Surface Energy Questions in Hindi

(A) द्रव के अंदर स्थित एक अणु चारों ओर से अन्य अणुओं से घिरा होता है,जिसके परिणामस्वरूप उस पर लगने वाला कुल आकर्षण बल शून्य होता है।
हालाँकि,सतह पर स्थित अणु केवल अपने नीचे के अणुओं द्वारा आकर्षित होता है,क्योंकि बल को संतुलित करने के लिए उसके ऊपर कोई द्रव अणु नहीं होते हैं।
किसी अणु को अंदर से सतह पर लाने के लिए,इन आंतरिक आकर्षण बलों के विरुद्ध कार्य करना पड़ता है।
यह कार्य अणु में स्थितिज ऊर्जा के रूप में संचित हो जाता है।
इसलिए,सतह पर स्थित अणु में सतह के नीचे स्थित अणु की तुलना में अधिक स्थितिज ऊर्जा होती है।

(A) द्रव की सतह पर अणुओं की स्थितिज ऊर्जा आंतरिक अणुओं की तुलना में अधिक होती है क्योंकि सतह के अणु एक शुद्ध आंतरिक बल का अनुभव करते हैं।
$(i)$ जब सतह का क्षेत्रफल बड़ा होता है,तो सतह पर अधिक अणु मौजूद होते हैं,जिसका अर्थ है कि सतह के अणुओं की कुल स्थितिज ऊर्जा अधिक होती है।
$(ii)$ जब सतह का क्षेत्रफल छोटा होता है,तो सतह पर कम अणु मौजूद होते हैं,जिसका अर्थ है कि सतह के अणुओं की कुल स्थितिज ऊर्जा कम होती है।
अतः,उत्तर $(i)$ अधिक और $(ii)$ कम है।

(N/A) पृष्ठ ऊर्जा को स्थिर तापमान पर किसी द्रव के पृष्ठीय क्षेत्रफल को इकाई मात्रा में बढ़ाने के लिए किए गए कार्य की मात्रा के रूप में परिभाषित किया गया है।
यह संख्यात्मक रूप से द्रव के पृष्ठ तनाव के बराबर होती है।
गणितीय रूप से,यदि पृष्ठीय क्षेत्रफल को $\Delta A$ से बढ़ाने के लिए किया गया कार्य $W$ है,तो पृष्ठ ऊर्जा $S$ को $S = \frac{W}{\Delta A}$ द्वारा दिया जाता है।
पृष्ठ ऊर्जा की $SI$ इकाई $J/m^2$ या $N/m$ है।

(A) पृष्ठ ऊर्जा को किसी द्रव की सतह के क्षेत्रफल को बढ़ाने में किए गए कार्य के रूप में परिभाषित किया जाता है।
$(i)$ यदि अणु एक-दूसरे को प्रतिकर्षित करते हैं,तो निकाय प्रतिकर्षण बलों से जुड़ी स्थितिज ऊर्जा को कम करने के लिए फैलता है। परिणामस्वरूप,सतह का क्षेत्रफल बढ़ता है और चूंकि इस क्षेत्रफल को बढ़ाने के लिए निकाय द्वारा कार्य किया जाता है,इसलिए पृष्ठ ऊर्जा भी बढ़ती है।
$(ii)$ यदि अणु एक-दूसरे को आकर्षित करते हैं,तो निकाय स्थितिज ऊर्जा को कम करने के लिए सिकुड़ता है। परिणामस्वरूप,सतह का क्षेत्रफल घटता है और पृष्ठ ऊर्जा भी घटती है।

(B) पृष्ठ ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta U = T \Delta A$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\Delta A$ पृष्ठ क्षेत्रफल में परिवर्तन है।
प्रारंभिक पृष्ठ क्षेत्रफल $A_i = 2 \times (4 \pi r^2) = 8 \pi r^2$.
आयतन संरक्षण का उपयोग करते हुए,$2 \times (\frac{4}{3} \pi r^3) = \frac{4}{3} \pi R^3$,इसलिए $R = 2^{1/3} r$.
अंतिम पृष्ठ क्षेत्रफल $A_f = 4 \pi R^2 = 4 \pi (2^{1/3} r)^2 = 4 \pi (2^{2/3}) r^2$.
क्षेत्रफल में परिवर्तन $\Delta A = A_f - A_i = 4 \pi r^2 (2^{2/3} - 2)$.
चूंकि क्षेत्रफल घटता है,ऊर्जा मुक्त होती है: $\Delta U = T (A_i - A_f) = T \times 4 \pi r^2 (2 - 2^{2/3})$.
यहाँ $T = 0.1 \, N/m$ और $r = 10^{-3} \, m$ दिया गया है:
$\Delta U = 0.1 \times 4 \pi \times (10^{-3})^2 \times (2 - 1.587) = 0.4 \pi \times 10^{-6} \times 0.413 \approx 0.519 \, \mu J$.
निकटतम विकल्प के अनुसार,ऊर्जा परिवर्तन लगभग $0.5 \, \mu J$ है।

(B) साबुन के बुलबुले की दो सतहें (आंतरिक और बाहरी) होती हैं,इसलिए सतह के क्षेत्रफल में परिवर्तन $2 \times (4 \pi R^2)$ होता है।
किया गया कार्य $W$,सतह के क्षेत्रफल में परिवर्तन और पृष्ठ तनाव $T$ के गुणनफल के बराबर होता है:
$W = 2 \times (4 \pi R^2) \times T$
दिया गया है:
$R = 5 \; cm = 5 \times 10^{-2} \; m$
$T = 0.1 \; N/m$
मान रखने पर:
$W = 2 \times 4 \times \pi \times (5 \times 10^{-2})^2 \times 0.1$
$W = 8 \times \pi \times 25 \times 10^{-4} \times 0.1$
$W = 200 \times \pi \times 10^{-5}$
$W = 2 \times \pi \times 10^{-3} \; J$
$\pi \approx 3.14$ लेने पर:
$W = 2 \times 3.14 \times 10^{-3} \; J = 6.28 \times 10^{-3} \; J$.

