Surface Energy Questions in Hindi

(D) जब किसी द्रव का पृष्ठीय क्षेत्रफल बढ़ाया जाता है,तो द्रव के भीतर से अणु सतह की ओर आते हैं।
जैसे ही ये अणु सतह पर पहुँचते हैं,ससंजक बल (cohesive force) के विरुद्ध कार्य किया जाता है।
यह कार्य अणुओं में स्थितिज ऊर्जा के रूप में संचित हो जाता है।
अतः,सतह पर स्थित अणुओं की स्थितिज ऊर्जा द्रव के भीतर स्थित अणुओं की तुलना में अधिक होती है।

(D) साबुन के बुलबुले की दो सतहें (आंतरिक और बाहरी) होती हैं। $r$ त्रिज्या वाले गोलाकार बुलबुले का पृष्ठीय क्षेत्रफल $A = 4\pi r^2$ होता है।
दो सतहें होने के कारण, कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल $A_{total} = 2 \times 4\pi r^2 = 8\pi r^2$ होता है।
प्रारंभिक पृष्ठीय क्षेत्रफल $A_1 = 8\pi r^2$ है।
जब त्रिज्या को दोगुना करके $R = 2r$ किया जाता है, तो अंतिम पृष्ठीय क्षेत्रफल $A_2 = 8\pi (2r)^2 = 8\pi (4r^2) = 32\pi r^2$ होता है।
पृष्ठीय क्षेत्रफल में परिवर्तन $\Delta A = A_2 - A_1 = 32\pi r^2 - 8\pi r^2 = 24\pi r^2$ है।
किया गया कार्य (आवश्यक ऊर्जा) $W = T \times \Delta A = T \times 24\pi r^2 = 24\pi r^2 T$ है।

(C) साबुन के बुलबुले की दो सतहें (आंतरिक और बाहरी) होती हैं। $d$ व्यास वाले गोलाकार बुलबुले का पृष्ठीय क्षेत्रफल $A = 4\pi r^2 = 4\pi (d/2)^2 = \pi d^2$ होता है।
दो सतहें होने के कारण, कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल $A_{total} = 2 \times \pi d^2 = 2\pi d^2$ होता है।
किया गया कार्य $W$ पृष्ठ ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है: $W = T \times \Delta A$.
प्रारंभिक व्यास $d_1 = D$, इसलिए प्रारंभिक क्षेत्रफल $A_1 = 2\pi D^2$.
अंतिम व्यास $d_2 = 2D$, इसलिए अंतिम क्षेत्रफल $A_2 = 2\pi (2D)^2 = 8\pi D^2$.
क्षेत्रफल में परिवर्तन $\Delta A = A_2 - A_1 = 8\pi D^2 - 2\pi D^2 = 6\pi D^2$.
अतः, किया गया कार्य $W = T \times 6\pi D^2 = 6\pi D^2 T$ होगा।

(C) साबुन के बुलबुले की दो सतहें (आंतरिक और बाहरी) होती हैं। इसलिए,त्रिज्या को $r_1$ से $r_2$ तक बढ़ाने में किया गया कार्य $W$ निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$W = 2 \times [T \times (A_2 - A_1)] = 2 \times T \times 4\pi(r_2^2 - r_1^2) = 8\pi T(r_2^2 - r_1^2)$
दिया गया है:
$T = 30 \text{ dynes/cm}$
$r_1 = \frac{1}{\sqrt{\pi}} \text{ cm}$
$r_2 = \frac{2}{\sqrt{\pi}} \text{ cm}$
मान रखने पर:
$W = 8 \times \pi \times 30 \times \left[ \left( \frac{2}{\sqrt{\pi}} \right)^2 - \left( \frac{1}{\sqrt{\pi}} \right)^2 \right]$
$W = 240\pi \times \left[ \frac{4}{\pi} - \frac{1}{\pi} \right]$
$W = 240\pi \times \frac{3}{\pi}$
$W = 240 \times 3 = 720 \text{ ergs}$.

(C) द्रव की फिल्म की पृष्ठ ऊर्जा $U$ का सूत्र $U = T \times \Delta A_{total}$ है।
चूंकि लूप पर बनी पतली फिल्म की दो मुक्त सतहें होती हैं (प्रत्येक तरफ एक),इसलिए कुल पृष्ठ क्षेत्रफल $\Delta A_{total}$ फिल्म के क्षेत्रफल का दोगुना होता है।
दिया गया है: पृष्ठ तनाव $T = 5 \, N/m$ और एक तरफ का क्षेत्रफल $A = 0.02 \, m^2$ है।
कुल पृष्ठ क्षेत्रफल $\Delta A_{total} = 2 \times A = 2 \times 0.02 = 0.04 \, m^2$ है।
अतः,पृष्ठ ऊर्जा $U = 5 \times 0.04 = 0.2 \, J$ होगी।
इसे $2 \times 10^{-1} \, J$ के रूप में लिखा जा सकता है।

(A) साबुन के बुलबुले की दो सतहें होती हैं: एक आंतरिक सतह और एक बाहरी सतह।
इसलिए,सतह के क्षेत्रफल में कुल परिवर्तन $2 \times (4\pi r^2) = 8\pi r^2$ है।
किया गया कार्य $W$,पृष्ठ तनाव $T$ और सतह के क्षेत्रफल में परिवर्तन के गुणनफल के बराबर होता है।
$W = T \times \Delta A = T \times 8\pi r^2 = 8\pi r^2 T$.

(B) द्रव की पृष्ठ ऊर्जा को पृष्ठ तनाव के बल के विरुद्ध द्रव के पृष्ठीय क्षेत्रफल को बढ़ाने में किए गए कार्य के रूप में परिभाषित किया जाता है।
गणितीय रूप से,पृष्ठ ऊर्जा में परिवर्तन $(\Delta U)$,पृष्ठ तनाव $(T)$ और पृष्ठीय क्षेत्रफल में परिवर्तन $(\Delta A)$ के गुणनफल के बराबर होता है।
यहाँ दिया गया है,पृष्ठ तनाव = $T$ और क्षेत्रफल में वृद्धि = $A$ है।
अतः,पृष्ठ ऊर्जा में वृद्धि = $T \times A = AT$।

