x in (0, pi) માટે frac{8}{3sin x - sin 3x} + | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(B) આપેલ અસમતા: $\frac{8}{3\sin x - \sin 3x} + 3\sin^2 x \le 5$.નિત્યસમ $\sin 3x = 3\sin x - 4\sin^3 x$ નો ઉપયોગ કરતા,છેદ $3\sin x - (3\sin x - 4\sin^

Vedclass · Accepted Answer

$1$

Vedclass · Answer

(B) આપેલ અસમતા: $\frac{8}{3\sin x - \sin 3x} + 3\sin^2 x \le 5$.નિત્યસમ $\sin 3x = 3\sin x - 4\sin^3 x$ નો ઉપયોગ કરતા,છેદ $3\sin x - (3\sin x - 4\sin^3 x) = 4\sin^3 x$ થાય છે.આ કિંમત અસમતામાં મૂકતા: $\frac{8}{4\sin^3 x} + 3\sin^2 x \le 5 \Rightarrow \frac{2}{\sin^3 x} + 3\sin^2 x \le 5$.ધારો કે $f(x) = \frac{2}{\sin^3 x} + 3\sin^2 x - 5$. આપણે $x \in (0, \pi)$ શોધવા માંગીએ છીએ જેના માટે $f(x) \le 0$ થાય.ધારો કે $t = \sin x$. $x \in (0, \pi)$ હોવાથી,$t \in (0, 1]$.પદાવલિ $g(t) = \frac{2}{t^3} + 3t^2 - 5$ બને છે.$\frac{1}{t^3}, \frac{1}{t^3}, t^2, t^2, t^2$ માટે $AM$-$GM$ અસમતાનો ઉપયોગ કરતા:$\frac{\frac{1}{t^3} + \frac{1}{t^3} + t^2 + t^2 + t^2}{5} \ge \sqrt[5]{\frac{1}{t^3} \cdot \frac{1}{t^3} \cdot t^2 \cdot t^2 \cdot t^2} = \sqrt[5]{1} = 1$.તેથી,$\frac{2}{t^3} + 3t^2 \ge 5$.સમાનતા ત્યારે જ શક્ય છે જ્યારે $\frac{1}{t^3} = t^2$,જેનો અર્થ છે $t^5 = 1$,એટલે કે $t = 1$.$x \in (0, \pi)$ માટે $\sin x = 1$ માત્ર $x = \frac{\pi}{2}$ પર થાય છે,તેથી અસમતા $f(x) \le 0$ માત્ર $x = \frac{\pi}{2}$ માટે જ સાચી છે.આમ,માત્ર $1$ વાસ્તવિક કિંમત મળે છે.

$x \in (0, \pi)$ માટે $\frac{8}{3\sin x - \sin 3x} + 3\sin^2 x \le 5$ હોય તેવી $x$ ની વાસ્તવિક કિંમતોની સંખ્યા કેટલી છે?

Similar Questions

જ્યાં વ્યાખ્યાયિત હોય ત્યાં પદાવલિ $(sinx + cosecx)^2 + (cosx + secx)^2 - (tanx + cotx)^2$ નું મૂલ્ય કેટલું થાય?

$\frac{1}{\sin 10^\circ} - \frac{\sqrt{3}}{\cos 10^\circ} =$

$\cos 2(\theta + \phi) - 4\cos (\theta + \phi)\sin \theta \sin \phi + 2\sin^2 \phi = $

પદાવલિ $\cos^2(A - B) + \cos^2 B - 2\cos(A - B)\cos A\cos B$ એ

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module