Dynamics of circular Motion (Centrifugal force) and Pendulum and Motion on Curved path Questions in Hindi

(B) मान लीजिए कि $x$ रेलों के शीर्ष (मिलन बिंदु) से प्रत्येक कण की दूरी है। दो कणों के बीच की दूरी $d = 2x \sin \theta$ है।
यदि कणों को उनकी संतुलन स्थिति $x_0$ से थोड़ी दूरी $\Delta x$ तक विस्थापित किया जाता है,तो स्प्रिंग की लंबाई में परिवर्तन $\Delta d = 2 \Delta x \sin \theta$ होगा।
स्प्रिंग की स्थितिज ऊर्जा $U = \frac{1}{2} k (\Delta d)^2 = \frac{1}{2} k (2 \Delta x \sin \theta)^2 = 2 k \sin^2 \theta (\Delta x)^2$ है।
दो कणों की गतिज ऊर्जा $K = \frac{1}{2} m v^2 + \frac{1}{2} m v^2 = m v^2 = m (\Delta \dot{x})^2$ है।
इसे सरल आवर्त गति के लिए ऊर्जा के मानक रूप $E = \frac{1}{2} k_{eff} x^2 + \frac{1}{2} m_{eff} \dot{x}^2$ के साथ तुलना करने पर,हमें $k_{eff} = 4 k \sin^2 \theta$ और $m_{eff} = 2m$ प्राप्त होता है।
कोणीय आवृत्ति $\omega = \sqrt{\frac{k_{eff}}{m_{eff}}} = \sqrt{\frac{4 k \sin^2 \theta}{2m}} = \sqrt{\frac{2k}{m}} \sin \theta$ है।

(C) मान लीजिए छड़ी की लंबाई $L$ है और इसका द्रव्यमान $m$ है। भार $mg$ द्रव्यमान केंद्र पर कार्य करता है,जो धुरी से $L/2$ की दूरी पर है।
धुरी बिंदु के परितः आघूर्ण (torque) लेने पर:
$\tau_{\text{pivot}} = 0$
$mg \left( \frac{L}{2} \sin \theta \right) = T \cdot L \sin \phi$
जहाँ $\phi$ छड़ी और डोरी के बीच का कोण है।
$T = \frac{mg \sin \theta}{2 \sin \phi}$
$T$ को न्यूनतम करने के लिए,हमें $\sin \phi$ को अधिकतम करने की आवश्यकता है। $\sin \phi$ का अधिकतम मान $1$ है,जो तब होता है जब $\phi = 90^\circ$ हो।
परिदृश्य $B$ में,डोरी क्षैतिज है और छड़ी दीवार के साथ $\theta$ कोण बनाती है,इसलिए छड़ी और डोरी के बीच का कोण $\phi = 90^\circ - \theta$ है। यह आवश्यक नहीं कि $90^\circ$ हो।
परिदृश्य $C$ में,डोरी छड़ी के लंबवत है,इसलिए $\phi = 90^\circ$ है। यह न्यूनतम तनाव $T = \frac{mg \sin \theta}{2}$ देता है।

(A) माना $A$ के निर्देशांक $(0, y)$ और $B$ के $(x, 0)$ हैं। छड़ की लंबाई $l = \sqrt{x^2 + y^2}$ है।
चूंकि $x = l \cos \theta$ और $y = l \sin \theta$,इसलिए $v_0 = \frac{dx}{dt} = -l \sin \theta \frac{d\theta}{dt}$ प्राप्त होता है।
अतः,कोणीय वेग $\omega = |\frac{d\theta}{dt}| = \frac{v_0}{l \sin \theta}$ है।
सिरे $A$ के लिए,$v_A = |\frac{dy}{dt}| = |l \cos \theta \frac{d\theta}{dt}| = l \cos \theta (\frac{v_0}{l \sin \theta}) = v_0 \cot \theta$ है।
$\theta = 37^o$ पर,$\cot 37^o = \frac{4}{3}$ है,इसलिए $v_A = \frac{4}{3} v_0$ प्राप्त होता है।
साथ ही,$\omega = \frac{v_0}{l \sin 37^o} = \frac{v_0}{l (3/5)} = \frac{5}{3} \frac{v_0}{l}$ है।
चूंकि $v_A$ और $\omega$ दोनों $\theta$ पर निर्भर करते हैं,इसलिए वे नियत नहीं हैं। अतः,विकल्प $A$ सही है।

(D) $1$. गियर $M$ के घूर्णन का विश्लेषण करें: ऊपर से देखने पर गियर $M$ दक्षिणावर्त (clockwise) दिशा में घूम रहा है।
$2$. $M$ और $I$ के बीच की परस्पर क्रिया का विश्लेषण करें: जैसे गियर $M$ दक्षिणावर्त घूमता है,यह गियर $I$ को चलाता है। संपर्क बिंदु पर देखने पर,दाईं ओर से देखने पर गियर $I$ वामावर्त (counter-clockwise) दिशा में घूमेगा।
$3$. $I$ और $H$ के बीच की परस्पर क्रिया का विश्लेषण करें: गियर $I$ अब वामावर्त घूम रहा है। जैसे ही यह नीचे गियर $H$ के साथ जुड़ता है,यह गियर $H$ को ऊपर से देखने पर दक्षिणावर्त दिशा में घुमाएगा।
$4$. निष्कर्ष: गियर $I$ वामावर्त घूमता है और गियर $H$ दक्षिणावर्त घूमता है। दिए गए विकल्पों के साथ तुलना करने पर,कोई भी विशिष्ट दिशा संयोजन सही नहीं है।

(B) नर्तकी पथ पर एकसमान चाल $v$ से चलती है।
सीधी रेखा वाले खंडों $PQ$ और $RS$ में,गति की दिशा नहीं बदलती है,इसलिए वेग सदिश स्थिर रहता है। अतः,इन खंडों में त्वरण $a = \frac{dv}{dt} = 0$ है।
अर्धवृत्ताकार खंडों $QR$ और $SP$ में,नर्तकी एकसमान चाल $v$ के साथ एक वक्र पथ पर चल रही है। इसके परिणामस्वरूप $a = \frac{v^2}{r}$ परिमाण का अभिकेंद्री त्वरण उत्पन्न होता है,जहाँ $r$ अर्धवृत्त की त्रिज्या है। चूंकि $v$ और $r$ स्थिर हैं,इसलिए इन खंडों के दौरान त्वरण का परिमाण स्थिर और गैर-शून्य रहता है।
इस प्रकार,$PQ$ और $RS$ के दौरान त्वरण शून्य है,और $QR$ और $SP$ के दौरान स्थिर गैर-शून्य है। यह विकल्प $B$ में दिए गए ग्राफ के अनुरूप है।

