Mix Examples-Fluid Mechanics and Surface Tension Questions in Gujarati

(B) વિધાન $(I)$ ખોટું છે કારણ કે વાયુઓની સ્નિગ્ધતા સામાન્ય રીતે પ્રવાહીઓ કરતા ઘણી ઓછી હોય છે. વાયુઓમાં સ્નિગ્ધતા આણ્વિક અથડામણો દ્વારા વેગમાનના સ્થાનાંતરણને કારણે ઉદ્ભવે છે,જ્યારે પ્રવાહીમાં તે અણુઓ વચ્ચેના આસંજક બળોને કારણે ઉદ્ભવે છે.
વિધાન $(II)$ સાચું છે કારણ કે અદ્રાવ્ય અશુદ્ધિઓ (જેમ કે ધૂળ અથવા અમુક તેલ) ની હાજરી સપાટી પરના આસંજક બળોને ઘટાડે છે,જેનાથી પ્રવાહીનું પૃષ્ઠતાણ ઘટે છે.

(D) વિધાન $I$ માટે: જ્યારે પ્રવાહી સ્થિર હોય $(v_1=v_2=0)$,ત્યારે $h_1$ અને $h_2$ ઊંચાઈએ આવેલા બે બિંદુઓ વચ્ચેનો દબાણનો તફાવત હાઇડ્રોસ્ટેટિક દબાણના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $P_1-P_2=\rho g(h_2-h_1)$. આમ,વિધાન $I$ સાચું છે.
વિધાન $II$ માટે: આડી વેન્ચ્યુરી ટ્યુબ માટે બર્નુલીનું સમીકરણ લાગુ પાડતા $(h_1=h_2)$:
$P_1 + \frac{1}{2}\rho v_1^2 = P_2 + \frac{1}{2}\rho v_2^2$
$P_1 - P_2 = \frac{1}{2}\rho(v_2^2 - v_1^2)$
મેનોમીટર પરથી,દબાણનો તફાવત $P_1 - P_2 = \rho gh$ છે.
બંને સમીકરણોને સરખાવતા: $\rho gh = \frac{1}{2}\rho(v_2^2 - v_1^2)$,જેનું સાદું રૂપ આપતા $2gh = v_2^2 - v_1^2$ મળે છે.
વિધાનમાં $2gh = v_1^2 - v_2^2$ આપેલું હોવાથી,તે ખોટું છે.
તેથી,વિધાન $I$ સાચું છે પરંતુ વિધાન $II$ ખોટું છે.

(B) $STATEMENT-1$ સાચું છે. જ્યારે પાણી ઊભી રીતે ઉપર વહે છે,ત્યારે ગુરુત્વાકર્ષણ ગતિની વિરુદ્ધ કાર્ય કરે છે,જેના કારણે વેગ ઘટે છે. સાતત્યના સમીકરણ $(A_1v_1 = A_2v_2)$ મુજબ,જેમ વેગ $v$ ઘટે છે,તેમ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $A$ વધવું જોઈએ,જેના કારણે પ્રવાહ ફેલાય છે. જ્યારે તેને ઊભી રીતે નીચે રાખવામાં આવે છે,ત્યારે ગુરુત્વાકર્ષણ પાણીને પ્રવેગિત કરે છે,વેગ વધારે છે અને પ્રવાહને સાંકડો બનાવે છે.
$STATEMENT-2$ સાચું છે. સાતત્યનું સમીકરણ $(A_1v_1 = A_2v_2)$ એ અદબનીય પ્રવાહી માટે દળ સંરક્ષણના નિયમનું સીધું પરિણામ છે,જે જણાવે છે કે કદ પ્રવાહ દર અચળ રહે છે.
જોકે,$STATEMENT-2$ એ ક્ષેત્રફળ અને વેગ વચ્ચેનો સંબંધ સમજાવે છે,પરંતુ $STATEMENT-1$ માં પ્રવાહનું ફેલાવવું કે સાંકડું થવું એ મુખ્યત્વે ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે વેગમાં થતા ફેરફારને આભારી છે,માત્ર સાતત્યના સમીકરણને કારણે નહીં. તેથી,$STATEMENT-2$ એ $STATEMENT-1$ માં વર્ણવેલ ઘટના માટે સીધી સમજૂતી નથી.

(B) વાતાવરણીય દબાણ $P_0$ હેઠળ કેશિકામાં પ્રવાહીનું ચઢાણ $h_0$ નીચે મુજબ છે:
$h_0 = \frac{2 T \cos \theta}{\rho g r} = \frac{2 \times 0.075 \times 1}{10^3 \times 10 \times 10^{-4}} = 0.15 \,m = 15 \,cm$
જ્યારે હવાને તેના મૂળ કદ $V_0$ થી $\frac{100}{101} V_0$ સુધી સમતાપી રીતે સંકોચવામાં આવે છે,ત્યારે પાત્રની અંદરનું નવું દબાણ $P$ નીચે મુજબ મળે છે:
$P_0 V_0 = P \left( \frac{100}{101} V_0 \right) \Rightarrow P = \frac{101}{100} P_0 = 1.01 P_0$
કેશિકાની અંદર પ્રવાહીની સપાટી પર દબાણનું સંતુલન:
$P_0 - \frac{2 T \cos \theta}{r} + \rho g h = P$
$P = 1.01 P_0$ અને $\frac{2 T \cos \theta}{r} = \rho g h_0$ મૂકતા:
$P_0 - \rho g h_0 + \rho g h = 1.01 P_0$
$\rho g h = 0.01 P_0 + \rho g h_0$
$h = h_0 + \frac{0.01 P_0}{\rho g} = 0.15 \,m + \frac{0.01 \times 10^5}{10^3 \times 10} = 0.15 \,m + 0.1 \,m = 0.25 \,m = 25 \,cm$

(A) આદર્શ વાયુ માટે અચળ દબાણે,$\rho_a T_a = \rho T$.
કિંમતો મૂકતા: $1.2 \times 300 = \rho \times 360 \implies \rho = 1 \ kg \ m^{-3}$.
$(1)$ બર્નુલીના સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા: $V = \sqrt{\frac{2(\rho_a - \rho)g(H+h)}{\rho}} = \sqrt{\frac{2(1.2 - 1) \times 10 \times (1 + 9)}{1}} = \sqrt{40} \approx 6.32 \ m \ s^{-1}$.
દળ પ્રવાહ દર $Q_m = \rho A V = 1 \times \frac{\pi (0.1)^2}{4} \times \sqrt{40} \approx 0.0608 \ kg \ s^{-1} = 60.80 \ g \ s^{-1}$.
$(2)$ જ્યારે બંધ હોય,ત્યારે દબાણનો તફાવત $\Delta P = (\rho_a - \rho) g(H+h) = (1.2 - 1) \times 10 \times 10 = 20 \ N \ m^{-2}$. આપેલા વિકલ્પો મુજબ,સાચો જવાબ $60.80$ અને $30$ છે.

