Mix Examples-Gravitation Questions in Gujarati

(C) ધારો કે મૂળ ગોળા $A$ નું દળ $M$ છે. $m$ દળ ધરાવતા કણ $B$ પર $2R$ અંતરે લાગતું બળ $F = \frac{GMm}{(2R)^2} = \frac{GMm}{4R^2}$ છે.
$r = R/2$ ત્રિજ્યા ધરાવતા કાપેલા ગોળાકાર ભાગનું દળ $M^{\prime} = \rho \cdot \frac{4}{3} \pi (R/2)^3 = \frac{M}{\frac{4}{3} \pi R^3} \cdot \frac{4}{3} \pi \frac{R^3}{8} = \frac{M}{8}$ થાય.
કાપેલા ભાગના કેન્દ્રનું કણ $B$ થી અંતર $d = 2R - R/2 = 3R/2$ છે.
કાપેલા ભાગ દ્વારા $B$ પર લાગતું બળ $F_{removed} = \frac{G M^{\prime} m}{d^2} = \frac{G (M/8) m}{(3R/2)^2} = \frac{GMm}{8 \cdot (9R^2/4)} = \frac{GMm}{18R^2}$ થાય.
કારણ કે $F = \frac{GMm}{4R^2}$,તેથી $\frac{GMm}{R^2} = 4F$. આમ,$F_{removed} = \frac{4F}{18} = \frac{2}{9} F$.
નવું બળ $F^{\prime} = F - F_{removed} = F - \frac{2}{9} F = \frac{7}{9} F$ થાય.

(C) જ્યારે કણો ગુરુત્વાકર્ષણની અસર હેઠળ ગતિ કરે છે,ત્યારે ગુરુત્વાકર્ષણ બળ જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ પૂરું પાડે છે.
$L$ અંતરે રહેલા $M$ દળ ધરાવતા બે પદાર્થો વચ્ચેનું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $F = \frac{G M^2}{L^2}$ છે.
શિરોબિંદુ $A$ પરના કણ પર $B$ અને $C$ પરના કણોને કારણે લાગતું પરિણામી બળ એ $\vec{F}_{AB}$ અને $\vec{F}_{AC}$ બળોનો સદિશ સરવાળો છે.
આ બળો વચ્ચેનો ખૂણો $60^\circ$ હોવાથી,પરિણામી બળનું મૂલ્ય $F_{net} = 2 F \cos(30^\circ) = 2 \left( \frac{G M^2}{L^2} \right) \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3} G M^2}{L^2}$ થાય છે.
કણો $R$ ત્રિજ્યાના વર્તુળમાં ગતિ કરે છે. સમબાજુ ત્રિકોણ માટે,કેન્દ્રથી શિરોબિંદુનું અંતર $R = \frac{L}{\sqrt{3}}$ છે.
પરિણામી બળને કેન્દ્રગામી બળ સાથે સરખાવતા,$\frac{M v^2}{R} = F_{net}$.
કિંમતો મૂકતા,$\frac{M v^2}{L/\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3} G M^2}{L^2}$.
$v$ માટે ઉકેલતા,$v^2 = \frac{\sqrt{3} G M^2}{L^2} \cdot \frac{L}{\sqrt{3} M} = \frac{G M}{L}$.
તેથી,$v = \sqrt{\frac{G M}{L}}$.

(C) ગુરુત્વાકર્ષણ બળ એ સંરક્ષી બળ છે. કોઈપણ સંરક્ષી બળ માટે,સંપૂર્ણ બંધ માર્ગમાં (એક સંપૂર્ણ પરિભ્રમણ) થયેલું કાર્ય હંમેશા શૂન્ય હોય છે.
આમ,વિધાન (iii) સાચું છે.
થયેલું કાર્ય ડોટ પ્રોડક્ટ $W = \int \vec{F} \cdot d\vec{r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કારણ કે $\vec{F} = m\vec{a}$,તેથી $W = \int m\vec{a} \cdot d\vec{r}$.
જો પ્રવેગ સદિશ $\vec{a}$ (જે સૂર્ય તરફ નિર્દેશિત છે) એ સ્થાનાંતર સદિશ $d\vec{r}$ (જે કક્ષાને સ્પર્શક છે) ને લંબ હોય,તો થયેલું કાર્ય શૂન્ય થાય છે.
લંબગોળ કક્ષામાં,એવા ચોક્કસ બિંદુઓ (પેરિહેલિયન અને એફેલિયન પર) હોય છે જ્યાં વેગ ત્રિજ્યા સદિશને લંબ હોય છે,જેનો અર્થ છે કે તે ક્ષણિક બિંદુઓ પર બળ સ્થાનાંતરને લંબ હોય છે.
તેથી,આ ચોક્કસ બિંદુઓ પર થયેલું કાર્ય શૂન્ય છે,જે વિધાન (ii) ને સાચું બનાવે છે.
વિધાન $(i)$ ખોટું છે કારણ કે કાર્ય ચોક્કસ બિંદુઓ પર શૂન્ય છે.
વિધાન (iv) ખોટું છે કારણ કે કક્ષાના કોઈપણ નાના ભાગ માટે કાર્ય શૂન્ય નથી.
તેથી,(ii) અને (iii) સાચા છે.