(C) स्थितिज ऊर्जा के लिए वेज के शीर्ष को संदर्भ स्तर $(U = 0)$ मानें।
प्रारंभिक स्थिति में (चित्र-$A$),चेन दो हिस्सों में विभाजित है,प्रत्येक की लंबाई $L/2$ और द्रव्यमान $m/2$ है,जो दोनों तरफ लटकी हुई है। प्रत्येक आधे हिस्से का द्रव्यमान केंद्र ढलान पर शीर्ष से $L/4$ की दूरी पर है।
प्रारंभिक स्थितिज ऊर्जा $U_i = 2 \times [-(m/2)g(L/4) \sin \theta] = -\frac{mgL}{4} \sin \theta$ है।
अंतिम स्थिति में (चित्र-$B$),$m$ द्रव्यमान की पूरी चेन बाईं ओर है। चेन का द्रव्यमान केंद्र ढलान पर शीर्ष से $L/2$ की दूरी पर है।
अंतिम स्थितिज ऊर्जा $U_f = -mg(L/2) \sin \theta = -\frac{mgL}{2} \sin \theta$ है।
यांत्रिक ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार,स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तन गतिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है: $K_f - K_i = U_i - U_f$।
चूंकि चेन विरामावस्था से शुरू होती है,$K_i = 0$ है।
$K_f = U_i - U_f = -\frac{mgL}{4} \sin \theta - (-\frac{mgL}{2} \sin \theta) = \frac{mgL}{4} \sin \theta$।

(A) छड़ $(AB)$ को संतुलन में रहने के लिए,किसी भी बिंदु पर कुल बलाघूर्ण (torque) शून्य होना चाहिए। छड़ पर कार्य करने वाले बल हैं:
$1$. बिंदु $(A)$ पर कार्य करने वाला धागे $(AC)$ का तनाव $(T)$।
$2$. छड़ के द्रव्यमान केंद्र पर कार्य करने वाला उसका भार $(Mg)$।
$3$. बिंदु $(B)$ पर बर्फ द्वारा लगाया गया अभिलंब बल $(N)$।
चूंकि बर्फ घर्षण रहित है,इसलिए अभिलंब बल $(N)$ ऊर्ध्वाधर होना चाहिए।
छड़ के संतुलन में रहने के लिए,तीनों बलों की कार्य रेखाएं एक ही बिंदु पर मिलनी चाहिए या समानांतर होनी चाहिए। चूंकि भार $(Mg)$ ऊर्ध्वाधर नीचे की ओर कार्य करता है और अभिलंब बल $(N)$ ऊर्ध्वाधर ऊपर की ओर कार्य करता है,इसलिए ये दोनों बल समानांतर हैं। निकाय के संतुलन में रहने के लिए,तनाव $(T)$ को भी इन बलों के समानांतर होना चाहिए। इसलिए,धागा $(AC)$ ऊर्ध्वाधर होना चाहिए। यह विन्यास विकल्प $(A)$ में दर्शाया गया है।

(B) मान लीजिए कण का द्रव्यमान $m$ है और उसकी चाल $V$ है। कण $r = \sqrt{R^2 - d^2}$ त्रिज्या के एक क्षैतिज वृत्त में गति करता है।
कण पर कार्य करने वाले बल अभिलंब प्रतिक्रिया $N$ (गोले के केंद्र की ओर) और भार $mg$ (नीचे की ओर) हैं।
अभिलंब प्रतिक्रिया $N$ को क्षैतिज और ऊर्ध्वाधर घटकों में वियोजित करने पर:
क्षैतिज घटक: $N \sin \theta = \frac{mV^2}{r}$ (अभिकेंद्र बल प्रदान करता है)
ऊर्ध्वाधर घटक: $N \cos \theta = mg$ (भार को संतुलित करता है)
दोनों समीकरणों को विभाजित करने पर: $\tan \theta = \frac{V^2}{rg}$.
कटोरे की ज्यामिति से,$\tan \theta = \frac{r}{d}$.
$\tan \theta$ के लिए दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर: $\frac{V^2}{rg} = \frac{r}{d} \Rightarrow V^2 = \frac{r^2 g}{d}$.
$r^2 = R^2 - d^2$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $V = \sqrt{\frac{g(R^2 - d^2)}{d}}$ प्राप्त होता है।

(A) मान लीजिए कि तार में तनाव $T$ है। चूंकि रिंग चिकनी है,इसलिए पूरे तार में तनाव समान रहेगा।
रिंग $C$ पर कार्य करने वाले बलों को ऊर्ध्वाधर ($y$-अक्ष) और क्षैतिज ($x$-अक्ष) दिशाओं में वियोजित करने पर:
ऊर्ध्वाधर दिशा में,तनाव के ऊर्ध्वाधर घटकों का योग रिंग के भार को संतुलित करता है:
$T \cos 30^{\circ} + T \cos 60^{\circ} = mg$
$T \left( \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2} \right) = mg$
$T \left( \frac{\sqrt{3} + 1}{2} \right) = mg$ $...(i)$
क्षैतिज दिशा में,तनाव के क्षैतिज घटकों का योग आवश्यक अभिकेंद्र बल प्रदान करता है:
$T \sin 30^{\circ} + T \sin 60^{\circ} = \frac{mv^2}{r}$
$T \left( \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \right) = \frac{mv^2}{r}$
$T \left( \frac{\sqrt{3} + 1}{2} \right) = \frac{mv^2}{r}$ $...(ii)$
समीकरण $(ii)$ को समीकरण $(i)$ से विभाजित करने पर:
$\frac{T \left( \frac{\sqrt{3} + 1}{2} \right)}{T \left( \frac{\sqrt{3} + 1}{2} \right)} = \frac{mv^2/r}{mg}$
$1 = \frac{v^2}{rg}$
$v^2 = rg$
$v = \sqrt{rg}$

(D) दी गई चाल $v = \alpha \sqrt{x}$ है।
चूंकि $v = \frac{dx}{dt}$,हमारे पास $\frac{dx}{dt} = \alpha \sqrt{x}$ है,जिसका अर्थ है $\int x^{-1/2} dx = \int \alpha dt$।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,$2\sqrt{x} = \alpha t$ प्राप्त होता है,इसलिए $x = \frac{\alpha^2 t^2}{4}$।
स्पर्शरेखीय त्वरण $a_t = \frac{dv}{dt} = \frac{d}{dt}(\alpha \sqrt{x}) = \alpha \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} \cdot \frac{dx}{dt} = \alpha \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} \cdot (\alpha \sqrt{x}) = \frac{\alpha^2}{2}$ होता है।
चूंकि $\alpha$ एक नियतांक है,$a_t$ नियत है।
अभिकेंद्र त्वरण $a_c = \frac{v^2}{r} = \frac{(\alpha \sqrt{x})^2}{r} = \frac{\alpha^2 x}{r}$ होता है।
$x = \frac{\alpha^2 t^2}{4}$ रखने पर,$a_c = \frac{\alpha^2}{r} \cdot \frac{\alpha^2 t^2}{4} = \frac{\alpha^4}{4r} t^2$ प्राप्त होता है।
इस प्रकार,$a_t$ नियत है और $a_c$,$t^2$ के समानुपाती है (मूल बिंदु से शुरू होने वाला एक परवलयाकार वक्र)।
दिए गए विकल्पों के साथ तुलना करने पर,वह ग्राफ जिसमें $a_t$ एक क्षैतिज रेखा है और $a_c$ मूल बिंदु से शुरू होने वाला एक परवलय है,सही है।

