Viscosity and Stoke's Law and Terminal Velocity Questions in Hindi

(A) वस्तु का त्वरण समीकरण $a = g - bv$ द्वारा दिया गया है।
जब वस्तु एक स्थिर गति (जिसे टर्मिनल वेग भी कहा जाता है) के साथ गिरती है,तो उसका त्वरण $a$ शून्य हो जाता है।
दिए गए समीकरण में $a = 0$ रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$0 = g - bv_c$
स्थिर गति $v_c$ के लिए पदों को व्यवस्थित करने पर:
$bv_c = g$
$v_c = \frac{g}{b}$
अतः,वस्तु की स्थिर गति $\frac{g}{b}$ है।

(C) द्रव में ऊपर उठ रहे हवा के बुलबुले का टर्मिनल वेग $v_T$ निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$v_T = \frac{2}{9} \frac{r^2 g (\rho_l - \rho_a)}{\eta}$
हवा के घनत्व $\rho_a$ की उपेक्षा करने पर,सूत्र इस प्रकार होगा:
$v_T = \frac{2}{9} \frac{r^2 g \rho_l}{\eta}$
दिए गए मान:
त्रिज्या $r = 1\, cm$
टर्मिनल वेग $v_T = 2.00\, mm/sec = 0.2\, cm/sec$
द्रव का घनत्व $\rho_l = 1.5\, g/cm^3$
गुरुत्वीय त्वरण $g = 1000\, cm/sec^2$
इन मानों को समीकरण में रखने पर:
$0.2 = \frac{2}{9} \times (1)^2 \times \frac{1000 \times 1.5}{\eta}$
$0.2 = \frac{2 \times 1500}{9 \times \eta}$
$0.2 = \frac{3000}{9 \eta}$
$0.2 = \frac{1000}{3 \eta}$
$\eta = \frac{1000}{3 \times 0.2} = \frac{1000}{0.6} = \frac{10000}{6} \approx 1666.67\, \text{poise}$
$\eta \approx 1.66 \times 10^3\, \text{poise}$

(A) जब $r$ त्रिज्या की $n$ बूंदें मिलकर $R$ त्रिज्या की एक बड़ी बूंद बनाती हैं,तो आयतन स्थिर रहता है।
$\frac{4}{3}\pi R^3 = n \left( \frac{4}{3}\pi r^3 \right)$
$R^3 = n r^3$
यहाँ $n = 2$ दिया गया है,इसलिए $R^3 = 2r^3$,जिसका अर्थ है $R = 2^{1/3} r$।
श्यान माध्यम में गिरती हुई बूंद का टर्मिनल वेग $v$,स्टोक्स के नियम के अनुसार $v = \frac{2r^2(\rho - \sigma)g}{9\eta}$ होता है,जो दर्शाता है कि $v \propto r^2$।
अतः,$\frac{v_2}{v_1} = \left( \frac{R}{r} \right)^2$।
$v_1 = 5\,cm/s$ दिया गया है,$R = 2^{1/3} r$ रखने पर:
$v_2 = v_1 \left( \frac{2^{1/3} r}{r} \right)^2 = 5 \times (2^{1/3})^2 = 5 \times 2^{2/3} = 5 \times 4^{1/3}\,cm/s$।

(C) स्टोक्स के नियम के अनुसार,एक श्यान द्रव में गिरते हुए गोलाकार पिंड का सीमांत वेग (terminal velocity) $v_T$ निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$v_T = \frac{2}{9} \frac{r^2 (\rho - \sigma) g}{\eta}$
यहाँ $r$ गोले की त्रिज्या है,$\rho$ गोले का घनत्व है,$\sigma$ द्रव का घनत्व है,$g$ गुरुत्वीय त्वरण है और $\eta$ श्यानता गुणांक है।
इस संबंध से,हम देख सकते हैं कि $v_T \propto r^2$ है।
प्रारंभिक त्रिज्या $r$ और प्रारंभिक चाल $v$ दी गई है,इसलिए $v \propto r^2$ है।
जब त्रिज्या को बदलकर $2r$ कर दिया जाता है,तो नया सीमांत वेग $v'$ होगा:
$v' \propto (2r)^2 = 4r^2$
अतः,$v' = 4v$.

(C) $1$. गुरुत्वाकर्षण बल $(F_g = mg)$ गति के दौरान स्थिर रहता है। अतः, ग्राफ $P$ गुरुत्वाकर्षण बल को दर्शाता है।
$2$. श्यान बल $(F_v = 6\pi\eta rv)$ जैसे-जैसे गेंद का वेग बढ़ता है, वैसे-वैसे बढ़ता है, जो $t=0$ पर शून्य से शुरू होता है और टर्मिनल वेग प्राप्त करने पर एक स्थिर मान तक पहुँच जाता है। अतः, ग्राफ $Q$ श्यान बल को दर्शाता है।
$3$. नेट बल $(F_{net} = mg - F_b - F_v)$ जैसे-जैसे गेंद त्वरित होती है और श्यान बल बढ़ता है, वैसे-वैसे घटता जाता है, और अंततः जब गेंद टर्मिनल वेग प्राप्त कर लेती है तो यह शून्य हो जाता है। अतः, ग्राफ $R$ नेट बल को दर्शाता है।
अतः, $(i), (ii), (iii)$ के लिए सही क्रम $P, Q, R$ है।

(D) श्यान माध्यम में गिरने वाले गोलाकार पिंड के लिए गति का समीकरण $m \frac{dv}{dt} = mg - 6\pi\eta rv$ है।
इसे पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $\frac{dv}{dt} = g - \frac{6\pi\eta r}{m} v$ प्राप्त होता है।
यह $\frac{dv}{dt} + \frac{6\pi\eta r}{m} v = g$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है।
ऐसी प्रणाली के लिए समय नियतांक $\tau$,$v$ के गुणांक का व्युत्क्रम है,जो $\tau = \frac{m}{6\pi\eta r}$ है।
अब,दिए गए विकल्पों की विमाओं की जाँच करते हैं:
$1$. $\frac{mr^2}{6\pi\eta}$ की विमा $= \frac{[M][L^2]}{[ML^{-1}T^{-1}]} = [L^3T]$।
$2$. $\sqrt{\frac{6\pi mr\eta}{g^2}}$ की विमा $= \sqrt{\frac{[M][L][ML^{-1}T^{-1}]}{[LT^{-2}]^2}} = \sqrt{\frac{M^2T^{-1}}{L^2T^{-4}}} = [ML^{-1}T^{1.5}]$।
$3$. $\frac{m}{6\pi\eta rv}$ की विमा $= \frac{[M]}{[ML^{-1}T^{-1}][L][LT^{-1}]} = [L^{-1}T]$।
चूंकि इनमें से कोई भी व्यंजक समय $[T]$ की विमा नहीं रखता है,इसलिए सही विकल्प $D$ है।

