Surface Energy Questions in Hindi

(A) माना बड़ी बूंद की त्रिज्या $R$ है और प्रत्येक छोटी बूंद की त्रिज्या $r$ है।
चूंकि आयतन स्थिर रहता है,इसलिए $\frac{4}{3} \pi R^3 = 512 \times \frac{4}{3} \pi r^3$.
यह $R^3 = 512 r^3$ में सरल होता है,जिससे $R = 8r$ या $r = \frac{R}{8}$ प्राप्त होता है।
प्रारंभिक पृष्ठीय ऊर्जा $U = 4 \pi R^2 T$ है,जहाँ $T$ पृष्ठीय तनाव है।
नई पृष्ठीय ऊर्जा $U'$ $512$ बूंदों की पृष्ठीय ऊर्जा का योग है: $U' = 512 \times (4 \pi r^2 T)$.
$r = \frac{R}{8}$ का मान रखने पर: $U' = 512 \times 4 \pi (\frac{R}{8})^2 T$.
$U' = 512 \times 4 \pi \frac{R^2}{64} T = 8 \times (4 \pi R^2 T) = 8 U$.

(D) $r$ त्रिज्या का साबुन का बुलबुला फुलाने में किया गया कार्य $W = T \times \Delta A$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $T$ पृष्ठ तनाव है और $\Delta A$ सतह के क्षेत्रफल में परिवर्तन है। चूँकि साबुन के बुलबुले में दो सतहें होती हैं,$\Delta A = 2 \times (4 \pi r^2) = 8 \pi r^2$ होता है।
अतः,$W_1 = 8 \pi r^2 T$,जहाँ $T$ कमरे के तापमान पर पृष्ठ तनाव है।
गर्म घोल से बने $2r$ त्रिज्या वाले दूसरे बुलबुले के लिए,किया गया कार्य $W_2 = 8 \pi (2r)^2 T'$ है,जहाँ $T'$ उच्च तापमान पर पृष्ठ तनाव है।
$W_2 = 8 \pi (4r^2) T' = 32 \pi r^2 T'$।
चूँकि साबुन का घोल गर्म है,इसका पृष्ठ तनाव कम हो जाता है,जिसका अर्थ है $T' < T$।
$W_1$ और $W_2$ की तुलना करने पर: $W_2 = 4 W_1 \times (T'/T)$।
चूँकि $T' < T$,इसलिए $W_2 < 4 W_1$ प्राप्त होता है।

(A) साबुन के बुलबुले का आयतन $V = \frac{4}{3} \pi r^3$ द्वारा दिया जाता है,जिसका अर्थ है $r = (\frac{3V}{4\pi})^{1/3}$।
$r$ त्रिज्या के साबुन के बुलबुले को फुलाने में किया गया कार्य $W$,पृष्ठ तनाव $T$ और सतह के क्षेत्रफल में परिवर्तन के गुणनफल के बराबर होता है। चूंकि साबुन के बुलबुले में दो सतहें (आंतरिक और बाहरी) होती हैं,इसलिए कुल सतह का क्षेत्रफल $2 \times (4 \pi r^2) = 8 \pi r^2$ होता है।
अतः,$W = 8 \pi r^2 T$।
$r$ के लिए व्यंजक प्रतिस्थापित करने पर,हमें $W = 8 \pi (\frac{3V}{4\pi})^{2/3} T$ प्राप्त होता है।
यह दर्शाता है कि $W \propto V^{2/3}$।
$2V$ आयतन के बुलबुले के लिए,नया कार्य $W'$ इस प्रकार है: $\frac{W'}{W} = (\frac{2V}{V})^{2/3} = 2^{2/3}$।
इसलिए,$W' = 2^{2/3} W$।

(A) साबुन के बुलबुले की दो सतहें (आंतरिक और बाहरी) होती हैं, इसलिए इसकी त्रिज्या को $r_1$ से $r_2$ तक बदलने में किया गया कार्य $W = T \times \Delta A \times 2$ द्वारा दिया जाता है, जहाँ $\Delta A = 4\pi(r_2^2 - r_1^2)$ है।
अतः, $W = 8\pi T(r_2^2 - r_1^2)$।
दिया गया है: $T = 0.03 \ Nm^{-1}$, $r_1 = 3 \ cm = 0.03 \ m$, $r_2 = 5 \ cm = 0.05 \ m$।
मान रखने पर:
$W = 8 \times \pi \times 0.03 \times ((0.05)^2 - (0.03)^2)$
$W = 8 \times \pi \times 0.03 \times (0.0025 - 0.0009)$
$W = 8 \times \pi \times 0.03 \times 0.0016$
$W = 0.24 \pi \times 0.0016 = 0.000384 \pi \ J$
$W = 0.384 \pi \ mJ \approx 0.4 \pi \ mJ$।

(B) गोलाकार साबुन के बुलबुले का आयतन $V = \frac{4}{3} \pi r^3$ द्वारा दिया जाता है,जिसका अर्थ है कि $V \propto r^3$ या $r \propto V^{1/3}$।
साबुन के बुलबुले के लिए,इसे $r$ त्रिज्या तक फुलाने में किया गया कार्य $W = T \times \Delta A$ है,जहाँ $\Delta A = 2 \times (4 \pi r^2) = 8 \pi r^2$ (क्योंकि साबुन के बुलबुले में दो सतहें होती हैं)।
इसलिए,$W \propto r^2$।
$r \propto V^{1/3}$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $W \propto (V^{1/3})^2 = V^{2/3}$ प्राप्त होता है।
मान लीजिए $V_1 = V$ आयतन के लिए $W_1 = W$ है,और $V_2 = 2V$ आयतन के लिए कार्य $W_2$ है।
तब,$\frac{W_2}{W_1} = \left( \frac{V_2}{V_1} \right)^{2/3} = (2)^{2/3} = (2^2)^{1/3} = 4^{1/3}$।
अतः,$W_2 = 4^{1/3}W$।

