Viscosity and Stoke's Law and Terminal Velocity Questions in Hindi

(D) श्यानता गुणांक $\eta$ को सूत्र $F = \eta A \frac{dv}{dx}$ द्वारा परिभाषित किया जाता है,जहाँ $F$ बल है,$A$ क्षेत्रफल है,और $\frac{dv}{dx}$ वेग प्रवणता है।
$\eta$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें प्राप्त होता है $\eta = \frac{F}{A (dv/dx)}$।
बल $F$ का विमीय सूत्र $[MLT^{-2}]$ है,क्षेत्रफल $A$ का $[L^2]$ है,और वेग प्रवणता $dv/dx$ का $[T^{-1}]$ है।
इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर: $[\eta] = \frac{[MLT^{-2}]}{[L^2][T^{-1}]} = [ML^{-1}T^{-1}]$।
$S.I.$ प्रणाली में,द्रव्यमान के लिए $kg$,लंबाई के लिए $m$,और समय के लिए $s$ मात्रक का उपयोग किया जाता है।
अतः,श्यानता गुणांक का मात्रक $kg \cdot m^{-1} \cdot s^{-1}$ या $kg/(m \cdot s)$ है।

(A) श्यान माध्यम में गिरते हुए गोले के लिए गति का समीकरण $m \frac{dv}{dt} = mg - 6\pi \eta rv$ है।
टर्मिनल वेग $v_t$ पर त्वरण शून्य होता है,इसलिए $mg = 6\pi \eta rv_t$।
इसे प्रतिस्थापित करने पर,हमें $m \frac{dv}{dt} = 6\pi \eta r (v_t - v)$ प्राप्त होता है।
पुनर्व्यवस्थित करने पर,$\frac{dv}{v_t - v} = \frac{6\pi \eta r}{m} dt$ मिलता है।
$v=0$ से $v=0.63v_t$ तक समाकलन करने पर,समय नियतांक $\tau = \frac{m}{6\pi \eta r}$ प्राप्त होता है।
विमाओं की जाँच करने पर: $[\tau] = [T]$।
$\frac{m}{6\pi \eta r}$ की विमा $= \frac{[M]}{[ML^{-1}T^{-1}][L]} = \frac{[M]}{[MT^{-1}]} = [T]$।
अतः,विकल्प $(a)$ विमीय रूप से सही है।

(B) स्टोक्स के नियम के अनुसार,$\eta$ श्यानता वाले द्रव में $v$ वेग से गति करने वाली $r$ त्रिज्या की गोलाकार वस्तु पर कार्य करने वाला श्यान बल $F$ निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$F = 6\,\pi \eta \,rv$
इस व्यंजक से यह स्पष्ट है कि बल $F$,त्रिज्या $r$ और वेग $v$ दोनों के सीधे समानुपाती है।
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(B) पहले $100 \; m$ के दौरान,गोला विरामावस्था से शुरू होता है और इसका वेग लगातार बढ़ता जाता है जब तक कि यह $100 \; m$ के निशान पर टर्मिनल वेग $(v_T)$ प्राप्त नहीं कर लेता।
चूंकि हवा का घर्षण (श्यान बल) गोले के वेग के समानुपाती होता है,इसलिए शुरुआत में बल कम होता है और जैसे-जैसे वेग बढ़ता है,यह बढ़ता जाता है।
किया गया कार्य दूरी पर बल का समाकलन है $(W = \int F \cdot dx)$।
चूंकि पहले $100 \; m$ के दौरान औसत वेग बाद के $100 \; m$ (जहाँ वेग $v_T$ पर स्थिर रहता है) की तुलना में कम होता है,इसलिए पहले $100 \; m$ में हवा के घर्षण के विरुद्ध किया गया कार्य दूसरे $100 \; m$ में किए गए कार्य से कम होता है।

(C) माना प्रत्येक छोटी बूंद की त्रिज्या $r$ है और टर्मिनल वेग $v_1 = 5 \text{ cm/s}$ है।
जब दो बूंदें मिलकर $R$ त्रिज्या की एक बड़ी बूंद बनाती हैं,तो आयतन संरक्षित रहता है:
$\frac{4}{3}\pi R^3 = 2 \times \frac{4}{3}\pi r^3 \Rightarrow R^3 = 2r^3 \Rightarrow R = 2^{1/3}r$.
टर्मिनल वेग $v$ का सूत्र $v = \frac{2}{9} \frac{r^2(\rho - \sigma)g}{\eta}$ होता है,जिसका अर्थ है $v \propto r^2$.
अतः,नया टर्मिनल वेग $v_2$ इस प्रकार होगा:
$\frac{v_2}{v_1} = \left(\frac{R}{r}\right)^2 = (2^{1/3})^2 = 2^{2/3} = (2^2)^{1/3} = 4^{1/3}$.
इस प्रकार,$v_2 = v_1 \times 4^{1/3} = 5 \times 4^{1/3} \text{ cm/s}$.

(C) जब गेंद पानी की सतह से टकराती है तो उसका वेग $v = \sqrt{2gh}$ होता है ... $(i)$
श्यान द्रव के अंदर गेंद का टर्मिनल वेग $v = \frac{2}{9}r^2 g \frac{(\rho - \sigma)}{\eta}$ द्वारा दिया जाता है। पानी का घनत्व $\sigma = 1$ मानने पर,हमें प्राप्त होता है $v = \frac{2}{9}r^2 g \frac{(\rho - 1)}{\eta}$ ... (ii)
चूंकि पानी में प्रवेश करने पर वेग नहीं बदलता है,इसलिए हम $(i)$ और (ii) की तुलना करते हैं:
$\sqrt{2gh} = \frac{2}{9} \frac{r^2 g}{\eta} (\rho - 1)$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$2gh = \left( \frac{2}{9} \right)^2 \frac{r^4 g^2}{\eta^2} (\rho - 1)^2$
$h$ के लिए हल करने पर:
$h = \frac{1}{2g} \cdot \frac{4}{81} \cdot \frac{r^4 g^2}{\eta^2} (\rho - 1)^2$
$h = \frac{2}{81} r^4 \left( \frac{\rho - 1}{\eta} \right)^2 g$

(A) हिलाने के बाद कोई तरल कितनी जल्दी स्थिर होता है,यह उसकी श्यानता (viscosity) पर निर्भर करता है। श्यानता तरल के प्रवाह के प्रतिरोध का माप है।
दिए गए तरल पदार्थों में,ग्लिसरीन का श्यानता गुणांक सबसे अधिक होता है।
चूंकि ग्लिसरीन पानी और केरोसिन की तुलना में अधिक श्यान है,इसलिए इसकी परतों के बीच आंतरिक घर्षण बल (श्यान खिंचाव) बहुत अधिक होता है।
ये मजबूत श्यान बल तरल की परतों की सापेक्ष गति का अधिक प्रभावी ढंग से विरोध करते हैं,जिससे तरल की गतिज ऊर्जा तेजी से समाप्त हो जाती है।
इसलिए,ग्लिसरीन पानी और केरोसिन की तुलना में पहले स्थिर हो जाता है।

