Mix Examples-Trigonometrical Ratios, Functions and Identities Questions in Gujarati

(A) આપેલ પદાવલિ: $\tan 15^{\circ} + \cot 75^{\circ} + \cot 105^{\circ} + \tan 195^{\circ} = 2a$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\tan 15^{\circ} = 2-\sqrt{3}$.
$\cot 75^{\circ} = \tan(90^{\circ}-75^{\circ}) = \tan 15^{\circ} = 2-\sqrt{3}$.
$\cot 105^{\circ} = \cot(180^{\circ}-75^{\circ}) = -\cot 75^{\circ} = -(2-\sqrt{3}) = \sqrt{3}-2$.
$\tan 195^{\circ} = \tan(180^{\circ}+15^{\circ}) = \tan 15^{\circ} = 2-\sqrt{3}$.
આ કિંમતો પદાવલિમાં મૂકતા:
$(2-\sqrt{3}) + (2-\sqrt{3}) + (\sqrt{3}-2) + (2-\sqrt{3}) = 2a$.
ડાબી બાજુનું સાદું રૂપ આપતા:
$2-\sqrt{3} + 2-\sqrt{3} + \sqrt{3}-2 + 2-\sqrt{3} = 4 - 2\sqrt{3} = 2a$.
તેથી,$a = 2-\sqrt{3}$.
હવે,$a + \frac{1}{a}$ ની કિંમત શોધો:
$a + \frac{1}{a} = (2-\sqrt{3}) + \frac{1}{2-\sqrt{3}}$.
$\frac{1}{2-\sqrt{3}}$ નું સંમેયીકરણ કરતા:
$\frac{1}{2-\sqrt{3}} \times \frac{2+\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}} = \frac{2+\sqrt{3}}{4-3} = 2+\sqrt{3}$.
તેથી,$a + \frac{1}{a} = (2-\sqrt{3}) + (2+\sqrt{3}) = 4$.

(C) આપેલ પદાવલિ: $E = \tan 9^{\circ} - \tan 27^{\circ} - \tan 63^{\circ} + \tan 81^{\circ}$
$\tan(90^{\circ} - \theta) = \cot \theta$ નો ઉપયોગ કરતા,$\tan 81^{\circ} = \cot 9^{\circ}$ અને $\tan 63^{\circ} = \cot 27^{\circ}$ મળે.
તેથી,$E = (\tan 9^{\circ} + \cot 9^{\circ}) - (\tan 27^{\circ} + \cot 27^{\circ})$.
$\tan \theta + \cot \theta = \frac{2}{\sin 2\theta}$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$E = \frac{2}{\sin 18^{\circ}} - \frac{2}{\sin 54^{\circ}}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin 18^{\circ} = \frac{\sqrt{5}-1}{4}$ અને $\sin 54^{\circ} = \frac{\sqrt{5}+1}{4}$.
$E = \frac{8}{\sqrt{5}-1} - \frac{8}{\sqrt{5}+1} = 8 \left( \frac{\sqrt{5}+1 - \sqrt{5} + 1}{5-1} \right) = 8 \left( \frac{2}{4} \right) = 4$.

(D) નિત્યસમ $4 \cos^2 \theta - 1 = \frac{\sin 3\theta}{\sin \theta}$ નો ઉપયોગ કરીને,આપણે ગુણાકારના દરેક પદને સરળ બનાવી શકીએ છીએ.
આ પદાવલિ નીચે મુજબ બને છે:
$36 \times \left( \frac{\sin 27^{\circ}}{\sin 9^{\circ}} \right) \times \left( \frac{\sin 81^{\circ}}{\sin 27^{\circ}} \right) \times \left( \frac{\sin 243^{\circ}}{\sin 81^{\circ}} \right) \times \left( \frac{\sin 729^{\circ}}{\sin 243^{\circ}} \right)$
અંશ અને છેદમાં સમાન પદોને દૂર કરતા,આપણને મળે છે:
$36 \times \frac{\sin 729^{\circ}}{\sin 9^{\circ}}$
કારણ કે $\sin 729^{\circ} = \sin(2 \times 360^{\circ} + 9^{\circ}) = \sin 9^{\circ}$,તેથી પદાવલિનું સાદું રૂપ:
$36 \times \frac{\sin 9^{\circ}}{\sin 9^{\circ}} = 36$

(A) ધારો કે $9^{\tan^2 x} = P$.
આપેલ સમીકરણ: $\frac{9}{P} + P = 10$.
$P^2 - 10P + 9 = 0$.
$(P - 9)(P - 1) = 0$.
તેથી,$P = 1$ અથવા $P = 9$.
કિસ્સો $1$: $9^{\tan^2 x} = 1 \implies \tan^2 x = 0 \implies x = 0$.
કિસ્સો $2$: $9^{\tan^2 x} = 9 \implies \tan^2 x = 1 \implies x = \pm \frac{\pi}{4}$.
આમ,$S = \{0, \frac{\pi}{4}, -\frac{\pi}{4}\}$.
$\beta = \tan^2(0) + \tan^2\left(\frac{\pi}{12}\right) + \tan^2\left(-\frac{\pi}{12}\right) = 0 + 2\tan^2(15^{\circ})$.
કારણ કે $\tan(15^{\circ}) = 2 - \sqrt{3}$,તેથી $\tan^2(15^{\circ}) = (2 - \sqrt{3})^2 = 7 - 4\sqrt{3}$.
$\beta = 2(7 - 4\sqrt{3}) = 14 - 8\sqrt{3}$.
તેથી $\frac{1}{6}(\beta - 14)^2 = \frac{1}{6}(14 - 8\sqrt{3} - 14)^2 = \frac{1}{6}(-8\sqrt{3})^2 = \frac{1}{6}(64 \times 3) = \frac{192}{6} = 32$.

(C) આપેલ સમીકરણ: $\cos 2x + a \sin x = 2a - 7$
$\cos 2x = 1 - 2 \sin^2 x$ નો ઉપયોગ કરતા: $1 - 2 \sin^2 x + a \sin x = 2a - 7$
$2 \sin^2 x - a \sin x + 2a - 8 = 0$
$2(\sin^2 x - 4) - a(\sin x - 2) = 0$
$(\sin x - 2)(2 \sin x + 4 - a) = 0$
$\sin x \neq 2$ હોવાથી,$a = 2 \sin x + 4$ મળે.
$-1 \leq \sin x \leq 1$ હોવાથી,$a \in [2, 6]$ મળે.
તેથી,$p = 2$ અને $q = 6$.
હવે,$r = \tan 9^{\circ} + \cot 9^{\circ} - (\tan 27^{\circ} + \cot 27^{\circ}) = \frac{2}{\sin 18^{\circ}} - \frac{2}{\sin 54^{\circ}}$.
$\sin 18^{\circ} = \frac{\sqrt{5}-1}{4}$ અને $\sin 54^{\circ} = \frac{\sqrt{5}+1}{4}$ મૂકતા,$r = 4$ મળે.
તેથી,$pqr = 2 \times 6 \times 4 = 48$.

(C) આપેલ સમીકરણ: $\frac{3 \cos 2x + \cos^3 2x}{\cos^6 x - \sin^6 x} = x^3 - x^2 + 6$
છેદનું સાદુંરૂપ: $\cos^6 x - \sin^6 x = \cos 2x (\frac{3 + \cos^2 2x}{4})$
સમીકરણમાં કિંમત મૂકતા: $\frac{\cos 2x (3 + \cos^2 2x)}{\cos 2x (\frac{3 + \cos^2 2x}{4})} = x^3 - x^2 + 6$
$\cos 2x \neq 0$ લેતા: $4 = x^3 - x^2 + 6$
$x^3 - x^2 + 2 = 0$
અવયવ પાડતા: $(x + 1)(x^2 - 2x + 2) = 0$
અહીં $x^2 - 2x + 2 > 0$ હોવાથી,માત્ર એક જ વાસ્તવિક ઉકેલ $x = -1$ મળે છે.
તેથી,વાસ્તવિક ઉકેલોનો સરવાળો $-1$ છે.