(C) माना प्रत्येक छोटी बूंद की त्रिज्या $r$ है और बड़ी बूंद की त्रिज्या $R$ है।
चूंकि आयतन स्थिर रहता है,$1000$ छोटी बूंदों का आयतन बड़ी बूंद के आयतन के बराबर होगा: $1000 \times (\frac{4}{3} \pi r^3) = \frac{4}{3} \pi R^3$.
इसे सरल करने पर $R^3 = 1000 r^3$,अतः $R = 10r$ प्राप्त होता है।
$1000$ छोटी बूंदों की प्रारंभिक पृष्ठ ऊर्जा $U_i = 1000 \times (4 \pi r^2 T)$ है,जहाँ $T$ पृष्ठ तनाव है।
बड़ी बूंद की अंतिम पृष्ठ ऊर्जा $U_f = 4 \pi R^2 T$ है।
$R = 10r$ रखने पर,$U_f = 4 \pi (10r)^2 T = 400 \pi r^2 T$ प्राप्त होता है।
अंतिम पृष्ठ ऊर्जा और प्रारंभिक पृष्ठ ऊर्जा का अनुपात $\frac{U_f}{U_i} = \frac{400 \pi r^2 T}{1000 \times 4 \pi r^2 T} = \frac{400}{4000} = \frac{1}{10}$ है।

(C) साबुन के बुलबुले की दो सतहें (आंतरिक और बाहरी) होती हैं। $R$ त्रिज्या के साबुन के बुलबुले को फुलाने में किया गया कार्य $W$ इस सूत्र द्वारा दिया जाता है: $W = \text{पृष्ठ तनाव} \times \text{सतह के क्षेत्रफल में परिवर्तन} \times 2$.
$W = T \times (4 \pi R^2) \times 2 = 8 \pi R^2 T$.
$2R$ त्रिज्या वाले बुलबुले के लिए, किया गया कार्य $W'$ है:
$W' = T \times (4 \pi (2R)^2) \times 2 = 8 \pi (4R^2) T = 32 \pi R^2 T$.
$W'$ की $W$ से तुलना करने पर:
$W' = 4 \times (8 \pi R^2 T) = 4W$.

(C) तारों की लंबाई $l = 10 \text{ cm} = 0.1 \text{ m}$ है।
दूरी में वृद्धि $\Delta x = 1 \text{ mm} = 10^{-3} \text{ m}$ है।
पानी की फिल्म की दो सतहें होती हैं,इसलिए क्षेत्रफल में परिवर्तन $\Delta A = 2 \times (l \times \Delta x)$ द्वारा दिया जाता है।
$\Delta A = 2 \times (0.1 \text{ m} \times 10^{-3} \text{ m}) = 2 \times 10^{-4} \text{ m}^2$.
किया गया कार्य $W = T \times \Delta A$ है,जहाँ $T$ पृष्ठ तनाव है।
$W = (7.2 \times 10^{-2} \text{ N/m}) \times (2 \times 10^{-4} \text{ m}^2) = 14.4 \times 10^{-6} \text{ J} = 1.44 \times 10^{-5} \text{ J}$.

(B) पृष्ठ तनाव $T = 3 \times 10^{-2} \,N/m$ है।
फिल्म का क्षेत्रफल $A = 20 \,cm \times 5 \,cm = 100 \,cm^2 = 100 \times 10^{-4} \,m^2 = 10^{-2} \,m^2$ है।
साबुन की फिल्म की दो सतहें होती हैं, इसलिए कुल सतह क्षेत्रफल में वृद्धि $2A$ है।
किया गया कार्य $W = T \times (2A)$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर: $W = 3 \times 10^{-2} \times 2 \times 10^{-2} = 6 \times 10^{-4} \,J$.

(D) साबुन के बुलबुले की दो सतहें (आंतरिक और बाहरी) होती हैं। सतह के क्षेत्रफल में परिवर्तन करने के लिए किया गया कार्य $W = T \times \Delta A \times 2$ द्वारा दिया जाता है।
प्रारंभिक व्यास $D_1 = D$, इसलिए प्रारंभिक त्रिज्या $r_1 = D/2$ है। प्रारंभिक पृष्ठीय क्षेत्रफल $A_1 = 4 \pi r_1^2 = 4 \pi (D/2)^2 = \pi D^2$ है।
अंतिम व्यास $D_2 = 2D$, इसलिए अंतिम त्रिज्या $r_2 = D$ है। अंतिम पृष्ठीय क्षेत्रफल $A_2 = 4 \pi r_2^2 = 4 \pi D^2$ है।
क्षेत्रफल में परिवर्तन $\Delta A = A_2 - A_1 = 4 \pi D^2 - \pi D^2 = 3 \pi D^2$ है।
चूंकि बुलबुले की दो सतहें होती हैं, इसलिए क्षेत्रफल में कुल परिवर्तन $2 \times \Delta A = 2 \times 3 \pi D^2 = 6 \pi D^2$ होगा।
अतः, किया गया कार्य $W = T \times 6 \pi D^2 = 6 \pi TD^2$ है।

(B) साबुन के बुलबुले की दो सतहें (आंतरिक और बाहरी) होती हैं, इसलिए इसका कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल $2 \times 4 \pi R^2 = 8 \pi R^2$ होता है।
प्रारंभिक पृष्ठ ऊर्जा $E_i = T \times (8 \pi R^2) = 8 \pi R^2 T$ है।
जब त्रिज्या को दोगुना किया जाता है, तो नई त्रिज्या $R' = 2R$ हो जाती है।
नया पृष्ठीय क्षेत्रफल $2 \times 4 \pi (2R)^2 = 2 \times 4 \pi (4R^2) = 32 \pi R^2$ है।
अंतिम पृष्ठ ऊर्जा $E_f = T \times (32 \pi R^2) = 32 \pi R^2 T$ है।
किया गया कार्य $W = E_f - E_i$ है।
$W = 32 \pi R^2 T - 8 \pi R^2 T = 24 \pi R^2 T$।