(A) स्टोक्स के नियम के अनुसार,श्यान माध्यम में गिरने वाली गोलाकार बूंद का सीमांत वेग $v$,जब उत्प्लावन बल को नगण्य माना जाता है,तो सूत्र इस प्रकार है:
$v = \frac{2}{9} \frac{r^2 \rho g}{\eta}$
दी गई मान:
त्रिज्या $r = 0.0015 \, mm = 1.5 \times 10^{-6} \, m$
पानी का घनत्व $\rho = 1.0 \times 10^3 \, kg/m^3$
गुरुत्वीय त्वरण $g = 9.8 \, m/s^2$
श्यानता गुणांक $\eta = 1.8 \times 10^{-5} \, kg/(m \cdot s)$
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$v = \frac{2}{9} \times \frac{(1.5 \times 10^{-6})^2 \times (1.0 \times 10^3) \times 9.8}{1.8 \times 10^{-5}}$
$v = \frac{2}{9} \times \frac{2.25 \times 10^{-12} \times 10^3 \times 9.8}{1.8 \times 10^{-5}}$
$v = \frac{2}{9} \times \frac{2.205 \times 10^{-8}}{1.8 \times 10^{-5}}$
$v = \frac{2}{9} \times 1.225 \times 10^{-3}$
$v \approx 2.72 \times 10^{-4} \, m/s$

(A) माना प्रत्येक छोटी बूंद की त्रिज्या $r$ है और टर्मिनल वेग $v_t = 5\, cm/s$ है।
जब दो बूंदें मिलकर $R$ त्रिज्या की एक बड़ी बूंद बनाती हैं,तो आयतन संरक्षित रहता है:
$2 \times (\frac{4}{3}\pi r^3) = \frac{4}{3}\pi R^3$
$R^3 = 2r^3 \implies R = 2^{1/3}r$.
स्टोक्स के नियम के अनुसार टर्मिनल वेग $v_t = \frac{2r^2(\rho - \sigma)g}{9\eta}$ होता है,जिसका अर्थ है $v_t \propto r^2$.
माना बड़ी बूंद का टर्मिनल वेग $V_T$ है:
$\frac{V_T}{v_t} = \frac{R^2}{r^2} = \frac{(2^{1/3}r)^2}{r^2} = 2^{2/3} = (2^2)^{1/3} = 4^{1/3}$.
अतः,$V_T = 5 \times 4^{1/3}\, cm/s$.

(C) जब पत्थर ऊपर जाता है,तो गुरुत्वाकर्षण $(mg)$ और पानी का ड्रैग बल $(F_{drag})$ दोनों नीचे की ओर कार्य करते हैं। इसलिए,कुल मंदक बल $F_{up} = mg + F_{drag}$ है और त्वरण $a_{up} = g + (F_{drag}/m)$ है।
जब पत्थर नीचे आता है,तो गुरुत्वाकर्षण नीचे की ओर और पानी का ड्रैग बल ऊपर की ओर कार्य करता है। इसलिए,कुल त्वरण बल $F_{down} = mg - F_{drag}$ है और त्वरण $a_{down} = g - (F_{drag}/m)$ है।
चूंकि $a_{up} > a_{down}$ है,इसलिए पत्थर ऊपर जाते समय अधिक मंदन और नीचे आते समय कम त्वरण का अनुभव करता है।
समान विस्थापन $h$ के लिए,$h = \frac{1}{2}at^2$ का उपयोग करने पर,$t = \sqrt{\frac{2h}{a}}$ प्राप्त होता है।
अतः,$a_{up} > a_{down}$ होने के कारण,$t_{up} < t_{down}$ होता है।

(A) स्टोक्स के नियम के अनुसार,जब $R$ त्रिज्या का एक गोला $\eta$ श्यानता वाले द्रव में गिरता है,तो वह एक ड्रैग बल का अनुभव करता है। सीमांत वेग $v_T$ तब प्राप्त होता है जब गोले पर कार्य करने वाला कुल बल शून्य हो जाता है।
सीमांत वेग का सूत्र इस प्रकार है:
$v_T = \frac{2}{9} \frac{R^2 (\rho - \sigma) g}{\eta}$
जहाँ:
$\rho$ गोले का घनत्व है,
$\sigma$ द्रव का घनत्व है,
$g$ गुरुत्वीय त्वरण है,
$\eta$ श्यानता गुणांक है।
इस सूत्र से यह स्पष्ट है कि $v_T \propto R^2$।

(C) यह सत्य है कि गिरती हुई वर्षा की बूंदें एक सीमांत वेग प्राप्त कर लेती हैं। अपनी गति के दौरान,बूंदें वेग पर निर्भर श्यान बल (viscous force) का अनुभव करती हैं जो वेग की विपरीत दिशा में कार्य करता है। जैसे-जैसे वेग बढ़ता है,यह बल बढ़ता जाता है। अंततः,यह श्यान बल और उत्प्लावन बल मिलकर बूंद पर कार्य करने वाले गुरुत्वाकर्षण बल (भार) को संतुलित कर लेते हैं। जब कुल बल शून्य हो जाता है,तो त्वरण शून्य हो जाता है और बूंद एक स्थिर वेग से गिरती है जिसे सीमांत वेग कहा जाता है। $Reason$ कथन गलत है क्योंकि यह दावा करता है कि गति की दिशा में एक स्थिर बल आवश्यक है; हालाँकि,गुरुत्वाकर्षण बल स्थिर है,लेकिन सीमांत वेग के लिए शर्त बलों का संतुलन है,न कि केवल इन विशिष्ट बलों की उपस्थिति।

(D) त्रिज्या $r$ और घनत्व $\sigma$ वाली एक गोलाकार गेंद का $\rho$ घनत्व और $\eta$ श्यानता वाले माध्यम में टर्मिनल वेग $v_{T} = \frac{2 r^{2}(\sigma - \rho) g}{9 \eta}$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है कि दोनों गेंदों का द्रव्यमान समान है,$m_{1} = m_{2}$।
चूंकि द्रव्यमान $m = \text{आयतन} \times \text{घनत्व} = \frac{4}{3} \pi r^{3} \sigma$,इसलिए $\frac{4}{3} \pi r_{1}^{3} \rho_{1} = \frac{4}{3} \pi r_{2}^{3} \rho_{2}$ होगा।
यहाँ $r_{1} = 1 \; mm$,$r_{2} = 2 \; mm$,और $\rho_{1} = 8 \rho_{2}$ है,अतः द्रव्यमान की शर्त संतुष्ट होती है: $1^{3} \times 8 \rho_{2} = 8 \rho_{2}$ और $2^{3} \times \rho_{2} = 8 \rho_{2}$।
टर्मिनल वेग का अनुपात $\frac{v_{1}}{v_{2}} = \left(\frac{r_{1}}{r_{2}}\right)^{2} \frac{(\rho_{1} - \rho_{medium})}{(\rho_{2} - \rho_{medium})}$ है।
यहाँ,$\rho_{medium} = 0.1 \rho_{2}$ है।
मान रखने पर: $\frac{v_{1}}{v_{2}} = \left(\frac{1}{2}\right)^{2} \frac{(8 \rho_{2} - 0.1 \rho_{2})}{(\rho_{2} - 0.1 \rho_{2})} = \frac{1}{4} \times \frac{7.9 \rho_{2}}{0.9 \rho_{2}} = \frac{1}{4} \times \frac{79}{9} = \frac{79}{36}$।