(D) जब पानी की एक छोटी बूंद हवा में गिरती है,तो वह गुरुत्वाकर्षण के अलावा श्यान बल $F_v = 6\pi \eta r v$ और उत्प्लावन बल का अनुभव करती है।
जैसे-जैसे वेग $v$ बढ़ता है,श्यान बल भी बढ़ता है।
अंततः,जब बूंद का भार उत्प्लावन बल और श्यान बल के योग द्वारा संतुलित हो जाता है,तो कुल बल शून्य हो जाता है।
इस बिंदु पर,बूंद एक स्थिर वेग प्राप्त कर लेती है जिसे टर्मिनल वेग कहा जाता है,जो $v_t = \frac{2r^2(\rho - \sigma)g}{9\eta}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि यह टर्मिनल वेग केवल तरल और बूंद के गुणों (त्रिज्या,घनत्व,श्यानता) पर निर्भर करता है,इसलिए यह उस ऊँचाई $h$ से स्वतंत्र है जहाँ से बूंद गिरती है,बशर्ते ऊँचाई टर्मिनल वेग तक पहुँचने के लिए पर्याप्त हो।

(C) जब एक श्यान द्रव एक बेलनाकार नली से धारा रेखीय (लैमिनर प्रवाह) तरीके से बहता है,तो द्रव की परतों का वेग नली के केंद्र में अधिकतम होता है और 'नो-स्लिप' स्थिति के कारण दीवारों पर शून्य होता है।
इसके परिणामस्वरूप एक परवलयिक (पैराबोलिक) वेग प्रोफ़ाइल प्राप्त होती है,जहाँ अक्ष से $r$ दूरी पर वेग $v = v_{max} (1 - r^2/R^2)$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $R$ नली की त्रिज्या है।
आरेख $C$ इस परवलयिक वितरण का सही प्रतिनिधित्व करता है,जो केंद्र में उच्चतम वेग और सीमाओं पर शून्य वेग को दर्शाता है।

(C) गिरते हुए पिंड द्वारा अनुभव किया जाने वाला वायु प्रतिरोध उसके आकार पर निर्भर करता है। एक सुव्यवस्थित (streamlined) पिंड (जैसे सिगार के आकार की वस्तु) न्यूनतम वायु प्रतिरोध का अनुभव करता है क्योंकि यह हवा को अपने चारों ओर सुचारू रूप से बहने देता है,जिससे अशांति (turbulence) और दबाव खिंचाव (pressure drag) कम हो जाता है।
इसके विपरीत,एक सपाट वस्तु (जैसे डिस्क) अधिकतम वायु प्रतिरोध का अनुभव करती है क्योंकि यह अपनी सतह पर एक बड़ा वेक (wake) और महत्वपूर्ण दबाव अंतर पैदा करती है।
इसलिए,वायु प्रतिरोध का क्रम है: $R_3$ (सिगार के आकार का) $< R_2$ (गेंद) $< R_1$ (डिस्क)।
अतः,सही संबंध $R_3 < R_2 < R_1$ है।

(A) धातु की गेंद पर कार्य करने वाले बल:
$1$. भार $W = V\rho g = \frac{4}{3}\pi r^3 \rho g$ (नीचे की ओर)
$2$. उत्प्लावन बल $F_B = V\sigma g = \frac{4}{3}\pi r^3 \sigma g$ (ऊपर की ओर)
$3$. श्यान बल $F_v = 6\pi \eta r v$ (ऊपर की ओर)
न्यूटन के दूसरे नियम के अनुसार,$F_{net} = ma = V\rho a$.
$V\rho g - V\sigma g - 6\pi \eta r v = V\rho a$.
दिया गया है कि त्वरण $a = g/2$ है,इसलिए:
$V\rho g - V\sigma g - 6\pi \eta r v = V\rho (g/2)$.
$V\rho g/2 - V\sigma g = 6\pi \eta r v$.
$V = \frac{4}{3}\pi r^3$ रखने पर:
$\frac{4}{3}\pi r^3 g (\frac{\rho}{2} - \sigma) = 6\pi \eta r v$.
$\frac{2}{3}\pi r^3 g (\rho - 2\sigma) = 6\pi \eta r v$.
$v = \frac{r^2 g}{9\eta}(\rho - 2\sigma)$.
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(A) जब सीसे का छर्रा ग्लिसरीन जैसे श्यान द्रव में गिरता है, तो उस पर तीन बल कार्य करते हैं: गुरुत्वाकर्षण $(mg)$ नीचे की ओर, और उत्प्लावन बल $(F_B)$ तथा श्यान बल $(F_v = 6\pi \eta rv)$ ऊपर की ओर। परिणामी बल $F_{net} = mg - F_B - 6\pi \eta rv$ है। प्रारंभ में, वेग $v$ शून्य होता है, इसलिए श्यान बल शून्य होता है और त्वरण अधिकतम होता है। जैसे-जैसे वेग बढ़ता है, श्यान बल बढ़ता है, जिससे त्वरण कम हो जाता है। अंततः, जब श्यान बल प्रभावी भार को संतुलित कर लेता है, तो परिणामी बल शून्य हो जाता है और छर्रा एक स्थिर टर्मिनल वेग $(v_t)$ प्राप्त कर लेता है। वेग-दूरी ग्राफ मूल बिंदु से शुरू होता है, घटती दर से बढ़ता है और टर्मिनल वेग के मान के करीब पहुंचता है। इस व्यवहार को ग्राफ $(a)$ द्वारा सही ढंग से दर्शाया गया है।

(B) जब एक छोटी गोलाकार गेंद को श्यान द्रव में गिराया जाता है,तो यह शुरू में गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरित होती है।
जैसे-जैसे इसका वेग बढ़ता है,श्यान कर्षण बल (जो वेग के समानुपाती होता है) भी बढ़ता है।
स्टोक्स के नियम के अनुसार,गेंद पर कार्य करने वाला कुल बल $F_{net} = mg - F_v - F_b$ है,जहाँ $mg$ भार है,$F_v$ श्यान कर्षण है,और $F_b$ उत्प्लावन बल है।
जैसे-जैसे वेग बढ़ता है,श्यान कर्षण $F_v$ तब तक बढ़ता है जब तक कि कुल बल शून्य न हो जाए $(F_{net} = 0)$।
इस बिंदु पर,गेंद एक स्थिर वेग प्राप्त कर लेती है जिसे टर्मिनल वेग कहा जाता है।
वेग-समय ग्राफ में वेग में प्रारंभिक वृद्धि और उसके बाद एक स्थिर मान की ओर क्रमिक दृष्टिकोण दिखाना चाहिए।
वक्र $B$ इस व्यवहार का प्रतिनिधित्व करता है,जहाँ जैसे-जैसे वेग टर्मिनल वेग के करीब पहुंचता है,ढलान कम हो जाती है।