(A) पृष्ठ ऊर्जा में परिवर्तन $W = T \Delta A$ सूत्र द्वारा दिया जाता है,जहाँ $T$ पृष्ठ तनाव है और $\Delta A$ सतह के क्षेत्रफल में परिवर्तन है।
जब $R$ त्रिज्या की एक बड़ी बूंद को $n$ छोटी बूंदों में तोड़ा जाता है,तो क्षेत्रफल में परिवर्तन $\Delta A = n(4\pi r^2) - 4\pi R^2$ होता है।
चूंकि आयतन स्थिर रहता है,$\frac{4}{3}\pi R^3 = n \cdot \frac{4}{3}\pi r^3$,जिसका अर्थ है $r = R / n^{1/3}$।
इसे क्षेत्रफल के सूत्र में रखने पर: $\Delta A = 4\pi R^2 (n^{1/3} - 1)$।
यहाँ $R = 1\, cm = 10^{-2}\, m$,$n = 10^6$,और $T = 460 \times 10^{-3}\, N/m$ दिया गया है।
$W = 4 \pi (10^{-2})^2 (460 \times 10^{-3}) ((10^6)^{1/3} - 1)$।
$W = 4 \times 3.14159 \times 10^{-4} \times 0.46 \times (100 - 1)$।
$W = 4 \times 3.14159 \times 10^{-4} \times 0.46 \times 99$।
$W \approx 0.057\, J$।

(A) माना कि दो छोटी बूंदों की त्रिज्या $R$ है और बड़ी बूंद की त्रिज्या $R'$ है।
संलयन के दौरान आयतन स्थिर रहता है:
$2 \times (\frac{4}{3} \pi R^3) = \frac{4}{3} \pi (R')^3$
$2R^3 = (R')^3$
$R' = 2^{1/3} R$
पृष्ठीय ऊर्जा $U$ को $U = T \times A$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $T$ पृष्ठ तनाव है और $A$ पृष्ठीय क्षेत्रफल है।
प्रारंभिक पृष्ठीय क्षेत्रफल $A_i = 2 \times (4 \pi R^2) = 8 \pi R^2$.
अंतिम पृष्ठीय क्षेत्रफल $A_f = 4 \pi (R')^2 = 4 \pi (2^{1/3} R)^2 = 4 \pi (2^{2/3} R^2) = 2^{2/3} (4 \pi R^2)$.
प्रारंभिक पृष्ठीय ऊर्जा $U_i$ और अंतिम पृष्ठीय ऊर्जा $U_f$ का अनुपात है:
$\frac{U_i}{U_f} = \frac{T \times A_i}{T \times A_f} = \frac{8 \pi R^2}{4 \pi \times 2^{2/3} R^2} = \frac{2}{2^{2/3}} = 2^{1 - 2/3} = 2^{1/3}$.
अतः,अनुपात $2^{1/3} : 1$ है।

(A) दिया गया है: व्यास $D = 2\,cm$,अतः त्रिज्या $r = 1\,cm = 0.01\,m$। पृष्ठ तनाव $T = 0.075\,N/m$। बूंदों की संख्या $n = 64$।
आयतन संरक्षण के अनुसार: $\frac{4}{3} \pi r^3 = n \times \frac{4}{3} \pi r_0^3$,जहाँ $r_0$ प्रत्येक छोटी बूंद की त्रिज्या है।
$r^3 = 64 r_0^3 \implies r_0 = \frac{r}{4} = \frac{0.01}{4} = 0.0025\,m$।
प्रारंभिक पृष्ठीय क्षेत्रफल $A_i = 4 \pi r^2$।
अंतिम पृष्ठीय क्षेत्रफल $A_f = n \times 4 \pi r_0^2 = 64 \times 4 \pi (r/4)^2 = 64 \times 4 \pi (r^2/16) = 16 \pi r^2$।
पृष्ठ ऊर्जा में वृद्धि $\Delta SE = T \times (A_f - A_i) = T \times (16 \pi r^2 - 4 \pi r^2) = T \times 12 \pi r^2$।
मान रखने पर: $\Delta SE = 0.075 \times 12 \times 3.14159 \times (0.01)^2$।
$\Delta SE = 0.075 \times 12 \times 3.14159 \times 0.0001 = 0.9 \times 3.14159 \times 10^{-4} \approx 2.827 \times 10^{-4}\,J$।

(C) प्रारंभिक त्रिज्या $R = 1\,cm = 10^{-2}\,m$. पृष्ठ तनाव $T = 75\,dyne/cm = 75 \times 10^{-3}\,N/m$.
प्रारंभिक पृष्ठीय क्षेत्रफल $A_i = 4\pi R^2 = 4\pi(10^{-2})^2 = 4\pi \times 10^{-4}\,m^2$.
प्रारंभिक पृष्ठ ऊर्जा $U_i = T \times A_i = 75 \times 10^{-3} \times 4\pi \times 10^{-4} = 300\pi \times 10^{-7}\,J$.
माना $r$ प्रत्येक छोटी बूंद की त्रिज्या है। आयतन संरक्षण के अनुसार: $\frac{4}{3}\pi R^3 = 729 \times \frac{4}{3}\pi r^3$.
$r^3 = \frac{R^3}{729} \implies r = \frac{R}{9} = \frac{1}{9}\,cm = \frac{1}{9} \times 10^{-2}\,m$.
अंतिम पृष्ठीय क्षेत्रफल $A_f = 729 \times 4\pi r^2 = 729 \times 4\pi \times (\frac{1}{9} \times 10^{-2})^2 = 729 \times 4\pi \times \frac{1}{81} \times 10^{-4} = 9 \times 4\pi \times 10^{-4} = 36\pi \times 10^{-4}\,m^2$.
अंतिम पृष्ठ ऊर्जा $U_f = T \times A_f = 75 \times 10^{-3} \times 36\pi \times 10^{-4} = 2700\pi \times 10^{-7}\,J$.
पृष्ठ ऊर्जा में वृद्धि $\Delta U = U_f - U_i = (2700\pi - 300\pi) \times 10^{-7} = 2400\pi \times 10^{-7}\,J$.
$\pi \approx 3.14$ का उपयोग करने पर,$\Delta U = 2400 \times 3.14 \times 10^{-7} = 7536 \times 10^{-7} = 7.536 \times 10^{-4}\,J$.
दशमलव के पहले स्थान तक पूर्णांकित करने पर,वृद्धि $7.5 \times 10^{-4}\,J$ है।

(B) साबुन के बुलबुले के लिए पृष्ठ ऊर्जा $U = T \times 4 \pi r^2$ (एक सतह मानते हुए):
प्रारंभिक त्रिज्या $r_1 = \frac{r}{2}$ पर पृष्ठ ऊर्जा:
$U_1 = T \times 4 \pi (\frac{r}{2})^2 = T \times 4 \pi (\frac{r^2}{4}) = \pi T r^2$
अंतिम त्रिज्या $r_2 = 2r$ पर पृष्ठ ऊर्जा:
$U_2 = T \times 4 \pi (2r)^2 = 16 \pi T r^2$
किया गया कार्य पृष्ठ ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है:
$W = U_2 - U_1$
$W = 16 \pi T r^2 - \pi T r^2 = 15 \pi T r^2$
अतः, साबुन के बुलबुले की त्रिज्या बढ़ाने में किया गया कार्य $15 \pi T r^2$ होगा।

