એ દળના ગુણાકારના સમપ્રમાણમાં હોય છે $(F \propto Mm)$,વ્યસ્ત પ્રમાણમાં નહીં.
$3$. વિધાન $C$ ખોટું છે કારણ કે કેન્દ્રગામી બળ (ગુરુત્વાકર્ષણ બળ) સૂર્ય તરફની દિશામાં હોય છે,સૂર્યથી દૂર નહીં.
$4$. વિધાન $D$ સાચું છે કારણ કે તે કેપ્લરનો ગ્રહીય ગતિનો ત્રીજો નિયમ દર્શાવે છે,જે મુજબ $T^2 \propto a^3$,જ્યાં $T$ એ આવર્તકાળ છે અને $a$ એ અર્ધ-મુખ્ય ધરી છે.
તેથી,વિધાન $A$ અને $D$ સાચા છે.

(B) કોણીય ઝડપ $\omega$ એ સૂત્ર $\omega = \frac{2\pi}{T}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $T$ એ પરિભ્રમણનો સમયગાળો છે.
આનો અર્થ એ છે કે $\omega \propto \frac{1}{T}$.
પૃથ્વીની આસપાસ ફરતા ચંદ્રનો સમયગાળો $T_{\text{moon}} \approx 27.3 \text{ દિવસ}$ છે.
સૂર્યની આસપાસ ફરતી પૃથ્વીનો સમયગાળો $T_{\text{earth}} \approx 365.25 \text{ દિવસ}$ છે.
જેમ કે $T_{\text{moon}} < T_{\text{earth}}$,તેથી $\omega_{\text{moon}} > \omega_{\text{earth}}$ થાય છે.
આમ,વિધાન $(A)$ અને કારણ $(R)$ બંને સાચા છે,અને કારણ $(R)$ એ ચંદ્રની કોણીય ઝડપ કેમ વધારે છે તેની સાચી સમજૂતી આપે છે.

(A) સૂર્ય ($M$ દળ) ની આસપાસ $a$ ત્રિજ્યાની વર્તુળાકાર કક્ષામાં ફરતા ગ્રહ માટે:
$1$. ગતિઊર્જા $(KE)$: કક્ષીય વેગ $v = \sqrt{\frac{GM}{a}}$ છે. તેથી,$KE = \frac{1}{2}mv^2 = \frac{GMm}{2a}$. આ $(2)$ સાથે મેળ ખાય છે.
$2$. ગુરુત્વાકર્ષણીય સ્થિતિઊર્જા $(PE)$: તંત્રની સ્થિતિઊર્જા $PE = -\frac{GMm}{a}$ છે. આ $(1)$ સાથે મેળ ખાય છે.
$3$. કુલ યાંત્રિક ઊર્જા $(TE)$: $TE = KE + PE = \frac{GMm}{2a} - \frac{GMm}{a} = -\frac{GMm}{2a}$. આ $(4)$ સાથે મેળ ખાય છે.
$4$. ગ્રહની સપાટી પર નિષ્ક્રમણ ઊર્જા: સપાટી પર ગુરુત્વાકર્ષણીય સ્થિતિઊર્જાના મૂલ્ય જેટલી ઊર્જા જરૂરી છે,જે $\frac{GM_p m}{r}$ છે. એકમ દળના પદાર્થ માટે $(m=1)$,આ $\frac{GM_p}{r}$ થાય છે. આ $(3)$ સાથે મેળ ખાય છે.
તેથી,સાચી જોડ $(A) - II, (B) - I, (C) - IV, (D) - III$ છે.

(C) વર્તુળાકાર કક્ષામાં ભ્રમણ કરતા ગ્રહ માટે,કોણીય વેગમાન $L = mvr = m(r\omega)r = mr^2\left(\frac{2\pi}{T}\right)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આથી,$\frac{L}{m} = \frac{2\pi r^2}{T}$,જે સૂચવે છે કે $\frac{T}{r^2} = \frac{2\pi m}{L}$.
ગ્રહ $A$ માટે: $\frac{T_A}{r_1^2} = \frac{2\pi m_1}{L}$.
ગ્રહ $B$ માટે: $\frac{T_B}{r_2^2} = \frac{2\pi m_2}{3L}$.
બંને સમીકરણોનો ભાગાકાર કરતા: $\frac{T_A}{T_B} \cdot \left(\frac{r_2}{r_1}\right)^2 = \frac{m_1}{m_2} \cdot 3 \implies \frac{T_A}{T_B} = 3 \left(\frac{m_1}{m_2}\right) \left(\frac{r_1}{r_2}\right)^2$.
કેપ્લરના ત્રીજા નિયમ મુજબ,$T^2 \propto r^3$,તેથી $\left(\frac{T_A}{T_B}\right)^2 = \left(\frac{r_1}{r_2}\right)^3$,જેનો અર્થ છે કે $\left(\frac{r_1}{r_2}\right)^2 = \left(\frac{T_A}{T_B}\right)^{4/3}$.
આ કિંમતને સમીકરણમાં મૂકતા: $\frac{T_A}{T_B} = 3 \left(\frac{m_1}{m_2}\right) \left(\frac{T_A}{T_B}\right)^{4/3}$.
ગોઠવતા: $\left(\frac{T_A}{T_B}\right)^{-1/3} = 3 \frac{m_1}{m_2} \implies \frac{T_A}{T_B} = \left(3 \frac{m_1}{m_2}\right)^{-3} = \frac{1}{27} \left(\frac{m_2}{m_1}\right)^3$.

