બધા જ શક્ય ત્રિપુટીઓ $(a_1, a_2, a_3)$ ની સંખ્યા શોધો જેથી તમામ $x$ માટે $a_1 + a_2 \cos 2x + a_3 \sin^2 x = 0$ થાય.

કોઈપણ ધન પૂર્ણાંક $n$ માટે,$S_n: (0, \infty) \rightarrow R$ ને $S_n(x) = \sum_{k=1}^n \cot^{-1}\left(\frac{1+k(k+1)x^2}{x}\right)$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કરો,જ્યાં કોઈપણ $x \in R$ માટે,$\cot^{-1} x \in (0, \pi)$ અને $\tan^{-1} x \in \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$ છે. તો નીચેનામાંથી કયું વિધાન $TRUE$ છે?
$(A)$ $S_{10}(x) = \frac{\pi}{2} - \tan^{-1}\left(\frac{1+11x^2}{10x}\right)$,બધા $x > 0$ માટે
$(B)$ $\lim_{n \rightarrow \infty} \cot(S_n(x)) = x$,બધા $x > 0$ માટે
$(C)$ સમીકરણ $S_3(x) = \frac{\pi}{4}$ ને $(0, \infty)$ માં એક ઉકેલ છે
$(D)$ $\tan(S_n(x)) \leq \frac{1}{2}$,બધા $n \geq 1$ અને $x > 0$ માટે

$\cot 12^{\circ} \cot 102^{\circ} + \cot 102^{\circ} \cot 66^{\circ} + \cot 66^{\circ} \cot 12^{\circ}$ ની કિંમત શોધો.

જો $\tan 20^{\circ}=\lambda$ હોય,તો $\frac{\tan 160^{\circ}-\tan 110^{\circ}}{1+\left(\tan 160^{\circ}\right)\left(\tan 110^{\circ}\right)}$ ની કિંમત શોધો.

બધી જોડીઓ $(x, y)$ જે અસમતા $2^{\sqrt{\sin^2 x - 2 \sin x + 5}} \cdot \frac{1}{4^{\sin^2 y}} \leq 1$ નું સમાધાન કરે છે,તે નીચેનામાંથી કયા સમીકરણનું પણ સમાધાન કરે છે?

જો $\sin \theta + \cos \theta = \frac{1}{2}$ હોય,તો $16(\sin(2\theta) + \cos(4\theta) + \sin(6\theta))$ ની કિંમત શોધો: