Dynamics of circular Motion (Centrifugal force) and Pendulum and Motion on Curved path Questions in Hindi

(D) गेंद $r = L \sin \theta$ त्रिज्या के एक क्षैतिज वृत्त में गति करती है।
गेंद पर कार्य करने वाले बल डोरी के अनुदिश तनाव $T$ और नीचे की ओर कार्य करने वाला भार $mg$ हैं।
तनाव $T$ को घटकों में वियोजित करने पर:
ऊर्ध्वाधर घटक: $T \cos \theta = mg$
क्षैतिज घटक: $T \sin \theta = m \omega^2 r = m \omega^2 (L \sin \theta)$
क्षैतिज घटक से,हमें $T = m \omega^2 L$ प्राप्त होता है।
दिया गया है कि अधिकतम तनाव $T_{max} = 324 \ N$,$m = 0.5 \ kg$,और $L = 0.5 \ m$ है,इसलिए:
$324 = 0.5 \times \omega^2 \times 0.5$
$324 = 0.25 \times \omega^2$
$\omega^2 = \frac{324}{0.25} = 1296$
$\omega = \sqrt{1296} = 36 \ rad/s$.

(B) $M$ द्रव्यमान पर कार्य करने वाले बल डोरी में तनाव $T$ और गुरुत्वाकर्षण बल $Mg$ हैं।
तनाव $T$ को ऊर्ध्वाधर और क्षैतिज घटकों में वियोजित करने पर:
$T \cos \theta = Mg$ $............(1)$
$T \sin \theta = M \omega^2 R$ $............(2)$
निकाय की ज्यामिति से,वृत्ताकार पथ की त्रिज्या $R = L \sin \theta$ है।
समीकरण $(2)$ में $R$ का मान रखने पर:
$T \sin \theta = M \omega^2 (L \sin \theta)$
$T = M \omega^2 L$
घूर्णन की आवृत्ति $f = \frac{3}{\pi} \text{ Hz}$ है।
कोणीय वेग $\omega = 2 \pi f = 2 \pi \left(\frac{3}{\pi}\right) = 6 \text{ rad/s}$ है।
तनाव के व्यंजक में $\omega$ का मान रखने पर:
$T = M (6)^2 L = 36 ML$.
अतः,डोरी में तनाव $36 ML$ है।

(C) माना कोणीय वेग $\Omega = 2\omega$ है।
$O$ से $2r$ दूरी पर स्थित $m$ द्रव्यमान के कण $B$ के लिए,तनाव $T_{AB}$ आवश्यक अभिकेंद्री बल प्रदान करता है:
$T_{AB} = m \Omega^2 (2r) = m (2\omega)^2 (2r) = m (4\omega^2) (2r) = 8m\omega^2 r$.
$O$ से $r$ दूरी पर स्थित $2m$ द्रव्यमान के कण $A$ के लिए,केंद्र की ओर परिणामी बल $T_{OA} - T_{AB}$ है:
$T_{OA} - T_{AB} = (2m) \Omega^2 r = (2m) (2\omega)^2 r = (2m) (4\omega^2) r = 8m\omega^2 r$.
$T_{AB} = 8m\omega^2 r$ का मान रखने पर:
$T_{OA} = 8m\omega^2 r + 8m\omega^2 r = 16m\omega^2 r$.
अतः,अनुपात है:
$T_{OA} / T_{AB} = (16m\omega^2 r) / (8m\omega^2 r) = 2 / 1 = 2 : 1$.

(A) वृत्तीय गति के लिए आवश्यक अभिकेंद्र बल डोरी में उत्पन्न तनाव द्वारा प्रदान किया जाता है।
$T = mr\omega^2$
दिया गया है:
द्रव्यमान $m = 2 \ kg$
त्रिज्या $r = 2 \ m$
अधिकतम तनाव $T_{\max} = 16000 \ N$
कोणीय वेग $\omega = 2\pi f$,जहाँ $f$ प्रति सेकंड चक्करों की संख्या (आवृत्ति) है।
सूत्र में मान रखने पर:
$T_{\max} = mr(2\pi f_{\max})^2$
$16000 = 2 \times 2 \times 4\pi^2 f_{\max}^2$
$16000 = 16\pi^2 f_{\max}^2$
$f_{\max}^2 = \frac{16000}{16\pi^2} = \frac{1000}{\pi^2}$
$\pi^2 \approx 10$ का उपयोग करने पर:
$f_{\max}^2 = \frac{1000}{10} = 100$
$f_{\max} = \sqrt{100} = 10 \ \text{चक्कर प्रति सेकंड}$.