(C) વર્તુળાકાર ગતિ કરતા પરીક્ષણ દળ માટે,ગુરુત્વાકર્ષણીય બળ જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ પૂરું પાડે છે: $\frac{G M(r) m}{r^2} = \frac{m v^2}{r}$,જેનું સાદું રૂપ $v = \sqrt{\frac{G M(r)}{r}}$ થાય છે.
કિસ્સો $1$: $r \leq R$
ત્રિજ્યા $r$ ની અંદર સમાવિષ્ટ દળ $M(r) = \rho_0 \cdot \frac{4}{3} \pi r^3$ છે. આને ઝડપના સૂત્રમાં મૂકતા:
$v = \sqrt{\frac{G (\rho_0 \cdot \frac{4}{3} \pi r^3)}{r}} = \sqrt{\frac{4}{3} \pi G \rho_0} \cdot r$. આમ,$v \propto r$.
કિસ્સો $2$: $r > R$
પ્રણાલીનું કુલ દળ $M = \rho_0 \cdot \frac{4}{3} \pi R^3$ છે. $r > R$ માટે સમાવિષ્ટ દળ અચળ $M$ રહે છે. આને ઝડપના સૂત્રમાં મૂકતા:
$v = \sqrt{\frac{G M}{r}}$. આમ,$v \propto \frac{1}{\sqrt{r}}$.
આ પરિણામોની સરખામણી કરતા,આલેખ $r \leq R$ માટે રેખીય વધારો અને $r > R$ માટે $1/\sqrt{r}$ ના પ્રમાણમાં ઘટતો વક્ર દર્શાવે છે,જે વિકલ્પ $C$ ને અનુરૂપ છે.

(C) દ્રવ્યમાન કેન્દ્રની આસપાસ ફરતી બાઈનરી તારા પ્રણાલીમાં,બંને તારાઓનો કોણીય વેગ $\omega$ સમાન હોય છે.
દ્રવ્યમાન કેન્દ્રથી તારા $A$ નું અંતર $r_A$ છે અને તારા $B$ નું અંતર $r_B$ છે.
દ્રવ્યમાન કેન્દ્રની વ્યાખ્યા મુજબ,$M_A r_A = M_B r_B$,જેનો અર્થ છે કે $r_A / r_B = M_B / M_A$.
દ્રવ્યમાન કેન્દ્રની આસપાસ કણનું કોણીય વેગમાન $L = mvr = mr^2\omega$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આમ,તારા $A$ નું કોણીય વેગમાન $L_A = M_A r_A^2 \omega$ અને તારા $B$ માટે $L_B = M_B r_B^2 \omega$ છે.
કોણીય વેગમાનનો ગુણોત્તર $L_A / L_B = (M_A r_A^2) / (M_B r_B^2) = (M_A r_A) r_A / (M_B r_B) r_B$ થાય છે.
કારણ કે $M_A r_A = M_B r_B$,ગુણોત્તર $L_A / L_B = r_A / r_B = M_B / M_A$ માં સરળ બને છે.
આપેલ છે કે $M_A = 2.2 M_S$ અને $M_B = 11 M_S$,તેથી ગુણોત્તર $L_A / L_B = 11 / 2.2 = 5$ છે.

(D) ધારો કે $r$ ત્રિજ્યાના ગોળામાં સમાવિષ્ટ કુલ દળ $M$ છે.
$r$ ત્રિજ્યાની વર્તુળાકાર કક્ષામાં ફરતા $m$ દળના કણ માટે,ગુરુત્વાકર્ષણ બળ જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ પૂરું પાડે છે:
$\frac{GMm}{r^2} = \frac{mv^2}{r}$
ગતિ ઊર્જા $K = \frac{1}{2}mv^2$ હોવાથી,$mv^2 = 2K$ મળે. આ કિંમત બળના સમીકરણમાં મૂકતા:
$\frac{GMm}{r^2} = \frac{2K}{r} \Rightarrow M = \frac{2Kr}{Gm}$
$dr$ જાડાઈના કવચમાં રહેલું દળ $dM$ શોધવા માટે બંને બાજુ $r$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$dM = \frac{2K}{Gm} dr$
વળી,કવચનું દળ $dM = \rho(r) \cdot 4 \pi r^2 dr$ છે. $dM$ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા:
$4 \pi r^2 \rho(r) dr = \frac{2K}{Gm} dr$
ઘનતા $\rho(r)$ માટે ઉકેલતા:
$\rho(r) = \frac{2K}{4 \pi r^2 Gm} = \frac{K}{2 \pi r^2 Gm}$
કણની સંખ્યા ઘનતા $n(r) = \rho(r) / m$ દ્વારા મળે છે:
$n(r) = \frac{K}{2 \pi r^2 m^2 G}$

