Mix Examples-Trigonometrical Ratios, Functions and Identities Questions in Gujarati

(C) આપેલ છે:
$m = a \cos^3 \alpha + 3a \cos \alpha \sin^2 \alpha$
$n = a \sin^3 \alpha + 3a \cos^2 \alpha \sin \alpha$
$m$ અને $n$ નો સરવાળો કરતા:
$m + n = a(\cos \alpha + \sin \alpha)^3$
$(m + n)^{2/3} = a^{2/3}(\cos \alpha + \sin \alpha)^2$
$m$ માંથી $n$ બાદ કરતા:
$m - n = a(\cos \alpha - \sin \alpha)^3$
$(m - n)^{2/3} = a^{2/3}(\cos \alpha - \sin \alpha)^2$
હવે,બંને પરિણામોનો સરવાળો કરતા:
$(m + n)^{2/3} + (m - n)^{2/3} = a^{2/3}[(\cos \alpha + \sin \alpha)^2 + (\cos \alpha - \sin \alpha)^2]$
$= a^{2/3}[1 + 1] = 2a^{2/3}$

(D) ધારો કે $E = \csc \frac{\pi}{18} - \sqrt{3} \sec \frac{\pi}{18} = \frac{1}{\sin \frac{\pi}{18}} - \frac{\sqrt{3}}{\cos \frac{\pi}{18}}$.
$E = \frac{\cos \frac{\pi}{18} - \sqrt{3} \sin \frac{\pi}{18}}{\sin \frac{\pi}{18} \cos \frac{\pi}{18}}$.
અંશ અને છેદને $2$ વડે ગુણતા:
$E = \frac{2(\frac{1}{2} \cos \frac{\pi}{18} - \frac{\sqrt{3}}{2} \sin \frac{\pi}{18})}{\frac{1}{2} \sin \frac{\pi}{9}} = \frac{4(\sin \frac{\pi}{6} \cos \frac{\pi}{18} - \cos \frac{\pi}{6} \sin \frac{\pi}{18})}{\sin \frac{\pi}{9}}$.
$\sin(A - B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$E = \frac{4 \sin(\frac{\pi}{6} - \frac{\pi}{18})}{\sin \frac{\pi}{9}} = \frac{4 \sin(\frac{3\pi - \pi}{18})}{\sin \frac{\pi}{9}} = \frac{4 \sin \frac{2\pi}{18}}{\sin \frac{\pi}{9}} = \frac{4 \sin \frac{\pi}{9}}{\sin \frac{\pi}{9}} = 4$.
$4$ એ પ્રાકૃતિક સંખ્યા હોવાથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(B) ધારો કે કાટખૂણાના શિરોબિંદુમાંથી કર્ણ પર દોરેલો વેધ $p$ છે.
કર્ણના બે ભાગ $x$ અને $y$ છે.
બનેલા બે નાના કાટકોણ ત્રિકોણોમાં,$x = p \tan \theta$ અને $y = p \cot \theta$ મળે.
કર્ણ $x + y = p(\tan \theta + \cot \theta) = \frac{p}{\sin \theta \cos \theta} = \frac{2p}{\sin 2\theta}$ છે.
આપેલ છે કે કર્ણ $2\sqrt{2}p$ છે,તેથી $\frac{2p}{\sin 2\theta} = 2\sqrt{2}p$.
$\Rightarrow \sin 2\theta = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
આમ,$2\theta = \frac{\pi}{4}$ અથવા $2\theta = \frac{3\pi}{4}$.
તેથી,$\theta = \frac{\pi}{8}$ અથવા $\theta = \frac{3\pi}{8}$.
બે લઘુકોણો $\frac{\pi}{8}$ અને $\frac{3\pi}{8}$ છે.

(A) ધારો કે $O$ એ લંબકેન્દ્ર છે અને $C'$ એ $\triangle ABC$ નું પરિકેન્દ્ર છે.
લંબકેન્દ્ર $O$ નું બાજુ $BC$ થી અંતર $ON = 2R \cos B \cos C$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પરિકેન્દ્ર $C'$ નું બાજુ $BC$ થી અંતર $C'M = R \cos A$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $ON = C'M$,તેથી:
$2R \cos B \cos C = R \cos A$
$2 \cos B \cos C = \cos A$
કારણ કે $A + B + C = 180^{\circ}$,$\cos A = \cos(180^{\circ} - (B + C)) = -\cos(B + C)$.
આમ,$2 \cos B \cos C = -\cos(B + C)$.
$2 \cos B \cos C = -(\cos B \cos C - \sin B \sin C)$.
$2 \cos B \cos C = -\cos B \cos C + \sin B \sin C$.
$3 \cos B \cos C = \sin B \sin C$.
બંને બાજુને $\cos B \cos C$ વડે ભાગતા:
$3 = \tan B \tan C$.
તેથી,$\tan B \tan C = 3$.

(C) ધારો કે $E = \cos^2 73^\circ + \cos^2 47^\circ + \cos 73^\circ \cos 47^\circ$.
નિત્યસમ $\cos^2 \theta = \frac{1 + \cos 2\theta}{2}$ અને $2 \cos A \cos B = \cos(A+B) + \cos(A-B)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$E = \frac{1 + \cos 146^\circ}{2} + \frac{1 + \cos 94^\circ}{2} + \frac{\cos 120^\circ + \cos 26^\circ}{2}$
$E = \frac{1}{2} + \frac{\cos 146^\circ}{2} + \frac{1}{2} + \frac{\cos 94^\circ}{2} + \frac{-1/2}{2} + \frac{\cos 26^\circ}{2}$
$E = 1 - \frac{1}{4} + \frac{1}{2} (\cos 146^\circ + \cos 94^\circ + \cos 26^\circ)$
કારણ કે $\cos 146^\circ + \cos 94^\circ = 2 \cos(\frac{146+94}{2}) \cos(\frac{146-94}{2}) = 2 \cos 120^\circ \cos 26^\circ = 2(-1/2) \cos 26^\circ = -\cos 26^\circ$.
$E = \frac{3}{4} + \frac{1}{2} (-\cos 26^\circ + \cos 26^\circ) = \frac{3}{4}$.

(C) ધારો કે $R$ એ $\Delta ABC$ ની પરિત્રિજ્યા છે. $\Delta OBC$ ની બાજુઓ $a, R, R$ છે. $\Delta OBC$ નું ક્ષેત્રફળ $\Delta_1$ છે. $\Delta OBC$ ની પરિત્રિજ્યા $R_1 = \frac{a \cdot R \cdot R}{4\Delta_1} = \frac{aR^2}{4\Delta_1}$ દ્વારા મળે છે.
તેથી,$\frac{a}{R_1} = \frac{4\Delta_1}{R^2}$.
તે જ રીતે,$\frac{b}{R_2} = \frac{4\Delta_2}{R^2}$ અને $\frac{c}{R_3} = \frac{4\Delta_3}{R^2}$.
આનો સરવાળો કરતા,આપણને $\frac{a}{R_1} + \frac{b}{R_2} + \frac{c}{R_3} = \frac{4}{R^2}(\Delta_1 + \Delta_2 + \Delta_3)$ મળે છે.
કારણ કે $\Delta_1 + \Delta_2 + \Delta_3 = \Delta$ ($\Delta ABC$ નું ક્ષેત્રફળ),તેથી આ પદ $\frac{4\Delta}{R^2}$ થાય છે.

(A) ધારો કે $E = \left( 1 + \cos \frac{\pi}{9} \right) \left( 1 + \cos \frac{3\pi}{9} \right) \left( 1 + \cos \frac{5\pi}{9} \right) \left( 1 + \cos \frac{7\pi}{9} \right)$.
$\cos \frac{3\pi}{9} = \cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$ હોવાથી,$1 + \cos \frac{3\pi}{9} = \frac{3}{2}$ થાય.
તેથી,$E = \frac{3}{2} \left( 1 + \cos 20^\circ \right) \left( 1 + \cos 100^\circ \right) \left( 1 + \cos 140^\circ \right)$.
$1 + \cos \theta = 2 \cos^2 \frac{\theta}{2}$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$E = \frac{3}{2} \left( 2 \cos^2 10^\circ \right) \left( 2 \cos^2 50^\circ \right) \left( 2 \cos^2 70^\circ \right) = 12 \left( \cos 10^\circ \cos 50^\circ \cos 70^\circ \right)^2$.
$\cos \theta \cos(60^\circ - \theta) \cos(60^\circ + \theta) = \frac{1}{4} \cos 3\theta$ નિત્યસમનો ઉપયોગ કરતા $(\theta = 10^\circ)$:
$\cos 10^\circ \cos 50^\circ \cos 70^\circ = \frac{1}{4} \cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{8}$.
તેથી,$E = 12 \times \left( \frac{\sqrt{3}}{8} \right)^2 = 12 \times \frac{3}{64} = \frac{9}{16}$.

(D) આપેલ સમીકરણ $a_1 + a_2 \cos 2x + a_3 \sin^2 x = 0$ છે.
નિત્યસમ $\sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$a_1 + a_2 \cos 2x + a_3 \left( \frac{1 - \cos 2x}{2} \right) = 0$
પદોને ગોઠવતા:
$\left( a_1 + \frac{a_3}{2} \right) + \left( a_2 - \frac{a_3}{2} \right) \cos 2x = 0$
આ સમીકરણ તમામ $x$ માટે સાચું હોવાથી,સહગુણકો શૂન્ય હોવા જોઈએ:
$a_1 + \frac{a_3}{2} = 0$ અને $a_2 - \frac{a_3}{2} = 0$
અહીં $a_3$ કોઈપણ વાસ્તવિક સંખ્યા હોઈ શકે છે,તેથી અનંત ત્રિપુટીઓ શક્ય છે.

(C) ધારો કે $E = \sqrt{3} \, \text{cosec} \, 20^\circ - \text{sec} \, 20^\circ = \frac{\sqrt{3}}{\sin 20^\circ} - \frac{1}{\cos 20^\circ}$
$E = \frac{\sqrt{3} \cos 20^\circ - \sin 20^\circ}{\sin 20^\circ \cos 20^\circ}$
અંશ અને છેદને $2$ વડે ગુણતા:
$E = \frac{2(\frac{\sqrt{3}}{2} \cos 20^\circ - \frac{1}{2} \sin 20^\circ)}{\frac{1}{2} (2 \sin 20^\circ \cos 20^\circ)}$
$E = \frac{4(\sin 60^\circ \cos 20^\circ - \cos 60^\circ \sin 20^\circ)}{\sin 40^\circ}$
$E = \frac{4 \sin(60^\circ - 20^\circ)}{\sin 40^\circ} = \frac{4 \sin 40^\circ}{\sin 40^\circ} = 4$

(B) આપેલ પદાવલિનું વિસ્તરણ કરો:
$(\sin x + cosecx)^2 = \sin ^2x + co\sec ^2x + 2\sin x \cdot cosecx = \sin ^2x + co\sec ^2x + 2$
$(cosx + \sec x)^2 = cos^2x + \sec ^2x + 2cosx \cdot \sec x = cos^2x + \sec ^2x + 2$
$(\tan x + \cot x)^2 = \tan ^2x + \cot ^2x + 2\tan x \cdot \cot x = \tan ^2x + \cot ^2x + 2$
આ કિંમતોને પદાવલિમાં મૂકતા:
$(\sin ^2x + cosec ^2x + 2) + (cos^2x + \sec ^2x + 2) - (\tan ^2x + \cot ^2x + 2)$
$= (\sin ^2x + cos^2x) + cosec ^2x + \sec ^2x + 4 - \tan ^2x - \cot ^2x - 2$
$= 1 + (1 + \cot ^2x) + (1 + \tan ^2x) + 2 - \tan ^2x - \cot ^2x$
$= 1 + 1 + \cot ^2x + 1 + \tan ^2x + 2 - \tan ^2x - \cot ^2x$
$= 5$

(A) ધારો કે $t = x^2 - x$. તેથી $\tan \alpha = \frac{t}{t + 1}$ અને $\tan \beta = \frac{1}{2t + 1}$.
સૂત્ર $\tan(\alpha + \beta) = \frac{\tan \alpha + \tan \beta}{1 - \tan \alpha \tan \beta}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\tan(\alpha + \beta) = \frac{\frac{t}{t + 1} + \frac{1}{2t + 1}}{1 - \left(\frac{t}{t + 1}\right) \left(\frac{1}{2t + 1}\right)}$
$= \frac{\frac{t(2t + 1) + (t + 1)}{(t + 1)(2t + 1)}}{\frac{(t + 1)(2t + 1) - t}{(t + 1)(2t + 1)}}$
$= \frac{2t^2 + t + t + 1}{2t^2 + 2t + t + 1 - t}$
$= \frac{2t^2 + 2t + 1}{2t^2 + 2t + 1} = 1$
આમ,$\tan(\alpha + \beta) = 1$.

(B) આપેલ સમીકરણો $\frac{x}{a} = \cos(\theta - \alpha)$ અને $\frac{y}{b} = \cos(\theta - \beta)$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $(\alpha - \beta) = (\theta - \beta) - (\theta - \alpha)$.
કોસાઇનના તફાવત સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$\cos(\alpha - \beta) = \cos((\theta - \beta) - (\theta - \alpha)) = \cos(\theta - \beta) \cos(\theta - \alpha) + \sin(\theta - \beta) \sin(\theta - \alpha)$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા,$\cos(\alpha - \beta) = \frac{y}{b} \cdot \frac{x}{a} + \sqrt{1 - \frac{x^2}{a^2}} \sqrt{1 - \frac{y^2}{b^2}}$.
ગોઠવતા,$\cos(\alpha - \beta) - \frac{xy}{ab} = \sqrt{1 - \frac{x^2}{a^2}} \sqrt{1 - \frac{y^2}{b^2}}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$\cos^2(\alpha - \beta) + \frac{x^2y^2}{a^2b^2} - \frac{2xy}{ab} \cos(\alpha - \beta) = (1 - \frac{x^2}{a^2})(1 - \frac{y^2}{b^2})$.
જમણી બાજુનું વિસ્તરણ કરતા,$\cos^2(\alpha - \beta) + \frac{x^2y^2}{a^2b^2} - \frac{2xy}{ab} \cos(\alpha - \beta) = 1 - \frac{y^2}{b^2} - \frac{x^2}{a^2} + \frac{x^2y^2}{a^2b^2}$.
બંને બાજુથી $\frac{x^2y^2}{a^2b^2}$ દૂર કરતા અને પદો ગોઠવતા,$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} - \frac{2xy}{ab} \cos(\alpha - \beta) = 1 - \cos^2(\alpha - \beta)$.
તેથી,આ પદાવલિ $\sin^2(\alpha - \beta)$ બરાબર છે.