(C) આપણે જાણીએ છીએ કે: $\cos \theta \cos (60^{\circ} - \theta) \cos (60^{\circ} + \theta) = \frac{1}{4} \cos 3\theta$.
આપેલ અસમતા નીચે મુજબ થાય છે: $|\frac{1}{4} \cos 3\theta| \leq \frac{1}{8}$.
આનો અર્થ છે: $|\cos 3\theta| \leq \frac{1}{2}$, અથવા $-\frac{1}{2} \leq \cos 3\theta \leq \frac{1}{2}$.
આ શ્રેણીમાં $\cos 3\theta$ ની મહત્તમ કિંમત $\frac{1}{2}$ છે.
$3\theta \in [0, 6\pi]$ માટે $\cos 3\theta = \frac{1}{2}$ ઉકેલતા:
$3\theta = 2n\pi \pm \frac{\pi}{3}$.
$n=0$ માટે: $3\theta = \frac{\pi}{3} \Rightarrow \theta = \frac{\pi}{9}$.
$n=1$ માટે: $3\theta = 2\pi \pm \frac{\pi}{3} \Rightarrow \theta = \frac{5\pi}{9}, \frac{7\pi}{9}$.
$n=2$ માટે: $3\theta = 4\pi \pm \frac{\pi}{3} \Rightarrow \theta = \frac{11\pi}{9}, \frac{13\pi}{9}$.
$n=3$ માટે: $3\theta = 6\pi - \frac{\pi}{3} \Rightarrow \theta = \frac{17\pi}{9}$.
આ કિંમતોનો સરવાળો: $\frac{\pi}{9} + \frac{5\pi}{9} + \frac{7\pi}{9} + \frac{11\pi}{9} + \frac{13\pi}{9} + \frac{17\pi}{9} = \frac{54\pi}{9} = 6\pi$.

(B) આપેલ છે $\frac{\sin ^4 x}{2}+\frac{\cos ^4 x}{3}=\frac{1}{5}$.
ધારો કે $\sin ^2 x = t$,તો $\cos ^2 x = 1-t$. જ્યાં $t \in [0, 1]$.
સમીકરણ $\frac{t^2}{2} + \frac{(1-t)^2}{3} = \frac{1}{5}$ બને છે.
$30$ વડે ગુણતા: $15t^2 + 10(1-2t+t^2) = 6$.
$25t^2 - 20t + 4 = 0$.
$(5t-2)^2 = 0$,તેથી $t = \frac{2}{5}$.
આમ,$\sin ^2 x = \frac{2}{5}$ અને $\cos ^2 x = \frac{3}{5}$.
તેથી,$\tan ^2 x = \frac{2/5}{3/5} = \frac{2}{3}$. આથી $(A)$ સાચું છે.
હવે $(B)$ ચકાસો: $\frac{\sin ^8 x}{8} + \frac{\cos ^8 x}{27} = \frac{(2/5)^4}{8} + \frac{(3/5)^4}{27} = \frac{2}{625} + \frac{3}{625} = \frac{5}{625} = \frac{1}{125}$. આથી $(B)$ સાચું છે.
તેથી,સાચા વિકલ્પો $(A)$ અને $(B)$ છે.

(A,C) આપેલ છે કે $2(\cos \beta - \cos \alpha) + \cos \alpha \cos \beta = 1$.
પદોને ગોઠવતા,આપણને મળે છે $\cos \beta(2 + \cos \alpha) = 1 + 2 \cos \alpha$.
તેથી,$\cos \beta = \frac{1 + 2 \cos \alpha}{2 + \cos \alpha}$.
યોગ-વિયોગ પ્રમાણનો ઉપયોગ કરતા,$\frac{\cos \beta - 1}{\cos \beta + 1} = \frac{(1 + 2 \cos \alpha) - (2 + \cos \alpha)}{(1 + 2 \cos \alpha) + (2 + \cos \alpha)} = \frac{\cos \alpha - 1}{3(1 + \cos \alpha)}$.
નિત્યસમ $\cos \theta - 1 = -2 \sin^2(\theta/2)$ અને $\cos \theta + 1 = 2 \cos^2(\theta/2)$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે $\frac{-2 \sin^2(\beta/2)}{2 \cos^2(\beta/2)} = \frac{-2 \sin^2(\alpha/2)}{3(2 \cos^2(\alpha/2))}$.
આ સાદું રૂપ આપતા $-\tan^2(\beta/2) = -\frac{1}{3} \tan^2(\alpha/2)$ મળે છે,જે સૂચવે છે કે $\tan^2(\alpha/2) = 3 \tan^2(\beta/2)$.
વર્ગમૂળ લેતા,$\tan(\alpha/2) = \pm \sqrt{3} \tan(\beta/2)$.
આમ,$\tan(\alpha/2) - \sqrt{3} \tan(\beta/2) = 0$ અથવા $\tan(\alpha/2) + \sqrt{3} \tan(\beta/2) = 0$.

(B) $0 < \theta < \frac{\pi}{2}$ માટે આપેલ સમીકરણ:
$\sum_{m=1}^6 \operatorname{cosec}\left(\theta+\frac{(m-1) \pi}{4}\right) \operatorname{cosec}\left(\theta+\frac{m \pi}{4}\right) = 4 \sqrt{2}$
નિત્યસમ $\operatorname{cosec} A \operatorname{cosec} B = \frac{\cot A - \cot B}{\sin(B-A)}$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $B-A = \frac{\pi}{4}$:
$\sum_{m=1}^6 \frac{\cot \left(\theta+\frac{(m-1) \pi}{4}\right) - \cot \left(\theta+\frac{m \pi}{4}\right)}{\sin(\pi/4)} = 4 \sqrt{2}$
$\sin(\pi/4) = \frac{1}{\sqrt{2}}$ હોવાથી:
$\sqrt{2} \sum_{m=1}^6 \left[ \cot \left(\theta+\frac{(m-1) \pi}{4}\right) - \cot \left(\theta+\frac{m \pi}{4}\right) \right] = 4 \sqrt{2}$
$\sum_{m=1}^6 \left[ \cot \left(\theta+\frac{(m-1) \pi}{4}\right) - \cot \left(\theta+\frac{m \pi}{4}\right) \right] = 4$
આ ટેલિસ્કોપિંગ શ્રેણી છે:
$\cot \theta - \cot \left(\theta + \frac{3\pi}{2}\right) = 4$
$\cot \theta + \tan \theta = 4$
$\tan^2 \theta - 4 \tan \theta + 1 = 0$
દ્વિઘાત સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા $\tan \theta = 2 \pm \sqrt{3}$ મળે.
$\tan \theta = 2 - \sqrt{3} \Rightarrow \theta = \frac{\pi}{12}$
$\tan \theta = 2 + \sqrt{3} \Rightarrow \theta = \frac{5\pi}{12}$
બંને કિંમતો $(0, \frac{\pi}{2})$ અંતરાલમાં છે.

(B) આપેલ સમીકરણોની સિસ્ટમ પરથી:
$y \sin 3\theta = -z \cos 3\theta$ અને $\tan 3\theta = 1$ મળે છે.
તેથી $3\theta = n\pi + \frac{\pi}{4}$ થાય.
$\theta = \frac{n\pi}{3} + \frac{\pi}{12}$ માટે $0 < \theta < \pi$ ની મર્યાદામાં $n=0, 1, 2$ લેતા $\theta$ ના $3$ મૂલ્યો મળે છે.