(A) બંને બિંદુવત દળો એક સખત દળરહિત સળિયા દ્વારા જોડાયેલા હોવાથી,તેમનો પ્રવેગ $a$ મોટા દળ $M$ તરફ સમાન હોવો જોઈએ.
ધારો કે $F_1$ એ $M$ ને કારણે નજીકના દળ $m$ પર લાગતું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ છે,અને $F_2$ એ $M$ ને કારણે દૂરના દળ $m$ પર લાગતું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ છે.
ધારો કે $F$ એ સળિયામાં તણાવ છે. તણાવ શૂન્ય હોવાથી,$F = 0$.
નજીકના દળ $m$ માટે:
$F_1 - F_g = ma \implies \frac{GMm}{(3\ell)^2} - \frac{Gm^2}{\ell^2} = ma \quad (i)$
દૂરના દળ $m$ માટે:
$F_2 + F_g = ma \implies \frac{GMm}{(4\ell)^2} + \frac{Gm^2}{\ell^2} = ma \quad (ii)$
સમીકરણ $(i)$ અને $(ii)$ ને સરખાવતા:
$F_1 - F_g = F_2 + F_g \implies F_1 - F_2 = 2F_g$
$\frac{GMm}{9\ell^2} - \frac{GMm}{16\ell^2} = 2 \left( \frac{Gm^2}{\ell^2} \right)$
$GMm \left( \frac{16 - 9}{144\ell^2} \right) = \frac{2Gm^2}{\ell^2}$
$\frac{7GMm}{144} = 2Gm^2 \implies \frac{7M}{144} = 2m \implies m = \frac{7M}{288}$
$m = k\left(\frac{M}{288}\right)$ સાથે સરખાવતા,આપણને $k = 7$ મળે છે.

(B) પોતાના ગુરુત્વાકર્ષણ હેઠળ સંતુલનમાં રહેલા અચળ ઘનતા $\rho$ ના પ્રવાહી ગોળા માટે,કેન્દ્રથી $r$ અંતરે દબાણ $P(r)$ હાઇડ્રોસ્ટેટિક સંતુલન સમીકરણ દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\frac{dP}{dr} = -\rho g(r)$.
$r$ અંતરે ગુરુત્વાકર્ષણ ક્ષેત્ર $g(r) = \frac{G M(r)}{r^2} = \frac{G (\frac{4}{3}\pi r^3 \rho)}{r^2} = \frac{4}{3}\pi G \rho r$ છે.
આને સંતુલન સમીકરણમાં મૂકતા: $\frac{dP}{dr} = -\frac{4}{3}\pi G \rho^2 r$.
$r$ થી $R$ સુધી સંકલન કરતા (જ્યાં $P(R) = 0$): $\int_{P(r)}^{0} dP = -\int_{r}^{R} \frac{4}{3}\pi G \rho^2 r dr$.
$0 - P(r) = -\frac{4}{3}\pi G \rho^2 [\frac{r^2}{2}]_r^R = -\frac{2}{3}\pi G \rho^2 (R^2 - r^2)$.
આમ,$P(r) = \frac{2}{3}\pi G \rho^2 R^2 (1 - \frac{r^2}{R^2}) = P_c (1 - \frac{r^2}{R^2})$.
ગુણોત્તર તપાસતા:
$(B) \frac{P(3R/4)}{P(2R/3)} = \frac{1 - (3/4)^2}{1 - (2/3)^2} = \frac{1 - 9/16}{1 - 4/9} = \frac{7/16}{5/9} = \frac{63}{80}$. (સાચું)
$(C) \frac{P(3R/5)}{P(2R/5)} = \frac{1 - 9/25}{1 - 4/25} = \frac{16/25}{21/25} = \frac{16}{21}$. (સાચું)
$(D) \frac{P(R/2)}{P(R/3)} = \frac{1 - 1/4}{1 - 1/9} = \frac{3/4}{8/9} = \frac{27}{32} \neq \frac{20}{27}$. (ખોટું)
તેથી,સાચા વિકલ્પો $(B)$ અને $(C)$ છે.

