Viscosity and Stoke's Law and Terminal Velocity Questions in Hindi

(A) जब गेंद एक स्थिर टर्मिनल वेग से नीचे गिरती है,तो उस पर कार्य करने वाला कुल बल शून्य होता है।
गेंद पर कार्य करने वाले बल हैं:
$1$. गेंद का भार नीचे की ओर: $W = Mg = \rho Vg$ (जहाँ $V$ गेंद का आयतन है)।
$2$. उत्प्लावन बल ऊपर की ओर: $F_B = \rho_0 Vg$।
$3$. श्यान बल ऊपर की ओर: $F_{vis}$।
संतुलन के लिए,नीचे की ओर लगने वाला बल ऊपर की ओर लगने वाले बलों के योग के बराबर होना चाहिए:
$Mg = F_{vis} + F_B$
$F_{vis} = Mg - F_B$
$F_{vis} = \rho Vg - \rho_0 Vg$
$F_{vis} = \rho Vg \left(1 - \frac{\rho_0}{\rho}\right)$
चूंकि $M = \rho V$,इसलिए हम समीकरण में $M$ को प्रतिस्थापित करते हैं:
$F_{vis} = Mg \left(1 - \frac{\rho_0}{\rho}\right)$

(B) चूंकि बुलबुला एक स्थिर टर्मिनल वेग से ऊपर की ओर बढ़ रहा है,इसलिए उस पर कार्य करने वाला कुल बल शून्य है।
ऊपर की ओर लगने वाला उत्प्लावन बल $B$,नीचे की ओर लगने वाले श्यान बल $F_v$ द्वारा संतुलित होता है।
$B = F_v$
उत्प्लावन बल के लिए आर्किमिडीज के सिद्धांत और श्यान बल के लिए स्टोक्स के नियम का उपयोग करते हुए:
$\frac{4}{3} \pi R^3 \rho g = 6 \pi \eta R v$
जहाँ $R$ बुलबुले की त्रिज्या है,$\rho$ घोल का घनत्व है,$\eta$ श्यानता गुणांक है,और $v$ टर्मिनल वेग है।
दिया गया है:
व्यास $d = 6\,mm \implies R = 3\,mm = 3 \times 10^{-3}\,m$
घनत्व $\rho = 1750\,kg/m^3$
वेग $v = 0.35\,cm/s = 0.35 \times 10^{-2}\,m/s$
गुरुत्वीय त्वरण $g = 10\,m/s^2$
$\eta$ के लिए सूत्र को व्यवस्थित करने पर:
$\eta = \frac{2 R^2 \rho g}{9 v}$
मान रखने पर:
$\eta = \frac{2 \times (3 \times 10^{-3})^2 \times 1750 \times 10}{9 \times 0.35 \times 10^{-2}}$
$\eta = \frac{2 \times 9 \times 10^{-6} \times 17500}{9 \times 0.35 \times 10^{-2}}$
$\eta = \frac{2 \times 10^{-6} \times 17500}{0.35 \times 10^{-2}}$
$\eta = \frac{0.035}{0.0035} = 10\,Pa\cdot s$

(B) श्यान माध्यम में टर्मिनल वेग से गिरती हुई छोटी बूंद के लिए,टर्मिनल वेग $v$ का मान $v = \frac{2}{9} \frac{r^2 (\rho - \sigma) g}{\eta}$ होता है,जिसका अर्थ है कि $v \propto r^2$ है।
माना प्रत्येक छोटी बूंद की त्रिज्या $r$ है और $8$ छोटी बूंदों के मिलने से बनी बड़ी बूंद की त्रिज्या $R$ है।
आयतन के संरक्षण के कारण,$8 \times (\frac{4}{3} \pi r^3) = \frac{4}{3} \pi R^3$,जिससे $R^3 = 8r^3$ प्राप्त होता है,अतः $R = 2r$ है।
समानुपातिकता $v \propto r^2$ का उपयोग करने पर,हमें $\frac{v_1}{v_2} = (\frac{r}{R})^2$ प्राप्त होता है।
मान रखने पर,$\frac{10}{v_2} = (\frac{r}{2r})^2 = (\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}$।
अतः,$v_2 = 10 \times 4 = 40\,cm/s$।

(D) श्यान तरल में गिरते हुए गोलाकार पिंड का टर्मिनल वेग $V_t$,स्टोक्स के नियम द्वारा दिया जाता है: $V_t = \frac{2}{9} \frac{r^2 g (\rho - \sigma)}{\eta}$।
इससे,हम देख सकते हैं कि $V_t \propto r^2$ है।
इसलिए,सापेक्ष त्रुटि $\frac{\Delta V_t}{V_t} = 2 \frac{\Delta r}{r}$ द्वारा दी जाती है।
यहाँ $r = 5 \ mm$ और $\Delta r = 0.1 \ mm$ दिया गया है,इसलिए प्रतिशत त्रुटि $\frac{\Delta V_t}{V_t} \times 100\% = 2 \times \left( \frac{0.1}{5} \right) \times 100\% = 4\,\%$ है।
अतः,अभिकथन $A$ सत्य है।
कारण $R$ कहता है कि $V_t$ त्रिज्या के व्युत्क्रमानुपाती है,जो गलत है क्योंकि $V_t \propto r^2$ होता है। इसलिए,कारण $R$ असत्य है।

(B) जब एक स्टील की गेंद को ग्लिसरीन जैसे श्यान द्रव में गिराया जाता है,तो वह तीन बलों का अनुभव करती है: नीचे की ओर गुरुत्वाकर्षण बल $(mg)$,ऊपर की ओर उत्प्लावन बल $(F_B)$,और ऊपर की ओर श्यान बल $(F_v = 6 \pi \eta r v)$।
गति का समीकरण है: $mg - F_B - F_v = ma$
बलों के व्यंजक रखने पर: $(\rho \frac{4}{3} \pi r^3) g - (\rho_L \frac{4}{3} \pi r^3) g - 6 \pi \eta r v = m \frac{dv}{dt}$
मान लीजिए $K_1 = \frac{4}{3} \pi r^3 g (\rho - \rho_L) / m$ और $K_2 = \frac{6 \pi \eta r}{m}$। तब समीकरण बनता है: $\frac{dv}{dt} = K_1 - K_2 v$
प्रारंभिक स्थितियों ($t=0$ पर $v=0$) के साथ इस अवकल समीकरण का समाकलन करने पर: $\int_0^v \frac{dv}{K_1 - K_2 v} = \int_0^t dt$
इससे प्राप्त होता है: $v = \frac{K_1}{K_2} (1 - e^{-K_2 t})$
जैसे-जैसे $t \to \infty$,वेग एक स्थिर टर्मिनल वेग $v_T = \frac{K_1}{K_2}$ की ओर बढ़ता है। $v$ बनाम $t$ का ग्राफ एक घातांकीय वक्र है जो मूल बिंदु से शुरू होता है और अनंतस्पर्शी रूप से टर्मिनल वेग के करीब पहुंचता है,जो ग्राफ $B$ के अनुरूप है।

(A) श्यान माध्यम में गिरती $r$ त्रिज्या वाली गोलाकार गेंद का टर्मिनल वेग $v$,स्टोक्स के नियम द्वारा दिया जाता है: $F_{drag} = 6 \pi \eta r v$.
चूंकि माध्यम का घनत्व नगण्य है,इसलिए उत्प्लावन बल (buoyant force) नगण्य है। टर्मिनल वेग पर,गुरुत्वाकर्षण बल श्यान खिंचाव बल के बराबर होता है:
$Mg = 6 \pi \eta r v$
यह दिया गया है कि गेंद का द्रव्यमान $M$ स्थिर है,इसलिए:
$v \propto \frac{1}{r}$
मान लीजिए कि $r$ त्रिज्या के लिए टर्मिनल वेग $v$ है और $r' = 2r$ त्रिज्या के लिए टर्मिनल वेग $v'$ है।
अतः,$\frac{v'}{v} = \frac{r}{r'} = \frac{r}{2r} = \frac{1}{2}$.
इसलिए,$v' = \frac{v}{2}$.