(A) ધારો કે $A$ એ પાત્રનું આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે અને $L = 500 \ mm = 0.5 \ m$ એ પાત્રની કુલ ઊંચાઈ છે.
શરૂઆતમાં,પાણી $H$ ઊંચાઈ સુધી ભરેલું છે. પાણીની ઉપરની હવાનું કદ $V_0 = A(L - H)$ છે,જે વાતાવરણીય દબાણ $P_0 = 10^5 \ N/m^2$ પર છે.
જ્યારે છિદ્ર ખોલવામાં આવે છે,ત્યારે પાણી ત્યાં સુધી બહાર નીકળે છે જ્યાં સુધી તળિયે રહેલા છિદ્ર પરનું દબાણ વાતાવરણીય દબાણ $P_0$ જેટલું ન થાય. ધારો કે પાણીના સ્તંભની અંતિમ ઊંચાઈ $h = 200 \ mm = 0.2 \ m$ છે.
પાણીની ઉપર ફસાયેલી હવાનું દબાણ $P$ એ $P + \rho gh = P_0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$P = 10^5 - (1000)(10)(0.2) = 10^5 - 2000 = 98000 \ N/m^2 = 98 \times 10^3 \ N/m^2$.
પ્રક્રિયા સમતાપી હોવાથી,$P_0 V_0 = P V_f$,જ્યાં $V_f = A(L - h)$ એ હવાનું અંતિમ કદ છે.
$10^5 \times A(0.5 - H) = 98 \times 10^3 \times A(0.5 - 0.2)$.
$100(0.5 - H) = 98(0.3)$.
$0.5 - H = 0.294$.
$H = 0.5 - 0.294 = 0.206 \ m = 206 \ mm$.
પાણીના સ્તરમાં થયેલો ઘટાડો $H - h = 206 \ mm - 200 \ mm = 6 \ mm$ છે.

(A) ધારો કે દરેક ગોળાનું કદ $V$ છે.
ગોળા $A$ ના સંતુલન માટે:
$A$ પર લાગતા બળો ઉપરની તરફ ઉત્પ્લાવક બળ $V d_F g$,નીચેની તરફ વજન $V d_A g$ અને નીચેની તરફ દોરીમાં તણાવ $T$ છે.
$V d_F g = V d_A g + T$
$T = V g (d_F - d_A)$
દોરીમાં તણાવ $T > 0$ હોવો જોઈએ,તેથી $d_F > d_A$ અથવા $d_A < d_F$ હોવું જરૂરી છે.
ગોળા $B$ ના સંતુલન માટે:
$B$ પર લાગતા બળો ઉપરની તરફ ઉત્પ્લાવક બળ $V d_F g$,નીચેની તરફ વજન $V d_B g$ અને ઉપરની તરફ દોરીમાં તણાવ $T$ છે.
$T + V d_F g = V d_B g$
$T = V g (d_B - d_F)$
દોરીમાં તણાવ $T > 0$ હોવો જોઈએ,તેથી $d_B > d_F$ હોવું જરૂરી છે.
તણાવ $T$ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા:
$V g (d_F - d_A) = V g (d_B - d_F)$
$d_F - d_A = d_B - d_F$
$d_A + d_B = 2 d_F$
આમ,આ સંતુલન સ્થિતિ માટે શરતો $(A)$,$(B)$ અને $(C)$ ત્રણેય સંતોષાવી જોઈએ.

(B) કેશનળીમાં પાણીનું સ્તર $h = \frac{2T \cos \theta}{\rho g R}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
$T_1$ $(\theta = 0^{\circ})$ માટે: $h_1 = \frac{2 \times 0.075 \times \cos 0^{\circ}}{1000 \times 10 \times 0.2 \times 10^{-3}} = 0.075 \ m = 7.5 \ cm$.
$T_2$ $(\theta = 60^{\circ})$ માટે: $h_2 = \frac{2 \times 0.075 \times \cos 60^{\circ}}{1000 \times 10 \times 0.2 \times 10^{-3}} = 0.0375 \ m = 3.75 \ cm$.
$(1)$ સંપર્કકોણ અલગ હોવાથી,મેનિસ્કસનો આકાર અને તેમાં રહેલા પાણીનું વજન બંને કિસ્સામાં અલગ હશે. તેથી,સુધારો અલગ-અલગ હશે. વિધાન $(1)$ સાચું છે.
$(2)$ કિસ્સા $I$ માં,$T_1$ નીચે છે. પાણી $7.5 \ cm$ સુધી ઉપર ચઢે છે. જો જોડાણ $5 \ cm$ પર હોય,તો પાણી જોડાણ ઓળંગે છે. પરંતુ $T_2$ માં દબાણ સંતુલન માટે ઊંચાઈ $h'$ એવી હોવી જોઈએ કે જેથી $\rho g(5 \times 10^{-2} + h') = \frac{2T \cos 60^{\circ}}{R}$. આનાથી $h' = 3.75 - 5 = -1.25 \ cm$ મળે છે. $h' < 0$ હોવાથી,પાણી $T_2$ માં આગળ વધી શકતું નથી. તે જોડાણ પર જ રહે છે. વિધાન $(2)$ ખોટું છે.
$(3)$ કિસ્સા $I$ માં,જો જોડાણ $8 \ cm$ પર હોય,તો પાણી $T_1$ માં તેની મહત્તમ ઊંચાઈ $7.5 \ cm$ સુધી ચઢે છે. $7.5 \ cm < 8 \ cm$ હોવાથી,તે જોડાણ સુધી પહોંચતું નથી. વિધાન $(3)$ સાચું છે.
$(4)$ કિસ્સા $II$ માં,$T_2$ નીચે છે. પાણી $T_2$ માં તેની મહત્તમ ઊંચાઈ $3.75 \ cm$ સુધી ચઢે છે. $3.75 \ cm < 5 \ cm$ હોવાથી,તે જોડાણ સુધી પહોંચતું નથી. વિધાન $(4)$ સાચું છે.

(A) નળીના ફ્રેમમાં,અસરકારક પ્રવેગ એ ગુરુત્વાકર્ષણ $\vec{g}$ અને સ્યુડો-પ્રવેગ $-\vec{a}$ નો સદિશ સરવાળો છે.
અસરકારક પ્રવેગ $\vec{g}_{eff} = \vec{g} - \vec{a}$.
નળીના આડા અને ઊભા અક્ષો પર ઘટકો લેતા:
$g_{eff, x} = a \cos \theta = a / \sqrt{2}$ (બિંદુ $2$ તરફ નિર્દેશિત આડો ઘટક)
$g_{eff, y} = g - a \sin \theta = g - a / \sqrt{2}$ (નીચેની તરફ નિર્દેશિત ઊભો ઘટક)
આધાર પર બિંદુ $1$ અને $2$ વચ્ચેનો દબાણ તફાવત $\Delta P = P_1 - P_2 = \rho \cdot g_{eff, x} \cdot d$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તેથી,$P_1 - P_2 = \rho (a / \sqrt{2}) d$.
તેથી,$\beta = (P_1 - P_2) / (\rho g d) = a / (g \sqrt{2})$.
આપેલા વિકલ્પો મુજબ,સાચો વિકલ્પ $(A)$ છે.