(A) द्रव के भीतर स्थित अणु सभी तरफ से अन्य अणुओं से घिरे होते हैं,जिसके परिणामस्वरूप उन पर लगने वाला कुल आकर्षण बल शून्य होता है। हालाँकि,सतह पर स्थित अणु केवल अपने नीचे के अणुओं द्वारा आकर्षित होते हैं,क्योंकि सतह के ऊपर कोई द्रव के अणु नहीं होते हैं। किसी अणु को द्रव के भीतर से सतह पर लाने के लिए,इन आंतरिक आकर्षण बलों के विरुद्ध कार्य करना पड़ता है। यह कार्य स्थितिज ऊर्जा के रूप में संचित हो जाता है। इसलिए,साम्यावस्था में द्रव की सतह पर स्थित अणुओं में द्रव के भीतर स्थित अणुओं की तुलना में अधिकतम स्थितिज ऊर्जा होती है।

(D) जब किसी द्रव का पृष्ठीय क्षेत्रफल बढ़ाया जाता है,तो द्रव के भीतर से अणु सतह पर आते हैं।
जैसे ही ये अणु सतह पर पहुँचते हैं,ससंजक बल (cohesive force) के विरुद्ध कार्य किया जाता है।
यह कार्य अणुओं में स्थितिज ऊर्जा के रूप में संचित हो जाता है।
अतः,सतह पर स्थित अणुओं की स्थितिज ऊर्जा द्रव के भीतर स्थित अणुओं की तुलना में अधिक होती है।

(C) साबुन की फिल्म की पृष्ठीय ऊर्जा $(E)$,पृष्ठ तनाव $(T)$ और कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल के गुणनफल के बराबर होती है। चूंकि साबुन की फिल्म की दो सतहें होती हैं,इसलिए कुल क्षेत्रफल $2A$ होता है।
$E = T \times 2A$
जब फ्रेम का क्षेत्रफल $50 \%$ कम किया जाता है,तो नया क्षेत्रफल $A' = A - 0.5A = 0.5A = A/2$ हो जाता है।
नई पृष्ठीय ऊर्जा $(E_1)$ है:
$E_1 = T \times 2(A/2) = T \times A$
पृष्ठीय ऊर्जा में प्रतिशत परिवर्तन की गणना इस प्रकार की जाती है:
$\text{प्रतिशत परिवर्तन} = \frac{E - E_1}{E} \times 100$
$\text{प्रतिशत परिवर्तन} = \frac{2TA - TA}{2TA} \times 100 = \frac{TA}{2TA} \times 100 = 50 \%$
अतः,साबुन की फिल्म की ऊर्जा में $50 \%$ का परिवर्तन होगा।

(C) $r$ त्रिज्या का साबुन का बुलबुला फुलाने के लिए किया गया कार्य $W = T \times \Delta A$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $T$ पृष्ठ तनाव है और $\Delta A$ सतह के क्षेत्रफल में परिवर्तन है। चूंकि साबुन के बुलबुले में दो सतहें होती हैं,$\Delta A = 2 \times (4 \pi r^2) = 8 \pi r^2$ होता है।
$R$ त्रिज्या के पहले बुलबुले के लिए: $W_1 = 8 \pi R^2 T_1$.
$2R$ त्रिज्या के दूसरे बुलबुले के लिए: $W_2 = 8 \pi (2R)^2 T_2 = 32 \pi R^2 T_2$.
यदि तापमान स्थिर रहता $(T_1 = T_2)$,तो कार्य $W_2$ बिल्कुल $4 W_1$ होता।
हालाँकि,घोल को गर्म करने से पृष्ठ तनाव कम हो जाता है $(T_2 < T_1)$।
इसलिए,$W_2 = 4 W_1 \times (T_2 / T_1)$। चूंकि $T_2 < T_1$,इसलिए $W_2 < 4 W_1$ होगा।

(D) साबुन के बुलबुले को फुलाने में किया गया कार्य $W = T \Delta A$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $T$ पृष्ठ तनाव है और $\Delta A$ सतह के क्षेत्रफल में परिवर्तन है। चूंकि साबुन के बुलबुले में दो सतहें होती हैं,इसलिए $\Delta A = 2 \times (4 \pi r^2) = 8 \pi r^2$ होता है।
गोलाकार बुलबुले के लिए,आयतन $V = \frac{4}{3} \pi r^3$ है,जिसका अर्थ है $r^3 = \frac{3V}{4\pi}$,या $r = (\frac{3V}{4\pi})^{\frac{1}{3}}$।
क्षेत्रफल के सूत्र में $r$ का मान रखने पर,हमें $A = 8 \pi (\frac{3V}{4\pi})^{\frac{2}{3}}$ प्राप्त होता है,जो दर्शाता है कि $A \propto V^{\frac{2}{3}}$।
इसलिए,किया गया कार्य $W$,$V^{\frac{2}{3}}$ के समानुपाती है,अर्थात $W \propto V^{\frac{2}{3}}$।
यदि आयतन $V$ से बदलकर $2V$ हो जाता है,तो नया कार्य $W'$ इस प्रकार होगा: $\frac{W'}{W} = (\frac{2V}{V})^{\frac{2}{3}} = 2^{\frac{2}{3}} = (2^2)^{\frac{1}{3}} = 4^{\frac{1}{3}}$।
अतः,$W' = W(4)^{\frac{1}{3}}$।

(A) माना बड़ी बूंद की त्रिज्या $R = D/2$ है। माना प्रत्येक छोटी बूंद की त्रिज्या $r$ है।
चूंकि आयतन स्थिर रहता है,बड़ी बूंद का आयतन $n = 3375$ छोटी बूंदों के आयतन के योग के बराबर होगा:
$\frac{4}{3} \pi R^3 = n \times \frac{4}{3} \pi r^3$
$R^3 = 3375 r^3$
दोनों पक्षों का घनमूल लेने पर: $R = 3375^{1/3} r = 15r$,इसलिए $r = R/15$.
प्रारंभिक पृष्ठीय क्षेत्रफल $A_i = 4 \pi R^2$ है।
अंतिम पृष्ठीय क्षेत्रफल $A_f = n \times 4 \pi r^2 = 3375 \times 4 \pi (R/15)^2 = 3375 \times 4 \pi (R^2 / 225) = 15 \times 4 \pi R^2 = 60 \pi R^2$ है।
पृष्ठीय क्षेत्रफल में परिवर्तन $\Delta A = A_f - A_i = 60 \pi R^2 - 4 \pi R^2 = 56 \pi R^2$ है।
पृष्ठ ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta U = S \times \Delta A = S \times 56 \pi R^2$ है।
$R = D/2$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है $\Delta U = S \times 56 \pi (D/2)^2 = S \times 56 \pi (D^2 / 4) = 14 \pi D^2 S$।

(B) माना बड़ी बूंद की त्रिज्या $R = 1 \ cm = 10^{-2} \ m$ है। छोटी बूंदों की संख्या $n = 10^6$ है। माना प्रत्येक छोटी बूंद की त्रिज्या $r$ है।
चूंकि आयतन स्थिर रहता है,$\frac{4}{3} \pi R^3 = n \times \frac{4}{3} \pi r^3$.
$r^3 = \frac{R^3}{n} = \frac{(10^{-2})^3}{10^6} = \frac{10^{-6}}{10^6} = 10^{-12} \ m^3$.
अतः,$r = 10^{-4} \ m$.
पृष्ठ ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta U = T \times \Delta A$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\Delta A$ पृष्ठ क्षेत्रफल में परिवर्तन है।
$\Delta A = n(4 \pi r^2) - 4 \pi R^2 = 4 \pi (n r^2 - R^2)$.
$\Delta A = 4 \pi (10^6 \times (10^{-4})^2 - (10^{-2})^2) = 4 \pi (10^6 \times 10^{-8} - 10^{-4}) = 4 \pi (10^{-2} - 10^{-4}) = 4 \pi (0.01 - 0.0001) = 4 \pi (0.0099) \ m^2$.
$\Delta U = 35 \times 10^{-3} \times 4 \times 3.1416 \times 0.0099 \approx 4356 \times 10^{-6} \ J$.

(D) माना बड़ी बूंद की त्रिज्या $R$ है। चूंकि दो बूंदों के मिलने के दौरान आयतन स्थिर रहता है,इसलिए:
$2 \times \frac{4}{3} \pi r^3 = \frac{4}{3} \pi R^3$
$R^3 = 2r^3 \Rightarrow R = 2^{1/3} r$
बड़ी बूंद की पृष्ठ ऊर्जा $E$,पृष्ठ तनाव $T$ और उसके पृष्ठीय क्षेत्रफल $A = 4 \pi R^2$ का गुणनफल होती है:
$E = T \times 4 \pi R^2$
समीकरण में $R = 2^{1/3} r$ रखने पर:
$E = T \times 4 \pi (2^{1/3} r)^2$
$E = T \times 4 \pi \times 2^{2/3} r^2$
$E = 4 \times 2^{2/3} \pi r^2 T$
चूंकि $4 = 2^2$,इसलिए $2^2 \times 2^{2/3} = 2^{2 + 2/3} = 2^{8/3}$ होगा।
अतः,$E = 2^{8/3} \pi r^2 T$.

(D) प्रारंभिक पृष्ठीय क्षेत्रफल $A_i = 4 \pi r^2 + 4 \pi (2r)^2 = 4 \pi r^2 + 16 \pi r^2 = 20 \pi r^2$.
प्रारंभिक पृष्ठीय ऊर्जा $E_i = A_i S = 20 \pi r^2 S$.
आयतन संरक्षण के अनुसार: $\frac{4}{3} \pi r^3 + \frac{4}{3} \pi (2r)^3 = \frac{4}{3} \pi R^3$.
$r^3 + 8r^3 = R^3 \implies R^3 = 9r^3 \implies R = 9^{1/3} r$.
अंतिम पृष्ठीय क्षेत्रफल $A_f = 4 \pi R^2 = 4 \pi (9^{1/3} r)^2 = 4 \pi (9^{2/3}) r^2$.
दिया गया है $9^{2/3} = 4.326$,इसलिए $A_f = 4 \pi (4.326) r^2 = 17.304 \pi r^2$.
अंतिम पृष्ठीय ऊर्जा $E_f = 17.304 \pi r^2 S$.
मुक्त हुई ऊर्जा $\Delta E = E_i - E_f = 20 \pi r^2 S - 17.304 \pi r^2 S = 2.696 \pi r^2 S \approx 2.7 \pi r^2 S$.

(A) एक बूंद को तोड़ने के लिए आवश्यक ऊर्जा,सतह के क्षेत्रफल में हुई वृद्धि और पृष्ठ तनाव $T$ के गुणनफल के बराबर होती है।
प्रारंभिक बड़ी बूंद का पृष्ठीय क्षेत्रफल = $4 \pi R^2$.
$n$ छोटी बूंदों का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = $n \times (4 \pi r^2) = 4 \pi r^2 n$.
पृष्ठीय क्षेत्रफल में वृद्धि = (अंतिम पृष्ठीय क्षेत्रफल) - (प्रारंभिक पृष्ठीय क्षेत्रफल) = $4 \pi r^2 n - 4 \pi R^2$.
अतः,आवश्यक ऊर्जा $\Delta U = (4 \pi r^2 n - 4 \pi R^2) T$.