(B) टर्मिनल वेग $v_t$ का सूत्र स्टोक्स के नियम द्वारा दिया जाता है: $v_t = \frac{2}{9} \frac{r^2 g (\rho - \sigma)}{\eta}$,जहाँ $r$ त्रिज्या है,$g$ गुरुत्वीय त्वरण है,$\rho$ गेंद का घनत्व है,$\sigma$ तेल का घनत्व है,और $\eta$ श्यानता गुणांक है।
$\eta$ के लिए सूत्र को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $\eta = \frac{2 r^2 g (\rho - \sigma)}{9 v_t}$.
दिए गए मान: $r = 2.0 \times 10^{-3} \; m$,$v_t = 6.5 \times 10^{-2} \; m \; s^{-1}$,$g = 9.8 \; m \; s^{-2}$,$\rho = 8.9 \times 10^{3} \; kg \; m^{-3}$,$\sigma = 1.5 \times 10^{3} \; kg \; m^{-3}$.
$\rho - \sigma = (8.9 - 1.5) \times 10^{3} = 7.4 \times 10^{3} \; kg \; m^{-3}$.
मान रखने पर: $\eta = \frac{2 \times (2.0 \times 10^{-3})^2 \times 9.8 \times 7.4 \times 10^{3}}{9 \times 6.5 \times 10^{-2}}$.
$\eta = \frac{2 \times 4.0 \times 10^{-6} \times 9.8 \times 7.4 \times 10^{3}}{58.5 \times 10^{-2}} = \frac{579.04 \times 10^{-3}}{58.5 \times 10^{-2}} \approx 9.9 \times 10^{-1} \; kg \; m^{-1} \; s^{-1}$.

(N/A) दिया गया है:
त्रिज्या $r = 2.0 \times 10^{-5} \; m$
घनत्व $\rho = 1.2 \times 10^{3} \; kg \; m^{-3}$
हवा की श्यानता $\eta = 1.8 \times 10^{-5} \; Pa \; s$
गुरुत्वीय त्वरण $g = 9.8 \; m \; s^{-2}$
टर्मिनल वेग $v$ निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$v = \frac{2r^2(\rho - \rho_0)g}{9\eta}$
चूंकि हम उत्प्लावन बल की उपेक्षा करते हैं,$\rho_0 = 0$ लेने पर।
$v = \frac{2 \times (2.0 \times 10^{-5})^2 \times (1.2 \times 10^3) \times 9.8}{9 \times 1.8 \times 10^{-5}}$
$v = 5.8 \times 10^{-2} \; m \; s^{-1} = 5.8 \; cm \; s^{-1}$
स्टोक्स के नियम के अनुसार श्यान बल $F$:
$F = 6 \pi \eta r v$
$F = 6 \times 3.14 \times 1.8 \times 10^{-5} \times 2.0 \times 10^{-5} \times 5.8 \times 10^{-2}$
$F \approx 3.9 \times 10^{-10} \; N$

(A) जब गति स्थिर हो जाती है,तो त्वरण $a = \frac{dv}{dt} = 0$ होता है।
त्वरण के लिए दिया गया समीकरण: $a = g - bv$ है।
जैसे-जैसे वस्तु गिरती है,उसकी गति $v$ बढ़ती है,जिससे त्वरण $a$ कम हो जाता है।
एक निश्चित टर्मिनल गति,मान लीजिए $v_0$ पर,त्वरण शून्य हो जाता है और उसके बाद गति स्थिर रहती है।
दिए गए समीकरण में $a = 0$ रखने पर:
$0 = g - bv_0$
$v_0$ के लिए हल करने पर:
$bv_0 = g$
$v_0 = \frac{g}{b}$
अतः,स्थिर गति $\frac{g}{b}$ है।

(N/A) श्यानता विभिन्न व्यावहारिक अनुप्रयोगों में महत्वपूर्ण भूमिका निभाती है:
$1$. स्नेहन (Lubrication): भारी मशीनरी में गतिशील भागों के बीच घर्षण और टूट-फूट को कम करने के लिए उच्च श्यानता वाले तेलों का उपयोग किया जाता है,जबकि नाजुक उपकरणों में कम श्यानता वाले तेलों का उपयोग किया जाता है।
$2$. द्रव परिवहन: कच्चे तेल या पानी जैसे तरल पदार्थों के परिवहन के लिए पाइपलाइनों को डिजाइन करने के लिए श्यानता को समझना आवश्यक है,क्योंकि यह प्रवाह बनाए रखने के लिए आवश्यक दबाव निर्धारित करती है।
$3$. चिकित्सा अनुप्रयोग: रक्त की श्यानता एक महत्वपूर्ण नैदानिक पैरामीटर है; रक्त की उच्च श्यानता उच्च रक्तचाप या थक्के जमने के जोखिम जैसी स्वास्थ्य समस्याओं का संकेत दे सकती है।
$4$. ऑटोमोटिव उद्योग: शॉक एब्जॉर्बर और हाइड्रोलिक ब्रेकिंग सिस्टम का प्रदर्शन उपयोग किए जाने वाले हाइड्रोलिक द्रव की श्यानता पर निर्भर करता है।
$5$. खाद्य उद्योग: शहद,सिरप और सॉस जैसे खाद्य उत्पादों की बनावट और स्वाद उनकी श्यानता द्वारा निर्धारित किए जाते हैं।

(N/A) स्टोक्स का नियम बताता है कि $\eta$ श्यानता गुणांक वाले अनंत विस्तार के श्यान माध्यम में $v$ वेग से गति करने वाले $r$ त्रिज्या के छोटे गोलाकार पिंड पर लगने वाला श्यान बल $F_v = 6 \pi \eta r v$ होता है।
मान लीजिए $\rho$ घनत्व का $r$ त्रिज्या वाला एक छोटा गोला $\sigma$ घनत्व वाले श्यान माध्यम में गिर रहा है। उस पर लगने वाले बल हैं:
$(i)$ भार $F_1 = mg = \frac{4}{3} \pi r^3 \rho g$ (नीचे की ओर)।
$(ii)$ उत्प्लावन बल $F_2 = \frac{4}{3} \pi r^3 \sigma g$ (ऊपर की ओर)।
$(iii)$ श्यान बल $F_v = 6 \pi \eta r v$ (ऊपर की ओर)।
$(i)$ प्रारंभिक त्वरण: $t=0$ पर,$v=0$,इसलिए $F_v=0$। परिणामी बल $F_{net} = F_1 - F_2 = \frac{4}{3} \pi r^3 g(\rho - \sigma)$। अतः,त्वरण $a = \frac{F_{net}}{m} = g(1 - \frac{\sigma}{\rho})$।
$(ii)$ सीमांत वेग: सीमांत वेग $v_t$ पर,त्वरण शून्य होता है,इसलिए $F_1 = F_2 + F_v$। अतः,$\frac{4}{3} \pi r^3 \rho g = \frac{4}{3} \pi r^3 \sigma g + 6 \pi \eta r v_t$। $v_t$ के लिए हल करने पर,$v_t = \frac{2r^2 g(\rho - \sigma)}{9 \eta}$ प्राप्त होता है।
$(iii)$ बुलबुलों की ऊपर की ओर गति: गैस के बुलबुले के लिए,गैस का घनत्व $\rho$ द्रव के घनत्व $\sigma$ से बहुत कम होता है $(\rho < \sigma)$। उत्प्लावन बल भार से अधिक हो जाता है,जिससे बुलबुला ऊपर की ओर त्वरित होता है। जैसे-जैसे यह गति करता है,श्यान बल नीचे की ओर कार्य करता है,जो अंततः एक स्थिर सीमांत वेग की ओर ले जाता है।