(C) સંપૂર્ણ ગોળાને કારણે $m$ દળ પર લાગતું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ નીચે મુજબ છે:
$F_1 = \frac{GMm}{(2R)^2} = \frac{GMm}{4R^2} \quad ...(1)$
જ્યારે $r = R/3$ ત્રિજ્યાનો ગોળાકાર ભાગ દૂર કરવામાં આવે છે,ત્યારે તેનું દળ $M'$ ગોળાની ઘનતા $\rho$ ને ધ્યાનમાં લઈને ગણવામાં આવે છે:
$M' = \rho \cdot V' = \left( \frac{M}{\frac{4}{3}\pi R^3} \right) \cdot \left( \frac{4}{3}\pi (R/3)^3 \right) = \frac{M}{27}$
દૂર કરેલા ગોળાનું કેન્દ્ર એ મુખ્ય કેન્દ્ર $O$ થી $d = R - R/3 = 2R/3$ અંતરે છે. આ કેન્દ્રથી બિંદુવત દળ $m$ નું અંતર $2R - 2R/3 = 4R/3$ છે.
બાકી રહેલા ભાગ દ્વારા લાગતું બળ $F_2$ એ મૂળ બળમાંથી દૂર કરેલા ભાગ દ્વારા લાગતું બળ બાદ કરવાથી મળે છે:
$F_2 = F_1 - F_{\text{removed}} = \frac{GMm}{4R^2} - \frac{G(M/27)m}{(4R/3)^2}$
$F_2 = \frac{GMm}{4R^2} - \frac{GMm}{27 \cdot (16R^2/9)} = \frac{GMm}{4R^2} - \frac{GMm}{48R^2}$
$F_2 = \frac{GMm}{R^2} \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{48} \right) = \frac{GMm}{R^2} \left( \frac{12-1}{48} \right) = \frac{11}{48} \frac{GMm}{R^2}$
હવે,ગુણોત્તર $F_1 : F_2$ નીચે મુજબ છે:
$\frac{F_1}{F_2} = \frac{GMm / 4R^2}{11GMm / 48R^2} = \frac{1}{4} \cdot \frac{48}{11} = \frac{12}{11}$
આમ,$F_1 : F_2 = 12 : 11$.

(A) ગુરુત્વાકર્ષણનો અચળાંક $G = \frac{Fr^2}{m^2}$. પારિમાણિક સૂત્ર $[G] = \frac{[MLT^{-2}][L^2]}{[M^2]} = [M^{-1} L^3 T^{-2}] \ (IV)$ છે.
$(B)$ ગુરુત્વીય સ્થિતિઊર્જા $U = mgh$. પારિમાણિક સૂત્ર $[U] = [M][LT^{-2}][L] = [ML^2 T^{-2}] \ (III)$ છે.
$(C)$ ગુરુત્વીય સ્થિતિમાન $V = \frac{GM}{r}$. પારિમાણિક સૂત્ર $[V] = \frac{[M^{-1} L^3 T^{-2}][M]}{[L]} = [L^2 T^{-2}] \ (II)$ છે.
$(D)$ ગુરુત્વપ્રવેગ $g$. પારિમાણિક સૂત્ર $[g] = [LT^{-2}] \ (I)$ છે.
આમ,સાચી જોડ $A-IV, B-III, C-II, D-I$ છે.

(A) ગોળાઓ અથડાય તે માટેનો સમય ગુરુત્વાકર્ષણ ક્ષેત્રમાં પદાર્થના ભ્રમણકક્ષાના સમયગાળાના પ્રમાણમાં હોય છે,જે કેપ્લરના ત્રીજા નિયમનું પાલન કરે છે: $T^2 \propto \frac{a^3}{M}$.
અહીં,$a$ એ ત્રિકોણની બાજુની લંબાઈ છે અને $M$ એ ગોળાઓનું દળ છે.
પ્રારંભિક સ્થિતિ: $T_1 = 4 \text{ s}$,$a_1 = a$,અને $M_1 = m$.
બીજી સ્થિતિ માટે: $a_2 = 2a$ અને $M_2 = 2m$.
પ્રમાણસરતા $T \propto \sqrt{\frac{a^3}{M}}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{T_2}{T_1} = \sqrt{\frac{a_2^3}{M_2} \cdot \frac{M_1}{a_1^3}}$
$\frac{T_2}{4} = \sqrt{\frac{(2a)^3}{2m} \cdot \frac{m}{a^3}}$
$\frac{T_2}{4} = \sqrt{\frac{8a^3}{2m} \cdot \frac{m}{a^3}}$
$\frac{T_2}{4} = \sqrt{4} = 2$
$T_2 = 4 \times 2 = 8 \text{ s}$.

(D) પૃથ્વીના કેન્દ્રથી $r$ અંતરે રહેલા $m$ દળના કણ પર લાગતું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $F = -\frac{GMmr}{R^3}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ટનલની દિશામાં,ફક્ત આ બળનો ઘટક જે ટનલના કેન્દ્ર (સંતુલન સ્થિતિ) તરફ નિર્દેશિત છે તે પુનઃસ્થાપક બળ તરીકે કાર્ય કરે છે.
ધારો કે $x$ એ ટનલના કેન્દ્રથી કણનું સ્થાનાંતર છે. પૃથ્વીના કેન્દ્રથી અંતર $r = \sqrt{x^2 + (R/2)^2}$ છે.
ટનલની દિશામાં બળનો ઘટક $F_{restoring} = F \cos \theta$ છે,જ્યાં $\cos \theta = \frac{x}{r}$ છે.
આમ,$F_{restoring} = -\left(\frac{GMmr}{R^3}\right) \left(\frac{x}{r}\right) = -\frac{GMm}{R^3} x$.
ચૂક્યું કે $g = \frac{GM}{R^2}$,તેથી $\frac{GM}{R^3} = \frac{g}{R}$.
તેથી,$F_{restoring} = -\left(\frac{mg}{R}\right) x$.
આને સરળ આવર્ત ગતિના સમીકરણ $F = -m \omega^2 x$ સાથે સરખાવતા,આપણને $\omega^2 = \frac{g}{R}$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $\omega = \sqrt{\frac{g}{R}}$.
આવર્તકાળ $T = \frac{2 \pi}{\omega} = 2 \pi \sqrt{\frac{R}{g}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.

