Dynamics of circular Motion (Centrifugal force) and Pendulum and Motion on Curved path Questions in Hindi

(D) जब एक साइकिल सवार मोड़ लेता है,तो उसे संतुलन बनाए रखने के लिए अपने ऊपर कार्य करने वाले अपकेंद्री बल (centrifugal force) का प्रतिकार करने के लिए अंदर की ओर झुकना पड़ता है। कार में,वाहन का ढांचा और टायरों तथा सड़क के बीच का घर्षण कार के लिए आवश्यक अभिकेंद्री बल प्रदान करता है। हालाँकि,कार के अंदर बैठा यात्री वाहन के ढांचे से इस तरह से नहीं जुड़ा होता है कि वह उसके जड़त्व (inertia) को रोक सके। जैसे ही कार मुड़ती है,यात्री जड़त्व के कारण सीधी रेखा में चलना जारी रखना चाहता है,जिसे कार के फ्रेम के सापेक्ष बाहर की ओर फेंके जाने के रूप में महसूस किया जाता है। इस प्रकार,साइकिल सवार सक्रिय रूप से अपकेंद्री बल को संतुलित करता है,जबकि कार का यात्री इसे एक सापेक्ष विस्थापन के रूप में अनुभव करता है।

(A) जब एक ट्रेन घुमावदार ट्रैक पर चलती है,तो वह एक वृत्ताकार पथ का अनुसरण करती है।
किसी भी वृत्ताकार पथ के लिए,बाहरी पटरी आंतरिक पटरी की तुलना में वक्रता के केंद्र से अधिक दूरी पर होती है।
मान लीजिए $R_o$ बाहरी पटरी की त्रिज्या है और $R_i$ आंतरिक पटरी की त्रिज्या है।
चूंकि बाहरी पटरी मोड़ के केंद्र से अधिक दूर है,इसलिए $R_o > R_i$ होता है।
अतः,बाहरी पटरी की वक्रता त्रिज्या आंतरिक पटरी की वक्रता त्रिज्या से अधिक होती है।

(D) डोरी में अधिकतम तनाव $T_{max}$ वृत्तीय गति के लिए आवश्यक अभिकेंद्र बल द्वारा प्रदान किया जाता है।
$T_{max} = m \omega^2 r$
दिया गया है:
द्रव्यमान $m = 100\, g = 0.1\, kg$
त्रिज्या $r = 2\, m$
आवृत्ति $n = 200\, \text{rev/min} = \frac{200}{60}\, \text{rev/s} = \frac{10}{3}\, \text{Hz}$
कोणीय वेग $\omega = 2\pi n = 2\pi \times \frac{10}{3} = \frac{20\pi}{3}\, \text{rad/s}$
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$T_{max} = 0.1 \times \left(\frac{20\pi}{3}\right)^2 \times 2$
$T_{max} = 0.1 \times \frac{400\pi^2}{9} \times 2$
$T_{max} = \frac{80\pi^2}{9} \approx 87.64\, N$
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(B) वृत्ताकार कक्षा में गति करने वाले कण के लिए,अभिकेंद्र बल केंद्रीय आकर्षण बल द्वारा प्रदान किया जाता है।
दिया गया है कि बल $F \propto 1/r$,जिसे हम $F = K/r$ लिख सकते हैं,जहाँ $K$ एक नियतांक है।
वृत्तीय गति के लिए आवश्यक अभिकेंद्र बल $F = \frac{mv^2}{r}$ द्वारा दिया जाता है।
दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर: $\frac{mv^2}{r} = \frac{K}{r}$.
दोनों पक्षों से $r$ को हटाने पर,हमें $mv^2 = K$ प्राप्त होता है।
चूँकि $m$ और $K$ नियतांक हैं,इसलिए $v^2$ स्थिर होना चाहिए,जिसका अर्थ है कि $v$ स्थिर है।
अतः,कण की चाल $r$ से स्वतंत्र है।

(B) मान लीजिए कि घूर्णन अक्ष से द्रव्यमान $M$ की दूरी $x$ है। तो अक्ष से द्रव्यमान $m$ की दूरी $(l - x)$ होगी।
चूंकि दोनों द्रव्यमान समान कोणीय वेग $\omega$ के साथ एक क्षैतिज वृत्त में घूम रहे हैं,इसलिए प्रत्येक द्रव्यमान के लिए आवश्यक अभिकेंद्र बल संबंधित धागों में तनाव $T$ द्वारा प्रदान किया जाता है।
द्रव्यमान $M$ के लिए: $T = M\omega^2x$
द्रव्यमान $m$ के लिए: $T = m\omega^2(l - x)$
यह दिया गया है कि तनाव समान हैं,इसलिए हम दोनों व्यंजकों को बराबर करते हैं:
$M\omega^2x = m\omega^2(l - x)$
$Mx = m(l - x)$
$Mx = ml - mx$
$Mx + mx = ml$
$x(M + m) = ml$
$x = \frac{ml}{M + m}$

(B) वृत्ताकार पथ पर मुड़ते समय साइकिल को गिरने से बचाने के लिए,इसे ऊर्ध्वाधर के साथ $\theta$ कोण पर झुकना आवश्यक है।
बैंकिंग या झुकाव के लिए सूत्र है: $\tan \theta = \frac{v^2}{rg}$.
दी गई मान हैं:
त्रिज्या $r = 20\, m$,
वेग $v = 20\, m/s$,
गुरुत्वीय त्वरण $g = 9.8\, m/s^2$.
सूत्र में इन मानों को रखने पर:
$\tan \theta = \frac{(20)^2}{20 \times 9.8} = \frac{400}{196}$.
$\tan \theta \approx 2.0408$.
इनवर्स टेंजेंट लेने पर:
$\theta = \tan^{-1}(2.0408) \approx 63.9^\circ$.
अतः,साइकिल को ऊर्ध्वाधर के साथ $63.9^\circ$ का कोण बनाना चाहिए।