(D) माना कि प्रत्येक डोरी ऊर्ध्वाधर अक्ष के साथ $\theta$ कोण बनाती है। चूँकि त्रिभुज $ABC$ समबाहु है (सभी भुजाएँ $l$ हैं),$\theta = 60^\circ$ है।
द्रव्यमान $m$ पर बलों का वियोजन करने पर:
ऊर्ध्वाधर दिशा: $(T_1 - T_2) \cos \theta = mg \implies T_1 - T_2 = \frac{mg}{\cos 60^\circ} = 2mg$.
क्षैतिज दिशा: $(T_1 + T_2) \sin \theta = m \omega^2 r$,जहाँ $r = l \sin 60^\circ = l \frac{\sqrt{3}}{2}$.
$(T_1 + T_2) \frac{\sqrt{3}}{2} = m \omega^2 l \frac{\sqrt{3}}{2} \implies T_1 + T_2 = m \omega^2 l$.
इन समीकरणों को हल करने पर: $T_1 = \frac{m \omega^2 l}{2} + mg$ और $T_2 = \frac{m \omega^2 l}{2} - mg$.
डोरी $BC$ के तने रहने के लिए,$T_2 \geq 0 \implies \frac{m \omega^2 l}{2} \geq mg \implies \omega \geq \sqrt{2g/l}$.
अतः,विकल्प $D$ सही है।

(B) जब दाईं ओर के द्रव्यमान को क्षैतिज वेग $u$ दिया जाता है, तो यह एक वृत्ताकार चाप (लोलक गति) में गति करना शुरू कर देता है क्योंकि यह घिरनी से जुड़ी डोरी द्वारा बंधा होता है।
जैसे ही यह एक वृत्ताकार चाप में गति करता है, यह घिरनी के केंद्र की ओर निर्देशित अभिकेंद्री त्वरण प्राप्त करता है।
दाईं ओर के द्रव्यमान के लिए, त्रिज्यीय दिशा में गति का समीकरण $T - mg \cos \theta = \frac{mu^2}{R}$ है, जहाँ $T$ तनाव है, $m$ द्रव्यमान है, $g$ गुरुत्वीय त्वरण है, $\theta$ ऊर्ध्वाधर के साथ कोण है और $R$ डोरी की लंबाई है।
इसका अर्थ है $T = mg \cos \theta + \frac{mu^2}{R}$।
चूंकि डोरी में तनाव $T$ बाईं ओर के द्रव्यमान के भार $mg$ से अधिक है (क्योंकि $T > mg \cos \theta$ और दाईं ओर का द्रव्यमान गति में है), बाईं ओर का द्रव्यमान ऊपर की ओर खिंच जाएगा।
इसलिए, बाईं ओर का द्रव्यमान ऊपर उठेगा, जिससे वह जमीन से दूर हो जाएगा, जबकि दाईं ओर का द्रव्यमान जमीन के करीब होगा।

(B) मान लीजिए कि घूर्णन अक्ष से $r$ दूरी पर $dm$ द्रव्यमान का द्रव का एक छोटा अवयव है। इस अवयव की लंबाई $dr$ है। चूंकि नली की लंबाई $L$ और द्रव्यमान $M$ है,इसलिए रैखिक द्रव्यमान घनत्व $\lambda = M/L$ होगा।
अतः,$dm = \lambda dr = (M/L) dr$.
इस अवयव को घुमाने के लिए आवश्यक अभिकेंद्र बल $dF = (dm) \omega^2 r = (M/L) \omega^2 r dr$ है।
घूर्णन अक्ष पर द्रव द्वारा लगाया गया कुल बल ज्ञात करने के लिए,हम $r = 0$ से $r = L$ तक समाकलन करते हैं:
$F = \int_0^L \frac{M}{L} \omega^2 r dr = \frac{M \omega^2}{L} \left[ \frac{r^2}{2} \right]_0^L = \frac{M \omega^2}{L} \cdot \frac{L^2}{2} = \frac{1}{2} M \omega^2 L$.
यह बल द्रव को वृत्तीय गति में रखने के लिए आवश्यक कुल अभिकेंद्र बल को दर्शाता है,जो प्रभावी रूप से धुरी बिंदु पर द्रव द्वारा लगाया गया बल है।

(D) जब कार उत्तल पुल के शीर्ष पर होती है,तो वह $r$ त्रिज्या के वृत्ताकार पथ पर गति करती है। कार पर कार्य करने वाले बल नीचे की ओर गुरुत्वाकर्षण बल $mg$ और ऊपर की ओर पुल द्वारा लगाया गया अभिलंब बल $N$ हैं।
वृत्ताकार गति के लिए आवश्यक परिणामी अभिकेंद्र बल वृत्त के केंद्र की ओर (इस मामले में नीचे की ओर) निर्देशित होता है। अतः,गति का समीकरण है:
$mg - N = \frac{mv^2}{r}$
अभिलंब बल $N$ के लिए समीकरण को व्यवस्थित करने पर:
$N = mg - \frac{mv^2}{r}$

(A) वृत्ताकार पथ की त्रिज्या $r = l \sin \theta$ है।
तनाव का क्षैतिज घटक आवश्यक अभिकेंद्र बल प्रदान करता है: $T \sin \theta = m \omega^2 r$.
इस समीकरण में $r = l \sin \theta$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है: $T \sin \theta = m \omega^2 (l \sin \theta)$.
दोनों पक्षों को $\sin \theta$ से विभाजित करने पर ($\theta \neq 0$ मानते हुए),हमें प्राप्त होता है: $T = m \omega^2 l$.
तनाव का ऊर्ध्वाधर घटक भार को संतुलित करता है: $T \cos \theta = mg$.

(B) चूंकि कण वृत्ताकार कक्षाओं में गति कर रहे हैं,इसलिए अभिकेंद्र बल दिए गए बल $F(r)$ द्वारा प्रदान किया जाता है।
$\frac{mv^2}{r} = |F(r)| = \frac{16}{r} + r^3$
दोनों पक्षों को $\frac{r}{2}$ से गुणा करने पर,हमें गतिज ऊर्जा $K = \frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{2}(16 + r^4)$ प्राप्त होती है।
$r = 1$ पर पहले कण के लिए:
$K_1 = \frac{1}{2}(16 + 1^4) = \frac{17}{2} = 8.5$.
$r = 4$ पर दूसरे कण के लिए:
$K_2 = \frac{1}{2}(16 + 4^4) = \frac{1}{2}(16 + 256) = \frac{272}{2} = 136$.
गतिज ऊर्जाओं का अनुपात है:
$\frac{K_1}{K_2} = \frac{17/2}{272/2} = \frac{17}{272} = \frac{1}{16} = 0.0625$.
अतः,अनुपात लगभग $6 \times 10^{-2}$ है।

(D) दिया गया है: $\theta = 45^\circ$,$r = 0.4\,m$,$g = 10\,m/s^2$.
शंक्वाकार लोलक के लिए,लोलक के गोलक पर कार्य करने वाले बल तनाव $T$ और भार $mg$ हैं।
तनाव का क्षैतिज घटक आवश्यक अभिकेंद्री बल प्रदान करता है:
$T \sin \theta = \frac{mv^2}{r} \quad \dots(i)$
तनाव का ऊर्ध्वाधर घटक भार को संतुलित करता है:
$T \cos \theta = mg \quad \dots(ii)$
समीकरण $(i)$ को $(ii)$ से विभाजित करने पर:
$\tan \theta = \frac{v^2}{rg}$
$v^2 = rg \tan \theta$
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$v^2 = 0.4 \times 10 \times \tan(45^\circ)$
$v^2 = 4 \times 1 = 4$
$v = \sqrt{4} = 2\,m/s$.