(D) जब एक छोटा गोलाकार पिंड किसी श्यान द्रव में गिरता है, तो उस पर तीन बल कार्य करते हैं: नीचे की ओर गुरुत्वाकर्षण $(mg)$, ऊपर की ओर उत्प्लावन बल $(F_B)$, और ऊपर की ओर श्यान खिंचाव बल $(F_v = 6\pi\eta rv)$।
प्रारंभ में, वेग $v$ शून्य होता है, इसलिए श्यान खिंचाव बल शून्य होता है। परिणामी बल नीचे की ओर होता है, जिससे पिंड त्वरित होता है।
जैसे-जैसे वेग $v$ बढ़ता है, श्यान खिंचाव बल $F_v$ बढ़ता है। परिणामी बल $(mg - F_B - F_v)$ घटता है, इसलिए त्वरण भी घटता है।
अंततः, श्यान खिंचाव बल इतना अधिक हो जाता है कि परिणामी बल शून्य हो जाता है $(mg - F_B - F_v = 0)$। इस बिंदु पर, पिंड का त्वरण शून्य हो जाता है और वह टर्मिनल वेग नामक एक स्थिर वेग के साथ गति करता है।
यह व्यवहार दर्शाने वाला ग्राफ, जिसमें वेग शून्य से शुरू होता है और घटती दर से बढ़ता है जब तक कि वह स्थिर न हो जाए, विकल्प $D$ में दिखाया गया है।

(B) मिलिकन के तेल की बूंद प्रयोग में,इलेक्ट्रॉन के आवेश को आवेशित तेल की बूंद पर कार्य करने वाले बलों को संतुलित करके निर्धारित किया जाता है।
जब तेल की बूंद हवा में गिरती है,तो वह श्यानता (viscous) के कारण एक अवरोधक बल का अनुभव करती है।
$Stoke's$ के नियम के अनुसार,$\eta$ श्यानता वाले तरल में $v$ वेग से गति करने वाली $r$ त्रिज्या की गोलाकार वस्तु पर कार्य करने वाला श्यान बल $F = 6\pi\eta rv$ द्वारा दिया जाता है।
यह नियम तेल की बूंद की त्रिज्या और द्रव्यमान की गणना करने के लिए आवश्यक है,जो बूंद पर आवेश $q$ के निर्धारण की अनुमति देता है।
इसलिए,सही विकल्प $B$ है।

(A) माना $mg$ बूंद का भार है और $F_v = 6\pi \eta rv$ श्यानता बल (viscous drag force) है।
$1$. जब बूंद विद्युत क्षेत्र की अनुपस्थिति में $V$ टर्मिनल वेग के साथ नीचे गिरती है, तो बल संतुलित होते हैं:
$mg = 6\pi \eta rV$ --- $(i)$
$2$. जब ऊपर की दिशा में विद्युत क्षेत्र $E$ लगाया जाता है, तो बूंद $2V$ टर्मिनल वेग के साथ ऊपर की ओर गति करती है। विद्युत बल $QE$ ऊपर की ओर कार्य करता है, जबकि गुरुत्वाकर्षण $mg$ और श्यानता बल $6\pi \eta r(2V)$ नीचे की ओर कार्य करते हैं:
$QE = mg + 6\pi \eta r(2V)$
समीकरण $(i)$ से $mg = 6\pi \eta rV$ रखने पर:
$QE = 6\pi \eta rV + 12\pi \eta rV = 18\pi \eta rV$ --- $(ii)$
$3$. जब विद्युत क्षेत्र को घटाकर $E/2$ कर दिया जाता है, तो माना नया टर्मिनल वेग $V'$ है। चूंकि $QE/2 = (18\pi \eta rV)/2 = 9\pi \eta rV$, इसलिए विद्युत बल अब $9\pi \eta rV$ है।
यदि बूंद ऊपर की ओर गति करती है, तो बल का संतुलन इस प्रकार है:
$QE/2 = mg + 6\pi \eta rV'$
$9\pi \eta rV = 6\pi \eta rV + 6\pi \eta rV'$
$3\pi \eta rV = 6\pi \eta rV'$
$V' = V/2$
\text{अतः}, \text{बूंद } $V/2$ टर्मिनल वेग के साथ ऊपर की ओर गति करेगी.

(B) श्यान द्रव में गिरते हुए गोले का सीमांत वेग $v$ निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$v = \frac{2r^2(\rho - \rho_0)g}{9\eta}$
जहाँ $\rho$ गोले का घनत्व है,$\rho_0$ द्रव का घनत्व है,और $\eta$ श्यानता गुणांक है।
इससे,हम देख सकते हैं कि $v \propto \frac{(\rho - \rho_0)}{\eta}$।
मान लीजिए $v_1$ और $\eta_w$ पानी में सीमांत वेग और श्यानता हैं,और $v_2$ और $\eta_g$ ग्लिसरीन में सीमांत वेग और श्यानता हैं।
$\frac{v_2}{v_1} = \frac{(\rho - \rho_g)}{\eta_g} \times \frac{\eta_w}{(\rho - \rho_w)}$
दिया गया है: $\rho = 7.8 \; g \cdot cm^{-3}$,$\rho_w = 1.0 \; g \cdot cm^{-3}$,$\rho_g = 1.2 \; g \cdot cm^{-3}$,$v_1 = 10 \; cm \cdot s^{-1}$,$\eta_w = 8.5 \times 10^{-4} \; Pa \cdot s$,$\eta_g = 13.2 \; Pa \cdot s$।
$\frac{v_2}{10} = \frac{(7.8 - 1.2)}{13.2} \times \frac{8.5 \times 10^{-4}}{(7.8 - 1.0)}$
$\frac{v_2}{10} = \frac{6.6}{13.2} \times \frac{8.5 \times 10^{-4}}{6.8} = 0.5 \times 1.25 \times 10^{-4} = 0.625 \times 10^{-4}$
$v_2 = 10 \times 0.625 \times 10^{-4} = 6.25 \times 10^{-4} \; cm \cdot s^{-1}$।

(C) माना प्रत्येक छोटी बूंद की त्रिज्या $r$ है और टर्मिनल वेग $v_1 = 5 \, cm/s$ है।
जब दो बूंदें मिलती हैं,तो आयतन संरक्षित रहता है: $\frac{4}{3}\pi R^3 = 2 \times \frac{4}{3}\pi r^3$,जहाँ $R$ नई बूंद की त्रिज्या है।
अतः,$R^3 = 2r^3$,जिससे $R = 2^{1/3}r$ प्राप्त होता है।
स्टोक्स के नियम के अनुसार बूंद का टर्मिनल वेग $v = \frac{2}{9} \frac{r^2(\rho - \sigma)g}{\eta}$ होता है,जिसका अर्थ है $v \propto r^2$.
इसलिए,टर्मिनल वेग का अनुपात $\frac{v_2}{v_1} = \left(\frac{R}{r}\right)^2$ होगा।
$R = 2^{1/3}r$ रखने पर,हमें $\frac{v_2}{v_1} = (2^{1/3})^2 = 2^{2/3} = (4)^{1/3}$ प्राप्त होता है।
अतः,$v_2 = v_1 \times (4)^{1/3} = 5 \times (4)^{1/3} \, cm/s$.