(A) बड़ी बूंद की त्रिज्या $R = 1 \, cm = 10^{-2} \, m$ है।
छोटी बूंदों की संख्या $n = 10^6$ है।
पृष्ठ तनाव $T = 35 \times 10^{-3} \, N/cm = 3.5 \, N/m$ है।
जब $R$ त्रिज्या की एक बड़ी बूंद को $n$ छोटी बूंदों में तोड़ा जाता है,तो आयतन संरक्षित रहता है: $\frac{4}{3}\pi R^3 = n \cdot \frac{4}{3}\pi r^3$,जिसका अर्थ है $r = R / n^{1/3}$।
आवश्यक ऊर्जा = पृष्ठ तनाव $\times$ सतह के क्षेत्रफल में वृद्धि: $W = T \times (A_{final} - A_{initial})$।
$W = 4\pi T R^2 (n^{1/3} - 1)$।
मान रखने पर: $W = 4 \times 3.14 \times 3.5 \times (10^{-2})^2 \times (10^2 - 1)$।
$W = 43.96 \times 10^{-4} \times 99 \approx 4.4 \times 10^{-3} \, J$।

(B) पृष्ठ तनाव $T = 1.9 \times 10^{-2} \text{ N/m}$ है।
बुलबुले का व्यास $d = 2.0 \text{ cm}$ है,इसलिए त्रिज्या $R = 1.0 \text{ cm} = 1.0 \times 10^{-2} \text{ m}$ है।
साबुन के बुलबुले में दो सतहें (आंतरिक और बाहरी) होती हैं,इसलिए किया गया कार्य $W = 2 \times (4 \pi R^2 T) = 8 \pi R^2 T$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर: $W = 8 \times \pi \times (1.0 \times 10^{-2})^2 \times 1.9 \times 10^{-2}$.
$W = 8 \times \pi \times 10^{-4} \times 1.9 \times 10^{-2} = 15.2 \times 10^{-6} \pi \text{ J}$.

(B) द्रव फिल्म की पृष्ठ ऊर्जा $U$ को सूत्र $U = T \times \Delta A$ द्वारा ज्ञात किया जाता है,जहाँ $T$ पृष्ठ तनाव है और $\Delta A$ पृष्ठ क्षेत्रफल में कुल परिवर्तन है।
चूंकि एक फिल्म की दो सतहें (ऊपरी और निचली) होती हैं,इसलिए कुल क्षेत्रफल $\Delta A = 2 \times A$ होता है,जहाँ $A$ रिंग का क्षेत्रफल है।
दिया गया है: $T = 0.5 \, N/m$ और $A = 0.02 \, m^2$।
अतः,$\Delta A = 2 \times 0.02 = 0.04 \, m^2$।
पृष्ठ ऊर्जा $U = 0.5 \times 0.04 = 0.02 \, J$।
इसे $2.0 \times 10^{-2} \, J$ के रूप में लिखा जा सकता है।

(D) द्रव का आयतन स्थिर रहता है,जिसका अर्थ है कि $1000$ छोटी बूंदों का कुल आयतन एक बड़ी बूंद के आयतन के बराबर है।
$n \cdot \frac{4}{3} \pi r^3 = \frac{4}{3} \pi R^3$
$1000 r^3 = R^3 \implies R = 10r$
अतः,त्रिज्याओं का अनुपात $\frac{r}{R} = \frac{1}{10}$ है।
पृष्ठीय ऊर्जा $E$ को $E = T \cdot A$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $T$ पृष्ठ तनाव है और $A$ पृष्ठीय क्षेत्रफल है।
$\frac{E_{\text{small}}}{E_{\text{large}}} = \frac{4 \pi r^2 T}{4 \pi R^2 T} = \left( \frac{r}{R} \right)^2$
अनुपात का मान रखने पर: $\left( \frac{1}{10} \right)^2 = \frac{1}{100}$.
इस प्रकार,अनुपात $1:100$ है।

(A) साबुन की फिल्म की दो सतहें होती हैं (प्रत्येक तरफ एक)। इसलिए,सतह के क्षेत्रफल में कुल परिवर्तन $\Delta A$ फिल्म के क्षेत्रफल का दोगुना होता है।
दिया गया है: पृष्ठ तनाव $T = 3 \times 10^{-2}\,N/m$।
फिल्म के एक तरफ का क्षेत्रफल $A = 10\,cm \times 10\,cm = 0.1\,m \times 0.1\,m = 0.01\,m^2 = 100 \times 10^{-4}\,m^2$।
सतह के क्षेत्रफल में कुल परिवर्तन $\Delta A = 2 \times A = 2 \times 100 \times 10^{-4}\,m^2 = 200 \times 10^{-4}\,m^2$।
किया गया कार्य $W$ पृष्ठ ऊर्जा $E$ के बराबर होता है,जिसे $W = T \times \Delta A$ द्वारा दिया जाता है।
$W = (3 \times 10^{-2}\,N/m) \times (200 \times 10^{-4}\,m^2) = 600 \times 10^{-6}\,J = 6 \times 10^{-4}\,J$।

(A) साबुन के बुलबुले की दो सतहें (आंतरिक और बाहरी) होती हैं। इसलिए,$R$ त्रिज्या का साबुन का बुलबुला फुलाने में किया गया कार्य $W = 2 \times (4\pi R^2 T) = 8\pi R^2 T$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है: $R = 10\,cm = 0.1\,m$ और $T = \frac{3}{100}\,N/m = 0.03\,N/m$.
मान रखने पर:
$W = 8 \times 3.14 \times (0.1)^2 \times 0.03$
$W = 8 \times 3.14 \times 0.01 \times 0.03$
$W = 0.007536\,J$
$W = 75.36 \times 10^{-4}\,J$.

(B) प्रक्रिया के दौरान द्रव का आयतन संरक्षित रहता है।
माना बड़ी बूंद की त्रिज्या $R$ है और $n$ छोटी बूंदों में से प्रत्येक की त्रिज्या $r$ है।
बड़ी बूंद का आयतन = $n \times$ छोटी बूंद का आयतन
$\frac{4}{3} \pi R^3 = n \times \frac{4}{3} \pi r^3$
$R^3 = n r^3 \implies r = R n^{-1/3}$.
किया गया कार्य $(W)$ पृष्ठ ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है:
$W = \sigma \times (\text{अंतिम पृष्ठ क्षेत्रफल} - \text{प्रारंभिक पृष्ठ क्षेत्रफल})$
$W = \sigma \times (n \times 4\pi r^2 - 4\pi R^2)$
$r = R n^{-1/3}$ रखने पर:
$W = 4\pi \sigma (n \times (R n^{-1/3})^2 - R^2)$
$W = 4\pi \sigma (n \times R^2 n^{-2/3} - R^2)$
$W = 4\pi R^2 \sigma (n^{1-2/3} - 1)$
$W = 4\pi R^2 (n^{1/3} - 1) \sigma$.