(D) दिया गया है:
वर्षा की बूंद का द्रव्यमान,$m_d = 3.0 \times 10^{-5} \ kg$
टर्मिनल वेग,$v = 9 \ m/s$
वर्षा की गहराई,$h = 100 \ cm = 1 \ m$
क्षेत्रफल,$A = 1 \ m^2$
पानी का घनत्व,$\rho = 10^3 \ kg/m^3$
चरण $1$: $1 \ m^2$ क्षेत्रफल पर गिरने वाले पानी का कुल आयतन ज्ञात करें।
$V = A \times h = 1 \ m^2 \times 1 \ m = 1 \ m^3$
चरण $2$: $1 \ m^2$ क्षेत्रफल पर गिरने वाले पानी का कुल द्रव्यमान $(M)$ ज्ञात करें।
$M = V \times \rho = 1 \ m^3 \times 10^3 \ kg/m^3 = 10^3 \ kg$
चरण $3$: सतह पर स्थानांतरित गतिज ऊर्जा $(E)$ ज्ञात करें।
चूंकि वर्षा की बूंदें टर्मिनल वेग से गिरती हैं,इसलिए स्थानांतरित ऊर्जा पानी के कुल द्रव्यमान की गतिज ऊर्जा है।
$E = \frac{1}{2} M v^2$
$E = \frac{1}{2} \times 10^3 \times (9)^2$
$E = 0.5 \times 1000 \times 81$
$E = 40500 \ J = 4.05 \times 10^4 \ J$

(D) एक इलेक्ट्रॉनिक डिजिटल घड़ी क्वार्ट्ज क्रिस्टल के दोलनों पर आधारित होती है,जो पीजोइलेक्ट्रिक प्रभाव द्वारा संचालित होती है।
यह तंत्र बाहरी गुरुत्वाकर्षण बलों या पानी में गति कर रहे व्यक्ति पर कार्य करने वाले उत्प्लावन बल से स्वतंत्र है।
चूंकि घड़ी वाटरप्रूफ है,इसलिए पानी इसके आंतरिक इलेक्ट्रॉनिक सर्किट में हस्तक्षेप नहीं करता है।
अतः,समुद्री जल में व्यक्ति की गति का समय के मापन पर कोई प्रभाव नहीं पड़ता है।

(B) $CGS$ प्रणाली में श्यानता गुणांक की इकाई पॉइज़ $(P)$ है।
$SI$ प्रणाली में श्यानता गुणांक की इकाई $N \cdot s/m^2$ या $Pa \cdot s$ है, जिसे पॉइज़ुइल $(Pl)$ के रूप में भी जाना जाता है।
हम जानते हैं कि $1 \text{ poiseuille} = 1 \text{ Pa} \cdot \text{s} = 1 \text{ N} \cdot \text{s/m}^2$।
चूंकि $1 \text{ N} = 10^5 \text{ dynes}$ और $1 \text{ m}^2 = 10^4 \text{ cm}^2$,
$1 \text{ poiseuille} = \frac{10^5 \text{ dynes} \cdot \text{s}}{10^4 \text{ cm}^2} = 10 \text{ dynes} \cdot \text{s/cm}^2$।
चूंकि $1 \text{ poise} = 1 \text{ dyne} \cdot \text{s/cm}^2$,
इसलिए, $1 \text{ poiseuille} = 10 \text{ poise}$।

(N/A) जब $r$ त्रिज्या और $\rho$ घनत्व वाली एक गोलाकार वस्तु $\sigma$ घनत्व और $\eta$ श्यानता गुणांक वाले तरल में गिरती है,तो उसका सीमांत वेग $v_t$ निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$v_t = \frac{2r^2(\rho - \sigma)g}{9\eta}$
जहाँ:
$r$ = गोले की त्रिज्या
$\rho$ = गोले का घनत्व
$\sigma$ = तरल का घनत्व
$g$ = गुरुत्वीय त्वरण
$\eta$ = तरल का श्यानता गुणांक

(N/A) सीमांत वेग $(v_t)$ वह स्थिर वेग है जो एक श्यान (viscous) तरल में गिरती हुई वस्तु द्वारा तब प्राप्त किया जाता है जब उस पर कार्य करने वाला कुल बल शून्य हो जाता है। स्टोक्स के नियम के अनुसार,$\eta$ श्यानता और $\sigma$ घनत्व वाले तरल में गिरती हुई $r$ त्रिज्या और $\rho$ घनत्व वाली गोलाकार वस्तु का सीमांत वेग है: $v_t = \frac{2}{9} \frac{r^2 g (\rho - \sigma)}{\eta}$.
इस सूत्र के आधार पर,सीमांत वेग निम्नलिखित कारकों पर निर्भर करता है:
$1$. वस्तु की त्रिज्या $(r)$: सीमांत वेग त्रिज्या के वर्ग के समानुपाती होता है $(v_t \propto r^2)$। बड़ी वस्तुएं तेजी से गिरती हैं।
$2$. घनत्व का अंतर $((\rho - \sigma))$: यह वस्तु के घनत्व और तरल के घनत्व के बीच के अंतर पर निर्भर करता है। यदि वस्तु तरल से अधिक सघन है,तो वह नीचे गिरती है।
$3$. तरल की श्यानता $(\eta)$: सीमांत वेग श्यानता गुणांक के व्युत्क्रमानुपाती होता है $(v_t \propto 1/\eta)$। अधिक श्यान तरल अधिक घर्षण बल लगाता है,जिससे सीमांत वेग कम हो जाता है।
$4$. गुरुत्वीय त्वरण $(g)$: सीमांत वेग गुरुत्वीय त्वरण के समानुपाती होता है $(v_t \propto g)$।

(N/A) जब दूध को हिलाया जाता है,तो तरल की परतें अलग-अलग वेग से गति करती हैं। इन परतों के बीच श्यान बल (आंतरिक घर्षण) कार्य करता है,जो उनके बीच की सापेक्ष गति का विरोध करता है। यह बल तरल की गतिज ऊर्जा को ऊष्मीय ऊर्जा में परिवर्तित कर देता है। परिणामस्वरूप,परतों का वेग धीरे-धीरे कम होता जाता है और अंततः दूध स्थिर हो जाता है।

(N/A) यदि द्रव की दो समानांतर परतों,जिनमें से प्रत्येक का क्षेत्रफल $1 \text{ cm}^{2}$ है,के बीच $1 \text{ cm s}^{-1} / \text{cm}$ का वेग प्रवणता बनाए रखने के लिए $1$ डाइन स्पर्शरेखीय बल की आवश्यकता होती है,तो श्यानता गुणांक $1$ पॉइज़ होता है।

(A) $CGS$ प्रणाली में श्यानता गुणांक की इकाई पॉइज़ $(P)$ है।
$SI$ प्रणाली में श्यानता गुणांक की इकाई $\text{N} \cdot \text{s/m}^2$ या $\text{Pa} \cdot \text{s}$ है।
$1 \text{ डेकापॉइज़}$ को $1 \text{ Pa} \cdot \text{s}$ के रूप में परिभाषित किया गया है।
चूंकि $1 \text{ Pa} \cdot \text{s} = 10 \text{ पॉइज़}$,इसलिए $1 \text{ डेकापॉइज़} = 10 \text{ पॉइज़}$ होता है।