(C) जब गोले को $h$ ऊँचाई से गिराया जाता है,तो पानी में प्रवेश करने से ठीक पहले इसका वेग $v$ गति के समीकरण द्वारा दिया जाता है: $v = \sqrt{2gh}$ $(i)$
$r$ त्रिज्या और $\rho$ घनत्व वाले गोले का $\sigma$ घनत्व और $\eta$ श्यानता वाले द्रव में टर्मिनल वेग $v_t$ स्टोक्स के नियम द्वारा दिया जाता है: $v_t = \frac{2}{9}r^2 g \frac{(\rho - \sigma)}{\eta}$। पानी का घनत्व $\sigma = 1$ मानते हुए,हमें मिलता है: $v = \frac{2}{9}r^2 g \frac{(\rho - 1)}{\eta}$ (ii)
समीकरण $(i)$ और (ii) की तुलना करने पर: $\sqrt{2gh} = \frac{2}{9}r^2 g \frac{(\rho - 1)}{\eta}$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $2gh = \left( \frac{2}{9} \right)^2 r^4 g^2 \frac{(\rho - 1)^2}{\eta^2}$
$2gh = \frac{4}{81} r^4 g^2 \frac{(\rho - 1)^2}{\eta^2}$
$h = \frac{2}{81} r^4 g \left( \frac{\rho - 1}{\eta} \right)^2$

(D) श्यान ड्रैग बल स्टोक्स के नियम द्वारा दिया जाता है: $F = 6\pi \eta rv$,जहाँ $v$ सीमांत वेग है।
ऊष्मा उत्पादन की दर श्यान बल द्वारा व्यय की गई शक्ति के बराबर होती है:
$P = F \cdot v = (6\pi \eta rv) \cdot v = 6\pi \eta r v^2$.
श्यान द्रव में गिरते हुए गोले का सीमांत वेग $v$ इस प्रकार है:
$v = \frac{2r^2(\rho - \sigma)g}{9\eta}$,जिसका अर्थ है $v \propto r^2$.
शक्ति समीकरण में $v \propto r^2$ प्रतिस्थापित करने पर:
$P \propto r \cdot (r^2)^2 = r \cdot r^4 = r^5$.
अतः,ऊष्मा उत्पादन की दर $r^5$ के समानुपाती होती है।

(D) घर्षण प्रतिरोध $f_{r}$ इस प्रकार दिया गया है:
$f_{r} \propto A$ और $f_{r} \propto v^{2}$
$f_{r} = k A v^{2}$ (जहाँ $k$ एक स्थिरांक है)।
नीचे की ओर लगने वाला बल (भार) इस प्रकार है: $W = mg = \frac{4}{3} \pi r^{3} \rho g$.
सीमांत वेग पर,नीचे की ओर लगने वाला बल घर्षण प्रतिरोध द्वारा संतुलित होता है (हवा में उत्प्लावन बल को नगण्य मानते हुए):
$mg = f_{r}$
$\frac{4}{3} \pi r^{3} \rho g = k (\pi r^{2}) v^{2}$
समीकरण को सरल करने पर:
$\frac{4}{3} r \rho g = k v^{2}$
चूंकि $\rho$,$g$,और $k$ स्थिरांक हैं,इसलिए:
$r \propto v^{2}$
$v \propto r^{1/2}$

(B) जब $r$ त्रिज्या की दो बूंदें मिलकर $R$ त्रिज्या की एक बड़ी बूंद बनाती हैं,तो आयतन संरक्षित रहता है।
$2 \times (\frac{4}{3} \pi r^3) = \frac{4}{3} \pi R^3$
$R^3 = 2r^3 \implies R = 2^{1/3}r$
स्टोक्स के नियम के अनुसार,एक गोलाकार बूंद का अंतिम वेग $v_t = \frac{2r^2g(\rho - \sigma)}{9\eta}$ होता है,जिसका अर्थ है कि $v_t \propto r^2$.
मान लीजिए कि व्यक्तिगत बूंद का अंतिम वेग $v$ है और बड़ी बूंद का अंतिम वेग $v'$ है।
$\frac{v'}{v} = \frac{R^2}{r^2} = \frac{(2^{1/3}r)^2}{r^2} = (2^{1/3})^2 = 2^{2/3} = (2^2)^{1/3} = 4^{1/3}$.
अतः,नया अंतिम वेग $v' = 4^{1/3}v$ होगा।

(C) जब वर्षा की बूंद हवा में गिरती है,तो उस पर गुरुत्वाकर्षण,उत्प्लावन बल और श्यानता का अवरोधक बल (viscous drag force) कार्य करता है।
प्रारंभ में,गुरुत्वाकर्षण के कारण वर्षा की बूंद का वेग बढ़ता है।
जैसे-जैसे वेग बढ़ता है,श्यानता का अवरोधक बल (जो वेग के समानुपाती होता है) भी बढ़ता है।
अंततः,जब श्यानता का अवरोधक बल और उत्प्लावन बल गुरुत्वाकर्षण बल को संतुलित कर लेते हैं,तो वर्षा की बूंद पर नेट बल शून्य हो जाता है।
इस बिंदु पर,वर्षा की बूंद एक स्थिर वेग प्राप्त कर लेती है जिसे टर्मिनल वेग (terminal velocity) कहा जाता है।
वेग $(v)$ बनाम समय $(t)$ का ग्राफ वेग में प्रारंभिक वृद्धि और उसके बाद एक स्थिर मान की ओर बढ़ने की स्थिति को दर्शाता है।
ग्राफ $C$ इस व्यवहार को सही ढंग से दर्शाता है,जहाँ जैसे-जैसे वेग टर्मिनल वेग के करीब पहुंचता है,ढलान कम होती जाती है।

(D) टर्मिनल वेग $v_T$ का सूत्र स्टोक्स के नियम द्वारा दिया जाता है: $v_T = \frac{2}{9} \frac{r^2(\rho - \rho_L)g}{\eta}$.
दिया गया है: $r = 0.003 \ m$,$\rho_L = 1260 \ kg \cdot m^{-3}$,$\rho = 2 \times \rho_L = 2520 \ kg \cdot m^{-3}$,$\eta = 1.260 \ N \cdot s \cdot m^{-2}$,और $g = 10 \ m \cdot s^{-2}$.
मान रखने पर:
$v_T = \frac{2}{9} \times \frac{(0.003)^2 \times (2520 - 1260) \times 10}{1.260}$
$v_T = \frac{2}{9} \times \frac{9 \times 10^{-6} \times 1260 \times 10}{1.260}$
$v_T = 2 \times 10^{-6} \times 1000 \times 10 = 0.02 \ m \cdot s^{-1}$.
$10 \ cm$ और $20 \ cm$ के निशान के बीच की दूरी $d = 10 \ cm = 0.1 \ m$ है।
चूँकि गेंद टर्मिनल वेग प्राप्त कर चुकी है,इसलिए लिया गया समय $t$ है:
$t = \frac{d}{v_T} = \frac{0.1 \ m}{0.02 \ m \cdot s^{-1}} = 5 \ s$.

