Mix Examples-Trigonometrical Ratios, Functions and Identities Questions in Gujarati

(A) આપેલ છે કે $\sin A = n \sin (A + 2B)$.
આને આપણે $\frac{\sin A}{\sin (A + 2B)} = n$ તરીકે લખી શકીએ.
યોગ-વિયોગની રીત (Componendo and Dividendo) વાપરતા:
$\frac{\sin (A + 2B) + \sin A}{\sin (A + 2B) - \sin A} = \frac{1 + n}{1 - n}$.
સરવાળાથી ગુણાકારના સૂત્રોનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{2 \sin(A + B) \cos B}{2 \cos(A + B) \sin B} = \frac{1 + n}{1 - n}$.
$\tan (A + B) \cot B = \frac{1 + n}{1 - n}$.
તેથી,$\tan (A + B) = \frac{1 + n}{1 - n} \tan B$.

(A) આપેલ છે: $\sin A + \sin B = x$ $(1)$ અને $\cos A + \cos B = y$ $(2)$.
સરવાળાથી ગુણાકારના સૂત્રોનો ઉપયોગ કરતા:
$2 \sin(\frac{A+B}{2}) \cos(\frac{A-B}{2}) = x$ $(3)$
$2 \cos(\frac{A+B}{2}) \cos(\frac{A-B}{2}) = y$ $(4)$
$(3)$ ને $(4)$ વડે ભાગતા:
$\tan(\frac{A+B}{2}) = \frac{x}{y}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin(A+B) = \frac{2 \tan(\frac{A+B}{2})}{1 + \tan^2(\frac{A+B}{2})}$.
કિંમત મૂકતા:
$\sin(A+B) = \frac{2(x/y)}{1 + (x/y)^2} = \frac{2x/y}{(y^2 + x^2)/y^2} = \frac{2xy}{x^2 + y^2}$.

(A) આપેલ છે કે $\sin \theta = \frac{1}{2} (x + \frac{1}{x})$.
$\sin \theta$ નો વિસ્તાર $[-1, 1]$ છે,અને કોઈપણ વાસ્તવિક $x \neq 0$ માટે,$|x + \frac{1}{x}| \geq 2$ હોવાથી,$|\sin \theta| = \frac{1}{2} |x + \frac{1}{x}| \geq 1$ થાય.
આમ,$\sin \theta$ ની કિંમત માત્ર $1$ અથવા $-1$ હોઈ શકે.
જો $\sin \theta = 1$ હોય,તો $x + \frac{1}{x} = 2$,જેનો અર્થ છે કે $x = 1$.
તેથી $\sin 3 \theta = \sin(3 \times 90^\circ) = \sin 270^\circ = -1$.
વળી,$\frac{1}{2} (x^3 + \frac{1}{x^3}) = \frac{1}{2} (1^3 + \frac{1}{1^3}) = \frac{1}{2} (2) = 1$.
તેથી,$\sin 3 \theta + \frac{1}{2} (x^3 + \frac{1}{x^3}) = -1 + 1 = 0$.
જો $\sin \theta = -1$ હોય,તો $x + \frac{1}{x} = -2$,જેનો અર્થ છે કે $x = -1$.
તેથી $\sin 3 \theta = \sin(3 \times 270^\circ) = \sin 810^\circ = \sin 90^\circ = 1$.
વળી,$\frac{1}{2} (x^3 + \frac{1}{x^3}) = \frac{1}{2} ((-1)^3 + \frac{1}{(-1)^3}) = \frac{1}{2} (-2) = -1$.
તેથી,$\sin 3 \theta + \frac{1}{2} (x^3 + \frac{1}{x^3}) = 1 - 1 = 0$.

(A) આપેલ છે $\sin(\alpha+\beta)=1$. $\alpha, \beta \in [0, \frac{\pi}{2}]$ હોવાથી,$\alpha+\beta = \frac{\pi}{2}$.
આપેલ છે $\sin(\alpha-\beta)=\frac{1}{2}$. $\alpha, \beta \in [0, \frac{\pi}{2}]$ હોવાથી,$\alpha-\beta = \frac{\pi}{6}$.
બંને સમીકરણોનો સરવાળો કરતા: $2\alpha = \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{6} = \frac{2\pi}{3} \implies \alpha = \frac{\pi}{3}$.
બંને સમીકરણોની બાદબાકી કરતા: $2\beta = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{3} \implies \beta = \frac{\pi}{6}$.
હવે,$\tan(\alpha+2\beta) \cdot \tan(2\alpha+\beta)$ ની ગણતરી કરતા:
$\alpha+2\beta = \frac{2\pi}{3}$ અને $2\alpha+\beta = \frac{5\pi}{6}$.
$\tan(\frac{2\pi}{3}) = -\sqrt{3}$ અને $\tan(\frac{5\pi}{6}) = -\frac{1}{\sqrt{3}}$.
ગુણાકાર $= (-\sqrt{3}) \cdot (-\frac{1}{\sqrt{3}}) = 1$.

(C) આપેલ છે કે $\tan \theta = k \tan \phi$ અને $\theta + \phi = \alpha$.
$\frac{\tan \theta}{\tan \phi} = \frac{k}{1}$
યોગ-વિયોગ (Componendo and Dividendo) નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{\tan \theta + \tan \phi}{\tan \theta - \tan \phi} = \frac{k+1}{k-1}$
sin અને cos માં રૂપાંતર કરતા:
$\frac{\frac{\sin \theta}{\cos \theta} + \frac{\sin \phi}{\cos \phi}}{\frac{\sin \theta}{\cos \theta} - \frac{\sin \phi}{\cos \phi}} = \frac{k+1}{k-1}$
$\frac{\sin \theta \cos \phi + \cos \theta \sin \phi}{\sin \theta \cos \phi - \cos \theta \sin \phi} = \frac{k+1}{k-1}$
નિત્યસમ $\sin(A \pm B) = \sin A \cos B \pm \cos A \sin B$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{\sin(\theta + \phi)}{\sin(\theta - \phi)} = \frac{k+1}{k-1}$
$\theta + \phi = \alpha$ મૂકતા:
$\frac{\sin \alpha}{\sin(\theta - \phi)} = \frac{k+1}{k-1}$
તેથી,$\sin(\theta - \phi) = \left(\frac{k-1}{k+1}\right) \sin \alpha$.