(D) $1.$ સાતત્યના સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા,$A_1 v_1 = A_2 v_2$,જ્યાં $A_1$ અને $A_2$ અનુક્રમે પિસ્ટન અને નોઝલના આડછેદના ક્ષેત્રફળ છે.
આપેલ છે $r_1 = 20 \ mm$ અને $r_2 = 1 \ mm$.
$A_1 = \pi r_1^2 = \pi (20)^2 = 400 \pi \ mm^2$ અને $A_2 = \pi r_2^2 = \pi (1)^2 = 1 \pi \ mm^2$.
આમ,$A_1 = 400 A_2$.
આપેલ છે $v_1 = 5 \ mm \ s^{-1}$.
$400 \times 5 = 1 \times v_2 \Rightarrow v_2 = 2000 \ mm \ s^{-1} = 2 \ m \ s^{-1}$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $(C)$ છે.
$2.$ નોઝલના મુખ અને પાત્રમાં પ્રવાહીની સપાટી પર બર્નુલીના સિદ્ધાંતનો ઉપયોગ કરતા:
$P_0 = P_{nozzle} + \frac{1}{2} \rho_a v_a^2$ (જ્યાં $P_{nozzle}$ એ નોઝલ પરનું દબાણ છે).
વધુમાં,પ્રવાહીને $h$ ઊંચાઈ સુધી ચઢવા માટે,$P_0 = P_{nozzle} + \rho_{\ell} g h$.
દબાણના તફાવતને સરખાવતા,$\frac{1}{2} \rho_a v_a^2 = \rho_{\ell} g h$.
આપેલ ઊંચાઈ $h$ માટે,પ્રવાહીનો વેગ $v_{\ell}$ એ દબાણના તફાવત સાથે સંબંધિત છે. પ્રવાહનો દર હવાના પ્રવાહના વેગના પ્રમાણમાં હોય છે. દબાણ સંતુલન પરથી,$v_a \propto \sqrt{\frac{\rho_{\ell}}{\rho_a}}$. જોકે,પ્રશ્ન સ્પ્રે થતા પ્રવાહીના દર વિશે પૂછે છે,જે હવાના પ્રવાહ દ્વારા સર્જાયેલા દબાણના ઘટાડા પર આધાર રાખે છે. દબાણનો ઘટાડો $\Delta P = \frac{1}{2} \rho_a v_a^2$. પ્રવાહીના પ્રવાહનો દર $\sqrt{\Delta P / \rho_{\ell}} = \sqrt{\frac{\rho_a v_a^2}{2 \rho_{\ell}}} \propto \sqrt{\frac{\rho_a}{\rho_{\ell}}}$ ના પ્રમાણમાં છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $(A)$ છે.

(C) $1$. બોલને ધીમેથી ધકેલવા માટે થયેલ કાર્ય: $W_{\text{ext}} = (F_B - mg)d$. કદ $V = \frac{4}{3} \pi r^3 = 4.5 \times 10^{-6} \times \frac{22}{7} \text{ m}^3$. ઉત્પ્લાવક બળ $F_B = \rho V g = 4.5 \times 10^{-2} \times \frac{22}{7} \text{ N}$. વજન $mg = \frac{22}{7} \times 10^{-2} \text{ N}$. $W_{\text{ext}} = (4.5 - 1) \times 10^{-2} \times \frac{22}{7} \times 0.7 = 0.077 \text{ J}$. વિકલ્પ $(A)$ સાચો છે.
$2$. સ્નિગ્ધ બળની અવગણના કરતા,કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય મુજબ: $W_{\text{ext}} = \frac{1}{2}mv^2$. $\frac{1}{2} \times (\frac{22}{7} \times 10^{-3}) v^2 = 0.077$. $v^2 = 49$,તેથી $v = 7 \text{ m/s}$. વિકલ્પ $(B)$ સાચો છે.
$3$. ઊંચાઈ $H = \frac{v^2}{2g} = 2.45 \text{ m}$. વિકલ્પ $(C)$ ખોટો છે.
$4$. ચોખ્ખું બળ $F_{\text{net}} = F_B - mg = 0.11 \text{ N}$. મહત્તમ સ્નિગ્ધ બળ $F_v = 6 \pi \eta r v = 1.98 \times 10^{-3} \text{ N}$. ગુણોત્તર $= \frac{0.11}{1.98 \times 10^{-3}} = \frac{500}{9}$. વિકલ્પ $(D)$ સાચો છે.

(B) વિધાન-$I$ સાચું છે: તાપમાન વધવાની સાથે પ્રવાહીની સ્નિગ્ધતા (viscosity) ઘટે છે. ગરમ પાણીની સ્નિગ્ધતા ઠંડા પાણી કરતા ઓછી હોવાથી,તે ઝડપથી વહે છે.
વિધાન-$II$ ખોટું છે: સાબુ એક સર્ફેક્ટન્ટ (surfactant) તરીકે કામ કરે છે,જે પાણીના પૃષ્ઠતાણને ઘટાડે છે. તેથી,સાબુના પાણીનું પૃષ્ઠતાણ શુદ્ધ પાણી કરતા ઓછું હોય છે.
આમ,વિધાન-$I$ સાચું છે પરંતુ વિધાન-$II$ ખોટું છે.

(B) વિધાન $A$ ખોટું છે કારણ કે પૃષ્ઠતાણ સપાટી પરના અણુઓની આંતરિક ભાગના અણુઓ કરતા વધારાની ઉર્જાને કારણે ઉદભવે છે, ઉલટું નહીં.
વિધાન $B$ ખોટું છે કારણ કે તાપમાન વધતા પ્રવાહીની સ્નિગ્ધતા ઘટે છે.
વિધાન $C$ સાચું છે કારણ કે વાયુઓમાં તાપમાન વધતા આણ્વિક અથડામણો વધવાને કારણે સ્નિગ્ધતા વધે છે.
વિધાન $D$ સાચું છે કારણ કે રેનોલ્ડ્સ નંબર $(Re)$ નક્કી કરે છે કે પ્રવાહ લેમિનર છે કે ટર્બ્યુલન્ટ.
વિધાન $E$ સાચું છે કારણ કે જો બે સ્ટ્રીમલાઇન્સ છેદે, તો છેદબિંદુ પરના પ્રવાહી કણ પાસે બે અલગ-અલગ વેગ હોય, જે સ્થાયી પ્રવાહમાં ભૌતિક રીતે અશક્ય છે.
તેથી, વિધાનો $C, D,$ અને $E$ સાચા છે.