(D) माना कि बड़ी बूंद की त्रिज्या $R$ है और प्रत्येक छोटी बूंद की त्रिज्या $r$ है।
दी गई छोटी बूंदों की संख्या $n = 1000$ है।
चूंकि प्रक्रिया के दौरान आयतन समान रहता है,इसलिए:
$V_{\text{final}} = V_{\text{initial}}$
$\frac{4}{3} \pi R^3 = n \left( \frac{4}{3} \pi r^3 \right)$
$R^3 = 1000 r^3 \Rightarrow R = 10r$ ...$(i)$
प्रारंभिक पृष्ठ ऊर्जा,$SE_i = n \times (T \times 4 \pi r^2)$,जहाँ $T$ पृष्ठ तनाव है।
अंतिम पृष्ठ ऊर्जा,$SE_f = T \times 4 \pi R^2$.
अंतिम पृष्ठ ऊर्जा और कुल प्रारंभिक पृष्ठ ऊर्जा का अनुपात है:
$\frac{SE_f}{SE_i} = \frac{T \times 4 \pi R^2}{n \times T \times 4 \pi r^2} = \frac{R^2}{n r^2}$
$R = 10r$ और $n = 1000$ रखने पर:
$\frac{SE_f}{SE_i} = \frac{(10r)^2}{1000 r^2} = \frac{100 r^2}{1000 r^2} = \frac{1}{10}$.
अतः,अनुपात $1: 10$ है।

(B) तरल बूंद की सतह ऊर्जा $E$ का सूत्र $E = T \times A$ है,जहाँ $T$ पृष्ठ तनाव है और $A$ बूंद का पृष्ठीय क्षेत्रफल है।
$r$ त्रिज्या वाली गोलाकार बूंद का पृष्ठीय क्षेत्रफल $A = 4 \pi r^2$ होता है।
अतः,$E = T \times 4 \pi r^2$.
प्रश्न के अनुसार,कुल ऊर्जा पृष्ठ तनाव की $2 \pi$ गुना है,इसलिए $E = 2 \pi T$.
$E$ के लिए दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर: $4 \pi r^2 T = 2 \pi T$.
दोनों पक्षों को $2 \pi T$ से विभाजित करने पर ($T \neq 0$ मानते हुए),हमें $2 r^2 = 1$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $r^2 = 1/2$.
इसलिए,$r = 1/\sqrt{2}$.
बूंद का व्यास $d = 2r = 2 \times (1/\sqrt{2}) = \sqrt{2} \ m$ है।

(D) साबुन के बुलबुले की दो सतहें (आंतरिक और बाहरी) होती हैं।
प्रारंभ में, साबुन के बुलबुले का पृष्ठीय क्षेत्रफल $A_1 = 2 \times (4 \pi r^2) = 8 \pi r^2$ है।
समतापीय स्थितियों के तहत, त्रिज्या $2r$ हो जाती है।
अंतिम पृष्ठीय क्षेत्रफल $A_2 = 2 \times (4 \pi (2r)^2) = 2 \times (16 \pi r^2) = 32 \pi r^2$ है।
पृष्ठीय क्षेत्रफल में वृद्धि $\Delta A = A_2 - A_1 = 32 \pi r^2 - 8 \pi r^2 = 24 \pi r^2$ है।
खर्च की गई ऊर्जा (किया गया कार्य) $W = T \times \Delta A$ द्वारा दी जाती है।
अतः, $W = T \times 24 \pi r^2 = 24 \pi T r^2$।

(B) साबुन के बुलबुले की दो सतहें (आंतरिक और बाहरी) होती हैं जो हवा के संपर्क में रहती हैं। इसलिए,पृष्ठीय क्षेत्रफल में परिवर्तन $2 \times \Delta A$ होता है।
दिया गया है:
पृष्ठ तनाव $T = 0.03 \,N/m$
पृष्ठीय क्षेत्रफल $A = 40 \,cm^2 = 40 \times 10^{-4} \,m^2$
किया गया कार्य $W$ का सूत्र है:
$W = T \times \Delta A_{total} = T \times 2 \times A$
मान रखने पर:
$W = 0.03 \times 2 \times 40 \times 10^{-4}$
$W = 0.06 \times 40 \times 10^{-4}$
$W = 2.4 \times 10^{-4} \,J$

(A) दिया गया है: बड़ी बूंद की त्रिज्या $R = 1 \,cm = 10^{-2} \,m$, छोटी बूंदों की संख्या $n = 10^6$, पृष्ठ तनाव $T = 460 \times 10^{-3} \,N/m$.
चूंकि कुल आयतन स्थिर रहता है:
$n \times \frac{4}{3} \pi r^3 = \frac{4}{3} \pi R^3$
$10^6 \times r^3 = R^3 \implies r = \frac{R}{10^2} = 10^{-4} \,m$.
व्यय की गई ऊर्जा पृष्ठ क्षेत्रफल में वृद्धि और पृष्ठ तनाव के गुणनफल के बराबर होती है:
$W = \Delta A \times T = (n \times 4 \pi r^2 - 4 \pi R^2) \times T$
$W = 4 \pi (n r^2 - R^2) T$
$r = R/100$ रखने पर:
$W = 4 \pi R^2 (n \times \frac{1}{10^4} - 1) T$
$W = 4 \times 3.14 \times (10^{-2})^2 \times (10^6 \times 10^{-4} - 1) \times 460 \times 10^{-3}$
$W = 4 \times 3.14 \times 10^{-4} \times 99 \times 0.46 = 0.057 \,J$.

(D) $r$ त्रिज्या के साबुन के बुलबुले को फुलाने में किया गया कार्य $W = T \times \Delta A$ सूत्र द्वारा दिया जाता है,जहाँ $T$ पृष्ठ तनाव है और $\Delta A$ सतह के क्षेत्रफल में परिवर्तन है।
चूंकि साबुन के बुलबुले की दो सतहें (आंतरिक और बाहरी) होती हैं,इसलिए सतह के क्षेत्रफल में परिवर्तन $\Delta A = 2 \times (4 \pi r^2) = 8 \pi r^2$ होता है।
दिया गया है: व्यास $d = 3 \ cm$,इसलिए त्रिज्या $r = 1.5 \ cm = 1.5 \times 10^{-2} \ m$.
पृष्ठ तनाव $T = 0.035 \ N/m$.
मान रखने पर:
$W = 0.035 \times 8 \times \pi \times (1.5 \times 10^{-2})^2$
$W = 0.035 \times 8 \times 3.14159 \times 2.25 \times 10^{-4}$
$W = 0.28 \times 3.14159 \times 2.25 \times 10^{-4}$
$W \approx 1.979 \times 10^{-4} \ J$
$W \approx 198 \times 10^{-6} \ J = 198 \ \mu J$.
अतः,सही विकल्प $D$ है.