(C) द्रव फिल्म की पृष्ठ ऊर्जा $U$ को इस सूत्र द्वारा दिया जाता है: $U = T \times A \times n$,जहाँ $T$ पृष्ठ तनाव है,$A$ फिल्म के एक तरफ का क्षेत्रफल है,और $n$ मुक्त सतहों की संख्या है।
रिंग पर बनी फिल्म के लिए,दो मुक्त सतहें होती हैं (फिल्म के प्रत्येक तरफ एक),इसलिए $n = 2$ है।
दिया गया है: $T = 5 \,N/m$ और $A = 0.02 \,m^2$।
मान रखने पर: $U = 5 \times 0.02 \times 2$।
$U = 0.1 \times 2 = 0.2 \,J$।
$U = 2 \times 10^{-1} \,J$।

(B) साबुन के बुलबुले में दो मुक्त सतहें (आंतरिक और बाहरी) होती हैं।
किए गए कार्य $(W)$ का सूत्र है: $W = S \times \Delta A \times 2$,जहाँ $S$ पृष्ठ तनाव है और $\Delta A$ सतह के क्षेत्रफल में परिवर्तन है।
दिया गया है: $S = 0.03 \,N/m$,त्रिज्या $r = 10 \,cm = 0.1 \,m$।
क्षेत्रफल में परिवर्तन $\Delta A = 4 \pi r^2$।
मान रखने पर: $W = 0.03 \times (4 \times 3.14 \times (0.1)^2) \times 2$।
$W = 0.03 \times 4 \times 3.14 \times 0.01 \times 2$।
$W = 0.03 \times 0.2512 \times 2 = 0.015072 \,J$।
$W = 75.36 \times 10^{-4} \,J$।

(B) माना द्रव का पृष्ठ तनाव $T$ है।
माना बड़ी बूंद की त्रिज्या $R$ है और छोटी बूंद की त्रिज्या $r$ है।
विभाजन प्रक्रिया के दौरान आयतन समान रहता है:
$\frac{4}{3} \pi R^3 = 1000 \times \frac{4}{3} \pi r^3$
$R^3 = 1000 r^3 \implies R = 10r$.
मूल बूंद की पृष्ठीय ऊर्जा $u_i = T \times 4 \pi R^2$ है।
$1000$ छोटी बूंदों की कुल पृष्ठीय ऊर्जा $u_f = 1000 \times (T \times 4 \pi r^2)$ है।
अनुपात लेने पर:
$\frac{u_f}{u_i} = \frac{1000 \times 4 \pi r^2}{4 \pi R^2} = 1000 \times \left(\frac{r}{R}\right)^2$.
$R = 10r$ रखने पर:
$\frac{u_f}{u_i} = 1000 \times \left(\frac{r}{10r}\right)^2 = 1000 \times \frac{1}{100} = 10$.
दिया गया है कि $\frac{u_f}{u_i} = \frac{10}{x}$,इसलिए $10 = \frac{10}{x}$,जिसका अर्थ है कि $x = 1$।

(C) साबुन के बुलबुले की दो सतहें (आंतरिक और बाहरी) होती हैं,इसलिए इसका कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल $A = 2 \times (4 \pi R^2) = 8 \pi R^2$ होता है।
त्रिज्या को $R_1$ से $R_2$ तक बढ़ाने में किया गया कार्य $W$,पृष्ठीय ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है:
$W = T \times \Delta A = T \times (A_2 - A_1) = T \times 8 \pi (R_2^2 - R_1^2)$.
दिया गया है:
$T = 2.0 \times 10^{-2} \; N m^{-1}$
$R_1 = 3.5 \; cm = 3.5 \times 10^{-2} \; m$
$R_2 = 7.0 \; cm = 7.0 \times 10^{-2} \; m$
मान रखने पर:
$W = 2.0 \times 10^{-2} \times 8 \times \frac{22}{7} \times [(7.0 \times 10^{-2})^2 - (3.5 \times 10^{-2})^2]$
$W = 16 \times 10^{-2} \times \frac{22}{7} \times (49 - 12.25) \times 10^{-4}$
$W = 16 \times 10^{-2} \times \frac{22}{7} \times 36.75 \times 10^{-4}$
$W = 16 \times 10^{-2} \times 22 \times 5.25 \times 10^{-4}$
$W = 18.48 \times 10^{-4} \; J$.

(B) माना प्रत्येक छोटी बूंद की त्रिज्या $r$ है और बड़ी बूंद की त्रिज्या $R$ है।
दिया गया है: $r = 1\,mm = 10^{-3}\,m$,$n = 1000$,और पृष्ठ तनाव $T = 0.07\,N/m$.
चूंकि आयतन स्थिर रहता है: $n \times (\frac{4}{3} \pi r^3) = \frac{4}{3} \pi R^3$.
$1000 \times r^3 = R^3 \implies R = 10r = 10 \times 10^{-3}\,m = 10^{-2}\,m$.
मुक्त हुई पृष्ठ ऊर्जा $\Delta E$ प्रारंभिक पृष्ठ क्षेत्रफल और अंतिम पृष्ठ क्षेत्रफल के अंतर को $T$ से गुणा करने पर प्राप्त होती है।
$\Delta E = T \times (n \times 4 \pi r^2 - 4 \pi R^2) = 4 \pi T (n r^2 - R^2)$.
मान रखने पर: $\Delta E = 4 \times \frac{22}{7} \times 0.07 \times (1000 \times (10^{-3})^2 - (10^{-2})^2)$.
$\Delta E = 4 \times 22 \times 0.01 \times (1000 \times 10^{-6} - 100 \times 10^{-6})$.
$\Delta E = 0.88 \times (10^{-3} - 10^{-4}) = 0.88 \times (900 \times 10^{-6}) = 0.88 \times 9 \times 10^{-4} = 7.92 \times 10^{-4}\,J$.

(A) प्रारंभिक त्रिज्या $R = 10^{-3} \ m$। पृष्ठ तनाव $T = 0.45 \ Nm^{-1}$।
प्रारंभिक पृष्ठीय क्षेत्रफल $A_i = 4 \pi R^2$।
प्रारंभिक पृष्ठ ऊर्जा $E_i = T \times 4 \pi R^2$।
माना प्रत्येक छोटी बूंद की त्रिज्या $r$ है। आयतन संरक्षण के अनुसार,$\frac{4}{3} \pi R^3 = 125 \times \frac{4}{3} \pi r^3$।
$R^3 = 125 r^3 \implies R = 5r \implies r = \frac{R}{5} = \frac{10^{-3}}{5} \ m$।
अंतिम पृष्ठीय क्षेत्रफल $A_f = 125 \times 4 \pi r^2 = 125 \times 4 \pi \left(\frac{R}{5}\right)^2 = 125 \times 4 \pi \frac{R^2}{25} = 5 \times 4 \pi R^2$।
पृष्ठ ऊर्जा में वृद्धि $\Delta E = E_f - E_i = T(A_f - A_i) = T(5 \times 4 \pi R^2 - 4 \pi R^2) = T(4 \times 4 \pi R^2) = 16 \pi T R^2$।
मान रखने पर: $\Delta E = 16 \times 3.14159 \times 0.45 \times (10^{-3})^2$।
$\Delta E = 16 \times 3.14159 \times 0.45 \times 10^{-6} \approx 22.619 \times 10^{-6} \ J = 2.26 \times 10^{-5} \ J$।