(A) कण के लिए गति के समीकरण दिए गए हैं:
$x = a \sin \omega t \Rightarrow \sin \omega t = \frac{x}{a}$
$y = a \sin 2 \omega t$
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\sin 2 \theta = 2 \sin \theta \cos \theta$ का उपयोग करते हुए,हम लिख सकते हैं:
$y = a (2 \sin \omega t \cos \omega t)$
चूंकि $\cos \omega t = \sqrt{1 - \sin^2 \omega t} = \sqrt{1 - (\frac{x}{a})^2} = \frac{\sqrt{a^2 - x^2}}{a}$,हम इस मान को $y$ के समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं:
$y = 2a (\frac{x}{a}) (\frac{\sqrt{a^2 - x^2}}{a})$
$y = \frac{2x}{a} \sqrt{a^2 - x^2}$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर $y^2 = \frac{4x^2}{a^2} (a^2 - x^2)$ प्राप्त होता है,जो $x$ और $y$ अक्षों के सापेक्ष सममित आठ (figure-eight) जैसा वक्र दर्शाता है। यह विकल्प $A$ में दिखाए गए आकार के अनुरूप है।

(C) बिंदु $Y$ पर,अभिलंब प्रतिक्रिया $N = 0$ है। गुरुत्वाकर्षण बल का त्रिज्यीय घटक आवश्यक अभिकेंद्री बल प्रदान करता है:
$mg \sin \phi = \frac{mv^2}{r} \implies v^2 = rg \sin \phi$ $...(i)$
बिंदु $X$ और बिंदु $Y$ के बीच यांत्रिक ऊर्जा संरक्षण के सिद्धांत का उपयोग करते हुए:
$mg(r \cos \theta) = mg(r \sin \phi) + \frac{1}{2} mv^2$
$g r \cos \theta = g r \sin \phi + \frac{1}{2} (rg \sin \phi)$
$g r \cos \theta = \frac{3}{2} rg \sin \phi$
$\cos \theta = \frac{3}{2} \sin \phi$
$\sin \phi = \frac{2}{3} \cos \theta$

(D) मान लीजिए कि मनके का द्रव्यमान $m$ है और तार द्वारा मनके पर लगाया गया अभिलंब बल $N$ है।
मनके के वृत्ताकार पथ की त्रिज्या $R_{path} = r/2$ है।
मनके पर कार्य करने वाले बल गुरुत्वाकर्षण बल $mg$ (नीचे की ओर) और अभिलंब प्रतिक्रिया $N$ (तार के लंबवत) हैं।
बलों को क्षैतिज और ऊर्ध्वाधर घटकों में वियोजित करने पर:
$N \sin \theta = m R_{path} \omega^2 = m (r/2) \omega^2$ ... $(i)$
$N \cos \theta = mg$ ... (ii)
$(i)$ को (ii) से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\tan \theta = \frac{(r/2) \omega^2}{g} = \frac{r \omega^2}{2g}$
वृत्त की ज्यामिति से,केंद्र $O$ से ऊर्ध्वाधर अक्ष तक की दूरी $r/2$ है। त्रिज्या सदिश $OP$ ऊर्ध्वाधर के साथ जो कोण $\theta$ बनाता है,वह $\sin \theta = \frac{r/2}{r} = 1/2$ द्वारा दिया जाता है,इसलिए $\theta = 30^\circ$ है।
अतः,$\tan 30^\circ = \frac{1}{\sqrt{3}}$ है।
$\tan \theta$ के लिए दोनों समीकरणों की तुलना करने पर:
$\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{r \omega^2}{2g}$
$\omega^2 = \frac{2g}{r\sqrt{3}}$

(C) जब कोई कण स्थिर चाल $v$ से वृत्ताकार या वक्रीय पथ पर गति करता है,तो अभिकेंद्र त्वरण $a_c = \frac{v^2}{r}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $r$ वक्रता त्रिज्या है।
स्थिति $(a)$ में,पथ एक समान हेलिक्स है,जिसका अर्थ है कि वक्रता त्रिज्या $r$ स्थिर है। चूँकि $v$ और $r$ दोनों स्थिर हैं,इसलिए त्वरण का परिमाण $a_c$ स्थिर रहता है।
स्थिति $(b)$ में,पथ एक सर्पिल है जहाँ जैसे-जैसे कण बाहर की ओर गति करता है,त्रिज्या $r$ बढ़ती जाती है। चूँकि $v$ स्थिर है और $r$ बढ़ रहा है,इसलिए त्वरण का परिमाण $a_c = \frac{v^2}{r}$ सर्पिल पथ पर गति के दौरान घटता जाता है।
अतः,त्वरण का परिमाण $(a)$ में स्थिर है और $(b)$ में घट रहा है।

(A) दिया गया है:
डोरी की लंबाई,$r = 0.1\,m$
अधिकतम तनाव,$T = 100\,N$
पिंड का द्रव्यमान,$m = 100\,g = 0.1\,kg$
जब कोई पिंड क्षैतिज वृत्त में घूमता है,तो डोरी में तनाव आवश्यक अभिकेंद्र बल प्रदान करता है।
अभिकेंद्र बल का सूत्र $T = m\omega^2r$ है।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$100 = 0.1 \times \omega^2 \times 0.1$
$100 = 0.01 \times \omega^2$
$\omega^2 = \frac{100}{0.01}$
$\omega^2 = 10000$
$\omega = \sqrt{10000}$
$\omega = 100\,rad/s$.