(N/A) स्टोक्स के नियम का उपयोग निम्नलिखित उद्देश्यों के लिए किया जाता है:
$(1)$ इसका उपयोग श्यान माध्यम में गिरते हुए छोटे गोलाकार पिंड (जैसे वर्षा की बूंद) की त्रिज्या ज्ञात करने के लिए किया जाता है।
$(2)$ इसका उपयोग अत्यधिक श्यान द्रव के श्यानता गुणांक की गणना करने के लिए किया जाता है।

(A) बारिश की बूंद का टर्मिनल वेग $(v_{t})$ निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$v_{t} = \frac{2}{9} r^{2} g \left( \frac{\rho - \sigma}{\eta} \right)$
जहाँ $r$ बूंद की त्रिज्या है,$g$ गुरुत्वीय त्वरण है,$\rho$ बूंद का घनत्व है,$\sigma$ हवा का घनत्व है,और $\eta$ श्यानता गुणांक है।
चूंकि $v_{t} \propto r^{2}$,टर्मिनल वेग बूंद की त्रिज्या के वर्ग के सीधे आनुपातिक होता है।
इसलिए,बारिश की बड़ी बूंदों का टर्मिनल वेग अधिक होता है और वे छोटी बूंदों की तुलना में तेजी से गिरती हैं।

(C) वर्षा की बूंदें गुरुत्वाकर्षण बल के प्रभाव में स्वतंत्र रूप से गिरती हैं। जैसे-जैसे वे नीचे गिरती हैं,वे गति की विपरीत दिशा में हवा के प्रतिरोध (श्यान बल) का अनुभव करती हैं।
स्टोक्स के नियम के अनुसार,श्यान बल बूंद के वेग के समानुपाती होता है।
जैसे-जैसे बूंद का वेग बढ़ता है,हवा का प्रतिरोध भी बढ़ता जाता है।
अंततः,एक ऐसी स्थिति आती है जहाँ बूंद पर कार्य करने वाला परिणामी बल शून्य हो जाता है,अर्थात गुरुत्वाकर्षण बल,उत्प्लावन बल और श्यान बल के योग द्वारा संतुलित हो जाता है।
इस बिंदु पर,त्वरण शून्य हो जाता है और बूंद एक स्थिर वेग प्राप्त कर लेती है जिसे टर्मिनल वेग (सीमांत वेग) कहा जाता है।
इसलिए,वर्षा की बूंद का वेग इस टर्मिनल वेग से अधिक नहीं बढ़ता है।

(N/A) धूल के कणों को हवा में गति करते हुए छोटे गोलों के रूप में माना जा सकता है। $Stoke's$ $Law$ के अनुसार, एक गोलाकार कण पर लगने वाला श्यान बल $F = 6\pi\eta rv$ होता है। जैसे-जैसे कण नीचे गिरता है, वह $terminal$ $velocity$ $(v_t)$ प्राप्त कर लेता है, जो $v_t = \frac{2r^2(\rho - \sigma)g}{9\eta}$ द्वारा दी जाती है। चूंकि धूल के कणों की त्रिज्या $(r)$ बहुत छोटी होती है, इसलिए उनका टर्मिनल वेग अत्यंत कम होता है। हालाँकि, क्योंकि यह वेग शून्य नहीं है और नीचे की ओर निर्देशित है, कण लगातार फर्श की ओर बढ़ते रहते हैं। समय के साथ, बहुत कम टर्मिनल वेग होने के बावजूद, ये कण अंततः फर्श पर बैठ जाते हैं।

(B) हवा में $h$ दूरी गिरने के बाद गेंद का वेग $v = \sqrt{2gh}$ द्वारा दिया जाता है।
$r$ त्रिज्या और $\rho$ घनत्व वाली गोलाकार गेंद का $\rho_{\ell}$ घनत्व और $\eta$ श्यानता वाले तरल में टर्मिनल वेग $v_t$ स्टोक्स के नियम के अनुसार है:
$v_t = \frac{2}{9} \frac{r^2 g}{\eta} (\rho - \rho_{\ell})$.
प्रश्न के अनुसार,पानी में प्रवेश करने से ठीक पहले का वेग पानी के अंदर के टर्मिनल वेग के बराबर है:
$\sqrt{2gh} = \frac{2}{9} \frac{r^2 g}{\eta} (\rho - \rho_{\ell})$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$2gh = \left( \frac{2}{9} \frac{r^2 g}{\eta} (\rho - \rho_{\ell}) \right)^2$
$2gh = \frac{4}{81} \frac{r^4 g^2}{\eta^2} (\rho - \rho_{\ell})^2$
$h$ के लिए हल करने पर:
$h = \frac{2}{81} \frac{r^4 g}{\eta^2} (\rho - \rho_{\ell})^2$.
चूंकि दिए गए प्रयोग के लिए $g$,$\eta$,$\rho$,और $\rho_{\ell}$ स्थिरांक हैं,इसलिए हमें प्राप्त होता है:
$h \propto r^4$.

(B) टर्मिनल वेग से गिरती हुई अनावेशित तेल की बूंद के लिए,जब उत्प्लावन बल की उपेक्षा की जाती है,तो श्यान बल $(F_v)$ बूंद के वजन $(W)$ के बराबर होता है।
$W = m \cdot g = \rho \cdot V \cdot g = \rho \cdot (\frac{4}{3} \pi r^3) \cdot g$
दिया गया है:
$\rho = 1.2 \times 10^3 \, kg/m^3$
$r = 2.0 \times 10^{-5} \, m$
$g = 9.8 \, m/s^2$
$F_v = (1.2 \times 10^3) \times \frac{4}{3} \times 3.14 \times (2.0 \times 10^{-5})^3 \times 9.8$
$F_v = 1.2 \times 10^3 \times 4.1867 \times 8.0 \times 10^{-15} \times 9.8$
$F_v \approx 3.9 \times 10^{-10} \, N$

(A) जब गेंद स्थिर टर्मिनल वेग के साथ चलती है,तो उस पर कार्य करने वाला कुल बल शून्य होता है।
गेंद पर कार्य करने वाले बल हैं:
$1$. गेंद का भार $(W = Mg)$ जो नीचे की ओर कार्य करता है।
$2$. उत्प्लावन बल $(F_B)$ जो ऊपर की ओर कार्य करता है।
$3$. श्यान बल $(F_v)$ जो ऊपर की ओर कार्य करता है।
उत्प्लावन बल का सूत्र $F_B = V \rho_{liquid} g$ है,जहाँ $V$ गेंद का आयतन है।
चूंकि गेंद का घनत्व $d$ है,इसलिए इसका आयतन $V = \frac{M}{d}$ है।
ग्लिसरीन का घनत्व $\frac{d}{2}$ दिया गया है,अतः उत्प्लावन बल $F_B = V \left(\frac{d}{2}\right) g = \left(\frac{M}{d}\right) \left(\frac{d}{2}\right) g = \frac{Mg}{2}$ होगा।
स्थिर वेग के लिए,बलों को संतुलित होना चाहिए:
$F_v + F_B = W$
$F_v + \frac{Mg}{2} = Mg$
$F_v = Mg - \frac{Mg}{2} = \frac{Mg}{2}$।