(D) ગુરુત્વાકર્ષણ બળ દ્વારા થયેલું કાર્ય એ તંત્રની સ્થિતિ ઊર્જામાં થતા ઘટાડા જેટલું હોય છે,$W = U_i - U_f$.
પ્રારંભિક સ્થિતિ ઊર્જા $U_i = U_1 + U_2 = (m_1 g h_{cm1}) + (m_2 g h_{cm2})$.
અહીં $A = 2 \ m^2$,$\rho = 10^3 \ kg/m^3$,$g = 10 \ m/s^2$ આપેલ છે.
$U_i = (\rho A \times 10) g \times (10/2) + (\rho A \times 6) g \times (6/2) = \rho Ag (50 + 18) = 68 \rho Ag$.
જ્યારે પાત્રોને જોડવામાં આવે છે,ત્યારે બંને પાત્રોમાં પાણીની સપાટી સમાન થઈને $h = (10 + 6) / 2 = 8 \ m$ થાય છે.
અંતિમ સ્થિતિ ઊર્જા $U_f = (\rho A \times 8) g \times (8/2) + (\rho A \times 8) g \times (8/2) = \rho Ag (32 + 32) = 64 \rho Ag$.
થયેલું કાર્ય $W = U_i - U_f = 68 \rho Ag - 64 \rho Ag = 4 \rho Ag$.
$W = 4 \times 10^3 \times 2 \times 10 = 8 \times 10^4 \ J$.

(C) પૃષ્ઠતાણને કારણે ફુગ્ગાની અંદરનું દબાણ $P = \frac{2S}{R}$ છે.
બર્નુલીના સિદ્ધાંતનો ઉપયોગ કરતા,બહાર નીકળતા ગેસનો વેગ $v = \sqrt{\frac{2P}{\rho}} = \sqrt{\frac{4S}{\rho R}} = 2S^{1/2} \rho^{-1/2} R^{-1/2}$ છે.
આપેલ છે કે $\psi(r) \propto r^\alpha$,$v \propto R^{-1/2}$ સાથે સરખાવતા,આપણને $\alpha = -1/2$ મળે છે.
કદમાં થતો ફેરફાર $\frac{dV}{dt} = -A \cdot v$ છે.
$V = \frac{4}{3}\pi R^3$ હોવાથી,$\frac{dV}{dt} = 4\pi R^2 \frac{dR}{dt}$.
તેથી,$4\pi R^2 \frac{dR}{dt} = -A \cdot k \cdot S^{1/2} \rho^{-1/2} R^{-1/2}$,જ્યાં $k$ અચળાંક છે.
$R^{5/2} dR = -C \cdot S^{1/2} \rho^{-1/2} A dt$.
$R$ થી $0$ અને $0$ થી $T$ સુધી સંકલન કરતા: $\int_0^R R^{5/2} dR = \int_0^T C' S^{1/2} \rho^{-1/2} A dt$.
$\frac{2}{7} R^{7/2} = C' S^{1/2} \rho^{-1/2} A T$.
આમ,$T \propto S^{-1/2} A^{-1} \rho^{1/2} R^{7/2}$.
$T \propto S^a A^\beta \rho^\gamma R^\delta$ સાથે સરખાવતા,આપણને $a = -1/2, \alpha = -1/2, \beta = -1, \gamma = 1/2, \delta = 7/2$ મળે છે.

(C) ધારો કે મોટા ટીપાની ત્રિજ્યા $R$ છે. કદ અચળ રહેતું હોવાથી:
$27 \times (\frac{4}{3} \pi r^3) = \frac{4}{3} \pi R^3$
$R^3 = 27r^3 \Rightarrow R = 3r$. (વિધાન $D$ સાચું છે.)
ટીપાની અંદરનું વધારાનું દબાણ $P = \frac{2T}{r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$P_{\text{small}} = \frac{2T}{r}$ અને $P_{\text{big}} = \frac{2T}{R} = \frac{2T}{3r} = \frac{1}{3} P_{\text{small}}$. (વિધાન $A$ ખોટું છે.)
પ્રારંભિક પૃષ્ઠ ઊર્જા $U_i = 27 \times (4 \pi r^2 T) = 108 \pi r^2 T$.
અંતિમ પૃષ્ઠ ઊર્જા $U_f = 4 \pi R^2 T = 4 \pi (3r)^2 T = 36 \pi r^2 T$.
$U_f < U_i$ હોવાથી,પૃષ્ઠ ઊર્જામાં ઘટાડો થાય છે. (વિધાન $B$ સાચું છે.)
મુક્ત થતી ઊર્જા $\Delta U = U_i - U_f = 108 \pi r^2 T - 36 \pi r^2 T = 72 \pi r^2 T$. (વિધાન $C$ સાચું છે.)
તેથી,વિધાનો $B, C$ અને $D$ સાચા છે.

(C) હાઇડ્રોલિક લિફ્ટ પ્રવાહીમાં દબાણના પ્રસરણના સિદ્ધાંત પર કાર્ય કરે છે,જે પાસ્કલના નિયમ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત થાય છે. તેથી,$A \rightarrow Q$.
$(B)$ રેઝર બ્લેડ પાણી પર પૃષ્ઠતાણને કારણે તરે છે,જે બ્લેડના વજનને ટેકો આપે છે. તેથી,$B \rightarrow R$.
$(C)$ ડેમના તળિયે પાણીની ઊંડાઈ વધુ હોવાથી દબાણ વધારે હોય છે $(P = \rho gh)$,તેથી આ દબાણને સહન કરવા માટે ડેમનો નીચેનો ભાગ જાડો બનાવવામાં આવે છે. તેથી,$C \rightarrow S$.
$(D)$ વહાણ સમુદ્રમાં તરે છે કારણ કે તેના પર લાગતું ઉત્પ્લાવક બળ તે દ્વારા વિસ્થાપિત પાણીના વજન જેટલું હોય છે,જે આર્કિમિડીઝના સિદ્ધાંત દ્વારા સમજાવવામાં આવે છે. તેથી,$D \rightarrow P$.
આમ,સાચી જોડ $A \rightarrow Q, B \rightarrow R, C \rightarrow S, D \rightarrow P$ છે.

(C) $r$ ત્રિજ્યા ધરાવતું પ્રવાહીનું ટીપું અડધું ડૂબેલું તરે છે ત્યારે તેના પર લાગતા બળોમાં ટીપાનું વજન નીચેની તરફ, ઉત્પ્લાવક બળ ઉપરની તરફ અને સંપર્ક વર્તુળના પરિઘ પર પૃષ્ઠતાણ બળ ઉપરની તરફ લાગે છે।
ટીપાનું વજન $W = V \rho g = (\frac{4}{3} \pi r^3) Q g$.
ઉત્પ્લાવક બળ $F_B = V_{submerged} d g = (\frac{2}{3} \pi r^3) d g$.
પૃષ્ઠતાણ બળ $F_T = (2 \pi r) T$.
બળોને સંતુલિત કરતા: $F_T + F_B = W$.
$(2 \pi r) T + (\frac{2}{3} \pi r^3) d g = (\frac{4}{3} \pi r^3) Q g$.
$(2 \pi r) T = (\frac{4}{3} \pi r^3) Q g - (\frac{2}{3} \pi r^3) d g$.
$(2 \pi r) T = (\frac{2}{3} \pi r^3) (2 Q - d) g$.
$T = \frac{1}{3} r^2 (2 Q - d) g$.
$r^2 = \frac{3 T}{g(2 Q - d)}$.
$r = \sqrt{\frac{3 T}{g(2 Q - d)}}$.
વ્યાસ $D = 2r = 2 \sqrt{\frac{3 T}{g(2 Q - d)}} = \sqrt{\frac{4 \times 3 T}{g(2 Q - d)}} = \sqrt{\frac{12 T}{g(2 Q - d)}}$.