(B) બે પદાર્થો વચ્ચેનું પ્રારંભિક ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $F = \frac{G M^2}{d^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$A$ માંથી $50 \%$ દળ $B$ માં સ્થાનાંતરિત કર્યા પછી,નવા દળ $M_A = M - 0.5 M = 0.5 M = \frac{M}{2}$ અને $M_B = M + 0.5 M = 1.5 M = \frac{3 M}{2}$ થાય છે.
પદાર્થો વચ્ચેનું નવું અંતર $d' = \frac{d}{2}$ છે.
ગુરુત્વાકર્ષણ બળ પદાર્થો વચ્ચેના માધ્યમ પર આધારિત નથી.
તેથી,નવું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $F' = \frac{G M_A M_B}{(d')^2} = \frac{G (M/2) (3M/2)}{(d/2)^2}$ દ્વારા મળે છે.
$F' = \frac{3 G M^2 / 4}{d^2 / 4} = \frac{3 G M^2}{d^2}$.
કારણ કે $F = \frac{G M^2}{d^2}$,તેથી આપણને $F' = 3 F$ મળે છે.

(B) ધારો કે બે દળ $M$ એ $(-L, 0)$ અને $(L, 0)$ સ્થાન પર છે. $m$ દળનો કણ ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ પર છે.
$m$ દળના કણની પ્રારંભિક સ્થિતિ ઉર્જા $U_i$ એ બંને દળોને કારણે લાગતી ગુરુત્વાકર્ષણ સ્થિતિ ઉર્જાનો સરવાળો છે:
$U_i = -\frac{GMm}{L} - \frac{GMm}{L} = -\frac{2GMm}{L}$
પ્રારંભિક ગતિ ઉર્જા $K_i = \frac{1}{2}mv^2$ છે.
ગુરુત્વાકર્ષણ ક્ષેત્રમાંથી બહાર નીકળવા માટે,અનંત અંતરે અંતિમ કુલ ઉર્જા ઓછામાં ઓછી $0$ હોવી જોઈએ.
યાંત્રિક ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ:
$K_i + U_i = K_f + U_f$
$\frac{1}{2}mv^2 - \frac{2GMm}{L} = 0 + 0$
$\frac{1}{2}mv^2 = \frac{2GMm}{L}$
$v^2 = \frac{4GM}{L}$
$v = 2\sqrt{\frac{GM}{L}}$
આમ,વિધાન $(b)$ સાચું છે. કણ ગુરુત્વાકર્ષણ ક્ષેત્રમાં ગતિ કરતું હોવાથી,તેની સ્થિતિ ઉર્જા બદલાય છે,તેથી તેની કુલ યાંત્રિક ઉર્જા સંરક્ષિત રહે છે,તેથી વિધાન $(d)$ પણ સાચું છે.

(D) પૃથ્વીની સપાટીથી $h$ ઊંચાઈ પર ઉપગ્રહને લઈ જવા માટે જરૂરી ઊર્જા એ સ્થિતિ ઊર્જામાં થતો ફેરફાર છે:
$U = -\frac{GMm}{R+h} - (-\frac{GMm}{R}) = GMm [\frac{1}{R} - \frac{1}{R+h}] = \frac{GMmh}{R(R+h)}$
ઉપગ્રહને $h$ ઊંચાઈ પર ભ્રમણકક્ષામાં મૂકવા માટે જરૂરી ઊર્જા એ વર્તુળાકાર ગતિ માટે જરૂરી ગતિ ઊર્જા છે:
$K = \frac{1}{2}mv_0^2 = \frac{1}{2}m(\frac{GM}{R+h}) = \frac{GMm}{2(R+h)}$
ઉપગ્રહને ઊંચાઈ પર લઈ જવા માટે જરૂરી ઊર્જા અને ભ્રમણકક્ષામાં મૂકવા માટે જરૂરી ઊર્જાનો ગુણોત્તર:
$\frac{U}{K} = \frac{GMmh}{R(R+h)} \times \frac{2(R+h)}{GMm} = \frac{2h}{R}$