(A) पृष्ठ तनाव $T = 3.5 \times 10^{-2} \, N m^{-1}$ है।
प्रारंभिक त्रिज्या $r_1 = 10 \, cm = 0.1 \, m$.
अंतिम त्रिज्या $r_2 = 20 \, cm = 0.2 \, m$.
साबुन के बुलबुले में दो सतहें (आंतरिक और बाहरी) होती हैं,इसलिए सतह के क्षेत्रफल में परिवर्तन $\Delta A = 2 \times (4 \pi r_2^2 - 4 \pi r_1^2) = 8 \pi (r_2^2 - r_1^2)$ है।
किया गया कार्य $W = T \times \Delta A = T \times 8 \pi (r_2^2 - r_1^2)$ है।
मान रखने पर: $W = 3.5 \times 10^{-2} \times 8 \times 3.14159 \times (0.2^2 - 0.1^2)$.
$W = 3.5 \times 10^{-2} \times 8 \times 3.14159 \times (0.04 - 0.01) = 3.5 \times 10^{-2} \times 8 \times 3.14159 \times 0.03$.
$W = 0.28 \times 3.14159 \times 0.03 = 0.026389 \, J$.
आवश्यक प्रारूप में बदलने पर: $W \approx 264 \times 10^{-4} \, J$.

(D) साबुन के बुलबुले में दो सतहें (आंतरिक और बाहरी) होती हैं,इसलिए कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल $A = 2 \times (4 \pi R^2) = 8 \pi R^2$ होता है।
बुलबुला बनाने के लिए आवश्यक ऊर्जा पृष्ठ ऊर्जा के बराबर होती है,जो $E = T \times A$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $T$ पृष्ठ तनाव है।
दिया गया है: $T = 0.03\,N\,m^{-1}$,$R = 2\,cm = 2 \times 10^{-2}\,m$.
मान रखने पर:
$E = 0.03 \times 8 \times 3.14 \times (2 \times 10^{-2})^2$
$E = 0.03 \times 8 \times 3.14 \times 4 \times 10^{-4}$
$E = 3.0144 \times 10^{-4}\,J$
निकटतम मान लेने पर,$E \approx 3.01 \times 10^{-4}\,J$ प्राप्त होता है।

(A) प्रक्रिया के दौरान तरल का आयतन स्थिर रहता है।
माना बड़ी बूंद की त्रिज्या $R$ है और $27$ छोटी बूंदों में से प्रत्येक की त्रिज्या $r$ है।
बड़ी बूंद का आयतन = $27 \times$ छोटी बूंद का आयतन
$\frac{4}{3} \pi R^3 = 27 \times \frac{4}{3} \pi r^3$
$R^3 = 27 r^3$
दोनों तरफ घनमूल लेने पर,हमें $R = 3r$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $r = \frac{R}{3}$।
इस प्रक्रिया में किया गया कार्य पृष्ठ ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है: $W = T \Delta A$।
प्रारंभिक पृष्ठीय क्षेत्रफल $A_i = 4 \pi R^2$।
अंतिम पृष्ठीय क्षेत्रफल $A_f = 27 \times (4 \pi r^2) = 27 \times 4 \pi \left(\frac{R}{3}\right)^2 = 27 \times 4 \pi \times \frac{R^2}{9} = 12 \pi R^2$।
क्षेत्रफल में परिवर्तन $\Delta A = A_f - A_i = 12 \pi R^2 - 4 \pi R^2 = 8 \pi R^2$।
अतः,किया गया कार्य $W = T \times (8 \pi R^2) = 8 \pi R^2 T$।

(B) साबुन के बुलबुले को फुलाने में किया गया कार्य पृष्ठ ऊर्जा में परिवर्तन द्वारा दिया जाता है: $W = S \times \Delta A$.
चूंकि साबुन के बुलबुले में दो सतहें होती हैं,इसलिए क्षेत्रफल में परिवर्तन $\Delta A = 2 \times 4\pi (r_2^2 - r_1^2) = 8\pi (r_2^2 - r_1^2)$ है।
दिया गया है: $S = 40 \ dyne/cm$,$W = 36960 \ erg$,और प्रारंभिक व्यास $d_1 = 7 \ cm$,इसलिए प्रारंभिक त्रिज्या $r_1 = 3.5 \ cm = \frac{7}{2} \ cm$.
मान रखने पर: $36960 = 40 \times 8 \times \frac{22}{7} \times (r_2^2 - (3.5)^2)$.
$36960 = 320 \times \frac{22}{7} \times (r_2^2 - 12.25)$.
$36960 = \frac{7040}{7} \times (r_2^2 - 12.25)$.
$r_2^2 - 12.25 = \frac{36960 \times 7}{7040} = 36.75$.
$r_2^2 = 36.75 + 12.25 = 49$.
$r_2 = 7 \ cm$.

(C) माना कि प्रत्येक छोटी बूंद की त्रिज्या $r$ है और बड़ी बूंद की त्रिज्या $R$ है।
चूंकि आयतन संरक्षित रहता है,$1000$ छोटी बूंदों का आयतन बड़ी बूंद के आयतन के बराबर होगा:
$1000 \times \frac{4}{3} \pi r^3 = \frac{4}{3} \pi R^3$
$1000 r^3 = R^3$
$R = 10r$
बूंद की पृष्ठ ऊर्जा $E = T \times A$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $T$ पृष्ठ तनाव है और $A$ पृष्ठ क्षेत्रफल है।
$1000$ छोटी बूंदों की पृष्ठ ऊर्जा $(E_s)$ = $1000 \times (4 \pi r^2 T) = 4000 \pi r^2 T$
बड़ी बूंद की पृष्ठ ऊर्जा $(E_b)$ = $4 \pi R^2 T = 4 \pi (10r)^2 T = 400 \pi r^2 T$
$1000$ बूंदों की पृष्ठ ऊर्जा और बड़ी बूंद की पृष्ठ ऊर्जा का अनुपात:
$\frac{E_s}{E_b} = \frac{4000 \pi r^2 T}{400 \pi r^2 T} = 10$
यह दिया गया है कि अनुपात $\frac{10}{x}$ है,इसलिए:
$10 = \frac{10}{x}$
अतः,$x = 1$.