(A) ધારો કે ડ્રમના કેન્દ્રથી $r$ અંતરે રહેલા પ્રવાહીના એક નાના ઘટકને ધ્યાનમાં લો જે $\omega$ કોણીય ઝડપે ફરે છે.
$dm$ દળના આ ઘટક માટે જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ $dF = (dm) \omega^2 r$ છે.
આ બળ દબાણના તફાવત દ્વારા પૂરું પાડવામાં આવે છે: $dP \cdot A = (dm) \omega^2 r$,જ્યાં $dm = d \cdot A \cdot dr$ છે.
$dm$ ની કિંમત મૂકતા: $dP \cdot A = (d \cdot A \cdot dr) \omega^2 r$.
સાદું રૂપ આપતા,આપણને $dP = d \cdot \omega^2 r \cdot dr$ મળે છે.
કેન્દ્ર પર કુલ દબાણનો વધારો શોધવા માટે,આપણે $r = 0$ થી $r = R$ સુધી સંકલન કરીએ છીએ:
$\Delta P = \int_{0}^{R} d \cdot \omega^2 r \cdot dr = d \cdot \omega^2 \left[ \frac{r^2}{2} \right]_{0}^{R}$.
$\Delta P = \frac{d \omega^2 R^2}{2}$.

(D) જ્યારે પ્રવાહી ધરાવતા નળાકાર પાત્રને તેની ઉર્ધ્વ અક્ષની આસપાસ $\omega$ કોણીય ઝડપે ફેરવવામાં આવે છે,ત્યારે અક્ષથી $r$ અંતરે રહેલા પ્રવાહીના કણો $v = r\omega$ જેટલા રેખીય વેગ સાથે ફરે છે.
ભ્રમણ કરતા સંદર્ભ ફ્રેમમાં બર્નુલીના સિદ્ધાંતનો ઉપયોગ કરતા,અક્ષથી $r$ અંતરે આવેલા બિંદુ પર અસરકારક દબાણ $P(r) = P_0 + \frac{1}{2}\rho r^2 \omega^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $P_0$ એ કેન્દ્ર $(r=0)$ પરનું દબાણ છે.
પાત્રની ધાર પર,$r = R$ હોવાથી,દબાણ $P_R = P_0 + \frac{1}{2}\rho R^2 \omega^2$ થશે.
ધાર અને કેન્દ્ર વચ્ચેના દબાણનો તફાવત $\Delta P = P_R - P_0 = \frac{1}{2}\rho R^2 \omega^2$ છે.
આ દબાણનો તફાવત પ્રવાહી સ્તંભની ઊંચાઈના તફાવત $h$ ને કારણે ઉદ્ભવતા હાઇડ્રોસ્ટેટિક દબાણના તફાવત દ્વારા સંતુલિત થાય છે,જે $\Delta P = \rho g h$ છે.
બંને સમીકરણોને સરખાવતા: $\rho g h = \frac{1}{2}\rho R^2 \omega^2$.
$h$ માટે ઉકેલતા,આપણને $h = \frac{R^2 \omega^2}{2g}$ મળે છે.

(B) ધારો કે સપાટી પરનું દબાણ $P_1$ છે અને તળિયે દબાણ $P_2$ છે। આપેલ છે કે સપાટી પરનું દબાણ $h$ મીટર મર્ક્યુરી સ્તંભ જેટલું છે, તેથી $P_1 = h \rho g$ (જ્યાં $\rho$ એ પાણીની સાપેક્ષે મર્ક્યુરીની ઘનતા છે)।
તાપમાન અચળ રહેતું હોવાથી, બોઈલના નિયમ મુજબ: $P_1 V_1 = P_2 V_2$.
ગોળાકાર પરપોટાનું કદ $V = \frac{4}{3} \pi r^3$ છે. વ્યાસ બમણો થવાથી ત્રિજ્યા પણ બમણી થાય છે, તેથી $V_2 = 8 V_1$.
તળિયે દબાણ $P_2 = P_1 + H \rho_w g$ છે, જ્યાં $H$ એ તળાવની ઊંડાઈ છે.
કિંમતો મૂકતા: $P_1 V_1 = (P_1 + H \rho_w g) (8 V_1)$.
$P_1 = 8 P_1 + 8 H \rho_w g$.
$H = 7 h \rho$.

(C) ટીપું સંતુલનમાં રહે તે માટે,નીચેની તરફ લાગતું બળ (વજન) એ ઉપરની તરફ લાગતા પ્લાવક બળ અને સંપર્ક વર્તુળના પરિઘ પર લાગતા પૃષ્ઠતાણ બળ દ્વારા સંતુલિત થવું જોઈએ.
ટીપાનું વજન = $W = \frac{4}{3}\pi r^3 \rho g$
પ્લાવક બળ = $F_B = \text{ડૂબેલું કદ} \times d \times g = \frac{1}{2} \left(\frac{4}{3}\pi r^3\right) dg = \frac{2}{3}\pi r^3 dg$
પૃષ્ઠતાણ બળ = $F_T = T \times 2\pi r$
બળોને સરખાવતા: $W = F_B + F_T$
$\frac{4}{3}\pi r^3 \rho g = \frac{2}{3}\pi r^3 dg + 2\pi rT$
પદોને ગોઠવતા: $2\pi rT = \frac{4}{3}\pi r^3 \rho g - \frac{2}{3}\pi r^3 dg$
$2\pi rT = \frac{2}{3}\pi r^3 g (2\rho - d)$
$T = \frac{1}{3} r^2 g (2\rho - d)$
$r^2 = \frac{3T}{g(2\rho - d)}$
$r = \sqrt{\frac{3T}{g(2\rho - d)}}$
વ્યાસ $D = 2r = 2\sqrt{\frac{3T}{g(2\rho - d)}} = \sqrt{\frac{12T}{g(2\rho - d)}}$.

(C) ધારો કે તળાવની ઊંડાઈ $h$ છે અને તળિયે પરપોટાની ત્રિજ્યા $r$ છે.
તળિયે દબાણ $P_1 = P_0 + h \rho g$ છે,જ્યાં $P_0$ એ વાતાવરણીય દબાણ છે.
આપેલ છે કે $P_0 = H \rho g$,તેથી $P_1 = H \rho g + h \rho g = (H + h) \rho g$.
તળિયે કદ $V_1 = \frac{4}{3} \pi r^3$ છે.
સપાટી પર દબાણ $P_2 = P_0 = H \rho g$ છે અને ત્રિજ્યા $2r$ છે.
સપાટી પર કદ $V_2 = \frac{4}{3} \pi (2r)^3 = 8 \times \frac{4}{3} \pi r^3$ છે.
બોઈલના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$P_1 V_1 = P_2 V_2$:
$(H + h) \rho g \times \frac{4}{3} \pi r^3 = H \rho g \times 8 \times \frac{4}{3} \pi r^3$.
સામાન્ય પદો દૂર કરતા: $H + h = 8H$.
તેથી,$h = 7H$.