(D) ધારો કે પદાવલિ $E = \frac{\tan^2 20^\circ - \sin^2 20^\circ}{\tan^2 20^\circ \cdot \sin^2 20^\circ}$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\tan^2 \theta - \sin^2 \theta = \tan^2 \theta \cdot \sin^2 \theta$.
તેથી,$E = \frac{\tan^2 20^\circ \cdot \sin^2 20^\circ}{\tan^2 20^\circ \cdot \sin^2 20^\circ} = 1$.
$1$ એ પ્રાકૃતિક સંખ્યા છે જે વિભાજ્ય નથી,તેથી સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(D) વિકલ્પ $A$ માટે: ધારો કે $x = \sin^2 \theta$. સમીકરણ $x^2 - x - 1 = 0$ છે. ઉકેલ $x = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$ મળે. $\sin^2 \theta$ એ $[0, 1]$ માં હોવું જોઈએ,પરંતુ $\frac{1 + \sqrt{5}}{2} > 1$ અને $\frac{1 - \sqrt{5}}{2} < 0$ છે. તેથી,કોઈ વાસ્તવિક $\theta$ શક્ય નથી. વિધાન $A$ ખોટું છે.
વિકલ્પ $B$ માટે: $\tan(A - B) = \frac{3}{8}$ મળે છે,જે સંમેય છે. તેથી વિધાન $B$ ખોટું છે.
વિકલ્પ $C$ માટે: $\sin(2)$ ધન,$\sin(3)$ ધન અને $\sin(5)$ ઋણ છે. ગુણાકાર ઋણ થાય. તેથી વિધાન $C$ ખોટું છે.
આમ,$A, B$ અને $C$ ત્રણેય ખોટા હોવાથી,$D$ સાચો વિકલ્પ છે.

(D) ધારો કે કાટકોણ ત્રિકોણની બે બાજુઓ $a = cos2\alpha + cos2\beta + 2cos(\alpha + \beta )$ અને $b = sin2\alpha + sin2\beta + 2sin(\alpha + \beta )$ છે.
સરવાળાથી ગુણાકારના સૂત્રોનો ઉપયોગ કરતા:
$a = 2cos(\alpha + \beta)cos(\alpha - \beta) + 2cos(\alpha + \beta) = 2cos(\alpha + \beta)[cos(\alpha - \beta) + 1] = 4cos(\alpha + \beta)cos^2\left(\frac{\alpha - \beta}{2}\right)$.
$b = 2sin(\alpha + \beta)cos(\alpha - \beta) + 2sin(\alpha + \beta) = 2sin(\alpha + \beta)[cos(\alpha - \beta) + 1] = 4sin(\alpha + \beta)cos^2\left(\frac{\alpha - \beta}{2}\right)$.
કર્ણ $h = \sqrt{a^2 + b^2}$.
$h = \sqrt{[4cos^2\left(\frac{\alpha - \beta}{2}\right)]^2 [cos^2(\alpha + \beta) + sin^2(\alpha + \beta)]}$.
$cos^2(\alpha + \beta) + sin^2(\alpha + \beta) = 1$ હોવાથી,$h = 4cos^2\left(\frac{\alpha - \beta}{2}\right)$.
વળી,$2cos^2\theta = 1 + cos2\theta$ નિત્યસમનો ઉપયોગ કરતા,$4cos^2\left(\frac{\alpha - \beta}{2}\right) = 2[1 + cos(\alpha - \beta)]$.
આમ,$(a)$ અને $(c)$ બંને સાચા છે.

(D) આપેલ છે $\sin \beta = \frac{4}{5}$ અને $0 < \beta < \pi$. $\cos(\pi/6) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ હોવાથી,પદાવલિ $E = \frac{\sqrt{3} \sin(\alpha + \beta) - \frac{4}{\sqrt{3}} \cos(\alpha + \beta)}{\sin \alpha}$ બને છે.
અંશ અને છેદને $\sqrt{3}$ વડે ગુણતા,$E = \frac{3 \sin(\alpha + \beta) - 4 \cos(\alpha + \beta)}{\sqrt{3} \sin \alpha}$ મળે.
$\sin(\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta$ અને $\cos(\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta$ નો ઉપયોગ કરતા:
જો $0 < \beta < \pi/2$,તો $\cos \beta = \frac{3}{5}$. કિંમતો મૂકતા $E = \frac{5}{\sqrt{3}}$ મળે.
જો $\pi/2 < \beta < \pi$,તો $\cos \beta = -\frac{3}{5}$. કિંમતો મૂકતા $E = \frac{\sqrt{3}(7 + 24 \cot \alpha)}{15}$ મળે.

(D) આપેલ છે કે $x = \sec \phi - \tan \phi = \frac{1 - \sin \phi}{\cos \phi} = \tan(\frac{\pi}{4} - \frac{\phi}{2})$.
આપેલ છે કે $y = \csc \phi + \cot \phi = \frac{1 + \cos \phi}{\sin \phi} = \cot(\frac{\phi}{2})$.
હવે,$x = \frac{1 - \tan(\frac{\phi}{2})}{1 + \tan(\frac{\phi}{2})}$.
$y = \cot(\frac{\phi}{2})$ હોવાથી,$\tan(\frac{\phi}{2}) = \frac{1}{y}$ મળે.
તેથી,$x = \frac{1 - \frac{1}{y}}{1 + \frac{1}{y}} = \frac{y - 1}{y + 1}$.
આમ,વિકલ્પ $C$ સાચો છે.
$x = \frac{y - 1}{y + 1}$ પરથી $xy + x = y - 1 \Rightarrow xy + x - y + 1 = 0$ મળે,જે વિકલ્પ $A$ દર્શાવે છે.
તે જ રીતે,$y = \frac{1 + x}{1 - x}$ મળે,જે વિકલ્પ $B$ દર્શાવે છે.
તેથી,બધા વિકલ્પો સાચા છે.

(C) આપણે નિત્યસમ $\tan \theta = \cot \theta - 2 \cot 2\theta$ નો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
ધારો કે $S = \sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{2^n} \tan \frac{\pi}{2^{n+1}}$.
નિત્યસમ $\tan \theta = \cot \theta - 2 \cot 2\theta$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે $\frac{1}{2^n} \tan \frac{\pi}{2^{n+1}} = \frac{1}{2^n} \cot \frac{\pi}{2^{n+1}} - \frac{1}{2^{n-1}} \cot \frac{\pi}{2^n}$.
આ એક ટેલિસ્કોપિંગ શ્રેણી છે.
$n=2$ થી $N$ સુધી સરવાળો કરતા:
$S_N = \sum_{n=2}^{N} \left( \frac{1}{2^n} \cot \frac{\pi}{2^{n+1}} - \frac{1}{2^{n-1}} \cot \frac{\pi}{2^n} \right)$.
$S_N = \left( \frac{1}{2^N} \cot \frac{\pi}{2^{N+1}} - \frac{1}{2^1} \cot \frac{\pi}{2^2} \right)$.
જેમ $N \to \infty$,$\frac{1}{2^N} \cot \frac{\pi}{2^{N+1}} = \frac{1}{2^N} \frac{\cos(\pi/2^{N+1})}{\sin(\pi/2^{N+1})} \approx \frac{1}{2^N} \frac{1}{\pi/2^{N+1}} = \frac{2}{\pi}$.
આમ,$S = \frac{2}{\pi} - \frac{1}{2} \cot \frac{\pi}{4} = \frac{2}{\pi} - \frac{1}{2}$.

(B) આપેલ પદાવલિ $E = \prod_{r=1}^{59} \left( 1 - \frac{\cos(60^\circ + r^\circ)}{\cos r^\circ} \right)$ છે.
નિત્યસમ $\cos A - \cos B = -2 \sin \frac{A+B}{2} \sin \frac{A-B}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા,$1 - \frac{\cos(60^\circ + r^\circ)}{\cos r^\circ} = \frac{\cos r^\circ - \cos(60^\circ + r^\circ)}{\cos r^\circ} = \frac{2 \sin(30^\circ + r^\circ) \sin 30^\circ}{\cos r^\circ} = \frac{\sin(30^\circ + r^\circ)}{\cos r^\circ}$ મળે.
તેથી,$E = \prod_{r=1}^{59} \frac{\sin(30^\circ + r^\circ)}{\cos r^\circ} = \frac{\sin 31^\circ \cdot \sin 32^\circ \dots \sin 89^\circ}{\cos 1^\circ \cdot \cos 2^\circ \dots \cos 59^\circ}$.
કારણ કે $\sin(90^\circ - \theta) = \cos \theta$,અંશ એ $\cos 59^\circ \cdot \cos 58^\circ \dots \cos 1^\circ$ થાય છે,જે છેદ સાથે સંપૂર્ણપણે ઉડી જાય છે.
આમ,$E = 1$.

(B) આપેલ છે: $\frac{\cos^4 \alpha}{\cos^2 \beta} + \frac{\sin^4 \alpha}{\sin^2 \beta} = 1$.
ધારો કે $\frac{\cos^2 \alpha}{\cos \beta} = \cos \theta$ અને $\frac{\sin^2 \alpha}{\sin \beta} = \sin \theta$.
તેથી $\cos^2 \alpha = \cos \beta \cos \theta$ અને $\sin^2 \alpha = \sin \beta \sin \theta$.
સરવાળો કરતા,$\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha = \cos \beta \cos \theta + \sin \beta \sin \theta = \cos(\beta - \theta) = 1$.
આનો અર્થ એ છે કે $\beta = \theta$.
$\theta = \beta$ ને સમીકરણમાં મૂકતા,આપણને $\cos^2 \alpha = \cos^2 \beta$ અને $\sin^2 \alpha = \sin^2 \beta$ મળે છે.
તેથી,$\frac{\cos^4 \beta}{\cos^2 \alpha} + \frac{\sin^4 \beta}{\sin^2 \alpha} = \frac{\cos^4 \beta}{\cos^2 \beta} + \frac{\sin^4 \beta}{\sin^2 \beta} = \cos^2 \beta + \sin^2 \beta = 1$.
મહત્તમ પૂર્ણાંક કિંમત $[1] = 1$ થાય.

(B) આપેલ સમીકરણ: $|\cos x + \sin x| + |\cos x - \sin x| = 2 \sin x$.
જમણી બાજુ $2 \sin x$ ધન હોવા માટે,$\sin x \ge 0$ હોવું જોઈએ,જેનો અર્થ છે $x \in [0, \pi]$.
કિસ્સો $1$: $0 \le x \le \frac{\pi}{4}$. અહીં $\cos x \ge \sin x$,તેથી $2 \cos x = 2 \sin x$ $\Rightarrow \tan x = 1$ $\Rightarrow x = \frac{\pi}{4}$.
કિસ્સો $2$: $\frac{\pi}{4} < x \le \frac{3\pi}{4}$. અહીં $(\cos x + \sin x) - (\cos x - \sin x) = 2 \sin x$,જે $x \in [\frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}]$ માટે સાચું છે.
કિસ્સો $3$: $\frac{3\pi}{4} < x \le \pi$. અહીં $-2 \cos x = 2 \sin x$ $\Rightarrow \tan x = -1$ $\Rightarrow x = \frac{3\pi}{4}$.
ઉકેલ ગણ $x \in [\frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}]$ છે.
$\frac{\pi}{4} \approx 0.785$ અને $\frac{3\pi}{4} \approx 2.356$ હોવાથી,$x$ ની પૂર્ણાંક કિંમતો $1$ અને $2$ છે.
મહત્તમ પૂર્ણાંક કિંમત $2$ છે.

(C) આપેલ છે કે $\sin A + \sin B + \sin C = 0$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin 3\theta = 3\sin \theta - 4\sin^3 \theta$.
તેથી,$\sin 3A + \sin 3B + \sin 3C = 3(\sin A + \sin B + \sin C) - 4(\sin^3 A + \sin^3 B + \sin^3 C)$.
કારણ કે $\sin A + \sin B + \sin C = 0$,તેથી $\sin 3A + \sin 3B + \sin 3C = -4(\sin^3 A + \sin^3 B + \sin^3 C)$.
$x+y+z=0 \implies x^3+y^3+z^3 = 3xyz$ નિત્યસમનો ઉપયોગ કરતા,$\sin^3 A + \sin^3 B + \sin^3 C = 3 \sin A \sin B \sin C$.
આ કિંમત મૂકતા,$\sin 3A + \sin 3B + \sin 3C = -4(3 \sin A \sin B \sin C) = -12 \sin A \sin B \sin C$.
તેથી,$\frac{\sin A \sin B \sin C}{\sin 3A + \sin 3B + \sin 3C} = \frac{\sin A \sin B \sin C}{-12 \sin A \sin B \sin C} = -\frac{1}{12}$.

(C) આપેલ સરવાળો $S = \sum_{r=1}^{18} \cos^2(5r)^\circ = \cos^2 5^\circ + \cos^2 10^\circ + \dots + \cos^2 85^\circ + \cos^2 90^\circ$ છે.
$\cos 90^\circ = 0$ હોવાથી,છેલ્લું પદ $0$ છે.
આપણે નિત્યસમ $\cos^2 \theta + \cos^2(90^\circ - \theta) = 1$ નો ઉપયોગ કરીને પદોની જોડી બનાવી શકીએ છીએ.
અહીં $17$ શૂન્યતર પદો છે: $\cos^2 5^\circ, \cos^2 10^\circ, \dots, \cos^2 85^\circ$.
જોડી બનાવતા: $(\cos^2 5^\circ + \cos^2 85^\circ) + \dots + (\cos^2 40^\circ + \cos^2 50^\circ) + \cos^2 45^\circ$.
આવી $8$ જોડીઓ છે,જેનો સરવાળો $1$ થાય છે,અને વચ્ચેનું પદ $\cos^2 45^\circ = \frac{1}{2}$ છે.
તેથી,$S = 8(1) + \frac{1}{2} = \frac{17}{2}$.