(B) આપેલ સમીકરણો:
$\cos x + \cos y = -\cos \alpha$ ... $(1)$
$\sin x + \sin y = -\sin \alpha$ ... $(2)$
સરવાળાથી ગુણાકારના સૂત્રોનો ઉપયોગ કરતા:
$2 \cos \left(\frac{x+y}{2}\right) \cos \left(\frac{x-y}{2}\right) = -\cos \alpha$ ... $(3)$
$2 \sin \left(\frac{x+y}{2}\right) \cos \left(\frac{x-y}{2}\right) = -\sin \alpha$ ... $(4)$
સમીકરણ $(4)$ ને સમીકરણ $(3)$ વડે ભાગતા:
$\frac{2 \sin \left(\frac{x+y}{2}\right) \cos \left(\frac{x-y}{2}\right)}{2 \cos \left(\frac{x+y}{2}\right) \cos \left(\frac{x-y}{2}\right)} = \frac{-\sin \alpha}{-\cos \alpha}$
$\tan \left(\frac{x+y}{2}\right) = \tan \alpha$
તેથી,$\cot \left(\frac{x+y}{2}\right) = \cot \alpha$.

(A) આપેલ સમીકરણ: $(1+\sqrt{1+x}) \tan x = 1+\sqrt{1-x}$
$\tan x = \frac{1+\sqrt{1-x}}{1+\sqrt{1+x}}$
ધારો કે $x = \sin \theta$.
$\tan x = \frac{1+\sqrt{1-\sin \theta}}{1+\sqrt{1+\sin \theta}} = \frac{1+\sqrt{(\cos \frac{\theta}{2} - \sin \frac{\theta}{2})^2}}{1+\sqrt{(\cos \frac{\theta}{2} + \sin \frac{\theta}{2})^2}}$
$= \frac{1+\cos \frac{\theta}{2} - \sin \frac{\theta}{2}}{1+\cos \frac{\theta}{2} + \sin \frac{\theta}{2}}$
$= \frac{2\cos^2 \frac{\theta}{4} - 2\sin \frac{\theta}{4}\cos \frac{\theta}{4}}{2\cos^2 \frac{\theta}{4} + 2\sin \frac{\theta}{4}\cos \frac{\theta}{4}}$
$= \frac{2\cos \frac{\theta}{4}(\cos \frac{\theta}{4} - \sin \frac{\theta}{4})}{2\cos \frac{\theta}{4}(\cos \frac{\theta}{4} + \sin \frac{\theta}{4})} = \frac{1 - \tan \frac{\theta}{4}}{1 + \tan \frac{\theta}{4}} = \tan(\frac{\pi}{4} - \frac{\theta}{4})$
તેથી,$x = \frac{\pi}{4} - \frac{\theta}{4} \Rightarrow 4x = \pi - \theta$.
$\sin 4x = \sin(\pi - \theta) = \sin \theta = x$.

(B) આપેલ પદાવલિ: $E = \frac{\cos 12^{\circ}-\sin 12^{\circ}}{\cos 12^{\circ}+\sin 12^{\circ}} + \tan 147^{\circ}$
પ્રથમ પદના અંશ અને છેદને $\cos 12^{\circ}$ વડે ભાગતા:
$E = \frac{1-\tan 12^{\circ}}{1+\tan 12^{\circ}} + \tan(180^{\circ}-33^{\circ})$
$E = \tan(45^{\circ}-12^{\circ}) - \tan 33^{\circ}$
$E = \tan 33^{\circ} - \tan 33^{\circ} = 0$

(C) આપેલ છે કે $\sin (y+z-x), \sin (z+x-y)$ અને $\sin (x+y-z)$ સમાંતર શ્રેણીમાં છે.
$\therefore 2 \sin (z+x-y) = \sin (y+z-x) + \sin (x+y-z)$
સૂત્ર $\sin A + \sin B = 2 \sin \frac{A+B}{2} \cos \frac{A-B}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$2 \sin (z+x-y) = 2 \sin y \cos (z-x)$
આ શરતને સાદું રૂપ આપતા,આપણને મળે છે કે $\tan x, \tan y, \tan z$ સમાંતર શ્રેણીમાં છે.
તેથી,$2 \tan y = \tan x + \tan z$.

(C) આપેલ પદાવલિ: $\sqrt{3} \operatorname{cosec} 20^{\circ}-\sec 20^{\circ}$
$= \frac{\sqrt{3}}{\sin 20^{\circ}}-\frac{1}{\cos 20^{\circ}}$
$= \frac{\sqrt{3} \cos 20^{\circ}-\sin 20^{\circ}}{\sin 20^{\circ} \cos 20^{\circ}}$
અંશ અને છેદને $2$ વડે ગુણતા:
$= \frac{2(\frac{\sqrt{3}}{2} \cos 20^{\circ}-\frac{1}{2} \sin 20^{\circ})}{\sin 20^{\circ} \cos 20^{\circ}}$
$\sin(A-B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $A=60^{\circ}$ અને $B=20^{\circ}$:
$= \frac{2(\sin 60^{\circ} \cos 20^{\circ}-\cos 60^{\circ} \sin 20^{\circ})}{\frac{1}{2}(2 \sin 20^{\circ} \cos 20^{\circ})}$
$= \frac{2 \sin(60^{\circ}-20^{\circ})}{\frac{1}{2} \sin 40^{\circ}} = \frac{4 \sin 40^{\circ}}{\sin 40^{\circ}} = 4$

(A) આપેલ પદાવલિ: $\left(1+\cos \frac{\pi}{8}\right)\left(1+\cos \frac{3 \pi}{8}\right)\left(1+\cos \frac{5 \pi}{8}\right)\left(1+\cos \frac{7 \pi}{8}\right)$
$\cos(\pi - \theta) = -\cos \theta$ હોવાથી,$\cos \frac{7\pi}{8} = -\cos \frac{\pi}{8}$ અને $\cos \frac{5\pi}{8} = -\cos \frac{3\pi}{8}$ થાય.
તેથી,પદાવલિ: $\left(1+\cos \frac{\pi}{8}\right)\left(1-\cos \frac{\pi}{8}\right)\left(1+\cos \frac{3 \pi}{8}\right)\left(1-\cos \frac{3 \pi}{8}\right)$
$= \left(1-\cos^2 \frac{\pi}{8}\right)\left(1-\cos^2 \frac{3 \pi}{8}\right)$
$= \sin^2 \frac{\pi}{8} \sin^2 \frac{3 \pi}{8}$
$= \frac{1}{4} \left(2 \sin \frac{\pi}{8} \sin \frac{3 \pi}{8}\right)^2$
$2 \sin A \sin B = \cos(A-B) - \cos(A+B)$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$= \frac{1}{4} \left(\cos \frac{\pi}{4} - \cos \frac{\pi}{2}\right)^2$
$= \frac{1}{4} \left(\frac{1}{\sqrt{2}} - 0\right)^2 = \frac{1}{4} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{8}$