(B) मान लीजिए कि ओवरब्रिज पर किसी भी बिंदु पर कार के स्थिति सदिश द्वारा ऊर्ध्वाधर के साथ बनाया गया कोण $\theta$ है।
कार पर कार्य करने वाले बल उसका भार $mg$ (नीचे की ओर) और अभिलंब प्रतिक्रिया $N$ (ऊपर की ओर) हैं।
वृत्तीय गति के लिए आवश्यक अभिकेंद्र बल,भार के केंद्र की ओर घटक और अभिलंब प्रतिक्रिया द्वारा प्रदान किया जाता है।
गति का समीकरण है: $mg \cos \theta - N = \frac{mv^2}{R}$।
अभिलंब प्रतिक्रिया के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर: $N = mg \cos \theta - \frac{mv^2}{R}$।
जैसे-जैसे कार बिंदु $B$ (उच्चतम बिंदु) से बिंदु $C$ तक नीचे उतरती है,कोण $\theta$ $0^\circ$ से बढ़कर $90^\circ$ हो जाता है।
जैसे-जैसे $\theta$ बढ़ता है,$\cos \theta$ घटता है।
चूंकि $N = mg \cos \theta - \frac{mv^2}{R}$,इसलिए जैसे-जैसे $\cos \theta$ घटता है,अभिलंब प्रतिक्रिया $N$ भी घटती है।

(A) वृत्ताकार ओवरब्रिज के उच्चतम बिंदु पर,कार पर कार्य करने वाले बल नीचे की ओर गुरुत्वाकर्षण बल $(mg)$ और ऊपर की ओर लंब प्रतिक्रिया बल $(N)$ हैं।
वृत्तीय गति के लिए आवश्यक शुद्ध अभिकेंद्री बल इन बलों के अंतर द्वारा प्रदान किया जाता है:
$mg - N = \frac{mv^2}{r}$
संपर्क छोड़े बिना कार द्वारा पार की जा सकने वाली अधिकतम गति ज्ञात करने के लिए,हम लंब प्रतिक्रिया बल $N$ को शून्य मान लेते हैं (वह बिंदु जहाँ कार सतह छोड़ने ही वाली होती है)।
$mg - 0 = \frac{mv^2}{r}$
$g = \frac{v^2}{r}$
$v^2 = rg$
$v = \sqrt{rg}$
यहाँ $r = 20\,m$ और $g = 9.8\,m/s^2$ दिया गया है:
$v = \sqrt{20 \times 9.8}$
$v = \sqrt{196}$
$v = 14\,m/s$

(B) मोटरसाइकिल ओवरब्रिज पर $R$ त्रिज्या के वृत्ताकार पथ पर चलती है। मोटरसाइकिल पर कार्य करने वाले बल अभिलंब बल $N$ (ऊपर की ओर) और भार $mg$ (नीचे की ओर) हैं।
ऊर्ध्वाधर के साथ किसी भी कोण $\theta$ पर,केंद्र की ओर कार्य करने वाला भार का घटक $mg \cos \theta$ है।
परिणामी अभिकेंद्री बल $mg \cos \theta - N = \frac{mv^2}{R}$ द्वारा दिया जाता है।
अभिलंब बल के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $N = mg \cos \theta - \frac{mv^2}{R}$ प्राप्त होता है।
जैसे-जैसे मोटरसाइकिल ओवरब्रिज पर ऊपर चढ़ती है,ऊर्ध्वाधर के साथ कोण $\theta$ $0^\circ$ से $90^\circ$ तक बढ़ता है।
जैसे-जैसे $\theta$ बढ़ता है,$\cos \theta$ घटता है।
चूंकि $N = mg \cos \theta - \frac{mv^2}{R}$,जैसे-जैसे $\cos \theta$ घटता है,अभिलंब बल $N$ घटता है।

(A) ब्लॉक पर कार्य करने वाले बल अभिलंब बल $N$ और गुरुत्वाकर्षण बल $mg$ हैं। ब्लॉक $x = R \sin \theta$ त्रिज्या के क्षैतिज वृत्त में गति करता है।
ऊर्ध्वाधर दिशा के लिए,बल संतुलित हैं:
$N \cos \theta = mg$ ......$(i)$
क्षैतिज दिशा के लिए,अभिलंब बल आवश्यक अभिकेंद्र बल प्रदान करता है:
$N \sin \theta = m x \omega^2 = m (R \sin \theta) \omega^2$ ......(ii)
समीकरण (ii) को समीकरण $(i)$ से विभाजित करने पर:
$\frac{N \sin \theta}{N \cos \theta} = \frac{m R \sin \theta \omega^2}{mg}$
$\tan \theta = \frac{R \sin \theta \omega^2}{g}$
चूंकि $\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$,इसलिए:
$\frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \frac{R \sin \theta \omega^2}{g}$
$\frac{1}{\cos \theta} = \frac{R \omega^2}{g}$
$\cos \theta = \frac{g}{R \omega^2}$
$\theta = \cos^{-1}\left(\frac{g}{R \omega^2}\right)$

(D) $1$. अभिकेंद्र बल एक वास्तविक बल है जो वृत्ताकार पथ पर गतिमान वस्तु पर कार्य करता है,जो वृत्त के केंद्र की ओर निर्देशित होता है। यह वेग की दिशा बदलने के लिए आवश्यक है।
$2$. अपकेंद्र बल एक छद्म बल (pseudo force) है जो एक गैर-जड़त्वीय (घूर्णन) संदर्भ फ्रेम में वस्तु पर कार्य करता हुआ प्रतीत होता है। यह केंद्र से दूर निर्देशित होता है।
$3$. चूंकि ये बल अलग-अलग संदर्भ फ्रेम में कार्य करते हैं,इसलिए वे एक-दूसरे को निरस्त नहीं कर सकते। अतः,$Assertion$ गलत है।
$4$. $Newton$ के तीसरे नियम के संदर्भ में अपकेंद्र बल,अभिकेंद्र बल की प्रतिक्रिया नहीं है। $Newton$ का तीसरा नियम विभिन्न वस्तुओं पर कार्य करने वाले समान प्रकृति के बलों पर लागू होता है। अभिकेंद्र बल एक वास्तविक बल है,जबकि अपकेंद्र बल एक छद्म बल है। अतः,$Reason$ भी गलत है।
$5$. इस प्रकार,$Assertion$ और $Reason$ दोनों गलत हैं।

(B) माना स्प्रिंग में खिंचाव $x$ है। स्प्रिंग की कुल लंबाई $r = \ell + x$ हो जाती है।
कण की वृत्तीय गति के लिए आवश्यक अभिकेंद्री बल स्प्रिंग बल द्वारा प्रदान किया जाता है।
$F_{c} = F_{s}$
$m \omega^{2} r = k x$
$m \omega^{2} (\ell + x) = k x$
$m \omega^{2} \ell + m \omega^{2} x = k x$
$m \omega^{2} \ell = k x - m \omega^{2} x$
$m \omega^{2} \ell = x (k - m \omega^{2})$
$x = \frac{m \ell \omega^{2}}{k - m \omega^{2}}$

(A) सही उत्तर $(i) \; T$ है।
जब डोरी से जुड़ा एक कण एक चिकनी क्षैतिज मेज पर वृत्ताकार पथ में घूमता है,तो वृत्ताकार गति के लिए आवश्यक अभिकेंद्र बल पूरी तरह से डोरी में उत्पन्न तनाव $T$ द्वारा प्रदान किया जाता है।
चूंकि मेज चिकनी है,इसलिए कोई घर्षण नहीं है,और कण पर केंद्र की ओर कार्य करने वाला एकमात्र क्षैतिज बल तनाव $T$ है।
अतः,कण पर कार्य करने वाला नेट बल $F_{\text{net}} = T = \frac{m v^{2}}{l}$ है।

