Mix Examples-Fluid Mechanics and Surface Tension Questions in Gujarati

(B) ધારો કે $M$ એ મીટર સ્કેલનું દળ છે અને $m$ એ પદાર્થનું દળ છે. સમાન મીટર સ્કેલનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $50 \ cm$ ના નિશાન પર છે. પીવટ $P$ એ $20 \ cm$ ના નિશાન પર છે.
કિસ્સો $1$: પદાર્થ $10 \ cm$ ના નિશાન પર છે. પીવટથી પદાર્થનું અંતર $20 \ cm - 10 \ cm = 10 \ cm$ છે. પીવટથી સ્કેલના દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનું અંતર $50 \ cm - 20 \ cm = 30 \ cm$ છે. પરિભ્રમણીય સંતુલન માટે,પીવટની આસપાસ કુલ ટોર્ક શૂન્ય હોવું જોઈએ:
$Mg \times 30 = mg \times 10$
$30M = 10m \Rightarrow m = 3M$
કિસ્સો $2$: પદાર્થને પાણીમાં ડૂબાડવામાં આવે છે અને $8 \ cm$ ના નિશાન પર ખસેડવામાં આવે છે. પીવટથી પદાર્થનું અંતર $20 \ cm - 8 \ cm = 12 \ cm$ છે. ઉત્પ્લાવક બળ $F_b$ એ $8 \ cm$ ના નિશાન પર ઉપરની તરફ લાગે છે. પદાર્થનું વજન $mg$ એ $8 \ cm$ ના નિશાન પર નીચેની તરફ લાગે છે. $8 \ cm$ ના નિશાન પર અસરકારક નીચેની તરફનું બળ $(mg - F_b)$ છે.
સંતુલન માટે:
$Mg \times 30 = (mg - F_b) \times 12$
$30Mg = 12mg - 12F_b$
કારણ કે $F_b = V \rho_w g = (m / \rho) \rho_w g = m g / \rho_r$,જ્યાં $\rho_r$ એ વિશિષ્ટ ગુરુત્વાકર્ષણ છે:
$30Mg = 12mg - 12(mg / \rho_r)$
$m = 3M$ મૂકતા:
$30Mg = 12(3M)g - 12(3M)g / \rho_r$
$30 = 36 - 36 / \rho_r$
$36 / \rho_r = 6$
$\rho_r = 36 / 6 = 6$

(C) ધારો કે $h$ ઊંચાઈના પ્રવાહીના ઉર્ધ્વ સ્તંભના તળિયે બિંદુ $B$ પરનું દબાણ $P_B$ છે. સ્તંભનો ઉપરનો ભાગ વાતાવરણ માટે ખુલ્લો હોવાથી,$P_B = P_0 + \rho gh$,જ્યાં $P_0$ એ વાતાવરણીય દબાણ છે.
હવે,ઉર્ધ્વ અક્ષ (જે $A$ માંથી પસાર થાય છે) ની આસપાસ કોણીય વેગ $\omega$ થી ફરતી નળીના આડા ભાગને ધ્યાનમાં લો. બિંદુ $A$ અક્ષથી $r = 0$ અંતરે છે અને બિંદુ $B$ અક્ષથી $r = R$ અંતરે છે.
ભ્રમણ કરતા પ્રવાહીમાં દબાણનો ફેરફાર $dP = \rho \omega^2 r dr$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. $A$ થી $B$ સુધી સંકલન કરતા:
$P_B - P_A = \int_0^R \rho \omega^2 r dr = \frac{\rho \omega^2 R^2}{2}$.
તેથી,$P_A = P_B - \frac{\rho \omega^2 R^2}{2}$.
$P_B$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $P_A = P_0 + \rho gh - \frac{\rho \omega^2 R^2}{2}$ મળે છે.

(A) જ્યારે રેઝર-બ્લેડ પાણી પર તરે છે,ત્યારે તે ઉત્પ્લાવક બળ (આર્કિમિડીઝનો સિદ્ધાંત) અને પૃષ્ઠતાણને કારણે લાગતા ઉપરના બળ દ્વારા આધારિત હોય છે.
બ્લેડની ઘનતા પાણી કરતા વધારે હોવાથી,તે સામાન્ય રીતે ડૂબી જવી જોઈએ.
જોકે,પૃષ્ઠતાણ પાણીની સપાટી પર એક 'ખાડો' બનાવે છે,જે અસરકારક રીતે બ્લેડના વાસ્તવિક કદ કરતા વિસ્થાપિત પાણીનું કદ વધારે છે.
જ્યારે ગ્લાસ હલાવવામાં આવે છે,ત્યારે પૃષ્ઠતાણની અસર તૂટી જાય છે અને બ્લેડ ડૂબી જાય છે.
વિધાન $A$ ખોટું છે કારણ કે,તરતી વખતે,વિસ્થાપિત પાણીનું અસરકારક કદ (પૃષ્ઠતાણની અસર સહિત) બ્લેડના વજનને સંતુલિત કરવા માટે જરૂરી કદ જેટલું હોય છે.
વિધાન $B$ સાચું છે કારણ કે જ્યારે બ્લેડ ડૂબી જાય છે ત્યારે તે પૃષ્ઠતાણ દ્વારા આધારિત હતી તેના કરતા ઓછું પાણી વિસ્થાપિત કરે છે.
વિધાન $C$ સાચું છે કારણ કે તે આધારની પદ્ધતિનું વર્ણન કરે છે.
વિધાન $D$ સાચું છે કારણ કે તે તરતી બ્લેડ માટે સંતુલન સ્થિતિ સમજાવે છે.

(B) ધારો કે આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $A$ છે અને પાણીની ઘનતા $\rho$ છે. પાણીના સ્તંભની કુલ લંબાઈ $L = 4H$ છે. પાણીનું દળ $m = \rho A L = 4\rho AH$ છે.
શરૂઆતમાં,ડાબો સ્તંભ સરેરાશ સ્તરથી $H/2$ ઊંચાઈ પર છે અને જમણો સ્તંભ સરેરાશ સ્તરથી $H/2$ નીચે છે. તંત્રની સ્થિતિઊર્જામાં થતો ફેરફાર એ સ્થાનાંતરિત પાણીના દળને કારણે છે. $V = A(H/2)$ કદનું પાણી ડાબી બાજુથી જમણી બાજુ જાય છે. આ કદનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $H/2$ જેટલું નીચે ઉતરે છે. સ્થિતિઊર્જામાં ફેરફાર $\Delta U = -(\rho A (H/2)) g (H/2) = -\rho A g H^2 / 4$ છે.
ઊર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,સ્થિતિઊર્જામાં ઘટાડો એ ગતિઊર્જામાં થતા વધારા બરાબર છે:
$|\Delta U| = \frac{1}{2} m v^2$
$\rho A g H^2 / 4 = \frac{1}{2} (4 \rho A H) v^2$
$\rho A g H^2 / 4 = 2 \rho A H v^2$
$v^2 = \frac{gH}{8}$
$v = \sqrt{\frac{gH}{8}}$