(A) साबुन के बुलबुले की त्रिज्या को $r_1$ से $r_2$ तक बढ़ाने में किया गया कार्य $W = T \times \Delta A$ सूत्र द्वारा दिया जाता है,जहाँ $T$ पृष्ठ तनाव है और $\Delta A$ सतह के क्षेत्रफल में परिवर्तन है। चूँकि साबुन के बुलबुले में दो सतहें होती हैं,क्षेत्रफल में परिवर्तन $\Delta A = 2 \times (4\pi r_2^2 - 4\pi r_1^2) = 8\pi(r_2^2 - r_1^2)$ है।
$W_1$ के लिए ($r$ से $2r$): $W_1 = 8\pi T ((2r)^2 - r^2) = 8\pi T (4r^2 - r^2) = 8\pi T (3r^2) = 24\pi T r^2$.
$W_2$ के लिए ($2r$ से $3r$): $W_2 = 8\pi T ((3r)^2 - (2r)^2) = 8\pi T (9r^2 - 4r^2) = 8\pi T (5r^2) = 40\pi T r^2$.
अतः,अनुपात $W_1: W_2 = (24\pi T r^2) : (40\pi T r^2) = 24:40 = 3:5$.

(B) फिल्म का क्षेत्रफल बढ़ाने में किया गया कार्य $W = T \times \Delta A$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $T$ पृष्ठ तनाव है और $\Delta A$ सतह के क्षेत्रफल में परिवर्तन है।
चूंकि एक पतली फिल्म की दो सतहें होती हैं,इसलिए कुल क्षेत्रफल में परिवर्तन $\Delta A = 2 \times l \times (d_2 - d_1)$ है।
दिया गया है: $l = 8 \ cm = 0.08 \ m$,$d_1 = 0.6 \ cm = 0.006 \ m$,$d_2 = 0.8 \ cm = 0.008 \ m$,और $T = 0.07 \ N/m$.
दूरी में परिवर्तन $\Delta d = d_2 - d_1 = 0.8 \ cm - 0.6 \ cm = 0.2 \ cm = 0.002 \ m$.
$\Delta A = 2 \times 0.08 \ m \times 0.002 \ m = 0.00032 \ m^2$.
किया गया कार्य $W = 0.07 \ N/m \times 0.00032 \ m^2 = 0.0000224 \ J$.
$W = 22.4 \times 10^{-6} \ J = 22.4 \ \mu J$.

(C) साबुन के बुलबुले में दो सतहें (आंतरिक और बाहरी) होती हैं,इसलिए सतह के क्षेत्रफल में परिवर्तन $\Delta A = 2 \times (4\pi r_2^2 - 4\pi r_1^2) = 8\pi(r_2^2 - r_1^2)$ है।
दिया गया है: पृष्ठ तनाव $T = 3.5 \times 10^{-2} \ N/m$,प्रारंभिक त्रिज्या $r_1 = 1 \ cm = 1 \times 10^{-2} \ m$,अंतिम त्रिज्या $r_2 = 2 \ cm = 2 \times 10^{-2} \ m$।
किया गया कार्य $W = T \times \Delta A = T \times 8\pi(r_2^2 - r_1^2)$।
$W = 3.5 \times 10^{-2} \times 8 \times 3.14 \times [(2 \times 10^{-2})^2 - (1 \times 10^{-2})^2]$।
$W = 3.5 \times 10^{-2} \times 8 \times 3.14 \times (4 \times 10^{-4} - 1 \times 10^{-4})$।
$W = 3.5 \times 10^{-2} \times 8 \times 3.14 \times 3 \times 10^{-4}$।
$W = 263.76 \times 10^{-6} \ J \approx 264 \times 10^{-6} \ J$।

(D) साबुन के बुलबुले को फुलाने में किया गया कार्य $W = T \cdot \Delta A$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $T$ पृष्ठ तनाव है और $\Delta A$ सतह के क्षेत्रफल में परिवर्तन है। साबुन के बुलबुले के लिए,सतह का क्षेत्रफल $A = 2 \times (4 \pi r^2) = 8 \pi r^2$ होता है। अतः,$W \propto r^2$.
चूँकि बुलबुले का आयतन $V = \frac{4}{3} \pi r^3$ है,इसलिए $r \propto V^{1/3}$ प्राप्त होता है।
इसे कार्य के संबंध में प्रतिस्थापित करने पर: $W \propto (V^{1/3})^2 = V^{2/3}$.
मान लीजिए $V_1 = V$ आयतन के लिए कार्य $W_1 = W$ है,और $V_2 = 2V$ आयतन के लिए कार्य $W_2$ है।
अतः,$\frac{W_2}{W_1} = \left( \frac{V_2}{V_1} \right)^{2/3} = \left( \frac{2V}{V} \right)^{2/3} = (2)^{2/3}$.
इसलिए,$W_2 = (2)^{2/3} W = (2^2)^{1/3} W = (4)^{1/3} W$.

(D) माना बड़ी बूंद की त्रिज्या $R$ है और प्रत्येक छोटी बूंद की त्रिज्या $r$ है। प्रत्येक छोटी बूंद का पृष्ठीय क्षेत्रफल $A_s = 4\pi r^2 = 10^{-7} \,m^2$ है।
आयतन संरक्षण के नियम से, $\frac{4}{3}\pi R^3 = 64 \times \frac{4}{3}\pi r^3$, जिससे $R^3 = 64r^3$, अर्थात $R = 4r$ प्राप्त होता है।
बड़ी बूंद का पृष्ठीय क्षेत्रफल $A_L = 4\pi R^2 = 4\pi (4r)^2 = 16(4\pi r^2) = 16 \times 10^{-7} \,m^2$ है।
$64$ बूंदों का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल $A_{total} = 64 \times 10^{-7} \,m^2$ है।
पृष्ठीय क्षेत्रफल में वृद्धि $\Delta A = A_{total} - A_L = (64 - 16) \times 10^{-7} = 48 \times 10^{-7} \,m^2$ है।
पृष्ठीय ऊर्जा में वृद्धि $\Delta U = T \times \Delta A$ है, जहाँ $T = 0.07 \,N/m$ है।
$\Delta U = 0.07 \times 48 \times 10^{-7} = 3.36 \times 10^{-7} \,J = 336 \times 10^{-9} \,J$.