(D) ટીપું નીચે મુજબના બળોની અસર હેઠળ સંતુલનમાં છે:
ટીપાનું વજન,$W = Mg = \frac{4}{3} \pi r^3 \rho g$ (નીચેની તરફ).
પ્લવન બળ (ઉત્પ્લાવક બળ) = સ્થાનાંતરિત પ્રવાહીનું વજન = $\frac{2}{3} \pi r^3 d g$ (ઉપરની તરફ).
પૃષ્ઠતાણને કારણે લાગતું બળ,$F = 2 \pi r T$ (ઉપરની તરફ).
સંતુલન માટે,નીચેની તરફનું બળ એ ઉપરની તરફના બળોના સરવાળા જેટલું હોવું જોઈએ:
$Mg = F + F_{t}$
$F = Mg - F_{t}$
$2 \pi r T = \frac{4}{3} \pi r^3 \rho g - \frac{2}{3} \pi r^3 d g$
$2 \pi r T = \frac{2}{3} \pi r^3 (2 \rho - d) g$
$T = \frac{1}{3} r^2 (2 \rho - d) g$
$r^2 = \frac{3 T}{g(2 \rho - d)}$
$r = \sqrt{\frac{3 T}{g(2 \rho - d)}}$
વ્યાસ $D = 2r = 2 \sqrt{\frac{3 T}{g(2 \rho - d)}} = \sqrt{\frac{12 T}{g(2 \rho - d)}}$.

(C) સાબુના પરપોટાની અંદર પૃષ્ઠતાણને કારણે ઉદ્ભવતું વધારાનું દબાણ $p = \frac{4S}{R}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $S$ એ પૃષ્ઠતાણ છે અને $R$ એ ત્રિજ્યા છે.
આપેલ છે કે સ્થિત-વિદ્યુત દબાણ $p = \frac{\sigma^2}{2 \varepsilon_0}$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,પૃષ્ઠતાણને કારણે ઉદ્ભવતું વધારાનું દબાણ એ સ્થિત-વિદ્યુત દબાણ જેટલું છે:
$\frac{4S}{R} = \frac{\sigma^2}{2 \varepsilon_0}$
$S$ ને સૂત્રનો કર્તા બનાવતા:
$S = \frac{\sigma^2 R}{8 \varepsilon_0} \quad \dots (i)$
આપેલ કિંમતો: $\sigma = 20 \ \mu C \ m^{-2} = 20 \times 10^{-6} \ C \ m^{-2}$,$R = 0.2 \ mm = 0.2 \times 10^{-3} \ m$,અને $\varepsilon_0 = 8.85 \times 10^{-12} \ C^2 \ N^{-1} \ m^{-2}$.
આ કિંમતોને સમીકરણ $(i)$ માં મૂકતા:
$S = \frac{(20 \times 10^{-6})^2 \times (0.2 \times 10^{-3})}{8 \times 8.85 \times 10^{-12}}$
$S = \frac{400 \times 10^{-12} \times 0.2 \times 10^{-3}}{70.8 \times 10^{-12}}$
$S = \frac{80 \times 10^{-15}}{70.8 \times 10^{-12}} \approx 1.13 \times 10^{-3} \ N \ m^{-1} = 11.3 \times 10^{-4} \ N \ m^{-1}$.

(B) રીજેલેશન (Regelation) એ એક ભૌતિક ઘટના છે જેમાં દબાણ લાગુ કરવાથી પાણીનું ઠારબિંદુ ઘટે છે. જ્યારે દબાણ દૂર કરવામાં આવે છે,ત્યારે પાણી ફરીથી થીજી જાય છે. આ જ કારણ છે કે બરફને દબાવીને વિવિધ આકારોમાં ઢાળી શકાય છે,કારણ કે દબાણ હેઠળ બરફ પીગળે છે અને દબાણ દૂર થતાં ફરીથી થીજી જાય છે.

(C) વિધાન $A$: પ્રવાહીમાં,જેમ તાપમાન વધે છે તેમ આંતરઆણ્વિય આકર્ષણ બળો ઘટે છે,જેના પરિણામે સ્નિગ્ધતામાં ઘટાડો થાય છે. વાયુઓમાં,સ્નિગ્ધતા મુખ્યત્વે આણ્વિય અથડામણોને કારણે હોય છે. તાપમાન વધતા,અણુઓનો સરેરાશ વર્ગિત વેગ વધે છે,જેનાથી અથડામણો વધે છે અને સ્નિગ્ધતા વધે છે.
વિધાન $B$: પાણી તેલવાળા કાચને ભીંજવતું નથી કારણ કે પાણી અને તેલ વચ્ચેનું આસંજક બળ એ પાણીના અણુઓના સંસક્તિ બળ કરતા ઓછું હોય છે.
વિધાન $C$: પ્રવાહી ઘન સપાટીને ત્યારે જ ભીંજવે છે જો સંપર્કકોણ લઘુકોણ ($90^{\circ}$ કરતા ઓછો) હોય. જો સંપર્કકોણ $90^{\circ}$ કરતા વધારે હોય,તો પ્રવાહી સપાટીને ભીંજવતું નથી.
તેથી,વિધાન $A$ સાચું છે,જ્યારે વિધાન $B$ અને $C$ ખોટા છે.

(C) જ્યારે બરફના બે ટુકડાઓને એકબીજાની વિરુદ્ધ દબાવવામાં આવે છે,ત્યારે સંપર્ક સપાટી પરનું દબાણ વધે છે. પાણીના ફેઝ ડાયાગ્રામ મુજબ,દબાણ વધવાની સાથે બરફનું ગલનબિંદુ ઘટે છે. આના કારણે સંપર્ક સપાટી પરનો બરફ પીગળીને પાણીમાં ફેરવાય છે. જ્યારે દબાણ દૂર કરવામાં આવે છે,ત્યારે પાણી ફરીથી થીજી જાય છે,જેના કારણે બંને ટુકડાઓ જોડાઈને એક ટુકડો બની જાય છે. આ ઘટનાને 'રીજેલેશન' (Regelation) તરીકે ઓળખવામાં આવે છે.

(B) ધારો કે તળાવની ઊંડાઈ $d$ છે અને તળિયે પરપોટાનું કદ $V$ છે. સપાટી પર તેનું કદ $5V$ થાય છે.
બોઈલના નિયમ મુજબ, તાપમાન અચળ હોવાથી, $P_1 V_1 = P_2 V_2$.
તળિયે, દબાણ $P_1$ એ વાતાવરણીય દબાણ અને $d$ ઊંડાઈના પાણીના સ્તંભને કારણે લાગતા દબાણનો સરવાળો છે: $P_1 = P_{atm} + \rho g d = \rho g H + \rho g d = \rho g(H + d)$.
સપાટી પર, દબાણ $P_2$ એ વાતાવરણીય દબાણ જેટલું છે: $P_2 = P_{atm} = \rho g H$.
આ કિંમતોને સમીકરણમાં મૂકતા: $\rho g(H + d) \times V = \rho g H \times 5V$.
બંને બાજુ $\rho g V$ વડે ભાગતા, આપણને મળે છે: $H + d = 5H$.
તેથી, $d = 5H - H = 4H$.