(C) $m$ द्रव्यमान वाली कार के लिए $r$ त्रिज्या के मोड़ पर $v$ वेग से मुड़ने के लिए आवश्यक अभिकेंद्र बल $F$ का सूत्र है: $F = \frac{mv^2}{r}$।
दिए गए मान हैं:
द्रव्यमान $m = 500 \,kg$
त्रिज्या $r = 50 \,m$
वेग $v = 36 \,km/h = 36 \times \frac{5}{18} = 10 \,m/s$।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$F = \frac{500 \times (10)^2}{50} = \frac{500 \times 100}{50} = 10 \times 100 = 1000 \,N$।
अतः,अभिकेंद्र बल $1000 \,N$ है।

(B) द्रव्यमान '$M$' के स्थिर रहने के लिए,डोरी में तनाव '$T$' को उसके भार को संतुलित करना चाहिए: $T = Mg$.
यह तनाव '$T$','$L$' त्रिज्या के क्षैतिज वृत्त में गति कर रहे द्रव्यमान 'm' के लिए आवश्यक अभिकेंद्र बल प्रदान करता है: $T = m \omega^2 L$.
तनाव के लिए दोनों व्यंजकों को बराबर करने पर: $Mg = m \omega^2 L$.
कोणीय वेग '$\omega$' के लिए हल करने पर: $\omega^2 = \frac{Mg}{mL} \implies \omega = \sqrt{\frac{Mg}{mL}}$.
चूंकि कोणीय वेग '$\omega = 2 \pi f$' है,जहाँ 'f' परिक्रमण की आवृत्ति है:
$2 \pi f = \sqrt{\frac{Mg}{mL}}$.
अतः,आवृत्ति 'f' होगी: $f = \frac{1}{2 \pi} \sqrt{\frac{Mg}{mL}}$.

(A) शंक्वाकार लोलक में,गोलक पर कार्य करने वाले बल डोरी में तनाव $T$ और गुरुत्वाकर्षण बल $mg$ हैं।
तनाव $T$ को घटकों में वियोजित करने पर:
$T \cos \theta = mg$ (ऊर्ध्वाधर संतुलन)
$T \sin \theta = F_c$ (जहाँ $F_c$ अभिकेंद्र बल है)
लोलक की ज्यामिति से,$\sin \theta = \frac{r}{L}$।
अतः,$\cos \theta = \sqrt{1 - \sin^2 \theta} = \sqrt{1 - \frac{r^2}{L^2}} = \frac{\sqrt{L^2-r^2}}{L}$।
पहले समीकरण से,$T = \frac{mg}{\cos \theta} = \frac{mgL}{\sqrt{L^2-r^2}}$।
$T$ का मान अभिकेंद्र बल के समीकरण में रखने पर:
$F_c = T \sin \theta = \left( \frac{mgL}{\sqrt{L^2-r^2}} \right) \times \left( \frac{r}{L} \right) = \frac{mgr}{\sqrt{L^2-r^2}}$।

(C) गोलक पर कार्य करने वाले बल धागे में तनाव '$T$' और गुरुत्वाकर्षण बल '$mg$' हैं।
तनाव '$T$' को दो घटकों में वियोजित करने पर:
$1$. ऊर्ध्वाधर घटक: $T \cos \theta = mg$ (समीकरण $1$)
$2$. क्षैतिज घटक: $T \sin \theta = \frac{mv^2}{r}$ (अभिकेंद्र बल) (समीकरण $2$)
समीकरण $(2)$ को समीकरण $(1)$ से विभाजित करने पर:
$\frac{T \sin \theta}{T \cos \theta} = \frac{mv^2/r}{mg}$
$\tan \theta = \frac{v^2}{rg}$
अतः,अभिकेंद्र बल $F_c = T \sin \theta = mg \tan \theta$ है।
शंकु की ज्यामिति से,त्रिज्या '$r$',लंबाई '$L$' और कोण '$\theta$' के बीच संबंध $\sin \theta = \frac{r}{L}$ है।
पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करने पर,आसन्न भुजा (ऊर्ध्वाधर ऊंचाई) $\sqrt{L^2-r^2}$ प्राप्त होती है।
इसलिए,$\tan \theta = \frac{\text{सम्मुख भुजा}}{\text{आसन्न भुजा}} = \frac{r}{\sqrt{L^2-r^2}}$.
इस मान को अभिकेंद्र बल के व्यंजक में रखने पर:
$F_c = mg \left( \frac{r}{\sqrt{L^2-r^2}} \right) = \frac{mgr}{\sqrt{L^2-r^2}}$.

(A) क्षैतिज वृत्ताकार गति में,डोरी में तनाव $T$ गेंद की वृत्ताकार गति के लिए आवश्यक अभिकेंद्री बल प्रदान करता है।
$m$ द्रव्यमान की गेंद जो $r$ त्रिज्या के क्षैतिज वृत्त में $\omega$ कोणीय वेग के साथ गति कर रही है,उसके लिए अभिकेंद्री बल $F_c = m r \omega^2$ होता है।
यहाँ,डोरी की लंबाई $\ell$ वृत्ताकार पथ की त्रिज्या के रूप में कार्य करती है $(r = \ell)$।
अतः,तनाव $T$ अभिकेंद्री बल के बराबर है:
$T = m \ell \omega^2$
$\omega$ के लिए सूत्र को पुनर्व्यवस्थित करने पर:
$\omega^2 = \frac{T}{m \ell}$
$\omega = \sqrt{\frac{T}{m \ell}}$

(A) $\text{डोरी में तनाव } T$ $\text{क्षैतिज वृत्तीय गति के लिए आवश्यक अभिकेंद्र बल प्रदान करता है।}
\text{तनाव का सूत्र } T = \frac{m v^2}{r}$ $\text{है, जहाँ } m$ $\text{द्रव्यमान है, } v$ $\text{चाल है, और } r$ $\text{त्रिज्या (डोरी की लंबाई) है।}
\text{दिया गया है: } m = 0.25 \,kg, r = 1.96 \,m, \text{और अधिकतम तनाव } T_{max} = 25 \,N.
\text{समीकरण में मान रखने पर: } 25 = \frac{0.25 \times v^2}{1.96}.
v^2$ $\text{के लिए हल करने पर: } v^2 = \frac{25 \times 1.96}{0.25}.
v^2 = 100 \times 1.96 = 196.
\text{वर्गमूल लेने पर: } v = \sqrt{196} = 14 \,m/s.$

