Mix Examples-Trigonometrical Equations and Inequations, Properties of Triangles, Height and Distance Questions in Gujarati

(C) ધારો કે ટાવર $AB$ ની ઊંચાઈ $h$ છે અને $B$ નું $A$ થી સમક્ષિતિજ અંતર $x$ છે. $H = h \cos \alpha$ એ $B$ ની શિરોલંબ ઊંચાઈ છે.
$H \cot \beta = d + x$ અને $H \cot \gamma = 3d + x$ મળે છે.
બાદબાકી કરતા,$H(\cot \gamma - \cot \beta) = 2d$ મળે.
$d = H(\cot \beta - \tan \alpha)$ અને $3d = H(\cot \gamma - \tan \alpha)$ નો ઉપયોગ કરતા,
$3H(\cot \beta - \tan \alpha) = H(\cot \gamma - \tan \alpha)$,
તેથી $3 \cot \beta - 3 \tan \alpha = \cot \gamma - \tan \alpha$,
જેથી $2 \tan \alpha = 3 \cot \beta - \cot \gamma$ મળે.

(D) આપેલ સમીકરણ: $b \cos^2 \frac{A}{2} + a \cos^2 \frac{B}{2} = \frac{3}{2} c$.
નિત્યસમ $\cos^2 \theta = \frac{1 + \cos 2\theta}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{b}{2}(1 + \cos A) + \frac{a}{2}(1 + \cos B) = \frac{3c}{2}$.
$2$ વડે ગુણતા:
$b + b \cos A + a + a \cos B = 3c$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $b \cos A + a \cos B = c$.
તેથી,$(a + b) + c = 3c$.
$a + b = 2c$.
આ દર્શાવે છે કે $a, c, b$ એ $A.P.$ માં છે.

(C) ત્રિકોણ $ABC$ માં,બાજુઓ $a = 10, b = 26, c = 32$ છે.
કોસાઇનના નિયમનો ઉપયોગ કરીને $\cos B$ શોધીએ:
$\cos B = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac} = \frac{10^2 + 32^2 - 26^2}{2 \times 10 \times 32} = \frac{100 + 1024 - 676}{640} = \frac{448}{640} = 0.7 = \frac{7}{10}$.
કાટકોણ ત્રિકોણ $\triangle CHB$ માં,$\cos B = \frac{BH}{BC} = \frac{BH}{a}$.
તેથી,$BH = a \cos B = 10 \times \frac{7}{10} = 7$.
$CM$ એ $AB$ પરની મધ્યગા હોવાથી,$M$ એ $AB$ નું મધ્યબિંદુ છે,તેથી $BM = \frac{c}{2} = \frac{32}{2} = 16$.
લંબાઈ $HM = |BM - BH| = |16 - 7| = 9$.

(D) આપેલ સમીકરણ $\sin 3\theta = 4 \sin \theta \sin 2\theta \sin 4\theta$ છે.
$\sin 3\theta = 3 \sin \theta - 4 \sin^3 \theta$ નો ઉપયોગ કરતા,$3 \sin \theta - 4 \sin^3 \theta = 4 \sin \theta \sin 2\theta \sin 4\theta$ મળે.
કિસ્સો $1$: $\sin \theta = 0$. $0 \le \theta \le \pi$ માં,ઉકેલો $\theta = 0, \pi$ ($2$ ઉકેલો).
કિસ્સો $2$: $3 - 4 \sin^2 \theta = 4 \sin 2\theta \sin 4\theta$.
$4 \sin^2 \theta = 2(1 - \cos 2\theta)$ નો ઉપયોગ કરતા,$3 - 2(1 - \cos 2\theta) = 2(2 \sin 2\theta \sin 4\theta)$ મળે.
$1 + 2 \cos 2\theta = 2(\cos 2\theta - \cos 6\theta)$.
$1 = -2 \cos 6\theta \Rightarrow \cos 6\theta = -\frac{1}{2}$.
$6\theta = 2n\pi \pm \frac{2\pi}{3} \Rightarrow \theta = \frac{n\pi}{3} \pm \frac{\pi}{9}$.
$n=0, 1, 2, 3$ માટે ઉકેલો $\frac{\pi}{9}, \frac{2\pi}{9}, \frac{4\pi}{9}, \frac{5\pi}{9}, \frac{7\pi}{9}, \frac{8\pi}{9}$ મળે.
કુલ ઉકેલોની સંખ્યા $8$ છે.