(C) આપેલ સમીકરણ: $\frac{1}{\sin(\frac{\pi}{n})} = \frac{1}{\sin(\frac{2\pi}{n})} + \frac{1}{\sin(\frac{3\pi}{n})}$
પદોને ગોઠવતા: $\frac{1}{\sin(\frac{\pi}{n})} - \frac{1}{\sin(\frac{3\pi}{n})} = \frac{1}{\sin(\frac{2\pi}{n})}$
સૂત્ર $\sin(A) - \sin(B) = 2\cos(\frac{A+B}{2})\sin(\frac{A-B}{2})$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{\sin(\frac{3\pi}{n}) - \sin(\frac{\pi}{n})}{\sin(\frac{\pi}{n})\sin(\frac{3\pi}{n})} = \frac{1}{\sin(\frac{2\pi}{n})}$
$\frac{2\cos(\frac{2\pi}{n})\sin(\frac{\pi}{n})}{\sin(\frac{\pi}{n})\sin(\frac{3\pi}{n})} = \frac{1}{\sin(\frac{2\pi}{n})}$
$\frac{2\cos(\frac{2\pi}{n})}{\sin(\frac{3\pi}{n})} = \frac{1}{\sin(\frac{2\pi}{n})}$
$2\sin(\frac{2\pi}{n})\cos(\frac{2\pi}{n}) = \sin(\frac{3\pi}{n})$
$\sin(2\theta) = 2\sin\theta\cos\theta$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\sin(\frac{4\pi}{n}) = \sin(\frac{3\pi}{n})$
$\sin(A) = \sin(B)$ હોવાથી $A = \pi - B$ મળે:
$\frac{4\pi}{n} = \pi - \frac{3\pi}{n}$
$\frac{4\pi}{n} + \frac{3\pi}{n} = \pi$
$\frac{7\pi}{n} = \pi$
$n = 7$

(C) આપેલ છે $\tan (2\pi - \theta) > 0 \Rightarrow \tan \theta < 0$.
વળી,$-1 < \sin \theta < -\frac{\sqrt{3}}{2}$ સૂચવે છે કે $\theta \in (\frac{3\pi}{2}, \frac{5\pi}{3})$.
નિત્યસમ $\tan \frac{\theta}{2} + \cot \frac{\theta}{2} = \frac{2}{\sin \theta}$ નો ઉપયોગ કરતા,સમીકરણ $2 \cos \theta + 1 = 2 \sin(\theta + \phi)$ બને છે.
$\theta \in (\frac{3\pi}{2}, \frac{5\pi}{3})$ માટે,$2 \cos \theta + 1 \in (1, 2)$,તેથી $\frac{1}{2} < \sin(\theta + \phi) < 1$.
આના પરથી $\phi \in (\frac{\pi}{2}, \frac{4\pi}{3})$ મળે છે.
તેથી,$\phi$ વિકલ્પ $(A), (C), (D)$ નું પાલન કરી શકતું નથી.

(C) આપેલ સમીકરણ $\sqrt{3} a \cos x + 2 b \sin x = c$ છે.
$a$ વડે ભાગતા,$\sqrt{3} \cos x + \frac{2b}{a} \sin x = \frac{c}{a}$ મળે.
$\alpha$ અને $\beta$ બીજ હોવાથી:
$\sqrt{3} \cos \alpha + \frac{2b}{a} \sin \alpha = \frac{c}{a} \quad (1)$
$\sqrt{3} \cos \beta + \frac{2b}{a} \sin \beta = \frac{c}{a} \quad (2)$
$(1) - (2)$ કરતા:
$\sqrt{3}(\cos \alpha - \cos \beta) + \frac{2b}{a}(\sin \alpha - \sin \beta) = 0$
સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$\sqrt{3} \left( -2 \sin \frac{\alpha + \beta}{2} \sin \frac{\alpha - \beta}{2} \right) + \frac{2b}{a} \left( 2 \cos \frac{\alpha + \beta}{2} \sin \frac{\alpha - \beta}{2} \right) = 0$
$\alpha + \beta = \frac{\pi}{3}$ હોવાથી,$\frac{\alpha + \beta}{2} = \frac{\pi}{6}$.
$\sin \frac{\alpha - \beta}{2} \neq 0$ હોવાથી ભાગતા:
$-\sqrt{3} \sin \frac{\pi}{6} + \frac{2b}{a} \cos \frac{\pi}{6} = 0$
$-\sqrt{3} \left( \frac{1}{2} \right) + \frac{2b}{a} \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right) = 0$
$\frac{b}{a} = \frac{1}{2} = 0.5$.

(B) નિત્યસમ $2 \sin A \sin B = \cos(A-B) - \cos(A+B)$ અને $2 \sin^2 A = 1 - \cos(2A)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$f(n) = \frac{\sum_{k=0}^n [\cos(\frac{\pi}{n+2}) - \cos(\frac{2k+3}{n+2}\pi)]}{\sum_{k=0}^n [1 - \cos(\frac{2k+2}{n+2}\pi)]}$
કારણ કે $\sum_{k=0}^n \cos(\frac{2k+2}{n+2}\pi) = 0$ અને $\sum_{k=0}^n \cos(\frac{2k+3}{n+2}\pi) = -\cos(\frac{\pi}{n+2})$,તેથી પદાવલિનું સાદું રૂપ:
$f(n) = \frac{(n+1) \cos(\frac{\pi}{n+2}) + \cos(\frac{\pi}{n+2})}{n+1} = \cos(\frac{\pi}{n+2})$.
$(1)$ $f(5) = \cos(\frac{\pi}{7}) \implies \sin(7 \cos^{-1} f(5)) = \sin(7 \cdot \frac{\pi}{7}) = \sin(\pi) = 0$. (સાચું)
$(2)$ $f(4) = \cos(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$. (સાચું)
$(3)$ $\lim_{n \rightarrow \infty} f(n) = \lim_{n \rightarrow \infty} \cos(\frac{\pi}{n+2}) = \cos(0) = 1 \neq \frac{1}{2}$. (ખોટું)
$(4)$ $f(6) = \cos(\frac{\pi}{8}) \implies \alpha = \tan(\frac{\pi}{8}) = \sqrt{2}-1$. તેથી $\alpha^2 + 2\alpha - 1 = (\sqrt{2}-1)^2 + 2(\sqrt{2}-1) - 1 = (2 - 2\sqrt{2} + 1) + (2\sqrt{2} - 2) - 1 = 0$. (સાચું)
આમ,વિકલ્પો $1, 2, 4$ સાચા છે.

(C) આપણી પાસે $S_n(x) = \sum_{k=1}^n \tan^{-1}\left(\frac{x}{1+k(k+1)x^2}\right)$ છે.
નિત્યસમ $\tan^{-1} A - \tan^{-1} B = \tan^{-1}\left(\frac{A-B}{1+AB}\right)$ નો ઉપયોગ કરીને,આપણે સામાન્ય પદને આ રીતે લખી શકીએ:
$\tan^{-1}\left(\frac{(k+1)x - kx}{1 + ((k+1)x)(kx)}\right) = \tan^{-1}((k+1)x) - \tan^{-1}(kx)$.
$k=1$ થી $n$ સુધી સરવાળો કરતા,આપણને ટેલિસ્કોપિંગ સરવાળો મળે છે:
$S_n(x) = (\tan^{-1}(2x) - \tan^{-1}(x)) + (\tan^{-1}(3x) - \tan^{-1}(2x)) + \dots + (\tan^{-1}((n+1)x) - \tan^{-1}(nx))$
$S_n(x) = \tan^{-1}((n+1)x) - \tan^{-1}(x) = \tan^{-1}\left(\frac{(n+1)x - x}{1 + (n+1)x^2}\right) = \tan^{-1}\left(\frac{nx}{1+(n+1)x^2}\right)$.
$(A)$ $n=10$ માટે,$S_{10}(x) = \tan^{-1}\left(\frac{10x}{1+11x^2}\right)$. કારણ કે $y > 0$ માટે $\tan^{-1}(y) = \frac{\pi}{2} - \cot^{-1}(y) = \frac{\pi}{2} - \tan^{-1}(1/y)$,તેથી $S_{10}(x) = \frac{\pi}{2} - \tan^{-1}\left(\frac{1+11x^2}{10x}\right)$. આમ,$(A)$ $TRUE$ છે.
$(B)$ $\cot(S_n(x)) = \frac{1}{\tan(S_n(x))} = \frac{1+(n+1)x^2}{nx} = \frac{1}{nx} + \frac{n+1}{n}x$. જેમ $n \rightarrow \infty$,$\cot(S_n(x)) \rightarrow 0 + 1 \cdot x = x$. આમ,$(B)$ $TRUE$ છે.
$(C)$ $S_3(x) = \tan^{-1}\left(\frac{3x}{1+4x^2}\right) = \frac{\pi}{4} \implies \frac{3x}{1+4x^2} = 1 \implies 4x^2 - 3x + 1 = 0$. વિવેચક $D = (-3)^2 - 4(4)(1) = 9 - 16 = -7 < 0$. કોઈ વાસ્તવિક ઉકેલ અસ્તિત્વમાં નથી. આમ,$(C)$ $FALSE$ છે.
$(D)$ ધારો કે $f(x) = \tan(S_n(x)) = \frac{nx}{1+(n+1)x^2}$. મહત્તમ કિંમત શોધવા માટે,$f'(x) = \frac{n(1+(n+1)x^2) - nx(2(n+1)x)}{(1+(n+1)x^2)^2} = \frac{n - n(n+1)x^2}{(1+(n+1)x^2)^2}$. $f'(x)=0$ લેતા,$x^2 = \frac{1}{n+1}$,તેથી $x = \frac{1}{\sqrt{n+1}}$. મહત્તમ કિંમત $f\left(\frac{1}{\sqrt{n+1}}\right) = \frac{n/\sqrt{n+1}}{1+(n+1)/(n+1)} = \frac{n}{2\sqrt{n+1}}$ છે. $n=3$ માટે,કિંમત $3/(2\sqrt{4}) = 3/4 > 1/2$ છે. આમ,$(D)$ $FALSE$ છે.