(A) जब कोई कण घूमती हुई डिस्क पर फिसलना शुरू करता है,तो आवश्यक अभिकेंद्र बल अधिकतम स्थैतिक घर्षण बल $f_{s,max} = \mu m g$ द्वारा प्रदान किया जाता है।
अतः,$m r \omega^2 = \mu m g$.
चूंकि $\mu$,$m$,और $g$ स्थिरांक हैं,इसलिए $r \omega^2 = \text{स्थिरांक}$,जिसका अर्थ है $r \propto \frac{1}{\omega^2}$।
दिया गया है कि $\omega_1 = \omega$ पर $r_1 = 4 \ cm$ है।
जब $\omega_2 = 2\omega$ हो,तो $\frac{r_1}{r_2} = \frac{\omega_2^2}{\omega_1^2}$ होगा।
मान रखने पर: $\frac{4}{r_2} = \frac{(2\omega)^2}{\omega^2} = \frac{4\omega^2}{\omega^2} = 4$।
इसलिए,$r_2 = \frac{4}{4} = 1 \ cm$।

(D) माना $\theta$ शंकु का अर्ध-शीर्ष कोण है। कण पर कार्य करने वाले बल उसका भार $mg$ (नीचे की ओर) और सतह द्वारा लगाया गया अभिलंब बल $N$ हैं।
अभिलंब बल $N$ के घटक लेने पर:
ऊर्ध्वाधर घटक: $N \cos \theta = mg$ (भार को संतुलित करता है)
क्षैतिज घटक: $N \sin \theta = \frac{mV^2}{R}$ (अभिकेंद्र बल प्रदान करता है)
दोनों समीकरणों को विभाजित करने पर: $\tan \theta = \frac{V^2}{Rg}$ प्राप्त होता है।
शंकु की ज्यामिति से,$\tan \theta = \frac{R}{h}$ (जहाँ $h$ शीर्ष से ऊँचाई है)।
अतः,$\frac{R}{h} = \frac{V^2}{Rg}$।
इससे $h = \frac{R^2 g}{V^2}$ प्राप्त होता है। दिए गए विकल्पों के अनुसार,सही उत्तर $h = \frac{V^2}{g}$ है।

(B) गेंद पर कार्य करने वाले बल डोरी में तनाव $T$ और नीचे की ओर कार्य करने वाला गुरुत्वाकर्षण बल $mg$ हैं। तनाव $T$ को दो घटकों में वियोजित किया जा सकता है: $T \cos \theta$ जो ऊर्ध्वाधर ऊपर की ओर कार्य करता है और $T \sin \theta$ जो क्षैतिज रूप से वृत्ताकार पथ के केंद्र की ओर कार्य करता है।
ऊर्ध्वाधर संतुलन के लिए:
$T \cos \theta = mg$ --- $(1)$
क्षैतिज वृत्ताकार गति के लिए,अभिकेंद्र बल तनाव के क्षैतिज घटक द्वारा प्रदान किया जाता है:
$T \sin \theta = mr \omega^2$ --- $(2)$
चित्र की ज्यामिति से,वृत्ताकार पथ की त्रिज्या $r = l \sin \theta$ है।
समीकरण $(2)$ में $r$ का मान रखने पर:
$T \sin \theta = m(l \sin \theta) \omega^2$
दोनों पक्षों को $m l \sin \theta$ से विभाजित करने पर (मान लें कि $\sin \theta \neq 0$):
$\omega^2 = \frac{T}{ml}$
अतः,कोणीय वेग है:
$\omega = \sqrt{\frac{T}{ml}}$

(B) शंकु लोलक (conical pendulum) के मामले में,द्रव्यमान $m$,$r = L \sin \theta$ त्रिज्या के एक क्षैतिज वृत्त में घूमता है।
पिंड पर कार्य करने वाले बल डोरी में तनाव $T$ और गुरुत्वाकर्षण बल $mg$ हैं।
तनाव का ऊर्ध्वाधर घटक भार को संतुलित करता है: $T \cos \theta = mg$.
तनाव का क्षैतिज घटक अभिकेंद्री बल प्रदान करता है: $T \sin \theta = mr \omega^2$.
अभिकेंद्री बल के समीकरण में $r = L \sin \theta$ प्रतिस्थापित करने पर: $T \sin \theta = m(L \sin \theta) \omega^2$.
दोनों पक्षों को $\sin \theta$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है: $T = mL \omega^2$.