(D) जब गेंद नियत वेग (सीमांत वेग) से नीचे गिरती है,तो उस पर लगने वाला कुल बल शून्य होता है।
गेंद पर लगने वाले बल हैं:
$1$. गेंद का भार $(W = mg)$ जो नीचे की ओर कार्य करता है।
$2$. उत्प्लावन बल $(F_B)$ जो ऊपर की ओर कार्य करता है।
$3$. श्यान बल $(F_v)$ जो ऊपर की ओर कार्य करता है।
नियत वेग की स्थिति के अनुसार,त्वरण $a = 0$ है।
इसलिए,$mg - F_B - F_v = 0$,जिसका अर्थ है $F_v = mg - F_B$.
उत्प्लावन बल $F_B$ विस्थापित द्रव के भार के बराबर होता है: $F_B = V \rho_0 g$,जहाँ $V$ गेंद का आयतन है।
चूँकि आयतन $V = \frac{m}{\rho}$ है,इसलिए $F_B = \frac{m}{\rho} \rho_0 g$ प्राप्त होता है।
इस मान को $F_v$ के समीकरण में रखने पर:
$F_v = mg - \frac{m}{\rho} \rho_0 g$
$F_v = mg \left(1 - \frac{\rho_0}{\rho}\right)$.

(B) गोलाकार बूंद का टर्मिनल वेग $V_t$ स्टोक्स के नियम द्वारा दिया जाता है: $V_t = \frac{2}{9} \frac{r^2(\rho - \sigma)g}{\eta}$.
इस सूत्र से, $V_t \propto r^2$, जहाँ $r$ बूंद की त्रिज्या है।
मान लीजिए $r$ छोटी बूंद की त्रिज्या है और $R$ उन $8$ छोटी बूंदों के मिलने से बनी बड़ी बूंद की त्रिज्या है।
चूँकि आयतन संरक्षित रहता है, बड़ी बूंद का आयतन $8$ छोटी बूंदों के आयतन के योग के बराबर होगा:
$\frac{4}{3}\pi R^3 = 8 \times \frac{4}{3}\pi r^3$.
$R^3 = 8r^3 \Rightarrow R = 2r$.
अब, नए टर्मिनल वेग $V_t'$ और प्रारंभिक टर्मिनल वेग $V_t$ का अनुपात है:
$\frac{V_t'}{V_t} = \frac{R^2}{r^2} = \frac{(2r)^2}{r^2} = 4$.
अतः, $V_t' = 4 \times V_t = 4 \times 10 \,cm/s = 40 \,cm/s$.

(C) श्यान द्रव में गोलाकार गेंद का टर्मिनल वेग $V_T$ स्टोक्स के नियम द्वारा दिया जाता है: $V_T = \frac{2}{9} \frac{R^2 g (\rho_B - \rho_L)}{\eta}$.
दिया गया है: $R = 10^{-4} \,m$, $\rho_B = 10^5 \,kg/m^3$, $\rho_L = 10^3 \,kg/m^3$, $\eta = 9.8 \times 10^{-6} \,N s/m^2$, और $g = 9.8 \,m/s^2$.
मान रखने पर: $V_T = \frac{2}{9} \times \frac{(10^{-4})^2 \times 9.8 \times (10^5 - 10^3)}{9.8 \times 10^{-6}}$.
$V_T = \frac{2}{9} \times \frac{10^{-8} \times 9.8 \times 99000}{9.8 \times 10^{-6}} = \frac{2}{9} \times 10^{-2} \times 99000 = 220 \,m/s$.
चूंकि पानी में प्रवेश करने के बाद वेग स्थिर रहता है, इसलिए $h$ ऊंचाई से गिरने के बाद का वेग टर्मिनल वेग के बराबर होना चाहिए: $V = \sqrt{2gh} = V_T$.
$h = \frac{V_T^2}{2g} = \frac{(220)^2}{2 \times 9.8} = \frac{48400}{19.6} \approx 2469 \,m$. दिए गए विकल्पों के अनुसार, निकटतम मान $2518 \,m$ है।

(D) श्यान द्रव में गिरते हुए गोले का सीमांत वेग $v$ निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है: $v = \frac{2gr^2(\rho - \sigma)}{9\eta}$,जहाँ $g$ गुरुत्वीय त्वरण है,$r$ गोले की त्रिज्या है,$\rho$ गोले का घनत्व है,$\sigma$ द्रव का घनत्व है,और $\eta$ श्यानता गुणांक है।
सीमांत वेगों का अनुपात: $\frac{v_P}{v_Q} = \frac{r_P^2(\rho_P - \sigma_1) \eta_2}{r_Q^2(\rho_Q - \sigma_2) \eta_1}$.
दिए गए मान:
$\rho_P = \rho_Q = 8 \ g \ cm^{-3}$
$r_P = 0.5 \ cm$,$r_Q = 0.25 \ cm$
$\sigma_1 = 0.8 \ g \ cm^{-3}$,$\sigma_2 = 1.6 \ g \ cm^{-3}$
$\eta_1 = 3 \ \text{poiseuille}$,$\eta_2 = 2 \ \text{poiseuille}$
इन मानों को अनुपात के सूत्र में रखने पर:
$\frac{v_P}{v_Q} = \frac{(0.5)^2 \times (8 - 0.8) \times 2}{(0.25)^2 \times (8 - 1.6) \times 3}$
$\frac{v_P}{v_Q} = \frac{0.25 \times 7.2 \times 2}{0.0625 \times 6.4 \times 3}$
$\frac{v_P}{v_Q} = \frac{3.6}{1.2} = 3$.
अतः,सीमांत वेगों का अनुपात $3$ है।

(D) मान लीजिए कि प्रत्येक गोले का आयतन $V$ है। निकाय के संतुलन में रहने और डोरी के तने रहने के लिए,निकाय पर कुल बल शून्य होना चाहिए।
चूंकि $P$,$L_1$ में है और $Q$,$L_2$ में है,और डोरी तनी हुई है,इसलिए $P$ को $L_1$ से हल्का होना चाहिए $(\rho_1 < \sigma_1)$ और $Q$ को $L_2$ से भारी होना चाहिए $(\rho_2 > \sigma_2)$।
संतुलन की स्थिति है: $(V\rho_1 g + V\rho_2 g) = (V\sigma_1 g + V\sigma_2 g)$,जिसका अर्थ है $\rho_1 + \rho_2 = \sigma_1 + \sigma_2$।
टर्मिनल वेग $v_t = \frac{2r^2g}{9\eta}(\rho_{sphere} - \sigma_{liquid})$ होता है।
$L_2$ में गोले $P$ के लिए: $\overrightarrow{V}_{P} = \frac{2r^2g}{9\eta_2}(\rho_1 - \sigma_2)$। चूंकि $\rho_1 < \sigma_1 < \sigma_2$,$\overrightarrow{V}_{P}$ ऊपर की ओर (ऋणात्मक) निर्देशित है।
$L_1$ में गोले $Q$ के लिए: $\overrightarrow{V}_{Q} = \frac{2r^2g}{9\eta_1}(\rho_2 - \sigma_1)$। चूंकि $\rho_2 > \sigma_2 > \sigma_1$,$\overrightarrow{V}_{Q}$ नीचे की ओर (धनात्मक) निर्देशित है।
इस प्रकार,$|\overrightarrow{V}_{P}| = \frac{2r^2g}{9\eta_2}(\sigma_2 - \rho_1)$ और $|\overrightarrow{V}_{Q}| = \frac{2r^2g}{9\eta_1}(\rho_2 - \sigma_1)$।
$\rho_2 - \sigma_1 = \sigma_2 - \rho_1$ का उपयोग करने पर,हमें $\frac{|\overrightarrow{V}_{P}|}{|\overrightarrow{V}_{Q}|} = \frac{\eta_1}{\eta_2}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\overrightarrow{V}_{P}$ ऊपर की ओर है और $\overrightarrow{V}_{Q}$ नीचे की ओर है,इसलिए $\overrightarrow{V}_{P} \cdot \overrightarrow{V}_{Q} < 0$।