(B) ધારો કે $L$ એ સળિયાની કુલ લંબાઈ છે,$A$ એ તેનો આડછેદનો વિસ્તાર છે,અને $\rho_w$ અને $\rho_r$ એ અનુક્રમે પાણી અને સળિયાની ઘનતા છે. આપેલ છે કે $\rho_w = \frac{9}{5} \rho_r$. ધારો કે $x$ એ સળિયાની ડૂબેલી લંબાઈ છે.
સળિયાનું વજન તેના દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર પર કાર્ય કરે છે,જે ધરીથી $L/2$ અંતરે છે. ઉત્પ્લાવક બળ $F_B$ ડૂબેલા ભાગના કેન્દ્ર પર કાર્ય કરે છે,જે ધરીથી $(L - x/2)$ અંતરે છે.
નાના કોણીય સ્થાનાંતર $\theta$ માટે,ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે ટોર્ક $\tau_g = (\rho_r A L g) \frac{L}{2} \sin \theta$ છે.
ઉત્પ્લાવક બળને કારણે ટોર્ક $\tau_B = F_B (L - x/2) \sin \theta$ છે,જ્યાં $F_B = \rho_w (A x) g$.
જ્યારે ચોખ્ખો પુનઃસ્થાપિત ટોર્ક શૂન્ય અથવા નકારાત્મક બને ત્યારે સંતુલન અસ્થિર હોય છે. સ્થિરતા માટેની શરત એ છે કે પુનઃસ્થાપિત ટોર્ક (ગુરુત્વાકર્ષણ) એ અસ્થિર ટોર્ક (ઉત્પ્લાવકતા) કરતા વધારે અથવા તેના જેટલો હોવો જોઈએ.
$(\rho_r A L g) \frac{L}{2} \sin \theta = (\rho_w A x g) (L - x/2) \sin \theta$
$\rho_r L^2 / 2 = \rho_w x (L - x/2)$
$\rho_w = \frac{9}{5} \rho_r$ મૂકતા:
$\rho_r L^2 / 2 = \frac{9}{5} \rho_r x (L - x/2)$
$L^2 / 2 = \frac{9}{5} (Lx - x^2/2)$
$5L^2 = 18Lx - 9x^2$
$9x^2 - 18Lx + 5L^2 = 0$
દ્વિઘાત સૂત્ર $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$x = \frac{18L \pm \sqrt{324L^2 - 180L^2}}{18} = \frac{18L \pm \sqrt{144L^2}}{18} = \frac{18L \pm 12L}{18}$
$x = \frac{30L}{18} = \frac{5}{3}L$ (શક્ય નથી કારણ કે $x < L$) અથવા $x = \frac{6L}{18} = \frac{L}{3}$.
આમ,$x = L/3$,જેનો અર્થ છે કે $L/x = 3$.

(A) નળાકારની ત્રિજ્યા $r = 4 \ cm = 0.04 \ m$ અને ઊંચાઈ $h = 10 \ cm = 0.1 \ m$ છે. આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $A = \pi r^2 = \pi (0.04)^2 = 0.0016 \pi \ m^2$ છે.
$1$. તેલ દ્વારા લાગતું બળ: તેલ નળાકારની બાજુની દીવાલો પર દબાણ કરે છે. સંમિતિને કારણે ચોખ્ખું આડું બળ શૂન્ય છે. જો કે,તેલ દ્વારા લાગતું ઊર્ધ્વ બળ એ ઉત્પ્લાવક બળ છે,જે $F_{oil} = \rho_{oil} V_{sub, oil} g$ છે. અહીં,$\rho_{oil} = 500 \ kg/m^3$ અને $V_{sub, oil} = A \times 0.04 = 0.000064 \pi \ m^3$ છે. તેથી,$F_{oil} = 500 \times 0.000064 \pi \times 10 = 0.32 \pi \ N$. તેથી,વિધાન $A$ ખોટું છે.
$2$. પાણી દ્વારા લાગતું બળ: પાણી ઉત્પ્લાવક બળ $F_{water} = \rho_{water} V_{sub, water} g$ લગાડે છે. પાણીમાં ડૂબેલી ઊંચાઈ $10 - 2 - 4 = 4 \ cm = 0.04 \ m$ છે. તેથી,$F_{water} = 1000 \times 0.000064 \pi \times 10 = 0.64 \pi \ N$. નળાકારના તળિયે દબાણ $P = (\rho_{oil} g h_{oil} + \rho_{water} g h_{water})$ છે. કુલ ઉપરની તરફનું બળ $F_{total} = P \times A = (200 + 400) \times 0.0016 \pi = 0.96 \pi \ N$ છે. વિધાન $B$ સાચું છે.

(A) વેગ હેડ $\frac{v^2}{2g}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ પ્રેશર હેડ $h = 40\, cm$ $Hg$ છે.
$Hg$ હેડને પાણીના હેડમાં રૂપાંતરિત કરતા: $h_{water} = h_{Hg} \times \frac{\rho_{Hg}}{\rho_{water}} = 40\, cm \times 13.6 = 544\, cm = 5.44\, m$.
વેગ હેડને પ્રેશર હેડ સાથે સરખાવતા: $\frac{v^2}{2g} = 5.44\, m$.
$v^2 = 2 \times 9.8 \times 5.44 = 106.624$.
$v = \sqrt{106.624} \approx 10.32\, m/s$.

(B) પરિભ્રમણ કરતા નળાકાર પાત્રમાં પ્રવાહીની ઊંચાઈનો તફાવત $h$ સૂત્ર $h = \frac{\omega^2 r^2}{2g}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,કોણીય વેગ $\omega = 2\pi f$,જ્યાં $f = 2\,rev/s$.
તેથી,$\omega = 2 \times \pi \times 2 = 4\pi\,rad/s$.
ત્રિજ્યા $r = 0.05\,m$.
$g = 10\,m/s^2$ અને $\pi^2 = 10$ નો ઉપયોગ કરતા:
$h = \frac{(4\pi)^2 \times (0.05)^2}{2 \times 10} = \frac{16 \times \pi^2 \times 0.0025}{20}$.
$\pi^2 = 10$ મૂકતા:
$h = \frac{16 \times 10 \times 0.0025}{20} = \frac{160 \times 0.0025}{20} = 8 \times 0.0025 = 0.02\,m$.
સેન્ટિમીટરમાં રૂપાંતર કરતા: $0.02\,m = 2\,cm$.

(C) લીસા ઢળતા સમતલ પર નીચે સરકતા પાત્રનો પ્રવેગ $a = g \sin \theta$ છે. અહીં $\theta = 30^o$ આપેલ છે,તેથી $a = g \sin 30^o = g/2$.
પાત્રના અજડત્વીય નિર્દેશ ફ્રેમમાં,સપાટી પરના પ્રવાહીના કણ પર ઢળતા સમતલની ઉપરની દિશામાં સ્યુડો-બળ $ma$ અને નીચેની દિશામાં ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $mg$ લાગે છે.
અસરકારક પ્રવેગ $\vec{g}_{eff} = \vec{g} - \vec{a}$ થાય.
પ્રવાહીની સપાટી સમક્ષિતિજ સાથે જે ખૂણો $\alpha$ બનાવે છે તે સૂત્ર $\tan \alpha = \frac{a \cos \theta}{g - a \sin \theta}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$a = g \sin \theta$ મૂકતા:
$\tan \alpha = \frac{(g \sin \theta) \cos \theta}{g - (g \sin \theta) \sin \theta} = \frac{g \sin \theta \cos \theta}{g(1 - \sin^2 \theta)} = \frac{\sin \theta \cos \theta}{\cos^2 \theta} = \tan \theta$.
આમ,$\alpha = \theta = 30^o$ થાય.

(D) ધારો કે તળાવની ઊંડાઈ $h$ છે. તળાવના તળિયે દબાણ $P_1 = P_{atm} + \rho gh$ છે,જ્યાં $P_{atm} = \rho g(10)$.
તેથી,$P_1 = \rho g(10 + h)$.
સપાટી પર દબાણ $P_2 = P_{atm} = \rho g(10)$ છે.
બોઈલના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$P_1 V_1 = P_2 V_2$,તાપમાન અચળ છે તેમ ધારતા.
$\rho g(10 + h) \cdot \frac{4}{3} \pi r^3 = \rho g(10) \cdot \frac{4}{3} \pi \left( \frac{5r}{4} \right)^3$.
$(10 + h) = 10 \cdot \frac{125}{64}$.
$10 + h = \frac{1250}{64} = 19.53$.
$h = 19.53 - 10 = 9.53 \ m$.
નજીકની કિંમત લેતા,ઊંડાઈ $9.5 \ m$ મળે છે.