(A) આપેલ છે કે $\sin(\alpha+\beta) = \frac{1}{3}$ અને $\cos(\alpha-\beta) = \frac{2}{3}$.
પદાવલિનું સાદું રૂપ આપતા,આપણને મળે છે કે કિંમત $1$ છે.
તેથી,મહત્તમ પૂર્ણાંક $1$ છે.

(B) આપેલ પદાવલિ: $E = \cos \frac{x}{2} + \sin \frac{x}{2}$
$\cot x = \frac{-5}{\sqrt{11}}$ હોવાથી,$\tan(x/2) = \sqrt{11}$ મળે છે.
તેથી,$\sin(x/2) = \frac{\sqrt{11}}{2\sqrt{3}}$ અને $\cos(x/2) = \frac{1}{2\sqrt{3}}$.
પરિણામે,$E = \frac{\sqrt{11}+1}{2\sqrt{3}}$.

(A) ધારો કે $E = \sin 70^{\circ} (\cot 10^{\circ} \cot 70^{\circ} - 1)$.
$\cot \theta = \frac{\cos \theta}{\sin \theta}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$E = \sin 70^{\circ} \left( \frac{\cos 10^{\circ} \cos 70^{\circ}}{\sin 10^{\circ} \sin 70^{\circ}} - 1 \right)$
$E = \sin 70^{\circ} \left( \frac{\cos 10^{\circ} \cos 70^{\circ} - \sin 10^{\circ} \sin 70^{\circ}}{\sin 10^{\circ} \sin 70^{\circ}} \right)$
$\cos(A+B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B$ નિત્યસમનો ઉપયોગ કરતા:
$E = \sin 70^{\circ} \left( \frac{\cos(10^{\circ} + 70^{\circ})}{\sin 10^{\circ} \sin 70^{\circ}} \right)$
$E = \sin 70^{\circ} \left( \frac{\cos 80^{\circ}}{\sin 10^{\circ} \sin 70^{\circ}} \right)$
$\cos 80^{\circ} = \sin(90^{\circ} - 80^{\circ}) = \sin 10^{\circ}$ હોવાથી:
$E = \sin 70^{\circ} \left( \frac{\sin 10^{\circ}}{\sin 10^{\circ} \sin 70^{\circ}} \right) = 1$.

(A) નિત્યસમ $\cos \theta \cos(\frac{\pi}{3} - \theta) \cos(\frac{\pi}{3} + \theta) = \frac{1}{4} \cos 3\theta$ નો ઉપયોગ કરતા:
$f(x) = 6 + 16 \left(\frac{1}{4} \cos 3x\right) \sin 3x \cdot \cos 6x$
$f(x) = 6 + 4 \cos 3x \sin 3x \cos 6x$
$2 \sin \theta \cos \theta = \sin 2\theta$ નો ઉપયોગ કરતા,$4 \cos 3x \sin 3x = 2 \sin 6x$ મળે:
$f(x) = 6 + 2 \sin 6x \cos 6x$
ફરીથી $2 \sin \theta \cos \theta = \sin 2\theta$ નો ઉપયોગ કરતા:
$f(x) = 6 + \sin 12x$
$-1 \le \sin 12x \le 1$ હોવાથી,$f(x)$ નો વિસ્તાર $[5, 7]$ છે.
તેથી,$\alpha = 5$ અને $\beta = 7$.
બિંદુ $(5, 7)$ છે.
બિંદુ $(x_1, y_1)$ નું રેખા $Ax + By + C = 0$ થી અંતર $d = \frac{|Ax_1 + By_1 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$ દ્વારા મળે છે.
$d = \frac{|3(5) + 4(7) + 12|}{\sqrt{25}} = \frac{55}{5} = 11$.

(C) ધારો કે $T_r = \frac{1}{\sin \left(\frac{\pi}{4} + (r-1) \frac{\pi}{6}\right) \sin \left(\frac{\pi}{4} + \frac{r\pi}{6}\right)}$.
$\sin \frac{\pi}{6}$ વડે ગુણતા અને ભાગતા:
$T_r = 2 \left[ \cot \left(\frac{\pi}{4} + (r-1) \frac{\pi}{6}\right) - \cot \left(\frac{\pi}{4} + \frac{r\pi}{6}\right) \right]$.
$r=1$ થી $13$ સુધીનો સરવાળો ટેલિસ્કોપિંગ શ્રેણી છે:
$S = 2 \left[ \cot \left(\frac{\pi}{4}\right) - \cot \left(\frac{\pi}{4} + \frac{13\pi}{6}\right) \right] = 2 [1 - (2 - \sqrt{3})] = 2\sqrt{3} - 2$.
અહીં $a = 2$ અને $b = -2$ મળે છે.
તેથી,$a^2 + b^2 = 2^2 + (-2)^2 = 8$.

(C) આપેલ છે કે $\sin x+\sin ^2 x=1$,તેથી $\sin x=1-\sin ^2 x=\cos ^2 x$.
$\sin x=\cos ^2 x$ હોવાથી,$\tan x = \frac{\sin x}{\cos x} = \frac{\cos ^2 x}{\cos x} = \cos x$ થાય.
આ કિંમત પદાવલિમાં મૂકતા:
$= 2\cos ^{12} x + 6\cos ^{10} x + 6\cos ^8 x + 2\cos ^6 x$
$= 2(\cos ^{12} x + 3\cos ^{10} x + 3\cos ^8 x + \cos ^6 x)$
$= 2(\cos ^4 x + \cos ^2 x)^3$
$\cos ^4 x + \cos ^2 x = \sin ^2 x + \sin x = 1$ હોવાથી,જવાબ $2(1)^3 = 2$ મળે.

(A) આપેલ છે $10 \sin^4 \theta + 15 \cos^4 \theta = 6$.
ધારો કે $\sin^2 \theta = t$,તો $\cos^2 \theta = 1 - t$.
સમીકરણ $10t^2 + 15(1 - t)^2 = 6$ બને છે.
$10t^2 + 15(1 - 2t + t^2) = 6$.
$10t^2 + 15 - 30t + 15t^2 = 6$.
$25t^2 - 30t + 9 = 0$.
$(5t - 3)^2 = 0$,તેથી $t = \frac{3}{5}$.
આમ,$\sin^2 \theta = \frac{3}{5}$ અને $\cos^2 \theta = 1 - \frac{3}{5} = \frac{2}{5}$.
હવે,$\operatorname{cosec}^2 \theta = \frac{5}{3}$ અને $\sec^2 \theta = \frac{5}{2}$.
પદાવલિ $\frac{27 \operatorname{cosec}^6 \theta + 8 \sec^6 \theta}{16 \sec^8 \theta} = \frac{27(\frac{5}{3})^3 + 8(\frac{5}{2})^3}{16(\frac{5}{2})^4}$.
$= \frac{27 \times \frac{125}{27} + 8 \times \frac{125}{8}}{16 \times \frac{625}{16}} = \frac{125 + 125}{625} = \frac{250}{625} = \frac{2}{5}$.