(B) जब गेंद स्थिर टर्मिनल वेग के साथ चलती है,तो उसका त्वरण शून्य $(a = 0)$ होता है।
न्यूटन के दूसरे नियम के अनुसार,गेंद पर कार्य करने वाला कुल बल शून्य है।
गेंद पर कार्य करने वाले बल हैं:
$1$. गेंद का भार $(Mg)$ जो नीचे की ओर कार्य करता है।
$2$. उत्प्लावन बल $(F_B)$ जो ऊपर की ओर कार्य करता है।
$3$. श्यान बल $(f)$ जो ऊपर की ओर कार्य करता है।
बलों को संतुलित करने पर:
$Mg = F_B + f$
$f = Mg - F_B$
उत्प्लावन बल $F_B = V \rho_{glycerine} g$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $V$ गेंद का आयतन है।
चूंकि $M = V \rho_{ball}$,इसलिए $V = \frac{M}{\rho_{ball}}$ है।
दिया गया है कि $\rho_{glycerine} = \frac{1}{2} \rho_{ball}$,इसलिए:
$F_B = V (\frac{1}{2} \rho_{ball}) g = \frac{1}{2} (V \rho_{ball}) g = \frac{Mg}{2}$।
इस मान को बल के समीकरण में रखने पर:
$f = Mg - \frac{Mg}{2} = \frac{Mg}{2}$।

(B) $R$ त्रिज्या और $d$ घनत्व वाली एक गोलाकार गेंद का $\rho$ घनत्व और $\eta$ श्यानता वाले द्रव में टर्मिनल वेग $V_T = \frac{2}{9} R^2 \frac{g}{\eta} (d - \rho)$ द्वारा दिया जाता है।
कथन $A$ सही है क्योंकि $V_T \propto R^2$,जो एक परवलय को दर्शाता है।
कथन $B$ गलत है क्योंकि $V_T$ का मान $R^2$ पर निर्भर करता है; इसलिए,अलग-अलग व्यास के कारण टर्मिनल वेग अलग-अलग होते हैं।
कथन $C$ सही है क्योंकि श्यानता $\eta$ तापमान पर अत्यधिक निर्भर करती है।
कथन $D$ सही है क्योंकि $V_T$ को मापकर और $\eta$ को जानकर,द्रव के घनत्व $\rho$ का निर्धारण किया जा सकता है।
कथन $E$ गलत है क्योंकि $\eta$ द्रव का एक गुण है और यह गेंद की प्रारंभिक गति के आधार पर नहीं बदलता है।
अतः,कथन $A, C$ और $D$ सही हैं।

(D) टर्मिनल वेग $v_T$ का सूत्र स्टोक्स के नियम द्वारा दिया जाता है: $v_T = \frac{2}{9} \frac{(\rho_s - \rho_o) r^2 g}{\eta}$,जहाँ $\rho_s$ स्टील का घनत्व है,$\rho_o$ तेल का घनत्व है,$r$ गेंद की त्रिज्या है,$g$ गुरुत्वीय त्वरण है और $\eta$ श्यानता गुणांक है।
दिया गया है:
व्यास $d = 3.6 \ mm = 3.6 \times 10^{-3} \ m$,इसलिए त्रिज्या $r = 1.8 \times 10^{-3} \ m$.
$v_T = 2.45 \times 10^{-2} \ m/s$.
$\rho_s = 7825 \ kg/m^3$.
$\rho_o = 925 \ kg/m^3$.
$g = 9.8 \ m/s^2$.
$\eta$ के लिए सूत्र को व्यवस्थित करने पर: $\eta = \frac{2}{9} \frac{(\rho_s - \rho_o) r^2 g}{v_T}$.
मान रखने पर:
$\eta = \frac{2}{9} \times \frac{(7825 - 925) \times (1.8 \times 10^{-3})^2 \times 9.8}{2.45 \times 10^{-2}}$.
$\eta = \frac{2}{9} \times \frac{6900 \times 3.24 \times 10^{-6} \times 9.8}{2.45 \times 10^{-2}}$.
$\eta = \frac{2}{9} \times \frac{21902.4 \times 10^{-6}}{2.45 \times 10^{-2}} \approx 1.99 \ Pa \cdot s$.

(D) माना प्रत्येक छोटी बूंद की त्रिज्या $r$ है और बड़ी बूंद की त्रिज्या $R$ है। चूंकि बूंदों के मिलने पर आयतन स्थिर रहता है,इसलिए $8 \times (\frac{4}{3} \pi r^3) = \frac{4}{3} \pi R^3$ होगा।
इसे सरल करने पर $R^3 = 8r^3$ प्राप्त होता है,जिससे $R = 2r$ मिलता है।
बूंद का टर्मिनल वेग $V_T$ सूत्र $V_T = \frac{2}{9} \frac{r^2(\rho - \sigma)g}{\eta}$ द्वारा दिया जाता है,जिसका अर्थ है कि $V_T \propto r^2$ है।
अतः,टर्मिनल वेग का अनुपात $\frac{V_2}{V_1} = (\frac{R}{r})^2$ होगा।
मान रखने पर,$\frac{V_2}{6} = (\frac{2r}{r})^2 = 4$।
इस प्रकार,$V_2 = 6 \times 4 = 24 \ cm/s$।

(C) श्यान द्रव में गिरते हुए गोले का सीमांत वेग $V_T$ सूत्र द्वारा दिया जाता है: $V_T = \frac{2}{9} \frac{r^2 (\rho - \sigma) g}{\eta}$.
इस व्यंजक से,हम देख सकते हैं कि $V_T \propto r^2$,जहाँ $r$ गोले की त्रिज्या है।
दिया गया है: $r_1 = 3 \ mm$,$V_{T1} = 10 \ cm/s$,और $r_2 = 6 \ mm$.
अनुपात विधि का उपयोग करने पर: $\frac{V_{T2}}{V_{T1}} = \left( \frac{r_2}{r_1} \right)^2$.
मान रखने पर: $\frac{V_{T2}}{10} = \left( \frac{6}{3} \right)^2$.
$\frac{V_{T2}}{10} = (2)^2 = 4$.
$V_{T2} = 4 \times 10 = 40 \ cm/s$.

(A) सीमांत वेग $v_T$ का सूत्र $v_T = \frac{2}{9} \frac{g(\rho - \sigma)r^2}{\eta}$ है।
श्यानता $\eta$ के लिए सूत्र को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें मिलता है $\eta = \frac{2}{9} \frac{g(\rho - \sigma)r^2}{v_T}$.
दिए गए मान: $g = 980 \ cm \ s^{-2}$,$\rho = 8 \ g \ cm^{-3}$,$\sigma = 1.3 \ g \ cm^{-3}$,$r = 2 \ mm = 0.2 \ cm$,और $v_T = 4 \ cm \ s^{-1}$.
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$\eta = \frac{2}{9} \times \frac{980 \times (8 - 1.3) \times (0.2)^2}{4}$.
$\eta = \frac{2}{9} \times \frac{980 \times 6.7 \times 0.04}{4}$.
$\eta = \frac{2}{9} \times 980 \times 6.7 \times 0.01$.
$\eta = \frac{131.32}{9} \approx 14.59 \ \text{Poise} \approx 14.6 \ \text{Poise}$.