(C) ધારો કે શિરોબિંદુ $A$ પર $m$ દળ છે. અન્ય બે દળો દ્વારા તેના પર લાગતું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $F_1$ અને $F_2$ છે,જ્યાં $F_1 = F_2 = G \frac{m^2}{L^2}$ છે.
આ બે બળો વચ્ચેનો ખૂણો $60^{\circ}$ છે. પરિણામી બળ $F$ નીચે મુજબ મળે:
$F = \sqrt{F_1^2 + F_2^2 + 2F_1 F_2 \cos 60^{\circ}} = \sqrt{3} F_1 = \sqrt{3} G \frac{m^2}{L^2}$.
ત્રિકોણના કેન્દ્રથી દરેક દળનું અંતર $r = \frac{L}{\sqrt{3}}$ છે.
નિયમિત વર્તુળાકાર ગતિ માટે,ગુરુત્વાકર્ષણ બળ જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ પૂરું પાડે છે:
$mr \omega^2 = F$
$m \left( \frac{L}{\sqrt{3}} \right) \omega^2 = \sqrt{3} G \frac{m^2}{L^2}$
$\omega^2 = 3 G \frac{m}{L^3}$
કારણ કે $\omega = \frac{2\pi}{T}$,તેથી:
$\left( \frac{2\pi}{T} \right)^2 = \frac{3Gm}{L^3}$
$T^2 = \frac{4\pi^2 L^3}{3Gm}$
$T \propto L^{3/2}$.

(D) જ્યારે કેન્દ્રત્યાગી બળ એ ગુરુત્વાકર્ષણ બળ જેટલું થાય ત્યારે પદાર્થ વિષુવવૃત્ત પર વજનહીન બને છે,જે $R \omega^2 = g$ અથવા $\omega^2 = \frac{g}{R}$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે.
પૃથ્વીની પરિભ્રમણ ગતિઊર્જા $K = \frac{1}{2} I \omega^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ઘન ગોળા માટે (પૃથ્વીને ઘન ગોળો માનતા),જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \frac{2}{5} MR^2$ છે.
$I$ અને $\omega^2$ ના મૂલ્યોને ગતિઊર્જાના સૂત્રમાં મૂકતા:
$K = \frac{1}{2} \times (\frac{2}{5} MR^2) \times (\frac{g}{R})$.
સમીકરણનું સાદું રૂપ આપતા:
$K = \frac{1}{2} \times \frac{2}{5} \times M \times R \times g = \frac{1}{5} MgR$.

(B) ધારો કે દળો $L$ બાજુવાળા સમબાજુ ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ $A, B,$ અને $C$ પર છે. ધારો કે $O$ એ ત્રિકોણનું મધ્યકેન્દ્ર છે.
કોઈપણ શિરોબિંદુથી મધ્યકેન્દ્ર $O$ સુધીનું અંતર $R = \frac{L}{\sqrt{3}}$ છે.
$O$ માંથી પસાર થતી અને ત્રિકોણના સમતલને લંબ અક્ષને અનુલક્ષીને તંત્રની જડત્વની ચાકમાત્રા:
$I = 3 \times (m R^2) = 3 \times m \times \left(\frac{L}{\sqrt{3}}\right)^2 = 3 \times m \times \frac{L^2}{3} = m L^2$.
તંત્રને ફરવા માટે,દળો વચ્ચેનું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ પૂરું પાડે છે.
અન્ય બે દળોને કારણે એક દળ પર લાગતું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $F_{net} = 2 \times \left(\frac{G m^2}{L^2}\right) \cos 30^{\circ} = 2 \times \frac{G m^2}{L^2} \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3} G m^2}{L^2}$ છે.
આ બળ કેન્દ્રગામી બળ તરીકે કાર્ય કરે છે: $F_{net} = m \omega^2 R$.
$\frac{\sqrt{3} G m^2}{L^2} = m \omega^2 \left(\frac{L}{\sqrt{3}}\right)$.
$\omega^2 = \frac{\sqrt{3} G m}{L^2} \times \frac{\sqrt{3}}{L} = \frac{3 G m}{L^3}$.
કારણ કે $T = \frac{2 \pi}{\omega}$,તેથી $T^2 = \frac{4 \pi^2}{\omega^2} = \frac{4 \pi^2 L^3}{3 G m}$.
આમ,$T^2 \propto L^3$,જેનો અર્થ છે કે $T \propto L^{3/2}$.

(A) ઘન ગોળાની ત્રિજ્યા $R$ છે અને તેનું દળ $M$ છે. ગોળાની ઘનતા $\rho = \frac{M}{\frac{4}{3} \pi R^3}$ છે.
દરેક ગોળાકાર પોલાણની ત્રિજ્યા $R/2$ છે. દૂર કરાયેલા દરેક ભાગનું દળ $M' = \rho \times \text{પોલાણનું કદ} = \frac{M}{\frac{4}{3} \pi R^3} \times \frac{4}{3} \pi (R/2)^3 = \frac{M}{8}$ છે.
ગોળાનું કેન્દ્ર ઉગમબિંદુ પર છે. ધારો કે ડાબા પોલાણનું કેન્દ્ર $x = -R/2$ પર અને જમણા પોલાણનું કેન્દ્ર $x = R/2$ પર છે. બિંદુવત દળ $m$ એ $x = d$ પર છે.
$m$ પર લાગતું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ એ સંપૂર્ણ ગોળાને કારણે લાગતું બળ માઈનસ બે દૂર કરેલા ગોળાકાર દળોને કારણે લાગતું બળ છે.
$F = \frac{G M m}{d^2} - \frac{G M' m}{(d - R/2)^2} - \frac{G M' m}{(d + R/2)^2}$.
$M' = M/8$ મૂકતા:
$F = \frac{G M m}{d^2} - \frac{G M m}{8(d - R/2)^2} - \frac{G M m}{8(d + R/2)^2}$.
$\frac{G M m}{d^2}$ સામાન્ય કાઢતા:
$F = \frac{G M m}{d^2} \left[ 1 - \frac{1}{8(1 - R/2d)^2} - \frac{1}{8(1 + R/2d)^2} \right]$.