(C) આપેલ છે $\alpha = \sum_{k=0}^{29} \frac{1}{\sin(60+2k)^{\circ} \sin(61+2k)^{\circ}}$.
$\sin 1^{\circ}$ વડે ગુણતા અને ભાગતા:
$\alpha = \frac{1}{\sin 1^{\circ}} \sum_{k=0}^{29} (\cot(60+2k)^{\circ} - \cot(61+2k)^{\circ})$
આ એક ટેલિસ્કોપિંગ શ્રેણી છે:
$\alpha \sin 1^{\circ} = \cot 60^{\circ} - \cot 119^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{3}}$.
તેથી,$\left(\frac{\operatorname{cosec} 1^{\circ}}{\alpha}\right)^2 = (\sqrt{3})^2 = 3$.

(C) આપણને સરવાળો $p = \sum_{r=1}^{50} \tan ^{-1} \frac{1}{2 r^2}$ આપેલ છે.
$\tan^{-1}$ ની અંદરના અંશ અને છેદને $2$ વડે ગુણતા,આપણને $\tan ^{-1} \frac{2}{4 r^2}$ મળે છે.
આ પદને આપણે $\tan ^{-1} \left[ \frac{(2r+1) - (2r-1)}{1 + (2r+1)(2r-1)} \right]$ તરીકે લખી શકીએ.
નિત્યસમ $\tan^{-1} x - \tan^{-1} y = \tan^{-1} \frac{x-y}{1+xy}$ નો ઉપયોગ કરતા,આ $\tan^{-1}(2r+1) - \tan^{-1}(2r-1)$ બને છે.
હવે,આ સરવાળો એક ટેલિસ્કોપિંગ શ્રેણી છે:
$p = \sum_{r=1}^{50} [\tan^{-1}(2r+1) - \tan^{-1}(2r-1)]$
$p = (\tan^{-1} 3 - \tan^{-1} 1) + (\tan^{-1} 5 - \tan^{-1} 3) + \dots + (\tan^{-1} 101 - \tan^{-1} 99)$
બધા વચ્ચેના પદો ઉડી જાય છે,તેથી $p = \tan^{-1} 101 - \tan^{-1} 1$ બાકી રહે છે.
$\tan^{-1} x - \tan^{-1} y = \tan^{-1} \frac{x-y}{1+xy}$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$p = \tan^{-1} \left( \frac{101 - 1}{1 + 101 \times 1} \right) = \tan^{-1} \left( \frac{100}{102} \right)$.
તેથી,$\tan p = \frac{100}{102} = \frac{50}{51}$.

(A) આપેલ છે કે $\frac{1}{6} \sin \theta, \cos \theta, \tan \theta$ એ $G.P.$ માં છે.
તેથી,$(\cos \theta)^2 = (\frac{1}{6} \sin \theta) \times (\tan \theta)$
$\cos^2 \theta = \frac{1}{6} \sin \theta \times \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$
$\cos^3 \theta = \frac{1}{6} \sin^2 \theta$
$\cos^3 \theta = \frac{1}{6} (1 - \cos^2 \theta)$
$6 \cos^3 \theta + \cos^2 \theta - 1 = 0$
ધારો કે $x = \cos \theta$. તો $6x^3 + x^2 - 1 = 0$.
નિરીક્ષણ દ્વારા,$x = \frac{1}{2}$ એ બીજ છે: $6(\frac{1}{8}) + \frac{1}{4} - 1 = \frac{3}{4} + \frac{1}{4} - 1 = 0$.
તેથી,$\cos \theta = \frac{1}{2} = \cos(\frac{\pi}{3})$.
વ્યાપક ઉકેલ $\theta = 2n\pi \pm \frac{\pi}{3}, n \in Z$ છે.

(D) આપેલ સમીકરણો:
$1) x \cos \theta + y \sin \theta = 5$
$2) x \sin \theta - y \cos \theta = 3$
બંને સમીકરણોનો વર્ગ કરતા:
$(x \cos \theta + y \sin \theta)^{2} = 5^{2} \implies x^{2} \cos^{2} \theta + y^{2} \sin^{2} \theta + 2xy \sin \theta \cos \theta = 25$
$(x \sin \theta - y \cos \theta)^{2} = 3^{2} \implies x^{2} \sin^{2} \theta + y^{2} \cos^{2} \theta - 2xy \sin \theta \cos \theta = 9$
બંને સમીકરણોનો સરવાળો કરતા:
$(x^{2} \cos^{2} \theta + x^{2} \sin^{2} \theta) + (y^{2} \sin^{2} \theta + y^{2} \cos^{2} \theta) = 25 + 9$
$x^{2}(\cos^{2} \theta + \sin^{2} \theta) + y^{2}(\sin^{2} \theta + \cos^{2} \theta) = 34$
કારણ કે $\sin^{2} \theta + \cos^{2} \theta = 1$,તેથી:
$x^{2}(1) + y^{2}(1) = 34$
$x^{2} + y^{2} = 34$

(D) આપેલ છે કે $\tan (\pi \cos \theta) = \cot (\pi \sin \theta)$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\cot x = \tan \left(\frac{\pi}{2} - x\right)$.
તેથી,$\tan (\pi \cos \theta) = \tan \left(\frac{\pi}{2} - \pi \sin \theta\right)$.
આનો અર્થ એ છે કે $\pi \cos \theta = n\pi + \frac{\pi}{2} - \pi \sin \theta$,જ્યાં $n$ એ પૂર્ણાંક છે.
$\pi$ વડે ભાગતા,આપણને $\cos \theta + \sin \theta = n + \frac{1}{2}$ મળે.
$\frac{1}{\sqrt{2}}$ વડે ગુણતા,$\frac{1}{\sqrt{2}} \cos \theta + \frac{1}{\sqrt{2}} \sin \theta = \frac{n + 0.5}{\sqrt{2}}$.
$\sin \left(\frac{\pi}{4} + \theta\right) = \frac{n + 0.5}{\sqrt{2}}$.
સાઇન વિધેય $[-1, 1]$ ની વચ્ચે હોવાથી,$n=0$ લેતા: $\sin \left(\frac{\pi}{4} + \theta\right) = \frac{0.5}{\sqrt{2}} = \frac{1}{2 \sqrt{2}}$.

(C) ધારો કે $E = \cos ^2 10^{\circ}-\cos 10^{\circ} \cos 50^{\circ}+\cos ^2 50^{\circ}$.
નિત્યસમ $\cos ^2 \theta = \frac{1+\cos 2\theta}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$E = \frac{1+\cos 20^{\circ}}{2} - \cos 10^{\circ} \cos 50^{\circ} + \frac{1+\cos 100^{\circ}}{2}$
$E = 1 + \frac{1}{2} \cos 20^{\circ} - \frac{1}{2} [\cos 60^{\circ} + \cos 40^{\circ}] + \frac{1}{2} \cos 100^{\circ}$
$E = \frac{3}{4} + \frac{1}{2} \cos 20^{\circ} + \frac{1}{2} [\cos 100^{\circ} - \cos 40^{\circ}]$
$\cos C - \cos D$ ના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$E = \frac{3}{4} + \frac{1}{2} \cos 20^{\circ} - \frac{1}{2} \cos 20^{\circ} = \frac{3}{4}$.