(A) अभिकेंद्र बल का सूत्र $F = \frac{mv^2}{r}$ है।
प्रारंभिक बल $F_1 = \frac{mV^2}{r}$ है।
नई चाल $v_2 = \frac{V}{2}$ और नई त्रिज्या $r_2 = 3r$ है।
नया बल $F_2 = \frac{m(V/2)^2}{3r} = \frac{mV^2/4}{3r} = \frac{mV^2}{12r} = \frac{F_1}{12}$ है।
बल में परिवर्तन $\Delta F = F_2 - F_1 = \frac{F_1}{12} - F_1 = -\frac{11}{12}F_1$ है।
ऋणात्मक चिह्न बल के परिमाण में कमी को दर्शाता है। अतः,बल $\frac{11}{12}$ गुना कम हो जाता है।

(A) $r$ त्रिज्या के क्षैतिज वृत्त में $\omega$ कोणीय वेग से गति करने वाले $m$ द्रव्यमान के लिए डोरी में तनाव $T$ अभिकेंद्री बल द्वारा दिया जाता है: $T = m r \omega^2$.
चूंकि $m$ और $r$ स्थिर हैं,इसलिए $T \propto \omega^2$ है।
प्रारंभिक कोणीय वेग $\omega_1 = 10 \ cycle/min = \frac{10}{60} \ cycle/s = \frac{1}{6} \ cycle/s$ है।
माना प्रारंभिक तनाव $T_1$ है और अंतिम तनाव $T_2 = 4T_1$ है।
समानुपातिकता $T \propto \omega^2$ का उपयोग करने पर,$\frac{T_2}{T_1} = \left( \frac{\omega_2}{\omega_1} \right)^2$ प्राप्त होता है।
मान रखने पर: $4 = \left( \frac{\omega_2}{\omega_1} \right)^2$,जिसका अर्थ है $\frac{\omega_2}{\omega_1} = 2$ है।
अतः,$\omega_2 = 2 \omega_1 = 2 \times \frac{1}{6} \ cycle/s = \frac{1}{3} \ cycle/s$।

(B) मान लीजिए हल्के पत्थर का द्रव्यमान $m_1 = m$ और उसकी त्रिज्या $r_1 = r$ है। उसकी स्पर्शरेखीय गति $v_1$ है।
मान लीजिए भारी पत्थर का द्रव्यमान $m_2 = 3m$ और उसकी त्रिज्या $r_2 = r/3$ है। उसकी स्पर्शरेखीय गति $v_2$ है।
अभिकेंद्री बल का सूत्र $F = \frac{mv^2}{r}$ है।
दिया गया है कि अभिकेंद्री बल समान हैं: $F_1 = F_2$।
$\frac{m_1 v_1^2}{r_1} = \frac{m_2 v_2^2}{r_2}$
मान रखने पर: $\frac{m v_1^2}{r} = \frac{3m v_2^2}{(r/3)}$
$\frac{m v_1^2}{r} = \frac{9m v_2^2}{r}$
$v_1^2 = 9 v_2^2$
$v_1 = 3 v_2$
चूंकि $v_1 = n v_2$,इसलिए $n = 3$ है।

(C) माना कण का द्रव्यमान $m$ है,क्षैतिज वृत्त की त्रिज्या $r$ है और कीप का अर्ध-शीर्ष कोण $\theta$ है।
कण पर कार्य करने वाले बल:
$1$. गुरुत्वाकर्षण बल $mg$ जो ऊर्ध्वाधर नीचे की ओर कार्य करता है।
$2$. कीप की सतह द्वारा लगाया गया अभिलंब बल $N$ जो सतह के लंबवत कार्य करता है।
अभिलंब बल $N$ के घटक:
- ऊर्ध्वाधर घटक: $N \cos \theta = mg$ (समीकरण $1$)
- क्षैतिज घटक (अभिकेंद्री बल प्रदान करता है): $N \sin \theta = \frac{mv^{2}}{r}$ (समीकरण $2$)
समीकरण $2$ को समीकरण $1$ से विभाजित करने पर:
$\frac{N \sin \theta}{N \cos \theta} = \frac{mv^{2}/r}{mg}$
$\tan \theta = \frac{v^{2}}{rg}$
कीप की ज्यामिति से,त्रिज्या $r$ और ऊँचाई $h$ द्वारा निर्मित समकोण त्रिभुज में:
$\tan \theta = \frac{r}{h}$
$\tan \theta$ के दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर:
$\frac{r}{h} = \frac{v^{2}}{rg}$
अतः,$h = \frac{r^{2}g}{v^{2}}$। मानक परिणामों के अनुसार,सही उत्तर $h = \frac{v^{2}}{g}$ है।

(B) घूर्णन की आवृत्ति $f = \frac{3}{\pi} \text{ rev/s}$ है।
कोणीय वेग $\omega = 2\pi f = 2\pi \left( \frac{3}{\pi} \right) = 6 \text{ rad/s}$ है।
शंक्वाकार लोलक (conical pendulum) के लिए,डोरी में तनाव $T$,अभिकेंद्र बल के समीकरण $T \sin \theta = m \omega^2 r$ और ऊर्ध्वाधर संतुलन $T \cos \theta = mg$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,$r = \ell \sin \theta$ रखने पर,$T \sin \theta = m \omega^2 (\ell \sin \theta)$ प्राप्त होता है।
अतः,$T = m \omega^2 \ell$।
मान रखने पर: $T = m (6)^2 \ell = 36 m \ell$।