(A) $R$ त्रिज्या वाले उत्तल (convex) पुल पर $v$ गति से चल रहे वाहन के लिए,उस पर कार्य करने वाले बल नीचे की ओर कार्य करने वाला गुरुत्वाकर्षण बल $mg$ और ऊपर की ओर कार्य करने वाला अभिलंब बल $N$ हैं। पुल की सतह के लंबवत गुरुत्वाकर्षण बल का घटक $mg \cos \theta$ है,जहाँ $\theta$ ऊर्ध्वाधर के साथ बना कोण है।
त्रिज्यीय दिशा में वृत्तीय गति के लिए न्यूटन के दूसरे नियम को लागू करने पर:
$mg \cos \theta - N = \frac{mv^2}{R}$
इसलिए,अभिलंब बल इस प्रकार है:
$N = mg \cos \theta - \frac{mv^2}{R}$
जैसे-जैसे मोटरसाइकिल ओवरब्रिज पर ऊपर चढ़ती है,कोण $\theta$ (ऊर्ध्वाधर के साथ कोण) $90^{\circ}$ से घटकर $0^{\circ}$ हो जाता है।
जैसे-जैसे $\theta$ घटता है,$\cos \theta$ बढ़ता है।
चूंकि $N = mg \cos \theta - \frac{mv^2}{R}$,इसलिए जैसे-जैसे $\cos \theta$ बढ़ता है,अभिलंब बल $N$ बढ़ता है।

(A) डोरी में तनाव बल वृत्तीय गति के लिए आवश्यक अभिकेंद्र बल प्रदान करता है।
$T = m \omega^2 r$
दिया गया है:
$T = 10 \, N$
$m = 250 \, g = 0.25 \, kg$
$r = 10 \, cm = 0.1 \, m$
सूत्र में मान रखने पर:
$10 = 0.25 \times \omega^2 \times 0.1$
$10 = 0.025 \times \omega^2$
$\omega^2 = \frac{10}{0.025} = 400$
$\omega = \sqrt{400} = 20 \, rad/s$
अतः,अधिकतम कोणीय वेग $20 \, rad/s$ है।

(C) दिया गया है:
द्रव्यमान $m = 500 \, kg$
त्रिज्या $r = 50 \, m$
वेग $v = 36 \, km/hr$
सबसे पहले,वेग को $SI$ इकाइयों $(m/s)$ में बदलें:
$v = 36 \times \frac{5}{18} = 10 \, m/s$
अभिकेंद्र बल का सूत्र $F = \frac{mv^2}{r}$ है।
मान रखने पर:
$F = \frac{500 \times (10)^2}{50}$
$F = \frac{500 \times 100}{50}$
$F = 10 \times 100 = 1000 \, N$.
अतः,अभिकेंद्र बल $1000 \, N$ है।

(A) डोरी में तनाव $T$ क्षैतिज वृत्तीय गति के लिए आवश्यक अभिकेंद्र बल प्रदान करता है।
$T = \frac{mv^2}{r}$
दिया गया है: $m = 0.25 \, kg$,$r = 1.96 \, m$,और $T_{max} = 25 \, N$.
सूत्र में मान रखने पर:
$25 = \frac{0.25 \times v^2}{1.96}$
$v^2 = \frac{25 \times 1.96}{0.25}$
$v^2 = 100 \times 1.96 = 196$
$v = \sqrt{196} = 14 \, m/s$.
अतः,अधिकतम चाल $14 \, m/s$ है।

(B) अभिकेंद्र बल का सूत्र $F_c = m r \omega^2$ होता है।
दिया गया है:
द्रव्यमान $m = 5\, kg$
त्रिज्या $r = 1\, m$
कोणीय वेग $\omega = 2\, rad/s$
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$F_c = 5 \times 1 \times (2)^2$
$F_c = 5 \times 1 \times 4$
$F_c = 20\, N$.
अतः,अभिकेंद्र बल $20\, N$ है।

(D) वृत्तीय गति के लिए आवश्यक अभिकेंद्र बल डोरी में उत्पन्न तनाव द्वारा प्रदान किया जाता है।
क्षैतिज वृत्त के लिए,तनाव $T$ का सूत्र $T = \frac{mv^2}{r}$ है।
दिया गया है: द्रव्यमान $m = 16 \, kg$,त्रिज्या $r = 144 \, m$,और अधिकतम तनाव $T_{max} = 16 \, N$.
सूत्र में मान रखने पर: $16 = \frac{16 \times v^2}{144}$.
समीकरण को सरल करने पर: $1 = \frac{v^2}{144}$.
अतः,$v^2 = 144$.
वर्गमूल लेने पर,हमें $v = 12 \, m/s$ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया है: परिधि $C = 2\pi r = 34.3 \ m$,समय $T = \sqrt{22} \ s$,$g = 9.8 \ m/s^2$.
सबसे पहले,त्रिज्या $r$ ज्ञात करें: $r = \frac{34.3}{2\pi} \ m$.
साइकिल चालक का वेग $v = \frac{C}{T} = \frac{34.3}{\sqrt{22}} \ m/s$.
वृत्ताकार पथ पर मुड़ने वाले साइकिल चालक के लिए ऊर्ध्वाधर के साथ कोण $\theta$ इस प्रकार दिया जाता है: $\tan \theta = \frac{v^2}{rg}$.
मान रखने पर: $\tan \theta = \frac{(34.3 / \sqrt{22})^2}{(34.3 / 2\pi) \times 9.8} = \frac{34.3^2 / 22}{(34.3 \times 9.8) / (2\pi)} = \frac{34.3 \times 2\pi}{22 \times 9.8}$.
$\pi \approx \frac{22}{7}$ का उपयोग करने पर,$\tan \theta = \frac{34.3 \times 2 \times (22/7)}{22 \times 9.8} = \frac{34.3 \times 2}{7 \times 9.8} = \frac{68.6}{68.6} = 1$.
अतः,$\theta = \tan^{-1}(1) = 45^\circ$.