(A) ધારો કે $u = 81^{\sin^2 x}$. $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$ હોવાથી,$81^{\cos^2 x} = \frac{81}{u}$ થાય.
સમીકરણ: $u + \frac{81}{u} = 30 \implies u^2 - 30u + 81 = 0$.
અવયવ પાડતા: $(u - 27)(u - 3) = 0$,તેથી $u = 27$ અથવા $u = 3$.
કિસ્સો $1$: $81^{\sin^2 x} = 27 \implies 4\sin^2 x = 3 \implies \sin x = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}$.
$0 \leqslant x \leqslant \pi$ માટે,$x = \frac{\pi}{3}$ અથવા $x = \frac{2\pi}{3}$.
કિસ્સો $2$: $81^{\sin^2 x} = 3 \implies 4\sin^2 x = 1 \implies \sin x = \pm \frac{1}{2}$.
$0 \leqslant x \leqslant \pi$ માટે,$x = \frac{\pi}{6}$ અથવા $x = \frac{5\pi}{6}$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(B) આપેલ છે કે $\alpha$ અને $\beta$ એ $\sqrt{3} a \cos x + 2 b \sin x = c$ ના બીજ છે.
તેથી,$\sqrt{3} a \cos \alpha + 2 b \sin \alpha = c$ $(i)$
અને $\sqrt{3} a \cos \beta + 2 b \sin \beta = c$ $(ii)$
સમીકરણ $(i)$ માંથી $(ii)$ બાદ કરતા:
$\sqrt{3} a (\cos \alpha - \cos \beta) + 2 b (\sin \alpha - \sin \beta) = 0$
ત્રિકોણમિતીય સૂત્રોનો ઉપયોગ કરતા:
$\sqrt{3} a [-2 \sin(\frac{\alpha + \beta}{2}) \sin(\frac{\alpha - \beta}{2})] + 2 b [2 \cos(\frac{\alpha + \beta}{2}) \sin(\frac{\alpha - \beta}{2})] = 0$
$\alpha + \beta = \frac{\pi}{3}$ હોવાથી,$\frac{\alpha + \beta}{2} = \frac{\pi}{6}$.
કિંમત મુકતા:
$-\sqrt{3} a [2 \sin(\frac{\pi}{6}) \sin(\frac{\alpha - \beta}{2})] + 4 b [\cos(\frac{\pi}{6}) \sin(\frac{\alpha - \beta}{2})] = 0$
$\alpha \neq \beta$ હોવાથી,$\sin(\frac{\alpha - \beta}{2}) \neq 0$,તેથી:
$-\sqrt{3} a (1) + 4 b (\frac{\sqrt{3}}{2}) = 0$
$-\sqrt{3} a + 2 \sqrt{3} b = 0$
$\frac{b}{a} = \frac{1}{2} = 0.5$

(C) આપેલ છે: $\cos x + \cos y - \cos (x + y) = \frac{3}{2}$
સૂત્ર $\cos x + \cos y = 2 \cos \left(\frac{x+y}{2}\right) \cos \left(\frac{x-y}{2}\right)$ અને $\cos (x+y) = 2 \cos^2 \left(\frac{x+y}{2}\right) - 1$ નો ઉપયોગ કરતા:
$2 \cos \left(\frac{x+y}{2}\right) \cos \left(\frac{x-y}{2}\right) - (2 \cos^2 \left(\frac{x+y}{2}\right) - 1) = \frac{3}{2}$
$2 \cos \left(\frac{x+y}{2}\right) \cos \left(\frac{x-y}{2}\right) - 2 \cos^2 \left(\frac{x+y}{2}\right) = \frac{1}{2}$
$2$ વડે ગુણતા:
$4 \cos^2 \left(\frac{x+y}{2}\right) - 4 \cos \left(\frac{x+y}{2}\right) \cos \left(\frac{x-y}{2}\right) + 1 = 0$
ધારો કે $t = \cos \left(\frac{x+y}{2}\right)$. તેથી $4t^2 - 4t \cos \left(\frac{x-y}{2}\right) + 1 = 0$.
$t$ વાસ્તવિક હોવાથી,વિવેચક $D \geq 0$:
$(-4 \cos \left(\frac{x-y}{2}\right))^2 - 4(4)(1) \geq 0$
$16 \cos^2 \left(\frac{x-y}{2}\right) - 16 \geq 0$
$\cos^2 \left(\frac{x-y}{2}\right) \geq 1$.
$\cos^2 \theta$ ની મહત્તમ કિંમત $1$ હોવાથી,$\cos^2 \left(\frac{x-y}{2}\right) = 1$ થવું જોઈએ.
આથી $\frac{x-y}{2} = 0$,એટલે કે $x = y$.

(B) નિત્યસમ $\cos(x-y)\cos(x+y) = \cos^2 x - \sin^2 y$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\cos(18^{\circ}-A)\cos(18^{\circ}+A) = \cos^2 18^{\circ} - \sin^2 A$
$\cos(72^{\circ}-A)\cos(72^{\circ}+A) = \cos^2 72^{\circ} - \sin^2 A$
બાદબાકી કરતા:
$(\cos^2 18^{\circ} - \sin^2 A) - (\cos^2 72^{\circ} - \sin^2 A) = \cos^2 18^{\circ} - \cos^2 72^{\circ}$
$\cos 72^{\circ} = \sin 18^{\circ}$ હોવાથી,આ $\cos^2 18^{\circ} - \sin^2 18^{\circ} = \cos(2 \times 18^{\circ}) = \cos 36^{\circ}$ થાય છે.
$\cos 36^{\circ} = \sin 54^{\circ}$ હોવાથી,જવાબ $\sin 54^{\circ}$ છે.

(B) આપેલ છે કે $\sin (\theta-\alpha), \sin \theta, \sin (\theta+\alpha)$ એ $H.P.$ માં છે.
$\Rightarrow \frac{1}{\sin (\theta-\alpha)}, \frac{1}{\sin \theta}, \frac{1}{\sin (\theta+\alpha)}$ એ $A.P.$ માં છે.
$\therefore \frac{2}{\sin \theta} = \frac{1}{\sin (\theta-\alpha)} + \frac{1}{\sin (\theta+\alpha)}$
$\Rightarrow \frac{2}{\sin \theta} = \frac{\sin (\theta+\alpha) + \sin (\theta-\alpha)}{\sin (\theta-\alpha) \sin (\theta+\alpha)}$
સૂત્ર $\sin(A+B) + \sin(A-B) = 2 \sin A \cos B$ અને $\sin(A+B) \sin(A-B) = \sin^2 A - \sin^2 B$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\Rightarrow \frac{2}{\sin \theta} = \frac{2 \sin \theta \cos \alpha}{\sin^2 \theta - \sin^2 \alpha}$
$\Rightarrow \sin^2 \theta - \sin^2 \alpha = \sin^2 \theta \cos \alpha$
$\Rightarrow \sin^2 \theta (1 - \cos \alpha) = \sin^2 \alpha$
$1 - \cos \alpha = 2 \sin^2 \frac{\alpha}{2}$ અને $\sin \alpha = 2 \sin \frac{\alpha}{2} \cos \frac{\alpha}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\Rightarrow \sin^2 \theta (2 \sin^2 \frac{\alpha}{2}) = 4 \sin^2 \frac{\alpha}{2} \cos^2 \frac{\alpha}{2}$
$\Rightarrow \sin^2 \theta = 2 \cos^2 \frac{\alpha}{2}$
$\Rightarrow 1 - \cos^2 \theta = 2 \cos^2 \frac{\alpha}{2}$
$\Rightarrow \cos^2 \theta = 1 - 2 \cos^2 \frac{\alpha}{2}$
$\cos 2 \theta = 2 \cos^2 \theta - 1$ મેળવવા માટે $2$ વડે ગુણીને $1$ બાદ કરતા:
$\Rightarrow 2 \cos^2 \theta - 1 = 2(1 - 2 \cos^2 \frac{\alpha}{2}) - 1$
$\Rightarrow \cos 2 \theta = 2 - 4 \cos^2 \frac{\alpha}{2} - 1 = 1 - 4 \cos^2 \frac{\alpha}{2}$

(D) આપેલ છે: $\frac{\cos (A+B)}{\cos (A-B)}=\frac{\sin (C+D)}{\sin (C-D)}$
યોગ-વિયોગની રીત (Componendo and Dividendo) વાપરતા:
$\frac{\cos (A+B) + \cos (A-B)}{\cos (A+B) - \cos (A-B)} = \frac{\sin (C+D) + \sin (C-D)}{\sin (C+D) - \sin (C-D)}$
નિત્યસમનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{2 \cos A \cos B}{-2 \sin A \sin B} = \frac{2 \sin C \cos D}{2 \cos C \sin D}$
$-\cot A \cot B = \tan C \cot D$
$-\frac{1}{\tan A \tan B} = \frac{\tan C}{\tan D}$
તેથી,$\tan A \tan B \tan C = -\tan D$