(C) श्यान माध्यम में गिरती हुई गोलाकार बूंद का टर्मिनल वेग $v_t$,स्टोक्स के नियम के अनुसार $v_t = \frac{2r^2(\rho - \sigma)g}{9\eta}$ द्वारा दिया जाता है।
इससे हमें पता चलता है कि $v_t \propto r^2$ है।
माना प्रत्येक छोटी बूंद की त्रिज्या $r$ है और बड़ी बूंद की त्रिज्या $R$ है।
जब $8$ छोटी बूंदें मिलकर एक बड़ी बूंद बनाती हैं,तो आयतन स्थिर रहता है:
$8 \times (\frac{4}{3} \pi r^3) = \frac{4}{3} \pi R^3$
$R^3 = 8r^3 \Rightarrow R = 2r$.
अब,$v_t \propto r^2$ के समानुपात का उपयोग करते हुए:
$\frac{v_{big}}{v_{small}} = \frac{R^2}{r^2} = \frac{(2r)^2}{r^2} = 4$.
दिया गया है कि $v_{small} = 16 \ cm/s$,इसलिए बड़ी बूंद का टर्मिनल वेग:
$v_{big} = 4 \times 16 \ cm/s = 64 \ cm/s$.

(B) गेंद का घनत्व $\rho = \frac{m}{V} = \frac{\pi/2}{\frac{4}{3}\pi(0.5)^3} = \frac{3}{8 \times 0.125} = 3 \ gm/cc$ है।
टर्मिनल वेग $V_T = \frac{\text{दूरी}}{\text{समय}} = \frac{50 \ cm}{5 \ s} = 10 \ cm/s$ है।
स्टोक के नियम के अनुसार, टर्मिनल वेग $V_T = \frac{2}{9} \frac{r^2(\rho - \sigma)g}{\eta}$ होता है, जहाँ $\sigma = 1.2 \ gm/cc$ द्रव का घनत्व है और $g = 980 \ cm/s^2$ है।
श्यानता $\eta$ के लिए सूत्र: $\eta = \frac{2}{9} \frac{r^2(\rho - \sigma)g}{V_T}$।
मान रखने पर: $\eta = \frac{2}{9} \times \frac{(0.5)^2 \times (3 - 1.2) \times 980}{10}$।
$\eta = \frac{2}{9} \times \frac{0.25 \times 1.8 \times 980}{10} = \frac{2}{9} \times \frac{0.45 \times 980}{10} = \frac{2}{9} \times 44.1 = 9.8 \ \text{poise}$।

(C) $R$ त्रिज्या और $\rho$ घनत्व वाले गोलाकार पिंड का $\sigma$ घनत्व वाले द्रव में टर्मिनल वेग $V_t = \frac{2}{9} \frac{R^2(\rho - \sigma)g}{\eta}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\eta$ द्रव का श्यानता गुणांक है।
चूंकि दोनों गोले समान वेग से गिर रहे हैं,इसलिए $V_{t1} = V_{t2}$ होगा।
अतः,$R_1^2(\rho_1 - \sigma) = R_2^2(\rho_2 - \sigma)$।
त्रिज्याओं के अनुपात के लिए: $\frac{R_1^2}{R_2^2} = \frac{\rho_2 - \sigma}{\rho_1 - \sigma}$।
यहाँ $\rho_1 = 8 \times 10^3 \ kg/m^3$,$\rho_2 = 11 \times 10^3 \ kg/m^3$,और $\sigma = 3 \times 10^3 \ kg/m^3$ दिया गया है।
मान रखने पर: $\frac{R_1^2}{R_2^2} = \frac{11 \times 10^3 - 3 \times 10^3}{8 \times 10^3 - 3 \times 10^3} = \frac{8 \times 10^3}{5 \times 10^3} = \frac{8}{5}$।
इसलिए,$\frac{R_1}{R_2} = \sqrt{\frac{8}{5}}$।

(A) मान लीजिए गेंद का आयतन $V$ है,गेंद का घनत्व $\rho_1$ है और द्रव का घनत्व $\rho_2$ है। दिया गया है $\rho_2 = 4\rho_1$.
स्थिर वेग से गति करती गेंद पर कार्य करने वाले बल उत्प्लावन बल $(F_B)$,गेंद का भार $(W)$ और श्यान घर्षण बल $(F_v)$ हैं।
चूंकि वेग स्थिर है,कुल बल शून्य है: $F_B = W + F_v$.
इसलिए,घर्षण बल $F_v = F_B - W$.
उत्प्लावन बल $F_B = V \rho_2 g = V(4\rho_1)g = 4V\rho_1 g$.
भार $W = V \rho_1 g$.
अतः,$F_v = 4V\rho_1 g - V\rho_1 g = 3V\rho_1 g$.
घर्षण बल और भार का अनुपात $\frac{F_v}{W} = \frac{3V\rho_1 g}{V\rho_1 g} = \frac{3}{1} = 3:1$ है।

(A) $R$ त्रिज्या और $\rho$ घनत्व वाले गोले का $\sigma$ घनत्व और $\eta$ श्यानता वाले द्रव में टर्मिनल वेग $V_T$ स्टोक्स के नियम के अनुसार है:
$V_T = \frac{2}{9} \frac{R^2 (\rho - \sigma) g}{\eta}$
चूंकि $R$,$g$ और $\eta$ दोनों गोलों के लिए स्थिर हैं,इसलिए टर्मिनल वेग घनत्व के अंतर के सीधे आनुपातिक है:
$V \propto (\rho - \sigma)$
अतः,पहले गोले के लिए: $V \propto (\rho_1 - \sigma)$
दूसरे गोले के लिए जिसका टर्मिनल वेग $V'$ है: $V' \propto (\rho_2 - \sigma)$
अनुपात लेने पर:
$\frac{V'}{V} = \frac{\rho_2 - \sigma}{\rho_1 - \sigma}$
$V' = V \left[ \frac{\rho_2 - \sigma}{\rho_1 - \sigma} \right]$

(A) $r$ त्रिज्या वाली बूंद का टर्मिनल वेग $V = \frac{2}{9} \frac{r^2(\rho - \sigma)g}{\eta}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि $V \propto r^2$,इसलिए $\frac{V_{big}}{V_{small}} = \frac{R^2}{r^2}$ होगा।
यह दिया गया है कि $r$ त्रिज्या की $n$ बूंदें मिलकर $R$ त्रिज्या की एक बड़ी बूंद बनाती हैं,इसलिए आयतन संरक्षण के अनुसार: $\frac{4}{3}\pi R^3 = n \cdot \frac{4}{3}\pi r^3$,जिसका अर्थ है $R^3 = nr^3$ या $R = n^{1/3}r$।
वेग के अनुपात में $R^2 = n^{2/3}r^2$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $V_{big} = V \cdot \frac{R^2}{r^2}$ प्राप्त होता है।