(D) साइकिल चालक द्वारा मोड़ लेते समय ऊर्ध्वाधर के साथ झुकाव कोण $\theta$ ज्ञात करने का सूत्र है: $\tan \theta = \frac{v^2}{rg}$।
दी गई मान हैं: गति $v = 14\sqrt{3} \text{ m/s}$,त्रिज्या $r = 20\sqrt{3} \text{ m}$,और गुरुत्वीय त्वरण $g = 9.8 \text{ m/s}^2$।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$\tan \theta = \frac{(14\sqrt{3})^2}{(20\sqrt{3}) \times 9.8}$
$\tan \theta = \frac{196 \times 3}{20\sqrt{3} \times 9.8}$
$\tan \theta = \frac{588}{196\sqrt{3}}$
$\tan \theta = \frac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3}$।
चूंकि $\tan 60^\circ = \sqrt{3}$,इसलिए झुकाव कोण $\theta = 60^\circ$ है।

(A) $r$ त्रिज्या के वृत्ताकार पथ पर एकसमान चाल $v$ से गति करने वाले कण के लिए,आवश्यक अभिकेंद्र बल $F$ का सूत्र है:
$F = \frac{Mv^2}{r}$
चाल $v$ के लिए सूत्र को पुनर्व्यवस्थित करने पर:
$v^2 = \frac{Fr}{M}$
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:
$v = \sqrt{\frac{rF}{M}}$
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(B) जब एक कार मोड़ लेती है,तो वह एक वक्रीय पथ का अनुसरण करती है। कार के संदर्भ फ्रेम में,यात्री या कार स्वयं वृत्ताकार पथ के केंद्र से दूर एक छद्म बल (pseudo-force) का अनुभव करते हैं। इस बाहरी बल को $Centrifugal$ $force$ (अपकेंद्र बल) के रूप में जाना जाता है। जबकि $Centripetal$ $force$ (अभिकेंद्र बल) कार को वक्रीय पथ पर बनाए रखने के लिए केंद्र की ओर कार्य करता है,$Centrifugal$ $force$ मुड़ती हुई कार के अजड़त्वीय संदर्भ फ्रेम के कारण अनुभव किया जाने वाला आभासी बाहरी बल है। इसलिए,सही विकल्प $B$ है।

(C) किसी वाहन के लिए मोड़ लेने हेतु आवश्यक अभिकेंद्र बल का सूत्र $F = \frac{mv^2}{r}$ है,जहाँ $m$ मोटरसाइकिल का द्रव्यमान है,$v$ वेग है,और $r$ मोड़ की त्रिज्या है।
सूत्र से हम देख सकते हैं कि बल $F$ वेग के वर्ग के सीधे आनुपातिक है,अर्थात $F \propto v^2$।
यदि वेग को दोगुना कर दिया जाए,तो नया वेग $v' = 2v$ हो जाता है।
नया बल $F'$ इस प्रकार होगा: $F' \propto (2v)^2 = 4v^2$।
अतः,$F' = 4F$।
इस प्रकार,बाहर की ओर लगने वाला बल मूल बल का $4$ गुना हो जाएगा।

(A) अभिकेंद्र बल $F$ का सूत्र $F = m \omega^2 r$ है,जहाँ $\omega = 2 \pi n$ और $n$ परिक्रमण की आवृत्ति है।
$\omega = 2 \pi n$ को बल के समीकरण में रखने पर: $F = m (2 \pi n)^2 r = 4 \pi^2 m n^2 r$.
दिए गए मान: $m = 1.6 \times 10^{-27} \, kg$,$r = 0.10 \, m$,और $F = 4 \times 10^{-13} \, N$.
$n^2$ के लिए समीकरण को व्यवस्थित करने पर: $n^2 = \frac{F}{4 \pi^2 m r}$.
$n^2 = \frac{4 \times 10^{-13}}{4 \times (3.14)^2 \times 1.6 \times 10^{-27} \times 0.10}$.
$n^2 = \frac{10^{-13}}{9.86 \times 1.6 \times 10^{-28}} = \frac{10^{15}}{15.776} \approx 0.0634 \times 10^{15} = 6.34 \times 10^{13}$.
वर्गमूल लेने पर: $n \approx \sqrt{63.4} \times 10^6 \approx 7.96 \times 10^6 \, Hz \approx 0.08 \times 10^8 \, Hz$.

(D) वृत्ताकार पथ पर मुड़ते समय संतुलन बनाए रखने के लिए,स्केटर को वृत्त के केंद्र की ओर झुकना पड़ता है।
ऊर्ध्वाधर के साथ झुकाव कोण $\theta$ निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$\tan \theta = \frac{v^2}{rg}$
दिया गया है:
वेग $v = 10 \, m/s$
त्रिज्या $r = 50 \, m$
गुरुत्वीय त्वरण $g = 10 \, m/s^2$
मान रखने पर:
$\tan \theta = \frac{(10)^2}{50 \times 10} = \frac{100}{500} = \frac{1}{5}$
अतः,$\theta = \tan^{-1}\left(\frac{1}{5}\right)$।