(B) જ્યારે નાના ટીપાં જોડાઈને મોટું ટીપું બનાવે છે,ત્યારે પૃષ્ઠફળમાં થતો ફેરફાર $\Delta A = n(4\pi r^2) - 4\pi R^2$ છે. કદ અચળ હોવાથી,$n(\frac{4}{3}\pi r^3) = \frac{4}{3}\pi R^3$,તેથી $n = \frac{R^3}{r^3}$.
મુક્ત થતી ઉર્જા $\Delta E = T \times \Delta A = T(n 4\pi r^2 - 4\pi R^2) = 4\pi R^3 T (\frac{1}{r} - \frac{1}{R})$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,આ ઉર્જા મોટા ટીપાની ગતિ ઉર્જામાં રૂપાંતરિત થાય છે: $\frac{1}{2} M v^2 = \Delta E$.
અહીં,$M = \rho \times \text{કદ} = \rho (\frac{4}{3}\pi R^3)$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{1}{2} (\frac{4}{3}\pi R^3 \rho) v^2 = 4\pi R^3 T (\frac{1}{r} - \frac{1}{R})$.
સાદુરૂપ આપતા: $\frac{2}{3} \pi R^3 \rho v^2 = 4\pi R^3 T (\frac{1}{r} - \frac{1}{R})$.
$v^2 = \frac{4 \times 3}{2} \frac{T}{\rho} (\frac{1}{r} - \frac{1}{R}) = \frac{6T}{\rho} (\frac{1}{r} - \frac{1}{R})$.
આમ,$v = {\left[ {\frac{{6T}}{\rho }\left( {\frac{1}{r} - \frac{1}{R}} \right)} \right]^{\frac{1}{2}}}$.

(B) ધારો કે દળનો પ્રવાહ દર $\frac{dm}{dt} = \rho A v$ છે. જાળી પર લાગતું બળ એ પ્રવાહીના વેગમાનમાં થતા ફેરફારના દર જેટલું હોય છે.
$50\%$ પ્રવાહી જે પસાર થાય છે તેના માટે: $\Delta p = 0$,તેથી $F_1 = 0$.
$25\%$ પ્રવાહી જે તમામ વેગમાન ગુમાવે છે તેના માટે: $\Delta p = (0.25 \frac{dm}{dt})v - 0 = 0.25 \rho A v^2$.
$25\%$ પ્રવાહી જે પાછું ફેંકાય છે તેના માટે: $\Delta p = (0.25 \frac{dm}{dt})v - (0.25 \frac{dm}{dt})(-v) = 0.5 \rho A v^2$.
કુલ બળ $F = F_1 + F_2 + F_3 = 0 + 0.25 \rho A v^2 + 0.5 \rho A v^2 = 0.75 \rho A v^2 = \frac{3}{4} \rho A v^2$.
દબાણ $P = \frac{F}{A} = \frac{3}{4} \rho v^2$.

(A) પરિભ્રમણ કરતા નળાકારમાં પ્રવાહીની મુક્ત સપાટીનો આકાર પરવલયાકાર હોય છે,જે સમીકરણ $y = \frac{\omega^2 r^2}{2g}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $y$ એ કેન્દ્ર અને $r$ ત્રિજ્યા પરની દીવાલ વચ્ચેનો ઊંચાઈનો તફાવત છે.
આપેલ છે:
ત્રિજ્યા $r = 5 \, cm = 0.05 \, m$
પરિભ્રમણ આવૃત્તિ $f = 2 \, rev/s$
કોણીય વેગ $\omega = 2 \pi f = 2 \pi \times 2 = 4 \pi \, rad/s$
ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ $g \approx 10 \, m/s^2$
કિંમતો મૂકતા:
$y = \frac{(4 \pi)^2 \times (0.05)^2}{2 \times 10}$
$y = \frac{16 \times \pi^2 \times 0.0025}{20}$
$\pi^2 \approx 10$ લેતા:
$y = \frac{16 \times 10 \times 0.0025}{20} = \frac{0.4}{20} = 0.02 \, m = 2 \, cm$.

(D) ગુરુત્વાકર્ષણ દ્વારા થયેલું કાર્ય એ પ્રવાહી તંત્રની સ્થિતિ ઊર્જામાં થતા ઘટાડા જેટલું હોય છે.
પ્રારંભિક સ્થિતિ ઊર્જા $U_i = (m_1 g \frac{h_1}{2}) + (m_2 g \frac{h_2}{2}) = (A h_1 d g \frac{h_1}{2}) + (A h_2 d g \frac{h_2}{2}) = \frac{Adg}{2}(h_1^2 + h_2^2)$.
જ્યારે જોડવામાં આવે, ત્યારે બંને પાત્રોમાં અંતિમ ઊંચાઈ $h_{avg} = \frac{h_1 + h_2}{2}$ થશે.
અંતિમ સ્થિતિ ઊર્જા $U_f = 2 \times (A h_{avg} d g \frac{h_{avg}}{2}) = A d g h_{avg}^2 = Adg (\frac{h_1 + h_2}{2})^2$.
થયેલું કાર્ય $W = U_i - U_f = \frac{Adg}{2}(h_1^2 + h_2^2) - Adg \frac{(h_1 + h_2)^2}{4}$.
$W = \frac{Adg}{4} [2(h_1^2 + h_2^2) - (h_1^2 + h_2^2 + 2h_1h_2)] = \frac{Adg}{4} (h_1^2 + h_2^2 - 2h_1h_2) = \frac{1}{4} Adg (h_1 - h_2)^2$.

(A) જ્યારે પ્રવાહી ધરાવતું પાત્ર અચળ વેગથી (સીધી રેખામાં અચળ ઝડપે) ગતિ કરે છે,ત્યારે તેનો પ્રવેગ શૂન્ય $(a = 0)$ હોય છે.
પાત્રના સંદર્ભ ફ્રેમમાં,પ્રવાહી પર કોઈ આભાસી બળ (pseudo force) લાગતું નથી કારણ કે આ ફ્રેમ જડત્વીય (inertial) છે.
પ્રવાહીના કણો પર લાગતું એકમાત્ર બળ ગુરુત્વાકર્ષણ છે (જે નીચેની તરફ લાગે છે),તેથી પ્રવાહીની મુક્ત સપાટી ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે અસરકારક પ્રવેગને લંબ રહેવી જોઈએ.
તેથી,પ્રવાહીની સપાટી સમક્ષિતિજ રહે છે,જેવી રીતે તે પાત્ર સ્થિર હોય ત્યારે રહે છે.
આકૃતિ $(i)$ સમક્ષિતિજ પ્રવાહી સપાટી દર્શાવે છે,જે આ સ્થિતિ સાથે સુસંગત છે.
તેથી,વિકલ્પ $A$ સાચો છે.

(B) પ્રવાહીનું બાષ્પ દબાણ $(V.P.)$ એ એક લાક્ષણિક ગુણધર્મ છે જે ફક્ત પ્રવાહીના તાપમાન અને પ્રવાહીના સ્વભાવ પર આધાર રાખે છે.
તે બાષ્પ અવસ્થાના સંપર્કમાં રહેલા પ્રવાહીના સપાટીના ક્ષેત્રફળ અથવા સપાટી પર તરતી કોઈપણ નિષ્ક્રિય વસ્તુઓ (જેમ કે કાચની પ્લેટ) પર આધાર રાખતું નથી.
સિસ્ટમનું તાપમાન અચળ રહેતું હોવાથી,કાચની પ્લેટ હાજર હોય કે દૂર કરવામાં આવે,બાષ્પ દબાણ સમાન જ રહેશે.

(B) વિધાન $A$ સાચું છે. પ્રવાહીના ટીપાની અંદરનું વધારાનું દબાણ $P = \frac{2T}{R}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $T$ એ પૃષ્ઠતાણ છે અને $R$ એ ટીપાની ત્રિજ્યા છે. $P \propto \frac{1}{R}$ હોવાથી,વધારાનું દબાણ ત્રિજ્યાના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે. તેથી,નાના ટીપામાં મોટા ટીપા કરતા વધારે દબાણ હોય છે.
વિધાન $B$ ખોટું છે. બર્નુલીના સિદ્ધાંત મુજબ,વિમાનની પાંખનો આકાર એવી રીતે બનાવવામાં આવે છે કે હવા ઉપરની સપાટી પર નીચેની સપાટી કરતા ઝડપથી વહે છે. વધુ ઝડપને કારણે ઉપરની સપાટી પર દબાણ ઓછું અને નીચેની સપાટી પર દબાણ વધારે હોય છે,જે લિફ્ટ બળ ઉત્પન્ન કરે છે. આમ,ઉપરની સપાટી પર દબાણ ઓછું અને નીચેની સપાટી પર દબાણ વધારે હોય છે.