(B) विमान की गति,$v = 720 \; km/h = 720 \times \frac{5}{18} = 200 \; m/s$.
गुरुत्वीय त्वरण,$g = 10 \; m/s^2$.
बैंकिंग का कोण,$\theta = 15^{\circ}$.
क्षैतिज लूप की त्रिज्या $r$ के लिए,संबंध इस प्रकार है:
$\tan \theta = \frac{v^2}{rg}$.
$r$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर:
$r = \frac{v^2}{g \tan \theta}$.
मान रखने पर:
$r = \frac{200 \times 200}{10 \times \tan 15^{\circ}} = \frac{40000}{10 \times 0.2679} = \frac{4000}{0.2679} \approx 14930 \; m$.
$km$ में बदलने पर:
$r \approx 14.93 \; km$.
दिए गए विकल्पों के अनुसार,त्रिज्या $14.92 \; km$ है।

(D) मान लीजिए कि मनके $P$ को केंद्र $O$ से जोड़ने वाला त्रिज्या सदिश ऊर्ध्वाधर नीचे की दिशा के साथ $\theta$ कोण बनाता है।
मान लीजिए मनके का द्रव्यमान $m$ है।
मनके पर कार्य करने वाले बल हैं:
$1$. भार $mg$ जो ऊर्ध्वाधर नीचे की ओर कार्य करता है।
$2$. तार से अभिलंब प्रतिक्रिया $N$,जो $P$ पर स्पर्शरेखा के लंबवत कार्य करती है।
बलों का वियोजन करने पर:
अभिलंब प्रतिक्रिया का ऊर्ध्वाधर घटक $N \cos \theta$ भार $mg$ को संतुलित करता है,इसलिए $N \cos \theta = mg$.
अभिलंब प्रतिक्रिया का क्षैतिज घटक $N \sin \theta$ आवश्यक अभिकेंद्र बल $m \omega^2 r$ प्रदान करता है,जहाँ $r = R \sin \theta$ मनके के वृत्ताकार पथ की त्रिज्या है।
अतः,$N \sin \theta = m \omega^2 (R \sin \theta)$.
चूंकि $\theta \neq 0$ के लिए $\sin \theta \neq 0$,हमें $N = m R \omega^2$ प्राप्त होता है।
$N$ का मान ऊर्ध्वाधर समीकरण में रखने पर: $(m R \omega^2) \cos \theta = mg$.
इसलिए,$\cos \theta = \frac{g}{R \omega^2}$.
चूंकि $\cos \theta \leq 1$,मनका सबसे निचले बिंदु $(\theta = 0)$ पर रहेगा यदि $\frac{g}{R \omega^2} \geq 1$,जिसका अर्थ है $\omega \leq \sqrt{\frac{g}{R}}$.
$\omega = \sqrt{\frac{2g}{R}}$ के लिए,हमारे पास $\omega^2 = \frac{2g}{R}$ है।
इसे $\cos \theta$ के व्यंजक में रखने पर:
$\cos \theta = \frac{g}{R (2g/R)} = \frac{1}{2}$.
अतः,$\theta = \cos^{-1}(0.5) = 60^{\circ}$.

(N/A) मान लीजिए कि एक पत्थर को धागे से बांधकर एक क्षैतिज वृत्ताकार पथ पर स्थिर गति से घुमाया जा रहा है।
$1$. पत्थर का संवेग $\vec{p} = m\vec{v}$ द्वारा दिया जाता है। चूंकि गति स्थिर है, संवेग का परिमाण स्थिर रहता है, लेकिन इसकी दिशा हमेशा वृत्ताकार पथ के स्पर्शरेखा (tangential) होती है और लगातार बदलती रहती है।
$2$. छोटे समय अंतराल $\Delta t$ में संवेग में परिवर्तन $\Delta \vec{p} = \vec{p}_{final} - \vec{p}_{initial}$ द्वारा दिया जाता है। वृत्तीय गति के लिए, संवेग में परिवर्तन का यह सदिश वृत्त के केंद्र की ओर इंगित करता है।
$3$. न्यूटन के गति के दूसरे नियम के अनुसार, $\vec{F} = \frac{d\vec{p}}{dt}$। धागे में तनाव बल केंद्र की ओर कार्य करता है, जो संवेग में परिवर्तन की दिशा के समान है।
$4$. चूंकि संवेग सदिश स्पर्शरेखीय है और संवेग में परिवर्तन का सदिश त्रिज्यीय (केंद्र की ओर) है, इसलिए यह स्पष्ट है कि वे एक ही दिशा में नहीं हैं।

(D) अभिलंब बल $N$ वृत्ताकार गति के लिए आवश्यक अभिकेंद्र बल प्रदान करता है।
$N = F_c = m \omega^2 R$
चूंकि $\omega = \frac{2\pi}{T}$,इसलिए $N = m \left( \frac{2\pi}{T} \right)^2 R = m \frac{4\pi^2}{T^2} R$.
दिए गए मान: $m = 200\, g = 0.2\, kg$,$R = 20\, cm = 0.2\, m$,और $T = 40\, s$.
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$N = 0.2 \times \frac{4 \times (3.14159)^2}{(40)^2} \times 0.2$
$N = 0.2 \times \frac{4 \times 9.8696}{1600} \times 0.2$
$N = 0.04 \times \frac{39.4784}{1600}$
$N = 0.04 \times 0.024674 = 9.8696 \times 10^{-4\, N}$.
निकटतम विकल्प के अनुसार,$N \approx 9.859 \times 10^{-4}\, N$ प्राप्त होता है।

(A) वृत्तीय गति के लिए आवश्यक अभिकेंद्र बल केंद्रीय बल $F$ द्वारा प्रदान किया जाता है। दिया गया है $F \propto \frac{1}{R^{3}}$,अतः हम लिख सकते हैं $F = \frac{K}{R^{3}}$,जहाँ $K$ एक नियतांक है।
$m$ द्रव्यमान का कण जो $R$ त्रिज्या के वृत्त में $\omega$ कोणीय वेग से गति कर रहा है,उसके लिए अभिकेंद्र बल $F = m \omega^{2} R$ होता है।
दोनों समीकरणों की तुलना करने पर: $\frac{K}{R^{3}} = m \omega^{2} R$.
$\omega^{2}$ के लिए व्यवस्थित करने पर: $\omega^{2} = \frac{K}{m R^{4}}$.
चूंकि आवर्तकाल $T = \frac{2 \pi}{\omega}$ होता है,इसलिए $\omega = \frac{2 \pi}{T}$.
इस मान को समीकरण में रखने पर: $(\frac{2 \pi}{T})^{2} = \frac{K}{m R^{4}}$.
इसे सरल करने पर $\frac{4 \pi^{2}}{T^{2}} = \frac{K}{m R^{4}}$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $T^{2} \propto R^{4}$.
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर,हमें $T \propto R^{2}$ प्राप्त होता है।

