Mix Examples-Trigonometrical Ratios, Functions and Identities Questions in Gujarati

(A) વિધાન $p$ માટે: $\sin 120^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$,તેથી $2\sin 120^\circ = \sqrt{3}$.
જમણી બાજુમાં $\theta = 240^\circ$ મૂકતા: $\sqrt{1 + \sin 240^\circ} - \sqrt{1 - \sin 240^\circ} = \sqrt{1 - \frac{\sqrt{3}}{2}} - \sqrt{1 + \frac{\sqrt{3}}{2}} = -1 \neq \sqrt{3}$. તેથી,વિધાન $p$ ખોટું છે.
વિધાન $q$ માટે: કોઈપણ ચતુષ્કોણ $ABCD$ માં,$A + B + C + D = 360^\circ$,તેથી $\frac{A+C}{2} + \frac{B+D}{2} = 180^\circ = \pi$.
ધારો કે $\alpha = \frac{A+C}{2}$,તો $\frac{B+D}{2} = \pi - \alpha$.
આમ,$\cos(\alpha) + \cos(\pi - \alpha) = \cos(\alpha) - \cos(\alpha) = 0$. તેથી,વિધાન $q$ સાચું છે.
તેથી,સત્યતા મૂલ્યો $F, T$ છે.

(D) ધારો કે $f(x) = \sqrt{2 \sin^4 x + 18 \cos^2 x} - \sqrt{2 \cos^4 x + 18 \sin^2 x}$.
આપણને $|f(x)| = 1$ આપેલ છે,જેનો અર્થ છે કે $f(x) = 1$ અથવા $f(x) = -1$.
$u = \sin^2 x$ લેતા,સમીકરણ ઉકેલતા $[0, 2\pi]$ અંતરાલમાં $x$ ના $8$ ઉકેલો મળે છે.

(C) ગણ $P$ માટે,આપણી પાસે $\sin \theta - \cos \theta = \sqrt{2} \cos \theta$ છે.
પુનઃગોઠવણ કરતા $\sin \theta = (\sqrt{2} + 1) \cos \theta$ મળે.
$(\sqrt{2} - 1)$ વડે ગુણતા,$(\sqrt{2} - 1) \sin \theta = (\sqrt{2} - 1)(\sqrt{2} + 1) \cos \theta$ મળે,જેનું સાદું રૂપ $(\sqrt{2} - 1) \sin \theta = \cos \theta$ થાય છે.
આમ,$\sin \theta + \cos \theta = \sqrt{2} \sin \theta$ મળે છે.
આ ગણ $Q$ માટેની શરત છે.
તેથી,$P = Q$.

(B) આપેલ છે કે $\cos \alpha + \cos \beta = \frac{3}{2}$ અને $\sin \alpha + \sin \beta = \frac{1}{2}$.
સરવાળાને ગુણાકારમાં ફેરવતા સૂત્રોનો ઉપયોગ કરતા:
$2 \cos \frac{\alpha+\beta}{2} \cos \frac{\alpha-\beta}{2} = \frac{3}{2}$ $(i)$
$2 \sin \frac{\alpha+\beta}{2} \cos \frac{\alpha-\beta}{2} = \frac{1}{2}$ $(ii)$
$(ii)$ ને $(i)$ વડે ભાગતા $\tan \frac{\alpha+\beta}{2} = \frac{1}{3}$ મળે.
કારણ કે $\theta = \frac{\alpha+\beta}{2}$,તેથી $\tan \theta = \frac{1}{3}$.
આપણે $\sin 2\theta + \cos 2\theta = \frac{2 \tan \theta}{1 + \tan^2 \theta} + \frac{1 - \tan^2 \theta}{1 + \tan^2 \theta}$ શોધવાનું છે.
$\tan \theta = \frac{1}{3}$ મૂકતા:
$= \frac{2(1/3)}{1 + 1/9} + \frac{1 - 1/9}{1 + 1/9} = \frac{2/3}{10/9} + \frac{8/9}{10/9} = \frac{6}{10} + \frac{8}{10} = \frac{14}{10} = \frac{7}{5}$.

(D) આપેલ છે $2 \cos \theta + \sin \theta = 1$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$(2 \cos \theta + \sin \theta)^2 = 1^2$.
$4 \cos^2 \theta + \sin^2 \theta + 4 \sin \theta \cos \theta = 1$.
$\sin^2 \theta = 1 - \cos^2 \theta$ મુકતા,$4 \cos^2 \theta + (1 - \cos^2 \theta) + 4 \sin \theta \cos \theta = 1$.
$3 \cos^2 \theta + 4 \sin \theta \cos \theta = 0$.
$\cos \theta (3 \cos \theta + 4 \sin \theta) = 0$.
$\theta \neq \frac{\pi}{2}$ હોવાથી,$\cos \theta \neq 0$,તેથી $3 \cos \theta + 4 \sin \theta = 0$,જેનો અર્થ છે $\tan \theta = -\frac{3}{4}$.
આપેલ સમીકરણમાં કિંમત મુકતા,$\cos \theta = \frac{4}{5}$ અને $\sin \theta = -\frac{3}{5}$ મળે છે.
તેથી,$7 \cos \theta + 6 \sin \theta = 7(\frac{4}{5}) + 6(-\frac{3}{5}) = \frac{28}{5} - \frac{18}{5} = \frac{10}{5} = 2$.

(A) કારણ કે $\sec(\theta - \phi)$,$\sec \theta$,અને $\sec(\theta + \phi)$ એ $A.P.$ માં છે,તેથી:
$2 \sec \theta = \sec(\theta - \phi) + \sec(\theta + \phi)$
$\frac{2}{\cos \theta} = \frac{\cos(\theta + \phi) + \cos(\theta - \phi)}{\cos(\theta - \phi) \cos(\theta + \phi)}$
$\frac{2}{\cos \theta} = \frac{2 \cos \theta \cos \phi}{\cos^2 \theta - \sin^2 \phi}$
$\cos^2 \theta - \sin^2 \phi = \cos^2 \theta \cos \phi$
$\cos^2 \theta (1 - \cos \phi) = \sin^2 \phi = 1 - \cos^2 \phi$
$\cos^2 \theta = 1 + \cos \phi = 2 \cos^2(\frac{\phi}{2})$
$\cos \theta = \pm \sqrt{2} \cos(\frac{\phi}{2})$
આપેલ છે કે $\cos \theta = k \cos(\frac{\phi}{2})$,તેથી $k = \pm \sqrt{2}$.

(B) આપેલ પદાવલિ: $E = 3(\sin \theta - \cos \theta)^4 + 6(\sin \theta + \cos \theta)^2 + 4\sin^6 \theta$
$(\sin \theta - \cos \theta)^2 = 1 - \sin 2\theta$ અને $(\sin \theta + \cos \theta)^2 = 1 + \sin 2\theta$ નો ઉપયોગ કરતા:
$E = 3(1 - \sin 2\theta)^2 + 6(1 + \sin 2\theta) + 4\sin^6 \theta$
$E = 3(1 - 2\sin 2\theta + \sin^2 2\theta) + 6 + 6\sin 2\theta + 4\sin^6 \theta$
$E = 9 + 3\sin^2 2\theta + 4\sin^6 \theta$
$\sin 2\theta = 2\sin \theta \cos \theta$ મૂકતા:
$E = 9 + 12\sin^2 \theta \cos^2 \theta + 4\sin^6 \theta$
$\sin^2 \theta = 1 - \cos^2 \theta$ હોવાથી:
$E = 9 + 12(1 - \cos^2 \theta)\cos^2 \theta + 4(1 - \cos^2 \theta)^3$
$E = 13 - 4\cos^6 \theta$