(C) ટીપું સંતુલનમાં રહે તે માટે,નીચેની તરફ લાગતું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ એ ઉપરની તરફ લાગતા ઉત્પ્લાવક બળ અને પૃષ્ઠતાણ બળ દ્વારા સંતુલિત થવું જોઈએ.
ટીપાનું વજન = $\frac{4}{3} \pi r^3 d g$.
ઉત્પ્લાવક બળ (ઉપરની તરફ) = વિસ્થાપિત પ્રવાહીનું વજન = $\frac{2}{3} \pi r^3 \rho g$ (કારણ કે તે અડધું ડૂબેલું છે).
પૃષ્ઠતાણ બળ (ઉપરની તરફ) = $T \times (2 \pi r)$.
બળોને સરખાવતા: $\frac{4}{3} \pi r^3 d g = \frac{2}{3} \pi r^3 \rho g + 2 \pi r T$.
$\pi r$ વડે ભાગતા: $\frac{4}{3} r^2 d g = \frac{2}{3} r^2 \rho g + 2 T$.
પદોને ગોઠવતા: $r^2 g (\frac{4}{3} d - \frac{2}{3} \rho) = 2 T$.
$r^2 g (\frac{2}{3} (2 d - \rho)) = 2 T$.
$r^2 = \frac{3 T}{g(2 d - \rho)}$.
તેથી,$r = \sqrt{\frac{3 T}{g(2 d - \rho)}}$.

(A) જ્યારે પ્રવાહી ધરાવતા નળાકાર પાત્રને તેની ઉભી ધરીની આસપાસ કોણીય વેગ $\omega$ સાથે ફેરવવામાં આવે છે, ત્યારે પ્રવાહીની સપાટી પેરાબોલોઇડનો આકાર ધારણ કરે છે।
ધારો કે $r$ એ પાત્રની ત્રિજ્યા છે અને $h$ એ કેન્દ્ર અને બાજુઓ પરના પ્રવાહીના સ્તર વચ્ચેનો ઊંચાઈનો તફાવત છે।
અક્ષથી $r$ અંતરે સપાટી પરના પ્રવાહીના કણ માટે, પરિભ્રમણ કરતા ફ્રેમમાં લાગતા બળો કેન્દ્રત્યાગી બળ $(m r \omega^2)$ અને ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $(mg)$ છે।
પ્રવાહીની સપાટીનો ઢાળ $\frac{dh}{dr} = \frac{r \omega^2}{g}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે।
આનું $r=0$ થી $r=R$ સુધી સંકલન કરતા:
$\int_0^h dh = \int_0^R \frac{\omega^2}{g} r dr$
$h = \frac{\omega^2 R^2}{2g}$
આપેલ છે કે $R = 0.05 \,m$, $\omega = 10 \,rad \,s^{-1}$, અને $g = 10 \,m \,s^{-2}$:
$h = \frac{(10)^2 \times (0.05)^2}{2 \times 10}$
$h = \frac{100 \times 0.0025}{20} = \frac{0.25}{20} = 0.0125 \,m$
$h = 125 \times 10^{-4} \,m$.

(A) સ્ટોક્સનો નિયમ સ્નિગ્ધ પ્રવાહીમાં ગતિ કરતા ગોળાકાર પદાર્થો પર લાગતા સ્નિગ્ધ ખેંચાણ બળ (viscous drag force) નું વર્ણન કરે છે,જે સામાન્ય રીતે ઓછા રેનોલ્ડ્સ નંબર પર હોય છે.
અશાંત પ્રવાહ (Turbulence) એ પ્રવાહની એક એવી સ્થિતિ છે જે દબાણ અને પ્રવાહના વેગમાં અસ્તવ્યસ્ત ફેરફારો દ્વારા વર્ગીકૃત થયેલ છે,જે ઘણીવાર રેનોલ્ડ્સ નંબરના ઉચ્ચ મૂલ્યો સાથે સંકળાયેલ હોય છે.
બર્નુલીનો સિદ્ધાંત જણાવે છે કે અદબનીય,બિન-સ્નિગ્ધ પ્રવાહીના સ્થિર પ્રવાહ માટે,પ્રવાહીની ઝડપમાં વધારો થવાથી દબાણમાં ઘટાડો અથવા પ્રવાહીની સ્થિતિ ઉર્જામાં ઘટાડો થાય છે.
પાસ્કલનો નિયમ જણાવે છે કે બંધ અદબનીય પ્રવાહીમાં કોઈપણ બિંદુએ લાગુ પાડવામાં આવતો દબાણનો ફેરફાર સમગ્ર પ્રવાહીમાં સમાન રીતે પ્રસારિત થાય છે. આ સિદ્ધાંતનો સામાન્ય ઉપયોગ હાઇડ્રોલિક લિફ્ટમાં થાય છે.

(B) આપેલ છે: પ્રારંભિક કદ $V_1 = 3 \ mm^3$,ઊંડાઈ $h = 5 \ m$.
સપાટી પરનું દબાણ $P_2 = 1 \ atm = 10^5 \ Pa$.
તળિયે દબાણ $P_1 = P_{atm} + \rho g h$.
ઘનતાને $SI$ એકમોમાં ફેરવતા: $\rho = 1 \ g/cm^3 = 1000 \ kg/m^3$.
$P_1 = 10^5 + (1000 \times 9.8 \times 5) = 10^5 + 49000 = 1.49 \times 10^5 \ Pa$.
તાપમાન અચળ હોવાથી,બોઈલના નિયમનો ઉપયોગ કરતા: $P_1 V_1 = P_2 V_2$.
$V_2 = \frac{P_1 V_1}{P_2} = \frac{1.49 \times 10^5 \times 3}{10^5} = 1.49 \times 3 = 4.47 \ mm^3$.
નજીકની કિંમત લેતા,$V_2 \approx 4.5 \ mm^3$.

(C) આપેલ છે, નદીનો વેગ, $v = 2 \,m/s$.
પાણીની ઘનતા, $\rho = 1.2 \,g/cc$.
$1 \,m^3$ પાણીનું દળ શોધવા માટે:
$\rho = 1.2 \,g/cm^3 = 1.2 \times \frac{10^{-3} \,kg}{(10^{-2} \,m)^3} = 1.2 \times 10^3 \,kg/m^3$.
આમ, $1 \,m^3$ પાણીનું દળ $m = 1.2 \times 10^3 \,kg$ છે।
ગતિઊર્જા $K$ નું સૂત્ર $K = \frac{1}{2}mv^2$ છે।
કિંમતો મૂકતા:
$K = \frac{1}{2} \times (1.2 \times 10^3 \,kg) \times (2 \,m/s)^2$.
$K = 0.5 \times 1.2 \times 10^3 \times 4$.
$K = 2.4 \times 10^3 \,J = 2.4 \,kJ$.