(B) बड़ी बूंद का प्रारंभिक पृष्ठीय क्षेत्रफल $A_i = 4 \pi R^2$ है। $r$ त्रिज्या की $K$ छोटी बूंदों का अंतिम पृष्ठीय क्षेत्रफल $A_f = K \times 4 \pi r^2$ है。
चूंकि आयतन संरक्षित रहता है, $\frac{4}{3} \pi R^3 = K \times \frac{4}{3} \pi r^3$, जिसका अर्थ है $r = R K^{-1/3}$।
$r$ का मान अंतिम क्षेत्रफल में रखने पर: $A_f = K \times 4 \pi (R K^{-1/3})^2 = 4 \pi R^2 K^{1/3}$।
पृष्ठ ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta U = S(A_f - A_i) = S \times 4 \pi R^2 (K^{1/3} - 1)$ है。
दिया गया है $\Delta U = 10^{-3} \,J$, $R = 10^{-2} \,m$, और $S = \frac{0.1}{4 \pi} \,Nm^{-1}$:
$10^{-3} = \left(\frac{0.1}{4 \pi}\right) \times 4 \pi \times (10^{-2})^2 \times (K^{1/3} - 1)$।
$10^{-3} = 0.1 \times 10^{-4} \times (K^{1/3} - 1) = 10^{-5} \times (K^{1/3} - 1)$।
$K^{1/3} - 1 = \frac{10^{-3}}{10^{-5}} = 10^2 = 100$।
$K^{1/3} = 101 \approx 100 = 10^2$।
$K = (10^2)^3 = 10^6$।
चूंकि $K = 10^\alpha$, इसलिए $\alpha = 6$ है।

(A) बूंद को तोड़ने में किया गया कार्य पृष्ठीय ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है: $W = S \Delta A$.
माना बड़ी बूंद की त्रिज्या $R$ है और छोटी बूंदों की त्रिज्या $r$ है।
आयतन संरक्षण के अनुसार: $\frac{4}{3} \pi R^3 = n \cdot \frac{4}{3} \pi r^3$,जिससे $r = \frac{R}{n^{1/3}}$ प्राप्त होता है।
किया गया कार्य $W = S(n \cdot 4 \pi r^2 - 4 \pi R^2) = 4 \pi R^2 S (n^{1/3} - 1)$ है।
$n = 27$ के लिए: $W_1 = 4 \pi R^2 S (27^{1/3} - 1) = 4 \pi R^2 S (3 - 1) = 8 \pi R^2 S = 10 \ J$.
$n = 64$ के लिए: $W_2 = 4 \pi R^2 S (64^{1/3} - 1) = 4 \pi R^2 S (4 - 1) = 12 \pi R^2 S$.
अनुपात लेने पर: $\frac{W_2}{W_1} = \frac{12 \pi R^2 S}{8 \pi R^2 S} = \frac{12}{8} = 1.5$.
अतः,$W_2 = 1.5 \times 10 \ J = 15 \ J$.

(D) द्रव के भीतर के अणु चारों ओर से अन्य अणुओं से घिरे होते हैं,जिसके परिणामस्वरूप उन पर लगने वाला कुल आकर्षण बल शून्य होता है।
हालाँकि,द्रव की सतह पर स्थित अणु एक शुद्ध आंतरिक आकर्षण बल का अनुभव करते हैं क्योंकि उनके ऊपर कोई द्रव के अणु नहीं होते जो नीचे की ओर खिंचाव को संतुलित कर सकें।
अणु को भीतर से सतह पर लाने के लिए,इस आंतरिक आकर्षण बल के विरुद्ध कार्य करना पड़ता है।
यह कार्य अणु में स्थितिज ऊर्जा के रूप में संचित हो जाता है।
इसलिए,सतह पर स्थित अणु की स्थितिज ऊर्जा द्रव के भीतर स्थित अणु की तुलना में अधिक होती है।

(B) मान लीजिए कि प्रारंभिक बड़ी बूंद की त्रिज्या $R$ है और प्रत्येक छोटी बूंद की त्रिज्या $r$ है।
चूंकि आयतन स्थिर रहता है,बड़ी बूंद का आयतन $729$ छोटी बूंदों के आयतन के योग के बराबर होगा:
$\frac{4}{3} \pi R^3 = 729 \times \frac{4}{3} \pi r^3$
$R^3 = 729 r^3$
$R = 9r$ या $r = \frac{R}{9}$।
प्रारंभिक पृष्ठ ऊर्जा $E = T \times A_{initial} = T \times 4 \pi R^2$ है,जहाँ $T$ पृष्ठ तनाव है।
अंतिम पृष्ठ ऊर्जा $E'$ सभी $729$ बूंदों की पृष्ठ ऊर्जा का योग है:
$E' = 729 \times (T \times 4 \pi r^2)$
समीकरण में $r = \frac{R}{9}$ रखने पर:
$E' = 729 \times T \times 4 \pi \left(\frac{R}{9}\right)^2$
$E' = 729 \times T \times 4 \pi \times \frac{R^2}{81}$
$E' = 9 \times (T \times 4 \pi R^2)$
$E' = 9 E$।

(B) माना कि प्रारंभिक बड़ी बूंद की त्रिज्या $R$ है और प्रत्येक छोटी बूंद की त्रिज्या $r$ है।
बड़ी बूंद का आयतन $1000$ छोटी बूंदों के कुल आयतन के बराबर होता है:
$\frac{4}{3} \pi R^3 = 1000 \times \frac{4}{3} \pi r^3$
$R^3 = 1000 r^3 \implies R = 10r$ या $r = \frac{R}{10}$.
प्रारंभिक पृष्ठीय ऊर्जा $V = T \times A = T \times 4 \pi R^2$ है,जहाँ $T$ पृष्ठ तनाव है।
$1000$ छोटी बूंदों का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल $A' = 1000 \times 4 \pi r^2$ है।
$r = \frac{R}{10}$ रखने पर:
$A' = 1000 \times 4 \pi \left(\frac{R}{10}\right)^2 = 1000 \times 4 \pi \times \frac{R^2}{100} = 10 \times 4 \pi R^2$.
नई पृष्ठीय ऊर्जा $V' = T \times A' = T \times 10 \times 4 \pi R^2 = 10 V$ होगी।

(C) माना बड़ी बूंद की त्रिज्या $R$ है और प्रत्येक छोटी बूंद की त्रिज्या $r$ है।
चूंकि आयतन स्थिर रहता है,बड़ी बूंद का आयतन $512$ छोटी बूंदों के आयतन के योग के बराबर होता है:
$\frac{4}{3} \pi R^3 = 512 \times \frac{4}{3} \pi r^3$
$R^3 = 512 r^3$
$R = 8r$ या $r = \frac{R}{8}$।
प्रारंभिक पृष्ठ ऊर्जा $E = T \times A = T \times 4 \pi R^2$ है,जहाँ $T$ पृष्ठ तनाव है।
अंतिम पृष्ठ ऊर्जा $E'$,$512$ बूंदों की पृष्ठ ऊर्जाओं का योग है:
$E' = 512 \times (T \times 4 \pi r^2)$
समीकरण में $r = \frac{R}{8}$ रखने पर:
$E' = 512 \times T \times 4 \pi \left(\frac{R}{8}\right)^2$
$E' = 512 \times T \times 4 \pi \times \frac{R^2}{64}$
$E' = 8 \times (T \times 4 \pi R^2)$
$E' = 8E$.