(B) ધારો કે $AM$ એ $BC$ પરની મધ્યગા છે. આપેલ છે કે $AM \perp AB$,તેથી $\angle BAM = 90^\circ$.
$\triangle ABM$ માં,$\angle AMB = 90^\circ - B$.
મધ્યગા હોવાથી $BM = MC = \frac{a}{2}$.
$\triangle ABM$ માં,$\tan B = \frac{AM}{a/2} \implies AM = \frac{a}{2} \tan B$.
$\triangle AMC$ માં,$\angle AMC = 90^\circ + B$ અને $\angle MAC = A - 90^\circ$.
કોટેન્જન્ટ પ્રમેય મુજબ: $(1+1) \cot(90^\circ - B) = 1 \cot(90^\circ) - 1 \cot(A-90^\circ)$.
$2 \tan B = 0 - (-\tan A) = \tan A$.
તેથી,$\frac{\tan A}{\tan B} = 2$.

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે $a = 2R \sin A$,$b = 2R \sin B$,અને $c = 2R \sin C$.
આ કિંમતોને પદાવલિ $S = a \cos(B - C) + b \cos(C - A) + c \cos(A - B)$ માં મૂકતા:
$S = 2R \sin A \cos(B - C) + 2R \sin B \cos(C - A) + 2R \sin C \cos(A - B)$.
$A = 180^{\circ} - (B + C)$ હોવાથી,$\sin A = \sin(B + C)$.
$S = 2R [\sin(B + C) \cos(B - C) + \sin(C + A) \cos(C - A) + \sin(A + B) \cos(A - B)]$.
$2 \sin X \cos Y = \sin(X + Y) + \sin(X - Y)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$S = R [(\sin 2B + \sin 2C) + (\sin 2C + \sin 2A) + (\sin 2A + \sin 2B)]$.
$S = 2R (\sin 2A + \sin 2B + \sin 2C)$.
નિત્યસમ $\sin 2A + \sin 2B + \sin 2C = 4 \sin A \sin B \sin C$ નો ઉપયોગ કરતા:
$S = 2R (4 \sin A \sin B \sin C) = 8R \sin A \sin B \sin C$.
$\sin A = \frac{a}{2R}$,$\sin B = \frac{b}{2R}$,અને $\sin C = \frac{c}{2R}$ હોવાથી:
$S = 8R \left(\frac{a}{2R}\right) \left(\frac{b}{2R}\right) \left(\frac{c}{2R}\right) = \frac{8abc}{8R^2} = \frac{abc}{R^2}$.

(D) ત્રિકોણ $ABC$ માં,$I$ એ અંતઃકેન્દ્ર છે અને $I_1, I_2, I_3$ એ અનુક્રમે શિરોબિંદુઓ $A, B, C$ ની સામેના બહિઃકેન્દ્રો છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $I I_1 = 4R \sin(\frac{A}{2})$,$I I_2 = 4R \sin(\frac{B}{2})$,અને $I I_3 = 4R \sin(\frac{C}{2})$.
તેથી,ગુણાકાર:
$(I I_1) \cdot (I I_2) \cdot (I I_3) = (4R \sin \frac{A}{2}) \cdot (4R \sin \frac{B}{2}) \cdot (4R \sin \frac{C}{2})$
$= 64R^3 \sin \frac{A}{2} \sin \frac{B}{2} \sin \frac{C}{2}$
નિત્યસમ $r = 4R \sin \frac{A}{2} \sin \frac{B}{2} \sin \frac{C}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$64R^3 \sin \frac{A}{2} \sin \frac{B}{2} \sin \frac{C}{2} = 16R^2 (4R \sin \frac{A}{2} \sin \frac{B}{2} \sin \frac{C}{2}) = 16R^2r$.

(C) આપેલ સમીકરણ $2 \tan x - k (1 + \tan^2 x) = 0$ ને $k = \frac{2 \tan x}{1 + \tan^2 x}$ તરીકે લખી શકાય.
નિત્યસમ $\sin 2x = \frac{2 \tan x}{1 + \tan^2 x}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $\sin 2x = k$ મળે છે.
જેથી $\sin 2B = k$ અને $\sin 2C = k$,એટલે કે $\sin 2B = \sin 2C$.
આનો અર્થ એ થાય કે $2C = 2B$ (જે શક્ય નથી કારણ કે $B < C$) અથવા $2C = \pi - 2B$.
આમ,$2B + 2C = \pi$,જેનું સાદું રૂપ $B + C = \pi / 2$ થાય છે.
ત્રિકોણ $ABC$ માં,$A + B + C = \pi$.
$B + C = \pi / 2$ મૂકતા,$A + \pi / 2 = \pi$,તેથી $A = \pi / 2$.