(A) माना $r$ गोले की त्रिज्या है और $\rho$ इसका घनत्व है। माना $\rho_0$ द्रव का घनत्व है।
प्रारंभिक त्वरण $a$ इस प्रकार है:
$a = \frac{\text{Net Force}}{\text{Mass}} = \frac{\frac{4}{3}\pi r^3(\rho - \rho_0)g}{\frac{4}{3}\pi r^3\rho} = \left(\frac{\rho - \rho_0}{\rho}\right)g$
स्टोक्स के नियम के अनुसार टर्मिनल वेग $v_t$:
$v_t = \frac{2r^2(\rho - \rho_0)g}{9\eta}$
दिया गया है कि औसत त्वरण $a_{avg} = \frac{a}{2}$ है,और गति के समीकरण $v_t = u + a_{avg}t$ का उपयोग करने पर $(u=0)$:
$v_t = \left(\frac{a}{2}\right)t$
मान रखने पर:
$\frac{2r^2(\rho - \rho_0)g}{9\eta} = \frac{1}{2} \left(\frac{\rho - \rho_0}{\rho}\right)g \cdot t$
$t$ के लिए हल करने पर:
$t = \frac{2r^2(\rho - \rho_0)g}{9\eta} \cdot \frac{2\rho}{(\rho - \rho_0)g} = \frac{4\rho r^2}{9\eta}$

(A) $r$ त्रिज्या और $\rho$ घनत्व वाले गोले का $\sigma$ घनत्व और $\eta$ श्यानता वाले द्रव में गिरते समय टर्मिनल वेग $v_t$,स्टोक्स के नियम के अनुसार है:
$v_t = \frac{2}{9} r^2 g \frac{(\rho - \sigma)}{\eta}$
गेंद का द्रव्यमान $m = \frac{4}{3} \pi r^3 \rho$ है,इसलिए $\rho = \frac{3m}{4 \pi r^3}$।
विस्थापित द्रव का द्रव्यमान $m' = \frac{4}{3} \pi r^3 \sigma$ है,इसलिए $\sigma = \frac{3m'}{4 \pi r^3}$।
इन मानों को टर्मिनल वेग के सूत्र में रखने पर:
$v_t = \frac{2}{9} r^2 g \frac{1}{\eta} \left( \frac{3m}{4 \pi r^3} - \frac{3m'}{4 \pi r^3} \right)$
$v_t = \frac{2}{9} r^2 g \frac{1}{\eta} \left( \frac{3(m - m')}{4 \pi r^3} \right)$
$v_t = \frac{6 g (m - m')}{36 \pi \eta r} = \frac{g (m - m')}{6 \pi \eta r}$
चूंकि $g$,$\pi$,और $\eta$ स्थिरांक हैं,इसलिए $v_t \propto \frac{m - m'}{r}$ प्राप्त होता है।

(C) जब एक गोला श्यान द्रव में गिरता है,तो वह तीन बलों का अनुभव करता है: गुरुत्वाकर्षण बल $(mg)$ नीचे की ओर,उत्प्लावन बल $(F_B)$ ऊपर की ओर और श्यान कर्षण बल $(F_v = 6 \pi \eta R v)$ ऊपर की ओर।
परिणामी बल $F_{net} = mg - F_B - 6 \pi \eta R v = ma$ है।
चूंकि $m, g, F_B, \eta, R$ स्थिरांक हैं,हम लिख सकते हैं कि $ma = C_1 - C_2 v$,जहाँ $C_1 = mg - F_B$ और $C_2 = 6 \pi \eta R$ है।
यह दर्शाता है कि त्वरण $a$,वेग $v$ का एक रैखिक फलन है $(a = \frac{C_1}{m} - \frac{C_2}{m} v)$। इसलिए,$a$ बनाम $v$ का ग्राफ ऋणात्मक ढलान वाली एक सीधी रेखा होनी चाहिए,न कि वक्र।
ग्राफ $C$ में $a$ बनाम $v$ को एक वक्र के रूप में दिखाया गया है,जो गलत है। अतः,विकल्प $C$ गलत ग्राफ है।

(A) जब कोई गेंद श्यान माध्यम में विरामावस्था से गिरती है,तो वह शुरू में गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरित होती है। जैसे-जैसे इसका वेग बढ़ता है,श्यान कर्षण बल तब तक बढ़ता है जब तक कि कुल बल शून्य न हो जाए।
इस बिंदु पर,गेंद एक स्थिर सीमांत वेग (terminal velocity) प्राप्त कर लेती है।
विस्थापन $s$ समय $t$ के साथ स्थिर वेग के लिए $s = vt$ समीकरण द्वारा संबंधित है।
इसलिए,विस्थापन-समय ग्राफ में शुरू में त्वरण को दर्शाने वाला एक वक्र होना चाहिए,जिसके बाद सीमांत वेग को दर्शाने वाली एक स्थिर ढलान वाली सीधी रेखा होनी चाहिए।
ग्राफ $A$ एक वक्र दिखाता है जो समय के साथ रैखिक हो जाता है,जो श्यान माध्यम में सीमांत वेग तक पहुँचने वाली गेंद की गति को सही ढंग से दर्शाता है।

(D) $r$ त्रिज्या और $\rho$ घनत्व वाले गोले का टर्मिनल वेग $v_T$, जो $\sigma$ घनत्व और $\eta$ श्यानता वाले द्रव में गिर रहा है, का सूत्र है: $v_T = \frac{2r^2(\rho - \sigma)g}{9\eta}$।
चूंकि त्रिज्या $r$, द्रव का घनत्व $\sigma$, श्यानता $\eta$ और गुरुत्वीय त्वरण $g$ दोनों गोलों के लिए समान हैं, इसलिए $v_T \propto (\rho - \sigma)$ होगा।
अतः, $\frac{v_{T, \text{silver}}}{v_{T, \text{gold}}} = \frac{\rho_{\text{silver}} - \sigma}{\rho_{\text{gold}} - \sigma}$।
दिया गया है: $\rho_{\text{gold}} = 19.5 \times 10^3 \ kg/m^3$, $\rho_{\text{silver}} = 10.5 \times 10^3 \ kg/m^3$, $\sigma = 1.5 \times 10^3 \ kg/m^3$, और $v_{T, \text{gold}} = 0.2 \ m/s$।
मान रखने पर: $\frac{v_{T, \text{silver}}}{0.2} = \frac{10.5 - 1.5}{19.5 - 1.5} = \frac{9}{18} = 0.5$।
इस प्रकार, $v_{T, \text{silver}} = 0.2 \times 0.5 = 0.1 \ m/s$।