(C) साबुन के बुलबुले की दो सतहें (आंतरिक और बाहरी) होती हैं। इसलिए,$r$ त्रिज्या वाले साबुन के बुलबुले का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल $A = 2 \times (4 \pi r^2) = 8 \pi r^2$ होता है।
यहाँ व्यास $d_1$ से बदलकर $d_2$ हो जाता है,इसलिए त्रिज्या $r_1 = d_1/2$ से बदलकर $r_2 = d_2/2$ हो जाती है।
प्रारंभिक पृष्ठीय क्षेत्रफल $A_1 = 8 \pi (d_1/2)^2 = 2 \pi d_1^2$ है।
अंतिम पृष्ठीय क्षेत्रफल $A_2 = 8 \pi (d_2/2)^2 = 2 \pi d_2^2$ है।
पृष्ठीय क्षेत्रफल में परिवर्तन $\Delta A = A_2 - A_1 = 2 \pi (d_2^2 - d_1^2)$ है।
किया गया कार्य $W$,पृष्ठ तनाव $T$ और पृष्ठीय क्षेत्रफल में परिवर्तन $\Delta A$ के गुणनफल के बराबर होता है।
अतः,$W = T \times \Delta A = 2 \pi (d_2^2 - d_1^2) T$.

(B) साबुन के बुलबुले की दो सतहें (आंतरिक और बाहरी) होती हैं। इसलिए,$r$ त्रिज्या वाले साबुन के बुलबुले का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल $A = 2 \times (4\pi r^2) = 8\pi r^2$ होता है।
प्रारंभिक त्रिज्या $r_1 = d/2$,इसलिए प्रारंभिक क्षेत्रफल $A_1 = 8\pi(d/2)^2 = 2\pi d^2$ है।
अंतिम त्रिज्या $r_2 = D/2$,इसलिए अंतिम क्षेत्रफल $A_2 = 8\pi(D/2)^2 = 2\pi D^2$ है।
पृष्ठीय क्षेत्रफल में परिवर्तन $\Delta A = A_2 - A_1 = 2\pi(D^2 - d^2)$ है।
किया गया कार्य $W = T \times \Delta A$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर,$W = T \times 2\pi(D^2 - d^2) = 2\pi(D^2 - d^2)T$।

(C) तार की लंबाई $l = 10 \text{ cm} = 0.1 \text{ m}$ है।
तारों के बीच की प्रारंभिक दूरी $d_1 = 0.5 \text{ cm} = 0.005 \text{ m}$ है।
दूरी में वृद्धि $\Delta d = 1 \text{ mm} = 0.001 \text{ m}$ है।
पानी की फिल्म में दो सतहें होती हैं,इसलिए क्षेत्रफल में परिवर्तन $\Delta A = 2 \times (l \times \Delta d)$ है।
$\Delta A = 2 \times (0.1 \text{ m} \times 0.001 \text{ m}) = 2 \times 10^{-4} \text{ m}^2$.
पानी का पृष्ठ तनाव $T = 72 \text{ mN/m} = 72 \times 10^{-3} \text{ N/m}$ है।
किया गया कार्य $W = T \times \Delta A$ है।
$W = (72 \times 10^{-3} \text{ N/m}) \times (2 \times 10^{-4} \text{ m}^2) = 144 \times 10^{-7} \text{ J} = 1.44 \times 10^{-5} \text{ J}$.

(C) $r$ त्रिज्या का साबुन का बुलबुला फुलाने में किया गया कार्य $W = 2 \times (4 \pi r^2) \times T = 8 \pi r^2 T$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $T$ साबुन के घोल का पृष्ठ तनाव है।
कमरे के तापमान पर $R$ त्रिज्या के पहले बुलबुले के लिए,पृष्ठ तनाव $T_1$ होने पर किया गया कार्य $W_1 = 8 \pi R^2 T_1$ है।
उच्च तापमान पर $2R$ त्रिज्या के दूसरे बुलबुले के लिए,पृष्ठ तनाव $T_2$ होने पर किया गया कार्य $W_2 = 8 \pi (2R)^2 T_2 = 32 \pi R^2 T_2$ है।
दोनों की तुलना करने पर,$\frac{W_2}{W_1} = \frac{32 \pi R^2 T_2}{8 \pi R^2 T_1} = 4 \left( \frac{T_2}{T_1} \right)$ प्राप्त होता है।
चूंकि साबुन के घोल को गर्म किया जाता है,इसलिए पृष्ठ तनाव कम हो जाता है,जिसका अर्थ है $T_2 < T_1$,या $\frac{T_2}{T_1} < 1$ है।
अतः,$W_2 < 4 W_1$।

(B) माना बड़ी बूंद की त्रिज्या $R$ है और एक छोटी पानी की बूंद की त्रिज्या $r$ है।
आयतन संरक्षण के नियम के अनुसार,बड़ी बूंद का आयतन $n$ छोटी बूंदों के आयतन के योग के बराबर होता है:
$\frac{4}{3} \pi R^3 = n \times \frac{4}{3} \pi r^3$
$R^3 = n r^3 \Rightarrow R = n^{1/3} r$
$n$ छोटी बूंदों की पृष्ठीय ऊर्जा $E_n = n \times (4 \pi r^2 T)$ है,जहाँ $T$ पृष्ठ तनाव है।
बड़ी बूंद की पृष्ठीय ऊर्जा $E = 4 \pi R^2 T$ है।
$n$ बूंदों की पृष्ठीय ऊर्जा और बड़ी बूंद की पृष्ठीय ऊर्जा का अनुपात:
$\frac{E_n}{E} = \frac{n \times 4 \pi r^2 T}{4 \pi R^2 T} = \frac{n r^2}{R^2}$
$R = n^{1/3} r$ का मान रखने पर:
$\frac{E_n}{E} = \frac{n r^2}{(n^{1/3} r)^2} = \frac{n r^2}{n^{2/3} r^2} = n^{1 - 2/3} = n^{1/3} = \sqrt[3]{n}$
अतः,अनुपात $\sqrt[3]{n}: 1$ है।

(D) विभाजन की प्रक्रिया के दौरान पारे का आयतन स्थिर रहता है:
$V_{initial} = V_{final}$
$\frac{4}{3} \pi R^3 = 1000 \times \frac{4}{3} \pi r^3$
$R^3 = 1000 r^3$
दोनों पक्षों का घनमूल लेने पर,$R = 10r$ या $r = \frac{R}{10}$ प्राप्त होता है।
पृष्ठ क्षेत्रफल में परिवर्तन $\Delta A$ इस प्रकार है:
$\Delta A = A_{final} - A_{initial}$
$\Delta A = (1000 \times 4 \pi r^2) - 4 \pi R^2$
समीकरण में $r = \frac{R}{10}$ रखने पर:
$\Delta A = 4 \pi \left( 1000 \times \left( \frac{R}{10} \right)^2 - R^2 \right)$
$\Delta A = 4 \pi \left( 1000 \times \frac{R^2}{100} - R^2 \right)$
$\Delta A = 4 \pi (10 R^2 - R^2) = 4 \pi (9 R^2) = 36 \pi R^2$
पृष्ठ ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta U = T \times \Delta A$ द्वारा दिया जाता है:
$\Delta U = T \times 36 \pi R^2 = 36 \pi R^2 T$.