(A) આપેલ છે કે $\cos 2B = \frac{\cos(A+C)}{\cos(A-C)}$.
$\cos 2B = \frac{1-\tan^2 B}{1+\tan^2 B}$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{1-\tan^2 B}{1+\tan^2 B} = \frac{\cos A \cos C - \sin A \sin C}{\cos A \cos C + \sin A \sin C}$.
અંશ અને છેદને $\cos A \cos C$ વડે ભાગતા:
$\frac{1-\tan^2 B}{1+\tan^2 B} = \frac{1-\tan A \tan C}{1+\tan A \tan C}$.
ગુણાકાર કરતા:
$(1-\tan^2 B)(1+\tan A \tan C) = (1+\tan^2 B)(1-\tan A \tan C)$.
સાદુરૂપ આપતા:
$2 \tan A \tan C = 2 \tan^2 B$.
$\tan^2 B = \tan A \tan C$.
તેથી,$\tan A, \tan B, \tan C$ એ સમગુણોત્તર શ્રેણી $(G.P.)$ માં છે.

(A) આપેલ છે,$\tan A + \cot A = 2$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$(\tan A + \cot A)^{2} = 2^{2}$
$\tan^{2} A + \cot^{2} A + 2 \tan A \cot A = 4$
કારણ કે $\tan A \cot A = 1$,તેથી:
$\tan^{2} A + \cot^{2} A + 2 = 4$
$\tan^{2} A + \cot^{2} A = 2$
હવે,ફરીથી બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$(\tan^{2} A + \cot^{2} A)^{2} = 2^{2}$
$\tan^{4} A + \cot^{4} A + 2 \tan^{2} A \cot^{2} A = 4$
$\tan^{4} A + \cot^{4} A + 2(1)^{2} = 4$
$\tan^{4} A + \cot^{4} A = 4 - 2 = 2$.

(B) આપેલ છે કે $\cos x + \cos^2 x = 1$.
તેથી,$\cos x = 1 - \cos^2 x$.
નિત્યસમ $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ નો ઉપયોગ કરતા,$\sin^2 x = \cos x$ મળે.
હવે,આપણે $\sin^2 x + \sin^4 x$ ની કિંમત શોધવાની છે.
$\sin^2 x = \cos x$ મૂકતા,$\sin^2 x + \sin^4 x = \cos x + (\cos x)^2$ મળે.
$\cos x + \cos^2 x = 1$ હોવાથી,જવાબ $1$ છે.

(C) ધારો કે $S = \log _{10} \tan 1^{\circ} + \log _{10} \tan 2^{\circ} + \ldots + \log _{10} \tan 89^{\circ}$.
$\log a + \log b = \log(ab)$ ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા:
$S = \log _{10} (\tan 1^{\circ} \cdot \tan 2^{\circ} \cdot \tan 3^{\circ} \cdot \ldots \cdot \tan 89^{\circ})$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\tan \theta \cdot \tan(90^{\circ} - \theta) = \tan \theta \cdot \cot \theta = 1$.
પદોની જોડી બનાવતા: $(\tan 1^{\circ} \cdot \tan 89^{\circ}) = 1, (\tan 2^{\circ} \cdot \tan 88^{\circ}) = 1, \ldots, (\tan 44^{\circ} \cdot \tan 46^{\circ}) = 1$.
વચ્ચેનું પદ $\tan 45^{\circ} = 1$ છે.
આમ,ગુણાકાર $1 \cdot 1 \cdot \ldots \cdot 1 = 1$ થાય.
તેથી,$S = \log _{10} (1) = 0$.
આમ,$e^S = e^0 = 1$ મળે.

(B) ધારો કે પદાવલિ $E = \cot 12^{\circ} \cot 102^{\circ} + \cot 102^{\circ} \cot 66^{\circ} + \cot 66^{\circ} \cot 12^{\circ}$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\cot 102^{\circ} = \cot(90^{\circ} + 12^{\circ}) = -\tan 12^{\circ}$.
આ કિંમત પદાવલિમાં મૂકતા:
$E = \cot 12^{\circ} (-\tan 12^{\circ}) + (-\tan 12^{\circ}) \cot 66^{\circ} + \cot 66^{\circ} \cot 12^{\circ}$
$E = -1 - \tan 12^{\circ} \cot 66^{\circ} + \cot 66^{\circ} \cot 12^{\circ}$
$E = -1 + \cot 66^{\circ} (\cot 12^{\circ} - \tan 12^{\circ})$
નિત્યસમ $\cot \theta - \tan \theta = 2 \cot 2\theta$ નો ઉપયોગ કરતા:
$E = -1 + \cot 66^{\circ} (2 \cot 24^{\circ})$
કારણ કે $\cot 24^{\circ} = \cot(90^{\circ} - 66^{\circ}) = \tan 66^{\circ}$:
$E = -1 + 2 \cot 66^{\circ} \tan 66^{\circ}$
$E = -1 + 2(1) = 1$.

(B) ધારો કે $f(x) = 3(\sin x-\cos x)^{4}+6(\sin x+\cos x)^{2}+4(\sin ^{6} x+\cos ^{6} x)$.
દરેક પદનું સાદું રૂપ આપતા:
$3(\sin x-\cos x)^{4} = 3(1-2\sin x\cos x)^{2} = 3+12\sin^{2}x\cos^{2}x-12\sin x\cos x$.
$6(\sin x+\cos x)^{2} = 6+12\sin x\cos x$.
$4(\sin^{6}x+\cos^{6}x) = 4(1-3\sin^{2}x\cos^{2}x) = 4-12\sin^{2}x\cos^{2}x$.
બધાનો સરવાળો કરતા:
$f(x) = 3+6+4 + (12\sin^{2}x\cos^{2}x-12\sin^{2}x\cos^{2}x) + (-12\sin x\cos x+12\sin x\cos x) = 13$.

