पृथ्वी की सतह से ऊँचाई के कारण $g$ में होने वाले परिवर्तन के लिए समीकरण व्युत्पन्न कीजिए।

(N/A) चित्र में दिखाए अनुसार पृथ्वी की सतह से $h$ ऊँचाई पर स्थित $m$ द्रव्यमान के एक बिंदु पिंड पर विचार करें। यह पिंड पृथ्वी के केंद्र से $r = R_{E} + h$ की दूरी पर बिंदु $P$ पर स्थित है।
पिंड पर लगने वाले गुरुत्वाकर्षण बल का परिमाण है:
$F(h) = \frac{GM_{E}m}{(R_{E} + h)^{2}}$
चूँकि $F = mg(h)$,ऊँचाई $h$ पर गुरुत्वीय त्वरण है:
$g(h) = \frac{F(h)}{m} = \frac{GM_{E}}{(R_{E} + h)^{2}} \quad ......(1)$
पृथ्वी की सतह पर गुरुत्वीय त्वरण $(h = 0)$:
$g = \frac{GM_{E}}{R_{E}^{2}} \quad ......(2)$
समीकरण $(1)$ और $(2)$ का अनुपात लेने पर:
$\frac{g(h)}{g} = \frac{GM_{E}}{(R_{E} + h)^{2}} \times \frac{R_{E}^{2}}{GM_{E}} = \frac{R_{E}^{2}}{(R_{E} + h)^{2}}$
$\frac{g(h)}{g} = \frac{R_{E}^{2}}{R_{E}^{2}(1 + \frac{h}{R_{E}})^{2}} = \left(1 + \frac{h}{R_{E}}\right)^{-2}$
$g(h) = g \left(1 + \frac{h}{R_{E}}\right)^{-2} \quad ......(3)$
कम ऊँचाई $(h \ll R_{E})$ के लिए,हम द्विपद विस्तार $(1 + x)^{n} \approx 1 + nx$ का उपयोग कर सकते हैं:
$g(h) \approx g \left(1 - \frac{2h}{R_{E}}\right) \quad ......(4)$
समीकरण $(3)$ किसी भी ऊँचाई के लिए मान्य है,जबकि समीकरण $(4)$ एक सन्निकटन है जो केवल $h \ll R_{E}$ होने पर ही मान्य है।