(A) $f_4(x) = \frac{\sin^4 x + \cos^4 x}{4} = \frac{(\sin^2 x + \cos^2 x)^2 - 2\sin^2 x \cos^2 x}{4} = \frac{1 - 2\sin^2 x \cos^2 x}{4} = \frac{1}{4} - \frac{1}{2}\sin^2 x \cos^2 x$
$f_6(x) = \frac{\sin^6 x + \cos^6 x}{6} = \frac{(\sin^2 x + \cos^2 x)(\sin^4 x - \sin^2 x \cos^2 x + \cos^4 x)}{6} = \frac{1 - 3\sin^2 x \cos^2 x}{6} = \frac{1}{6} - \frac{1}{2}\sin^2 x \cos^2 x$
$f_4(x) - f_6(x) = (\frac{1}{4} - \frac{1}{2}\sin^2 x \cos^2 x) - (\frac{1}{6} - \frac{1}{2}\sin^2 x \cos^2 x)$
$f_4(x) - f_6(x) = \frac{1}{4} - \frac{1}{6} = \frac{3-2}{12} = \frac{1}{12}$

(D) $AM \geq GM$ અસમતાનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{\sin^4 \alpha + 4 \cos^4 \beta + 1 + 1}{4} \geq (\sin^4 \alpha \cdot 4 \cos^4 \beta \cdot 1 \cdot 1)^{1/4}$
$\sin^4 \alpha + 4 \cos^4 \beta + 2 \geq 4\sqrt{2} \sin \alpha \cos \beta$
સમાનતા માટે,$\sin^4 \alpha = 1$ અને $4 \cos^4 \beta = 1$ થાય.
તેથી,$\sin \alpha = 1$ અને $\cos \beta = \pm 1/\sqrt{2}$ મળે.
$\alpha = \pi/2$ અને $\beta = \pi/4$ અથવા $3\pi/4$ લેતા,
$\cos(\alpha + \beta) = -1/\sqrt{2}$ મળે.

(B) ધારો કે $E = \cos^2 10^o - \cos 10^o \cos 50^o + \cos^2 50^o$.
$\frac{2}{2}$ વડે ગુણતા,$E = \frac{1}{2} (2 \cos^2 10^o - 2 \cos 10^o \cos 50^o + 2 \cos^2 50^o)$.
$2 \cos^2 \theta = 1 + \cos 2\theta$ અને $2 \cos A \cos B = \cos(A+B) + \cos(A-B)$ નિત્યસમનો ઉપયોગ કરતા:
$E = \frac{1}{2} [(1 + \cos 20^o) - (\cos 60^o + \cos(-40^o)) + (1 + \cos 100^o)]$.
$E = \frac{1}{2} [2 + \cos 20^o - \frac{1}{2} - \cos 40^o + \cos 100^o]$.
$E = \frac{1}{2} [\frac{3}{2} + \cos 20^o - 2 \sin 70^o \sin 30^o]$.
$\sin 30^o = \frac{1}{2}$ અને $\sin 70^o = \cos 20^o$ હોવાથી:
$E = \frac{1}{2} [\frac{3}{2} + \cos 20^o - \cos 20^o] = \frac{3}{4}$.

(D) આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin\theta \sin(60^o - \theta) \sin(60^o + \theta) = \frac{1}{4} \sin(3\theta)$.
આપેલ પદાવલિ: $E = \sin\,10^o \sin\,30^o \sin\,50^o \sin\,70^o$.
પદોને ગોઠવતા: $E = \sin\,30^o \times [\sin\,10^o \sin(60^o - 10^o) \sin(60^o + 10^o)]$.
$\theta = 10^o$ માટે નિત્યસમનો ઉપયોગ કરતા: $E = \sin\,30^o \times [\frac{1}{4} \sin(3 \times 10^o)]$.
$E = \sin\,30^o \times \frac{1}{4} \sin\,30^o$.
$\sin\,30^o = \frac{1}{2}$ હોવાથી,$E = \frac{1}{2} \times \frac{1}{4} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{16}$.

(C) આપેલ સમીકરણ: $y = \sin \,x \sin \,(x + 2) - \sin^2 \,(x + 1)$
$2$ વડે ગુણતા: $2y = 2 \sin \,x \sin \,(x + 2) - 2 \sin^2 \,(x + 1)$
નિત્યસમ $2 \sin \,A \sin \,B = \cos(A - B) - \cos(A + B)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$2 \sin \,x \sin \,(x + 2) = \cos(x - (x + 2)) - \cos(x + x + 2) = \cos(-2) - \cos(2x + 2) = \cos \,2 - \cos(2x + 2)$
નિત્યસમ $2 \sin^2 \,A = 1 - \cos(2A)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$2 \sin^2 \,(x + 1) = 1 - \cos(2(x + 1)) = 1 - \cos(2x + 2)$
આ કિંમતો સમીકરણમાં મૂકતા:
$2y = (\cos \,2 - \cos(2x + 2)) - (1 - \cos(2x + 2))$
$2y = \cos \,2 - 1$
અહીં $\cos \,2 < 1$ હોવાથી,$y < 0$ મળે.
આ એક આડી રેખા $y = k$ દર્શાવે છે જ્યાં $k < 0$,જે ત્રીજા અને ચોથા ચરણમાંથી પસાર થાય છે.

(C) આપેલ સમીકરણ: $\cos 2x + \alpha \sin x = 2\alpha - 7$
$\cos 2x = 1 - 2 \sin^2 x$ નો ઉપયોગ કરતા:
$1 - 2 \sin^2 x + \alpha \sin x = 2\alpha - 7$
$2 \sin^2 x - \alpha \sin x + 2\alpha - 8 = 0$
આ $\sin x$ માં દ્વિઘાત સમીકરણ છે. દ્વિઘાત સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$\sin x = \frac{\alpha \pm \sqrt{\alpha^2 - 16\alpha + 64}}{4} = \frac{\alpha \pm (\alpha - 8)}{4}$
કિસ્સો $1$: $\sin x = \frac{2\alpha - 8}{4} = \frac{\alpha - 4}{2}$
કિસ્સો $2$: $\sin x = 2$ (શક્ય નથી)
ઉકેલ માટે,$-1 \leq \frac{\alpha - 4}{2} \leq 1$
$-2 \leq \alpha - 4 \leq 2$
$2 \leq \alpha \leq 6$
તેથી,$S = [2, 6]$.

(B) આપેલ સમીકરણ $(k+1) \tan^{2} x - (\sqrt{2} \lambda) \tan x + (k-1) = 0$ છે.
ધારો કે $t = \tan x$. તેથી $(k+1) t^{2} - (\sqrt{2} \lambda) t + (k-1) = 0$.
$\alpha$ અને $\beta$ બીજ હોવાથી,$\tan \alpha$ અને $\tan \beta$ એ આ દ્વિઘાત સમીકરણના બીજ છે.
બીજનો સરવાળો: $\tan \alpha + \tan \beta = \frac{\sqrt{2} \lambda}{k+1}$.
બીજનો ગુણાકાર: $\tan \alpha \tan \beta = \frac{k-1}{k+1}$.
સૂત્ર $\tan(\alpha+\beta) = \frac{\tan \alpha + \tan \beta}{1 - \tan \alpha \tan \beta}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\tan(\alpha+\beta) = \frac{\frac{\sqrt{2} \lambda}{k+1}}{1 - \frac{k-1}{k+1}} = \frac{\sqrt{2} \lambda}{2} = \frac{\lambda}{\sqrt{2}}$.
આપેલ છે કે $\tan^{2}(\alpha+\beta) = 50$,તેથી $\left(\frac{\lambda}{\sqrt{2}}\right)^{2} = 50$.
$\frac{\lambda^{2}}{2} = 50 \implies \lambda^{2} = 100 \implies \lambda = \pm 10$.
આમ,$\lambda$ ની એક શક્ય કિંમત $10$ છે.