(C) माना मूल बूंद की त्रिज्या $R$ है और प्रत्येक छोटी बूंद की त्रिज्या $r$ है।
पृष्ठ ऊर्जा $E = S \times A$,जहाँ $S$ पृष्ठ तनाव है और $A$ पृष्ठ क्षेत्रफल है।
प्रारंभिक पृष्ठ क्षेत्रफल $A_1 = 4 \pi R^2$ है।
बड़ी बूंद का आयतन = $512$ छोटी बूंदों का आयतन:
$\frac{4}{3} \pi R^3 = 512 \times \frac{4}{3} \pi r^3$
$R^3 = 512 r^3 \implies R = 8r$।
अंतिम पृष्ठ क्षेत्रफल $A_2 = 512 \times (4 \pi r^2)$ है।
$r = R/8$ रखने पर:
$A_2 = 512 \times 4 \pi \left(\frac{R}{8}\right)^2 = 512 \times 4 \pi \times \frac{R^2}{64} = 8 \times (4 \pi R^2) = 8 A_1$।
चूंकि पृष्ठ ऊर्जा पृष्ठ क्षेत्रफल के सीधे आनुपातिक होती है $(E \propto A)$:
$E_2 = 8 E_1 = 8 E$।

(A) साम्यावस्था में द्रव की सतह पर,द्रव के अणुओं के पास अधिकतम स्थितिज ऊर्जा होती है।
व्याख्या:
द्रव में,आंतरिक भाग के अणु सभी तरफ से अन्य अणुओं से घिरे होते हैं,जिसके परिणामस्वरूप उन पर लगने वाला कुल आकर्षण बल शून्य होता है। हालाँकि,सतह पर मौजूद अणु अपने ऊपर अणुओं की अनुपस्थिति के कारण अंदर की ओर एक शुद्ध आकर्षण बल का अनुभव करते हैं। किसी अणु को द्रव के अंदर से सतह पर लाने के लिए,इस आकर्षण बल के विरुद्ध कार्य करना पड़ता है। यह कार्य स्थितिज ऊर्जा के रूप में संचित हो जाता है। इसलिए,द्रव के अंदर के अणुओं की तुलना में सतह पर स्थित अणुओं की स्थितिज ऊर्जा अधिक होती है।

(B) साबुन की फिल्म की दो सतहें होती हैं। सतह के क्षेत्रफल में परिवर्तन $\Delta A = 2 \times l \times \Delta x$ द्वारा दिया जाता है, जहाँ $l = 10 \,cm = 0.1 \,m$ और $\Delta x = 1 \,mm = 10^{-3} \,m$ है。
$\Delta A = 2 \times 0.1 \,m \times 10^{-3} \,m = 2 \times 10^{-4} \,m^2$.
किया गया कार्य $W$ सतह ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है, जो $W = T \times \Delta A$ द्वारा दिया जाता है。
यहाँ $T = 65 \times 10^{-2} \,N/m$ दिया गया है。
$W = (65 \times 10^{-2} \,N/m) \times (2 \times 10^{-4} \,m^2) = 130 \times 10^{-6} \,J = 1.3 \times 10^{-4} \,J = 13.0 \times 10^{-5} \,J$.
अतः, विकल्प $B$ सही है。

(C) किया गया कार्य,$W = S \times \Delta A$,जहाँ $\Delta A$ सतह के क्षेत्रफल में परिवर्तन है।
बड़ी बूंद का प्रारंभिक सतह क्षेत्रफल,$A_{\text{initial}} = 4 \pi R^2$.
मान लीजिए छोटी बूंदों की त्रिज्या $r$ है। कुल आयतन स्थिर रहता है:
$\frac{4}{3} \pi R^3 = 8 \times \frac{4}{3} \pi r^3 \implies R^3 = 8r^3 \implies R = 2r$ या $r = R/2$.
$8$ छोटी बूंदों का अंतिम सतह क्षेत्रफल,$A_{\text{final}} = 8 \times 4 \pi r^2 = 32 \pi (R/2)^2 = 32 \pi (R^2/4) = 8 \pi R^2$.
सतह के क्षेत्रफल में परिवर्तन,$\Delta A = A_{\text{final}} - A_{\text{initial}} = 8 \pi R^2 - 4 \pi R^2 = 4 \pi R^2$.
किया गया कार्य,$W = S \times \Delta A = S \times 4 \pi R^2 = 4 \pi R^2 S$.

(D) माना $R$ मूल बड़ी बूंद की त्रिज्या है और $r$ प्रत्येक छोटी बूंद की त्रिज्या है।
चूंकि आयतन स्थिर रहता है,बड़ी बूंद का आयतन $1000$ छोटी बूंदों के आयतन के योग के बराबर होगा:
$\frac{4}{3} \pi R^3 = 1000 \times \frac{4}{3} \pi r^3$
$R^3 = 1000 r^3 \implies R = 10r$.
गोलाकार बूंद की पृष्ठ ऊर्जा $E = T \times A$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $T$ पृष्ठ तनाव है और $A$ पृष्ठ क्षेत्रफल $(4\pi r^2)$ है।
$E_1 = T(4\pi R^2)$
$E_2 = 1000 \times T(4\pi r^2)$
अनुपात लेने पर:
$\frac{E_1}{E_2} = \frac{T(4\pi R^2)}{1000 \times T(4\pi r^2)} = \frac{R^2}{1000 r^2}$
$R = 10r$ प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{E_1}{E_2} = \frac{(10r)^2}{1000 r^2} = \frac{100 r^2}{1000 r^2} = \frac{1}{10}$
दिया गया है कि $\frac{E_1}{E_2} = \frac{x}{10}$,दोनों पक्षों की तुलना करने पर,हमें $x = 1$ प्राप्त होता है।

(D) साबुन की फिल्म की दो सतहें होती हैं, इसलिए क्षेत्रफल में कुल परिवर्तन $2 \times \Delta A$ है。
प्रारंभिक क्षेत्रफल $A_1 = 3 \times 3 \,cm^2 = 9 \times 10^{-4} \,m^2$.
अंतिम क्षेत्रफल $A_2 = 5 \times 5 \,cm^2 = 25 \times 10^{-4} \,m^2$.
क्षेत्रफल में परिवर्तन $\Delta A = A_2 - A_1 = (25 - 9) \times 10^{-4} \,m^2 = 16 \times 10^{-4} \,m^2$.
पृष्ठ तनाव $T = 2.5 \times 10^{-2} \,N/m$.
किया गया कार्य $W = T \times (2 \Delta A) = 2.5 \times 10^{-2} \times 2 \times 16 \times 10^{-4} \,J$.
$W = 5 \times 10^{-2} \times 16 \times 10^{-4} \,J = 80 \times 10^{-6} \,J$.