(D) एक श्यान माध्यम में गिरती $r$ त्रिज्या वाली गोलाकार वर्षा की बूंद का टर्मिनल वेग $v_t$ इस सूत्र द्वारा दिया जाता है: $v_t = \frac{2}{9} \frac{r^2 g (\rho - \sigma)}{\eta}$,जहाँ $\rho$ बूंद का घनत्व है,$\sigma$ हवा का घनत्व है,$g$ गुरुत्वीय त्वरण है और $\eta$ श्यानता गुणांक है।
चूंकि दोनों बूंदों के लिए ये सभी पैरामीटर स्थिर हैं,इसलिए $v_t \propto r^2$ है।
टर्मिनल वेग का अनुपात $\frac{v_{t1}}{v_{t2}} = \frac{9}{4}$ दिया गया है,इसलिए हम लिख सकते हैं: $\frac{r_1^2}{r_2^2} = \frac{9}{4}$।
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर,हमें $\frac{r_1}{r_2} = \frac{3}{2}$ प्राप्त होता है।
गोलाकार बूंद का आयतन $V = \frac{4}{3} \pi r^3$ द्वारा दिया जाता है,इसलिए $V \propto r^3$ है।
उनके आयतन का अनुपात $\frac{V_1}{V_2} = \left( \frac{r_1}{r_2} \right)^3 = \left( \frac{3}{2} \right)^3 = \frac{27}{8}$ होगा।
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(A) जब गेंद एक स्थिर टर्मिनल वेग प्राप्त कर लेती है,तो उस पर कार्य करने वाला कुल बल शून्य होता है।
गेंद पर कार्य करने वाले बल हैं:
$1$. भार $(W = mg)$ जो नीचे की ओर कार्य करता है।
$2$. उत्प्लावन बल $(F_B)$ जो ऊपर की ओर कार्य करता है।
$3$. श्यान बल $(F_v)$ जो ऊपर की ओर कार्य करता है।
संतुलन की स्थिति में,$F_v + F_B = W$,इसलिए $F_v = W - F_B$।
भार $W = mg$ है।
उत्प्लावन बल $F_B$ विस्थापित ग्लिसरीन के भार के बराबर होता है: $F_B = V d_2 g$,जहाँ $V$ गेंद का आयतन है।
चूंकि $m = V d_1$,इसलिए $V = m/d_1$ है।
$V$ का मान उत्प्लावन बल के समीकरण में रखने पर: $F_B = (m/d_1) d_2 g = mg(d_2/d_1)$।
अतः,श्यान बल $F_v = mg - mg(d_2/d_1) = mg(1 - d_2/d_1)$।

(B) मान लीजिए कि प्रत्येक छोटी बूंद की त्रिज्या $r$ है और बड़ी बूंद की त्रिज्या $R$ है।
चूंकि आयतन स्थिर रहता है, बड़ी बूंद का आयतन $125$ छोटी बूंदों के आयतन के योग के बराबर होगा:
$\frac{4}{3} \pi R^3 = 125 \times \frac{4}{3} \pi r^3$
$R^3 = 125 r^3 \implies R = 5r$.
बूंद का टर्मिनल वेग $v_t = \frac{2r^2(\rho - \sigma)g}{9\eta}$ द्वारा दिया जाता है, जिसका अर्थ है $v_t \propto r^2$.
मान लीजिए छोटी बूंद का टर्मिनल वेग $v$ है और बड़ी बूंद का टर्मिनल वेग $V$ है।
$\frac{V}{v} = \left(\frac{R}{r}\right)^2 = (5)^2 = 25$.
दिया गया है $v = 4 \,cm/s$, इसलिए $V = 25 \times 4 \,cm/s = 100 \,cm/s$.
मीटर प्रति सेकंड में बदलने पर: $100 \,cm/s = 1 \,m/s$.

(C) स्टोक्स के नियम के अनुसार,$\rho$ घनत्व और $r$ त्रिज्या वाला एक गोला जो $\rho_L$ घनत्व और $\eta$ श्यानता वाले द्रव में गिरता है,उसका टर्मिनल वेग $v_t = \frac{2}{9} \frac{r^2 g}{\eta} (\rho - \rho_L)$ होता है।
चूंकि दोनों गोले समान टर्मिनल चाल से गिर रहे हैं,इसलिए: $r_1^2 (\rho_1 - \rho_L) = r_2^2 (\rho_2 - \rho_L)$।
त्रिज्याओं के अनुपात के लिए: $\frac{r_1^2}{r_2^2} = \frac{\rho_2 - \rho_L}{\rho_1 - \rho_L}$।
दिए गए मान रखने पर: $\frac{r_1^2}{r_2^2} = \frac{11 \times 10^3 - 2 \times 10^3}{8 \times 10^3 - 2 \times 10^3} = \frac{9 \times 10^3}{6 \times 10^3} = \frac{9}{6} = \frac{3}{2}$।
अतः,उनकी त्रिज्याओं का अनुपात $\frac{r_1}{r_2} = \sqrt{\frac{3}{2}}$ है।

(A) जब गेंद पानी की सतह से टकराती है तो उसका वेग $v = \sqrt{2gh}$ होता है।
पानी में गेंद का सीमांत वेग (terminal velocity) स्टोक्स के नियम द्वारा दिया जाता है: $v = \frac{2}{9} r^2 g \frac{(\rho - \sigma)}{\eta}$,जहाँ $\rho$ गेंद का घनत्व है,$\sigma$ पानी का घनत्व है,और $\eta$ श्यानता गुणांक है।
वेग के लिए दोनों समीकरणों की तुलना करने पर:
$\sqrt{2gh} = \frac{2}{9} \frac{r^2 g}{\eta} (\rho - \sigma)$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$2gh = \left( \frac{2}{9} \frac{r^2 g}{\eta} (\rho - \sigma) \right)^2$
$h = \frac{2}{81} \frac{r^4 g}{\eta^2} (\rho - \sigma)^2$
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$r = 9 \times 10^{-4} \ m$,$\rho = 10^4 \ kg/m^3$,$\sigma = 10^3 \ kg/m^3$,$\eta = 8.1 \times 10^{-4} \ Pa \cdot s$,$g = 10 \ m/s^2$.
गणना करने पर $h = 20 \ m$ प्राप्त होता है।

(D) टर्मिनल वेग $v$ का सूत्र $v = \frac{2r^2g(\rho - \sigma)}{9\eta}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $r$ गेंद की त्रिज्या है,$g$ गुरुत्वीय त्वरण है,$\rho$ गेंद का घनत्व है,$\sigma$ द्रव का घनत्व है,और $\eta$ श्यानता गुणांक है।
चूंकि गेंद का पदार्थ और द्रव समान रहते हैं,इसलिए $v \propto r^2$ होगा।
अतः,$\frac{v_2}{v_1} = \left(\frac{r_2}{r_1}\right)^2$.
दिया गया है $r_1 = 6 \ mm$,$v_1 = 12 \ cm s^{-1}$,और $r_2 = 3 \ mm$।
मान रखने पर: $\frac{v_2}{12} = \left(\frac{3}{6}\right)^2 = \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}$।
इस प्रकार,$v_2 = \frac{12}{4} = 3 \ cm s^{-1}$।

(C) मान लीजिए कि दो समान पानी की बूंदों में से प्रत्येक की त्रिज्या $r$ है।
जब वे मिलकर $R$ त्रिज्या की एक बड़ी बूंद बनाती हैं,तो आयतन संरक्षित रहता है।
अतः,$\frac{4}{3} \pi R^3 = 2 \times \frac{4}{3} \pi r^3$,जिससे हमें $R^3 = 2r^3$ या $R = 2^{1/3} r$ प्राप्त होता है।
श्यान माध्यम में गिरती हुई गोलाकार बूंद का टर्मिनल वेग $V = \frac{2}{9} \frac{r^2(\rho - \sigma)g}{\eta}$ द्वारा दिया जाता है।
इस व्यंजक से,हम देख सकते हैं कि $V \propto r^2$ है।
यदि नई बूंद का टर्मिनल वेग $V'$ है,तो $\frac{V'}{V} = \frac{R^2}{r^2}$ होगा।
$R = 2^{1/3} r$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\frac{V'}{V} = \frac{(2^{1/3} r)^2}{r^2} = \frac{2^{2/3} r^2}{r^2} = 2^{2/3}$ प्राप्त होता है।
अतः,नया टर्मिनल वेग $V' = 2^{2/3} V$ होगा।