(A) यह एक शंक्वाकार लोलक (conical pendulum) का उदाहरण है।
मान लीजिए कि डोरी ऊर्ध्वाधर के साथ $\theta$ कोण बनाती है।
ज्यामिति से,हम जानते हैं कि $\sin \theta = \frac{r}{L}$ है।
दिया गया है $r = \frac{L}{\sqrt{2}}$,इसलिए $\sin \theta = \frac{L/\sqrt{2}}{L} = \frac{1}{\sqrt{2}}$।
इसका अर्थ है $\theta = 45^{\circ}$।
कण पर कार्य करने वाले बल डोरी में तनाव $T$ और गुरुत्वाकर्षण बल $mg$ हैं।
तनाव को क्षैतिज और ऊर्ध्वाधर घटकों में वियोजित करने पर:
क्षैतिज घटक: $T \sin \theta = \frac{mv^2}{r}$ (जो आवश्यक अभिकेंद्र बल प्रदान करता है)।
ऊर्ध्वाधर घटक: $T \cos \theta = mg$ (जो भार को संतुलित करता है)।
दोनों समीकरणों को विभाजित करने पर: $\frac{T \sin \theta}{T \cos \theta} = \frac{mv^2/r}{mg} \Rightarrow \tan \theta = \frac{v^2}{rg}$।
चूंकि $\theta = 45^{\circ}$,इसलिए $\tan 45^{\circ} = 1$।
अतः,$1 = \frac{v^2}{rg} \Rightarrow v^2 = rg \Rightarrow v = \sqrt{rg}$।

(C) मान लीजिए कि स्प्रिंग का विस्तार $\Delta x$ है। स्प्रिंग की कुल लंबाई $l = l_{0} + \Delta x$ हो जाती है।
$m$ द्रव्यमान की वस्तु की वृत्तीय गति के लिए आवश्यक अभिकेंद्र बल,स्प्रिंग बल $F_{s} = k \Delta x$ द्वारा प्रदान किया जाता है।
स्प्रिंग बल को अभिकेंद्र बल के बराबर रखने पर: $k \Delta x = m \omega^{2} (l_{0} + \Delta x)$।
समीकरण का विस्तार करने पर: $k \Delta x = m \omega^{2} l_{0} + m \omega^{2} \Delta x$।
$\Delta x$ के लिए हल करने हेतु पदों को व्यवस्थित करने पर: $k \Delta x - m \omega^{2} \Delta x = m \omega^{2} l_{0}$।
$\Delta x (k - m \omega^{2}) = m \omega^{2} l_{0}$।
अतः,विस्तार $\Delta x = \frac{m \omega^{2} l_{0}}{k - m \omega^{2}}$ होगा।

(B) वाहन का आभासी भार ट्रैक द्वारा वाहन पर लगाए गए अभिलंब बल $N$ के बराबर होता है।
बिंदु $A$ पर,ट्रैक क्षैतिज है,इसलिए अभिलंब बल $N_A = mg$ है।
बिंदु $B$ पर,वाहन एक अवतल वक्र के निचले हिस्से पर है। शुद्ध अभिकेंद्र बल अभिलंब बल और गुरुत्वाकर्षण के अंतर द्वारा प्रदान किया जाता है: $N_B - mg = \frac{mv^2}{r}$। अतः,$N_B = mg + \frac{mv^2}{r}$।
बिंदु $C$ पर,वाहन एक उत्तल वक्र के शीर्ष पर है। शुद्ध अभिकेंद्र बल गुरुत्वाकर्षण और अभिलंब बल के अंतर द्वारा प्रदान किया जाता है: $mg - N_C = \frac{mv^2}{r}$। अतः,$N_C = mg - \frac{mv^2}{r}$।
मानों की तुलना करने पर,$N_B > N_A > N_C$। इसलिए,आभासी भार $B$ पर अधिकतम है।

(C) पटरियों की बैंकिंग का सूत्र $\tan \theta = \frac{h}{d} = \frac{v^2}{rg}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $h$ ऊंचाई है,$d$ पटरियों के बीच की दूरी है,$v$ वेग है,$r$ वक्रता त्रिज्या है और $g$ गुरुत्वीय त्वरण है।
दिया गया है: $v = 20 \, m/s$,$r = 40,000 \, m$,$d = 1.5 \, m$,और $g = 10 \, m/s^2$.
मान रखने पर: $\frac{h}{1.5} = \frac{(20)^2}{40,000 \times 10}$.
$\frac{h}{1.5} = \frac{400}{400,000} = \frac{1}{1000}$.
$h = \frac{1.5}{1000} \, m = 0.0015 \, m$.
$mm$ में बदलने पर: $h = 0.0015 \times 1000 \, mm = 1.5 \, mm$.

(C) माना शंकु का कोण $\theta$ है। शंकु की ज्यामिति से,$\tan \theta = \frac{h}{r}$ प्राप्त होता है।
कण पर कार्य करने वाले बल: इसका भार $mg$ नीचे की ओर और सतह द्वारा लगाया गया अभिलंब बल $N$ सतह के लंबवत कार्य करता है।
अभिलंब बल $N$ के घटक लेने पर:
ऊर्ध्वाधर घटक: $N \cos \theta = mg$ --- $(i)$
क्षैतिज घटक (अभिकेंद्र बल प्रदान करता है): $N \sin \theta = \frac{mv^2}{r}$ --- (ii)
समीकरण (ii) को $(i)$ से विभाजित करने पर:
$\frac{N \sin \theta}{N \cos \theta} = \frac{mv^2/r}{mg}$
$\tan \theta = \frac{v^2}{rg}$
$\tan \theta = \frac{h}{r}$ का मान रखने पर:
$\frac{h}{r} = \frac{v^2}{rg}$
$v^2 = gh$
$v = \sqrt{gh}$

(A) शंक्वाकार लोलक के लिए,आवर्तकाल $T$ का सूत्र $T = 2\pi \sqrt{\frac{h}{g}}$ है,जहाँ $h$ निलंबन बिंदु से लोलक के गोलक की ऊर्ध्वाधर ऊँचाई है।
यदि $l$ लंबाई की डोरी ऊर्ध्वाधर के साथ $\alpha$ कोण बनाती है,तो $h = l \cos \alpha$ होता है।
इस प्रश्न में,कोण $\theta$ क्षैतिज के साथ दिया गया है। इसलिए,ऊर्ध्वाधर के साथ कोण $\alpha = 90^\circ - \theta$ होगा।
ऊँचाई के व्यंजक में यह मान रखने पर: $h = l \cos(90^\circ - \theta) = l \sin \theta$ प्राप्त होता है।
अतः,आवर्तकाल $T = 2\pi \sqrt{\frac{l \sin \theta}{g}}$ है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें $T^2 = 4\pi^2 \frac{l \sin \theta}{g}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $4\pi^2$,$l$ और $g$ स्थिरांक हैं,इसलिए $T^2 \propto \sin \theta$ होगा।