(A) આપેલ છે કે $\tan(\pi \sin \theta) = \cot(\pi \cos \theta)$.
$\cot(x) = \tan(\frac{\pi}{2} - x)$ નો ઉપયોગ કરતા,$\tan(\pi \sin \theta) = \tan(\frac{\pi}{2} - \pi \cos \theta)$.
તેથી $\pi \sin \theta = n\pi + \frac{\pi}{2} - \pi \cos \theta$.
$\sin \theta + \cos \theta = n + \frac{1}{2}$.
$\sin \theta + \cos \theta$ ની કિંમત $- \sqrt{2}$ થી $\sqrt{2}$ ની વચ્ચે હોવાથી,$n = 0$ અથવા $n = -1$ મળે.
$n = 0$ લેતા,$\sin \theta + \cos \theta = \frac{1}{2}$.
$\sqrt{2} \sin(\theta + \frac{\pi}{4}) = \frac{1}{2} \Rightarrow \sin(\theta + \frac{\pi}{4}) = \frac{1}{2\sqrt{2}}$.
$\cos^2(\theta + \frac{\pi}{4}) = 1 - \frac{1}{8} = \frac{7}{8}$.
$\cot^2(\theta + \frac{\pi}{4}) = 7$.
તેથી,$\left| \cot(\theta - \frac{\pi}{4}) \right| = \frac{1}{\sqrt{7}}$.

(D) આપેલ છે કે $\sin x + \cos x = a$. બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$1 + 2 \sin x \cos x = a^2$,તેથી $\sin x \cos x = \frac{a^2 - 1}{2}$.
સરવાળો $S = \sum_{n=1}^{\infty} \sin^n x + \sum_{n=1}^{\infty} \cos^n x = \frac{\sin x}{1 - \sin x} + \frac{\cos x}{1 - \cos x}$.
$S = \frac{\sin x(1 - \cos x) + \cos x(1 - \sin x)}{(1 - \sin x)(1 - \cos x)} = \frac{(\sin x + \cos x) - 2 \sin x \cos x}{1 - (\sin x + \cos x) + \sin x \cos x}$.
$\sin x + \cos x = a$ અને $\sin x \cos x = \frac{a^2 - 1}{2}$ મૂકતા:
$S = \frac{a - (a^2 - 1)}{1 - a + \frac{a^2 - 1}{2}} = \frac{a - a^2 + 1}{\frac{2 - 2a + a^2 - 1}{2}} = \frac{2(1 + a - a^2)}{a^2 - 2a + 1} = \frac{2(1 + a - a^2)}{(a - 1)^2}$.

(C) આપેલ પદાવલિ: $S = \sin ^4 \frac{\pi}{8} + \sin ^4 \frac{3\pi}{8} + \sin ^4 \frac{5\pi}{8} + \sin ^4 \frac{7\pi}{8}$
$\sin(\pi - \theta) = \sin \theta$ હોવાથી,$\sin \frac{7\pi}{8} = \sin \frac{\pi}{8}$ અને $\sin \frac{5\pi}{8} = \sin \frac{3\pi}{8}$ થાય.
તેથી,$S = 2 \left( \sin ^4 \frac{\pi}{8} + \sin ^4 \frac{3\pi}{8} \right)$.
નિત્યસમ $\sin^2 \theta = \frac{1 - \cos 2\theta}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા,$\sin^4 \theta = \frac{1}{4} (1 - 2\cos 2\theta + \cos^2 2\theta)$.
$S = 2 \left[ \frac{1}{4} (1 - 2\cos \frac{\pi}{4} + \cos^2 \frac{\pi}{4}) + \frac{1}{4} (1 - 2\cos \frac{3\pi}{4} + \cos^2 \frac{3\pi}{4}) \right]$
$S = \frac{1}{2} \left[ 1 - 2(\frac{1}{\sqrt{2}}) + \frac{1}{2} + 1 - 2(-\frac{1}{\sqrt{2}}) + \frac{1}{2} \right]$
$S = \frac{1}{2} \left[ 1 - \sqrt{2} + \frac{1}{2} + 1 + \sqrt{2} + \frac{1}{2} \right] = \frac{1}{2} [3] = \frac{3}{2}$.

(A) $\log a + \log b = \log(ab)$ ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા,પદાવલિ નીચે મુજબ બને છે:
$\log _{10} (\tan 1^{\circ} \cdot \tan 2^{\circ} \cdot \dots \cdot \tan 89^{\circ})$
આપણે જાણીએ છીએ કે $\tan \theta \cdot \tan(90^{\circ} - \theta) = \tan \theta \cdot \cot \theta = 1$.
પદોની જોડી બનાવતા:
$(\tan 1^{\circ} \cdot \tan 89^{\circ}) \cdot (\tan 2^{\circ} \cdot \tan 88^{\circ}) \cdot \dots \cdot (\tan 44^{\circ} \cdot \tan 46^{\circ}) \cdot \tan 45^{\circ}$
$= (1) \cdot (1) \cdot \dots \cdot (1) \cdot 1 = 1$
તેથી,$\log _{10} (1) = 0$.

(C) ધારો કે દરેક ગુણોત્તર $k$ છે,જેથી $\frac{\cos x}{a} = \frac{\cos (x + \theta)}{b} = \frac{\cos (x + 2\theta)}{c} = \frac{\cos (x + 3\theta)}{d} = k$.
તેથી $a = \frac{\cos x}{k}$,$b = \frac{\cos (x + \theta)}{k}$,$c = \frac{\cos (x + 2\theta)}{k}$,અને $d = \frac{\cos (x + 3\theta)}{k}$.
પદ $\frac{a + c}{b + d} = \frac{\frac{\cos x}{k} + \frac{\cos (x + 2\theta)}{k}}{\frac{\cos (x + \theta)}{k} + \frac{\cos (x + 3\theta)}{k}}$ ધ્યાનમાં લો.
$= \frac{\cos x + \cos (x + 2\theta)}{\cos (x + \theta) + \cos (x + 3\theta)}$.
સરવાળાથી ગુણાકારના સૂત્ર $\cos A + \cos B = 2 \cos \left( \frac{A + B}{2} \right) \cos \left( \frac{A - B}{2} \right)$ નો ઉપયોગ કરતા:
અંશ: $\cos x + \cos (x + 2\theta) = 2 \cos (x + \theta) \cos \theta$.
છેદ: $\cos (x + \theta) + \cos (x + 3\theta) = 2 \cos (x + 2\theta) \cos \theta$.
આમ,$\frac{a + c}{b + d} = \frac{2 \cos (x + \theta) \cos \theta}{2 \cos (x + 2\theta) \cos \theta} = \frac{\cos (x + \theta)}{\cos (x + 2\theta)}$.
કારણ કે $\frac{\cos (x + \theta)}{b} = \frac{\cos (x + 2\theta)}{c} = k$,તેથી $\frac{\cos (x + \theta)}{\cos (x + 2\theta)} = \frac{b}{c}$.
તેથી,$\frac{a + c}{b + d} = \frac{b}{c}$.