(C) $m$ द्रव्यमान का एक कण जो $r$ त्रिज्या के वृत्ताकार पथ पर $v$ वेग से गति कर रहा है,उसका कोणीय संवेग $L = mvr$ द्वारा दिया जाता है।
इससे,हम वेग को $v = \frac{L}{mr}$ के रूप में व्यक्त कर सकते हैं।
कण पर कार्य करने वाला अभिकेंद्र बल $F = \frac{mv^2}{r}$ होता है।
वेग $v$ का मान बल के समीकरण में रखने पर:
$F = \frac{m}{r} \left( \frac{L}{mr} \right)^2$
$F = \frac{m}{r} \cdot \frac{L^2}{m^2 r^2}$
$F = \frac{L^2}{mr^3}$
पदों को व्यवस्थित करने पर,हमें $\frac{L^2}{m} = Fr^3$ प्राप्त होता है।

(D) $r$ त्रिज्या के वृत्ताकार पथ में $v$ वेग से गति कर रहे $m$ द्रव्यमान के कण पर कार्य करने वाला अभिकेंद्र बल $F = \frac{m v^{2}}{r}$ द्वारा दिया जाता है।
हम जानते हैं कि कण का कोणीय संवेग $L = mvr$ होता है।
इससे,हम वेग को $v = \frac{L}{mr}$ के रूप में लिख सकते हैं।
$v$ के इस मान को अभिकेंद्र बल के सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:
$F = \frac{m}{r} \left( \frac{L}{mr} \right)^{2} = \frac{m}{r} \cdot \frac{L^{2}}{m^{2} r^{2}} = \frac{L^{2}}{m r^{3}}$.
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(D) '$m$' द्रव्यमान का कण जो '$r$' त्रिज्या के वृत्ताकार पथ पर '$v$' वेग से गति कर रहा है,उस पर कार्य करने वाला अभिकेंद्र बल $F = \frac{mv^2}{r}$ होता है।
कोणीय संवेग $L = mvr$ होता है,इसलिए $v = \frac{L}{mr}$ होगा।
इस मान को अभिकेंद्र बल के सूत्र में रखने पर:
$F = \frac{m}{r} \left( \frac{L}{mr} \right)^2$
$F = \frac{m}{r} \cdot \frac{L^2}{m^2 r^2}$
$F = \frac{L^2}{mr^3}$.

(D) '$m$' द्रव्यमान के लिए फ्री बॉडी डायग्राम पर विचार करें।
क्षैतिज बलों के संतुलन पर विचार करने पर,अभिकेंद्री बल तनाव के क्षैतिज घटक द्वारा प्रदान किया जाता है:
$T \sin \theta = m \omega^2 R$
शंक्वाकार लोलक की ज्यामिति का उपयोग करते हुए,वृत्ताकार पथ की त्रिज्या $R = L \sin \theta$ है।
$R$ का मान बल समीकरण में रखने पर:
$T \sin \theta = m \omega^2 (L \sin \theta)$
$\therefore T = m \omega^2 L$
दिया गया है,आवृत्ति $f = \frac{3}{\pi} \text{ r.p.s.}$
कोणीय वेग $\omega = 2 \pi f = 2 \pi \left( \frac{3}{\pi} \right) = 6 \text{ rad/s}$.
तनाव के व्यंजक में $\omega$ का मान रखने पर:
$T = m (6)^2 L = 36 \ mL$.

(C) दिया गया है: आवृत्ति $f = \frac{\pi}{2} \text{ rev/s}$.
कोणीय वेग $\omega = 2 \pi f = 2 \pi \left( \frac{\pi}{2} \right) = \pi^2 \text{ rad/s}$.
शंक्वाकार लोलक के लिए,$M$ द्रव्यमान पर कार्य करने वाले बल डोरी में तनाव $T$ और गुरुत्वाकर्षण बल $Mg$ हैं।
तनाव का क्षैतिज घटक अभिकेंद्री बल प्रदान करता है: $T \sin \theta = M R \omega^2$.
चित्र की ज्यामिति से,वृत्ताकार पथ की त्रिज्या $R = L \sin \theta$ है।
बल समीकरण में $R$ का मान रखने पर: $T \sin \theta = M (L \sin \theta) \omega^2$.
सरल करने पर,हमें $T = M L \omega^2$ प्राप्त होता है।
$\omega = \pi^2 \text{ rad/s}$ का मान रखने पर:
$T = M L (\pi^2)^2 = M L \pi^4$.
नोट: यदि आवृत्ति $\frac{2}{\pi} \text{ rev/s}$ दी गई होती,तो $\omega = 2 \pi (\frac{2}{\pi}) = 4 \text{ rad/s}$,जिससे $T = M L (4)^2 = 16 M L$ प्राप्त होता है। दिए गए विकल्पों को देखते हुए,अभीष्ट आवृत्ति $\frac{2}{\pi} \text{ rev/s}$ है।

(B) शंकु लोलक (कोनिकल पेंडुलम) के लिए, गोलक पर कार्य करने वाले बल डोरी में तनाव $T$ और गुरुत्वाकर्षण बल $mg$ हैं।
तनाव $T$ को ऊर्ध्वाधर और क्षैतिज घटकों में वियोजित करने पर:
$1$. ऊर्ध्वाधर घटक $T \cos \phi$ गोलक के भार को संतुलित करता है: $T \cos \phi = mg$.
$2$. क्षैतिज घटक $T \sin \phi$ आवश्यक अभिकेंद्री बल प्रदान करता है: $T \sin \phi = \frac{mv^{2}}{R}$.
दिया है:
द्रव्यमान $m = 100 \,g = 0.1 \,kg$
तनाव $T = 10 \,N$
गुरुत्वीय त्वरण $g = 10 \,m/s^{2}$
ऊर्ध्वाधर संतुलन समीकरण से:
$\cos \phi = \frac{mg}{T}$
$\cos \phi = \frac{0.1 \,kg \times 10 \,m/s^{2}}{10 \,N}$
$\cos \phi = \frac{1}{10} = 0.1$
अतः, कोण $\phi = \cos^{-1}(0.1)$.