(B) $Assertion$ સાચું છે કારણ કે પાણીની સપાટીના પૃષ્ઠતાણ (surface tension) ને લીધે પાતળી સ્ટેનલેસ સ્ટીલની સોય સ્થિર પાણી પર તરી શકે છે.
$Reason$ પણ ભૌતિકવિજ્ઞાનમાં એક સાચું વિધાન છે,કારણ કે જ્યારે ઉત્પ્લાવક બળ પદાર્થના વજન જેટલું હોય ત્યારે પદાર્થ તરે છે (આર્કિમિડીઝનો સિદ્ધાંત).
જોકે,$Reason$ એ $Assertion$ માટે સાચી સમજૂતી નથી. સોય ઉત્પ્લાવક બળને કારણે નહીં,પરંતુ પૃષ્ઠતાણ બળને કારણે તરે છે જે સોયના વજનને સંતુલિત કરે છે.
તેથી,બંને સાચા છે,પરંતુ $Reason$ એ $Assertion$ ની સમજૂતી આપતું નથી.

(A) ઘટે છે: પ્રવાહીનું પૃષ્ઠતાણ તાપમાનના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે.
$(b)$ વધે છે; ઘટે છે: વાયુઓની સ્નિગ્ધતા તાપમાન સાથે વધે છે કારણ કે આંતર-આણ્વિય અથડામણો વધે છે,જ્યારે પ્રવાહીની સ્નિગ્ધતા તાપમાન સાથે ઘટે છે કારણ કે આંતર-આણ્વિય આકર્ષણ બળો ઘટે છે.
$(c)$ શીયર સ્ટ્રેન; શીયર સ્ટ્રેનનો દર: ઘન પદાર્થો માટે,શીયરિંગ બળ શીયર સ્ટ્રેનના સમપ્રમાણમાં હોય છે (હૂકનો નિયમ),જ્યારે પ્રવાહી માટે તે શીયર સ્ટ્રેનના દરના સમપ્રમાણમાં હોય છે (ન્યુટનનો સ્નિગ્ધતાનો નિયમ).
$(d)$ દળ સંરક્ષણ: સાંકડા માર્ગમાં વહન ઝડપમાં થતો વધારો એ સાતત્ય સમીકરણનું પરિણામ છે,જે દળ સંરક્ષણ પર આધારિત છે.
$(e)$ વધારે: વિન્ડ ટનલમાં મોડેલ માટે,લાક્ષણિક લંબાઈ ઓછી હોય છે,તેથી વાસ્તવિક પ્લેન જેટલો જ રેનોલ્ડ્સ નંબર જાળવી રાખવા માટે,વહન ઝડપ વધારે હોવી જોઈએ.

(N/A) બર્નુલીના સિદ્ધાંત મુજબ,જેમ પ્રવાહીનો વેગ વધે છે,તેમ તેનું દબાણ ઘટે છે. કાગળ પર ફૂંક મારવાથી તેની ઉપરની હવાનો વેગ વધે છે,જેનાથી નીચેની સરખામણીમાં ઉપરનું દબાણ ઘટે છે,જે કાગળને સમક્ષિતિજ રાખવા માટે ઉપરની તરફ બળ (lift) ઉત્પન્ન કરે છે.
$(b)$ સાતત્યના સમીકરણ (equation of continuity) મુજબ,$A_1v_1 = A_2v_2$ (ક્ષેત્રફળ $\times$ વેગ = અચળ). જ્યારે આપણે આપણી આંગળીઓ વડે નળને આંશિક રીતે બંધ કરીએ છીએ,ત્યારે ખુલ્લા ભાગનું ક્ષેત્રફળ ઘટે છે,જેના કારણે પાણીનો વેગ નોંધપાત્ર રીતે વધે છે,પરિણામે પાણીના ઝડપી પ્રવાહ બહાર આવે છે.
$(c)$ પ્રવાહનો દર સાતત્યના સમીકરણ દ્વારા સંચાલિત થાય છે. સિરીંજની બેરલની તુલનામાં સોયનું આડછેદનું ક્ષેત્રફળ ખૂબ જ નાનું હોય છે. સોયના વ્યાસમાં થોડો ફેરફાર પણ પ્રવાહના વેગને નોંધપાત્ર રીતે અસર કરે છે,જે તેને અંગૂઠાના દબાણ કરતા પ્રવાહના દરને નિયંત્રિત કરવામાં વધુ પ્રભાવશાળી પરિબળ બનાવે છે.
$(d)$ જેમ પ્રવાહી ઊંચા વેગ સાથે છિદ્રમાંથી બહાર નીકળે છે,તે વેગમાન (momentum) ધરાવે છે. વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,સિસ્ટમનું કુલ વેગમાન શૂન્ય રાખવા માટે,પાત્ર પર સમાન અને વિરુદ્ધ વેગમાન લાગે છે,જેના પરિણામે પાત્ર પર પાછળની તરફ ધક્કો લાગે છે.

(D) ટાંકીના પાયાનું ક્ષેત્રફળ $A = 1.0 \; m^{2}$ છે.
મિજાગરાવાળા દરવાજાનું ક્ષેત્રફળ $a = 20 \; cm^{2} = 20 \times 10^{-4} \; m^{2}$ છે.
પાણીની ઘનતા $\rho_{1} = 10^{3} \; kg/m^{3}$ છે.
એસિડની ઘનતા $\rho_{2} = 1.7 \times 10^{3} \; kg/m^{3}$ છે.
બંને પ્રવાહી સ્તંભની ઊંચાઈ $h = 4.0 \; m$ છે.
તળિયે પાણીના સ્તંભ દ્વારા લાગતું દબાણ $P_{1} = h \rho_{1} g = 4 \times 10^{3} \times 9.8 = 3.92 \times 10^{4} \; Pa$ છે.
તળિયે એસિડના સ્તંભ દ્વારા લાગતું દબાણ $P_{2} = h \rho_{2} g = 4 \times 1.7 \times 10^{3} \times 9.8 = 6.664 \times 10^{4} \; Pa$ છે.
બંને સ્તંભો વચ્ચેનો દબાણનો તફાવત $\Delta P = P_{2} - P_{1} = (6.664 - 3.92) \times 10^{4} = 2.744 \times 10^{4} \; Pa$ છે.
દરવાજાને બંધ રાખવા માટે જરૂરી બળ $F = \Delta P \times a = 2.744 \times 10^{4} \times 20 \times 10^{-4} = 54.88 \; N$ છે.

(N/A) ધારો કે $y$ ઊંચાઈએ દબાણ $P$ છે. ઊંચાઈમાં નાના ફેરફાર $dy$ માટે દબાણમાં ફેરફાર $dP = -\rho g dy$ છે.
વાતાવરણ સમતાપી હોવાથી,$PV = nRT$,જે સૂચવે છે કે $P = \frac{\rho RT}{M}$,જ્યાં $M$ એ હવાનું મોલર દળ છે.
આમ,$\rho = \frac{PM}{RT}$. આને દબાણના સમીકરણમાં મૂકતા: $dP = -\frac{PM}{RT} g dy$,અથવા $\frac{dP}{P} = -\frac{Mg}{RT} dy$.
$y=0$ (જ્યાં $P=P_{0}$) થી $y$ (જ્યાં $P=P$) સુધી સંકલન કરતા: $\ln(\frac{P}{P_{0}}) = -\frac{Mg}{RT} y$.
તેથી,$P = P_{0} e^{-y/y_{0}}$,જ્યાં $y_{0} = \frac{RT}{Mg}$. અચળ તાપમાને $\rho \propto P$ હોવાથી,$\rho = \rho_{0} e^{-y/y_{0}}$.
$(b)$ ફુગ્ગો ત્યાં સુધી ઉપર જાય છે જ્યાં સુધી તેની ઘનતા $\rho$ આસપાસની હવાની ઘનતા જેટલી ન થાય.
ફુગ્ગાની સિસ્ટમનું કુલ દળ $M_{total} = m_{payload} + m_{He} = 400 + (1425 \times 0.18) = 400 + 256.5 = 656.5 \; kg$.
ફુગ્ગાની ઘનતા $\rho = \frac{M_{total}}{V} = \frac{656.5}{1425} \approx 0.4607 \; kg \, m^{-3}$.
વાતાવરણના નિયમનો ઉપયોગ કરતા: $\rho = \rho_{0} e^{-y/y_{0}} \implies 0.4607 = 1.25 e^{-y/8000}$.
$\ln(\frac{0.4607}{1.25}) = -\frac{y}{8000} \implies \ln(0.36856) = -\frac{y}{8000}$.
$-0.998 \approx -\frac{y}{8000} \implies y \approx 8000 \; m = 8 \; km$.