(D) अभिकेंद्र बल का सूत्र $F = \frac{mv^2}{r}$ है।
चूंकि द्रव्यमान $m$ और अभिकेंद्र बल $F$ स्थिर हैं,इसलिए $F = \frac{mv^2}{r} \implies v^2 \propto r$ होगा।
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर,हमें $v \propto \sqrt{r}$ प्राप्त होता है।
अतः,उनके वेगों का अनुपात $\frac{v_1}{v_2} = \sqrt{\frac{r_1}{r_2}}$ होगा।
दिया गया है कि वक्रता त्रिज्याओं का अनुपात $\frac{r_1}{r_2} = \frac{1}{2}$ है,इसलिए:
$\frac{v_1}{v_2} = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
इस प्रकार,उनके वेगों का अनुपात $1 : \sqrt{2}$ है।

(B) दिया गया है: द्रव्यमान $m = 500\, kg$,त्रिज्या $r = 50\, m$,और वेग $v = 36\, km/hr$ है।
सबसे पहले,वेग को $SI$ मात्रक $(m/s)$ में बदलें:
$v = 36 \times \frac{5}{18} = 10\, m/s$.
अभिकेंद्र बल का सूत्र $F = \frac{mv^2}{r}$ है।
मान रखने पर:
$F = \frac{500 \times (10)^2}{50} = \frac{500 \times 100}{50} = 10 \times 100 = 1000\, N$.
अतः,अभिकेंद्र बल $1000\, N$ है।

(D) डोरी में तनाव वृत्तीय गति के लिए आवश्यक अभिकेंद्र बल प्रदान करता है।
प्रारंभ में,तनाव $T_0$ का मान $T_0 = mR\omega_0^2$ है,जहाँ $m$ द्रव्यमान है,$R$ डोरी की प्रारंभिक लंबाई है,और $\omega_0$ प्रारंभिक कोणीय वेग है।
दूसरे मामले में,नई लंबाई $R' = 2R$ और नया कोणीय वेग $\omega' = 2\omega_0$ है।
नया तनाव $T$ का मान $T = mR'(\omega')^2$ है।
नए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $T = m(2R)(2\omega_0)^2 = m(2R)(4\omega_0^2) = 8mR\omega_0^2$ प्राप्त होता है।
चूंकि $T_0 = mR\omega_0^2$,इसलिए $T = 8T_0$ होगा।

(D) कण चिकने शंक्वाकार फ़नल के अंदर एक क्षैतिज वृत्ताकार पथ में गति कर रहा है।
माना कण का द्रव्यमान $m$,गति $v$,वृत्ताकार पथ की त्रिज्या $r$,शीर्ष से ऊँचाई $h$ और अभिलंब प्रतिक्रिया बल $R$ है।
कण पर कार्य करने वाले बल हैं: गुरुत्वाकर्षण बल $mg$ नीचे की ओर और अभिलंब प्रतिक्रिया $R$ फ़नल की सतह के लंबवत।
बलों का वियोजन करने पर:
ऊर्ध्वाधर घटक: $R \cos \theta = mg$ ... $(i)$
क्षैतिज घटक (अभिकेंद्र बल): $R \sin \theta = \frac{mv^2}{r}$ ... $(ii)$
$(ii)$ को $(i)$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है: $\tan \theta = \frac{v^2}{rg}$.
शंकु की ज्यामिति से,$\tan \theta = \frac{r}{h}$.
अतः,$\frac{r}{h} = \frac{v^2}{rg} \implies h = \frac{r^2 g}{v^2}$.
मान रखने पर: $h = \frac{(0.5)^2}{10} = 0.025 \, m = 2.5 \, cm$.

(D) सिक्के को टर्न-टेबल के साथ घूमने के लिए आवश्यक अभिकेंद्र बल स्थैतिक घर्षण बल द्वारा प्रदान किया जाता है।
सिक्के के फिसलने की स्थिति में,आवश्यक अभिकेंद्र बल अधिकतम स्थैतिक घर्षण बल $(f_{max} = \mu N = \mu mg)$ के बराबर होना चाहिए।
अतः,$m \omega^2 r = \mu mg$,जिसे सरल करने पर $\omega^2 r = \mu g$ प्राप्त होता है।
यहाँ $\mu$ और $g$ नियत हैं,इसलिए हमारे पास संबंध $r \propto \frac{1}{\omega^2}$ है।
प्रारंभिक दूरी $r_1 = 9 \, cm$ और प्रारंभिक कोणीय वेग $\omega_1 = \omega$ है,और नया कोणीय वेग $\omega_2 = 3\omega$ है।
समानुपातिकता का उपयोग करते हुए: $\frac{r_2}{r_1} = \left( \frac{\omega_1}{\omega_2} \right)^2$.
मान रखने पर: $r_2 = 9 \times \left( \frac{\omega}{3\omega} \right)^2 = 9 \times \left( \frac{1}{3} \right)^2 = 9 \times \frac{1}{9} = 1 \, cm$.

(B) डिस्क के शीर्ष पर ही अर्धगोले की सतह को तुरंत छोड़ने के लिए,डिस्क और अर्धगोले के बीच अभिलंब प्रतिक्रिया $N$ उच्चतम बिंदु पर शून्य होनी चाहिए।
अर्धगोले के शीर्ष पर,डिस्क पर कार्य करने वाले बल नीचे की ओर गुरुत्वाकर्षण बल $mg$ और ऊपर की ओर अभिलंब प्रतिक्रिया $N$ हैं।
वृत्तीय गति के लिए आवश्यक अभिकेंद्र बल शुद्ध त्रिज्यीय बल द्वारा प्रदान किया जाता है:
$mg - N = \frac{mv^2}{R}$
सतह को तुरंत छोड़ने के लिए,हम अभिलंब प्रतिक्रिया $N = 0$ रखते हैं:
$mg - 0 = \frac{mv^2}{R}$
$mg = \frac{mv^2}{R}$
$v^2 = gR$
$v = \sqrt{gR}$
अतः,आवश्यक न्यूनतम क्षैतिज वेग $\sqrt{gR}$ है।