(A) $R$ त्रिज्या और $\rho$ घनत्व वाले गोले का $\sigma$ घनत्व और $\eta$ श्यानता वाले द्रव में टर्मिनल वेग $v$,स्टोक्स के नियम के अनुसार इस प्रकार दिया जाता है:
$v = \frac{2}{9} \frac{(\rho - \sigma) R^2 g}{\eta}$
पहले गोले के लिए जिसका घनत्व $\rho_1$ और टर्मिनल वेग $V_1$ है:
$V_1 = \frac{2}{9} \frac{(\rho_1 - \sigma) R^2 g}{\eta}$
दूसरे गोले के लिए जिसका घनत्व $\rho_2$ और टर्मिनल वेग $V_2$ है:
$V_2 = \frac{2}{9} \frac{(\rho_2 - \sigma) R^2 g}{\eta}$
$V_1$ और $V_2$ का अनुपात लेने पर:
$\frac{V_1}{V_2} = \frac{\frac{2}{9} \frac{(\rho_1 - \sigma) R^2 g}{\eta}}{\frac{2}{9} \frac{(\rho_2 - \sigma) R^2 g}{\eta}}$
$\frac{V_1}{V_2} = \frac{\rho_1 - \sigma}{\rho_2 - \sigma}$
अतः,$V_1 : V_2$ का अनुपात $(\rho_1 - \sigma) : (\rho_2 - \sigma)$ है।

(B) श्यान द्रव में गिरते हुए गोले का टर्मिनल वेग $v$ निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$v = \frac{2r^2(\rho - \sigma)g}{9\eta}$
जहाँ $r$ गोले की त्रिज्या है,$\rho$ गोले का घनत्व है,$\sigma$ द्रव का घनत्व है,$g$ गुरुत्वीय त्वरण है और $\eta$ श्यानता गुणांक है।
चूँकि दोनों गोले समान एकसमान गति से गिर रहे हैं,इसलिए उनके टर्मिनल वेग समान हैं:
$v_1 = v_2$
$\frac{2r_1^2(\rho_1 - \sigma)g}{9\eta} = \frac{2r_2^2(\rho_2 - \sigma)g}{9\eta}$
$r_1^2(\rho_1 - \sigma) = r_2^2(\rho_2 - \sigma)$
$\frac{r_1^2}{r_2^2} = \frac{\rho_2 - \sigma}{\rho_1 - \sigma}$
$\frac{r_1}{r_2} = \sqrt{\frac{\rho_2 - \sigma}{\rho_1 - \sigma}}$
दिया गया है: $\rho_1 = 11.5 \times 10^3 \ kg/m^3$,$\rho_2 = 8.5 \times 10^3 \ kg/m^3$,और $\sigma = 2.5 \times 10^3 \ kg/m^3$.
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{r_1}{r_2} = \sqrt{\frac{8.5 \times 10^3 - 2.5 \times 10^3}{11.5 \times 10^3 - 2.5 \times 10^3}} = \sqrt{\frac{6.0 \times 10^3}{9.0 \times 10^3}} = \sqrt{\frac{6}{9}} = \sqrt{\frac{2}{3}}$

(C) श्यान द्रव में गिरते हुए गोलाकार पिंड का सीमांत वेग $V$ सूत्र $V = \frac{2g(\rho - \sigma)r^2}{9\eta}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि पदार्थ समान है,इसलिए घनत्व $\rho$ स्थिर है। सीमांत वेग त्रिज्या के वर्ग के समानुपाती होता है: $V \propto r^2$.
दिया गया है कि द्रव्यमान $m$ बढ़कर $8m$ हो जाता है,और घनत्व स्थिर होने के कारण,आयतन $V_{ol} = \frac{m}{\rho}$ भी $8$ गुना बढ़ जाता है।
चूंकि $V_{ol} = \frac{4}{3}\pi r^3$,यदि आयतन $8$ गुना हो जाता है,तो त्रिज्या $r$ दोगुनी हो जाती है $(r_2 = 2r_1)$।
इसलिए,नया सीमांत वेग $V_2$ इस प्रकार होगा: $\frac{V_2}{V_0} = \left(\frac{r_2}{r_1}\right)^2 = (2)^2 = 4$.
अतः,$V_2 = 4V_0$।

(D) श्यान माध्यम में गिरती हुई गोलाकार बूंद का टर्मिनल वेग $v = \frac{2r^2(\rho - \sigma)g}{9\eta}$ द्वारा दिया जाता है।
अतः,$v \propto r^2$ है।
मान लीजिए कि प्रत्येक छोटी बूंद की त्रिज्या $r$ है और बड़ी बूंद की त्रिज्या $R$ है।
चूंकि बूंदों के मिलने पर आयतन संरक्षित रहता है,इसलिए $\frac{4}{3}\pi R^3 = 2 \times \frac{4}{3}\pi r^3$,जिसका अर्थ है $R^3 = 2r^3$ या $R = 2^{1/3}r$।
प्रारंभिक टर्मिनल वेग $v_1 = 5 \,cm/s$ दिया गया है,इसलिए नया टर्मिनल वेग $v_2$ होगा:
$v_2 = v_1 \times \left(\frac{R}{r}\right)^2$
$v_2 = 5 \times \left(\frac{2^{1/3}r}{r}\right)^2$
$v_2 = 5 \times (2^{1/3})^2 = 5 \times 2^{2/3} = 5 \times 4^{1/3} \,cm/s$।

(C) दिया गया है: गोले का द्रव्यमान $= m$,गोले का घनत्व $= \sigma_1$,तरल का घनत्व $= \sigma_2$.
टर्मिनल वेग $v_t$ पर,गोले पर कार्य करने वाले बल संतुलित होते हैं।
नीचे की ओर कार्य करने वाला बल भार $W = mg$ है।
ऊपर की ओर कार्य करने वाले बल श्यान बल $F_V$ और उत्प्लावन बल $F_B$ हैं।
$W = F_V + F_B$
$mg = F_V + (\text{आयतन} \times \sigma_2 \times g)$
चूंकि $m = \sigma_1 \times \text{आयतन}$,इसलिए $\text{आयतन} = \frac{m}{\sigma_1}$ है।
$mg = F_V + \left(\frac{m}{\sigma_1} \times \sigma_2 \times g\right)$
$F_V = mg - \frac{m \sigma_2 g}{\sigma_1}$
$F_V = mg \left(1 - \frac{\sigma_2}{\sigma_1}\right)$

(D) श्यान द्रव में गिरती $r$ त्रिज्या की गोलाकार गेंद का टर्मिनल वेग $v$,स्टोक्स के नियम के अनुसार है:
$v = \frac{2r^2(\rho - \sigma)g}{9\eta}$
जहाँ $\rho$ गेंद का घनत्व है,$\sigma$ द्रव का घनत्व है,$g$ गुरुत्वीय त्वरण है और $\eta$ श्यानता गुणांक है।
चूंकि पदार्थ और द्रव समान हैं,इसलिए $\rho$,$\sigma$ और $\eta$ स्थिरांक हैं।
अतः,$v \propto r^2$.
यहाँ $r_1 = r$ और $r_2 = \frac{r}{3}$ दिया गया है,इसलिए टर्मिनल वेग का अनुपात:
$\frac{v_1}{v_2} = \frac{r_1^2}{r_2^2} = \frac{r^2}{(\frac{r}{3})^2} = \frac{r^2}{\frac{r^2}{9}} = 9$.
इस प्रकार,$v_2 = \frac{v_1}{9} = \frac{V}{9}$.