(A) ધારો કે નક્કર ગોળાનું દળ $M$ છે અને કણનું દળ $m$ છે. ગોળાના કેન્દ્રથી $3R$ અંતરે રહેલા કણ પર નક્કર ગોળાને કારણે લાગતું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ:
$F_1 = \frac{G M m}{(3 R)^2} = \frac{G M m}{9 R^2}$
જ્યારે $r = R/2$ ત્રિજ્યાનું ગોળાકાર કાણું પાડવામાં આવે છે,ત્યારે તેનું દળ $M'$ તેના કદના પ્રમાણમાં હોય છે. ઘનતા $\rho$ સમાન હોવાથી,$M' = \rho \cdot \frac{4}{3} \pi (R/2)^3 = \rho \cdot \frac{4}{3} \pi R^3 \cdot \frac{1}{8} = \frac{M}{8}$.
કાણાનું કેન્દ્ર મૂળ ગોળાના કેન્દ્રથી $R/2$ અંતરે છે. કણ મૂળ ગોળાના કેન્દ્રથી $3R$ અંતરે છે,તેથી તે કાણાના કેન્દ્રથી $(3R - R/2) = 2.5R = 5R/2$ અંતરે છે.
કાણાવાળા ગોળા દ્વારા લાગતું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $F_2$ એ નક્કર ગોળાના બળમાંથી દૂર કરેલા ગોળાકાર ભાગ દ્વારા લાગતા બળને બાદ કરવાથી મળે છે:
$F_2 = F_1 - F_{hole} = \frac{G M m}{9 R^2} - \frac{G (M/8) m}{(5R/2)^2}$
$F_2 = \frac{G M m}{R^2} \left[ \frac{1}{9} - \frac{1}{8} \cdot \frac{4}{25} \right] = \frac{G M m}{R^2} \left[ \frac{1}{9} - \frac{1}{50} \right]$
$F_2 = \frac{G M m}{R^2} \left[ \frac{50 - 9}{450} \right] = \frac{G M m}{R^2} \left[ \frac{41}{450} \right]$
હવે,$F_1 / F_2$ નો ગુણોત્તર:
$\frac{F_1}{F_2} = \frac{G M m / 9 R^2}{41 G M m / 450 R^2} = \frac{1}{9} \cdot \frac{450}{41} = \frac{50}{41}$

(B) શરૂઆતમાં,પદાર્થો અનંત અંતરે છે,તેથી તેમની કુલ ઉર્જા $0$ છે. જ્યારે તેઓ $r$ અંતરે હોય,ત્યારે કુલ ઉર્જા ગતિ ઉર્જા અને સ્થિતિ ઉર્જાનો સરવાળો છે: $E = \frac{1}{2}m_1v_1^2 + \frac{1}{2}m_2v_2^2 - \frac{Gm_1m_2}{r} = 0$. સિસ્ટમ અલગ હોવાથી,દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર સ્થિર રહે છે,તેથી $m_1v_1 = m_2v_2$. ઉર્જા સમીકરણમાં $v_2 = \frac{m_1v_1}{m_2}$ મૂકતા,આપણને મળે છે $\frac{1}{2}m_1v_1^2 + \frac{1}{2}m_2(\frac{m_1v_1}{m_2})^2 = \frac{Gm_1m_2}{r}$. સાદું રૂપ આપતા,$\frac{1}{2}m_1v_1^2(1 + \frac{m_1}{m_2}) = \frac{Gm_1m_2}{r}$,જે આપે છે $v_1 = \sqrt{\frac{2Gm_2^2}{r(m_1+m_2)}}$. તેવી જ રીતે,$v_2 = \sqrt{\frac{2Gm_1^2}{r(m_1+m_2)}}$. સાપેક્ષ વેગ $v_{rel} = v_1 + v_2 = \sqrt{\frac{2G}{r(m_1+m_2)}} (m_1 + m_2) = \sqrt{\frac{2G(m_1+m_2)}{r}}$.