(A) આપેલ છે કે $\frac{\sqrt{2} \sin \alpha}{\sqrt{1+\cos 2 \alpha}}=\frac{1}{7}$. કારણ કે $1+\cos 2 \alpha = 2 \cos^2 \alpha$,તેથી $\frac{\sqrt{2} \sin \alpha}{\sqrt{2} \cos \alpha} = \tan \alpha = \frac{1}{7}$.
આપેલ છે કે $\sqrt{\frac{1-\cos 2 \beta}{2}}=\frac{1}{\sqrt{10}}$. કારણ કે $1-\cos 2 \beta = 2 \sin^2 \beta$,તેથી $\sin \beta = \frac{1}{\sqrt{10}}$.
$\sin \beta = \frac{1}{\sqrt{10}}$ હોવાથી,$\tan \beta = \frac{1}{3}$ મળે.
સૂત્ર $\tan 2 \beta = \frac{2 \tan \beta}{1-\tan^2 \beta} = \frac{3}{4}$ નો ઉપયોગ કરતા.
અંતે,$\tan (\alpha+2 \beta) = \frac{\tan \alpha + \tan 2 \beta}{1 - \tan \alpha \tan 2 \beta} = \frac{1/7 + 3/4}{1 - (1/7)(3/4)} = 1$.

(C) ધારો કે $\theta = \frac{\pi}{8}$. તેથી $\frac{3\pi}{8} = 3\theta$.
આપેલ પદાવલિ $\cos^{3}(\theta) \cos(3\theta) + \sin^{3}(\theta) \sin(3\theta)$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\cos(\frac{3\pi}{8}) = \sin(\frac{\pi}{8})$ અને $\sin(\frac{3\pi}{8}) = \cos(\frac{\pi}{8})$.
કિંમતો મૂકતા: $\cos^{3}(\frac{\pi}{8}) \sin(\frac{\pi}{8}) + \sin^{3}(\frac{\pi}{8}) \cos(\frac{\pi}{8})$.
$\sin(\frac{\pi}{8}) \cos(\frac{\pi}{8})$ સામાન્ય લેતા:
$= \sin(\frac{\pi}{8}) \cos(\frac{\pi}{8}) [\cos^{2}(\frac{\pi}{8}) + \sin^{2}(\frac{\pi}{8})]$.
$\cos^{2}(\theta) + \sin^{2}(\theta) = 1$ હોવાથી,આ $\sin(\frac{\pi}{8}) \cos(\frac{\pi}{8})$ થાય.
$\sin(2\theta) = 2\sin(\theta)\cos(\theta)$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$\frac{1}{2} \sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{1}{2\sqrt{2}}$.

(A) $L.H.S. = \cot x \cot 2x - \cot 2x \cot 3x - \cot 3x \cot x$
$= \cot x \cot 2x - \cot 3x(\cot 2x + \cot x)$
$= \cot x \cot 2x - \cot(2x + x)(\cot 2x + \cot x)$
$= \cot x \cot 2x - \left[ \frac{\cot 2x \cot x - 1}{\cot x + \cot 2x} \right](\cot 2x + \cot x)$
$\left[ \because \cot(A + B) = \frac{\cot A \cot B - 1}{\cot A + \cot B} \right]$
$= \cot x \cot 2x - (\cot 2x \cot x - 1) = 1 = R.H.S.$

(N/A) $L.H.S.$ $= (\sin 3x + \sin x) \sin x + (\cos 3x - \cos x) \cos x$
$= \sin 3x \sin x + \sin^2 x + \cos 3x \cos x - \cos^2 x$
$= (\cos 3x \cos x + \sin 3x \sin x) - (\cos^2 x - \sin^2 x)$
$= \cos(3x - x) - \cos 2x$
$= \cos 2x - \cos 2x$
$= 0$
$= R.H.S.$

(A) ધારો કે $A, B, C$ ના યામ $(R\cos \alpha, R\sin \alpha), (R\cos \beta, R\sin \beta)$ અને $(R\cos \gamma, R\sin \gamma)$ છે.
પરિકેન્દ્ર ઉગમબિંદુ પર હોવાથી,$A, B, C$ નું ઉગમબિંદુથી અંતર $R$ છે.
$\Delta ABC$ નું લંબકેન્દ્ર $H$ એ $(R(\cos \alpha + \cos \beta + \cos \gamma), R(\sin \alpha + \sin \beta + \sin \gamma))$ છે.
લંબકેન્દ્ર $y$-અક્ષ પર હોવાથી,તેનો $x$-યામ શૂન્ય થાય:
$R(\cos \alpha + \cos \beta + \cos \gamma) = 0 \implies \cos \alpha + \cos \beta + \cos \gamma = 0$.
નિત્યસમ $\cos^3 \theta = \frac{1}{4}(\cos 3\theta + 3\cos \theta)$ નો ઉપયોગ કરતા,$\cos 3\alpha + \cos 3\beta + \cos 3\gamma = 4(\cos^3 \alpha + \cos^3 \beta + \cos^3 \gamma) - 3(\cos \alpha + \cos \beta + \cos \gamma)$.
જો $a+b+c=0$ હોય,તો $a^3+b^3+c^3 = 3abc$ થાય.
તેથી,$\cos^3 \alpha + \cos^3 \beta + \cos^3 \gamma = 3 \cos \alpha \cos \beta \cos \gamma$.
આ કિંમત મૂકતા:
$\frac{\cos 3\alpha + \cos 3\beta + \cos 3\gamma}{\cos \alpha \cos \beta \cos \gamma} = \frac{4(3 \cos \alpha \cos \beta \cos \gamma) - 0}{\cos \alpha \cos \beta \cos \gamma} = 12$.
તેથી,માંગેલ કિંમત $12^2 = 144$ છે.

(D) આપેલ છે $15 \sin^{4} \alpha + 10 \cos^{4} \alpha = 6$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $6 = 6(\sin^{2} \alpha + \cos^{2} \alpha)^{2} = 6(\sin^{4} \alpha + \cos^{4} \alpha + 2 \sin^{2} \alpha \cos^{2} \alpha)$.
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા:
$15 \sin^{4} \alpha + 10 \cos^{4} \alpha = 6 \sin^{4} \alpha + 6 \cos^{4} \alpha + 12 \sin^{2} \alpha \cos^{2} \alpha$.
$9 \sin^{4} \alpha + 4 \cos^{4} \alpha - 12 \sin^{2} \alpha \cos^{2} \alpha = 0$.
$(3 \sin^{2} \alpha - 2 \cos^{2} \alpha)^{2} = 0$.
આથી $3 \sin^{2} \alpha = 2 \cos^{2} \alpha$,એટલે કે $\tan^{2} \alpha = \frac{2}{3}$ અને $\cot^{2} \alpha = \frac{3}{2}$.
હવે,$27 \sec^{6} \alpha + 8 \operatorname{cosec}^{6} \alpha = 27(1 + \tan^{2} \alpha)^{3} + 8(1 + \cot^{2} \alpha)^{3}$.
$= 27(1 + \frac{2}{3})^{3} + 8(1 + \frac{3}{2})^{3}$.
$= 27(\frac{5}{3})^{3} + 8(\frac{5}{2})^{3}$.
$= 27 \times \frac{125}{27} + 8 \times \frac{125}{8}$.
$= 125 + 125 = 250$.

(B) આપેલ છે કે $\cos x + \cos y - \cos(x + y) = \frac{3}{2}$.
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમનો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:
$x = y$ અને $\cos x = \frac{1}{2}$.
તેથી,$x = \frac{\pi}{3}$ અને $y = \frac{\pi}{3}$.
હવે,$\sin x + \cos y = \sin(\frac{\pi}{3}) + \cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2} = \frac{1+\sqrt{3}}{2}$.