(C) माना प्रत्येक छोटी बूंद की त्रिज्या $r$ है और बड़ी बूंद की त्रिज्या $R$ है।
चूंकि कुल आयतन स्थिर रहता है,इसलिए $8000$ छोटी बूंदों का आयतन बड़ी बूंद के आयतन के बराबर होगा:
$8000 \times (\frac{4}{3} \pi r^3) = \frac{4}{3} \pi R^3$
$R^3 = 8000 r^3$
$R = 20r$
पृष्ठ ऊर्जा $E = T \times A$,जहाँ $T$ पृष्ठ तनाव है और $A$ पृष्ठ क्षेत्रफल है।
प्रारंभिक पृष्ठ ऊर्जा $E_i = 8000 \times (4 \pi r^2 T)$
अंतिम पृष्ठ ऊर्जा $E_f = 4 \pi R^2 T$
अंतिम पृष्ठ ऊर्जा और प्रारंभिक पृष्ठ ऊर्जा का अनुपात है:
$\frac{E_f}{E_i} = \frac{4 \pi R^2 T}{8000 \times 4 \pi r^2 T} = \frac{R^2}{8000 r^2}$
$R = 20r$ प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{E_f}{E_i} = \frac{(20r)^2}{8000 r^2} = \frac{400 r^2}{8000 r^2} = \frac{1}{20}$
अतः,अनुपात $1:20$ है।

(B) रिंग पर बनी द्रव की फिल्म की दो सतहें होती हैं (फिल्म के प्रत्येक तरफ एक)।
इसलिए,फिल्म का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल $A_{total} = 2 \times A = 2 \times 0.15\;m^2 = 0.30\;m^2$ है।
पृष्ठ ऊर्जा $U$ का सूत्र $U = T \times A_{total}$ है,जहाँ $T$ पृष्ठ तनाव है।
दिए गए मानों को रखने पर: $U = 5\;N/m \times 0.30\;m^2 = 1.5\;J$।
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(A) बड़ी बूंद की त्रिज्या $R = 1 \ cm = 10^{-2} \ m$ है।
छोटी बूंदों की संख्या $n = 10^6$ है।
पारे का पृष्ठ तनाव $T = 460 \times 10^{-3} \ N/m$ है।
जब एक बड़ी बूंद को $n$ छोटी बूंदों में तोड़ा जाता है,तो सतह के क्षेत्रफल में परिवर्तन $\Delta A = n(4\pi r^2) - 4\pi R^2$ होता है।
चूंकि आयतन स्थिर रहता है,$\frac{4}{3}\pi R^3 = n \cdot \frac{4}{3}\pi r^3$,जिससे $r = \frac{R}{n^{1/3}}$ प्राप्त होता है।
$r$ का मान रखने पर,$\Delta A = 4\pi R^2(n^{1/3} - 1)$ प्राप्त होता है।
किया गया कार्य (व्यय की गई ऊर्जा) $W = T \Delta A = 4\pi R^2 T (n^{1/3} - 1)$ है।
मान रखने पर: $W = 4 \times 3.14 \times (10^{-2})^2 \times 460 \times 10^{-3} \times ((10^6)^{1/3} - 1)$.
गणना करने पर $W = 0.057 \ J$ प्राप्त होता है।

(A) बड़ी बूंद की त्रिज्या $R = 2\, mm = 2 \times 10^{-3}\, m$ है।
बनने वाली छोटी बूंदों की संख्या $n = 8$ है।
पारे का पृष्ठ तनाव $T = 0.465\, J/m^2$ है।
जब $R$ त्रिज्या की एक बड़ी बूंद को $n$ समान छोटी बूंदों में विभाजित किया जाता है,तो आयतन स्थिर रहता है:
$\frac{4}{3}\pi R^3 = n \times \frac{4}{3}\pi r^3 \Rightarrow r = \frac{R}{n^{1/3}}$.
$n = 8$ के लिए,$r = \frac{R}{8^{1/3}} = \frac{R}{2}$.
पृष्ठ ऊर्जा में वृद्धि $\Delta U$ पृष्ठ क्षेत्रफल के अंतर और पृष्ठ तनाव के गुणनफल के बराबर होती है:
$\Delta U = T \times (A_{final} - A_{initial}) = T \times (n \times 4\pi r^2 - 4\pi R^2)$.
$r = R/n^{1/3}$ रखने पर:
$\Delta U = 4\pi R^2 T (n^{1/3} - 1)$.
मान रखने पर:
$\Delta U = 4 \times 3.14159 \times (2 \times 10^{-3})^2 \times 0.465 \times (8^{1/3} - 1)$,
$\Delta U = 4 \times 3.14159 \times 4 \times 10^{-6} \times 0.465 \times (2 - 1)$,
$\Delta U = 16 \times 3.14159 \times 0.465 \times 10^{-6} \approx 23.37 \times 10^{-6}\, J = 23.4\, \mu J$.

(A) साबुन के बुलबुले में दो मुक्त सतहें (आंतरिक और बाहरी) होती हैं। इसलिए,$r$ त्रिज्या का साबुन का बुलबुला फुलाने में किया गया कार्य $W = 2 \times (4\pi r^2 T) = 8\pi r^2 T$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है: $r = 0.2\, m$ और $T = 0.06\, N/m$.
मान रखने पर: $W = 8 \times \pi \times (0.2)^2 \times 0.06$.
$W = 8 \times \pi \times 0.04 \times 0.06$.
$W = 8 \times \pi \times 0.0024$.
$W = 0.0192\pi\,J$.
$W = 192\pi \times 10^{-4}\,J$.

(B) द्रव फिल्म की स्थितिज ऊर्जा पृष्ठ ऊर्जा के सूत्र द्वारा दी जाती है: $U = T \times \Delta A_{total}$.
चूंकि एक द्रव फिल्म की दो सतहें होती हैं (प्रत्येक तरफ एक),इसलिए कुल क्षेत्रफल में परिवर्तन $\Delta A_{total} = 2 \times A$ होता है।
दिया गया है: पृष्ठ तनाव $T = 0.2 \, N/m$ और क्षेत्रफल $A = 0.05 \, m^2$.
अतः,स्थितिज ऊर्जा में वृद्धि $U = 0.2 \times (2 \times 0.05)$ है।
$U = 0.2 \times 0.1 = 0.02 \, J$.
$U = 2 \times 10^{-2} \, J$.

(A) पृष्ठ ऊर्जा $(E)$ को द्रव के पृष्ठ तनाव के विरुद्ध एक नया सतह क्षेत्रफल बनाने में किए गए कार्य के रूप में परिभाषित किया जाता है।
यह सूत्र द्वारा दी जाती है: $E = T \times \Delta A$
जहाँ $T$ पृष्ठ तनाव है और $\Delta A$ सतह के क्षेत्रफल में परिवर्तन है।
दिया गया है:
पृष्ठ तनाव $T = 75 \text{ N/m}$
क्षेत्रफल $\Delta A = 0.04 \text{ m}^2$
मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$E = 75 \times 0.04 = 3 \text{ J}$
अतः,आवश्यक पृष्ठ ऊर्जा $3 \text{ J}$ है।

(B) माना प्रत्येक छोटी बूंद की त्रिज्या $r$ है और बड़ी बूंद की त्रिज्या $R$ है।
चूंकि आयतन स्थिर रहता है,बड़ी बूंद का आयतन दो छोटी बूंदों के आयतन के योग के बराबर होगा: $\frac{4}{3}\pi R^3 = 2 \times \frac{4}{3}\pi r^3$.
इसे सरल करने पर $R^3 = 2r^3$,या $R = 2^{1/3}r$ प्राप्त होता है।
पृष्ठीय ऊर्जा $E$ को $E = T \times A$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $T$ पृष्ठ तनाव है और $A$ पृष्ठीय क्षेत्रफल है।
दो छोटी बूंदों की प्रारंभिक पृष्ठीय ऊर्जा: $E_i = 2 \times (4\pi r^2 T) = 8\pi r^2 T$.
बड़ी बूंद की अंतिम पृष्ठीय ऊर्जा: $E_f = 4\pi R^2 T = 4\pi (2^{1/3}r)^2 T = 4\pi (2^{2/3}r^2) T$.
प्रारंभिक और अंतिम पृष्ठीय ऊर्जा का अनुपात $\frac{E_i}{E_f} = \frac{8\pi r^2 T}{4\pi 2^{2/3} r^2 T} = \frac{2}{2^{2/3}} = 2^{1 - 2/3} = 2^{1/3}$ है।
अतः,अनुपात $2^{1/3}:1$ है।

(A) साबुन के बुलबुले की दो सतहें (आंतरिक और बाहरी) होती हैं। त्रिज्या को $R_1$ से $R_2$ तक बदलने में किया गया कार्य $W = 2 \times T \times \Delta A$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\Delta A$ सतह के क्षेत्रफल में परिवर्तन है।
प्रारंभिक सतह का क्षेत्रफल $A_1 = 4\pi R^2$ है।
अंतिम सतह का क्षेत्रफल $A_2 = 4\pi (2R)^2 = 16\pi R^2$ है।
क्षेत्रफल में परिवर्तन $\Delta A = A_2 - A_1 = 16\pi R^2 - 4\pi R^2 = 12\pi R^2$ है।
चूंकि दो सतहें हैं,इसलिए कुल क्षेत्रफल में परिवर्तन $2 \times 12\pi R^2 = 24\pi R^2$ है।
अतः,किया गया कार्य $W = T \times (24\pi R^2) = 24\pi R^2 T$ है।

(A) $R$ त्रिज्या और $T$ पृष्ठ तनाव वाले बुलबुले को बनाने में किया गया कार्य $W$,पृष्ठ ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है।
चूंकि बुलबुले की दो सतहें (आंतरिक और बाहरी) होती हैं,इसलिए कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल $A = 2 \times (4\pi R^2) = 8\pi R^2$ होता है।
दिया गया है: $R = 10 \ cm = 0.1 \ m$,$T = \frac{3}{100} \ N/m = 0.03 \ N/m$.
$W = T \times \Delta A = T \times 8\pi R^2$.
$W = 0.03 \times 8 \times 3.14 \times (0.1)^2$.
$W = 0.03 \times 8 \times 3.14 \times 0.01$.
$W = 0.24 \times 3.14 \times 0.01 = 0.7536 \times 10^{-2} \ J = 75.36 \times 10^{-4} \ J$.

(A) माना बड़ी बूंद की त्रिज्या $R$ है और छोटी बूंदों की त्रिज्या $r$ है। दिया गया है $R = 2\,mm = 2 \times 10^{-3}\,m$ और $n = 8$.
चूंकि आयतन स्थिर रहता है,$\frac{4}{3}\pi R^3 = n \times \frac{4}{3}\pi r^3$,जिसका अर्थ है $r = \frac{R}{n^{1/3}} = \frac{R}{8^{1/3}} = \frac{R}{2}$.
पृष्ठ ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta U = T \times \Delta A = T(n \times 4\pi r^2 - 4\pi R^2)$ द्वारा दिया जाता है।
$r = R/2$ रखने पर,$\Delta U = T(n \times 4\pi (R/2)^2 - 4\pi R^2) = 4\pi R^2 T (n/4 - 1)$.
वैकल्पिक रूप से,सूत्र $\Delta U = 4\pi R^2 T (n^{1/3} - 1)$ का उपयोग करते हुए:
$\Delta U = 4 \times 3.14159 \times (2 \times 10^{-3})^2 \times 0.465 \times (8^{1/3} - 1)$.
$\Delta U = 4 \times 3.14159 \times 4 \times 10^{-6} \times 0.465 \times (2 - 1)$.
$\Delta U = 16 \times 3.14159 \times 0.465 \times 10^{-6} \approx 23.376 \times 10^{-6}\,J$.
अतः,ऊर्जा में परिवर्तन $23.4\,\mu J$ है।

(B) तार को विस्थापित करने में किया गया कार्य $W$,पृष्ठ ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है।
चूंकि साबुन की फिल्म की दो सतहें होती हैं,इसलिए क्षेत्रफल में परिवर्तन $\Delta A = 2 \times (l \times x)$ होगा।
दिया गया है: $l = 10 \, cm = 0.1 \, m$,$x = 1 \, mm = 1 \times 10^{-3} \, m$,और $T = 7.2 \times 10^{-2} \, N/m$.
कार्य का सूत्र $W = T \times \Delta A = T \times 2lx$ है।
मान रखने पर:
$W = 7.2 \times 10^{-2} \times 2 \times 0.1 \times 1 \times 10^{-3}$
$W = 1.44 \times 10^{-5} \, J$.