(A) जब एक सिक्का घूमती हुई टर्नटेबल पर रखा जाता है,तो वृत्तीय गति के लिए आवश्यक अभिकेंद्र बल सिक्के और टर्नटेबल की सतह के बीच के स्थैतिक घर्षण बल द्वारा प्रदान किया जाता है।
सिक्के के फिसलने की स्थिति में,अभिकेंद्र बल अधिकतम स्थैतिक घर्षण बल के बराबर होना चाहिए:
$m r \omega^2 = \mu m g$
जहाँ $m$ सिक्के का द्रव्यमान है,$r$ केंद्र से दूरी है,$\omega$ कोणीय वेग है,$\mu$ घर्षण गुणांक है और $g$ गुरुत्वीय त्वरण है।
चूंकि $m, \mu$ और $g$ स्थिर हैं,इसलिए:
$r \omega^2 = \text{स्थिरांक}$
इसका अर्थ है $r \propto \frac{1}{\omega^2}$।
अतः,दो अलग-अलग कोणीय वेगों के लिए दूरियों का अनुपात होगा:
$\frac{r_2}{r_1} = \left( \frac{\omega_1}{\omega_2} \right)^2$
दिया गया है $r_1 = 4 \ cm$ और $\omega_2 = 2 \omega_1$,इन मानों को रखने पर:
$\frac{r_2}{4} = \left( \frac{\omega_1}{2 \omega_1} \right)^2 = \left( \frac{1}{2} \right)^2 = \frac{1}{4}$
$r_2 = 4 \times \frac{1}{4} = 1 \ cm$.

(D) दिया गया है: तार की लंबाई $r = 2.5 \ m$,द्रव्यमान $m = 4 \ kg$,आवृत्ति $f = \frac{2}{\pi} \ Hz$.
कोणीय वेग $\omega$ का सूत्र $\omega = 2\pi f$ है।
$f$ का मान रखने पर: $\omega = 2\pi \times \frac{2}{\pi} = 4 \ rad/s$.
तार में तनाव $T$ वृत्तीय गति के लिए आवश्यक अभिकेंद्र बल प्रदान करता है।
$T = m \omega^2 r$.
मान रखने पर: $T = 4 \times (4)^2 \times 2.5$.
$T = 4 \times 16 \times 2.5$.
$T = 64 \times 2.5 = 160 \ N$.

(C) दिया गया है: द्रव्यमान $m = 0.5 \ kg$,त्रिज्या $r = 2 \ m$,कोणीय गति $\omega = 40 \ rev/min$.
सबसे पहले,कोणीय गति को $rad/s$ में बदलें:
$\omega = 40 \times \frac{2\pi}{60} \ rad/s = \frac{4\pi}{3} \ rad/s \approx 4.189 \ rad/s$.
तार में तनाव $T$ वृत्ताकार गति के लिए आवश्यक अभिकेंद्री बल प्रदान करता है:
$T = m \omega^2 r$.
मान रखने पर:
$T = 0.5 \times (4.189)^2 \times 2$.
$T = 1 \times 17.547 \approx 17.5 \ N$.
अतः,तार में तनाव लगभग $17.5 \ N$ है।

(A) मान लीजिए कि वाहन का द्रव्यमान $m$ है,वाहन का वेग $v$ है,और अवतल ओवर-ब्रिज की वक्रता त्रिज्या $r$ है।
अवतल ब्रिज के सबसे निचले बिंदु पर,वाहन वृत्तीय गति करता है।
वाहन पर कार्य करने वाले बल हैं:
$1$. गुरुत्वाकर्षण बल $(mg)$ जो नीचे की ओर कार्य करता है।
$2$. सड़क द्वारा लगाया गया अभिलंब प्रतिक्रिया बल $(N)$ जो ऊपर की ओर कार्य करता है।
वृत्तीय गति के लिए आवश्यक अभिकेंद्र बल वक्रता के केंद्र की ओर (ऊपर की ओर) निर्देशित होता है।
अतः,गति का समीकरण है: $N - mg = \frac{mv^2}{r}$।
अभिलंब प्रतिक्रिया बल $N$ (जो सड़क पर लगने वाले बल को दर्शाता है) के लिए हल करने पर:
$N = mg + \frac{mv^2}{r}$।