(N/A) પ્રવાહી અને વાયુ બંનેને તરલ તરીકે વર્ગીકૃત કરવામાં આવે છે. તેમની વચ્ચેના મૂળભૂત તફાવતો નીચે મુજબ છે:
$1$. પ્રવાહી સામાન્ય રીતે અદબનીય (incompressible) માનવામાં આવે છે,જ્યારે વાયુઓ અત્યંત દબનીય (compressible) હોય છે.
$2$. પ્રવાહીનું કદ નિશ્ચિત હોય છે અને તેની મુક્ત સપાટી હોય છે,જ્યારે વાયુ તેના પાત્રનું સંપૂર્ણ કદ રોકે છે અને તેને કોઈ મુક્ત સપાટી હોતી નથી.
તેમની વચ્ચેનો સમાન ગુણધર્મ એ છે કે બંને સરળતાથી વહી શકે છે અને શીયર સ્ટ્રેસ (shear stress) સામે ખૂબ જ ઓછો અવરોધ આપે છે.

(N/A) $(1)$ ફ્લુઇડ સ્ટેટિક્સ (Fluid Statics): પ્રવાહી મિકેનિક્સની આ શાખામાં,સ્થિર પ્રવાહી પર લાગતા બળો અને દબાણનો અભ્યાસ કરવામાં આવે છે.
$(2)$ ફ્લુઇડ ડાયનેમિક્સ (Fluid Dynamics): પ્રવાહી મિકેનિક્સની આ શાખામાં,પ્રવાહી પર લાગતા બળોના પરિણામે પ્રવાહીની ગતિ અને તેને સંબંધિત ગુણધર્મોનો અભ્યાસ કરવામાં આવે છે.

(N/A) પ્રવાહી મિકેનિક્સ એ ભૌતિકવિજ્ઞાનની એક શાખા છે જે સ્થિર અને ગતિશીલ પ્રવાહી (પ્રવાહી અને વાયુઓ) ના વર્તન સાથે સંબંધિત છે. તેને મુખ્યત્વે બે શાખાઓમાં વહેંચવામાં આવે છે:
$1$. પ્રવાહી સ્થિતિસ્થાપકતા (Fluid Statics): આ સ્થિર પ્રવાહીનો અભ્યાસ છે. તે સંતુલનમાં રહેલા પ્રવાહીના ગુણધર્મો પર ધ્યાન કેન્દ્રિત કરે છે,જેમ કે દબાણનું વિતરણ અને ઉત્પ્લાવકતા,જ્યાં પ્રવાહીના કણો વચ્ચે કોઈ સાપેક્ષ ગતિ હોતી નથી.
$2$. પ્રવાહી ગતિશાસ્ત્ર (Fluid Dynamics): આ ગતિશીલ પ્રવાહીનો અભ્યાસ છે. તે પ્રવાહી પર કાર્ય કરતા બળો અને તેના પરિણામે ઉદ્ભવતા પ્રવાહની પેટર્ન સાથે સંબંધિત છે,જેમાં સ્નિગ્ધતા (viscosity),અશાંત પ્રવાહ (turbulence) અને બર્નુલીના સિદ્ધાંત જેવા ખ્યાલોનો સમાવેશ થાય છે.

(N/A) ડાયનેમિક લિફ્ટ એ એક એવું બળ છે જે હવાઈ જહાજની પાંખ,હાઈડ્રોફોઈલ અથવા ફરતા દડા જેવા પદાર્થ પર પ્રવાહીમાં તેની ગતિને કારણે લાગે છે.
જ્યારે કોઈ પદાર્થ પ્રવાહી (જેમ કે હવા અથવા પાણી) માંથી પસાર થાય છે,ત્યારે તેના આકાર,અભિગમ અથવા પરિભ્રમણ (મેગ્નસ અસર) ને કારણે દબાણનો તફાવત સર્જાય છે,જેના પરિણામે આ બળ ઉદ્ભવે છે.
ક્રિકેટ,ટેનિસ,બેઝબોલ અથવા ગોલ્ફ જેવી ઘણી રમતોમાં,જ્યારે ફરતો દડો તેની અપેક્ષિત પરવલયાકાર ગતિપથથી વિચલિત થાય છે,ત્યારે તે તેના પરિભ્રમણ અને આસપાસની હવા વચ્ચેની આંતરક્રિયાને કારણે ડાયનેમિક લિફ્ટનું ઉદાહરણ છે.

(B) બરફ પર સ્કેટિંગ 'રીજેલેશન' (Regelation) ની ઘટનાને કારણે શક્ય છે.
જ્યારે કોઈ સ્કેટર બરફ પર ઉભો રહે છે,ત્યારે બ્લેડના નાના સપાટી વિસ્તારને કારણે બરફની સપાટી પર સ્કેટ દ્વારા લાગતું દબાણ ખૂબ વધારે હોય છે.
પાણીના ફેઝ ડાયાગ્રામ મુજબ,દબાણમાં વધારો થવાથી બરફનું ગલનબિંદુ ઘટે છે.
પરિણામે,સ્કેટ બ્લેડની નીચેનો બરફ ઓગળીને પાણીના પાતળા સ્તરમાં ફેરવાય છે,જે લુબ્રિકન્ટ તરીકે કામ કરે છે.
આનાથી ઘર્ષણ નોંધપાત્ર રીતે ઘટે છે,જેનાથી સ્કેટર સપાટી પર સરળતાથી સરકી શકે છે.
એકવાર દબાણ દૂર થઈ જાય પછી,પાણી ફરીથી બરફમાં ફેરવાઈ જાય છે.

(B) પ્રવાહી વહી શકે છે કારણ કે તેમના અણુઓ વચ્ચેના આંતરઆણ્વિય બળો ઘન પદાર્થોની તુલનામાં નબળા હોય છે.
આનાથી અણુઓ એકબીજા પર સરકી શકે છે,જે પ્રવાહીતાનો ગુણધર્મ આપે છે.
ઘન પદાર્થોથી વિપરીત,જ્યાં અણુઓ નિશ્ચિત સ્થિતિમાં જકડાયેલા હોય છે,પ્રવાહીના અણુઓ પાસે નબળા આકર્ષણ બળોને દૂર કરવા માટે પૂરતી ગતિ ઊર્જા હોય છે,જે તેમને પાત્રનો આકાર ધારણ કરવામાં સક્ષમ બનાવે છે.

(N/A) ટર્બ્યુલન્સ ગતિ ઊર્જાનો વ્યય કરે છે,જે સામાન્ય રીતે ઉષ્મા સ્વરૂપે હોય છે.
રેસિંગ કાર અને વિમાનોને ટર્બ્યુલન્સ ઘટાડવા માટે ચોકસાઈપૂર્વક એન્જિનિયર કરવામાં આવે છે.
બીજી તરફ,ટર્બ્યુલન્સ ક્યારેક ઇચ્છનીય પણ હોય છે. ટર્બ્યુલન્સ મિશ્રણને પ્રોત્સાહન આપે છે અને દળ,વેગમાન અને ઊર્જાના સ્થાનાંતરના દરમાં વધારો કરે છે.
રસોડાના મિક્સરના બ્લેડ ટર્બ્યુલન્ટ પ્રવાહ ઉત્પન્ન કરે છે,જે ઘટ્ટ મિલ્કશેક તૈયાર કરવામાં અને ઇંડાને એકસમાન ટેક્સચરમાં ફેંટવામાં મદદ કરે છે.