(B) આપેલ અસમતા: $\frac{8}{3\sin x - \sin 3x} + 3\sin^2 x \le 5$.
નિત્યસમ $\sin 3x = 3\sin x - 4\sin^3 x$ નો ઉપયોગ કરતા,છેદ $3\sin x - (3\sin x - 4\sin^3 x) = 4\sin^3 x$ થાય છે.
આ કિંમત અસમતામાં મૂકતા: $\frac{8}{4\sin^3 x} + 3\sin^2 x \le 5 \Rightarrow \frac{2}{\sin^3 x} + 3\sin^2 x \le 5$.
ધારો કે $f(x) = \frac{2}{\sin^3 x} + 3\sin^2 x - 5$. આપણે $x \in (0, \pi)$ શોધવા માંગીએ છીએ જેના માટે $f(x) \le 0$ થાય.
ધારો કે $t = \sin x$. $x \in (0, \pi)$ હોવાથી,$t \in (0, 1]$.
પદાવલિ $g(t) = \frac{2}{t^3} + 3t^2 - 5$ બને છે.
$\frac{1}{t^3}, \frac{1}{t^3}, t^2, t^2, t^2$ માટે $AM$-$GM$ અસમતાનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{\frac{1}{t^3} + \frac{1}{t^3} + t^2 + t^2 + t^2}{5} \ge \sqrt[5]{\frac{1}{t^3} \cdot \frac{1}{t^3} \cdot t^2 \cdot t^2 \cdot t^2} = \sqrt[5]{1} = 1$.
તેથી,$\frac{2}{t^3} + 3t^2 \ge 5$.
સમાનતા ત્યારે જ શક્ય છે જ્યારે $\frac{1}{t^3} = t^2$,જેનો અર્થ છે $t^5 = 1$,એટલે કે $t = 1$.
$x \in (0, \pi)$ માટે $\sin x = 1$ માત્ર $x = \frac{\pi}{2}$ પર થાય છે,તેથી અસમતા $f(x) \le 0$ માત્ર $x = \frac{\pi}{2}$ માટે જ સાચી છે.
આમ,માત્ર $1$ વાસ્તવિક કિંમત મળે છે.

(B) ધારો કે બીજ $\cos A, \cos B, \cos C$ છે જ્યાં $A, B, C$ એ લઘુકોણ ત્રિકોણના ખૂણા છે.
વિયેટાના સૂત્રો મુજબ:
$\cos A + \cos B + \cos C = -a$
$\cos A \cos B + \cos B \cos C + \cos C \cos A = b$
$\cos A \cos B \cos C = -c$
આપણે $a^2 - 2b - 2c$ ની કિંમત શોધવાની છે.
$a^2 - 2b - 2c = (\cos A + \cos B + \cos C)^2 - 2(\cos A \cos B + \cos B \cos C + \cos C \cos A) + 2c$
$= \cos^2 A + \cos^2 B + \cos^2 C + 2(\cos A \cos B + \cos B \cos C + \cos C \cos A) - 2(\cos A \cos B + \cos B \cos C + \cos C \cos A) + 2(\cos A \cos B \cos C)$
$= \cos^2 A + \cos^2 B + \cos^2 C + 2 \cos A \cos B \cos C = 1$.

(B) આપણે નિત્યસમ $\cot \alpha - \tan \alpha = 2 \cot 2\alpha$ નો ઉપયોગ કરીએ છીએ,જે સૂચવે છે કે $\cot \alpha = \tan \alpha + 2 \cot 2\alpha$.
આપેલ પદાવલિ: $E = \tan 3^{\circ} + 2 \tan 6^{\circ} + 4 \tan 12^{\circ} + 8 \cot 24^{\circ}$.
$\tan \alpha = \cot \alpha - 2 \cot 2\alpha$ નો ઉપયોગ કરતા:
$E = (\cot 3^{\circ} - 2 \cot 6^{\circ}) + 2 \tan 6^{\circ} + 4 \tan 12^{\circ} + 8 \cot 24^{\circ}$.
કારણ કે $2 \tan 6^{\circ} - 2 \cot 6^{\circ} = -2(2 \cot 12^{\circ}) = -4 \cot 12^{\circ}$:
$E = \cot 3^{\circ} - 4 \cot 12^{\circ} + 4 \tan 12^{\circ} + 8 \cot 24^{\circ}$.
કારણ કે $4 \tan 12^{\circ} - 4 \cot 12^{\circ} = -4(2 \cot 24^{\circ}) = -8 \cot 24^{\circ}$:
$E = \cot 3^{\circ} - 8 \cot 24^{\circ} + 8 \cot 24^{\circ} = \cot 3^{\circ}$.
આમ,$\cot \theta^{\circ} = \cot 3^{\circ}$,તેથી $\theta = 3$.
વિકલ્પો તપાસતા: $\cot (15 \times 3)^{\circ} = \cot 45^{\circ} = 1$.

(C) ધારો કે પદાવલિ $E = \frac{(\sin 36^{\circ} + \cos 36^{\circ} - \sqrt{2} \sin 27^{\circ})^2}{2 \sin 54^{\circ}}$ છે.
અંશનું વિસ્તરણ કરતા: $(\sin 36^{\circ} + \cos 36^{\circ})^2 + 2 \sin^2 27^{\circ} - 2\sqrt{2} \sin 27^{\circ} (\sin 36^{\circ} + \cos 36^{\circ})$.
$\sin 36^{\circ} + \cos 36^{\circ} = \sqrt{2} \cos 9^{\circ}$ નો ઉપયોગ કરતા,પદાવલિનું સાદું રૂપ $\cos 18^{\circ}$ મળે છે.
કારણ કે $\cos 18^{\circ} < \cos 9^{\circ}$,તેથી આ કિંમત $\cos 9^{\circ}$ કરતા ઓછી છે.

(C) ધારો કે $3 \cos \theta + 4 \sin \theta = 5$ $(i)$
ધારો કે $3 \sin \theta - 4 \cos \theta = x$ $(ii)$
બંને સમીકરણોનો વર્ગ કરીને સરવાળો કરતા:
$(3 \cos \theta + 4 \sin \theta)^2 + (3 \sin \theta - 4 \cos \theta)^2 = 5^2 + x^2$
$(9 \cos^2 \theta + 16 \sin^2 \theta + 24 \sin \theta \cos \theta) + (9 \sin^2 \theta + 16 \cos^2 \theta - 24 \sin \theta \cos \theta) = 25 + x^2$
$9(\cos^2 \theta + \sin^2 \theta) + 16(\sin^2 \theta + \cos^2 \theta) = 25 + x^2$
$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ હોવાથી:
$9(1) + 16(1) = 25 + x^2$
$25 = 25 + x^2$
$x^2 = 0$
તેથી,$x = 0$.

(B) આપેલ છે: $\cos A + \cos B = \cos C$ અને $\sin A + \sin B = \sin C$.
ધારો કે $z_1 = e^{iA}$,$z_2 = e^{iB}$,અને $z_3 = e^{iC}$.
તેથી $z_1 + z_2 = z_3$.
તે જ રીતે,અનુબદ્ધ લેતા $e^{-iA} + e^{-iB} = e^{-iC}$.
બંને સમીકરણોનો ભાગાકાર કરતા: $\frac{e^{iA} + e^{iB}}{e^{-iA} + e^{-iB}} = \frac{e^{iC}}{e^{-iC}} = e^{2iC}$.
ડાબી બાજુ સાદું રૂપ આપતા: $\frac{e^{iA} + e^{iB}}{\frac{e^{iA} + e^{iB}}{e^{iA}e^{iB}}} = e^{i(A+B)}$.
તેથી,$e^{i(A+B)} = e^{2iC}$.
કાલ્પનિક ભાગો સરખાવતા,$\sin(A+B) = \sin 2C$.
તેથી,$\frac{\sin(A+B)}{\sin 2C} = 1$.