(C) ધારો કે પાણીની ઘનતા $\rho$ છે,પાઈપનું આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $A$ છે અને પાણીનો વેગ $v$ છે.
દર સેકન્ડે પહોંચાડવામાં આવતા પાણીનું દળ $m = A v \rho$ દ્વારા આપવામાં આવે છે ...$(i)$.
આ પાણી પહોંચાડવા માટે જરૂરી પાવર $P$ એ પાણીની ગતિ ઊર્જામાં થતા ફેરફારના દર જેટલો હોય છે:
$P = \frac{1}{2} m v^2 = \frac{1}{2} (A v \rho) v^2 = \frac{1}{2} A \rho v^3$ ...(ii).
જો આપણે તે જ સમયમાં $n$-ગણું દળ પહોંચાડવા માંગતા હોઈએ,તો નવો દળ પ્રવાહ દર $m' = n m$ થશે.
કારણ કે $m = A v \rho$,તેથી $n (A v \rho) = A v' \rho$,જેનો અર્થ છે કે $v' = n v$.
જરૂરી નવો પાવર $P' = \frac{1}{2} A \rho (v')^3$ છે.
નવા પાવર અને મૂળ પાવરનો ગુણોત્તર લેતા:
$\frac{P'}{P} = \frac{\frac{1}{2} A \rho (n v)^3}{\frac{1}{2} A \rho v^3} = n^3$.
તેથી,પાવર $n^3$-ગણો વધારવો જોઈએ.

(D) જ્યારે $U$-ટ્યુબને જમણી તરફ '$f$' પ્રવેગ સાથે પ્રવેગિત કરવામાં આવે છે,ત્યારે પ્રવાહી પર વિરુદ્ધ દિશામાં સ્યુડો-બળ લાગે છે.
ધારો કે પ્રવાહીની સપાટીનો સમક્ષિતિજ સાથેનો ખૂણો $\theta$ છે.
પ્રવાહી પર લાગતો અસરકારક પ્રવેગ એ ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગ '$g$' (નીચેની તરફ) અને સ્યુડો-પ્રવેગ '$f$' (ડાબી તરફ) નો સદિશ સરવાળો છે.
ખૂણા $\theta$ નો ટેન્જન્ટ એ સમક્ષિતિજ પ્રવેગ અને ઉર્ધ્વ પ્રવેગના ગુણોત્તર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$\tan \theta = \frac{f}{g}$
$U$-ટ્યુબની ભૂમિતિ પરથી,જ્યાં '$h$' એ ઊંચાઈનો તફાવત છે અને '$a$' એ બે બાજુઓ વચ્ચેનું સમક્ષિતિજ અંતર છે:
$\tan \theta = \frac{h}{a}$
$\tan \theta$ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા:
$\frac{h}{a} = \frac{f}{g}$
તેથી,ઊંચાઈનો તફાવત:
$h = \frac{f a}{g}$

(D) ધારો કે ટીપાનું દળ $m$ છે.
ટીપાનું વજન $W = mg$ છે,જે નીચેની દિશામાં કાર્ય કરે છે.
નળના મુખ પર ટીપા પર લાગતું પૃષ્ઠતાણ બળ $F_s = \sigma \cdot 2\pi R$ છે,જ્યાં $R$ એ નળના મુખની ત્રિજ્યા છે. આ બળ ઉપરની દિશામાં કાર્ય કરે છે.
પાણીનું ટીપું ત્યારે છૂટું પડશે જ્યારે ટીપાનું વજન પૃષ્ઠતાણને કારણે લાગતા ઉપરના બળ કરતા વધી જાય:
$mg > \sigma \cdot 2\pi R$
ગોળાકાર ટીપાનું દળ $m = V \cdot \rho = \frac{4}{3} \pi r^3 \rho$ હોવાથી,જ્યાં $r$ એ ટીપાની ત્રિજ્યા છે,આપણે આ કિંમત અસમતામાં મૂકીએ:
$\frac{4}{3} \pi r^3 \rho g > \sigma \cdot 2\pi R$
$r$ માટે ઉકેલતા:
$r^3 > \frac{2\pi R \sigma \cdot 3}{4\pi \rho g}$
$r^3 > \frac{3 R \sigma}{2 \rho g}$
$r > \left( \frac{3 R \sigma}{2 \rho g} \right)^{1/3}$
આ પરિણામને આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,વિકલ્પ $A$,$B$ કે $C$ માંથી કોઈ પણ મેળવેલ સમીકરણ સાથે મેળ ખાતું નથી. તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(A) આપેલ છે,નોઝલનું આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $A = \frac{5}{\sqrt{21}} \times 10^{-3} \text{ m}^2$.
કદનો પ્રવાહ દર $Q = \frac{1 \text{ m}^3}{10 \text{ s}} = 0.1 \text{ m}^3/\text{s}$.
પાણીનો વેગ $v = \frac{Q}{A} = \frac{0.1}{\frac{5}{\sqrt{21}} \times 10^{-3}} = \frac{10^{-1} \times \sqrt{21}}{5 \times 10^{-3}} = 20\sqrt{21} \text{ m/s}$.
જ્યારે પાણી સખત દીવાલ સાથે અથડાય છે,ત્યારે તેની ગતિઊર્જા ઉષ્મા ઊર્જામાં રૂપાંતરિત થાય છે. તાપમાનમાં મહત્તમ શક્ય વધારો $\Delta T$ ઊર્જા સંતુલન સમીકરણ દ્વારા મળે છે: $\frac{1}{2}mv^2 = ms\Delta T$.
અહીં,$s$ એ પાણીની વિશિષ્ટ ઉષ્મા ધારિતા છે $= 4.2 \times 10^3 \text{ J/(kg} \cdot ^{\circ}\text{C)}$.
તેથી,$\Delta T = \frac{v^2}{2s} = \frac{(20\sqrt{21})^2}{2 \times 4.2 \times 10^3}$.
$\Delta T = \frac{400 \times 21}{8.4 \times 10^3} = \frac{8400}{8400} = 1^{\circ} \text{C}$.

(D) પાસ્કલના નિયમ મુજબ,સ્થિર પ્રવાહીમાં કોઈપણ બિંદુએ દબાણ બધી દિશામાં સમાન હોય છે.
પ્રવાહીનું દબાણ પ્રવાહીની અંદરના દરેક બિંદુએ અસ્તિત્વ ધરાવે છે,માત્ર સીમાઓ પર કે સંપર્કમાં રહેલી ઘન સપાટીઓ પર જ નહીં. તેથી,વિધાન $I$ ખોટું છે.
વિધાન $II$ ના સંદર્ભમાં,પ્રવાહીની સપાટી પરના અણુઓ પાસે અંદરના ભાગમાં રહેલા અણુઓ કરતા ઓછા પાડોશી અણુઓ હોય છે,જેના કારણે ચોખ્ખું અંદરની તરફનું બળ લાગે છે. આના પરિણામે સપાટી પરના અણુઓની સ્થિતિ ઊર્જા અંદરના અણુઓ કરતા વધારે હોય છે,જે પૃષ્ઠતાણનું ભૌતિક કારણ છે. તેથી,વિધાન $II$ સાચું છે.