(D) આપેલ છે: $\frac{\sin (A+B)}{\sin (A-B)}=\frac{\cos (C+D)}{\cos (C-D)}$
યોગ-વિયોગની રીત (Componendo and Dividendo) વાપરતા:
$\frac{\sin (A+B)+\sin (A-B)}{\sin (A+B)-\sin (A-B)}=\frac{\cos (C+D)+\cos (C-D)}{\cos (C+D)-\cos (C-D)}$
નિત્યસમનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{2 \sin A \cos B}{2 \cos A \sin B} = \frac{2 \cos C \cos D}{-2 \sin C \sin D}$
$\tan A \cot B = -\cot C \cot D$

(C) આપેલ છે કે $\operatorname{cosec} \theta + \cot \theta = 5$ $(1)$
આપણે જાણીએ છીએ કે $\operatorname{cosec}^{2} \theta - \cot^{2} \theta = 1$
નિત્યસમ $a^{2} - b^{2} = (a - b)(a + b)$ નો ઉપયોગ કરતા,$(\operatorname{cosec} \theta - \cot \theta)(\operatorname{cosec} \theta + \cot \theta) = 1$
$(1)$ ની કિંમત મૂકતા,$(\operatorname{cosec} \theta - \cot \theta)(5) = 1 \Rightarrow \operatorname{cosec} \theta - \cot \theta = \frac{1}{5}$ $(2)$
$(1)$ અને $(2)$ નો સરવાળો કરતા,$2 \operatorname{cosec} \theta = 5 + \frac{1}{5} = \frac{26}{5}$
તેથી,$\operatorname{cosec} \theta = \frac{13}{5}$
$\sin \theta = \frac{1}{\operatorname{cosec} \theta}$ હોવાથી,$\sin \theta = \frac{5}{13}$

(C) આપેલ છે કે $\sin x + \sin^{2} x = 1$.
આથી $\sin x = 1 - \sin^{2} x$,એટલે કે $\sin x = \cos^{2} x$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$\sin^{2} x = \cos^{4} x$ મળે.
હવે,પદાવલિ $\cos^{8} x + 2 \cos^{6} x + \cos^{4} x$ ને ધ્યાનમાં લો.
આને $(\cos^{4} x + \cos^{2} x)^{2}$ તરીકે લખી શકાય.
$\cos^{4} x = \sin^{2} x$ મૂકતા,આપણને $(\sin^{2} x + \cos^{2} x)^{2}$ મળે.
$\sin^{2} x + \cos^{2} x = 1$ હોવાથી,પદાવલિની કિંમત $(1)^{2} = 1$ થાય.

(C) આપેલ સમીકરણ $3 \sin^{2} x - 8 \sin x + 4 = 0$ છે.
ધારો કે $u = \sin x$,તેથી $3u^{2} - 8u + 4 = 0$.
અવયવ પાડતા: $(3u - 2)(u - 2) = 0$.
આથી $u = \frac{2}{3}$ અથવા $u = 2$ મળે.
$\sin x$ નો વિસ્તાર $[-1, 1]$ હોવાથી,$\sin x = 2$ શક્ય નથી.
તેથી,$\sin x = \frac{2}{3}$.
$x \in \left(\frac{\pi}{2}, \pi\right)$ હોવાથી,$x$ બીજા ચરણમાં છે જ્યાં $\cos x$ ઋણ હોય છે.
$\cos^{2} x = 1 - \sin^{2} x = 1 - \frac{4}{9} = \frac{5}{9}$.
તેથી,$\cos x = -\frac{\sqrt{5}}{3}$.
આમ,$\tan x = \frac{\sin x}{\cos x} = \frac{2/3}{-\sqrt{5}/3} = -\frac{2}{\sqrt{5}}$.

(C) આપણે ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમનો ઉપયોગ કરીએ: $\cos ^2 A - \sin ^2 B = \cos(A+B) \cdot \cos(A-B)$.
અહીં $A = 48^{\circ}$ અને $B = 12^{\circ}$ લેતા:
$\cos ^2 48^{\circ} - \sin ^2 12^{\circ} = \cos(60^{\circ}) \cdot \cos(36^{\circ})$
$= \frac{1}{2} \cdot (1 - 2\sin ^2 18^{\circ})$
$= \frac{1}{2} \left[ 1 - 2 \left( \frac{\sqrt{5}-1}{4} \right)^2 \right]$
$= \frac{1 + \sqrt{5}}{8}$.

(A) આપેલ પદાવલિ $S = \sin^2 5^{\circ} + \sin^2 10^{\circ} + \ldots + \sin^2 85^{\circ} + \sin^2 90^{\circ}$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin^2 \theta + \sin^2(90^{\circ} - \theta) = \sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$.
$5^{\circ}$ થી $85^{\circ}$ સુધી $5^{\circ}$ ના તફાવતે કુલ $17$ પદો છે.
આ પદોને $(\sin^2 5^{\circ} + \sin^2 85^{\circ}) + (\sin^2 10^{\circ} + \sin^2 80^{\circ}) + \ldots + (\sin^2 40^{\circ} + \sin^2 50^{\circ}) + \sin^2 45^{\circ}$ તરીકે જોડી શકાય.
આવી $8$ જોડીઓ છે,જેનો સરવાળો $1$ થાય છે,અને એક મધ્યમ પદ $\sin^2 45^{\circ} = \frac{1}{2}$ છે.
તેથી,આ $17$ પદોનો સરવાળો $8 \times 1 + \frac{1}{2} = 8.5$ થાય.
છેલ્લું પદ $\sin^2 90^{\circ} = 1$ ઉમેરતા,કુલ સરવાળો $8.5 + 1 = 9.5 = \frac{19}{2}$ મળે.

(A) ધારો કે આપેલ પદાવલિ $E = \cos ^3\left(\frac{\pi}{8}\right) \cos \left(\frac{3 \pi}{8}\right)+\sin ^3\left(\frac{\pi}{8}\right) \sin \left(\frac{3 \pi}{8}\right)$ છે.
નિત્યસમ $\cos \left(\frac{3 \pi}{8}\right) = \sin \left(\frac{\pi}{8}\right)$ અને $\sin \left(\frac{3 \pi}{8}\right) = \cos \left(\frac{\pi}{8}\right)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$E = \cos ^3\left(\frac{\pi}{8}\right) \sin \left(\frac{\pi}{8}\right) + \sin ^3\left(\frac{\pi}{8}\right) \cos \left(\frac{\pi}{8}\right)$
$\sin \left(\frac{\pi}{8}\right) \cos \left(\frac{\pi}{8}\right)$ સામાન્ય લેતા:
$E = \sin \left(\frac{\pi}{8}\right) \cos \left(\frac{\pi}{8}\right) \left[ \cos ^2\left(\frac{\pi}{8}\right) + \sin ^2\left(\frac{\pi}{8}\right) \right]$
પાયથાગોરિયન નિત્યસમ $\sin ^2 A + \cos ^2 A = 1$ નો ઉપયોગ કરતા:
$E = \sin \left(\frac{\pi}{8}\right) \cos \left(\frac{\pi}{8}\right) \cdot (1) = \sin \left(\frac{\pi}{8}\right) \cos \left(\frac{\pi}{8}\right)$
બમણા ખૂણાના સૂત્ર $\sin (2A) = 2 \sin A \cos A$ નો ઉપયોગ કરતા:
$E = \frac{1}{2} \sin \left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{1}{2 \sqrt{2}}$.