(D) આપણને આપેલ છે કે $p = \sum_{r=1}^{50} \tan ^{-1} \frac{1}{2 r^{2}}$.
પ્રથમ,$\tan ^{-1} x - \tan ^{-1} y = \tan ^{-1} \frac{x-y}{1+xy}$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરવા માટે અંશ અને છેદને $2$ વડે ગુણો.
$p = \sum_{r=1}^{50} \tan ^{-1} \frac{2}{4 r^{2}} = \sum_{r=1}^{50} \tan ^{-1} \frac{(2r+1)-(2r-1)}{1+(2r+1)(2r-1)}$.
આ $\sum_{r=1}^{n} (\tan ^{-1}(a_{r+1}) - \tan ^{-1}(a_r))$ સ્વરૂપની ટેલિસ્કોપિંગ શ્રેણી છે.
$p = (\tan ^{-1} 3 - \tan ^{-1} 1) + (\tan ^{-1} 5 - \tan ^{-1} 3) + \dots + (\tan ^{-1} 101 - \tan ^{-1} 99)$.
બધા મધ્યવર્તી પદો ઉડી જશે,તેથી $p = \tan ^{-1} 101 - \tan ^{-1} 1$ વધશે.
$\tan ^{-1} x - \tan ^{-1} y = \tan ^{-1} \frac{x-y}{1+xy}$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે $p = \tan ^{-1} \frac{101-1}{1+(101)(1)} = \tan ^{-1} \frac{100}{102} = \tan ^{-1} \frac{50}{51}$.
તેથી,$\tan p = \frac{50}{51}$.

(C) ધારો કે પદાવલિ $E = 2 \sin(\frac{\pi}{8}) \sin(\frac{2\pi}{8}) \sin(\frac{3\pi}{8}) \sin(\frac{5\pi}{8}) \sin(\frac{6\pi}{8}) \sin(\frac{7\pi}{8})$ છે.
ગુણધર્મ $\sin(\pi - \theta) = \sin \theta$ નો ઉપયોગ કરતા,$\sin(\frac{7\pi}{8}) = \sin(\frac{\pi}{8})$,$\sin(\frac{6\pi}{8}) = \sin(\frac{2\pi}{8})$,અને $\sin(\frac{5\pi}{8}) = \sin(\frac{3\pi}{8})$ મળે.
આ કિંમતો મૂકતા,$E = 2 \sin^2(\frac{\pi}{8}) \sin^2(\frac{2\pi}{8}) \sin^2(\frac{3\pi}{8})$.
$\sin(\frac{2\pi}{8}) = \sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{1}{\sqrt{2}}$ હોવાથી,$\sin^2(\frac{2\pi}{8}) = \frac{1}{2}$ થાય.
તેથી,$E = 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \sin^2(\frac{\pi}{8}) \sin^2(\frac{3\pi}{8}) = \sin^2(\frac{\pi}{8}) \cos^2(\frac{\pi}{8})$ (કારણ કે $\sin(\frac{3\pi}{8}) = \cos(\frac{\pi}{8})$).
$E = (\sin(\frac{\pi}{8}) \cos(\frac{\pi}{8}))^2 = (\frac{1}{2} \sin(\frac{2\pi}{8}))^2 = (\frac{1}{2} \sin(\frac{\pi}{4}))^2 = (\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}})^2 = \frac{1}{4 \cdot 2} = \frac{1}{8}$.

(D) આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin 18^{\circ} = \frac{\sqrt{5}-1}{4}$.
તેથી,$\operatorname{cosec} 18^{\circ} = \frac{1}{\sin 18^{\circ}} = \frac{4}{\sqrt{5}-1}$.
છેદનું સંમેયીકરણ કરતા,$\operatorname{cosec} 18^{\circ} = \frac{4(\sqrt{5}+1)}{5-1} = \sqrt{5}+1$ મળે.
ધારો કે $x = \sqrt{5}+1$.
તેથી $x-1 = \sqrt{5}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$(x-1)^{2} = 5$.
$x^{2}-2x+1 = 5$.
$x^{2}-2x-4 = 0$.

(B) આપેલ સમીકરણ: $32^{\tan^{2} x} + 32^{\sec^{2} x} = 81$
નિત્યસમ $\sec^{2} x = 1 + \tan^{2} x$ નો ઉપયોગ કરતા:
$32^{\tan^{2} x} + 32^{1 + \tan^{2} x} = 81$
ધારો કે $y = 32^{\tan^{2} x}$. તો સમીકરણ નીચે મુજબ બનશે:
$y + 32y = 81$
$33y = 81$
$y = \frac{81}{33} = \frac{27}{11}$
તેથી,$32^{\tan^{2} x} = \frac{27}{11}$.
બંને બાજુ $\log_{32}$ લેતા:
$\tan^{2} x = \log_{32} \left(\frac{27}{11}\right)$.
અંતરાલ $0 \leq x \leq \frac{\pi}{4}$ માટે,$0 \leq \tan^{2} x \leq 1$ થાય.
અહીં $1 < \frac{27}{11} < 32$ હોવાથી,$0 < \log_{32} \left(\frac{27}{11}\right) < 1$ મળે.
આમ,અંતરાલ $[0, \frac{\pi}{4}]$ માં $x$ ની એક જ કિંમત મળે છે.
તેથી,ઉકેલોની સંખ્યા $1$ છે.

(C) આપેલ છે $\sin \theta + \cos \theta = \frac{1}{2}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $(\sin \theta + \cos \theta)^2 = (\frac{1}{2})^2$ $\Rightarrow 1 + \sin(2\theta) = \frac{1}{4}$ $\Rightarrow \sin(2\theta) = -\frac{3}{4}$.
તેથી $\cos^2(2\theta) = 1 - \sin^2(2\theta) = 1 - (-\frac{3}{4})^2 = 1 - \frac{9}{16} = \frac{7}{16}$.
આપણે $16(\sin(2\theta) + \cos(4\theta) + \sin(6\theta))$ ની કિંમત શોધવાની છે.
સરવાળાથી ગુણાકારના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $\sin(2\theta) + \sin(6\theta) = 2\sin(4\theta)\cos(2\theta)$.
તેથી પદાવલિ $16(2\sin(4\theta)\cos(2\theta) + \cos(4\theta))$ થશે.
$\sin(4\theta) = 2\sin(2\theta)\cos(2\theta)$ અને $\cos(4\theta) = 2\cos^2(2\theta) - 1$ હોવાથી:
$16(4\sin(2\theta)\cos^2(2\theta) + 2\cos^2(2\theta) - 1)$.
કિંમતો મૂકતા: $16(4(-\frac{3}{4})(\frac{7}{16}) + 2(\frac{7}{16}) - 1) = 16(-\frac{21}{16} + \frac{14}{16} - 1) = 16(-\frac{7}{16} - 1) = -7 - 16 = -23$.

(A) આપેલ છે કે $\tan \left(\frac{\pi}{9}\right), x, \tan \left(\frac{7 \pi}{18}\right)$ સમાંતર શ્રેણીમાં છે,તેથી $2x = \tan \left(\frac{\pi}{9}\right) + \tan \left(\frac{7 \pi}{18}\right)$,એટલે કે $x = \frac{1}{2} \left(\tan \frac{\pi}{9} + \tan \frac{7 \pi}{18}\right)$.
તે જ રીતે,$\tan \left(\frac{\pi}{9}\right), y, \tan \left(\frac{5 \pi}{18}\right)$ સમાંતર શ્રેણીમાં છે,તેથી $2y = \tan \left(\frac{\pi}{9}\right) + \tan \left(\frac{5 \pi}{18}\right)$.
હવે,$|x - 2y|$ ની કિંમત શોધતા:
$x - 2y = \frac{1}{2} \left(\tan \frac{\pi}{9} + \tan \frac{7 \pi}{18}\right) - \left(\tan \frac{\pi}{9} + \tan \frac{5 \pi}{18}\right)$.
નિત્યસમ $\tan \left(\frac{7 \pi}{18}\right) = \cot \left(\frac{\pi}{9}\right)$ અને $\tan \left(\frac{5 \pi}{18}\right) = \cot \left(\frac{2 \pi}{9}\right)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$x - 2y = \frac{1}{2} \left(\cot \frac{\pi}{9} - \tan \frac{\pi}{9}\right) - \cot \frac{2 \pi}{9} = \cot \frac{2 \pi}{9} - \cot \frac{2 \pi}{9} = 0$.
આમ,$|x - 2y| = 0$.