(C) પ્રકૃતિમાં રહેલા ચાર મૂળભૂત બળોના ગુણધર્મો નીચેના કોષ્ટકમાં આપેલા છે:
| બળ | આશરે સાપેક્ષ શક્તિ | વિસ્તાર | આકર્ષણ/અપાકર્ષણ |
| :--- | :--- | :--- | :--- |
| ગુરુત્વાકર્ષણ | $10^{-38}$ | અનંત | માત્ર આકર્ષણ |
| વિદ્યુતચુંબકીય | $10^{-2}$ | અનંત | આકર્ષણ અને અપાકર્ષણ |
| નબળું ન્યુક્લિયર | $10^{-13}$ | $ < 10^{-16} \,m$ | આકર્ષણ અને અપાકર્ષણ |
| પ્રબળ ન્યુક્લિયર | $1$ | $ < 10^{-15} \,m$ | આકર્ષણ અને અપાકર્ષણ |
કોષ્ટક પરથી,આપણે નીચે મુજબ અવલોકન કરી શકીએ છીએ:
$1$. ગુરુત્વાકર્ષણ અને વિદ્યુતચુંબકીય બળો અનંત વિસ્તાર ધરાવે છે.
$2$. નબળા ન્યુક્લિયર બળનો વિસ્તાર ($ < 10^{-16} \,m$) એ પ્રબળ ન્યુક્લિયર બળ ($ < 10^{-15} \,m$) ના વિસ્તાર કરતા,તેમજ ગુરુત્વાકર્ષણ અને વિદ્યુતચુંબકીય બળોના અનંત વિસ્તાર કરતા નાનો છે.
તેથી,વિકલ્પ $(c)$ સાચો છે.

(C) આપેલ છે: સૂર્ય અને પૃથ્વી વચ્ચેનું અંતર,$r = 1.6 \times 10^{11} \,m$. પૃથ્વીની ત્રિજ્યા,$R_e = 6.4 \times 10^6 \,m$. પૃથ્વીનું દળ,$M_e = 6.0 \times 10^{24} \,kg$.
સૂર્યની આસપાસ પૃથ્વીનું કોણીય વેગમાન $(L_1)$: $L_1 = M_e v r = M_e (\frac{2 \pi r}{T_1}) r = \frac{2 \pi M_e r^2}{T_1}$.
અહીં,$T_1 = 365 \times 24 \times 3600 \,s \approx 3.15 \times 10^7 \,s$.
$L_1 = \frac{2 \times 3.14 \times 6.0 \times 10^{24} \times (1.6 \times 10^{11})^2}{3.15 \times 10^7} \approx 3.06 \times 10^{40} \,kg \cdot m^2/s$.
પોતાની ધરી પર પૃથ્વીનું કોણીય વેગમાન $(L_2)$: $L_2 = I \omega = (\frac{2}{5} M_e R_e^2) (\frac{2 \pi}{T_2})$.
અહીં,$T_2 = 24 \times 3600 \,s = 8.64 \times 10^4 \,s$.
$L_2 = \frac{2}{5} \times 6.0 \times 10^{24} \times (6.4 \times 10^6)^2 \times \frac{2 \times 3.14}{8.64 \times 10^4} \approx 7.15 \times 10^{33} \,kg \cdot m^2/s$.
ગુણોત્તર $\frac{L_1}{L_2} = \frac{3.06 \times 10^{40}}{7.15 \times 10^{33}} \approx 4.28 \times 10^6 \approx 4.3 \times 10^6$.

(B) પૃથ્વીની કુલ ગતિઊર્જા એ તેની પોતાની ધરી પરની ચાકગતિઊર્જા અને સૂર્યની આસપાસની ભ્રમણકક્ષાને કારણે તેની સ્થાનાંતરિત ગતિઊર્જાનો સરવાળો છે.
ચાકગતિઊર્જા $K_{rot} = \frac{1}{2} I \omega_0^2$,જ્યાં નક્કર ગોળા માટે $I = \frac{2}{5} M R^2$ છે.
તેથી,$K_{rot} = \frac{1}{2} \times \frac{2}{5} M R^2 \omega_0^2 = \frac{1}{5} M R^2 \omega_0^2$.
સ્થાનાંતરિત ગતિઊર્જા $K_{trans} = \frac{1}{2} M v^2$,જ્યાં $v = D \omega$ છે.
તેથી,$K_{trans} = \frac{1}{2} M (D \omega)^2 = \frac{1}{2} M D^2 \omega^2$.
કુલ ગતિઊર્જા $K_{total} = K_{rot} + K_{trans} = \frac{1}{5} M R^2 \omega_0^2 + \frac{1}{2} M D^2 \omega^2$.
$\frac{M R^2 \omega_0^2}{5}$ સામાન્ય લેતા,આપણને મળે છે $K_{total} = \frac{M R^2 \omega_0^2}{5} \left[ 1 + \frac{5}{2} \frac{M D^2 \omega^2}{M R^2 \omega_0^2} \right] = \frac{M R^2 \omega_0^2}{5} \left[ 1 + \frac{5}{2} \left( \frac{D \omega}{R \omega_0} \right)^2 \right]$.