(D) પૃથ્વીના કેન્દ્રથી $r$ અંતરે રહેલા $m_s$ દળના ઉપગ્રહ દ્વારા લાગતું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $F = \frac{G M_E m_s}{r^2}$ છે.
પ્રથમ ઉપગ્રહ માટે: દળ $m_1 = m$,ઊંચાઈ $h_1 = R_E$,તેથી અંતર $r_1 = R_E + R_E = 2 R_E$. બળ $F_1 = \frac{G M_E m}{(2 R_E)^2} = \frac{G M_E m}{4 R_E^2}$.
બીજા ઉપગ્રહ માટે: દળ $m_2 = 1.5 m$,ઊંચાઈ $h_2 = 2 R_E$,તેથી અંતર $r_2 = R_E + 2 R_E = 3 R_E$. બળ $F_2 = \frac{G M_E (1.5 m)}{(3 R_E)^2} = \frac{1.5 G M_E m}{9 R_E^2} = \frac{G M_E m}{6 R_E^2}$.
મહત્તમ બળ $F_{\max} = F_1 + F_2 = \frac{G M_E m}{R_E^2} (\frac{1}{4} + \frac{1}{6}) = \frac{G M_E m}{R_E^2} (\frac{3+2}{12}) = \frac{5}{12} \frac{G M_E m}{R_E^2}$.
ન્યૂનતમ બળ $F_{\min} = F_1 - F_2 = \frac{G M_E m}{R_E^2} (\frac{1}{4} - \frac{1}{6}) = \frac{G M_E m}{R_E^2} (\frac{3-2}{12}) = \frac{1}{12} \frac{G M_E m}{R_E^2}$.
ગુણોત્તર $\frac{F_{\min}}{F_{\max}} = \frac{1/12}{5/12} = \frac{1}{5} = 1: 5$.

(B) ગ્રહ $A$ ની સપાટી નજીક પદાર્થનો કક્ષીય વેગ $V_{A} = \sqrt{\frac{GM_{A}}{r_{A}}}$ છે.
ગ્રહ $B$ ની સપાટી પરથી પદાર્થનો નિષ્ક્રમણ વેગ $V_{B} = \sqrt{\frac{2GM_{B}}{r_{B}}}$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,$V_{A} = V_{B}$ છે.
તેથી,$\sqrt{\frac{GM_{A}}{r_{A}}} = \sqrt{\frac{2GM_{B}}{r_{B}}}$.
અહીં દળ સમાન હોવાથી $(M_{A} = M_{B} = M)$,આપણને મળે $\sqrt{\frac{GM}{r_{A}}} = \sqrt{\frac{2GM}{r_{B}}}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$\frac{GM}{r_{A}} = \frac{2GM}{r_{B}}$.
આનું સાદું રૂપ આપતા $\frac{1}{r_{A}} = \frac{2}{r_{B}}$,જેનો અર્થ છે કે $\frac{r_{A}}{r_{B}} = \frac{1}{2}$.

(B) ગ્રહની આસપાસ ફરતા ઉપગ્રહનો પરિભ્રમણ સમય $T = 2\pi \sqrt{\frac{r^3}{GM}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. બંને ઉપગ્રહો એક જ વર્તુળાકાર કક્ષામાં હોવાથી,તેમની કક્ષીય ત્રિજ્યા $r$ સમાન છે,જેનો અર્થ છે કે તેમના પરિભ્રમણ સમય સમાન છે. તેથી,વિધાન $(A)$ સાચું છે.
ઉપગ્રહનો કક્ષીય વેગ $v = \sqrt{\frac{GM}{r}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. આ દર્શાવે છે કે $v \propto \frac{1}{\sqrt{r}}$,એટલે કે કક્ષીય વેગ એ કક્ષાની ત્રિજ્યાના વર્ગમૂળના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં છે. તેથી,વિધાન $(B)$ સાચું છે.
ગ્રહના કેન્દ્રથી $r$ અંતરે આવેલા બિંદુથી નિષ્ક્રમણ વેગ $v_e = \sqrt{\frac{2GM}{r}}$ છે. અહીં $r = R + h$ (જ્યાં $R$ એ ગ્રહની ત્રિજ્યા છે અને $h$ એ ઊંચાઈ છે),તેથી નિષ્ક્રમણ વેગ પ્રક્ષેપણ બિંદુની ઊંચાઈ $h$ પર આધાર રાખે છે. તેથી,વિધાન $(C)$ ખોટું છે.

(C) ધારો કે બે પદાર્થોના પ્રારંભિક દળ $m$ અને $m$ છે,જે $r$ અંતરે રહેલા છે. પ્રારંભિક ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $F_1 = \frac{G m^2}{r^2}$ છે.
પ્રથમ પદાર્થમાંથી $20 \%$ દળ બીજા પદાર્થમાં સ્થાનાંતરિત કર્યા પછી,નવા દળ $m_1 = m - 0.2m = 0.8m$ અને $m_2 = m + 0.2m = 1.2m$ થાય છે.
નવું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $F_2 = \frac{G (0.8m)(1.2m)}{r^2} = \frac{G (0.96m^2)}{r^2} = 0.96 F_1$ થાય છે.
બળમાં થતો ફેરફાર $\Delta F = F_2 - F_1 = 0.96 F_1 - F_1 = -0.04 F_1$ છે.
ટકાવારીમાં ફેરફાર $\frac{\Delta F}{F_1} \times 100 \% = -0.04 \times 100 \% = -4 \%$ છે.
તેથી,ગુરુત્વાકર્ષણ બળમાં $4 \%$ નો ઘટાડો થાય છે.