(C) जब कोई गेंद टर्मिनल वेग के साथ गति करती है,तो उस पर कार्य करने वाला कुल बल शून्य होता है। गेंद पर नीचे की ओर गुरुत्वाकर्षण बल (भार) और ऊपर की ओर उत्प्लावन बल (buoyant force) तथा श्यान बल (viscous force) कार्य करते हैं।
$Mg = F_v + F_b$
जहाँ $Mg$ भार है,$F_v$ श्यान बल है,और $F_b$ उत्प्लावन बल है।
गेंद का भार $Mg = V \rho g$ है,जहाँ $V$ गेंद का आयतन है।
उत्प्लावन बल $F_b = V \sigma g$ है।
इन मानों को बल संतुलन समीकरण में रखने पर:
$V \rho g = F_v + V \sigma g$
$F_v = V \rho g - V \sigma g = V g (\rho - \sigma)$
चूंकि $V = \frac{M}{\rho}$,इसलिए $F_v$ के व्यंजक में $V$ का मान रखने पर:
$F_v = \frac{M}{\rho} g (\rho - \sigma) = M g \left( \frac{\rho - \sigma}{\rho} \right) = M g \left( 1 - \frac{\sigma}{\rho} \right)$.

(D) मान लीजिए कि बड़ी और छोटी बूंदों की त्रिज्याएँ क्रमशः $R$ और $r$ हैं। बड़ी बूंद का आयतन $= 8 \times$ एक छोटी बूंद का आयतन।
$\frac{4}{3} \pi R^3 = 8 \times \frac{4}{3} \pi r^3$
$R^3 = 8r^3 \implies R = 2r$
स्टोक्स के नियम के अनुसार,टर्मिनल वेग $v_t = \frac{2r^2(\rho - \sigma)g}{9\eta}$ होता है,जिसका अर्थ है कि $v_t \propto r^2$।
मान लीजिए कि बड़ी बूंद का टर्मिनल वेग $V$ है।
$\frac{V}{v} = \frac{R^2}{r^2} = \frac{(2r)^2}{r^2} = \frac{4r^2}{r^2} = 4$
अतः,$V = 4v$।

(D) टर्मिनल वेग का सूत्र इस प्रकार है:
$V_{T} = \frac{2}{9} r^2 \frac{(\rho-\sigma)g}{\eta}$
यहाँ,$V_{T} \propto r^2$ है।
द्रव्यमान और त्रिज्या के बीच संबंध:
$m \propto \text{volume} \propto r^3$
इसलिए,$\frac{m_1}{m_2} = \left(\frac{r_1}{r_2}\right)^3$ होता है।
यहाँ $m_1 = m$ और $m_2 = 8m$ दिया गया है,इसलिए:
$\frac{m}{8m} = \left(\frac{r_1}{r_2}\right)^3 \Rightarrow \frac{1}{8} = \left(\frac{r_1}{r_2}\right)^3$
$\frac{r_1}{r_2} = \frac{1}{2} \Rightarrow r_2 = 2r_1$ प्राप्त होता है।
अब,टर्मिनल वेग का अनुपात:
$\frac{V_{T2}}{V_{T1}} = \left(\frac{r_2}{r_1}\right)^2 = (2)^2 = 4$ होता है।
अतः,$V_{T2} = 4V_{T1} = 4V$।

(A) श्यान तरल में गिरती हुई गोलाकार बूंद का टर्मिनल वेग $v$,स्टोक्स के नियम द्वारा दिया जाता है: $v = \frac{2}{9} \frac{r^2(\rho - \sigma)g}{\eta}$.
इस व्यंजक से,हम देखते हैं कि टर्मिनल वेग त्रिज्या के वर्ग के सीधे आनुपातिक है: $v \propto r^2$.
मान लीजिए कि $r$ त्रिज्या वाली छोटी बूंदों का टर्मिनल वेग $V$ है और $R$ त्रिज्या वाली बड़ी बूंद का टर्मिनल वेग $V'$ है।
आनुपातिकता संबंध के अनुसार:
$\frac{V'}{V} = \frac{R^2}{r^2}$
अतः,बड़ी बूंद का टर्मिनल वेग $V' = \frac{V R^2}{r^2}$ होगा।

(B) टर्मिनल वेग $v_{T}$ के लिए शर्त यह है कि गेंद पर लगने वाला कुल बल शून्य होता है। टर्मिनल वेग पर,गेंद का भार उत्प्लावन बल और श्यान बल द्वारा संतुलित होता है।
भार $(W) = \rho V g$
उत्प्लावन बल $(f) = \sigma V g$
श्यान बल $(F) = K v_{T}^2$
बलों को बराबर करने पर: $W = f + F$
$\rho V g = \sigma V g + K v_{T}^2$
$K v_{T}^2 = V g (\rho - \sigma)$
$v_{T}^2 = \frac{V g (\rho - \sigma)}{K}$
$v_{T} = \sqrt{\frac{V g (\rho - \sigma)}{K}}$

(D) चूंकि गेंद का वेग स्थिर हो जाता है,इसका अर्थ है कि गेंद ने सीमांत वेग (terminal velocity) प्राप्त कर लिया है। इस स्थिति में,गेंद पर कार्य करने वाला कुल बल शून्य है।
गेंद पर नीचे की ओर गुरुत्वाकर्षण बल $(Mg)$,ऊपर की ओर उत्प्लावन बल $(F_B)$ और ऊपर की ओर श्यान बल $(F_V)$ कार्य करते हैं।
संतुलन की स्थिति के अनुसार:
$F_V + F_B = Mg$
हम जानते हैं कि उत्प्लावन बल $F_B = V d_2 g$,जहाँ $V$ गेंद का आयतन है।
चूंकि गेंद का द्रव्यमान $M = V d_1$ है,इसलिए आयतन $V = \frac{M}{d_1}$ होगा।
उत्प्लावन बल के समीकरण में $V$ का मान रखने पर:
$F_B = \frac{M}{d_1} d_2 g$
अब,संतुलन के समीकरण में $F_B$ का मान रखने पर:
$F_V + \frac{M}{d_1} d_2 g = Mg$
$F_V = Mg - \frac{M d_2 g}{d_1}$
$F_V = Mg(1 - \frac{d_2}{d_1})$

(B) $r$ त्रिज्या और $\rho$ घनत्व वाले गोले का $\rho_L$ घनत्व और $\eta$ श्यानता वाले द्रव में टर्मिनल वेग $V$ निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$V = \frac{2}{9} \frac{r^2 g (\rho - \rho_L)}{\eta}$
चूंकि गोले समान आकार के हैं ($r$ स्थिर है) और एक ही द्रव में हैं ($\eta$ और $\rho_L$ स्थिर हैं),टर्मिनल वेग घनत्व के अंतर के सीधे आनुपातिक है:
$V \propto (\rho - \rho_L)$
अतः,टर्मिनल वेग का अनुपात:
$\frac{V_A}{V_B} = \frac{\rho_A - \rho_L}{\rho_B - \rho_L}$
दिए गए मानों को रखने पर:
$\frac{0.4}{V_B} = \frac{7.5 - 1.5}{3 - 1.5} = \frac{6.0}{1.5} = 4$
$V_B = \frac{0.4}{4} = 0.1 \ ms^{-1}$