(C) मान लीजिए कि $r$ त्रिज्या की $n$ बूंदें मिलकर $R$ त्रिज्या की एक बड़ी बूंद बनाती हैं।
$n$ बूंदों का आयतन = बड़ी बूंद का आयतन
$n \times \frac{4}{3}\pi r^3 = \frac{4}{3}\pi R^3 \Rightarrow n = \frac{R^3}{r^3}$ $(i)$
बड़ी बूंद का आयतन,$V = \frac{4}{3}\pi R^3$ $(ii)$
$n$ बूंदों का प्रारंभिक पृष्ठीय क्षेत्रफल,$A_i = n \times 4\pi r^2 = \frac{R^3}{r^3} \times 4\pi r^2 = \frac{4\pi R^3}{r} = \left( \frac{4}{3}\pi R^3 \right) \frac{3}{r} = \frac{3V}{r}$ $(i \text{ और } ii \text{ का उपयोग करने पर})$
बड़ी बूंद का अंतिम पृष्ठीय क्षेत्रफल,$A_f = 4\pi R^2 = \left( \frac{4}{3}\pi R^3 \right) \frac{3}{R} = \frac{3V}{R}$ $(ii \text{ का उपयोग करने पर})$
पृष्ठीय क्षेत्रफल में कमी,$\Delta A = A_i - A_f = \frac{3V}{r} - \frac{3V}{R} = 3V \left( \frac{1}{r} - \frac{1}{R} \right)$
मुक्त ऊर्जा = पृष्ठ तनाव $\times$ पृष्ठीय क्षेत्रफल में कमी
मुक्त ऊर्जा $= T \times \Delta A = 3VT \left( \frac{1}{r} - \frac{1}{R} \right)$.

(D) साबुन के बुलबुले का व्यास $D = 20 \, cm$ है,इसलिए त्रिज्या $r = 10 \, cm$ होगी।
पृष्ठ तनाव $T = 30 \, dynes/cm$ है।
साबुन के बुलबुले की दो सतहें (आंतरिक और बाहरी) होती हैं,इसलिए कुल सतह का क्षेत्रफल $A = 2 \times (4 \pi r^2) = 8 \pi r^2$ होता है।
आवश्यक ऊर्जा $E = T \times A = T \times 8 \pi r^2$ द्वारा दी जाती है।
मान रखने पर: $E = 30 \times 8 \pi \times (10)^2$.
$E = 30 \times 8 \pi \times 100 = 24000 \, \pi \, ergs$.

(A) साबुन के बुलबुले में दो सतहें (आंतरिक और बाहरी) होती हैं। इसलिए,कुल सतह का क्षेत्रफल $A = 2 \times (4\pi R^2) = 8\pi R^2$ होता है।
दिया गया है: पृष्ठ तनाव $T = 2 \times 10^{-2} \, N/m$ और त्रिज्या $R = 2 \, cm = 2 \times 10^{-2} \, m$ है।
किया गया कार्य $W$ पृष्ठ ऊर्जा के बराबर होता है,जो $W = T \times \Delta A$ द्वारा दिया जाता है।
$W = T \times 8\pi R^2$.
मान रखने पर:
$W = (2 \times 10^{-2}) \times 8 \times \pi \times (2 \times 10^{-2})^2$.
$W = (2 \times 10^{-2}) \times 8 \times \pi \times (4 \times 10^{-4})$.
$W = 64\pi \times 10^{-6} \, J$.

(C) $r$ त्रिज्या का साबुन का बुलबुला बनाने के लिए किया गया कार्य $W = 2 \times (4\pi r^2)T = 8\pi r^2 T$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $T$ पृष्ठ तनाव है।
$T_1$ तापमान पर $R$ त्रिज्या के पहले बुलबुले के लिए,किया गया कार्य $W_1 = 8\pi R^2 T_1$ है।
$T_2$ तापमान पर $2R$ त्रिज्या के दूसरे बुलबुले के लिए,किया गया कार्य $W_2 = 8\pi (2R)^2 T_2 = 32\pi R^2 T_2$ है।
जब घोल को गर्म किया जाता है,तो तापमान बढ़ जाता है $(T_2 > T_1)$,जिससे पृष्ठ तनाव कम हो जाता है $(T_2 < T_1)$।
यदि पृष्ठ तनाव स्थिर होता,तो $W_2 = 4W_1$ होता। हालाँकि,चूँकि $T_2 < T_1$ है,इसलिए किया गया कार्य $W_2$,$4W_1$ से थोड़ा कम होगा।

(C) साबुन के बुलबुले की दो सतहें (आंतरिक और बाहरी) होती हैं,इसलिए सतह के क्षेत्रफल में परिवर्तन $2 \times 4\pi(r_2^2 - r_1^2)$ होता है।
दिया गया है: $T = 0.03 \ Nm^{-1}$,$r_1 = 3 \ cm = 0.03 \ m$,$r_2 = 5 \ cm = 0.05 \ m$.
किया गया कार्य $W = T \times \Delta A = T \times 2 \times 4\pi(r_2^2 - r_1^2)$.
$W = 0.03 \times 8\pi \times [(0.05)^2 - (0.03)^2]$.
$W = 0.24\pi \times [0.0025 - 0.0009] \ J$.
$W = 0.24\pi \times 0.0016 \ J = 0.000384\pi \ J$.
$W \approx 0.4\pi \times 10^{-3} \ J = 0.4\pi \ mJ$.

(C) $R$ त्रिज्या का साबुन का बुलबुला फुलाने में किया गया कार्य $W = T \times \Delta A$ सूत्र द्वारा दिया जाता है,जहाँ $T$ पृष्ठ तनाव है और $\Delta A$ सतह के क्षेत्रफल में परिवर्तन है। चूंकि साबुन के बुलबुले की दो सतहें (आंतरिक और बाहरी) होती हैं,इसलिए कुल सतह का क्षेत्रफल $A = 2 \times (4 \pi R^2) = 8 \pi R^2$ होता है।
अतः,$W = 8 \pi R^2 T$.
$2R$ त्रिज्या वाले बुलबुले के लिए,किया गया कार्य $W'$ होगा: $W' = 8 \pi (2R)^2 T = 8 \pi (4R^2) T = 32 \pi R^2 T$.
दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर,$W' = 4 \times (8 \pi R^2 T) = 4W$ प्राप्त होता है।

(B) तारों की लंबाई $l = 10 \ cm = 0.1 \ m$ है।
प्रारंभिक दूरी $d_1 = 0.5 \ cm = 0.005 \ m$ है।
अंतिम दूरी $d_2 = 1.5 \ cm = 0.015 \ m$ है।
फिल्म की दो सतहें होती हैं,इसलिए क्षेत्रफल में परिवर्तन $\Delta A = 2 \times l \times (d_2 - d_1)$ होगा।
$\Delta A = 2 \times 0.1 \times 0.01 = 0.002 \ m^2 = 2 \times 10^{-3} \ m^2$ है।
किया गया कार्य $W = T \times \Delta A$ है।
$W = 7.2 \times 10^{-2} \times 2 \times 10^{-3} = 1.44 \times 10^{-4} \ J$ है। विकल्पों के अनुसार,सही उत्तर $B$ है।