(D) આપણી પાસે પદાવલિ $2 \sin(12^{\circ}) - \sin(72^{\circ})$ છે.
નિત્યસમ $\sin(C) - \sin(D) = 2 \cos\left(\frac{C+D}{2}\right) \sin\left(\frac{C-D}{2}\right)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$= \sin(12^{\circ}) + (\sin(12^{\circ}) - \sin(72^{\circ}))$
$= \sin(12^{\circ}) - 2 \cos(42^{\circ}) \sin(30^{\circ})$
$\sin(30^{\circ}) = \frac{1}{2}$ હોવાથી:
$= \sin(12^{\circ}) - \cos(42^{\circ})$
$= \sin(12^{\circ}) - \sin(48^{\circ})$
ફરીથી નિત્યસમનો ઉપયોગ કરતા:
$= 2 \cos(30^{\circ}) \sin(-18^{\circ}) = -2 \cos(30^{\circ}) \sin(18^{\circ})$
કિંમતો મૂકતા:
$= -2 \times \frac{\sqrt{3}}{2} \times \frac{\sqrt{5}-1}{4} = \frac{\sqrt{3}(1-\sqrt{5})}{4}$

(B) આપણે નિત્યસમ $\sin(\theta) \sin(60^{\circ}-\theta) \sin(60^{\circ}+\theta) = \frac{1}{4} \sin(3\theta)$ નો ઉપયોગ કરીશું.
આપેલ પદાવલિ: $16 \sin(20^{\circ}) \sin(40^{\circ}) \sin(80^{\circ})$.
આને $16 \sin(20^{\circ}) \sin(60^{\circ}-20^{\circ}) \sin(60^{\circ}+20^{\circ})$ તરીકે લખી શકાય.
$\theta = 20^{\circ}$ માટે નિત્યસમનો ઉપયોગ કરતા:
$= 16 \times \left( \frac{1}{4} \sin(3 \times 20^{\circ}) \right)$.
$= 4 \sin(60^{\circ})$.
$= 4 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 2 \sqrt{3}$.

(C) ધારો કે $S = \sin^{2}(10^{\circ}) \sin(20^{\circ}) \sin(40^{\circ}) \sin(50^{\circ}) \sin(70^{\circ})$.
નિત્યસમ $\sin(\theta) \sin(60^{\circ}-\theta) \sin(60^{\circ}+\theta) = \frac{1}{4} \sin(3\theta)$ નો ઉપયોગ કરતા,$\sin(10^{\circ}) \sin(50^{\circ}) \sin(70^{\circ}) = \frac{1}{4} \sin(30^{\circ}) = \frac{1}{8}$ મળે.
આ કિંમત પદાવલિમાં મૂકતા:
$S = \sin(10^{\circ}) \cdot \sin(20^{\circ}) \sin(40^{\circ}) \cdot [\sin(10^{\circ}) \sin(50^{\circ}) \sin(70^{\circ})]$
$S = \sin(10^{\circ}) \cdot \sin(20^{\circ}) \sin(40^{\circ}) \cdot \frac{1}{8}$.
$2 \sin A \sin B = \cos(A-B) - \cos(A+B)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$S = \frac{1}{8} \sin(10^{\circ}) \cdot \frac{1}{2} [\cos(20^{\circ}) - \cos(60^{\circ})] = \frac{1}{16} \sin(10^{\circ}) [\cos(20^{\circ}) - \frac{1}{2}]$
$S = \frac{1}{16} \sin(10^{\circ}) \cos(20^{\circ}) - \frac{1}{32} \sin(10^{\circ})$.
$2 \sin A \cos B = \sin(A+B) + \sin(A-B)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$S = \frac{1}{32} [\sin(30^{\circ}) + \sin(-10^{\circ})] - \frac{1}{32} \sin(10^{\circ})$
$S = \frac{1}{32} [\frac{1}{2} - \sin(10^{\circ})] - \frac{1}{32} \sin(10^{\circ}) = \frac{1}{64} - \frac{1}{16} \sin(10^{\circ})$.
$\alpha - \frac{1}{16} \sin(10^{\circ})$ સાથે સરખાવતા,$\alpha = \frac{1}{64}$ મળે.
તેથી,$16 + \alpha^{-1} = 16 + 64 = 80$.

(A) આપેલ સમીકરણ: $3 \cos^2 2\theta + 6 \cos 2\theta - 10 \cos^2 \theta + 5 = 0$
નિત્યસમ $\cos^2 \theta = \frac{1 + \cos 2\theta}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$3 \cos^2 2\theta + 6 \cos 2\theta - 10(\frac{1 + \cos 2\theta}{2}) + 5 = 0$
$3 \cos^2 2\theta + 6 \cos 2\theta - 5 - 5 \cos 2\theta + 5 = 0$
$3 \cos^2 2\theta + \cos 2\theta = 0$
$\cos 2\theta(3 \cos 2\theta + 1) = 0$
આ બે કિસ્સાઓ આપે છે:
કિસ્સો $1$: $\cos 2\theta = 0$
$\theta \in [-4\pi, 4\pi]$ માટે,$2\theta \in [-8\pi, 8\pi]$.
$\cos 2\theta = 0 \implies 2\theta = (2n+1)\frac{\pi}{2}$,જ્યાં $n \in \{-8, -7, \dots, 7\}$.
$[-8\pi, 8\pi]$ અંતરાલમાં $2\theta$ માટે $16$ કિંમતો છે,તેથી $\theta$ માટે $16$ કિંમતો મળે.
કિસ્સો $2$: $\cos 2\theta = -\frac{1}{3}$
$-1 < -\frac{1}{3} < 1$ હોવાથી,$2\pi$ લંબાઈના દરેક અંતરાલમાં $2\theta$ માટે $2$ ઉકેલો મળે.
$[-8\pi, 8\pi]$ અંતરાલમાં (લંબાઈ $16\pi$),કુલ $8 \times 2 = 16$ ઉકેલો મળે.
ઘટકોની કુલ સંખ્યા $= 16 + 16 = 32$.

(B) ધારો કે $S = 2 \sin \frac{\pi}{22} \sin \frac{3 \pi}{22} \sin \frac{5 \pi}{22} \sin \frac{7 \pi}{22} \sin \frac{9 \pi}{22}$.
$\sin \theta = \cos \left(\frac{\pi}{2} - \theta\right)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\sin \frac{\pi}{22} = \cos \frac{5 \pi}{11}, \sin \frac{3 \pi}{22} = \cos \frac{4 \pi}{11}, \sin \frac{5 \pi}{22} = \cos \frac{3 \pi}{11}, \sin \frac{7 \pi}{22} = \cos \frac{2 \pi}{11}, \sin \frac{9 \pi}{22} = \cos \frac{\pi}{11}$.
તેથી,$S = 2 \cos \frac{\pi}{11} \cos \frac{2 \pi}{11} \cos \frac{3 \pi}{11} \cos \frac{4 \pi}{11} \cos \frac{5 \pi}{11}$.
સૂત્ર $\prod_{k=1}^{n} \cos \frac{k \pi}{2n+1} = \frac{1}{2^n}$ નો ઉપયોગ કરતા,$n=5$ માટે,$\prod_{k=1}^{5} \cos \frac{k \pi}{11} = \frac{1}{2^5} = \frac{1}{32}$.
આમ,$S = 2 \times \frac{1}{32} = \frac{1}{16}$.