(C) माना प्रत्येक कण का द्रव्यमान $m$ है और कोणीय वेग $\omega$ है। केंद्र $O$ से कणों $C$,$B$ और $A$ की दूरियाँ क्रमशः $3l$,$2l$ और $l$ हैं।
कण $C$ के लिए: तनाव $T_3$ आवश्यक अभिकेंद्र बल प्रदान करता है। $T_3 = m\omega^2(3l) = 3m\omega^2l$.
कण $B$ के लिए: परिणामी बल $T_2 - T_3 = m\omega^2(2l)$ है। $T_3$ का मान रखने पर,$T_2 = m\omega^2(2l) + 3m\omega^2l = 5m\omega^2l$ प्राप्त होता है।
कण $A$ के लिए: परिणामी बल $T_1 - T_2 = m\omega^2(l)$ है। $T_2$ का मान रखने पर,$T_1 = m\omega^2l + 5m\omega^2l = 6m\omega^2l$ प्राप्त होता है।
अतः,तनाव का अनुपात $T_1 : T_2 : T_3 = 6m\omega^2l : 5m\omega^2l : 3m\omega^2l = 6 : 5 : 3$ है।

(A) $M$ द्रव्यमान के पिंड को स्थिर रहने के लिए,डोरी में तनाव $T$ को उसके भार को संतुलित करना चाहिए। इसलिए,$T = Mg$.
यह तनाव $T$,$l$ त्रिज्या के वृत्त में $n$ आवृत्ति से घूम रहे $m$ द्रव्यमान के कण के लिए आवश्यक अभिकेंद्र बल प्रदान करता है। अभिकेंद्र बल का सूत्र $F_c = m \omega^2 l = m(2\pi n)^2 l = m 4\pi^2 n^2 l$ है।
तनाव को अभिकेंद्र बल के बराबर रखने पर: $m 4\pi^2 n^2 l = Mg$.
आवृत्ति $n$ के लिए हल करने पर: $n^2 = \frac{Mg}{4\pi^2 ml}$.
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर: $n = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{Mg}{ml}}$.

(B) पुल के साथ संपर्क खोए बिना पार करने के लिए,अभिलंब बल $N$ शून्य या उससे अधिक होना चाहिए। वक्र पुल के उच्चतम बिंदु पर,नीचे की ओर गुरुत्वाकर्षण बल $(mg)$ और ऊपर की ओर अभिलंब बल $(N)$ कार्य करते हैं।
आवश्यक अभिकेंद्र बल शुद्ध त्रिज्यीय बल द्वारा प्रदान किया जाता है: $mg - N = \frac{mv^2}{r}$।
कार द्वारा संपर्क बनाए रखने के लिए,$N = 0$ लेने पर,$mg = \frac{mv^2}{r}$ प्राप्त होता है।
$v$ के लिए हल करने पर: $v = \sqrt{gr}$।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $v = \sqrt{9.8 \times 20} = \sqrt{196} = 14 \; m/s$।

(A) दिया गया है: गति $v = 72 \; km/hr = 72 \times \frac{5}{18} = 20 \; m/s$,त्रिज्या $r = 10 \; m$,द्रव्यमान $m = 500 \; kg$,गुरुत्वीय त्वरण $g = 10 \; m/s^2$.
घुमावदार पथ के सबसे निचले बिंदु $P$ पर,कार पर कार्य करने वाले बल अभिलंब बल $R$ (ऊपर की ओर) और भार $mg$ (नीचे की ओर) हैं।
अभिकेंद्री बल,अभिलंब बल और भार के अंतर द्वारा प्रदान किया जाता है:
$R - mg = \frac{mv^2}{r}$
$R = mg + \frac{mv^2}{r}$
मान रखने पर:
$R = (500 \times 10) + \frac{500 \times (20)^2}{10}$
$R = 5000 + \frac{500 \times 400}{10}$
$R = 5000 + 20000 = 25000 \; N$
$R = 25 \; kN$.

(D) तनाव का क्षैतिज घटक आवश्यक अभिकेंद्र बल प्रदान करता है: $T \sin \theta = M \omega^2 R$.
चूंकि $R = L \sin \theta$,हम इसे समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं:
$T \sin \theta = M \omega^2 (L \sin \theta)$
$T = M \omega^2 L$
कोणीय आवृत्ति $n = 2/\pi \text{ चक्कर/सेकंड}$ दी गई है। कोणीय वेग $\omega = 2 \pi n$ होता है।
$\omega = 2 \pi (2/\pi) = 4 \text{ rad/sec}$ रखने पर:
$T = M (4)^2 L = 16 ML$.

(B) पिंड पर कार्य करने वाले बल तनाव $T$ और गुरुत्वाकर्षण बल $mg$ हैं। तनाव का क्षैतिज घटक आवश्यक अभिकेंद्री बल प्रदान करता है।
$T \sin \theta = m \omega^2 R$
$T \cos \theta = mg$
दोनों समीकरणों को विभाजित करने पर:
$\tan \theta = \frac{\omega^2 R}{g}$
दी गई आवृत्ति $n = 2/\pi \; \text{rev/sec}$ है,इसलिए कोणीय वेग $\omega = 2 \pi n = 2 \pi (2/\pi) = 4 \; \text{rad/sec}$ होगा।
त्रिज्या $R = 1 \; m$ मानते हुए:
$\tan \theta = \frac{(4)^2 \times 1}{10} = \frac{16}{10} = \frac{8}{5}$
अतः,$\theta = \tan^{-1} \frac{8}{5}$।