(D) આપેલ પદાવલિ: $\sqrt{3} \operatorname{cosec} 20^{\circ} - \sec 20^{\circ}$
$= \frac{\sqrt{3}}{\sin 20^{\circ}} - \frac{1}{\cos 20^{\circ}}$
$= \frac{\sqrt{3} \cos 20^{\circ} - \sin 20^{\circ}}{\sin 20^{\circ} \cos 20^{\circ}}$
અંશ અને છેદને $2$ વડે ગુણતા:
$= \frac{2 \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \cos 20^{\circ} - \frac{1}{2} \sin 20^{\circ} \right)}{\frac{1}{2} (2 \sin 20^{\circ} \cos 20^{\circ})}$
$\sin(A - B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B$ અને $\sin 2\theta = 2 \sin \theta \cos \theta$ નો ઉપયોગ કરતા:
$= \frac{2 (\sin 60^{\circ} \cos 20^{\circ} - \cos 60^{\circ} \sin 20^{\circ})}{\frac{1}{2} \sin 40^{\circ}}$
$= \frac{2 \sin(60^{\circ} - 20^{\circ})}{\frac{1}{2} \sin 40^{\circ}} = \frac{2 \sin 40^{\circ}}{\frac{1}{2} \sin 40^{\circ}} = 4$

(A) આપેલ પદાવલિ $S = \sin 1^{\circ} + \sin 2^{\circ} + \ldots + \sin 359^{\circ}$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin(360^{\circ} - \theta) = -\sin \theta$.
તેથી,$\sin 359^{\circ} = \sin(360^{\circ} - 1^{\circ}) = -\sin 1^{\circ}$.
તે જ રીતે,$\sin 358^{\circ} = -\sin 2^{\circ}$ વગેરે.
આપણે પદોને આ રીતે જોડી શકીએ: $(\sin 1^{\circ} + \sin 359^{\circ}) + (\sin 2^{\circ} + \sin 358^{\circ}) + \ldots + (\sin 179^{\circ} + \sin 181^{\circ}) + \sin 180^{\circ}$.
કારણ કે $\sin(180^{\circ} + \theta) = -\sin \theta$,તેથી $\sin 181^{\circ} = -\sin 1^{\circ}$,$\sin 182^{\circ} = -\sin 2^{\circ}$ વગેરે.
દરેક જોડીનો સરવાળો $0$ થાય છે અને $\sin 180^{\circ} = 0$ છે.
તેથી,કુલ સરવાળો $0$ થાય છે.

(B) આપેલ છે $a = \frac{x}{y-z}$,$b = \frac{y}{z-x}$,$c = \frac{z}{x-y}$.
ધારો કે $x=1, y=2, z=4$ લેતા.
$a = \frac{1}{2-4} = -\frac{1}{2}$
$b = \frac{2}{4-1} = \frac{2}{3}$
$c = \frac{4}{1-2} = -4$
હવે $ab + bc + ca + abc$ ની ગણતરી કરતા:
$ab = -\frac{1}{3}$,$bc = -\frac{8}{3}$,$ca = 2$,$abc = \frac{4}{3}$.
સરવાળો $= -\frac{1}{3} - \frac{8}{3} + 2 + \frac{4}{3} = \frac{1}{3}$.

(D) આપેલ છે કે $\tan A$ અને $\tan B$ એ સમીકરણ $x^2-px+q=0$ ના બીજ છે.
બીજ અને સહગુણકો વચ્ચેના સંબંધ મુજબ:
$\tan A + \tan B = p$
$\tan A \tan B = q$
$\tan(A+B)$ માટેના ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમનો ઉપયોગ કરતા:
$\tan(A+B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B} = \frac{p}{1-q}$
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin^2 \theta = \frac{\tan^2 \theta}{1 + \tan^2 \theta}$.
$\tan(A+B) = \frac{p}{1-q}$ મૂકતા:
$\sin^2(A+B) = \frac{(\frac{p}{1-q})^2}{1 + (\frac{p}{1-q})^2} = \frac{p^2}{p^2+(1-q)^2}$

(C) આપેલ સમીકરણો:
$y^2+z^2=3yz \Rightarrow \frac{y}{z}+\frac{z}{y}=3$ $(i)$
$z^2+x^2=8zx \Rightarrow \frac{z}{x}+\frac{x}{z}=8$ $(ii)$
$x^2+y^2=4xy \Rightarrow \frac{x}{y}+\frac{y}{x}=4$ $(iii)$
$(i)$ અને $(iii)$ નો ગુણાકાર કરતા:
$\left(\frac{y}{z}+\frac{z}{y}\right)\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right) = \frac{x}{z} + \frac{y^2}{xz} + \frac{xz}{y^2} + \frac{z}{x} = 12$
$\left(\frac{x}{z}+\frac{z}{x}\right) + \left(\frac{y^2}{xz}+\frac{xz}{y^2}\right) = 12$
$(ii)$ પરથી કિંમત મૂકતા:
$8 + \left(\frac{y^2}{xz}+\frac{xz}{y^2}\right) = 12$
$\frac{y^2}{xz}+\frac{xz}{y^2} = 12 - 8 = 4$

(C) આપેલ સમીકરણો:
$y^2+z^2=a y z \Rightarrow \frac{y}{z}+\frac{z}{y}=a$ $(i)$
$z^2+x^2=b z x \Rightarrow \frac{z}{x}+\frac{x}{z}=b$ $(ii)$
$x^2+y^2=c x y \Rightarrow \frac{x}{y}+\frac{y}{x}=c$ $(iii)$
$(i)$ અને $(iii)$ નો ગુણાકાર કરતા:
$(\frac{y}{z}+\frac{z}{y})(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}) = ac$
$\frac{x}{z} + \frac{y^2}{zx} + \frac{zx}{y^2} + \frac{z}{x} = ac$
$(ii)$ પરથી,આપણે જાણીએ છીએ કે $\frac{z}{x}+\frac{x}{z}=b$. આ કિંમત મૂકતા:
$b + \frac{y^2}{zx} + \frac{zx}{y^2} = ac$
$\frac{y^2}{zx} + \frac{zx}{y^2} = ac-b$