(B) सीमांत चाल $(v_t)$ पर,गेंद पर लगने वाला कुल बल शून्य होता है।
अतः,गेंद का नीचे की ओर कार्य करने वाला भार,ऊपर की ओर लगने वाले उत्प्लावन बल (buoyant force) और श्यान बल (viscous force) द्वारा संतुलित होता है।
$Weight = \text{Buoyant force} + \text{Viscous force}$
$V\rho_1 g = V\rho_2 g + kv_t^2$
$kv_t^2 = Vg(\rho_1 - \rho_2)$
$v_t^2 = \frac{Vg(\rho_1 - \rho_2)}{k}$
$v_t = \sqrt{\frac{Vg(\rho_1 - \rho_2)}{k}}$

(C) द्रव घनत्व $\rho_L$ और श्यानता $\eta$ वाले द्रव में $r$ त्रिज्या और $\rho$ घनत्व वाले गोले का टर्मिनल वेग $v_T$ निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$v_T = \frac{2}{9} \frac{r^2 g}{\eta} (\rho - \rho_L)$
चूंकि गोले का आकार और द्रव समान हैं,इसलिए $r$,$g$ और $\eta$ स्थिर हैं।
अतः,$v_T \propto (\rho - \rho_L)$.
सोने के लिए: $v_{Tg} = 0.2 \ m/s$,$\rho_g = 19.5 \times 10^3 \ kg/m^3$,$\rho_L = 1.5 \times 10^3 \ kg/m^3$.
$v_{Tg} \propto (19.5 - 1.5) \times 10^3 = 18 \times 10^3$.
चांदी के लिए: $v_{Ts} = ?, \rho_s = 10.5 \times 10^3 \ kg/m^3$.
$v_{Ts} \propto (10.5 - 1.5) \times 10^3 = 9 \times 10^3$.
अनुपात लेने पर:
$\frac{v_{Ts}}{v_{Tg}} = \frac{9 \times 10^3}{18 \times 10^3} = \frac{1}{2}$.
$v_{Ts} = 0.2 \times \frac{1}{2} = 0.1 \ m/s$.

(A) चूंकि गोला $v$ की स्थिर चाल से नीचे गिर रहा है,इसलिए गतिज ऊर्जा $KE = \frac{1}{2} mv^2$ समय के साथ स्थिर रहती है। अतः,गतिज ऊर्जा में परिवर्तन की दर $0$ है।
गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा $PE$ को $PE = mgh$ द्वारा दिया जाता है। जैसे-जैसे गोला नीचे गिरता है,उसकी ऊँचाई $h$ समय के साथ घटती जाती है। स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तन की दर $\frac{d(PE)}{dt} = mg \frac{dh}{dt}$ है।
चूंकि गोला $v$ की स्थिर चाल से नीचे की ओर गति कर रहा है,इसलिए ऊँचाई में परिवर्तन की दर $\frac{dh}{dt} = -v$ है। इस प्रकार,स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तन की दर $-mgv$ है। यह दर्शाता है कि गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा $mgv$ की दर से घटती है।

(A) त्रिज्या $r$ और घनत्व $\rho$ वाले एक गोलाकार पिंड का घनत्व $\sigma$ और श्यानता $\eta$ वाले तरल में टर्मिनल वेग $v_t$ का सूत्र है:
$v_t = \frac{2}{9} \frac{r^2 g (\rho - \sigma)}{\eta}$
यहाँ,$g$ गुरुत्वीय त्वरण है,$\rho$ गोले का घनत्व है,$\sigma$ तरल का घनत्व है और $\eta$ श्यानता गुणांक है।
चूंकि दिए गए सिस्टम के लिए $g, \rho, \sigma,$ और $\eta$ स्थिरांक हैं,हम लिख सकते हैं:
$v_t = K r^2$,जहाँ $K = \frac{2g(\rho - \sigma)}{9\eta}$ एक स्थिरांक है।
यह समीकरण $y = mx$ के रूप में है,जो दर्शाता है कि जब $v_t$ को $r^2$ के विरुद्ध आलेखित किया जाता है,तो यह मूल बिंदु से गुजरने वाली और धनात्मक ढाल $K$ वाली एक सीधी रेखा प्राप्त होती है।

(A) जब हवा का बुलबुला स्थिर वेग से ऊपर उठता है,तो उस पर कार्य करने वाला कुल बल शून्य $(a = 0)$ होता है।
बुलबुले पर कार्य करने वाले बलों में श्यान बल $(F_v)$ नीचे की ओर,उत्प्लावन बल $(F_B)$ ऊपर की ओर और बुलबुले का भार $(mg)$ शामिल है। चूंकि हवा का घनत्व द्रव की तुलना में नगण्य है,इसलिए भार को उपेक्षित किया जाता है।
बलों को संतुलित करने पर: $F_v = F_B$
स्टोक्स के नियम के अनुसार श्यान बल: $F_v = 6 \pi \eta r v$
आर्किमिडीज के सिद्धांत के अनुसार उत्प्लावन बल: $F_B = \text{आयतन} \times \text{घनत्व} \times g = (\frac{4}{3} \pi r^3) \rho g$
दोनों को बराबर करने पर: $6 \pi \eta r v = \frac{4}{3} \pi r^3 \rho g$
$\eta$ के लिए हल करने पर: $\eta = \frac{4 \pi r^3 \rho g}{3 \times 6 \pi r v} = \frac{2}{9} \frac{r^2 \rho g}{v}$.