(D) माना प्रत्येक छोटी बूंद की त्रिज्या $r = 0.1 \,mm = 10^{-4} \,m$ है और बूंदों की संख्या $n = 27$ है।
जब $n$ बूंदें मिलकर $R$ त्रिज्या की एक बड़ी बूंद बनाती हैं, तो आयतन स्थिर रहता है: $\frac{4}{3} \pi R^3 = n \times \frac{4}{3} \pi r^3$.
अतः, $R = n^{1/3} r = (27)^{1/3} \times r = 3r$.
मुक्त ऊर्जा, पृष्ठ क्षेत्रफल में कमी और पृष्ठ तनाव $T$ के गुणनफल के बराबर होती है:
$\Delta E = T \times (A_{initial} - A_{final}) = T \times (n \times 4 \pi r^2 - 4 \pi R^2)$.
$R = 3r$ रखने पर:
$\Delta E = 4 \pi T r^2 (n - 9)$.
$n = 27$ दिया गया है, अतः $\Delta E = 4 \pi T r^2 (27 - 9) = 4 \pi T r^2 (18) = 72 \pi T r^2$.
मान रखने पर: $\Delta E = 72 \times 3.14 \times 0.072 \times (10^{-4})^2$.
$\Delta E \approx 1.627 \times 10^{-7} \,J$.

(D) साबुन के बुलबुले को फुलाने में किया गया कार्य $W = T \Delta A$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $T$ पृष्ठ तनाव है और $\Delta A$ सतह के क्षेत्रफल में परिवर्तन है। चूंकि साबुन के बुलबुले की दो सतहें होती हैं,इसलिए कुल सतह का क्षेत्रफल $A = 2 \times (4 \pi r^2) = 8 \pi r^2$ है।
गोलाकार बुलबुले के लिए,आयतन $V = \frac{4}{3} \pi r^3$ है,जिसका अर्थ है $r = (\frac{3V}{4\pi})^{1/3}$।
क्षेत्रफल के सूत्र में $r$ का मान रखने पर: $A = 8 \pi (\frac{3V}{4\pi})^{2/3} \propto V^{2/3}$।
चूंकि $W \propto A$,इसलिए $W \propto V^{2/3}$ प्राप्त होता है।
मान लीजिए $2V$ आयतन के लिए किया गया कार्य $W'$ है। तब $\frac{W'}{W} = (\frac{2V}{V})^{2/3} = 2^{2/3} = (2^2)^{1/3} = 4^{1/3}$।
अतः,$W' = 4^{1/3} W$।

(B) माना प्रत्येक छोटी बूंद की त्रिज्या $r$ है और बड़ी बूंद की त्रिज्या $R$ है।
आयतन संरक्षण के नियम के अनुसार,$1000$ छोटी बूंदों का आयतन = बड़ी बूंद का आयतन: $1000 \times (\frac{4}{3} \pi r^3) = \frac{4}{3} \pi R^3$.
इससे $R^3 = 1000 r^3$ प्राप्त होता है,अतः $R = 10r$.
$1000$ छोटी बूंदों की प्रारंभिक पृष्ठीय ऊर्जा $E_1 = 1000 \times (4 \pi r^2 T)$ है,जहाँ $T$ पृष्ठ तनाव है।
बड़ी बूंद की अंतिम पृष्ठीय ऊर्जा $E_2 = 4 \pi R^2 T$ है।
अंतिम पृष्ठीय ऊर्जा और प्रारंभिक पृष्ठीय ऊर्जा का अनुपात $\frac{E_2}{E_1} = \frac{4 \pi R^2 T}{1000 \times 4 \pi r^2 T} = \frac{R^2}{1000 r^2}$ होगा।
$R = 10r$ रखने पर,$\frac{E_2}{E_1} = \frac{(10r)^2}{1000 r^2} = \frac{100 r^2}{1000 r^2} = \frac{1}{10}$.
अतः,अनुपात $1:10$ है।

(D) सही विकल्प $D$ है।
अवधारणा: पृष्ठ ऊर्जा $E$,पृष्ठ क्षेत्रफल $A$ के समानुपाती होती है,जहाँ $E = T \times A$ ($T$ पृष्ठ तनाव है)।
माना बड़ी बूंद की त्रिज्या $R$ है और प्रत्येक छोटी बूंद की त्रिज्या $r$ है।
आयतन संरक्षण के अनुसार: $\frac{4}{3} \pi R^3 = 216 \times \frac{4}{3} \pi r^3$.
इसे सरल करने पर $R^3 = 216 r^3$,अतः $R = 6r$ या $r = \frac{R}{6}$ प्राप्त होता है।
प्रारंभिक पृष्ठ ऊर्जा $E = T \times (4 \pi R^2)$.
अंतिम पृष्ठ ऊर्जा $E' = 216 \times (T \times 4 \pi r^2)$.
$r = \frac{R}{6}$ रखने पर:
$E' = 216 \times T \times 4 \pi \left(\frac{R}{6}\right)^2 = 216 \times T \times 4 \pi \times \frac{R^2}{36}$.
$E' = 6 \times (T \times 4 \pi R^2) = 6 E$.

(A) साबुन का बुलबुला फुलाने में किया गया कार्य पृष्ठ ऊर्जा में वृद्धि के बराबर होता है, जो $W = T \Delta A$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि साबुन के बुलबुले में दो सतहें (आंतरिक और बाहरी) होती हैं, इसलिए सतह के क्षेत्रफल में परिवर्तन $\Delta A = 2 \times (4 \pi r^2)$ होता है, जहां $r$ त्रिज्या है।
दिया गया व्यास $2d$ है, इसलिए त्रिज्या $r = d$ होगी।
अतः, $\Delta A = 2 \times 4 \pi d^2 = 8 \pi d^2$।
इसलिए, किया गया कार्य $W = T \times 8 \pi d^2 = 8 \pi d^2 T$ है।

(A) साबुन के बुलबुले की दो सतहें (आंतरिक और बाहरी) होती हैं। $r$ त्रिज्या का साबुन का बुलबुला फुलाने में किया गया कार्य $W = 2 \times (4 \pi r^2 T) = 8 \pi r^2 T$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $T$ पृष्ठ तनाव है।
$R$ त्रिज्या के बुलबुले के लिए,$W_1 = 8 \pi R^2 T$ है।
$2R$ त्रिज्या के बुलबुले के लिए,$W_2 = 8 \pi (2R)^2 T = 8 \pi (4R^2) T = 32 \pi R^2 T$ है।
अनुपात $\frac{W_1}{W_2} = \frac{8 \pi R^2 T}{32 \pi R^2 T} = \frac{1}{4}$ है।