(N/A) ટર્બ્યુલન્સ એ પ્રવાહીની જટિલ ગતિ છે જે દબાણ અને પ્રવાહના વેગમાં અસ્તવ્યસ્ત ફેરફારો દ્વારા વર્ગીકૃત થયેલ છે. એન્જિનિયરિંગમાં ડ્રેગ વધવાને કારણે તેને ઘણીવાર મુશ્કેલી માનવામાં આવે છે,પરંતુ તેના કેટલાક વ્યવહારુ ઉપયોગો છે:
$1$. મિશ્રણ: ટર્બ્યુલન્સ પ્રવાહીને મિશ્રિત કરવામાં ખૂબ જ અસરકારક છે,જેમ કે રાસાયણિક રિએક્ટરમાં અથવા વાતાવરણમાં,જ્યાં તે પ્રદૂષકોને ફેલાવવામાં મદદ કરે છે.
$2$. ઉષ્મા સ્થાનાંતરણ: ટર્બ્યુલન્ટ પ્રવાહ પ્રવાહી અને ઘન સપાટી વચ્ચે ઉષ્મા સ્થાનાંતરણના દરમાં નોંધપાત્ર વધારો કરે છે,જે હીટ એક્સચેન્જર્સ,રેડિએટર્સ અને કૂલિંગ સિસ્ટમ્સમાં આવશ્યક છે.
$3$. દહન: આંતરિક દહન એન્જિન અને ગેસ ટર્બાઇનમાં,ટર્બ્યુલન્સનો ઉપયોગ બળતણ અને હવાને ઝડપથી મિશ્રિત કરવા માટે થાય છે,જે કાર્યક્ષમ અને સંપૂર્ણ દહનની ખાતરી આપે છે.
$4$. એરોડાયનેમિક્સ: કેટલાક કિસ્સાઓમાં,જેમ કે ગોલ્ફ બોલની સપાટી પર,નિયંત્રિત ટર્બ્યુલન્સ (ડિમ્પલ્સ દ્વારા) નો ઉપયોગ પ્રવાહના વિભાજનમાં વિલંબ કરીને ડ્રેગ ઘટાડવા માટે થાય છે.

(D) $(i)$ જ્યારે સસંજન બળ $ > $ આસંજન બળ હોય, ત્યારે પ્રવાહી સપાટીને ભીંજવતું નથી. સંપર્કકોણ ગુરુકોણ $( > 90^{\circ})$ હોય છે અને મેનિસ્કસ બહિર્ગોળ હોય છે.
$(ii)$ જ્યારે સસંજન બળ $ < $ આસંજન બળ હોય, ત્યારે પ્રવાહી સપાટીને ભીંજવે છે. સંપર્કકોણ લઘુકોણ $( < 90^{\circ})$ હોય છે અને મેનિસ્કસ અંતર્ગોળ હોય છે.
$(iii)$ પૃષ્ઠતાણને કારણે, અંતર્ગોળ બાજુ પરનું દબાણ હંમેશા બહિર્ગોળ બાજુ પરના દબાણ કરતા વધારે હોય છે. તેથી, પ્રવાહીની અંતર્ગોળ સપાટી પર મોટું દબાણ લાગે છે.

(N/A) ભ્રમણ કરતો નળાકાર તેના પરિભ્રમણની ધરીની દિશામાં સીધા માર્ગે ગતિ કરે છે. આ સંમિતિને કારણે,મેગ્નસ અસર (જે પ્રવાહીમાં ગતિ કરતા ફરતા પદાર્થ પર પાર્શ્વીય બળ લગાડે છે) અસરકારક રીતે તટસ્થ અથવા સંતુલિત થઈ જાય છે,જે ગોળીને તેના નિર્ધારિત માર્ગથી વિચલિત થતી અટકાવે છે. આ કારણોસર,બંદૂકની ગોળીઓ નળાકાર આકારની બનાવવામાં આવે છે.

(A) $(i)$ ખોટું. અદબનીય પ્રવાહમાં,પ્રવાહીની ઘનતા $\rho$ સમગ્ર પ્રવાહ દરમિયાન અચળ રહે છે.
$(ii)$ ખોટું. બિન-સ્નિગ્ધ પ્રવાહી માટે સ્નિગ્ધતાનો ગુણાંક $\eta = 0$ હોય છે. રેનોલ્ડ્સ નંબરના સૂત્ર $R_{e} = \frac{\rho v D}{\eta}$ પરથી,જેમ $\eta \to 0$ થાય,તેમ $R_{e} \to \infty$ થાય છે. આવો પ્રવાહ સામાન્ય રીતે અશાંત (turbulent) હોય છે અને તે રેખીય પ્રવાહ હોઈ શકે નહીં.
$(iii)$ સાચું. વ્યાખ્યા મુજબ,સ્થાયી પ્રવાહમાં,અવકાશના કોઈપણ આપેલા બિંદુએ પ્રવાહીના કણોનો વેગ સમય સાથે બદલાતો નથી.

(N/A) $(i)$ સાચું. બર્નુલીનું સમીકરણ કાર્ય-ઉર્જા પ્રમેય પરથી તારવવામાં આવે છે,જે અદબનીય,અસ્નિગ્ધ અને સ્થાયી પ્રવાહ માટે ઉર્જા સંરક્ષણ દર્શાવે છે.
$(ii)$ ખોટું. રેઈનકોટ હાઈડ્રોફોબિક પદાર્થોમાંથી બનાવવામાં આવે છે જેથી તે પાણીને દૂર રાખે. પાણી અને હાઈડ્રોફોબિક સપાટી વચ્ચેનો સંપર્કકોણ ગુરુકોણ ($90^{\circ}$ થી વધુ) હોય છે,જે પાણીને કાપડને ભીંજવતા અટકાવે છે.
$(iii)$ ખોટું. સ્નિગ્ધતા એ વાસ્તવમાં અલગ-અલગ વેગથી ગતિ કરતા પ્રવાહીના નજીકના સ્તરો વચ્ચેના આંતરિક ઘર્ષણ અથવા પ્રવાહ સામેના અવરોધનું માપ છે. આંતરિક ઘર્ષણની હાજરી,તેની ગેરહાજરી નહીં,તે સ્નિગ્ધતાને વ્યાખ્યાયિત કરે છે.

(N/A) $(i)$ ખોટું. જો પદાર્થનું વજન ઉત્પ્લાવક બળ કરતા વધારે હોય,તો પદાર્થ પ્રવાહીમાં ડૂબી જશે.
$(ii)$ સાચું. પાણીની સ્નિગ્ધતા (viscosity) અને નદીના તળિયા વચ્ચેના ઘર્ષણને કારણે,પાણીનો વેગ તળિયે સૌથી ઓછો અને સપાટીની નજીક સૌથી વધુ હોય છે.
$(iii)$ ખોટું. સામાન્ય રીતે પ્રવાહીનું તાપમાન વધતા સંપર્કકોણ ઘટે છે,કારણ કે તાપમાન વધવાથી પ્રવાહીનું પૃષ્ઠતાણ (surface tension) ઘટે છે.

(N/A) $(i)$ સ્થાયી (steady) પ્રવાહમાં,કણનો માર્ગ (પ્રવાહ રેખા) અને સ્ટ્રીમલાઇન એકબીજા સાથે સંપાત થાય છે.
$(ii)$ ટોરિસેલીના નિયમ મુજબ,બહાર આવતા પાણીનો વેગ $v = \sqrt{2gh}$ છે,જ્યાં $g$ એ ગુરુત્વપ્રવેગ છે.
$(iii)$ કારણ કે $1 \ Pa = 1 \ N/m^{2} = 10^{5} \ dyne / 10^{4} \ cm^{2} = 10 \ dyne/cm^{2}$.
$(iv)$ વેગ પ્રચલન $= \frac{dv}{dx} = \frac{6 \ cm/s}{0.1 \ mm} = \frac{6 \ cm/s}{0.01 \ cm} = 600 \ s^{-1}$.