(A) $R$ त्रिज्या के वृत्ताकार पथ पर $v$ एकसमान चाल से गति करने वाली वस्तु पर कार्य करने वाला बल $F$ अभिकेंद्र बल है।
$F = \frac{m v^2}{R}$
इससे,हम $m v^2$ पद को इस प्रकार लिख सकते हैं:
$m v^2 = F R$
वस्तु की गतिज ऊर्जा $(KE)$ का सूत्र है:
$KE = \frac{1}{2} m v^2$
बल के समीकरण से $m v^2$ का मान गतिज ऊर्जा के सूत्र में रखने पर:
$KE = \frac{1}{2} (F R)$
अतः,गतिज ऊर्जा $\frac{1}{2} F R$ है।

(B) घर्षणरहित सतह पर वृत्तीय गति के लिए आवश्यक अभिकेंद्र बल तब प्राप्त होता है जब व्यक्ति ऊर्ध्वाधर के साथ $\theta$ कोण पर झुकता है।
$r$ त्रिज्या के वृत्त में $v$ गति से चलने वाले पिंड के लिए झुकाव कोण $\theta$ का सूत्र है: $\tan \theta = \frac{v^2}{rg}$।
दिए गए मान हैं: $v = 10 \ m/s$,$r = 50 \ m$,और $g = 10 \ m/s^2$।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$\tan \theta = \frac{(10)^2}{50 \times 10} = \frac{100}{500} = \frac{1}{5}$।
अतः,झुकाव कोण $\theta = \tan^{-1}(1/5)$ है।

(C) डोरी में तनाव बल पत्थर को वृत्ताकार गति में बनाए रखने के लिए आवश्यक अभिकेंद्र बल प्रदान करता है।
दिया गया द्रव्यमान $m = 0.3\,kg$,त्रिज्या $R = 1.5\,m$,और वेग $v = 6\,m s^{-1}$ है।
अभिकेंद्र बल का सूत्र $F_c = \frac{mv^2}{R}$ है।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$T = \frac{0.3 \times (6)^2}{1.5}$
$T = \frac{0.3 \times 36}{1.5}$
$T = \frac{10.8}{1.5} = 7.2\,N$.
अतः,डोरी में तनाव $7.2\,N$ है।

(D) कोणीय वेग $\omega$ का मान $\omega = \frac{2\pi}{T}$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ $T = 3.14\,s$ और $\pi \approx 3.14$ दिया गया है,इसलिए $\omega = \frac{2 \times 3.14}{3.14} = 2\,rad/s$.
अपकेंद्री बल $F_c$ का सूत्र $F_c = m\omega^2R$ है।
दिए गए मानों को रखने पर: $m = 5\,kg$,$\omega = 2\,rad/s$,और $R = 2\,m$.
$F_c = 5 \times (2)^2 \times 2 = 5 \times 4 \times 2 = 40\,N$.
अतः,बच्चे पर लगने वाला अपकेंद्री बल $40\,N$ है।

(A) अभिकेंद्र बल का सूत्र $F_c = m \omega^2 r$ है।
दिया गया है:
द्रव्यमान $m = 200\,kg$
कोणीय वेग $\omega = 0.2\,rad/s$
त्रिज्या $r = 70\,m$
सूत्र में मान रखने पर:
$F_c = 200 \times (0.2)^2 \times 70$
$F_c = 200 \times 0.04 \times 70$
$F_c = 8 \times 70 = 560\,N$.
अतः,वाहन पर कार्य करने वाला अभिकेंद्र बल $560\,N$ है।

(B) रेल के बैंकिंग के लिए, बैंकिंग कोण $\theta$ का मान $\tan \theta = \frac{v^2}{Rg}$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है: गति $v = 12 \,m/s$, त्रिज्या $R = 400 \,m$, पटरियों के बीच की दूरी $d = 1.5 \,m$, और $g = 10 \,m/s^2$.
मान रखने पर: $\tan \theta = \frac{12^2}{400 \times 10} = \frac{144}{4000} = 0.036$.
बैंकिंग ट्रैक की ज्यामिति से, $\tan \theta = \frac{h}{d}$, जहाँ $h$ बाहरी पटरी की ऊंचाई है।
अतः, $h = d \times \tan \theta = 1.5 \,m \times 0.036 = 0.054 \,m$.
सेंटीमीटर में बदलने पर: $h = 0.054 \times 100 \,cm = 5.4 \,cm$.

(B) डोरी में उत्पन्न तनाव $T$ गेंद की क्षैतिज वृत्ताकार गति के लिए आवश्यक अभिकेंद्र बल प्रदान करता है।
यहाँ द्रव्यमान $m = 0.5 \ kg$,लंबाई $\ell = 50 \ cm = 0.5 \ m$,और अधिकतम तनाव $T_{max} = 400 \ N$ दिया गया है।
क्षैतिज वृत्ताकार गति के लिए अभिकेंद्र बल का सूत्र $T = m \omega^2 \ell$ है।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$400 = 0.5 \times \omega^2 \times 0.5$
$400 = 0.25 \times \omega^2$
$\omega^2 = \frac{400}{0.25} = 1600$
$\omega = \sqrt{1600} = 40 \ rad/s$.
अतः,कोणीय वेग का अधिकतम संभव मान $40 \ rad/s$ है।

(B) दिया गया है: त्रिज्या $R = 9 \,m$.
आदमी $3$ मिनट में $120$ चक्कर पूरे करता है।
सबसे पहले,कोणीय वेग $\omega$ की गणना करें:
$\omega = \frac{120 \text{ चक्कर}}{3 \text{ मिनट}} = \frac{120 \times 2\pi \text{ रेडियन}}{3 \times 60 \text{ सेकंड}} = \frac{240\pi}{180} = \frac{4\pi}{3} \,rad/s$.
अभिकेंद्र त्वरण का सूत्र $a_c = \omega^2 R$ है।
मान रखने पर: $a_c = \left(\frac{4\pi}{3}\right)^2 \times 9 = \frac{16\pi^2}{9} \times 9 = 16\pi^2 \,m/s^2$.

(A) $\ell$ त्रिज्या के क्षैतिज वृत्त में $\omega$ कोणीय गति से घूमने वाले $m$ द्रव्यमान के बॉब के लिए,अभिकेंद्र बल डोरी में तनाव $T$ द्वारा प्रदान किया जाता है।
$T = m\ell\omega^2$ --- $(1)$
जब त्रिज्या $\ell$ को स्थिर रखते हुए कोणीय गति को बढ़ाकर $2\omega$ कर दिया जाता है,तो नया तनाव $T'$ इस प्रकार प्राप्त होता है:
$T' = m\ell(2\omega)^2$
$T' = m\ell(4\omega^2)$
$T' = 4(m\ell\omega^2)$
समीकरण $(1)$ को इस व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$T' = 4T$