(B) ધારો કે $P = \tan 1^{\circ} \cdot \tan 2^{\circ} \cdot \ldots \cdot \tan 89^{\circ}$.
$\tan(90^{\circ} - \theta) = \cot \theta$ ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા:
$P = (\tan 1^{\circ} \cdot \tan 89^{\circ}) \cdot (\tan 2^{\circ} \cdot \tan 88^{\circ}) \cdot \ldots \cdot (\tan 44^{\circ} \cdot \tan 46^{\circ}) \cdot \tan 45^{\circ}$.
$\tan \theta \cdot \tan(90^{\circ} - \theta) = 1$ હોવાથી,દરેક જોડીનો ગુણાકાર $1$ થશે.
તેથી,$P = 1 \cdot 1 \cdot \ldots \cdot 1 \cdot \tan 45^{\circ} = 1$.
$n$ પદોનો ગુણોત્તર મધ્યક $(a_1 \cdot a_2 \cdot \ldots \cdot a_n)^{1/n}$ છે.
અહીં $n = 89$ હોવાથી,ગુણોત્તર મધ્યક $(P)^{1/89} = (1)^{1/89} = 1$.
આમ,વિકલ્પ $B$ સાચો છે.

(D) આપણે જાણીએ છીએ કે $\cot 18^{\circ} \cot 36^{\circ}+1 = \frac{\cos 18^{\circ}}{\sin 18^{\circ}} \cdot \frac{\cos 36^{\circ}}{\sin 36^{\circ}}+1$.
$\cos 36^{\circ} = 1-2\sin^2 18^{\circ}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{\cos 18^{\circ}(1-2\sin^2 18^{\circ})}{\sin 18^{\circ} \cdot 2 \sin 18^{\circ} \cos 18^{\circ}}+1 = \frac{1-2\sin^2 18^{\circ}}{2\sin^2 18^{\circ}}+1 = \frac{1}{2\sin^2 18^{\circ}}$.
$\sin 18^{\circ} = \frac{\sqrt{5}-1}{4}$ હોવાથી,$\sin^2 18^{\circ} = \frac{5+1-2\sqrt{5}}{16} = \frac{6-2\sqrt{5}}{16} = \frac{3-\sqrt{5}}{8}$.
આ કિંમત મૂકતા:
$\frac{1}{2(\frac{3-\sqrt{5}}{8})} = \frac{4}{3-\sqrt{5}} = \frac{4(3+\sqrt{5})}{9-5} = \frac{4(3+\sqrt{5})}{4} = 3+\sqrt{5}$.

(C) આપણે ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમનો ઉપયોગ કરીએ છીએ: $\cos^3 x + \cos^3(120^{\circ} - x) + \cos^3(120^{\circ} + x) = \frac{3}{4} \cos(3x)$.
આપેલ પદાવલિ $\cos^3 10^{\circ} + \cos^3 110^{\circ} + \cos^3 130^{\circ}$ ને આ રીતે લખી શકાય:
$\cos^3 10^{\circ} + \cos^3(120^{\circ} - 10^{\circ}) + \cos^3(120^{\circ} + 10^{\circ})$.
અહીં,$x = 10^{\circ}$.
નિત્યસમ લાગુ પાડતા:
$= \frac{3}{4} \cos(3 \times 10^{\circ})$
$= \frac{3}{4} \cos 30^{\circ}$
$= \frac{3}{4} \times \frac{\sqrt{3}}{2}$
$= \frac{3\sqrt{3}}{8}$.

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે $\tan(A+B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B}$.
$\tan 60^{\circ} = \tan(40^{\circ} + 20^{\circ}) = \sqrt{3}$ નો ઉપયોગ કરતા,$\tan 40^{\circ} + \tan 20^{\circ} + \sqrt{3} \tan 40^{\circ} \tan 20^{\circ} = \sqrt{3}$ મળે છે.
તે જ રીતે,$\tan(56^{\circ} - 11^{\circ}) = \tan 45^{\circ} = 1$ નો ઉપયોગ કરતા,$\tan 56^{\circ} - \tan 11^{\circ} - \tan 56^{\circ} \tan 11^{\circ} = 1$ મળે છે.
આ કિંમતો મૂકતા,જવાબ $\sqrt{3} - 1$ મળે છે.

(C) ધારો કે $E = \cos^2 76^{\circ} + \cos^2 16^{\circ} - \cos 76^{\circ} \cos 16^{\circ}$.
નિત્યસમ $\cos^2 \theta = \frac{1 + \cos 2\theta}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$E = \frac{1 + \cos 152^{\circ}}{2} + \frac{1 + \cos 32^{\circ}}{2} - \cos 76^{\circ} \cos 16^{\circ}$
$E = 1 + \frac{1}{2} (\cos 152^{\circ} + \cos 32^{\circ}) - \cos 76^{\circ} \cos 16^{\circ}$
$\cos C + \cos D = 2 \cos \frac{C+D}{2} \cos \frac{C-D}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\cos 152^{\circ} + \cos 32^{\circ} = 2 \cos 92^{\circ} \cos 60^{\circ} = \cos 92^{\circ}$
$2 \cos A \cos B = \cos(A+B) + \cos(A-B)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\cos 76^{\circ} \cos 16^{\circ} = \frac{1}{2} (\cos 92^{\circ} + \cos 60^{\circ}) = \frac{1}{2} \cos 92^{\circ} + \frac{1}{4}$
કિંમતો મૂકતા:
$E = 1 + \frac{1}{2} \cos 92^{\circ} - (\frac{1}{2} \cos 92^{\circ} + \frac{1}{4}) = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$

(A) આપેલ છે: $\sin \alpha = \frac{6}{5} \sin \beta$ અને $\cos \alpha = \frac{9}{5 \sqrt{5}} \cos \beta$.
નિત્યસમ $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$ નો ઉપયોગ કરતા:
$(\frac{6}{5} \sin \beta)^2 + (\frac{9}{5 \sqrt{5}} \cos \beta)^2 = 1$
$\frac{36}{25} \sin^2 \beta + \frac{81}{125} \cos^2 \beta = 1$
$125$ વડે ગુણતા:
$180 \sin^2 \beta + 81 \cos^2 \beta = 125$
$\cos^2 \beta = 1 - \sin^2 \beta$ હોવાથી:
$180 \sin^2 \beta + 81(1 - \sin^2 \beta) = 125$
$180 \sin^2 \beta + 81 - 81 \sin^2 \beta = 125$
$99 \sin^2 \beta = 44$
$\sin^2 \beta = \frac{44}{99} = \frac{4}{9}$
$\sin \beta = \frac{2}{3}$ ($\beta$ લઘુકોણ હોવાથી).
હવે,$\sin \alpha = \frac{6}{5} \sin \beta = \frac{6}{5} \times \frac{2}{3} = \frac{4}{5}$.