(A) આપેલ છે કે $3 \tan A - 4 = 0$,તેથી $\tan A = \frac{4}{3}$.
$A$ ત્રીજા ચરણમાં હોવાથી,$\sin A$ અને $\cos A$ બંને ઋણ છે.
$\tan A = \frac{4}{3}$ નો ઉપયોગ કરતા,$\sin A = -\frac{4}{5}$ અને $\cos A = -\frac{3}{5}$ મળે.
હવે,આ કિંમતોને $5 \sin 2A + 3 \sin A + 4 \cos A$ પદાવલિમાં મૂકો.
$\sin 2A = 2 \sin A \cos A = 2 \times (-\frac{4}{5}) \times (-\frac{3}{5}) = \frac{24}{25}$ યાદ કરો.
તેથી,$5 \sin 2A = 5 \times \frac{24}{25} = \frac{24}{5}$.
પછી,$3 \sin A = 3 \times (-\frac{4}{5}) = -\frac{12}{5}$.
અને $4 \cos A = 4 \times (-\frac{3}{5}) = -\frac{12}{5}$.
તેમનો સરવાળો કરતા: $\frac{24}{5} - \frac{12}{5} - \frac{12}{5} = \frac{24 - 12 - 12}{5} = 0$.

(C) આપેલ સમીકરણ $\tan^4x - 2\sec^2x + [a]^2 = 0$ છે.
નિત્યસમ $\sec^2x = 1 + \tan^2x$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\tan^4x - 2(1 + \tan^2x) + [a]^2 = 0$
$\tan^4x - 2\tan^2x - 2 + [a]^2 = 0$
$(\tan^2x - 1)^2 - 1 - 2 + [a]^2 = 0$
$(\tan^2x - 1)^2 = 3 - [a]^2$
કારણ કે $(\tan^2x - 1)^2 \geq 0$,તેથી $3 - [a]^2 \geq 0$ હોવું જોઈએ,જેનો અર્થ છે કે $[a]^2 \leq 3$.
આમ,$[a] \in [-\sqrt{3}, \sqrt{3}]$. કારણ કે $[a]$ એ પૂર્ણાંક છે,$[a] \in \{-1, 0, 1\}$.
જો $[a] = -1$,તો $-1 \leq a < 0$.
જો $[a] = 0$,તો $0 \leq a < 1$.
જો $[a] = 1$,તો $1 \leq a < 2$.
આ બધાને જોડતા,$a$ નો વિસ્તાર $[-1, 2)$ મળે છે.

(C) ધારો કે $E = \frac{4 \sin 9^{\circ} \sin 21^{\circ} \sin 39^{\circ} \sin 51^{\circ} \sin 69^{\circ} \sin 81^{\circ}}{\sin 54^{\circ}}$.
$\sin \theta \sin(60^{\circ}-\theta) \sin(60^{\circ}+\theta) = \frac{1}{4} \sin 3\theta$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
પદોને જૂથબદ્ધ કરતા: $(\sin 9^{\circ} \sin 51^{\circ} \sin 69^{\circ}) = \frac{1}{4} \sin 27^{\circ}$.
અને $(\sin 21^{\circ} \sin 39^{\circ} \sin 81^{\circ}) = \frac{1}{4} \sin 63^{\circ}$.
આ કિંમતો મૂકતા:
$E = \frac{4 \cdot (\frac{1}{4} \sin 27^{\circ}) \cdot (\frac{1}{4} \sin 63^{\circ})}{\sin 54^{\circ}}$
$E = \frac{\frac{1}{4} \sin 27^{\circ} \cos 27^{\circ}}{\sin 54^{\circ}}$
$E = \frac{\frac{1}{8} \sin 54^{\circ}}{\sin 54^{\circ}} = \frac{1}{8}$.

(A) આપેલ શ્રેણી $S = \sum_{k=1}^{71} \sin(5k^{\circ})$ છે.
આ સમાંતર શ્રેણીમાં $n = 71$ પદો છે,પ્રથમ પદ $a = 5^{\circ}$ અને સામાન્ય તફાવત $d = 5^{\circ}$ છે.
સરવાળાનું સૂત્ર $S = \frac{\sin(n \cdot d/2)}{\sin(d/2)} \cdot \sin\left(\frac{a + l}{2}\right)$ છે,જ્યાં $l = 355^{\circ}$.
$S = \frac{\sin(355^{\circ}/2)}{\sin(5^{\circ}/2)} \cdot \sin(180^{\circ})$.
કારણ કે $\sin(180^{\circ}) = 0$,તેથી કુલ સરવાળો $0$ થાય છે.

(A) ધારો કે $P = \cos \frac{\pi}{7} \cos \frac{2\pi}{7} \cos \frac{3\pi}{7}$.
કારણ કે $\cos \frac{3\pi}{7} = \cos (\pi - \frac{4\pi}{7}) = -\cos \frac{4\pi}{7}$,તેથી:
$P = -\cos \frac{\pi}{7} \cos \frac{2\pi}{7} \cos \frac{4\pi}{7}$.
$\theta = \frac{\pi}{7}$ માટે $\cos \theta \cos 2\theta \cos 4\theta = \frac{\sin 8\theta}{8 \sin \theta}$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$P = -\left[ \frac{\sin (8 \cdot \frac{\pi}{7})}{8 \sin \frac{\pi}{7}} \right]$.
કારણ કે $\sin \frac{8\pi}{7} = \sin (\pi + \frac{\pi}{7}) = -\sin \frac{\pi}{7}$:
$P = -\left[ \frac{-\sin \frac{\pi}{7}}{8 \sin \frac{\pi}{7}} \right] = -\left( -\frac{1}{8} \right) = \frac{1}{8}$.

(B) આપેલ છે કે $\cos x = \frac{2 \cos y - 1}{2 - \cos y}$.
યોગ-વિયોગની રીત (componendo and dividendo) વાપરતા:
$\frac{1 - \cos x}{1 + \cos x} = \frac{(2 - \cos y) - (2 \cos y - 1)}{(2 - \cos y) + (2 \cos y - 1)}$
$\frac{2 \sin^2(x/2)}{2 \cos^2(x/2)} = \frac{3 - 3 \cos y}{1 + \cos y}$
$\tan^2(x/2) = \frac{3(1 - \cos y)}{1 + \cos y} = \frac{3(2 \sin^2(y/2))}{2 \cos^2(y/2)}$
$\tan^2(x/2) = 3 \tan^2(y/2)$
અહીં $x, y \in (0, \pi)$ હોવાથી,$x/2, y/2 \in (0, \pi/2)$,તેથી $\tan(x/2)$ અને $\tan(y/2)$ ધન છે.
વર્ગમૂળ લેતા,$\tan(x/2) = \sqrt{3} \tan(y/2)$ મળે.
તેથી,$\tan(x/2) \cot(y/2) = \sqrt{3}$.

(C) આપેલ છે કે $\alpha < \beta < \gamma < \delta$ અને $\sin \alpha = \sin \beta = \sin \gamma = \sin \delta = k$.
આ સૌથી નાના ધન ખૂણાઓ હોવાથી:
$\alpha = \alpha$
$\beta = \pi - \alpha$
$\gamma = 2\pi + \alpha$
$\delta = 3\pi - \alpha$
આ કિંમતો પદાવલિમાં મૂકતા:
$E = 4\sin \frac{\alpha}{2} + 3\sin \frac{\pi - \alpha}{2} + 2\sin \frac{2\pi + \alpha}{2} + \sin \frac{3\pi - \alpha}{2}$
$E = 4\sin \frac{\alpha}{2} + 3\cos \frac{\alpha}{2} - 2\sin \frac{\alpha}{2} - \cos \frac{\alpha}{2}$
$E = 2\sin \frac{\alpha}{2} + 2\cos \frac{\alpha}{2} = 2\left(\sin \frac{\alpha}{2} + \cos \frac{\alpha}{2}\right)$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$E^2 = 4(1 + \sin \alpha) = 4(1 + k)$
તેથી,$E = 2\sqrt{1 + k}$.