(A) माना प्रत्येक छोटी बूंद की त्रिज्या $r$ है और बड़ी बूंद की त्रिज्या $R$ है।
एक छोटी बूंद की पृष्ठ ऊर्जा $E = T(4 \pi r^2)$ है।
आयतन संरक्षण: $\frac{4}{3} \pi R^3 = n \times \frac{4}{3} \pi r^3$,जिससे $R = n^{1/3} r$ प्राप्त होता है।
बड़ी बूंद की पृष्ठ ऊर्जा $E' = T(4 \pi R^2) = T(4 \pi (n^{1/3} r)^2) = T(4 \pi r^2) n^{2/3} = E n^{2/3}$ है।
कुल प्रारंभिक पृष्ठ ऊर्जा $nE$ है।
कुल अंतिम पृष्ठ ऊर्जा $E' = E n^{2/3}$ है।
चूंकि $n > 1$ के लिए $n > n^{2/3}$ होता है,इसलिए प्रारंभिक ऊर्जा अंतिम ऊर्जा से अधिक है।
मुक्त ऊर्जा = $nE - E' = nE - E n^{2/3} = E(n - n^{2/3})$ है।
अतः,इस प्रक्रिया में ऊर्जा मुक्त होती है।

(C) माना प्रत्येक छोटी बूंद की त्रिज्या $r$ है।
बड़ी बूंद का आयतन $64$ छोटी बूंदों के आयतन के योग के बराबर होता है:
$\frac{4}{3} \pi R^3 = 64 \times \frac{4}{3} \pi r^3$
$R^3 = 64 r^3 \implies R = 4r \implies r = \frac{R}{4}$.
बड़ी बूंद का प्रारंभिक पृष्ठीय क्षेत्रफल $A_i = 4\pi R^2$ है।
$64$ छोटी बूंदों का अंतिम पृष्ठीय क्षेत्रफल $A_f = 64 \times 4\pi r^2$ है।
$r = \frac{R}{4}$ रखने पर:
$A_f = 64 \times 4\pi \left(\frac{R}{4}\right)^2 = 64 \times 4\pi \times \frac{R^2}{16} = 16\pi R^2$.
पृष्ठीय क्षेत्रफल में वृद्धि $\Delta A = A_f - A_i = 16\pi R^2 - 4\pi R^2 = 12\pi R^2$ है।
आवश्यक ऊर्जा $W = T \times \Delta A = T \times 12\pi R^2 = 12\pi R^2T$ है।

(A) साबुन के बुलबुले में दो सतहें (आंतरिक और बाहरी) होती हैं,इसलिए सतह के क्षेत्रफल में कुल परिवर्तन $2 \times (4\pi R^2) = 8\pi R^2$ होता है।
किया गया कार्य $W$,पृष्ठ तनाव $T$ और सतह के क्षेत्रफल में परिवर्तन $\Delta A$ के गुणनफल के बराबर होता है:
$W = T \times \Delta A = T \times 8\pi R^2$.
दिया गया है:
$T = 2 \times 10^{-2} \ N/m$
$R = 2 \ cm = 2 \times 10^{-2} \ m$
मान रखने पर:
$W = 2 \times 10^{-2} \times 8\pi \times (2 \times 10^{-2})^2$
$W = 16\pi \times 10^{-2} \times 4 \times 10^{-4}$
$W = 64\pi \times 10^{-6} \ J$.

(B) साबुन के बुलबुले में दो सतहें (आंतरिक और बाहरी) होती हैं। इसलिए,त्रिज्या को $r_1$ से $r_2$ तक बदलने में किया गया कार्य $W$ इस प्रकार है:
$W = T \times \Delta A \times 2$
$W = T \times 8\pi (r_2^2 - r_1^2)$
दिया गया है: $T = 0.03\, Nm^{-1}$,$r_1 = 3\, cm = 0.03\, m$,$r_2 = 5\, cm = 0.05\, m$.
$W = 0.03 \times 8\pi \times ((0.05)^2 - (0.03)^2)$
$W = 0.24\pi \times (0.0025 - 0.0009)$
$W = 0.24\pi \times 0.0016$
$W = 0.000384\pi\, J = 0.384\pi\, mJ$.

(B) साबुन की फिल्म में दो मुक्त सतहें होती हैं,इसलिए क्षेत्रफल में कुल परिवर्तन $2 \times \Delta A$ होता है।
किया गया कार्य $W$ का सूत्र $W = T \times 2 \Delta A$ है।
प्रारंभिक क्षेत्रफल $A_1 = 4 \times 4 = 16 \text{ cm}^2 = 16 \times 10^{-4} \text{ m}^2$.
अंतिम क्षेत्रफल $A_2 = 4 \times 5 = 20 \text{ cm}^2 = 20 \times 10^{-4} \text{ m}^2$.
क्षेत्रफल में परिवर्तन $\Delta A = A_2 - A_1 = (20 - 16) \times 10^{-4} = 4 \times 10^{-4} \text{ m}^2$.
दिया गया पृष्ठ तनाव $T = 3 \times 10^{-2} \text{ N/m}$.
मान रखने पर: $W = 3 \times 10^{-2} \times 2 \times (4 \times 10^{-4}) = 24 \times 10^{-6} \text{ J}$.

(D) जब $r$ त्रिज्या वाली दो बूंदें मिलकर $R$ त्रिज्या की एक बड़ी बूंद बनाती हैं, तो आयतन संरक्षित रहता है।
दो छोटी बूंदों का आयतन = एक बड़ी बूंद का आयतन
$2 \times (\frac{4}{3} \pi r^3) = \frac{4}{3} \pi R^3$
$R^3 = 2r^3$
$R = 2^{1/3} r$
बूंद की पृष्ठ ऊर्जा $E$ का मान $E = \text{पृष्ठ क्षेत्रफल} \times \text{पृष्ठ तनाव} = 4 \pi R^2 T$ होता है।
$R$ का मान रखने पर:
$E = 4 \pi (2^{1/3} r)^2 T$
$E = 4 \pi (2^{2/3} r^2) T$
$E = 2^2 \times 2^{2/3} \pi r^2 T$
$E = 2^{2 + 2/3} \pi r^2 T$
$E = 2^{8/3} \pi r^2 T$.