(D) टर्मिनल वेग तब प्राप्त होता है जब किसी श्यान तरल (viscous fluid) में गतिमान वस्तु पर कार्य करने वाला कुल बल शून्य होता है। इसमें गुरुत्वाकर्षण बल (भार),उत्प्लावन बल और श्यान घर्षण बल शामिल होते हैं।
पृथ्वी के गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र में,भार $W = mg$ नीचे की ओर कार्य करता है,जो गोले को तरल में गति करने के लिए आवश्यक बल प्रदान करता है।
पृथ्वी के गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र के बाहर के क्षेत्र में,गोले पर कार्य करने वाला गुरुत्वाकर्षण बल (भार) शून्य होता है $(g = 0)$।
चूंकि श्यान घर्षण को दूर करने के लिए कोई प्रेरक बल नहीं है,इसलिए गोला तरल में गति नहीं करेगा।
अतः,टर्मिनल वेग शून्य होगा।

(C) जब एक छोटी गोलाकार गेंद को एक श्यान द्रव में गिराया जाता है,तो यह शुरू में गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरित होती है।
जैसे-जैसे इसका वेग बढ़ता है,श्यान कर्षण बल (जो वेग के समानुपाती होता है) भी बढ़ता है।
अंततः,जब श्यान कर्षण बल और उत्प्लावन बल गेंद के भार को संतुलित कर लेते हैं,तो कुल बल शून्य हो जाता है।
इस बिंदु पर,गेंद एक स्थिर वेग प्राप्त कर लेती है जिसे टर्मिनल वेग कहा जाता है।
दिए गए ग्राफ में,$y$-अक्ष वेग को दर्शाता है और $x$-अक्ष दूरी को दर्शाता है।
जैसे-जैसे गेंद नीचे गिरती है,इसका वेग शुरू में बढ़ता है और फिर टर्मिनल वेग के करीब पहुंचने पर एक स्थिर मान पर आ जाता है।
वक्र $C$ वेग को बढ़ते हुए और फिर दूरी के सापेक्ष स्थिर होते हुए दिखाता है,जो श्यान द्रव में गेंद की गति को सही ढंग से दर्शाता है।

(A) त्रिज्या $r$ और घनत्व $\rho$ वाले एक गोलाकार पिंड का घनत्व $\sigma$ और श्यानता $\eta$ वाले तरल में टर्मिनल वेग $v$,स्टोक्स के नियम द्वारा दिया जाता है:
$v = \frac{2}{9} \frac{r^2 g (\rho - \sigma)}{\eta}$
यहाँ,$g$ गुरुत्वीय त्वरण है और $\eta$ श्यानता गुणांक है।
हम $v$ ($y-$ अक्ष पर) और $r^2$ ($x-$ अक्ष पर) के बीच ग्राफ बना रहे हैं।
मान लीजिए $y = v$ और $x = r^2$ है।
समीकरण $y = \left( \frac{2g(\rho - \sigma)}{9\eta} \right) x$ बन जाता है।
यह $y = mx$ के रूप का है,जो मूल बिंदु से गुजरने वाली एक सीधी रेखा को दर्शाता है जिसकी ढाल $m = \frac{2g(\rho - \sigma)}{9\eta}$ धनात्मक है (यह मानते हुए कि $\rho > \sigma$ है ताकि पिंड नीचे गिर सके)।
अतः,ग्राफ एक धनात्मक ढाल वाली सीधी रेखा है।

(C) जब गेंद एक स्थिर वेग (सीमांत वेग) प्राप्त कर लेती है,तो उस पर कार्य करने वाला कुल बल शून्य होता है।
गेंद पर कार्य करने वाले बल हैं:
$1$. गुरुत्वाकर्षण बल $(mg)$ जो नीचे की ओर कार्य करता है।
$2$. उत्प्लावन बल $(F_B)$ जो ऊपर की ओर कार्य करता है।
$3$. श्यान बल $(F_v)$ जो ऊपर की ओर कार्य करता है।
सीमांत वेग पर,संतुलन की स्थिति है:
$mg = F_B + F_v$
$F_v = mg - F_B$
उत्प्लावन बल $F_B$ विस्थापित द्रव के भार के बराबर होता है:
$F_B = V \sigma g$,जहाँ $V$ गेंद का आयतन है।
चूंकि $m = V \rho$,इसलिए $V = \frac{m}{\rho}$ है।
$V$ का मान उत्प्लावन बल के समीकरण में रखने पर:
$F_B = \left( \frac{m}{\rho} \right) \sigma g = mg \left( \frac{\sigma}{\rho} \right)$.
अब,$F_B$ का मान संतुलन समीकरण में रखने पर:
$F_v = mg - mg \left( \frac{\sigma}{\rho} \right)$
$F_v = mg \left( 1 - \frac{\sigma}{\rho} \right)$.

(B) माना गेंद का आयतन $V$ है। जब गेंद ऊपर की ओर गति करती है तो उस पर कार्य करने वाले बल हैं:
$1$. उत्प्लावन बल $F_B = (2\rho)Vg$ (ऊपर की ओर)।
$2$. गेंद का भार $W = \rho Vg$ (नीचे की ओर)।
$3$. श्यान बल $F_v = 6\pi \eta r v$ (नीचे की ओर,गति के विपरीत)।
गेंद पर कार्य करने वाला कुल बल $F_{net} = F_B - W - F_v = (2\rho Vg) - (\rho Vg) - F_v = \rho Vg - F_v$ है।
जैसे-जैसे गेंद ऊपर जाती है,उसका वेग $v$ बढ़ता है,जिससे श्यान बल $F_v$ बढ़ता है।
चूंकि $F_{net} = \rho Vg - F_v$,जैसे-जैसे $F_v$ बढ़ता है,कुल बल $F_{net}$ घटता जाता है।
न्यूटन के दूसरे नियम के अनुसार,$F_{net} = ma$,इसलिए जैसे-जैसे गेंद ऊपर जाती है,त्वरण $a = F_{net}/m$ घटता जाएगा।

(B) जब किसी द्रव को हिलाया जाता है,तो श्यानता के गुण के कारण उसकी परतों के बीच आंतरिक घर्षण उत्पन्न होता है। पात्र की दीवार के संपर्क में रहने वाली द्रव की परत स्थिर रहती है,और यह परत बगल की गतिशील परत पर मंदक बल लगाती है। यह प्रक्रिया पूरे द्रव में जारी रहती है,जिससे धीरे-धीरे गतिज ऊर्जा का क्षय होता है जब तक कि पूरा द्रव स्थिर न हो जाए।

(C) माना कि प्रत्येक छोटी बूंद की त्रिज्या $r$ है और बड़ी बूंद की त्रिज्या $R$ है।
आयतन संरक्षण के नियम के अनुसार,$64$ छोटी बूंदों का कुल आयतन बड़ी बूंद के आयतन के बराबर होगा: $64 \times (\frac{4}{3} \pi r^3) = \frac{4}{3} \pi R^3$.
इससे $R^3 = 64 r^3$ प्राप्त होता है,अर्थात $R = 4r$।
गोलाकार बूंद का टर्मिनल वेग $V_T = \frac{2}{9} \frac{r^2 g (\rho - \sigma)}{\eta}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है,जिसका अर्थ है कि $V_T \propto r^2$।
माना छोटी बूंद का टर्मिनल वेग $V_{T1} = 1.5 \ m/s$ है और बड़ी बूंद का टर्मिनल वेग $V_{T2}$ है।
अतः,$\frac{V_{T2}}{V_{T1}} = \frac{R^2}{r^2} = \frac{(4r)^2}{r^2} = 16$।
इसलिए,$V_{T2} = 16 \times V_{T1} = 16 \times 1.5 \ m/s = 24 \ m/s$।