(D) टर्मिनल वेग पर,वर्षा की बूंद पर कार्य करने वाला कुल बल शून्य होता है।
$Mg = F_{v} = 6 \pi \eta R v$
यहाँ,$M$ वर्षा की बूंद का द्रव्यमान है,$\eta$ श्यानता गुणांक है,$R$ त्रिज्या है और $v$ टर्मिनल वेग है।
$M = \rho_{w} \cdot \frac{4}{3} \pi R^3$ प्रतिस्थापित करने पर:
$\rho_{w} \cdot \frac{4}{3} \pi R^3 g = 6 \pi \eta R v$
$v$ के लिए हल करने पर:
$v = \frac{2 \rho_{w} R^2 g}{9 \eta}$
दिए गए मान: $\rho_{w} = 1000 \, kg/m^3$,$R = 0.2 \times 10^{-3} \, m$,$g = 10 \, m/s^2$,$\eta = 1.8 \times 10^{-5} \, Ns/m^2$.
$v = \frac{2 \times 1000 \times (0.2 \times 10^{-3})^2 \times 10}{9 \times 1.8 \times 10^{-5}}$
$v = \frac{20000 \times 0.04 \times 10^{-6}}{16.2 \times 10^{-5}}$
$v = \frac{800 \times 10^{-6}}{16.2 \times 10^{-5}} = \frac{80}{16.2} \approx 4.94 \, m/s$

(B) जब एक गोलाकार गेंद को अत्यधिक श्यान द्रव में गिराया जाता है, तो वह तीन बलों का अनुभव करती है: नीचे की ओर कार्य करने वाला गुरुत्वाकर्षण बल, और ऊपर की ओर कार्य करने वाला उत्प्लावन बल और श्यान घर्षण बल।
गेंद पर कार्य करने वाला कुल बल $F_{net} = mg - F_B - F_v$ है, जहाँ $F_v = 6\pi\eta rv$ श्यान घर्षण बल है।
प्रारंभ में, चाल $(v)$ शून्य होती है, इसलिए श्यान घर्षण बल शून्य होता है, और गेंद नीचे की ओर त्वरित होती है। जैसे-जैसे चाल बढ़ती है, श्यान घर्षण बल बढ़ता जाता है।
न्यूटन के दूसरे नियम के अनुसार, $ma = mg - F_B - 6\pi\eta rv$। जैसे-जैसे $v$ बढ़ता है, त्वरण $a$ घटता जाता है।
अंततः, गेंद एक स्थिर सीमांत वेग (terminal velocity) प्राप्त कर लेती है जब कुल बल शून्य हो जाता है $(a = 0)$।
यह व्यवहार एक ऐसे वक्र द्वारा दर्शाया जाता है जो मूल बिंदु से शुरू होता है, जिसका ढलान घटता जाता है (त्वरण घटता है), और समय बढ़ने के साथ यह क्षैतिज (स्थिर वेग) हो जाता है। वक्र $B$ इस विवरण से मेल खाता है।

(C) स्टोक्स के नियम के अनुसार,श्यान द्रव (viscous fluid) में गिरती हुई गोलाकार वस्तु का सीमांत वेग $(v_{t})$ निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$v_{t} = \frac{2}{9} \frac{gr^{2}(\rho_{p} - \rho_{l})}{\eta}$
जहाँ:
$g$ गुरुत्वीय त्वरण है,
$r$ गोले की त्रिज्या है,
$\rho_{p}$ कण का घनत्व है,
$\rho_{l}$ द्रव का घनत्व है,
$\eta$ श्यानता गुणांक है।
इस सूत्र से यह स्पष्ट है कि $v_{t} \propto r^{2}$ है।
अतः,सीमांत वेग त्रिज्या के वर्ग के समानुपाती होता है।

(A) जब गेंद एक स्थिर वेग (सीमांत वेग) से चलती है,तो उस पर कार्य करने वाला कुल बल शून्य होता है।
गेंद पर कार्य करने वाले बल हैं:
$1$. गेंद का भार $(W = m g)$ जो नीचे की ओर कार्य करता है।
$2$. उत्प्लावन बल $(F_{B})$ जो ऊपर की ओर कार्य करता है।
$3$. श्यान बल $(F_{V})$ जो ऊपर की ओर कार्य करता है।
सीमांत वेग पर,बल संतुलित होते हैं:
$F_{V} + F_{B} = m g$
$F_{V} = m g - F_{B}$
उत्प्लावन बल विस्थापित द्रव के भार के बराबर होता है:
$F_{B} = V \times d_{2} \times g$,जहाँ $V$ गेंद का आयतन है।
चूंकि $V = \frac{m}{d_{1}}$,इसलिए $F_{B} = \frac{m}{d_{1}} \times d_{2} \times g$ प्राप्त होता है।
इस मान को बल समीकरण में रखने पर:
$F_{V} = m g - (\frac{m}{d_{1}} \times d_{2} \times g)$
$F_{V} = m g (1 - \frac{d_{2}}{d_{1}})$

(D) सीमांत वेग पर,श्यान बल पानी की बूंद के वजन के बराबर होता है (क्योंकि उत्प्लावन बल को नगण्य माना गया है)।
$6 \pi \eta r v_t = \frac{4}{3} \pi r^3 \rho g$
सीमांत वेग $v_t$ के लिए सूत्र:
$v_t = \frac{2 r^2 \rho g}{9 \eta}$
दिए गए मान:
$r = 1\,\mu m = 10^{-6}\,m$
$\eta = 1.8 \times 10^{-5}\,Nsm^{-2}$
$\rho = 10^3\,kgm^{-3}$
$g = 10\,ms^{-2}$
मान रखने पर:
$v_t = \frac{2 \times (10^{-6})^2 \times 10^3 \times 10}{9 \times 1.8 \times 10^{-5}}$
$v_t = \frac{2 \times 10^{-12} \times 10^4}{16.2 \times 10^{-5}}$
$v_t = \frac{2 \times 10^{-8}}{16.2 \times 10^{-5}} = \frac{2}{16.2} \times 10^{-3} \approx 0.1234 \times 10^{-3} = 123.4 \times 10^{-6}\,ms^{-1}$

(D) $h$ ऊँचाई से गिरने के बाद गेंद का वेग $v = \sqrt{2gh}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि पानी के अंदर वेग स्थिर रहता है,इसलिए यह वेग पानी में गेंद के टर्मिनल वेग $v_t$ के बराबर होना चाहिए।
टर्मिनल वेग का सूत्र $v_t = \frac{2}{9} \frac{r^2 (\rho - \rho_w) g}{\eta}$ है।
दिया गया है: $r = 0.1 \,mm = 10^{-4} \,m$,$\rho = 10^4 \,kg \,m^{-3}$,$\rho_w = 10^3 \,kg \,m^{-3}$,$\eta = 1.0 \times 10^{-5} \,N \,s \,m^{-2}$,$g = 10 \,m \,s^{-2}$.
$v = v_t$ को बराबर करने पर:
$\sqrt{2gh} = \frac{2}{9} \frac{(10^{-4})^2 (10^4 - 10^3) \times 10}{10^{-5}}$
$\sqrt{2gh} = \frac{2}{9} \frac{10^{-8} \times 9 \times 10^3 \times 10}{10^{-5}}$
$\sqrt{2gh} = \frac{2}{9} \times 9 \times 10^{-8+4+5} = 2 \times 10^1 = 20 \,m/s$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $2gh = 400$.
$2 \times 10 \times h = 400$.
$20h = 400 \implies h = 20 \,m$.