(D) साबुन के बुलबुले की दो सतहें (आंतरिक और बाहरी) होती हैं,इसलिए सतह का क्षेत्रफल $2 \times 4 \pi r^2 = 8 \pi r^2$ होता है।
प्रारंभिक त्रिज्या $r_i = R$ है।
प्रारंभिक पृष्ठ ऊर्जा $U_i = T \times (8 \pi R^2) = 8 \pi R^2 T$ है।
अंतिम व्यास दोगुना हो जाता है,इसलिए अंतिम त्रिज्या $r_f = 2R$ है।
अंतिम पृष्ठ ऊर्जा $U_f = T \times (8 \pi (2R)^2) = T \times (8 \pi \times 4R^2) = 32 \pi R^2 T$ है।
आवश्यक पृष्ठ ऊर्जा $\Delta U = U_f - U_i$ है।
$\Delta U = 32 \pi R^2 T - 8 \pi R^2 T = 24 \pi R^2 T$।

$(A)$ बड़ी बूंद की त्रिज्या, $R = 1 \,cm = 10^{-2} \,m$.
छोटी बूंदों की संख्या, $n = 10^6$.
पारे का पृष्ठ तनाव, $T = 435 \times 10^{-3} \,N/m$.
$R$ त्रिज्या वाली एक बड़ी बूंद को $n$ छोटी बूंदों में विभाजित करने में किया गया कार्य पृष्ठ ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है: $W = T \times \Delta A$, जहाँ $\Delta A$ पृष्ठ क्षेत्रफल में वृद्धि है。
बड़ी बूंद का पृष्ठ क्षेत्रफल $A_1 = 4 \pi R^2$ है。
यदि $r$ प्रत्येक छोटी बूंद की त्रिज्या है, तो आयतन के संरक्षण के नियम से: $\frac{4}{3} \pi R^3 = n \times \frac{4}{3} \pi r^3$, जिससे $r = R / n^{1/3}$ प्राप्त होता है。
$n$ छोटी बूंदों का कुल पृष्ठ क्षेत्रफल $A_2 = n \times 4 \pi r^2 = n \times 4 \pi (R / n^{1/3})^2 = 4 \pi R^2 n^{1/3}$ है。
क्षेत्रफल में वृद्धि $\Delta A = A_2 - A_1 = 4 \pi R^2 (n^{1/3} - 1)$ है。
मान रखने पर:
$W = 4 \times \pi \times (10^{-2})^2 \times 435 \times 10^{-3} \times ((10^6)^{1/3} - 1)$
$W = 4 \times 3.14159 \times 10^{-4} \times 435 \times 10^{-3} \times (100 - 1)$
$W = 4 \times 3.14159 \times 435 \times 10^{-7} \times 99$
$W \approx 54.1 \times 10^{-3} \,J$.

(B) बड़ी बूंद का आयतन $n$ छोटी बूंदों के कुल आयतन के बराबर होता है: $\frac{4}{3} \pi R^3 = n \times \frac{4}{3} \pi r^3$.
इससे हमें $r^3 = \frac{R^3}{n}$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $r = \frac{R}{n^{1/3}}$.
बड़ी बूंद का पृष्ठीय क्षेत्रफल $A = 4 \pi R^2$ है।
$n$ छोटी बूंदों का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल $A' = n \times 4 \pi r^2$ है।
$r = R n^{-1/3}$ प्रतिस्थापित करने पर,$A' = n \times 4 \pi (R n^{-1/3})^2 = n \times 4 \pi R^2 n^{-2/3} = 4 \pi R^2 n^{1/3}$.
पृष्ठीय क्षेत्रफल में परिवर्तन $\Delta A = A' - A = 4 \pi R^2 n^{1/3} - 4 \pi R^2 = 4 \pi R^2 (n^{1/3} - 1)$ है।
पृष्ठ ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta U = T \times \Delta A = 4 \pi R^2 (n^{1/3} - 1) T$ है।

(D) साबुन के बुलबुले की दो सतहें (आंतरिक और बाहरी) होती हैं।
प्रारंभ में, साबुन के बुलबुले का पृष्ठीय क्षेत्रफल $A_1 = 4 \pi r^2$ है।
चूंकि इसकी दो सतहें होती हैं, इसलिए प्रभावी प्रारंभिक क्षेत्रफल $S_1 = 2 \times (4 \pi r^2) = 8 \pi r^2$ है।
समतापीय स्थितियों के तहत, त्रिज्या $2r$ हो जाती है।
नया पृष्ठीय क्षेत्रफल $A_2 = 4 \pi (2r)^2 = 16 \pi r^2$ है।
प्रभावी अंतिम क्षेत्रफल $S_2 = 2 \times (16 \pi r^2) = 32 \pi r^2$ है।
पृष्ठीय क्षेत्रफल में वृद्धि $\Delta S = S_2 - S_1 = 32 \pi r^2 - 8 \pi r^2 = 24 \pi r^2$ है।
खर्च की गई ऊर्जा $(W)$ को $W = T \times \Delta S$ द्वारा दिया जाता है।
अतः, $W = T \times 24 \pi r^2 = 24 \pi T r^2$।

(B) साबुन के घोल का पृष्ठ तनाव $T = 0.03 \,N/m$ दिया गया है।
साबुन के बुलबुले का पृष्ठीय क्षेत्रफल $A = 40 \,cm^2 = 40 \times 10^{-4} \,m^2$ है।
साबुन के बुलबुले में दो सतहें (आंतरिक और बाहरी) होती हैं, इसलिए पृष्ठीय क्षेत्रफल में परिवर्तन $\Delta A = 2 \times A$ होगा।
साबुन का बुलबुला बनाने में किया गया कार्य $W$ का सूत्र है:
$W = T \times \Delta A_{total} = T \times 2 \times A$.
मान रखने पर:
$W = 0.03 \times 2 \times 40 \times 10^{-4} \,J$.
$W = 0.06 \times 40 \times 10^{-4} \,J$.
$W = 2.4 \times 10^{-4} \,J$.