(C) આપેલ છે $\sec \theta + \tan \theta = \frac{1}{3}$ . . . . . . $(i)$
$\sec^2 \theta - \tan^2 \theta = 1$ હોવાથી,$(\sec \theta - \tan \theta)(\sec \theta + \tan \theta) = 1$ થાય.
તેથી,$\sec \theta - \tan \theta = 3$ . . . . . . $(ii)$
$(i)$ અને $(ii)$ નો સરવાળો કરતા,$2 \sec \theta = \frac{10}{3} \Rightarrow \sec \theta = \frac{5}{3}$.
$(i)$ માંથી $(ii)$ બાદ કરતા,$2 \tan \theta = \frac{-8}{3} \Rightarrow \tan \theta = \frac{-4}{3}$.
$\sec \theta > 0$ અને $\tan \theta < 0$ હોવાથી,$\theta$ એ $4^{th}$ ચરણમાં છે.
હવે,$\tan 2 \theta = \frac{2 \tan \theta}{1 - \tan^2 \theta} = \frac{24}{7} > 0$.
$\theta$ એ $4^{th}$ ચરણમાં હોવાથી,$270^{\circ} < \theta < 360^{\circ}$,તેથી $540^{\circ} < 2 \theta < 720^{\circ}$.
$\tan 2 \theta > 0$ અને $\sin 2 \theta < 0$ હોવાથી,$2 \theta$ એ $3^{rd}$ ચરણમાં આવે છે.

(C) આપેલ છે કે $\sinh x = \frac{\sqrt{21}}{2}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\cosh^2 x - \sinh^2 x = 1$,તેથી $\cosh x = \sqrt{1 + \sinh^2 x} = \sqrt{1 + \frac{21}{4}} = \sqrt{\frac{25}{4}} = \frac{5}{2}$.
નિત્યસમ $\sinh 2x = 2 \sinh x \cosh x$ અને $\cosh 2x = \cosh^2 x + \sinh^2 x$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\sinh 2x = 2 \times \frac{\sqrt{21}}{2} \times \frac{5}{2} = \frac{5\sqrt{21}}{2}$.
$\cosh 2x = (\frac{5}{2})^2 + (\frac{\sqrt{21}}{2})^2 = \frac{25}{4} + \frac{21}{4} = \frac{46}{4} = \frac{23}{2}$.
તેથી,$\cosh 2x + \sinh 2x = \frac{23}{2} + \frac{5\sqrt{21}}{2} = \frac{23 + 5\sqrt{21}}{2}$.

(B) આપેલ પદાવલિ: $\frac{\cot A}{1-\tan A}+\frac{\tan A}{1-\cot A}$
$\cot A = \frac{\cos A}{\sin A}$ અને $\tan A = \frac{\sin A}{\cos A}$ મૂકતા:
$= \frac{\frac{\cos A}{\sin A}}{1-\frac{\sin A}{\cos A}} + \frac{\frac{\sin A}{\cos A}}{1-\frac{\cos A}{\sin A}}$
$= \frac{\cos^2 A}{\sin A(\cos A-\sin A)} + \frac{\sin^2 A}{\cos A(\sin A-\cos A)}$
$= \frac{\cos^2 A}{\sin A(\cos A-\sin A)} - \frac{\sin^2 A}{\cos A(\cos A-\sin A)}$
$= \frac{1}{(\cos A-\sin A)} \left[ \frac{\cos^3 A - \sin^3 A}{\sin A \cos A} \right]$
નિત્યસમ $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$= \frac{(\cos A-\sin A)(\cos^2 A + \sin^2 A + \sin A \cos A)}{(\cos A-\sin A) \sin A \cos A}$
$= \frac{1 + \sin A \cos A}{\sin A \cos A}$
$= \frac{1}{\sin A \cos A} + 1$
$= \operatorname{cosec} A \sec A + 1$

(A) આપેલ પદાવલિ: $\frac{\tan A}{1-\cot A} + \frac{\cot A}{1-\tan A}$
$\tan A$ અને $\cot A$ ને $\sin A$ અને $\cos A$ ના સ્વરૂપમાં ફેરવતા:
$= \frac{\frac{\sin A}{\cos A}}{1-\frac{\cos A}{\sin A}} + \frac{\frac{\cos A}{\sin A}}{1-\frac{\sin A}{\cos A}}$
$= \frac{\sin^2 A}{\cos A(\sin A - \cos A)} + \frac{\cos^2 A}{\sin A(\cos A - \sin A)}$
$= \frac{\sin^2 A}{\cos A(\sin A - \cos A)} - \frac{\cos^2 A}{\sin A(\sin A - \cos A)}$
$= \frac{1}{\sin A - \cos A} \left[ \frac{\sin^3 A - \cos^3 A}{\sin A \cos A} \right]$
$a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + b^2 + ab)$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$= \frac{(\sin A - \cos A)(\sin^2 A + \cos^2 A + \sin A \cos A)}{(\sin A - \cos A)(\sin A \cos A)}$
$= \frac{1 + \sin A \cos A}{\sin A \cos A} = \frac{1}{\sin A \cos A} + 1 = \sec A \operatorname{cosec} A + 1$

(C) આપેલ છે,$P = \tan 15^{\circ} + \cot 15^{\circ}$,$Q = \tan 22 \frac{1}{2}^{\circ} + \cot 22 \frac{1}{2}^{\circ}$ અને $R = \sin 54^{\circ} + \sin 18^{\circ}$.
$P$ માટે: $P = \frac{\sin 15^{\circ}}{\cos 15^{\circ}} + \frac{\cos 15^{\circ}}{\sin 15^{\circ}} = \frac{1}{\sin 15^{\circ} \cos 15^{\circ}} = \frac{2}{\sin 30^{\circ}} = 4$.
$Q$ માટે: $Q = \frac{1}{\sin 22.5^{\circ} \cos 22.5^{\circ}} = \frac{2}{\sin 45^{\circ}} = 2\sqrt{2} \approx 2.828$.
$R$ માટે: $R = \sin 54^{\circ} + \sin 18^{\circ} = \cos 36^{\circ} + \sin 18^{\circ} = \frac{\sqrt{5}+1}{4} + \frac{\sqrt{5}-1}{4} = \frac{\sqrt{5}}{2} \approx 1.118$.
કિંમતોની સરખામણી કરતા: $R < Q < P$.