(B) गेंद नियत वेग से गति कर रही है,इसलिए उस पर कार्य करने वाला कुल बल शून्य है।
माना गेंद का घनत्व $\rho_{b}$ है और द्रव का घनत्व $\rho_{\ell}$ है।
दिया गया है कि $\rho_{\ell} = 4\rho_{b}$।
गेंद का भार $W = V \rho_{b} g$ है,जो नीचे की ओर कार्य करता है।
उत्प्लावन बल (buoyant force) $F_{B} = V \rho_{\ell} g$ है,जो ऊपर की ओर कार्य करता है।
चूंकि गेंद नियत वेग से ऊपर आ रही है,इसलिए श्यान बल $F_{v}$ नीचे की ओर कार्य करता है।
बलों को संतुलित करने पर: $F_{B} = W + F_{v}$।
अतः,$F_{v} = F_{B} - W = V \rho_{\ell} g - V \rho_{b} g = V g (4\rho_{b} - \rho_{b}) = 3 V \rho_{b} g$।
चूंकि $W = V \rho_{b} g$,इसलिए $F_{v} = 3W$।
इस प्रकार,श्यान बल गेंद के भार से $3$ गुना अधिक है।

(C) स्टोक्स के नियम के अनुसार, एक श्यान द्रव में गिरते हुए गोलाकार पिंड का सीमांत वेग (terminal velocity) $V$ इस प्रकार दिया जाता है: $V = \frac{2}{9} \frac{r^2 g (\rho - \sigma)}{\eta}$।
इस सूत्र से यह स्पष्ट है कि सीमांत वेग गेंद की त्रिज्या के वर्ग के सीधे आनुपातिक होता है, अर्थात $V \propto r^2$।
दिया गया है:
त्रिज्या $r_1 = 2 \,cm$, वेग $V_1 = 20 \,cm / s$।
त्रिज्या $r_2 = 1 \,cm$, वेग $V_2 = ?$।
आनुपातिकता $V \propto r^2$ का उपयोग करते हुए:
$\frac{V_2}{V_1} = \left(\frac{r_2}{r_1}\right)^2$
$\frac{V_2}{20} = \left(\frac{1}{2}\right)^2$
$\frac{V_2}{20} = \frac{1}{4}$
$V_2 = \frac{20}{4} = 5 \,cm / s$।

(B) मान लीजिए कि प्रत्येक छोटी बूंद की त्रिज्या $r$ है और बड़ी बूंद की त्रिज्या $R$ है।
संलयन के दौरान आयतन स्थिर रहता है:
$n \times (\frac{4}{3} \pi r^3) = \frac{4}{3} \pi R^3$
$R^3 = n r^3 \implies R = n^{1/3} r$
स्टोक्स के नियम के अनुसार टर्मिनल वेग $v_t = \frac{2r^2(\rho - \sigma)g}{9\eta}$ होता है।
अतः,$v_t \propto r^2$।
मान लीजिए $v_1 = 5 \ cm/s$ छोटी बूंद का टर्मिनल वेग है और $v_2$ बड़ी बूंद का टर्मिनल वेग है।
$\frac{v_2}{v_1} = \left(\frac{R}{r}\right)^2 = (n^{1/3})^2 = n^{2/3}$।
$v_2 = v_1 \times n^{2/3} = 5 n^{2/3} \ cm/s$।

(C) श्यान माध्यम में गिरती हुई गोलाकार वस्तु का सीमांत वेग $v_{t}$,स्टोक्स के नियम के अनुसार $v_{t} = \frac{2r^{2}(\rho - \sigma)g}{9\eta}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि बूंद का घनत्व $\rho$,हवा का घनत्व $\sigma$,गुरुत्वीय त्वरण $g$ और श्यानता गुणांक $\eta$ दोनों बूंदों के लिए स्थिर हैं,इसलिए $v_{t} \propto r^{2}$ होता है।
त्रिज्याओं का दिया गया अनुपात $\frac{r_{1}}{r_{2}} = \frac{1}{2}$ है।
अतः,उनके सीमांत वेगों का अनुपात $\frac{v_{t1}}{v_{t2}} = \left(\frac{r_{1}}{r_{2}}\right)^{2} = \left(\frac{1}{2}\right)^{2} = \frac{1}{4}$ होगा।
इस प्रकार,अनुपात $1: 4$ है।

(A) जब एक गोला टर्मिनल वेग से गिरता है,तो उस पर कार्य करने वाला कुल बल शून्य होता है।
गोले पर कार्य करने वाले बल हैं:
$1$. भार $(W = mg)$ जो नीचे की ओर कार्य करता है।
$2$. उत्प्लावन बल $(F_{B})$ जो ऊपर की ओर कार्य करता है।
$3$. श्यान बल $(F_{v})$ जो ऊपर की ओर कार्य करता है।
टर्मिनल वेग पर: $W = F_{B} + F_{v}$.
अतः,$F_{v} = W - F_{B}$.
गोले का भार $W = V \sigma_{1} g$ है,जहाँ $V$ गोले का आयतन है।
चूँकि $m = V \sigma_{1}$,इसलिए $V = \frac{m}{\sigma_{1}}$ है।
उत्प्लावन बल $F_{B} = V \sigma_{2} g = (\frac{m}{\sigma_{1}}) \sigma_{2} g = mg(\frac{\sigma_{2}}{\sigma_{1}})$ है।
इन मानों को श्यान बल के समीकरण में रखने पर:
$F_{v} = mg - mg(\frac{\sigma_{2}}{\sigma_{1}}) = mg(1 - \frac{\sigma_{2}}{\sigma_{1}})$।

(A) जब एक गोला टर्मिनल वेग से गति करता है,तो उस पर कार्य करने वाला कुल बल शून्य होता है।
गोले पर कार्य करने वाले बल हैं: नीचे की ओर भार $(W)$,ऊपर की ओर उत्प्लावन बल $(F_{B})$,और ऊपर की ओर श्यान बल $(F_{v})$।
$W = F_{B} + F_{v}$
$F_{v} = W - F_{B}$
भार $W = Mg = V d_{1} g$,जहाँ $V$ गोले का आयतन है।
उत्प्लावन बल $F_{B} = V d_{2} g$ है।
इन मानों को समीकरण में रखने पर:
$F_{v} = V d_{1} g - V d_{2} g = V d_{1} g (1 - \frac{d_{2}}{d_{1}})$.
चूंकि $M = V d_{1}$,हमें प्राप्त होता है:
$F_{v} = Mg (1 - \frac{d_{2}}{d_{1}})$.

(D) $R$ त्रिज्या और $\rho$ घनत्व वाला गोला जब $\sigma$ घनत्व और $\eta$ श्यानता वाले द्रव में गति करता है,तो उसका टर्मिनल वेग स्टोक्स के नियम के अनुसार: $6 \pi \eta R v = \frac{4}{3} \pi R^{3} g (\rho - \sigma)$ होता है।
अतः,$v \propto (\rho - \sigma)$ प्राप्त होता है।
पहले गोले के लिए: $v_{1} \propto (\varrho_{1} - \sigma)$.
दूसरे गोले के लिए: $v_{2} \propto (\varrho_{2} - \sigma)$.
अनुपात लेने पर: $\frac{v_{2}}{v_{1}} = \frac{\varrho_{2} - \sigma}{\varrho_{1} - \sigma}$.
इसलिए,$v_{2} = \left[\frac{\varrho_{2} - \sigma}{\varrho_{1} - \sigma}\right] v_{1}$ होगा।