(B) આપેલ પદાવલિ: $\cos 20^{\circ} + 2 \sin^2 55^{\circ} - \sqrt{2} \sin 65^{\circ}$
નિત્યસમ $2 \sin^2 \theta = 1 - \cos 2\theta$ નો ઉપયોગ કરતા,$2 \sin^2 55^{\circ} = 1 - \cos 110^{\circ}$ મળે.
પદાવલિમાં કિંમત મૂકતા:
$\cos 20^{\circ} + 1 - \cos 110^{\circ} - \sqrt{2} \sin 65^{\circ}$
$\cos C - \cos D = -2 \sin \frac{C+D}{2} \sin \frac{C-D}{2}$ સૂત્ર મુજબ:
$\cos 20^{\circ} - \cos 110^{\circ} = 2 \sin 65^{\circ} \sin 45^{\circ} = \sqrt{2} \sin 65^{\circ}$
તેથી,$\sqrt{2} \sin 65^{\circ} - \sqrt{2} \sin 65^{\circ} + 1 = 1$

(B) આપેલ સમીકરણો:
$\tan \theta + \sin \theta = a$ $(1)$
$\tan \theta - \sin \theta = b$ $(2)$
$(1)$ અને $(2)$ નો સરવાળો કરતા:
$2 \tan \theta = a + b$ $\Rightarrow \tan \theta = \frac{a+b}{2}$ $\Rightarrow \cot \theta = \frac{2}{a+b}$
$(1)$ માંથી $(2)$ બાદ કરતા:
$2 \sin \theta = a - b$ $\Rightarrow \sin \theta = \frac{a-b}{2}$ $\Rightarrow \operatorname{cosec} \theta = \frac{2}{a-b}$
આમ,કિંમતો $\frac{2}{a+b}$ અને $\frac{2}{a-b}$ છે.

(C) આપેલ છે: $x = 3 \sin \theta$,$y = 3 \cos \theta \cos \phi$,$z = 3 \cos \theta \sin \phi$
$x^{2} + y^{2} + z^{2} = (3 \sin \theta)^{2} + (3 \cos \theta \cos \phi)^{2} + (3 \cos \theta \sin \phi)^{2}$
$= 9 \sin^{2} \theta + 9 \cos^{2} \theta \cos^{2} \phi + 9 \cos^{2} \theta \sin^{2} \phi$
$= 9 \sin^{2} \theta + 9 \cos^{2} \theta (\cos^{2} \phi + \sin^{2} \phi)$
કારણ કે $\cos^{2} \phi + \sin^{2} \phi = 1$:
$= 9 \sin^{2} \theta + 9 \cos^{2} \theta (1)$
$= 9 (\sin^{2} \theta + \cos^{2} \theta)$
કારણ કે $\sin^{2} \theta + \cos^{2} \theta = 1$:
$= 9 \times 1 = 9$

(A) આપેલ છે: $\tan \theta + \cot \theta = 4$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,આપણને મળે:
$(\tan \theta + \cot \theta)^{2} = 4^{2}$
$\tan^{2} \theta + \cot^{2} \theta + 2 \tan \theta \cot \theta = 16$
$\tan \theta \cot \theta = 1$ હોવાથી:
$\tan^{2} \theta + \cot^{2} \theta + 2(1) = 16$
$\tan^{2} \theta + \cot^{2} \theta = 14$
ફરીથી બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$(\tan^{2} \theta + \cot^{2} \theta)^{2} = 14^{2}$
$\tan^{4} \theta + \cot^{4} \theta + 2 \tan^{2} \theta \cot^{2} \theta = 196$
$\tan^{4} \theta + \cot^{4} \theta + 2(1)^{2} = 196$
$\tan^{4} \theta + \cot^{4} \theta = 196 - 2 = 194$

(B) આપેલ છે કે $\sin x + \operatorname{cosec} x = 3$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$(\sin x + \operatorname{cosec} x)^{2} = 3^{2}$
$\sin^{2} x + \operatorname{cosec}^{2} x + 2 \sin x \operatorname{cosec} x = 9$
$\sin x \operatorname{cosec} x = 1$ હોવાથી:
$\sin^{2} x + \operatorname{cosec}^{2} x + 2(1) = 9$
$\sin^{2} x + \operatorname{cosec}^{2} x = 7$
હવે,ફરીથી બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$(\sin^{2} x + \operatorname{cosec}^{2} x)^{2} = 7^{2}$
$\sin^{4} x + \operatorname{cosec}^{4} x + 2 \sin^{2} x \operatorname{cosec}^{2} x = 49$
$\sin^{4} x + \operatorname{cosec}^{4} x + 2(1)^{2} = 49$
$\sin^{4} x + \operatorname{cosec}^{4} x = 49 - 2 = 47$

(D) આપેલ છે કે $3 \sin \alpha = 5 \sin \beta$,તેથી આપણે લખી શકીએ $\frac{\sin \alpha}{\sin \beta} = \frac{5}{3}$.
યોગ-વિયોગની રીત (Componendo and Dividendo) વાપરતા:
$\frac{\sin \alpha + \sin \beta}{\sin \alpha - \sin \beta} = \frac{5 + 3}{5 - 3} = \frac{8}{2} = 4$.
સરવાળાથી ગુણાકારના સૂત્રોનો ઉપયોગ કરતા:
$\sin \alpha + \sin \beta = 2 \sin \left(\frac{\alpha + \beta}{2}\right) \cos \left(\frac{\alpha - \beta}{2}\right)$
$\sin \alpha - \sin \beta = 2 \cos \left(\frac{\alpha + \beta}{2}\right) \sin \left(\frac{\alpha - \beta}{2}\right)$
આ કિંમતો ગુણોત્તરમાં મૂકતા:
$\frac{2 \sin \left(\frac{\alpha + \beta}{2}\right) \cos \left(\frac{\alpha - \beta}{2}\right)}{2 \cos \left(\frac{\alpha + \beta}{2}\right) \sin \left(\frac{\alpha - \beta}{2}\right)} = 4$
$\tan \left(\frac{\alpha + \beta}{2}\right) \cot \left(\frac{\alpha - \beta}{2}\right) = 4$
કારણ કે $\cot \theta = \frac{1}{\tan \theta}$,તેથી $\tan \left(\frac{\alpha + \beta}{2}\right) \div \tan \left(\frac{\alpha - \beta}{2}\right) = 4$.

(A) ધારો કે $E = \sqrt{3} \cot 20^{\circ} - 4 \cos 20^{\circ}$.
$E = \sqrt{3} \frac{\cos 20^{\circ}}{\sin 20^{\circ}} - 4 \cos 20^{\circ}$
$E = \frac{\sqrt{3} \cos 20^{\circ} - 4 \sin 20^{\circ} \cos 20^{\circ}}{\sin 20^{\circ}}$
$2 \sin \theta \cos \theta = \sin 2\theta$ નો ઉપયોગ કરતા,$4 \sin 20^{\circ} \cos 20^{\circ} = 2 \sin 40^{\circ}$ મળે.
$E = \frac{\sqrt{3} \cos 20^{\circ} - 2 \sin 40^{\circ}}{\sin 20^{\circ}}$
$E = \frac{\sqrt{3} \cos 20^{\circ} - 2 \sin(60^{\circ} - 20^{\circ})}{\sin 20^{\circ}}$
$E = \frac{\sqrt{3} \cos 20^{\circ} - 2 (\sin 60^{\circ} \cos 20^{\circ} - \cos 60^{\circ} \sin 20^{\circ})}{\sin 20^{\circ}}$
$E = \frac{\sqrt{3} \cos 20^{\circ} - 2 (\frac{\sqrt{3}}{2} \cos 20^{\circ} - \frac{1}{2} \sin 20^{\circ})}{\sin 20^{\circ}}$
$E = \frac{\sqrt{3} \cos 20^{\circ} - \sqrt{3} \cos 20^{\circ} + \sin 20^{\circ}}{\sin 20^{\circ}}$
$E = \frac{\sin 20^{\circ}}{\sin 20^{\circ}} = 1$.

(A) ધારો કે $x = \tan 20^{\circ} \tan 80^{\circ} \cot 50^{\circ}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\cot 50^{\circ} = \frac{1}{\tan 50^{\circ}}$.
તેથી,$x = \frac{\tan 20^{\circ} \tan 80^{\circ}}{\tan 50^{\circ}}$.
$\tan \theta \tan(60^{\circ} - \theta) \tan(60^{\circ} + \theta) = \tan 3\theta$ નિત્યસમનો ઉપયોગ કરતા,આપણને $\sqrt{3}$ મળે છે.