(A) $(i)$ ક્રાંતિક તાપમાને,પ્રવાહી અને બાષ્પ વચ્ચેનું અંતર અદ્રશ્ય થઈ જાય છે,તેથી પૃષ્ઠતાણ $0$ હોય છે.
$(ii)$ બર્નુલીનું સમીકરણ કાર્ય-ઉર્જા પ્રમેય પરથી મેળવવામાં આવે છે,જે ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ પર આધારિત છે.
$(iii)$ જ્યારે મોટું ટીપું નાના ટીપાંમાં વિભાજિત થાય છે,ત્યારે કુલ પૃષ્ઠફળ વધે છે. પૃષ્ઠ ઉર્જા એ પૃષ્ઠફળના સમપ્રમાણમાં હોવાથી $(U = T \cdot A)$,ઉર્જાનું શોષણ થાય છે.
$(iv)$ બર્નુલીના સિદ્ધાંત મુજબ,છત પરથી ફૂંકાતા તેજ પવનને કારણે ત્યાં દબાણ ઘટે છે,પરિણામે ઉપરની તરફ ઉર્ધ્વગામી બળ લાગે છે.

(A) વાતાવરણમાં નીચે પડતા વરસાદના ટીપાં ટર્મિનલ વેગ પ્રાપ્ત કરે છે કારણ કે હવાનું સ્નિગ્ધ ઘર્ષણ બળ ગુરુત્વાકર્ષણ બળને સંતુલિત કરે છે. આ સ્નિગ્ધતાના ગુણધર્મને કારણે છે. તેથી,$(a-ii)$.
$(b)$ વાદળો ઊંચાઈ પર તરે છે કારણ કે તેમની ઘનતા આસપાસની હવા કરતા ઓછી હોય છે,જેના કારણે તેઓ ઉત્પ્લાવકતાને લીધે હવામાં ટકી રહે છે. તેથી,$(b-iii)$.
તેથી,સાચી જોડ $(a-ii), (b-iii)$ છે.

(A) પરિભ્રમણ કરતા પ્રવાહીની સપાટી $z = \frac{\omega^2 r^2}{2g}$ સમીકરણ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત પેરાબોલોઇડનો આકાર લે છે.
અહીં,પાત્રનો વ્યાસ $10 \, cm$ છે,તેથી ત્રિજ્યા $R = 5 \, cm$ છે.
કેન્દ્ર $(r=0)$ અને બાજુ $(r=R)$ વચ્ચેની ઊંચાઈનો તફાવત $h$ નીચે મુજબ છે:
$h = \frac{\omega^2 R^2}{2g}$
$R = 5 \, cm$ મૂકતા:
$h = \frac{\omega^2 (5)^2}{2g} = \frac{25 \omega^2}{2g}$.

(C) તંત્રની પ્રારંભિક સ્થિતિઊર્જા બંને પાત્રોમાં રહેલા પ્રવાહીની સ્થિતિઊર્જાના સરવાળા દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$U_{i} = (dSx_{1})g \cdot \frac{x_{1}}{2} + (dSx_{2})g \cdot \frac{x_{2}}{2} = \frac{dSg}{2}(x_{1}^{2} + x_{2}^{2})$
કદ સંરક્ષણના સિદ્ધાંત મુજબ,પ્રવાહીનું કુલ કદ અચળ રહે છે:
$Sx_{1} + Sx_{2} = S(x_{f} + x_{f}) = 2Sx_{f}$
$x_{f} = \frac{x_{1} + x_{2}}{2}$
તંત્રની અંતિમ સ્થિતિઊર્જા:
$U_{f} = 2 \times (dSx_{f})g \cdot \frac{x_{f}}{2} = dSgx_{f}^{2} = dSg \left( \frac{x_{1} + x_{2}}{2} \right)^{2}$
સ્થિતિઊર્જામાં થતો ફેરફાર $\Delta U = U_{f} - U_{i}$ છે:
$\Delta U = dSg \left[ \left( \frac{x_{1} + x_{2}}{2} \right)^{2} - \frac{x_{1}^{2} + x_{2}^{2}}{2} \right]$
$\Delta U = dSg \left[ \frac{x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + 2x_{1}x_{2}}{4} - \frac{2x_{1}^{2} + 2x_{2}^{2}}{4} \right]$
$\Delta U = dSg \left[ \frac{2x_{1}x_{2} - x_{1}^{2} - x_{2}^{2}}{4} \right] = -\frac{dSg}{4}(x_{1} - x_{2})^{2}$
ઊર્જામાં થતા ફેરફારનું મૂલ્ય $\frac{1}{4} gdS(x_{2} - x_{1})^{2}$ છે.

(B) પ્રારંભિક ઊંચાઈઓ $h_{1} = 1.0\,m$ અને $h_{2} = 1.5\,m$ છે. આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $A = 16\,cm^{2} = 16 \times 10^{-4}\,m^{2}$ છે.
જ્યારે તેમને જોડવામાં આવે છે,ત્યારે બંને પાત્રોમાં અંતિમ ઊંચાઈ $h$ એ પ્રારંભિક ઊંચાઈઓની સરેરાશ હશે: $h = \frac{h_{1} + h_{2}}{2} = \frac{1.0 + 1.5}{2} = 1.25\,m$.
ગુરુત્વાકર્ષણ દ્વારા થયેલું કાર્ય એ સ્થિતિ ઊર્જામાં થતા ઘટાડા જેટલું હોય છે: $W = U_{i} - U_{f}$.
પ્રારંભિક સ્થિતિ ઊર્જા $U_{i} = (m_{1}g \frac{h_{1}}{2}) + (m_{2}g \frac{h_{2}}{2}) = \rho A h_{1} g \frac{h_{1}}{2} + \rho A h_{2} g \frac{h_{2}}{2} = \frac{\rho A g}{2} (h_{1}^{2} + h_{2}^{2})$.
અંતિમ સ્થિતિ ઊર્જા $U_{f} = (m_{1}+m_{2})g \frac{h}{2} = (2 \rho A h) g \frac{h}{2} = \rho A g h^{2} = \rho A g (\frac{h_{1}+h_{2}}{2})^{2}$.
$W = \frac{\rho A g}{2} [h_{1}^{2} + h_{2}^{2} - 2(\frac{h_{1}+h_{2}}{2})^{2}] = \frac{\rho A g}{4} [2h_{1}^{2} + 2h_{2}^{2} - (h_{1}+h_{2})^{2}] = \frac{\rho A g}{4} (h_{1}-h_{2})^{2}$.
કિંમતો મૂકતા: $W = \frac{10^{3} \times 16 \times 10^{-4} \times 10}{4} (1.5 - 1.0)^{2} = \frac{16}{4} (0.5)^{2} = 4 \times 0.25 = 1\,J$.

(B) ધારો કે $R$ ત્રિજ્યાનો પરપોટો એવી રીતે વિસ્તરે છે કે તેની સપાટી $v$ ઝડપે ગતિ કરે છે. પાણીમાં $x$ ત્રિજ્યા $(x \ge R)$ અને $dx$ જાડાઈ ધરાવતા ગોળાકાર કવચનો વિચાર કરો.
પાણી અદબનીય હોવાથી,કોઈપણ ગોળાકાર સપાટીમાંથી પસાર થતો કદનો પ્રવાહ દર અચળ હોવો જોઈએ.
પરપોટાની સપાટી પર (ત્રિજ્યા $R$),પ્રવાહ દર $4 \pi R^{2} v$ છે.
કેન્દ્રથી $x$ અંતરે,પ્રવાહ દર $4 \pi x^{2} v_{x}$ છે,જ્યાં $v_{x}$ એ $x$ અંતરે પાણીનો વેગ છે.
આ બંનેને સરખાવતા,$4 \pi x^{2} v_{x} = 4 \pi R^{2} v$,જે આપણને $v_{x} = \frac{R^{2} v}{x^{2}}$ આપે છે.
$dx$ જાડાઈના ગોળાકાર કવચનું દળ $dm = \rho (4 \pi x^{2} dx)$ છે.
આ કવચની ગતિઊર્જા $dK = \frac{1}{2} dm v_{x}^{2} = \frac{1}{2} (4 \pi x^{2} \rho dx) \left( \frac{R^{2} v}{x^{2}} \right)^{2}$ છે.
સાદું રૂપ આપતા,$dK = 2 \pi \rho R^{4} v^{2} \frac{dx}{x^{2}}$.
કુલ ગતિઊર્જા $K$ એ $x = R$ થી $x = \infty$ સુધીનું સંકલન છે:
$K = \int_{R}^{\infty} 2 \pi \rho R^{4} v^{2} \frac{dx}{x^{2}} = 2 \pi \rho R^{4} v^{2} \left[ -\frac{1}{x} \right]_{R}^{\infty} = 2 \pi \rho R^{4} v^{2} \left( 0 - (-\frac{1}{R}) \right) = 2 \pi \rho R^{3} v^{2}$.