(D) दिया गया है:
साबुन के बुलबुले का व्यास $d = 5 \text{ mm} = 5 \times 10^{-3} \text{ m}$।
त्रिज्या $R = \frac{d}{2} = 2.5 \times 10^{-3} \text{ m}$।
पृष्ठ तनाव $T = \frac{1}{10 \pi} \text{ N m}^{-1}$।
साबुन के बुलबुले में दो सतहें (आंतरिक और बाहरी) होती हैं,इसलिए कुल सतह क्षेत्र $A_{total} = 2 \times (4 \pi R^2) = 8 \pi R^2$ होगा।
मुक्त ऊर्जा $E = T \times A_{total}$ द्वारा दी जाती है।
मान रखने पर:
$E = \left( \frac{1}{10 \pi} \right) \times 8 \pi \times (2.5 \times 10^{-3})^2$
$E = \frac{8}{10} \times 6.25 \times 10^{-6}$
$E = 0.8 \times 6.25 \times 10^{-6} = 5 \times 10^{-6} \text{ J}$।

(C) साबुन का बुलबुला फुलाने में किया गया कार्य बुलबुले में संचित पृष्ठीय ऊर्जा के बराबर होता है।
चूंकि साबुन के बुलबुले में दो सतहें (आंतरिक और बाहरी) होती हैं, इसलिए किया गया कार्य $W$ इस प्रकार दिया जाता है:
$W = T \times \Delta A = T \times 2 \times (4 \pi R^2) = 8 \pi R^2 T$
इस व्यंजक से, हम देख सकते हैं कि $W \propto R^2$ है।
माना $R$ त्रिज्या के लिए किया गया कार्य $W_1 = W$ है।
माना $2R$ त्रिज्या के लिए किया गया कार्य $W_2$ है।
अतः, $\frac{W_2}{W_1} = \frac{(2R)^2}{R^2} = \frac{4R^2}{R^2} = 4$।
इसलिए, $W_2 = 4W$।

(A) साबुन के बुलबुले को फुलाने में किया गया कार्य पृष्ठ ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है: $W = \Delta U = S \times \Delta A$.
चूंकि साबुन के बुलबुले की दो सतहें होती हैं,इसलिए क्षेत्रफल में परिवर्तन $\Delta A = 2 \times (4 \pi r_2^2 - 4 \pi r_1^2) = 8 \pi (r_2^2 - r_1^2)$ है।
दिया गया है: $S = 0.04 \ N/m$,$r_1 = 3.5 \ cm = 0.035 \ m$,$r_2 = 7 \ cm = 0.07 \ m$.
$W = 0.04 \times 8 \times \frac{22}{7} \times [(0.07)^2 - (0.035)^2]$.
$W = 0.32 \times \frac{22}{7} \times [0.0049 - 0.001225] = 0.32 \times \frac{22}{7} \times 0.003675$.
$W = 0.32 \times 22 \times 0.000525 = 0.003696 \ J = 3696 \ \mu J$.
दिए गए व्यंजक के साथ तुलना करने पर: $15000 - x = 3696$.
$x = 15000 - 3696 = 11304$.

(B) माना मूल बूंद की त्रिज्या $R$ है और $512$ छोटी बूंदों में से प्रत्येक की त्रिज्या $r$ है।
आयतन संरक्षण के नियम से,$\frac{4}{3}\pi R^3 = 512 \times \frac{4}{3}\pi r^3$,जिसे सरल करने पर $R^3 = 512r^3$ प्राप्त होता है,अतः $r = \frac{R}{8}$।
पृष्ठ ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta U = T(A_{\text{final}} - A_{\text{initial}}) = T(512 \times 4\pi r^2 - 4\pi R^2)$ है।
$r = \frac{R}{8}$ रखने पर,$\Delta U = 4\pi T (512 \times (\frac{R}{8})^2 - R^2) = 4\pi T (8R^2 - R^2) = 28\pi T R^2$ प्राप्त होता है।
यहाँ $D = 2 \text{ mm}$ दिया गया है,इसलिए $R = 1 \text{ mm} = 10^{-3} \text{ m}$ और $T = 0.08 \text{ N/m}$ है।
$\Delta U = 28 \times 3.14159 \times 0.08 \times (10^{-3})^2 \approx 7.036 \times 10^{-6} \text{ J}$।
$\alpha \times 10^{-6} \text{ J}$ से तुलना करने पर,$\alpha$ का मान लगभग $7$ है।

(D) साबुन के बुलबुले के पृष्ठीय क्षेत्रफल को बढ़ाने में किया गया कार्य $W = T \times \Delta A$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि साबुन के बुलबुले में दो सतहें (आंतरिक और बाहरी) होती हैं,इसलिए पृष्ठीय क्षेत्रफल में परिवर्तन $\Delta A = 2 \times 4\pi (r_2^2 - r_1^2) = 8\pi (r_2^2 - r_1^2)$ होता है।
यहाँ $T = 3.5 \times 10^{-2} \text{ N/m}$,$r_1 = 1 \text{ cm} = 0.01 \text{ m}$,और $r_2 = 2 \text{ cm} = 0.02 \text{ m}$ दिया गया है।
मान रखने पर: $W = 8 \times (22/7) \times 3.5 \times 10^{-2} \times ((0.02)^2 - (0.01)^2)$.
$W = 8 \times (22/7) \times 3.5 \times 10^{-2} \times (4 \times 10^{-4} - 1 \times 10^{-4})$.
$W = 8 \times 22 \times 0.5 \times 10^{-2} \times 3 \times 10^{-4}$.
$W = 88 \times 3 \times 10^{-6} = 264 \times 10^{-6} \text{ J}$.
अतः,$\alpha = 264$.