(B) चूंकि बुलबुला स्थिर गति से ऊपर बढ़ रहा है,उस पर कार्य करने वाला कुल बल शून्य है।
चूंकि बुलबुला ऊपर बढ़ रहा है,उत्प्लावन बल $(B)$ ऊपर की ओर कार्य करता है,जबकि श्यान बल $(F)$ और वजन $(mg)$ नीचे की ओर कार्य करते हैं। हवा का घनत्व नगण्य होने के कारण,$mg \approx 0$.
इसलिए,$B = F$.
स्टोक्स के नियम का उपयोग करते हुए,$F = 6 \pi \eta R v$ और उत्प्लावन बल $B = \frac{4}{3} \pi R^3 \rho g$.
दोनों को बराबर करने पर: $\frac{4}{3} \pi R^3 \rho g = 6 \pi \eta R v$.
$\eta$ के लिए हल करने पर: $\eta = \frac{2 R^2 \rho g}{9 v}$.
दिया गया है: $R = 1\,mm = 10^{-3}\,m$,$\rho = 1750\,kg\,m^{-3}$,$g = 10\,m\,s^{-2}$,$v = 0.35 \times 10^{-2}\,m\,s^{-1}$.
मान रखने पर: $\eta = \frac{2 \times (10^{-3})^2 \times 1750 \times 10}{9 \times 0.35 \times 10^{-2}} = 1.11\,Pa\,s$.
चूंकि $1\,Pa\,s = 10\,poise$,इसलिए $\eta = 1.11 \times 10 = 11.1\,poise$.
निकटतम पूर्णांक $11$ है।

(C) जब गेंद का वेग स्थिर हो जाता है,तो इसे टर्मिनल वेग कहा जाता है। इस स्थिति में,गेंद पर कार्य करने वाला कुल बल शून्य होता है।
$F_V + F_B = mg$
जहाँ $F_V$ श्यान बल है,$F_B$ उत्प्लावन बल है,और $mg$ गेंद का भार है।
$F_V = mg - F_B = V \rho_B g - V \rho_L g = V g (\rho_B - \rho_L)$
दिया गया है: द्रव्यमान $m = 0.3 \, g = 0.3 \times 10^{-3} \, kg$,गेंद का घनत्व $\rho_B = 8 \, g/cc = 8000 \, kg/m^3$,ग्लिसरीन का घनत्व $\rho_L = 1.3 \, g/cc = 1300 \, kg/m^3$.
आयतन $V = \frac{m}{\rho_B} = \frac{0.3 \times 10^{-3} \, kg}{8000 \, kg/m^3} = \frac{0.3}{8} \times 10^{-6} \, m^3$.
$F_V = (8000 - 1300) \times (\frac{0.3}{8} \times 10^{-6}) \times 10$
$F_V = 6700 \times \frac{0.3}{8} \times 10^{-5} = 67 \times \frac{0.3}{8} \times 10^{-3} = \frac{20.1}{8} \times 10^{-3} = 2.5125 \times 10^{-3} = 25.125 \times 10^{-4} \, N$.
अतः,$x = 25.125$.

(A) जब कोई कण किसी तरल में गिरता है,तो उस पर तीन बल कार्य करते हैं: नीचे की ओर गुरुत्वाकर्षण बल $(mg)$,ऊपर की ओर उत्प्लावन बल $(F_B)$,और ऊपर की ओर एक प्रतिरोधी बल $(F_R)$।
कण पर कुल बल $F_{net} = mg - F_B - F_R$ है।
यह दिया गया है कि प्रतिरोधी बल उसकी चाल के वर्ग के समानुपाती है,इसलिए $F_R = kv^2$,जहाँ $k$ एक स्थिरांक है।
प्रारंभ में,$t = 0$ पर,चाल $v = 0$ है,इसलिए प्रतिरोधी बल $F_R = 0$ है। त्वरण अधिकतम होता है,और चाल बढ़ना शुरू हो जाती है।
जैसे-जैसे चाल $v$ बढ़ती है,प्रतिरोधी बल $F_R = kv^2$ भी बढ़ता है। परिणामस्वरूप,कुल बल $F_{net} = mg - F_B - kv^2$ कम हो जाता है,जिसका अर्थ है कि त्वरण $(a = F_{net}/m)$ कम हो जाता है।
अंततः,प्रतिरोधी बल इतना बढ़ जाता है कि कुल बल शून्य हो जाता है $(mg - F_B - kv^2 = 0)$। इस बिंदु पर,त्वरण शून्य हो जाता है,और कण एक स्थिर टर्मिनल वेग प्राप्त कर लेता है।
समय $t$ बनाम चाल $v$ का ग्राफ चाल में प्रारंभिक वृद्धि और घटते ढलान को दिखाना चाहिए,जो अंततः एक स्थिर मान (एसिम्पटोट) तक पहुँचता है। ग्राफ $(a)$ इस व्यवहार का सही प्रतिनिधित्व करता है।

(B) गेंद का वेग दूरी-समय ग्राफ के ढाल (slope) द्वारा दिया जाता है।
दिए गए ग्राफ का अंतिम भाग एक सीधी रेखा है,जो यह दर्शाता है कि वेग स्थिर है,अर्थात सीमांत वेग प्राप्त हो गया है।
ग्राफ के डेटा से,हम रैखिक भाग पर दो बिंदु चुन सकते हैं: $(t_1 = 1.6 \, s, x_1 = 0.3 \, m)$ और $(t_2 = 1.9 \, s, x_2 = 0.4 \, m)$।
सीमांत वेग $v$ की गणना इस प्रकार की जाती है:
$v = \frac{x_2 - x_1}{t_2 - t_1}$
$v = \frac{0.4 - 0.3}{1.9 - 1.6}$
$v = \frac{0.1}{0.3} \approx 0.33 \, m/s$।
अतः,सीमांत वेग $0.33 \, m/s$ के सबसे निकट है।

(B) जब एक गेंद को उसके सीमांत वेग $v_t$ से अधिक प्रारंभिक वेग $v_0$ के साथ एक श्यान द्रव में नीचे की ओर फेंका जाता है, तो गेंद पर कार्य करने वाले बल गुरुत्वाकर्षण ($mg$ नीचे की ओर), उत्प्लावन बल ($F_B$ ऊपर की ओर) और श्यान खिंचाव बल ($F_v = 6\pi\eta rv$ ऊपर की ओर) होते हैं।
कुल बल $F_{net} = mg - F_B - 6\pi\eta rv = ma$ है।
जैसे-जैसे वेग $v$ घटता है, श्यान खिंचाव बल तब तक घटता है जब तक कि कुल बल शून्य न हो जाए, जिस बिंदु पर गेंद अपने सीमांत वेग $v_t$ तक पहुँच जाती है।
चूंकि प्रारंभिक वेग सीमांत वेग से अधिक है, इसलिए वेग सीमांत वेग के मान की ओर घटेगा।
वक्र $B$ सही ढंग से दर्शाता है कि वेग एक गैर-शून्य प्रारंभिक मान से शुरू होकर एक स्थिर सीमांत वेग की ओर जाता है।

(A) जब तरल की एक बूंद हवा में गिरती है,तो गुरुत्वाकर्षण बल,उत्प्लावन बल और श्यान बल के बीच संतुलन के कारण यह अंततः एक स्थिर टर्मिनल वेग $V_t$ प्राप्त कर लेती है।
बूंद पर कार्य करने वाले बल हैं:
$1$. गुरुत्वाकर्षण बल: $F_g = mg$
$2$. उत्प्लावन बल: $F_b = \frac{4}{3} \pi r^3 \rho_{air} g$
$3$. श्यान बल (स्टोक्स का नियम): $F_v = 6 \pi \eta r V_t$
टर्मिनल वेग पर,कुल बल शून्य होता है:
$mg - F_b = F_v$
$mg - \frac{4}{3} \pi r^3 \rho_{air} g = 6 \pi \eta r V_t$
$V_t$ के लिए हल करने पर:
$V_t = \frac{mg - \frac{4}{3} \pi r^3 \rho_{air} g}{6 \pi \eta r}$
चूंकि हवा का घनत्व $\rho_{air}$ तरल के घनत्व की तुलना में बहुत कम है,इसलिए उत्प्लावन बल नगण्य है। अतः:
$V_t \approx \frac{mg}{6 \pi \eta r}$
इसलिए,$V_t \propto \frac{m}{r}$.