(A) एक बड़ी बूंद को छोटी बूंदों में तोड़ने के लिए आवश्यक ऊर्जा पृष्ठ तनाव के विरुद्ध किए गए कार्य के बराबर होती है,जो पृष्ठ ऊर्जा के रूप में संग्रहीत होती है।
पृष्ठ ऊर्जा $U = S \times \Delta A$,जहाँ $S$ पृष्ठ तनाव है और $\Delta A$ पृष्ठ क्षेत्रफल में परिवर्तन है।
$R$ त्रिज्या वाली बूंद का प्रारंभिक पृष्ठ क्षेत्रफल $A_i = 4\pi R^2$ है।
$r$ त्रिज्या वाली $n$ बूंदों का अंतिम पृष्ठ क्षेत्रफल $A_f = n \times 4\pi r^2$ है।
पृष्ठ क्षेत्रफल में परिवर्तन $\Delta A = A_f - A_i = 4\pi r^2 n - 4\pi R^2$ है।
अतः,आवश्यक ऊर्जा $U = (4\pi r^2 n - 4\pi R^2)S$ है।

(A) माना कि बड़ी बूंद की त्रिज्या $R = D/2$ है। जब यह $n = 27$ छोटी बूंदों में टूटती है,तो आयतन स्थिर रहता है।
$V_{large} = n \times V_{small} \implies \frac{4}{3}\pi R^3 = 27 \times \frac{4}{3}\pi r^3$.
घनमूल लेने पर,$R = 3r$,इसलिए $r = R/3$.
पृष्ठ ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta E$ पृष्ठ तनाव $T$ और सतह के क्षेत्रफल में वृद्धि के गुणनफल के बराबर होता है।
$\Delta E = T \times (A_{final} - A_{initial}) = T \times (n \times 4\pi r^2 - 4\pi R^2)$.
$r = R/3$ और $n = 27$ रखने पर:
$\Delta E = T \times (27 \times 4\pi (R/3)^2 - 4\pi R^2) = T \times (27 \times 4\pi R^2/9 - 4\pi R^2) = T \times (12\pi R^2 - 4\pi R^2) = 8\pi R^2 T$.
चूंकि $R = D/2$,इसलिए $R^2 = D^2/4$.
$\Delta E = 8\pi (D^2/4) T = 2\pi TD^2$.

(C) साबुन के बुलबुले के पृष्ठीय क्षेत्रफल को बदलने में किया गया कार्य $W = T \times \Delta A$ द्वारा दिया जाता है, जहाँ $T$ पृष्ठ तनाव है और $\Delta A$ पृष्ठीय क्षेत्रफल में परिवर्तन है।
चूंकि साबुन के बुलबुले में दो सतहें (आंतरिक और बाहरी) होती हैं, इसलिए $r$ त्रिज्या वाले बुलबुले का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल $A = 2 \times (4 \pi r^2) = 8 \pi r^2$ होता है।
प्रारंभिक व्यास $D$ है, इसलिए प्रारंभिक त्रिज्या $r_1 = D/2$ है। प्रारंभिक क्षेत्रफल $A_1 = 8 \pi (D/2)^2 = 2 \pi D^2$ है।
अंतिम व्यास $2D$ है, इसलिए अंतिम त्रिज्या $r_2 = (2D)/2 = D$ है। अंतिम क्षेत्रफल $A_2 = 8 \pi (D)^2 = 8 \pi D^2$ है।
क्षेत्रफल में परिवर्तन $\Delta A = A_2 - A_1 = 8 \pi D^2 - 2 \pi D^2 = 6 \pi D^2$ है।
अतः, किया गया कार्य $W = T \times (6 \pi D^2) = 6 \pi D^2 T$ है।

(A) साबुन के बुलबुले में दो सतहें (आंतरिक और बाहरी) होती हैं,इसलिए किया गया कार्य $W = 2 \times T \times \Delta A$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $T$ पृष्ठ तनाव है और $\Delta A$ सतह के क्षेत्रफल में परिवर्तन है।
प्रारंभिक त्रिज्या $r_1 = 2\,cm$.
अंतिम त्रिज्या $r_2 = 2 \times r_1 = 4\,cm$.
सतह के क्षेत्रफल में परिवर्तन $\Delta A = 4\pi r_2^2 - 4\pi r_1^2 = 4\pi(r_2^2 - r_1^2)$.
$\Delta A = 4\pi(4^2 - 2^2) = 4\pi(16 - 4) = 4\pi(12) = 48\pi\,cm^2$.
किया गया कार्य $W = 2 \times 30\,dyne/cm \times 48\pi\,cm^2$.
$W = 60 \times 48\pi = 2880\pi\,erg$.
$\pi \approx 3.14159$ का उपयोग करने पर,$W \approx 2880 \times 3.14159 \approx 9047.7\,erg$.
दिए गए विकल्पों के अनुसार,$W \approx 9.043 \times 10^3\,erg$.

(C) जब एक बड़ी द्रव की बूंद छोटी बूंदों में टूटती है,तो कुल आयतन स्थिर रहता है,लेकिन कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल बढ़ जाता है।
चूंकि पृष्ठीय ऊर्जा $U = T \times A$ द्वारा दी जाती है (जहाँ $T$ पृष्ठ तनाव है और $A$ पृष्ठीय क्षेत्रफल है),इसलिए पृष्ठीय क्षेत्रफल में वृद्धि से कुल पृष्ठीय ऊर्जा में वृद्धि होती है।
चूंकि निकाय अपने परिवेश से अलग है,इसलिए पृष्ठीय ऊर्जा में यह वृद्धि द्रव की आंतरिक ऊर्जा की कीमत पर होनी चाहिए।
जैसे-जैसे द्रव की आंतरिक ऊर्जा कम होती है,उसका तापमान भी कम होना चाहिए।
इसलिए,छोटी बूंदों का तापमान $t$ से कम होगा।

(B) साबुन के बुलबुले की दो सतहें (आंतरिक और बाहरी) होती हैं। $r$ त्रिज्या वाले गोलाकार बुलबुले का पृष्ठीय क्षेत्रफल $A = 4\pi r^2$ होता है।
दो सतहें होने के कारण,कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल $A_{total} = 2 \times 4\pi r^2 = 8\pi r^2$ होता है।
त्रिज्या को $r_1$ से $r_2$ तक बढ़ाने में किया गया कार्य $W = T \times \Delta A_{total}$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,प्रारंभिक त्रिज्या $r_1 = d/2$ और अंतिम त्रिज्या $r_2 = D/2$ है।
प्रारंभिक पृष्ठीय क्षेत्रफल $A_1 = 8\pi (d/2)^2 = 2\pi d^2$ है।
अंतिम पृष्ठीय क्षेत्रफल $A_2 = 8\pi (D/2)^2 = 2\pi D^2$ है।
किया गया कार्य $W = T(A_2 - A_1) = T(2\pi D^2 - 2\pi d^2) = 2\pi T(D^2 - d^2)$ है।