(B) माना स्प्रिंग में विस्तार $x$ है। स्प्रिंग की कुल लंबाई $r = l + x$ हो जाती है।
$m$ द्रव्यमान के पिंड की वृत्तीय गति के लिए आवश्यक अभिकेंद्र बल स्प्रिंग बल द्वारा प्रदान किया जाता है।
$F_{\text{spring}} = F_{\text{centripetal}}$
$k x = m \omega^2 r$
$r = l + x$ प्रतिस्थापित करने पर:
$k x = m \omega^2 (l + x)$
$k x = m \omega^2 l + m \omega^2 x$
$k x - m \omega^2 x = m \omega^2 l$
$x (k - m \omega^2) = m \omega^2 l$
$x = \frac{m \omega^2 l}{k - m \omega^2}$

(B) माना कण का द्रव्यमान $m$ है,अभिलंब प्रतिक्रिया बल $R$ है और वृत्ताकार पथ की त्रिज्या $r$ है।
बलों का वियोजन करने पर:
ऊर्ध्वाधर दिशा में: $R \cos \theta = mg$ ---$(i)$
क्षैतिज दिशा में (अभिकेन्द्र बल): $R \sin \theta = \frac{mv^2}{r}$ ---(ii)
समीकरण (ii) को समीकरण $(i)$ से विभाजित करने पर:
$\frac{R \sin \theta}{R \cos \theta} = \frac{mv^2/r}{mg}$
$\tan \theta = \frac{v^2}{rg}$
अतः,$v = \sqrt{rg \tan \theta}$.

(C) पहाड़ी के शीर्ष पर, सवार पर कार्य करने वाले बल नीचे की ओर गुरुत्वाकर्षण बल $(mg)$ और ऊपर की ओर लंबवत प्रतिक्रिया बल $(N)$ हैं।
वृत्तीय गति के लिए आवश्यक अभिकेंद्री बल केंद्र की ओर शुद्ध बल द्वारा प्रदान किया जाता है: $mg - N = \frac{mv^2}{R}$।
"भारहीनता" की स्थिति के लिए, लंबवत प्रतिक्रिया $N$ शून्य होनी चाहिए।
इसलिए, $mg = \frac{mv^2}{R}$।
वेग $v$ के लिए हल करने पर: $v = \sqrt{Rg}$।
यहाँ $R = 20\, m$ और $g = 10\, m/s^2$ लेने पर, हमें प्राप्त होता है:
$v = \sqrt{20 \times 10} = \sqrt{200} \approx 14.14\, m/s$।
अतः, गति $14\, m/s$ और $15\, m/s$ के बीच है।

(C) कण एक चिकनी मेज पर क्षैतिज वृत्ताकार पथ में गति कर रहा है।
इस गति में,कण पर कार्य करने वाला एकमात्र क्षैतिज बल डोरी में तनाव $T$ है,जो वृत्ताकार पथ के केंद्र की ओर कार्य करता है।
चूंकि कण एकसमान वृत्तीय गति कर रहा है,इसलिए आवश्यक अभिकेंद्र बल $F_c = \frac{mv^2}{l}$ है।
यह अभिकेंद्र बल पूरी तरह से डोरी में तनाव $T$ द्वारा प्रदान किया जाता है।
अतः,केंद्र की ओर निर्देशित कण पर कार्य करने वाला कुल बल तनाव $T$ के बराबर होगा।

(C) $m$ द्रव्यमान का एक कण जो $R$ त्रिज्या के वृत्ताकार पथ में $\omega$ कोणीय वेग से गति कर रहा है,उस पर कार्य करने वाला अभिकेंद्री बल $F = m\omega^2R$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
चूंकि द्रव्यमान $m$ और त्रिज्या $R$ स्थिर हैं,इसलिए अभिकेंद्री बल कोणीय वेग के वर्ग के समानुपाती होता है: $F \propto \omega^2$.
मान लीजिए प्रारंभिक बल $F_1 = F$ और प्रारंभिक कोणीय वेग $\omega_1 = \omega$ है।
नया कोणीय वेग $\omega_2 = 2\omega$ है।
नया बल $F_2$ इस प्रकार होगा: $F_2 = m(2\omega)^2R = 4m\omega^2R$.
प्रारंभिक बल के व्यंजक को प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है: $F_2 = 4F$.
अतः,नया बल $4F$ होगा।

(C) $m$ द्रव्यमान वाले कण पर $\omega$ कोणीय वेग और $R$ त्रिज्या के वृत्ताकार पथ में कार्य करने वाला अभिकेंद्री बल $F$ इस सूत्र द्वारा दिया जाता है: $F = m\omega^2 R$.
चूंकि द्रव्यमान $m$ और कोणीय वेग $\omega$ स्थिर हैं,इसलिए अभिकेंद्री बल पथ की त्रिज्या के सीधे आनुपातिक है: $F \propto R$.
यदि नई त्रिज्या $R' = R/2$ है,तो नया बल $F'$ होगा: $F' = m\omega^2 R' = m\omega^2 (R/2) = (1/2) m\omega^2 R = F/2$.
अतः,नया बल $F/2$ होगा।

(C) $m$ द्रव्यमान के कण पर $\omega$ कोणीय वेग से $R$ त्रिज्या के वृत्ताकार पथ में कार्य करने वाला अभिकेंद्र बल $F = m\omega^2 R$ होता है।
चूंकि अभिकेंद्र बल $F$ और द्रव्यमान $m$ स्थिर हैं,इसलिए $R = \frac{F}{m\omega^2}$ होगा।
इसका अर्थ है कि $R \propto \frac{1}{\omega^2}$।
माना मूल त्रिज्या $R_1 = R$ और मूल कोणीय वेग $\omega_1 = \omega$ है।
माना नई त्रिज्या $R_2$ और नया कोणीय वेग $\omega_2 = 2\omega$ है।
समानुपातिकता $R_1 \omega_1^2 = R_2 \omega_2^2$ का उपयोग करने पर,हमें $R \cdot \omega^2 = R_2 \cdot (2\omega)^2$ प्राप्त होता है।
$R \cdot \omega^2 = R_2 \cdot 4\omega^2$।
अतः,$R_2 = \frac{R}{4}$।