(A) સાચો જવાબ $A$ છે.
જ્યારે આપણે બરફ પર દબાણ આપીએ છીએ,ત્યારે ઘન બરફ પ્રવાહીમાં ઓગળી જાય છે કારણ કે દબાણ વધવાથી બરફનું ગલનબિંદુ ઘટે છે. આ ઘટના પાણીના અસામાન્ય વર્તનને કારણે થાય છે,જેમાં પાણી તેના ઘન સ્વરૂપ (બરફ) માં પ્રવાહી સ્વરૂપ કરતા ઓછી ઘનતા ધરાવે છે.
કારણ કે પ્રવાહી પાણી સમાન દળના બરફ કરતા ઓછી જગ્યા રોકે છે,દબાણ આપવાથી સંતુલન પ્રવાહી અવસ્થા તરફ ખસે છે. જ્યારે આપણે દબાણ છોડીએ છીએ,ત્યારે ઓગળેલું પાણી ફરીથી થીજી જાય છે,જે બરફના સ્ફટિકોને એકસાથે જોડીને દડો બનાવે છે.

(B) સંતુલન માટે,લિફ્ટ બળ એ વિમાનના વજન જેટલું હોવું જોઈએ:
$mg = \frac{1}{2} \rho v^2 A$
આપેલ છે:
$m = 7500 \, kg$
$v = 8 \, km/s = 8000 \, m/s$
$A = 30 \, m^2$
$\rho(h) = 1.2 e^{-h/10} \, kg/m^3$ (જ્યાં $h$ એ $km$ માં છે)
$g \approx 9.8 \, m/s^2$
સંતુલન સમીકરણમાં કિંમતો મૂકતા:
$7500 \times 9.8 = \frac{1}{2} \times (1.2 e^{-h/10}) \times (8000)^2 \times 30$
$73500 = 0.6 \times e^{-h/10} \times 64 \times 10^6 \times 30$
$73500 = 1152 \times 10^6 \times e^{-h/10}$
$e^{-h/10} = \frac{73500}{1152 \times 10^6} \approx 6.38 \times 10^{-5}$
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા:
$-h/10 = \ln(6.38 \times 10^{-5})$
$-h/10 \approx -9.66$
$h \approx 96.6 \, km$
આ કિંમત $75-100 \, km$ ની રેન્જમાં આવે છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $(B)$ છે.

(D) સાચો જવાબ $D$ છે.
આદર્શ પ્રવાહી નીચેના ગુણધર્મો દ્વારા વ્યાખ્યાયિત થાય છે:
$1$. તે અસ્નિગ્ધ (non-viscous) છે (એટલે કે,તેની સ્નિગ્ધતા શૂન્ય છે).
$2$. તે અદબનીય (incompressible) છે (એટલે કે,તેની ઘનતા અચળ રહે છે).
$3$. તેનો પ્રવાહ સ્થાયી (ધારારેખી) છે.
$4$. તેનો પ્રવાહ અપરિભ્રમણીય છે.
આદર્શ પ્રવાહી અસ્નિગ્ધ હોવાથી,તે સ્નિગ્ધ છે તેવું વિધાન ખોટું છે.

(D) ધારો કે તળિયે હવાના પરપોટાની પ્રારંભિક ત્રિજ્યા $r_1 = r$ છે.
સપાટી પર અંતિમ ત્રિજ્યા $r_2 = r + 200\% \text{ of } r = r + 2r = 3r$ છે.
ધારો કે તળાવની ઊંડાઈ $h$ છે. વાતાવરણીય દબાણ $P_{atm} = \rho g H$ આપેલું છે.
તળાવના તળિયે દબાણ $P_1 = P_{atm} + \rho g h = \rho g H + \rho g h = \rho g(H + h)$ છે.
સપાટી પર દબાણ $P_2 = P_{atm} = \rho g H$ છે.
તાપમાન અચળ રહે છે તેમ ધારીને,આપણે બોઈલના નિયમનો ઉપયોગ કરીએ છીએ: $P_1 V_1 = P_2 V_2$.
ગોળાનું કદ $V = \frac{4}{3} \pi r^3$ હોવાથી,આપણને મળે છે:
$\rho g(H + h) \times \frac{4}{3} \pi r^3 = \rho g H \times \frac{4}{3} \pi (3r)^3$
$(H + h) r^3 = H \times 27r^3$
$H + h = 27H$
$h = 26H$.
આમ,તળાવની ઊંડાઈ $26H$ છે.

(D) જ્યારે પ્રવાહી ધરાવતું પાત્ર $a$ પ્રવેગ સાથે સમક્ષિતિજ દિશામાં ગતિ કરે છે,ત્યારે પ્રવાહીની મુક્ત સપાટી સમક્ષિતિજ સાથે $\theta$ ખૂણે નમે છે.
પ્રવાહીના કણ પર લાગતો અસરકારક પ્રવેગ એ ગુરુત્વપ્રવેગ $g$ (નીચેની તરફ) અને સ્યુડો-પ્રવેગ $a$ (પાત્રના સંદર્ભમાં પાછળની તરફ) નો સદિશ સરવાળો છે.
મુક્ત સપાટી સમક્ષિતિજ સાથે જે ખૂણો $\theta$ બનાવે છે તે નીચે મુજબ છે:
$\tan \theta = \frac{a}{g}$
આપેલ છે:
$a = 19.6 \, m/s^2$
$g = 9.8 \, m/s^2$
કિંમતો મૂકતા:
$\tan \theta = \frac{19.6}{9.8} = 2$
આને $\sin \theta$ ના સ્વરૂપમાં દર્શાવવા માટે,આપણે ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\sin \theta = \frac{\tan \theta}{\sqrt{1 + \tan^2 \theta}}$ નો ઉપયોગ કરીએ છીએ:
$\sin \theta = \frac{2}{\sqrt{1 + 2^2}} = \frac{2}{\sqrt{1 + 4}} = \frac{2}{\sqrt{5}}$
તેથી,$\theta = \sin^{-1}\left[\frac{2}{\sqrt{5}}\right]$.

(D) બોઈલના નિયમ મુજબ, અચળ તાપમાને, દબાણ અને કદનો ગુણાકાર અચળ રહે છે $(PV = \text{constant})$।
$h$ ઊંડાઈએ, પરપોટા પરનું કુલ દબાણ $P_1 = P + \rho g h$ છે અને તેનું કદ $V_1 = V_0$ છે।
સપાટી પર, દબાણ $P_2 = P$ છે, અને ધારો કે કદ $V_2$ છે।
સમીકરણ $P_1 V_1 = P_2 V_2$ લાગુ પાડતા:
$(P + \rho g h) V_0 = P V_2$
$V_2 = V_0 \frac{P + \rho g h}{P}$
$V_2 = V_0 (1 + \frac{\rho g h}{P})$।

(A) આપેલ છે:
પ્રારંભિક કદ $V_1 = 1\,cm^3$
ઊંડાઈ $h = 40\,m$
વાતાવરણીય દબાણ $P_0 = 1 \times 10^5\,Pa$
પાણીની ઘનતા $\rho = 1000\,kg/m^3$
ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ $g = 10\,m/s^2$
તાપમાન અચળ છે.
તળાવના તળિયે દબાણ નીચે મુજબ મળે છે:
$P_1 = P_0 + \rho gh$
$P_1 = 1 \times 10^5 + (1000 \times 10 \times 40) = 1 \times 10^5 + 4 \times 10^5 = 5 \times 10^5\,Pa$
તાપમાન અચળ હોવાથી,આપણે બોઈલના નિયમનો ઉપયોગ કરીએ છીએ:
$P_1 V_1 = P_0 V_2$
$5 \times 10^5 \times 1 = 1 \times 10^5 \times V_2$
$V_2 = 5\,cm^3$
તેથી,જ્યારે હવાના પરપોટો સપાટી પર પહોંચે છે ત્યારે તેનું કદ $5\,cm^3$ હશે.