(A) मान लीजिए कि डोरी में तनाव $T$ है और डोरी ऊर्ध्वाधर के साथ $\theta$ कोण बनाती है।
क्षैतिज वृत्त में गति करने वाले कण पर कार्य करने वाले बल तनाव $T$ और भार $mg$ हैं।
तनाव का ऊर्ध्वाधर घटक भार को संतुलित करता है: $T \cos \theta = mg$.
तनाव का क्षैतिज घटक आवश्यक अभिकेंद्र बल प्रदान करता है: $T \sin \theta = \frac{mv^2}{r}$.
दोनों समीकरणों को विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है: $\tan \theta = \frac{v^2}{rg} \Rightarrow v = \sqrt{rg \tan \theta}$.
चित्र की ज्यामिति से,$\sin \theta = \frac{r}{L}$,इसलिए $\cos \theta = \sqrt{1 - \sin^2 \theta} = \sqrt{1 - \frac{r^2}{L^2}} = \frac{\sqrt{L^2 - r^2}}{L}$.
अतः,$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \frac{r/L}{\sqrt{L^2 - r^2}/L} = \frac{r}{\sqrt{L^2 - r^2}}$.
इस मान को $v$ के व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$v = \sqrt{rg \cdot \frac{r}{\sqrt{L^2 - r^2}}} = r \sqrt{\frac{g}{\sqrt{L^2 - r^2}}}$.

(C) दिया गया है: वस्तु का द्रव्यमान,$m = 10 \,g = 10 \times 10^{-3} \,kg = 0.01 \,kg$.
डोरी की लंबाई (त्रिज्या),$r = 0.4 \,m$.
वस्तु की गति,$v = 6 \,m/s$.
क्षैतिज वृत्तीय गति में,डोरी में तनाव $T$ आवश्यक अभिकेंद्र बल प्रदान करता है।
अभिकेंद्र बल का सूत्र $T = \frac{mv^2}{r}$ है।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$T = \frac{0.01 \times (6)^2}{0.4}$
$T = \frac{0.01 \times 36}{0.4}$
$T = \frac{0.36}{0.4} = 0.9 \,N$.
अतः,डोरी में तनाव $0.9 \,N$ है।

(D) दिया गया है: पत्थर का द्रव्यमान, $m = 2 \,kg$.
डोरी की लंबाई (त्रिज्या), $r = 2 \,m$.
अधिकतम तनाव, $T_{\max} = 64 \,N$.
वृत्तीय गति के लिए आवश्यक अभिकेंद्र बल डोरी में तनाव द्वारा प्रदान किया जाता है: $T_{\max} = \frac{m v_{\max}^2}{r}$.
मान रखने पर: $64 = \frac{2 \times v_{\max}^2}{2}$.
$v_{\max}$ के लिए हल करने पर: $v_{\max}^2 = 64$, अतः $v_{\max} = 8 \,m/s$.
हम जानते हैं कि $v = r \omega$, जहाँ $\omega = 2 \pi f$ और $f$ प्रति सेकंड घूर्णन की आवृत्ति है.
अतः, $v_{\max} = r (2 \pi f) \implies 8 = 2 \times 2 \pi f$.
$4 \pi f = 8 \implies f = \frac{2}{\pi}$ प्रति सेकंड घूर्णन.
प्रति मिनट घूर्णन की संख्या $(N)$ ज्ञात करने के लिए, हम आवृत्ति को $60$ से गुणा करते हैं: $N = f \times 60 = \frac{2}{\pi} \times 60 = \frac{120}{\pi}$.
अतः, प्रति मिनट घूर्णन की अधिकतम अनुमेय संख्या $\frac{120}{\pi}$ है.

(C) अभिकेंद्र बल का सूत्र $F = \frac{mv^2}{r}$ है,जहाँ $m$ द्रव्यमान है,$v$ वेग है और $r$ त्रिज्या है।
अंतिम बल $F_2$ और प्रारंभिक बल $F_1$ का अनुपात लेने पर,$\frac{F_2}{F_1} = \frac{m_2}{m_1} \cdot \left(\frac{v_2}{v_1}\right)^2 \cdot \left(\frac{r_1}{r_2}\right)$ प्राप्त होता है।
जब द्रव्यमान,गति और त्रिज्या $100 \%$ बढ़ जाते हैं,तो उनके नए मान प्रारंभिक मानों के दोगुने हो जाते हैं: $m_2 = 2m_1$,$v_2 = 2v_1$ और $r_2 = 2r_1$.
इन मानों को अनुपात समीकरण में रखने पर: $\frac{F_2}{F_1} = \left(\frac{2m_1}{m_1}\right) \cdot \left(\frac{2v_1}{v_1}\right)^2 \cdot \left(\frac{r_1}{2r_1}\right) = 2 \cdot 4 \cdot \frac{1}{2} = 4$.
इस प्रकार,$F_2 = 4F_1$.
बल में प्रतिशत वृद्धि $\frac{F_2 - F_1}{F_1} \times 100 = \frac{4F_1 - F_1}{F_1} \times 100 = 300 \%$ है।

(A) दिया गया है: सिक्के का द्रव्यमान,$m = 0.1 \,kg$।
केंद्र से दूरी,$r = 0.1 \,m$।
घूर्णन की आवृत्ति,$f = 600 \,rpm = \frac{600}{60} \,rps = 10 \,Hz$।
कोणीय वेग,$\omega = 2 \pi f = 2 \pi \times 10 = 20 \pi \,rad/s$।
अभिकेंद्र बल $F$ का सूत्र $F = m r \omega^2$ है।
मान रखने पर: $F = 0.1 \times 0.1 \times (20 \pi)^2$।
$F = 0.01 \times 400 \pi^2 = 4 \pi^2 \,N$।