(A) साबुन के बुलबुले की दो सतहें (आंतरिक और बाहरी) होती हैं। प्रारंभिक पृष्ठीय क्षेत्रफल $A_1 = 2 \times (4 \pi r^2) = 8 \pi r^2$ है।
जब त्रिज्या को दोगुना करके $2r$ कर दिया जाता है,तो अंतिम पृष्ठीय क्षेत्रफल $A_2 = 2 \times (4 \pi (2r)^2) = 2 \times (16 \pi r^2) = 32 \pi r^2$ होता है।
पृष्ठीय क्षेत्रफल में परिवर्तन $\Delta A = A_2 - A_1 = 32 \pi r^2 - 8 \pi r^2 = 24 \pi r^2$ है।
किया गया कार्य (आवश्यक ऊर्जा) $W = T \times \Delta A$ है।
अतः,$W = T \times 24 \pi r^2 = 24 \pi r^2 T$।

(C) तरल फिल्म की दो सतहें होती हैं,इसलिए क्षेत्रफल में परिवर्तन दोगुना हो जाता है।
किया गया कार्य $W = T \times \Delta A_{total} = T \times (2 \times \Delta A)$.
दिया गया है: $T = 20\, dyne/cm$,$A_1 = 60\, cm^2$,$A_2 = 120\, cm^2$.
क्षेत्रफल में परिवर्तन $\Delta A = A_2 - A_1 = 120 - 60 = 60\, cm^2$.
$W = 20 \times (2 \times 60) = 20 \times 120 = 2400\, erg$.

(B) साबुन के बुलबुले में दो सतहें (आंतरिक और बाहरी) होती हैं। त्रिज्या को $r_1$ से $r_2$ तक बढ़ाने में किया गया कार्य $W = 2 \times T \times \Delta A$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\Delta A = 4\pi(r_2^2 - r_1^2)$ है।
अतः,$W = 8\pi T (r_2^2 - r_1^2)$.
दिया गया है: $T = 0.03\, N/m$,$r_1 = 3\, cm = 0.03\, m$,$r_2 = 5\, cm = 0.05\, m$.
$W = 8 \times \pi \times 0.03 \times ((0.05)^2 - (0.03)^2)$.
$W = 8 \times \pi \times 0.03 \times (0.0025 - 0.0009)$.
$W = 8 \times \pi \times 0.03 \times 0.0016$.
$W = 0.24 \times \pi \times 0.0016 = 0.000384\pi\, J$.
$W = 0.384\pi\, mJ \approx 0.4\pi\, mJ$.

(D) साबुन के बुलबुले में दो सतहें (आंतरिक और बाहरी) होती हैं,इसलिए सतह के क्षेत्रफल में परिवर्तन $\Delta A = 2 \times (4 \pi R^2) = 8 \pi R^2$ होता है।
किया गया कार्य $W = T \times \Delta A$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $T$ पृष्ठ तनाव है।
दिया गया है: $T = 60 \times 10^{-3} \, N/m$ और $R = 0.2 \, m$.
$W = 60 \times 10^{-3} \times 8 \pi \times (0.2)^2$
$W = 60 \times 10^{-3} \times 8 \pi \times 0.04$
$W = 480 \pi \times 10^{-3} \times 0.04$
$W = 19.2 \pi \times 10^{-3} \, J = 192 \pi \times 10^{-4} \, J$.

(N/A) पृष्ठ ऊर्जा तरल की सतह से जुड़ी अतिरिक्त ऊर्जा है। आयतन को स्थिर रखते हुए अधिक सतह बनाने के लिए अतिरिक्त ऊर्जा की आवश्यकता होती है।
जैसा कि चित्र $(a)$ में दिखाया गया है, तार से एक $U$-आकार का फ्रेम बनाया गया है, और तार $PQ$ छड़ों $AP$ और $BQ$ पर बिना घर्षण के सरकता है।
जब इस फ्रेम को साबुन के घोल में डुबोकर बाहर निकाला जाता है, तो एक पतली फिल्म $APQB$ बनती है। चित्र $(a)$ में, फिल्म संतुलन में है।
चित्र $(b)$ में दिखाया गया है कि फिल्म को अतिरिक्त दूरी $d$ तक खींचा गया है।
चूंकि सतह का क्षेत्रफल बढ़ता है, इसलिए सिस्टम में अब अधिक ऊर्जा होती है, जिसका अर्थ है कि एक आंतरिक बल के विरुद्ध कुछ कार्य किया गया है।
मान लीजिए कि यह आंतरिक बल $F$ है। लागू बल द्वारा किया गया कार्य है:
$W = \vec{F} \cdot \vec{d} = F d$
ऊर्जा संरक्षण के नियम से, यह कार्य फिल्म में अतिरिक्त ऊर्जा के रूप में संग्रहीत हो जाता है।
यदि फिल्म की प्रति इकाई क्षेत्रफल पृष्ठ ऊर्जा $S$ है, तो निर्मित अतिरिक्त क्षेत्रफल $2ld$ है। (क्योंकि $\Delta A = \text{लंबाई} \times \text{चौड़ाई} = ld$, और फिल्म की दो मुक्त सतहें होती हैं, इसलिए कुल क्षेत्रफल में वृद्धि $2ld$ है)।
तरल फिल्म की दो सतहें होती हैं, इसलिए अतिरिक्त ऊर्जा $E = (2ld)S$ है।
अतः, $W = (2ld)S = S \Delta A$ (जहाँ $\Delta A = 2ld$ क्षेत्रफल में वृद्धि है)।
इस प्रकार, $S = \frac{W}{\Delta A}$.
मान रखने पर, $S = \frac{Fd}{2ld} = \frac{F}{2l}$.
यह राशि $S$ पृष्ठ तनाव का परिमाण है। यह तरल इंटरफ़ेस के प्रति इकाई क्षेत्रफल पृष्ठ ऊर्जा के बराबर है और यह गतिशील छड़ पर तरल द्वारा प्रति इकाई लंबाई लगाए गए बल के भी बराबर है।