(B) जब गेंद का वेग स्थिर हो जाता है,तो इसे सीमांत वेग (terminal velocity) कहा जाता है। इस स्थिति में,गेंद पर कार्य करने वाला कुल बल शून्य होता है।
गेंद पर कार्य करने वाले बल हैं:
$1$. गेंद का भार $(W = Mg)$ जो नीचे की ओर कार्य करता है।
$2$. उत्प्लावन बल $(F_B = V d_2 g)$ जो ऊपर की ओर कार्य करता है।
$3$. श्यान बल $(F_v)$ जो ऊपर की ओर कार्य करता है।
संतुलन की स्थिति में: $F_v + F_B = W$
$F_v = W - F_B$
$F_v = Mg - V d_2 g$
चूंकि गेंद का आयतन $V = \frac{M}{d_1}$ है,इसलिए हम इस मान को समीकरण में रखते हैं:
$F_v = Mg - \left(\frac{M}{d_1}\right) d_2 g$
$F_v = Mg \left(1 - \frac{d_2}{d_1}\right)$

(B) श्यान माध्यम में गिरते हुए $r$ त्रिज्या के गोले का टर्मिनल वेग $v$,स्टोक्स के नियम द्वारा दिया जाता है: $F_v = 6 \pi \eta r v$.
टर्मिनल वेग पर,गुरुत्वाकर्षण बल श्यान खिंचाव बल के बराबर होता है (उत्प्लावन बल की उपेक्षा करते हुए): $mg = 6 \pi \eta r v$.
चूंकि $m = \rho \cdot \frac{4}{3} \pi r^3$,इसलिए $\rho \cdot \frac{4}{3} \pi r^3 g = 6 \pi \eta r v$.
यह समीकरण दर्शाता है कि $v \propto r^2$.
$r$ त्रिज्या के लिए $v_r = 1 \, cm \, s^{-1}$ दिया गया है,अतः $2r$ त्रिज्या के लिए $v_{2r}$ इस प्रकार होगा:
$\frac{v_{2r}}{v_r} = \frac{(2r)^2}{r^2} = 4$.
अतः,$v_{2r} = 4 \times v_r = 4 \times 1 = 4 \, cm \, s^{-1}$.

(B) एक वर्ष में प्रति वर्ग मीटर प्राप्त वर्षा का आयतन $V = \text{क्षेत्रफल} \times \text{ऊंचाई} = 1 \, m^2 \times 1 \, m = 1 \, m^3$ है।
पानी का घनत्व $d = 10^3 \, kg/m^3$ होने के कारण, इस पानी का कुल द्रव्यमान $M = d \times V = 10^3 \, kg/m^3 \times 1 \, m^3 = 10^3 \, kg$ है।
वर्षा द्वारा स्थानांतरित गतिज ऊर्जा का सूत्र $E = \frac{1}{2} M v^2$ है, जहाँ $v$ टर्मिनल वेग है।
मान रखने पर: $E = \frac{1}{2} \times 10^3 \, kg \times (9 \, m/s)^2$.
$E = 0.5 \times 10^3 \times 81 = 40.5 \times 10^3 \, J = 4.05 \times 10^4 \, J$.

(C) मान लीजिए $W$ गेंद का भार है,$T$ उत्प्लावन बल (upthrust) है,और $F$ श्यान बल (viscous force) है।
जब गेंद $v_1 = 10\, cm/s$ के स्थिर टर्मिनल वेग से नीचे गिरती है,तो कुल बल शून्य होता है:
$W - T - F_1 = 0 \implies F_1 = W - T = W_{eff}$,जहाँ $W_{eff}$ प्रभावी भार है।
चूंकि $F_1 = 6\pi\eta r v_1$,इसलिए $W_{eff} = 6\pi\eta r v_1$ है।
अब,गेंद को $F_{ext} = 2 W_{eff}$ के बाहरी बल से ऊपर खींचा जाता है।
मान लीजिए नया ऊपर की ओर वेग $v_2$ है। गेंद पर कार्य करने वाले बल हैं: बाहरी बल $F_{ext}$ (ऊपर),उत्प्लावन बल $T$ (ऊपर),भार $W$ (नीचे),और नया श्यान बल $F_2$ (नीचे,क्योंकि गेंद ऊपर जा रही है)।
स्थिर वेग $v_2$ के लिए,कुल बल शून्य है:
$F_{ext} + T - W - F_2 = 0$
$F_{ext} - (W - T) = F_2$
$2 W_{eff} - W_{eff} = F_2$
$F_2 = W_{eff}$
चूंकि $F_2 = 6\pi\eta r v_2$,इसलिए $6\pi\eta r v_2 = 6\pi\eta r v_1$ है।
अतः,$v_2 = v_1 = 10\, cm/s$।

(A) स्टोक्स के नियम के अनुसार,जब $a$ त्रिज्या का एक छोटा गोला किसी श्यान द्रव में गिरता है,तो वह एक स्थिर वेग प्राप्त कर लेता है जिसे सीमांत वेग $(V_T)$ कहा जाता है।
सीमांत वेग का सूत्र इस प्रकार है:
$V_T = \frac{2a^2(\rho - \sigma)g}{9\eta}$
जहाँ:
$a$ = गोले की त्रिज्या
$\rho$ = गोले का घनत्व
$\sigma$ = द्रव का घनत्व
$g$ = गुरुत्वीय त्वरण
$\eta$ = द्रव का श्यानता गुणांक
इस सूत्र से यह स्पष्ट है कि $V_T \propto a^2$ है।
अतः,सीमांत वेग गोले की त्रिज्या के वर्ग के समानुपाती होता है।

(C) $r$ त्रिज्या वाले गोले का श्यान द्रव में टर्मिनल वेग स्टोक्स के नियम द्वारा दिया जाता है: $v_T = \frac{2}{9} \frac{r^2 (\rho - \sigma) g}{\eta}$,जहाँ $\rho$ गोले का घनत्व है और $\sigma$ द्रव का घनत्व है।
इस सूत्र से,हम देखते हैं कि $v_T \propto r^2$ है।
माना बड़े गोले की त्रिज्या $R$ है और प्रत्येक छोटे गोले की त्रिज्या $r$ है। जब गोले को $27$ समान छोटे गोलों में तोड़ा जाता है,तो कुल आयतन समान रहता है:
$\frac{4}{3} \pi R^3 = 27 \times \frac{4}{3} \pi r^3$
$R^3 = 27 r^3 \Rightarrow R = 3r \Rightarrow r = R/3$.
अब,टर्मिनल वेग का अनुपात है:
$\frac{\nu_1}{\nu_2} = \frac{R^2}{r^2} = \frac{R^2}{(R/3)^2} = \frac{R^2}{R^2/9} = 9$.
अतः,अनुपात $(\nu_1/\nu_2)$ का मान $9$ है।