(C) ધારો કે $y = 8^{2 \sin^2 \theta}$. $\cos^2 \theta = 1 - \sin^2 \theta$ હોવાથી,સમીકરણ $y + \frac{64}{y} = 16$ બને છે.
આથી $y^2 - 16y + 64 = 0$,એટલે કે $(y - 8)^2 = 0$,જે $y = 8$ આપે છે.
તેથી $8^{2 \sin^2 \theta} = 8^1$,એટલે કે $2 \sin^2 \theta = 1$,અથવા $\sin^2 \theta = \frac{1}{2}$.
આથી $\theta = \frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}, \frac{7\pi}{4}$,તેથી $n(S) = 4$.
દરેક $\theta \in S$ માટે,$\frac{\pi}{4} + 2\theta \in \{\frac{3\pi}{4}, \frac{7\pi}{4}, \frac{11\pi}{4}, \frac{15\pi}{4}\}$.
પદાવલિ $\sum \frac{2}{\sin(\frac{\pi}{2} + 4\theta)} = \sum \frac{2}{\cos(4\theta)}$ થાય છે.
બધા $\theta \in S$ માટે,$\cos(4\theta) = -1$ થાય છે.
તેથી સરવાળો $4 \times (-2) = -8$ થાય છે.
અંતે,$n(S) + \text{સરવાળો} = 4 - 8 = -4$.

(C) ધારો કે $\alpha = \theta + (m-1) \frac{\pi}{6}$ અને $\beta = \theta + m \frac{\pi}{6}$.
તેથી $\beta - \alpha = \frac{\pi}{6}$.
સરવાળો $\sum_{m=1}^{9} \sec \alpha \sec \beta = \sum_{m=1}^{9} \frac{1}{\cos \alpha \cos \beta}$ છે.
$\sin(\beta - \alpha) = \sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$ વડે ગુણતા અને ભાગતા,આપણને મળે:
$2 \sum_{m=1}^{9} \frac{\sin(\beta - \alpha)}{\cos \alpha \cos \beta} = 2 \sum_{m=1}^{9} (\tan \beta - \tan \alpha)$.
આ એક ટેલિસ્કોપિંગ શ્રેણી છે: $2 \left( \tan \left( \theta + \frac{9\pi}{6} \right) - \tan \theta \right) = 2 (\tan(\theta + \frac{3\pi}{2}) - \tan \theta) = 2(-\cot \theta - \tan \theta)$.
આપેલ છે કે $2(-\cot \theta - \tan \theta) = -\frac{8}{\sqrt{3}}$,તેથી $\tan \theta + \cot \theta = \frac{4}{\sqrt{3}}$.
ધારો કે $x = \tan \theta$,તો $x + \frac{1}{x} = \frac{4}{\sqrt{3}} \implies \sqrt{3}x^2 - 4x + \sqrt{3} = 0$.
દ્વિઘાત સમીકરણ ઉકેલતા: $(\sqrt{3}x - 1)(x - \sqrt{3}) = 0$,તેથી $\tan \theta = \frac{1}{\sqrt{3}}$ અથવા $\tan \theta = \sqrt{3}$.
આમ,$\theta = \frac{\pi}{6}$ અથવા $\theta = \frac{\pi}{3}$.
$S = \left\{ \frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{3} \right\}$,તેથી $\sum_{\theta \in S} \theta = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{2}$.

(A) આપેલ સમીકરણ: $2 \cos \left(\frac{x^{2}+x}{6}\right) = 4^{x} + 4^{-x}$
આપણે જાણીએ છીએ કે કોસાઇન વિધેયનો વિસ્તાર $[-1, 1]$ છે,તેથી $2 \cos \left(\frac{x^{2}+x}{6}\right) \leq 2$.
$R$.$H$.$S$. માટે,સમાંતર મધ્યક-ભૌમિતિક મધ્યકની અસમતા $(AM \geq GM)$ મુજબ,$\frac{4^{x} + 4^{-x}}{2} \geq \sqrt{4^{x} \cdot 4^{-x}} = 1$,જે સૂચવે છે કે $4^{x} + 4^{-x} \geq 2$.
સમીકરણ સંતોષવા માટે,બંને બાજુ $2$ હોવી જોઈએ.
$2 \cos \left(\frac{x^{2}+x}{6}\right) = 2 \implies \cos \left(\frac{x^{2}+x}{6}\right) = 1$
$4^{x} + 4^{-x} = 2 \implies (2^{x} - 2^{-x})^{2} + 2 = 2 \implies 2^{x} = 2^{-x} \implies x = 0$.
$x = 0$ ને કોસાઇન ભાગમાં મૂકતા: $\cos \left(\frac{0^{2}+0}{6}\right) = \cos(0) = 1$. આ સમીકરણનું સમાધાન કરે છે.
આમ,ગણ $S$ માં માત્ર $1$ ઘટક છે.

(B) આપેલ ત્રિકોણમિતીય સંબંધ:
$(\frac{1}{3} \sin \theta + \frac{2}{3} \cos \theta)^2 = \frac{1}{3} \sin^2 \theta + \frac{2}{3} \cos^2 \theta$
ડાબી બાજુનું વિસ્તરણ કરતા:
$\frac{1}{9} \sin^2 \theta + \frac{4}{9} \cos^2 \theta + \frac{4}{9} \sin \theta \cos \theta = \frac{1}{3} \sin^2 \theta + \frac{2}{3} \cos^2 \theta$
$9$ વડે ગુણતા:
$\sin^2 \theta + 4 \cos^2 \theta + 4 \sin \theta \cos \theta = 3 \sin^2 \theta + 6 \cos^2 \theta$
પદોને ગોઠવતા:
$2 \sin^2 \theta + 2 \cos^2 \theta - 4 \sin \theta \cos \theta = 0$
$2$ વડે ભાગતા:
$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta - 2 \sin \theta \cos \theta = 0$
$(\sin \theta - \cos \theta)^2 = 0$
$\sin \theta = \cos \theta \Rightarrow \tan \theta = 1$
$\theta \in [0, \pi]$ માટે,$\tan \theta = 1$ નો અર્થ છે $\theta = \frac{\pi}{4}$.
આમ,$A \cap [0, \pi] = \{\frac{\pi}{4}\}$,જેમાં બરાબર એક બિંદુ છે.

(D) આપણને ગણ $S = \{x \in R : \cos(x) + \cos(\sqrt{2}x) < 2\}$ આપેલ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે કોસાઈન વિધેયની મહત્તમ કિંમત $1$ છે,જે ત્યારે મળે છે જ્યારે તેનો ખૂણો $2\pi$ નો પૂર્ણાંક ગુણક હોય.
$\cos(x) + \cos(\sqrt{2}x) = 2$ થવા માટે,$\cos(x)$ અને $\cos(\sqrt{2}x)$ બંને એકસાથે $1$ હોવા જોઈએ.
આનો અર્થ એ છે કે $x = 2n\pi$ અને $\sqrt{2}x = 2m\pi$ કોઈ પૂર્ણાંકો $n, m$ માટે.
જો $x = 0$ હોય,તો $n = 0$ અને $m = 0$,જે શરત $\cos(0) + \cos(0) = 1 + 1 = 2$ નું પાલન કરે છે.
જો $x \neq 0$ હોય,તો $\frac{\sqrt{2}x}{x} = \frac{2m\pi}{2n\pi} \implies \sqrt{2} = \frac{m}{n}$,જે અશક્ય છે કારણ કે $\sqrt{2}$ અસંમેય સંખ્યા છે.
આમ,સરવાળો $\cos(x) + \cos(\sqrt{2}x)$ ફક્ત $x = 0$ માટે જ $2$ થાય છે,અને બાકીના તમામ $x \in R \setminus \{0\}$ માટે તે $2$ કરતા નાનો રહે છે.
તેથી,$S = R \setminus \{0\}$.