(D) अभिकेन्द्रीय बल $F$ का सूत्र $F = \frac{mv^2}{r}$ होता है।
हम जानते हैं कि कोणीय संवेग $L = mvr$ होता है,जिसका अर्थ है $v = \frac{L}{mr}$।
$v$ का मान बल के समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$F = \frac{m}{r} \left( \frac{L}{mr} \right)^2$
$F = \frac{m}{r} \cdot \frac{L^2}{m^2 r^2}$
$F = \frac{L^2}{mr^3}$।

(C) दिया गया है:
कार का द्रव्यमान,$m = 500 \, kg$
घुमावदार पथ की त्रिज्या,$r = 10 \, m$
बिंदु $P$ पर कार की गति,$v = 20 \, m/s$
गुरुत्वीय त्वरण,$g = 10 \, m/s^2$
सबसे निचले बिंदु $P$ पर,कार पर कार्य करने वाले बल सामान्य प्रतिक्रिया $R$ (ऊपर की ओर) और भार $mg$ (नीचे की ओर) हैं।
आवश्यक अभिकेंद्री बल प्रदान करने वाला शुद्ध बल $(R - mg)$ है।
अतः,$R - mg = \frac{mv^2}{r}$
$R = mg + \frac{mv^2}{r}$
मान रखने पर:
$R = (500 \times 10) + \frac{500 \times (20)^2}{10}$
$R = 5000 + \frac{500 \times 400}{10}$
$R = 5000 + 20000$
$R = 25000 \, N$
चूंकि $1 \, kN = 1000 \, N$,इसलिए $R = 25 \, kN$ है।

(D) जैसे ही गेंद $B$,$A$ से $C$ तक गति करती है,यह वृत्तीय गति करती है। वृत्तीय पथ के केंद्र की ओर शुद्ध बल गुरुत्वाकर्षण के त्रिज्यीय घटक और ट्यूब की दीवारों से लगने वाले अभिलंब बल $N$ द्वारा प्रदान किया जाता है।
मान लीजिए $R$ ट्यूब की त्रिज्या है और $\theta$ ऊर्ध्वाधर के साथ कोण है। गति का त्रिज्यीय समीकरण $mg \cos \theta - N = \frac{mv^2}{R}$ है।
शुरुआत में ($A$ के पास),$\theta = 0$,इसलिए $mg - N = \frac{mv^2}{R}$। चूंकि $v$ छोटा है,$N$ धनात्मक है,जिसका अर्थ है कि गेंद बाहरी दीवार पर दबाव डालती है।
जैसे-जैसे गेंद नीचे उतरती है,$v$ बढ़ता है। बाहरी दीवार के साथ संपर्क की स्थिति $N > 0$ है,अर्थात $mg \cos \theta > \frac{mv^2}{R}$।
ऊर्जा संरक्षण का उपयोग करते हुए,$\frac{1}{2}mv^2 = mgR(1 - \cos \theta)$,इसलिए $v^2 = 2gR(1 - \cos \theta)$।
इसे प्रतिस्थापित करने पर,$mg \cos \theta - N = \frac{m(2gR(1 - \cos \theta))}{R} = 2mg(1 - \cos \theta)$।
$N = mg \cos \theta - 2mg + 2mg \cos \theta = mg(3 \cos \theta - 2)$।
$N > 0$ के लिए,हमें $3 \cos \theta > 2$ या $\cos \theta > 2/3$ की आवश्यकता है। जैसे ही $\theta$,$\arccos(2/3)$ से अधिक होता है,$N$ ऋणात्मक हो जाता है,जिसका अर्थ है कि गेंद बाहरी दीवार के साथ संपर्क खो देती है और आंतरिक दीवार से टकराती है।

(B) $2M$ द्रव्यमान वाला गोला $B$,धुरी $A$ के चारों ओर $d$ त्रिज्या के वृत्त में $P$ अवधि के साथ घूम रहा है।
कोणीय वेग $\omega = \frac{2\pi}{P}$ द्वारा दिया जाता है।
गोले $B$ की वृत्तीय गति के लिए आवश्यक अभिकेंद्री बल छड़ में तनाव $T$ द्वारा प्रदान किया जाता है।
अतः,$T = (2M) \cdot d \cdot \omega^2$.
$\omega$ का मान रखने पर:
$T = 2M \cdot d \cdot \left(\frac{2\pi}{P}\right)^2$
$T = 2M \cdot d \cdot \frac{4{\pi}^2}{P^2}$
$T = \frac{8{\pi}^2Md}{P^2}$.

(C) जब एक साइकिल चालक मोड़ लेता है,तो उसे वृत्ताकार पथ पर चलने के लिए आवश्यक अभिकेंद्र बल प्रदान करना होता है।
यह बल जमीन से मिलने वाली अभिलंब प्रतिक्रिया बल के क्षैतिज घटक द्वारा प्रदान किया जाता है।
अंदर की ओर झुककर,साइकिल चालक अपने गुरुत्वाकर्षण केंद्र को इस तरह स्थानांतरित करता है कि अभिलंब बल द्वारा उत्पन्न टॉर्क,जमीन के साथ संपर्क बिंदु के सापेक्ष गुरुत्वाकर्षण बल द्वारा उत्पन्न टॉर्क को संतुलित कर सके।
यह साइकिल चालक को मुड़ते समय संतुलन बनाए रखने में मदद करता है।
दिया गया कारण $(R)$ वैज्ञानिक रूप से गलत है क्योंकि झुकने से अभिकेंद्र बल प्रदान करने के लिए गुरुत्वाकर्षण केंद्र नीचे नहीं आता है,बल्कि यह अभिलंब बल की क्रिया रेखा को समायोजित करता है ताकि आवश्यक अभिकेंद्र घटक उत्पन्न हो सके।
इसलिए,$(A)$ सत्य है,लेकिन $(R)$ असत्य है।