(A) ધારો કે $S = \sin 1^{\circ} + \sin 2^{\circ} + \dots + \sin 89^{\circ}$.
નિત્યસમ $\sin \theta + \sin(90^{\circ} - \theta) = \sqrt{2} \cos(\theta - 45^{\circ})$ નો ઉપયોગ કરતા,
અંશ $= 2 \times [\sqrt{2}(\cos 44^{\circ} + \cos 43^{\circ} + \dots + \cos 1^{\circ}) + \sin 45^{\circ}]$.
$\sin 45^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ હોવાથી,અંશ $= \sqrt{2} [2(\cos 1^{\circ} + \dots + \cos 44^{\circ}) + 1]$.
છેદ વડે ભાગતા,જવાબ $\sqrt{2}$ મળે છે.

(D) આપેલ સમીકરણ $|\sin x \cos x| + \sqrt{2 + \tan^2 x + \cot^2 x} = \sqrt{3}$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $2 + \tan^2 x + \cot^2 x = \sec^2 x + \csc^2 x = \frac{1}{\sin^2 x \cos^2 x}$.
તેથી,$\sqrt{2 + \tan^2 x + \cot^2 x} = \frac{1}{|\sin x \cos x|}$.
ધારો કે $y = |\sin x \cos x|$,તો સમીકરણ $y + \frac{1}{y} = \sqrt{3}$ બને છે.
$AM$-$GM$ અસમતા મુજબ,$y + \frac{1}{y} \geq 2$ થાય.
પરંતુ $\sqrt{3} < 2$ હોવાથી,આ સમીકરણનો કોઈ ઉકેલ નથી.

(D) આપેલ છે કે $\tan A + \cot A = 4$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$(\tan A + \cot A)^2 = 4^2$.
$\tan^2 A + \cot^2 A + 2 \tan A \cot A = 16$.
કારણ કે $\tan A \cot A = 1$,તેથી $\tan^2 A + \cot^2 A + 2 = 16$.
$\tan^2 A + \cot^2 A = 14$.
હવે,ફરીથી વર્ગ કરતા,$(\tan^2 A + \cot^2 A)^2 = 14^2$.
$\tan^4 A + \cot^4 A + 2 \tan^2 A \cot^2 A = 196$.
કારણ કે $\tan^2 A \cot^2 A = 1$,તેથી $\tan^4 A + \cot^4 A + 2 = 196$.
$\tan^4 A + \cot^4 A = 194$.

(C) આપેલ છે $\cos x + \sec x = -2$.
$\sec x = \frac{1}{\cos x}$ હોવાથી,$\cos x + \frac{1}{\cos x} = -2$.
$\cos x$ વડે ગુણતા,$\cos^2 x + 1 = -2 \cos x$.
આ $\cos^2 x + 2 \cos x + 1 = 0$ માં પરિણમે છે,જે $(\cos x + 1)^2 = 0$ છે.
તેથી,$\cos x = -1$.
ત્યારબાદ $\sec x = \frac{1}{-1} = -1$.
હવે,$\cos^n x + \sec^n x = (-1)^n + (-1)^n = 2(-1)^n$.
જો $n$ એકી હોય,તો $2(-1)^n = -2$.
જો $n$ બેકી હોય,તો $2(-1)^n = 2$.
તેથી,જો $n$ એકી હોય તો $-2$ અને જો $n$ બેકી હોય તો $2$ મળે.

(A) આપેલ સમીકરણ $2 \cos ^{2} \left( \frac{x}{2} \right) \sin ^{2} x = x^{2} + \frac{1}{x^{2}}$ છે.
$R.H.S.$ માટે,$AM \geq GM$ અસમતા મુજબ,$x^{2} + \frac{1}{x^{2}} \geq 2$ થાય,જ્યાં $x \neq 0$. સમાનતા ત્યારે મળે છે જ્યારે $x^{2} = 1$,એટલે કે $x = \pm 1$.
$L.H.S.$ માટે,આપણી પાસે $2 \cos ^{2} \left( \frac{x}{2} \right) \sin ^{2} x$ છે. કારણ કે $\cos ^{2} \left( \frac{x}{2} \right) \leq 1$ અને $\sin ^{2} x \leq 1$,તેથી $2 \cos ^{2} \left( \frac{x}{2} \right) \sin ^{2} x$ ની મહત્તમ કિંમત $2 \times 1 \times 1 = 2$ છે.
સમીકરણ સંતોષવા માટે,બંને બાજુ $2$ હોવી જોઈએ. આ માટે $x^{2} = 1$ (તેથી $x = 1$,કારણ કે $x \in [0, \pi/2]$) અને $\cos ^{2} \left( \frac{x}{2} \right) = 1$ અને $\sin ^{2} x = 1$ હોવું જરૂરી છે.
જો $x = 1$ હોય,તો $\sin ^{2} (1) \approx 0.707 \neq 1$.
તેથી,કોઈ ઉકેલ શક્ય નથી.

(C) આપણને અંતરાલ $x \in \left( \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2} \right)$ માં અસમતા $\cos x > \sin x$ આપેલ છે.
આ અંતરાલમાં $y = \cos x$ અને $y = \sin x$ ના આલેખને ધ્યાનમાં લેતા,$\cos x = \sin x$ ત્યારે થાય જ્યારે $\tan x = 1$,એટલે કે $x = \frac{5\pi}{4}$.
અંતરાલ $\left( \frac{\pi}{2}, \frac{5\pi}{4} \right)$ માં,$\cos x < \sin x$ છે.
અંતરાલ $\left( \frac{5\pi}{4}, \frac{3\pi}{2} \right)$ માં,$\cos x > \sin x$ થાય છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(B) ધારો કે નિયમિત પંચકોણ અને નિયમિત દશકોણ બંનેની પરિમિતિ $10x$ છે.
નિયમિત પંચકોણ માટે,બાજુઓની સંખ્યા $n_1 = 5$. બાજુની લંબાઈ $s_1 = \frac{10x}{5} = 2x$.
$n$ બાજુઓ અને $s$ લંબાઈ ધરાવતા નિયમિત બહુકોણનું ક્ષેત્રફળ $A = \frac{n s^2}{4 \tan(\frac{\pi}{n})}$ છે.
પંચકોણનું ક્ષેત્રફળ $A_1 = \frac{5 (2x)^2}{4 \tan(36^{\circ})} = 5x^2 \cot(36^{\circ})$.
નિયમિત દશકોણ માટે,બાજુઓની સંખ્યા $n_2 = 10$. બાજુની લંબાઈ $s_2 = \frac{10x}{10} = x$.
દશકોણનું ક્ષેત્રફળ $A_2 = \frac{10 x^2}{4 \tan(18^{\circ})} = \frac{5}{2} x^2 \cot(18^{\circ})$.
પંચકોણ અને દશકોણના ક્ષેત્રફળનો ગુણોત્તર:
$\frac{A_1}{A_2} = \frac{5x^2 \cot(36^{\circ})}{\frac{5}{2} x^2 \cot(18^{\circ})} = 2 \cdot \frac{\cot(36^{\circ})}{\cot(18^{\circ})} = \frac{2}{\sqrt{5}}$.