(A) $(I)$ શ્રેણી $\sin^2 5^{\circ} + \sin^2 10^{\circ} + \dots + \sin^2 90^{\circ}$ છે. $5^{\circ}$ થી $85^{\circ}$ સુધીના $18$ પદો છે અને $\sin^2 90^{\circ} = 1$ છે. $\sin^2 \theta + \sin^2(90^{\circ}-\theta) = 1$ નો ઉપયોગ કરતા,$8$ જોડીઓ મળે છે,વત્તા $\sin^2 45^{\circ} = 0.5$ અને $\sin^2 90^{\circ} = 1$. કુલ $= 8 + 0.5 + 1 = 9.5 = \frac{19}{2}$. આમ,$(I)$-$B$.
$(II)$ $\tan^2 5^{\circ} \cdot \tan^2 85^{\circ} = \tan^2 5^{\circ} \cdot \cot^2 5^{\circ} = 1$. આવી $8$ જોડીઓ છે અને $\tan^2 45^{\circ} = 1$. કુલ $= 1^8 \cdot 1 = 1$. આમ,$(II)$-$D$.
$(III)$ $\cos^2 5^{\circ} + \dots + \cos^2 180^{\circ}$. $\cos(180^{\circ}-\theta) = -\cos \theta$ હોવાથી,$\cos^2(180^{\circ}-\theta) = \cos^2 \theta$. સરવાળો $18$ થાય છે. આમ,$(III)$-$C$.
$(IV)$ $\cot \theta + \cot(180^{\circ}-\theta) = 0$. $5^{\circ}$ થી $175^{\circ}$ સુધીની જોડીઓ $0$ થાય છે. $\cot 90^{\circ} = 0$. કુલ $= 0$. આમ,$(IV)$-$A$.

(D) આપેલ છે કે,$\sin \theta + \operatorname{cosec} \theta = 4$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,આપણને મળે છે:
$(\sin \theta + \operatorname{cosec} \theta)^2 = 4^2$
$\sin^2 \theta + \operatorname{cosec}^2 \theta + 2 \sin \theta \operatorname{cosec} \theta = 16$
કારણ કે $\sin \theta \operatorname{cosec} \theta = 1$,તેથી:
$\sin^2 \theta + \operatorname{cosec}^2 \theta + 2(1) = 16$
$\sin^2 \theta + \operatorname{cosec}^2 \theta = 16 - 2 = 14$.

(D) આપેલ પદાવલિ: $\sqrt{\sin ^4 x+4 \cos ^2 x}-\sqrt{\cos ^4 x+4 \sin ^2 x}$
નિત્યસમ $\cos ^2 x = 1-\sin ^2 x$ અને $\sin ^2 x = 1-\cos ^2 x$ નો ઉપયોગ કરતા:
$= \sqrt{\sin ^4 x-4 \sin ^2 x+4}-\sqrt{\cos ^4 x-4 \cos ^2 x+4}$
$= \sqrt{(\sin ^2 x-2)^2}-\sqrt{(\cos ^2 x-2)^2}$
$= |\sin ^2 x-2|-|\cos ^2 x-2|$
$= (2-\sin ^2 x)-(2-\cos ^2 x)$
$= \cos ^2 x-\sin ^2 x$
$= \cos 2 x$

(D) આપેલ સમીકરણ: $\cosh x - \frac{4}{5} \sinh x = 1$
$5$ વડે ગુણતા: $5 \cosh x - 4 \sinh x = 5$
$\cosh x = \frac{e^x + e^{-x}}{2}$ અને $\sinh x = \frac{e^x - e^{-x}}{2}$ મૂકતા:
$5 \left(\frac{e^x + e^{-x}}{2}\right) - 4 \left(\frac{e^x - e^{-x}}{2}\right) = 5$
$2$ વડે ગુણતા: $5(e^x + e^{-x}) - 4(e^x - e^{-x}) = 10$
$5e^x + 5e^{-x} - 4e^x + 4e^{-x} = 10$
$e^x + 9e^{-x} = 10$
$e^x$ વડે ગુણતા: $(e^x)^2 - 10e^x + 9 = 0$
$(e^x - 1)(e^x - 9) = 0$
કિસ્સો $1$: $e^x = 1 \Rightarrow x = 0$
કિસ્સો $2$: $e^x = 9 \Rightarrow x = \ln 9 = \ln(3^2) = 2 \ln 3$
આમ,બીજો ઉકેલ $x = 2 \log 3$ છે.

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે હાયપરબોલિક વિધેયો માટેનું મૂળભૂત નિત્યસમ: $\cosh^2 u - \sinh^2 u = 1$ છે.
આપેલ છે કે $\sinh u = \tan \theta$.
આ કિંમત નિત્યસમમાં મૂકતા: $\cosh^2 u - (\tan \theta)^2 = 1$.
$\cosh^2 u = 1 + \tan^2 \theta$.
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $1 + \tan^2 \theta = \sec^2 \theta$ નો ઉપયોગ કરતા: $\cosh^2 u = \sec^2 \theta$.
તેથી,$\cosh u = \sec \theta$ (કારણ કે $\cosh u$ હંમેશા ધન હોય છે).

(B) આપેલ છે કે $\cos \theta = -\frac{\sqrt{3}}{2} < 0$. $\theta$ ત્રીજા ચરણમાં ન હોવાથી,$\theta$ બીજા ચરણમાં હશે.
બીજા ચરણમાં,$\tan \theta = -\frac{1}{\sqrt{3}}$ અને $\cot \theta = -\sqrt{3}$.
તેથી,$\cot^2 \theta = (-\sqrt{3})^2 = 3$.
આપેલ છે કે $\sin \alpha = -\frac{3}{5}$. $\sin \alpha < 0$ હોવાથી,$\alpha$ ત્રીજા અથવા ચોથા ચરણમાં હશે.
કિસ્સો $1$: જો $\alpha$ ત્રીજા ચરણમાં હોય,તો $\tan \alpha = \frac{3}{4}$ અને $\cos \alpha = -\frac{4}{5}$.
પદાવલિની કિંમત $\frac{2(\frac{3}{4}) + \sqrt{3}(-\frac{1}{\sqrt{3}})}{3 - \frac{4}{5}} = \frac{\frac{3}{2} - 1}{\frac{11}{5}} = \frac{5}{22}$ થાય.
આથી સાચો વિકલ્પ $\frac{5}{22}$ છે.