(B) આપેલ સમીકરણ: $\cos^2(x \sin(2x)) + \frac{1}{1+x^2} = \cos^2 x + \sec^2 x$.
ડાબી બાજુ $(LHS)$ ધ્યાનમાં લો: $f(x) = \cos^2(x \sin(2x)) + \frac{1}{1+x^2}$.
દરેક વાસ્તવિક $x$ માટે $\cos^2(\theta) \leq 1$ અને $\frac{1}{1+x^2} \leq 1$ હોવાથી,$f(x) \leq 1 + 1 = 2$ થાય.
જમણી બાજુ $(RHS)$ ધ્યાનમાં લો: $g(x) = \cos^2 x + \sec^2 x$.
સમાંતર મધ્યક-ભૌમિતિક મધ્યક અસમતા $(AM \geq GM)$ મુજબ,$\cos^2 x + \sec^2 x \geq 2 \sqrt{\cos^2 x \cdot \sec^2 x} = 2 \sqrt{1} = 2$ થાય.
સમીકરણ સંતોષવા માટે,$f(x) = 2$ અને $g(x) = 2$ હોવું જોઈએ.
$g(x) = 2$ ત્યારે થાય જ્યારે $\cos^2 x = \sec^2 x$,જેનો અર્થ છે $\cos^4 x = 1$,એટલે કે $\cos x = \pm 1$,એટલે કે $x = n\pi$ જ્યાં $n \in \mathbb{Z}$.
જો $x = 0$ હોય,તો $f(0) = \cos^2(0) + \frac{1}{1+0} = 1 + 1 = 2$ અને $g(0) = \cos^2(0) + \sec^2(0) = 1 + 1 = 2$.
જો $x = n\pi$ જ્યાં $n \neq 0$ હોય,તો $\frac{1}{1+x^2} < 1$ થાય,તેથી $f(x) < 2$,જે $f(x) = 2$ સાથે વિરોધાભાસ ધરાવે છે.
આમ,માત્ર એક જ વાસ્તવિક ઉકેલ $x = 0$ છે.

(A) આપેલ પ્રચલિત સમીકરણો: $x(\theta) = |\cos 4\theta| \cos \theta$ અને $y(\theta) = |\cos 4\theta| \sin \theta$.
આપણે તેને ધ્રુવીય સ્વરૂપમાં દર્શાવી શકીએ છીએ,જ્યાં $r^2 = x^2 + y^2 = |\cos 4\theta|^2 (\cos^2 \theta + \sin^2 \theta) = \cos^2 4\theta$. તેથી,$r = |\cos 4\theta|$.
વક્ર $r = |\cos 4\theta|$ એ $8$ પાંખડીઓ વાળો ગુલાબ આકારનો વક્ર છે કારણ કે $\theta$ નો સહગુણક $4$ છે (બેકી સંખ્યા હોવાથી,$2n = 8$ પાંખડીઓ).
બિંદુઓનું મૂલ્યાંકન:

$\theta$	$x(\theta)$	$y(\theta)$
$0$	$1$	$0$
$45^{\circ}$	$0$	$0$
$90^{\circ}$	$0$	$-1$
$180^{\circ}$	$-1$	$0$

આલેખ $8$ પાંખડીઓ દર્શાવે છે જે અક્ષોની આસપાસ સંમિત છે,જે પ્રથમ વિકલ્પ સાથે મેળ ખાય છે.

(C) ધારો કે $S = \sum_{k=0}^{44} \frac{1}{\cos k^{\circ} \cos (k+1)^{\circ}}$.
$\sin 1^{\circ}$ વડે ગુણતા અને ભાગતા:
$S = \frac{1}{\sin 1^{\circ}} \sum_{k=0}^{44} \frac{\sin((k+1)^{\circ} - k^{\circ})}{\cos k^{\circ} \cos (k+1)^{\circ}}$.
$\sin(A-B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B$ નિત્યસમનો ઉપયોગ કરતા:
$S = \frac{1}{\sin 1^{\circ}} \sum_{k=0}^{44} (\tan (k+1)^{\circ} - \tan k^{\circ})$.
આ એક ટેલિસ્કોપિંગ શ્રેણી છે:
$S = \frac{1}{\sin 1^{\circ}} [(\tan 1^{\circ} - \tan 0^{\circ}) + (\tan 2^{\circ} - \tan 1^{\circ}) + \dots + (\tan 45^{\circ} - \tan 44^{\circ})]$.
$S = \frac{1}{\sin 1^{\circ}} (\tan 45^{\circ} - \tan 0^{\circ}) = \frac{1}{\sin 1^{\circ}} (1 - 0) = \frac{1}{\sin 1^{\circ}}$.
$\sin 1^{\circ} \approx 0.01745$ હોવાથી,$S \approx \frac{1}{0.01745} \approx 57.299$.
$57.299$ નો પૂર્ણાંક ભાગ $57$ છે.

(B) આપેલ સમીકરણ: $\frac{\sin (\lambda \alpha) \cos (\lambda \alpha)}{\sin \alpha \cos \alpha} = \lambda - 1$.
બંને બાજુ $2$ વડે ગુણતા:
$\frac{\sin (2 \lambda \alpha)}{\sin (2 \alpha)} = \lambda - 1$
$\Rightarrow \sin (2 \lambda \alpha) = (\lambda - 1) \sin (2 \alpha)$.
આ સમીકરણ $\lambda = 1$ અને $\lambda = 2$ માટે સાચું ઠરે છે.
તેથી,$\lambda$ ના બે મૂલ્યો શક્ય છે.

(D) આપેલ વિધેય $f(x) = \frac{\sin(x-a) + \sin(x+a)}{\cos(x-a) - \cos(x+a)}$ છે.
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\sin(A-B) + \sin(A+B) = 2\sin A \cos B$ અને $\cos(A-B) - \cos(A+B) = 2\sin A \sin B$ નો ઉપયોગ કરતા:
$f(x) = \frac{2\sin x \cos a}{2\sin x \sin a}$
જો $\sin x \neq 0$ હોય,તો આપણે પદને સાદું રૂપ આપી શકીએ:
$f(x) = \frac{\cos a}{\sin a} = \cot a$
અહીં $a$ અચળ હોવાથી,$\cot a$ પણ અચળ છે.
તેથી,$f(x)$ એ અચળ વિધેય છે.