(D) वृत्ताकार पथ में गति कर रहे कण का कोणीय संवेग $L = mvr$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $v$ रैखिक वेग है।
इससे,हम वेग को $v = \frac{L}{mr}$ के रूप में लिख सकते हैं।
कण पर कार्य करने वाला अभिकेंद्र बल $F = \frac{mv^2}{r}$ होता है।
बल के समीकरण में $v$ का मान प्रतिस्थापित करने पर:
$F = \frac{m(\frac{L}{mr})^2}{r} = \frac{m \cdot \frac{L^2}{m^2r^2}}{r} = \frac{L^2}{mr^3}$.
अतः,अभिकेंद्र बल $\frac{L^2}{mr^3}$ है।

(B) वृत्तीय गति के लिए आवश्यक अभिकेंद्र बल,केंद्रीय बल द्वारा प्रदान किया जाता है,जो $R^n$ के व्युत्क्रमानुपाती है:
$m\omega^2 R \propto \frac{1}{R^n}$
चूंकि $m$ नियत है,इसलिए $\omega^2 R \propto R^{-n}$,जिसे सरल करने पर $\omega^2 \propto R^{-(n+1)}$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर,$\omega \propto R^{-\frac{n+1}{2}}$ प्राप्त होता है।
आवर्तकाल $T$ कोणीय वेग $\omega$ से $T = \frac{2\pi}{\omega}$ द्वारा संबंधित है।
अतः,$T \propto \frac{1}{\omega} \propto R^{\frac{n+1}{2}}$.

(A) माना कण का द्रव्यमान $m$ है,वृत्तीय पथ की त्रिज्या $r$ है,और शंकु की सतह द्वारा लगाया गया अभिलंब बल $N$ है।
क्षैतिज वृत्तीय गति में कण के लिए,कार्य करने वाले बल गुरुत्वाकर्षण ($mg$ नीचे की ओर) और अभिलंब बल ($N$ सतह के लंबवत) हैं।
अभिलंब बल का ऊर्ध्वाधर घटक भार को संतुलित करता है: $N \cos \alpha = mg$.
अभिलंब बल का क्षैतिज घटक अभिकेंद्री बल प्रदान करता है: $N \sin \alpha = m \omega^2 r$.
दोनों समीकरणों को विभाजित करने पर: $\tan \alpha = \frac{m \omega^2 r}{mg} = \frac{\omega^2 r}{g}$.
चूँकि $r = h \tan \alpha$,इसलिए $\tan \alpha = \frac{\omega^2 (h \tan \alpha)}{g}$ प्राप्त होता है।
इसे सरल करने पर $\omega^2 = \frac{g}{h}$,या $\omega = \sqrt{\frac{g}{h}}$ मिलता है।
परिक्रमण काल $T = \frac{2\pi}{\omega} = 2\pi \sqrt{\frac{h}{g}}$.
इस समीकरण से,$T \propto \sqrt{h}$ है।
अतः,जैसे-जैसे $h$ बढ़ता है,परिक्रमण काल $T$ बढ़ता है।

(C) मान लीजिए $m = 0.1 \ kg$ स्लीव का द्रव्यमान है,$R = 5 \ m$ त्रिज्या है,और $\omega = 2 \ rad/s$ कोणीय वेग है।
घूर्णन फ्रेम के सापेक्ष स्लीव के संतुलन में रहने के लिए,उस पर कार्य करने वाले बल गुरुत्वाकर्षण ($mg$ नीचे की ओर) और तार से लगने वाला अभिलंब बल $(N)$ हैं।
अभिलंब बल का क्षैतिज घटक अभिकेंद्र त्वरण प्रदान करता है: $N \sin \theta = m \omega^2 (R \sin \theta)$.
चूंकि $\sin \theta \neq 0$ (शीर्ष या तल पर नहीं),हम $\sin \theta$ को निरस्त कर सकते हैं,जिससे $N = m \omega^2 R$ प्राप्त होता है।
मान रखने पर: $N = (0.1 \ kg) \times (2 \ rad/s)^2 \times (5 \ m) = 0.1 \times 4 \times 5 = 2.0 \ N$.

(A) मान लीजिए $N$ लड़के पर वजन मशीन की सामान्य प्रतिक्रिया है,जो मशीन की रीडिंग को दर्शाती है।
ऊर्ध्वाधर वृत्त में किसी भी बिंदु पर,लड़के पर कार्य करने वाले बल सामान्य प्रतिक्रिया $N$ (ऊपर की ओर) और गुरुत्वाकर्षण बल $mg$ (नीचे की ओर) हैं।
वृत्तीय गति के लिए आवश्यक शुद्ध अभिकेंद्री बल $F_c = \frac{mv^2}{R}$ है।
चूंकि गति $v = \sqrt{gR}$ स्थिर है,अभिकेंद्री त्वरण $a_c = \frac{v^2}{R} = \frac{gR}{R} = g$ है।
सबसे ऊंचे बिंदु $H$ पर,शुद्ध बल $mg - N_H = ma_c = mg$ है। अतः,$N_H = mg - mg = 0$ है।
सबसे निचले बिंदु $L$ पर,शुद्ध बल $N_L - mg = ma_c = mg$ है। अतः,$N_L = mg + mg = 2mg$ है।
रीडिंग की तुलना करने पर,$N_L = 2mg$ और $N_H = 0$ है। इसलिए,सबसे निचले बिंदु $L$ पर रीडिंग सबसे ऊंचे बिंदु $H$ पर रीडिंग से अधिक है।
उत्तर: $(A)$