(A) આપેલ છે કે,$\sin \theta + \operatorname{cosec} \theta = 2$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\operatorname{cosec} \theta = \frac{1}{\sin \theta}$.
તેથી,$\sin \theta + \frac{1}{\sin \theta} = 2$.
ધારો કે $\sin \theta = x$,તો $x + \frac{1}{x} = 2$,જેનો અર્થ છે કે $x^2 - 2x + 1 = 0$,અથવા $(x - 1)^2 = 0$.
આમ,$x = 1$,જેનો અર્થ છે કે $\sin \theta = 1$.
પરિણામે,$\operatorname{cosec} \theta = 1$.
તેથી,$\sin^{10} \theta + \operatorname{cosec}^{10} \theta = (1)^{10} + (1)^{10} = 1 + 1 = 2$.

(B) આપેલ છે કે $0 < \theta < \frac{\pi}{2}$ અને $\sin \theta \cos \theta = \frac{12}{25}$.
આપણે $\sin^4 \theta + \cos^4 \theta$ શોધવાનું છે.
નિત્યસમ $a^2 + b^2 = (a + b)^2 - 2ab$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\sin^4 \theta + \cos^4 \theta = (\sin^2 \theta)^2 + (\cos^2 \theta)^2$
$= (\sin^2 \theta + \cos^2 \theta)^2 - 2 \sin^2 \theta \cos^2 \theta$
$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ હોવાથી:
$= (1)^2 - 2(\sin \theta \cos \theta)^2$
$= 1 - 2 \left(\frac{12}{25}\right)^2$
$= 1 - 2 \left(\frac{144}{625}\right)$
$= 1 - \frac{288}{625}$
$= \frac{625 - 288}{625} = \frac{337}{625}$.

(D) આપેલ છે કે $\sin(\theta) + \operatorname{cosec}(\theta) = 2$.
$\operatorname{cosec}(\theta) = \frac{1}{\sin(\theta)}$ હોવાથી,$\sin(\theta) + \frac{1}{\sin(\theta)} = 2$.
ધારો કે $x = \sin(\theta)$,તો $x + \frac{1}{x} = 2$,જેનો અર્થ છે કે $x^2 - 2x + 1 = 0$,તેથી $(x - 1)^2 = 0$.
આમ,$\sin(\theta) = 1$.
તેથી,$\sin^{2020}(\theta) + \operatorname{cosec}^{2020}(\theta) = (1)^{2020} + (1)^{2020} = 1 + 1 = 2$.

(B) આપેલ છે,$\sec \theta = m$ અને $\tan \theta = n$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sec^2 \theta - \tan^2 \theta = 1$,તેથી $m^2 - n^2 = 1$,જેનો અર્થ છે કે $(m - n)(m + n) = 1$.
તેથી,$\frac{1}{m + n} = m - n$.
હવે,આ કિંમત પદાવલિમાં મૂકતા:
$\frac{1}{m} [m + n + (m - n)] = \frac{1}{m} [2m] = 2$.

(C) આપેલ પદાવલિ: $\frac{1-\cos(2x)+\sin(x)}{\sin(2x)+\cos(x)}$
નિત્યસમ $\cos(2x) = 1 - 2\sin^2(x)$ નો ઉપયોગ કરતા,અંશ: $1 - (1 - 2\sin^2(x)) + \sin(x) = 2\sin^2(x) + \sin(x) = \sin(x)(2\sin(x) + 1)$
નિત્યસમ $\sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x)$ નો ઉપયોગ કરતા,છેદ: $2\sin(x)\cos(x) + \cos(x) = \cos(x)(2\sin(x) + 1)$
આ કિંમતો પદાવલિમાં મુકતા: $\frac{\sin(x)(2\sin(x) + 1)}{\cos(x)(2\sin(x) + 1)} = \frac{\sin(x)}{\cos(x)} = \tan(x)$

(A) આપેલ છે,$4 \cos x + 3 \sin x = 5$.
બંને બાજુ $\cos x$ વડે ભાગતા:
$4 + 3 \tan x = 5 \sec x$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$(4 + 3 \tan x)^2 = (5 \sec x)^2$.
$16 + 9 \tan^2 x + 24 \tan x = 25 \sec^2 x$.
નિત્યસમ $\sec^2 x = 1 + \tan^2 x$ નો ઉપયોગ કરતા:
$16 + 9 \tan^2 x + 24 \tan x = 25(1 + \tan^2 x)$.
$16 + 9 \tan^2 x + 24 \tan x = 25 + 25 \tan^2 x$.
પદોને ગોઠવતા:
$16 \tan^2 x - 24 \tan x + 9 = 0$.
$(4 \tan x - 3)^2 = 0$.
તેથી,$4 \tan x = 3$,જેનો અર્થ છે કે $\tan x = \frac{3}{4}$.

(D) આપેલ છે કે $\sec \theta + \tan \theta = 2/3$ $(i)$
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sec^2 \theta - \tan^2 \theta = 1$,જેનો અર્થ છે કે $(\sec \theta - \tan \theta)(\sec \theta + \tan \theta) = 1$.
$(i)$ માંથી કિંમત મૂકતા,આપણને $\sec \theta - \tan \theta = 3/2$ મળે છે (ii)
$(i)$ અને (ii) નો સરવાળો કરતા: $2 \sec \theta = 2/3 + 3/2 = (4 + 9)/6 = 13/6$,તેથી $\sec \theta = 13/12$.
$(i)$ માંથી (ii) બાદ કરતા: $2 \tan \theta = 2/3 - 3/2 = (4 - 9)/6 = -5/6$,તેથી $\tan \theta = -5/12$.
કારણ કે $\sec \theta > 0$ અને $\tan \theta < 0$,તેથી $\theta$ એ $IV$ ચરણમાં આવેલું છે.