(A) श्यान माध्यम में $r$ त्रिज्या वाली गोलाकार बूंद का टर्मिनल वेग $V_T = \frac{2r^2(\rho - \sigma)g}{9\eta}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
अतः,$V_T \propto r^2$.
माना प्रत्येक छोटी बूंद की त्रिज्या $r$ है और नई बड़ी बूंद की त्रिज्या $R$ है।
आयतन संरक्षण के अनुसार,नई बूंद का आयतन दो छोटी बूंदों के आयतन के योग के बराबर होता है:
$\frac{4}{3}\pi R^3 = 2 \times \frac{4}{3}\pi r^3$
$R^3 = 2r^3 \Rightarrow R = 2^{1/3}r$.
अब,नए टर्मिनल वेग $V'$ और प्रारंभिक टर्मिनल वेग $V$ का अनुपात:
$\frac{V'}{V} = \frac{R^2}{r^2} = \frac{(2^{1/3}r)^2}{r^2} = (2^{1/3})^2 = 2^{2/3} = (2^2)^{1/3} = 4^{1/3}$.
चूंकि $V = 5 \, cm/s$ दिया गया है,नया टर्मिनल वेग $V'$ होगा:
$V' = 5 \times 4^{1/3} \, cm/s$.

(D) जब पानी की एक छोटी बूंद हवा जैसे श्यान माध्यम में गिरती है,तो वह तीन बलों का अनुभव करती है: नीचे की ओर कार्य करने वाला गुरुत्वाकर्षण बल,और ऊपर की ओर कार्य करने वाला उत्प्लावन बल और श्यान घर्षण बल।
जैसे-जैसे बूंद का वेग बढ़ता है,श्यान घर्षण बल बढ़ता जाता है।
अंततः,जब श्यान घर्षण बल और उत्प्लावन बल गुरुत्वाकर्षण बल को संतुलित कर लेते हैं,तो बूंद पर कुल बल शून्य हो जाता है।
इस बिंदु पर,बूंद एक स्थिर वेग प्राप्त कर लेती है जिसे टर्मिनल वेग कहा जाता है,जो $v_t = \frac{2r^2(\rho - \sigma)g}{9\eta}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि यह टर्मिनल वेग केवल तरल और बूंद के गुणों पर निर्भर करता है,न कि उस ऊँचाई $h$ पर जहाँ से यह गिरती है (बशर्ते $h$ इतना बड़ा हो कि टर्मिनल वेग प्राप्त किया जा सके),इसलिए अंतिम वेग $h$ से लगभग स्वतंत्र होता है।

(B) स्टोक्स के नियम के अनुसार,$\eta$ श्यानता और $\rho$ घनत्व वाले द्रव में गिरते हुए $r$ त्रिज्या वाले गोलाकार पिंड का सीमांत वेग $v_T$ निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$v_T = \frac{2 r^2}{9 \eta} (\sigma - \rho) g$
जहाँ $\sigma$ गोलाकार पिंड का घनत्व है और $g$ गुरुत्वीय त्वरण है।
इस व्यंजक से यह स्पष्ट है कि सीमांत वेग गोले की त्रिज्या के वर्ग के समानुपाती होता है।
अतः,$v_T \propto r^2$.

(B) जब एक तरल की गोलाकार बूंद दूसरे तरल के माध्यम से चलती है,तो वह श्यान घर्षण बल का अनुभव करती है। स्टोक्स के नियम के अनुसार,$\eta$ श्यानता वाले तरल में $v$ वेग से गति करने वाली $r$ त्रिज्या की बूंद पर लगने वाला श्यान बल $F_v = 6 \pi \eta r v$ होता है।
इस परिदृश्य में,तेल की बूंद आसपास के तरल के माध्यम से गति कर रही है। तेल की बूंद की आंतरिक श्यानता $(\eta_0)$ बाहरी घर्षण बल को प्रभावित नहीं करती है क्योंकि बूंद के अंदर का तेल,बूंद की सतह के सापेक्ष एक कठोर पिंड के रूप में गति कर रहा है। गति के प्रति प्रतिरोध आसपास के तरल की श्यानता $(\eta_L)$ द्वारा प्रदान किया जाता है।
इसलिए,ऊपर उठती तेल की बूंद का अंतिम वेग केवल आसपास के तरल की श्यानता $\eta_L$ पर निर्भर करता है।

(C) जब गेंद टर्मिनल वेग प्राप्त कर लेती है,तो उस पर लगने वाला कुल बल शून्य होता है।
अतः,श्यान बल $F_v$ गेंद के प्रभावी भार के बराबर होता है।
$F_v = W - F_B = V(\sigma - \rho)g$
जहाँ $V$ गोले का आयतन है,$\sigma$ गेंद का घनत्व है,और $\rho$ द्रव का घनत्व है।
$V = \frac{4}{3} \pi r^3 = \frac{4}{3} \times \frac{22}{7} \times (10^{-3} \ m)^3 = \frac{88}{21} \times 10^{-9} \ m^3$.
घनत्व का अंतर $(\sigma - \rho) = (10.5 - 1.5) \ g/cc = 9 \ g/cc = 9000 \ kg/m^3$.
$F_v = \left( \frac{4}{3} \times \frac{22}{7} \times 10^{-9} \right) \times 9000 \times 9.8 = 36960 \times 10^{-9} = 3696 \times 10^{-8} \ N$.
दिए गए विकल्पों के अनुसार,$x=7$ सही उत्तर है।

(A) स्टोक्स के नियम के अनुसार,$\eta$ श्यानता वाले तरल में $v$ टर्मिनल वेग से गति करने वाली $r$ त्रिज्या की गोलाकार वस्तु पर लगने वाला श्यान ड्रैग बल $F$ इस प्रकार है:
$F = 6 \pi \eta r v$
दी गई मान:
त्रिज्या $r = 5\,mm = 5 \times 10^{-3}\,m$
वेग $v = 10\,cm\,s^{-1} = 10 \times 10^{-2}\,m\,s^{-1} = 0.1\,m\,s^{-1}$
श्यानता $\eta = 0.9\,kg\,m^{-1}s^{-1}$
सूत्र में मान रखने पर:
$F = 6 \times 3.14 \times 0.9 \times (5 \times 10^{-3}) \times (0.1)$
$F = 6 \times 3.14 \times 0.9 \times 5 \times 10^{-4}$
$F = 84.78 \times 10^{-4}\,N$
$F = 8.478 \times 10^{-3}\,N \approx 8.48 \times 10^{-3}\,N$