(A) जब एक ट्रेन घुमावदार ट्रैक पर चलती है,तो वह एक वृत्ताकार पथ का अनुसरण करती है।
घुमावदार ट्रैक के लिए,दो पटरियाँ होती हैं: एक आंतरिक पटरी और एक बाहरी पटरी।
वृत्ताकार पथ का केंद्र आंतरिक पटरी की ओर स्थित होता है।
चूंकि बाहरी पटरी वक्रता के केंद्र से आंतरिक पटरी की तुलना में अधिक दूर होती है,इसलिए बाहरी पटरी की वक्रता त्रिज्या $(R_{outer})$ आंतरिक पटरी की वक्रता त्रिज्या $(R_{inner})$ से अधिक होती है।
इसलिए,$R_{outer} > R_{inner}$।

(C) अर्धगोले के शीर्ष पर,डिस्क पर कार्य करने वाले बल नीचे की ओर गुरुत्वाकर्षण बल $mg$ और ऊपर की ओर अभिलंब प्रतिक्रिया बल $N$ हैं।
वृत्तीय गति के लिए आवश्यक अभिकेंद्र बल,गुरुत्वाकर्षण बल और अभिलंब प्रतिक्रिया बल के अंतर द्वारा प्रदान किया जाता है:
$mg - N = \frac{mv^2}{R}$
डिस्क द्वारा तुरंत अर्धगोले की सतह को छोड़ने के लिए,शीर्ष बिंदु पर अभिलंब प्रतिक्रिया बल $N$ शून्य होना चाहिए।
समीकरण में $N = 0$ रखने पर:
$mg - 0 = \frac{mv^2}{R}$
$mg = \frac{mv^2}{R}$
$v^2 = gR$
$v = \sqrt{gR}$
अतः,आवश्यक न्यूनतम क्षैतिज वेग $\sqrt{gR}$ है।

(B) दिया गया है,$g=10 \,ms^{-2}$।
अर्ध-गोलाकार पहाड़ी की त्रिज्या,$R=40 \,m$।
माना कार का द्रव्यमान $m$ है।
पहाड़ी के शीर्ष पर,कार पर कार्य करने वाले बल उसका भार $(mg)$ जो नीचे की ओर कार्य करता है और अभिलंब बल $(N)$ जो ऊपर की ओर कार्य करता है।
वृत्ताकार पथ के केंद्र की ओर कार्य करने वाला नेट बल आवश्यक अभिकेंद्र बल प्रदान करता है:
$mg - N = \frac{mv^2}{R}$
दिया गया है कि पहाड़ी के शीर्ष पर अभिलंब बल $N=0$ है:
$mg = \frac{mv^2}{R}$
$v^2 = gR$
$v = \sqrt{gR}$
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$v = \sqrt{10 \times 40} = \sqrt{400} = 20 \,ms^{-1}$।

(B) अभिकेंद्र बल का सूत्र $F = \frac{m v^2}{R}$ है।
दिया गया है कि दोनों कणों के लिए द्रव्यमान $m$ और अभिकेंद्र बल $F$ स्थिर हैं।
चाल $v$ के लिए सूत्र को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $v = \sqrt{\frac{F R}{m}}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $F$ और $m$ स्थिर हैं,इसलिए चाल और त्रिज्या के बीच का संबंध $v \propto \sqrt{R}$ है।
त्रिज्याओं का अनुपात $\frac{R_1}{R_2} = \frac{1}{2}$ दिया गया है।
अतः,उनकी चालों का अनुपात $\frac{v_1}{v_2} = \sqrt{\frac{R_1}{R_2}} = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ होगा।
इस प्रकार,उनकी चालों का अनुपात $1 : \sqrt{2}$ है।

$(A)$ दिया गया है: त्रिज्या $r = 1 \,m$, केन्द्रापसारक बल $F = 4 \times 10^{-12} \,N$, प्रोटॉन का द्रव्यमान $m = 1.6 \times 10^{-27} \,kg$.
हम जानते हैं कि केन्द्रापसारक बल का सूत्र $F = m \omega^2 r$ होता है।
कोणीय गति $\omega$ के लिए सूत्र को व्यवस्थित करने पर, $\omega^2 = \frac{F}{mr}$ प्राप्त होता है।
दिए गए मानों को रखने पर: $\omega^2 = \frac{4 \times 10^{-12}}{1.6 \times 10^{-27} \times 1}$.
$\omega^2 = \frac{4}{1.6} \times 10^{-12 - (-27)} = 2.5 \times 10^{15} = 25 \times 10^{14}$.
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर: $\omega = \sqrt{25 \times 10^{14}} = 5 \times 10^7 \,rad/s$.

(B) दिया गया है: त्रिज्या $r = 9 \ km = 9000 \ m$,गति $v = 540 \ kmh^{-1} = 540 \times \frac{5}{18} = 150 \ ms^{-1}$,गुरुत्वीय त्वरण $g = 10 \ ms^{-2}$.
क्षैतिज लूप में उड़ने वाले विमान के लिए बैंकिंग कोण $\theta$ का संबंध है: $\tan \theta = \frac{v^2}{rg}$.
मान रखने पर: $\tan \theta = \frac{150 \times 150}{9000 \times 10} = \frac{22500}{90000} = \frac{1}{4}$.
अतः,$\theta = \tan^{-1}(0.25) = \cot^{-1}(4)$.