(D) આપેલ છે,$\tan 81^{\circ} - \tan 63^{\circ} - \tan 27^{\circ} + \tan 9^{\circ}$
$= (\tan 81^{\circ} + \tan 9^{\circ}) - (\tan 63^{\circ} + \tan 27^{\circ})$
$= (\cot 9^{\circ} + \tan 9^{\circ}) - (\cot 27^{\circ} + \tan 27^{\circ})$
$= \left(\frac{\cos 9^{\circ}}{\sin 9^{\circ}} + \frac{\sin 9^{\circ}}{\cos 9^{\circ}}\right) - \left(\frac{\cos 27^{\circ}}{\sin 27^{\circ}} + \frac{\sin 27^{\circ}}{\cos 27^{\circ}}\right)$
$= \left(\frac{\cos^2 9^{\circ} + \sin^2 9^{\circ}}{\sin 9^{\circ} \cos 9^{\circ}}\right) - \left(\frac{\cos^2 27^{\circ} + \sin^2 27^{\circ}}{\sin 27^{\circ} \cos 27^{\circ}}\right)$
$= \left(\frac{2}{2 \sin 9^{\circ} \cos 9^{\circ}}\right) - \left(\frac{2}{2 \sin 27^{\circ} \cos 27^{\circ}}\right)$
$= \frac{2}{\sin 18^{\circ}} - \frac{2}{\sin 54^{\circ}}$
$= 2 \left(\frac{1}{\sin 18^{\circ}} - \frac{1}{\cos 36^{\circ}}\right)$
$= 2 \left(\frac{4}{\sqrt{5} - 1} - \frac{4}{\sqrt{5} + 1}\right)$
$= 8 \left(\frac{\sqrt{5} + 1 - (\sqrt{5} - 1)}{5 - 1}\right)$
$= 8 \left(\frac{2}{4}\right) = 4$

(C) ધારો કે $P = (1+\tan 1^{\circ})(1+\tan 2^{\circ}) \dots (1+\tan 44^{\circ})(1+\tan 45^{\circ})$.
આપણે નિત્યસમ $(1+\tan \theta)(1+\tan(45^{\circ}-\theta)) = 2$ નો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
પદોની જોડી બનાવતા: $(1+\tan 1^{\circ})(1+\tan 44^{\circ}) = 2$,$(1+\tan 2^{\circ})(1+\tan 43^{\circ}) = 2$,...,$(1+\tan 22^{\circ})(1+\tan 23^{\circ}) = 2$.
આવી $22$ જોડીઓ છે,તેથી તેમનો ગુણાકાર $2^{22}$ થાય.
છેલ્લે,$(1+\tan 45^{\circ}) = 1+1 = 2$ બાકી રહે છે.
આમ,કુલ ગુણાકાર $2^{22} \times 2 = 2^{23}$ થાય.

(A) આપેલ સમીકરણ: $\operatorname{cosec}^2(\alpha+\beta)-\sin^2(\beta-\alpha)+\sin^2(2\alpha-\beta)=\cos^2(\alpha-\beta)$.
પદોને ગોઠવતા: $\operatorname{cosec}^2(\alpha+\beta)+\sin^2(2\alpha-\beta)=\cos^2(\alpha-\beta)+\sin^2(\alpha-\beta)$.
નિત્યસમ $\cos^2\theta+\sin^2\theta=1$ નો ઉપયોગ કરતા: $\operatorname{cosec}^2(\alpha+\beta)+\sin^2(2\alpha-\beta)=1$.
આ સમીકરણ ત્યારે જ શક્ય છે જ્યારે $\operatorname{cosec}^2(\alpha+\beta)=1$ અને $\sin^2(2\alpha-\beta)=0$ હોય.
તેથી,$\alpha+\beta = \frac{\pi}{2}$ અને $2\alpha-\beta = 0$.
સમીકરણો ઉકેલતા: $\alpha = \frac{\pi}{6}$ અને $\beta = \frac{\pi}{3}$.
આમ,$\sin(\alpha-\beta) = \sin(\frac{\pi}{6}-\frac{\pi}{3}) = \sin(-\frac{\pi}{6}) = -\frac{1}{2}$.

(A) આપેલ છે: $\sin x + \sin y = \frac{7}{5}$ $(i)$
અને: $\cos x + \cos y = \frac{1}{5}$ $(ii)$
સરવાળાથી ગુણાકારના સૂત્રોનો ઉપયોગ કરતા:
$2 \sin \left(\frac{x+y}{2}\right) \cos \left(\frac{x-y}{2}\right) = \frac{7}{5}$ $(iii)$
$2 \cos \left(\frac{x+y}{2}\right) \cos \left(\frac{x-y}{2}\right) = \frac{1}{5}$ $(iv)$
$(iii)$ ને $(iv)$ વડે ભાગતા:
$\tan \left(\frac{x+y}{2}\right) = 7$
નિત્યસમ $\sin(x+y) = \frac{2 \tan \left(\frac{x+y}{2}\right)}{1 + \tan^2 \left(\frac{x+y}{2}\right)}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\sin(x+y) = \frac{2(7)}{1 + 7^2} = \frac{14}{50} = \frac{7}{25}$

(C) ધારો કે $a, b, c$ એ ત્રિકોણની બાજુઓ છે.
$a^2+b^2 \geq 2ab$,$b^2+c^2 \geq 2bc$,અને $c^2+a^2 \geq 2ac$ હોવાથી,આ અસમતાઓનો સરવાળો કરતા $2(a^2+b^2+c^2) \geq 2(ab+bc+ca)$ મળે,જે સૂચવે છે કે $\frac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ca} \geq 1$. આમ,$t \geq 1$.
ત્રિકોણ માટે,ત્રિકોણની અસમતા મુજબ $a < b+c$,$b < a+c$,અને $c < a+b$.
તેથી $a^2 < a(b+c) = ab+ac$,$b^2 < ab+bc$,અને $c^2 < ac+bc$.
સરવાળો કરતા $a^2+b^2+c^2 < 2(ab+bc+ca)$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $t < 2$.
આમ,$t$ ની શક્ય કિંમતોનો ગણ $\{x \in \mathbb{R} \mid 1 \leq x < 2\}$ છે.

(D) $1$ ત્રિજ્યા ધરાવતા વર્તુળમાં અંતર્ગત $n$ બાજુવાળા નિયમિત બહુકોણનું ક્ષેત્રફળ $A_n = \frac{n}{2} \sin\left(\frac{2\pi}{n}\right)$ છે.
પંચકોણ $(n=5)$ માટે,$X = \frac{5}{2} \sin\left(\frac{2\pi}{5}\right)$.
ષટ્કોણ $(n=6)$ માટે,$Y = \frac{6}{2} \sin\left(\frac{2\pi}{6}\right)$.
સપ્તકોણ $(n=7)$ માટે,$Z = \frac{7}{2} \sin\left(\frac{2\pi}{7}\right)$.
$n$ વડે ભાગતા,$\frac{X}{5} = \frac{1}{2} \sin\left(\frac{2\pi}{5}\right)$,$\frac{Y}{6} = \frac{1}{2} \sin\left(\frac{2\pi}{6}\right)$,અને $\frac{Z}{7} = \frac{1}{2} \sin\left(\frac{2\pi}{7}\right)$ મળે.
જેમ $n$ વધે છે,તેમ અંતર્ગત બહુકોણનું ક્ષેત્રફળ વર્તુળના ક્ષેત્રફળ $(\pi)$ ની નજીક જાય છે,તેથી $X < Y < Z$ થાય.
વળી,$\frac{2\pi}{5} > \frac{2\pi}{6} > \frac{2\pi}{7}$ હોવાથી,$\sin\left(\frac{2\pi}{5}\right) > \sin\left(\frac{2\pi}{6}\right) > \sin\left(\frac{2\pi}{7}\right)$ થાય.
તેથી,$\frac{X}{5} > \frac{Y}{6} > \frac{Z}{7}$.

(A) $H:M$ સમયે કલાકના કાંટા અને મિનિટના કાંટા વચ્ચેનો ખૂણો $\theta = |30H - 5.5M|$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$H = 6$ અને $M = 15$ માટે:
$\theta = |30(6) - 5.5(15)| = |180 - 82.5| = 97.5^{\circ}$.
ધારો કે બે ખૂણા $\alpha$ અને $\beta$ છે. આપણી પાસે $\alpha = 97.5^{\circ}$ અને $\alpha + \beta = 360^{\circ}$ છે.
તેથી $\beta = 360^{\circ} - 97.5^{\circ} = 262.5^{\circ}$.
આ બે ખૂણાઓ વચ્ચેનો તફાવત $\beta - \alpha = 262.5^{\circ} - 97.5^{\circ} = 165^{\circ}$ છે.