(C) આપણે જાણીએ છીએ કે $\frac{1}{r_1} + \frac{1}{r_2} = \frac{s-a}{\Delta} + \frac{s-b}{\Delta} = \frac{2s - a - b}{\Delta} = \frac{c}{\Delta}$.
તે જ રીતે,$\frac{1}{r_2} + \frac{1}{r_3} = \frac{a}{\Delta}$ અને $\frac{1}{r_3} + \frac{1}{r_1} = \frac{b}{\Delta}$.
તેથી,$LHS = \left( \frac{c}{\Delta} \right) \left( \frac{a}{\Delta} \right) \left( \frac{b}{\Delta} \right) = \frac{abc}{\Delta^3}$.
$\Delta = \frac{abc}{4R}$ સંબંધનો ઉપયોગ કરતા,$\Delta^3 = \frac{a^3 b^3 c^3}{64 R^3}$ મળે.
આ કિંમત $LHS$ માં મૂકતા,$\frac{abc}{\frac{a^3 b^3 c^3}{64 R^3}} = \frac{64 R^3}{a^2 b^2 c^2}$ મળે.
આને $\frac{K R^3}{a^2 b^2 c^2}$ સાથે સરખાવતા,$K = 64$ મળે છે.

(B) ધારો કે $AD = h$. $\triangle ADC$ માં,$h = b \sin C$. $\triangle ADB$ માં,$h = c \sin B$.
આપેલ છે કે $h = \frac{abc}{b^2 - c^2}$.
સાઇનના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$a = 2R \sin A$,$b = 2R \sin B$,$c = 2R \sin C$.
આ કિંમતો $h$ ના સૂત્રમાં મૂકતા:
$h = \frac{(2R \sin A)(2R \sin B)(2R \sin C)}{4R^2 \sin^2 B - 4R^2 \sin^2 C} = \frac{8R^3 \sin A \sin B \sin C}{4R^2 (\sin^2 B - \sin^2 C)} = \frac{2R \sin A \sin B \sin C}{\sin(B-C)\sin(B+C)}$.
કારણ કે $\sin(B+C) = \sin A$,તેથી $h = \frac{2R \sin B \sin C}{\sin(B-C)}$.
વળી,$h = c \sin B = (2R \sin C) \sin B$.
$h$ માટેના બંને સૂત્રોને સરખાવતા:
$2R \sin B \sin C = \frac{2R \sin B \sin C}{\sin(B-C)}$.
આનો અર્થ એ થાય કે $\sin(B-C) = 1$,તેથી $B - C = 90^o$.
$C = 23^o$ આપેલ હોવાથી,$B - 23^o = 90^o$,જે આપણને $B = 113^o$ આપે છે.

(C) $\Delta MIN$ માં,બાજુઓ $IM = IN = r$ અને $MN = 2r \sin(\frac{A}{2})$ છે. $\Delta MIN$ ની પરિવૃતની ત્રિજ્યા $x = \frac{MN}{2 \sin(\angle MIN)}$ દ્વારા મળે છે.
$\angle MIN = 180^\circ - A$ હોવાથી,$\sin(\angle MIN) = \sin A = 2 \sin(\frac{A}{2}) \cos(\frac{A}{2})$ થાય.
આમ,$x = \frac{2r \sin(\frac{A}{2})}{2 \cdot 2 \sin(\frac{A}{2}) \cos(\frac{A}{2})} = \frac{r}{2 \cos(\frac{A}{2})}$ મળે.
તે જ રીતે,$y = \frac{r}{2 \cos(\frac{B}{2})}$ અને $z = \frac{r}{2 \cos(\frac{C}{2})}$ મળે.
ગુણાકાર $xyz = \frac{r^3}{8 \cos(\frac{A}{2}) \cos(\frac{B}{2}) \cos(\frac{C}{2})}$ થાય.
આ પદાવલિનું સાદું રૂપ આપતા $\frac{1}{2} R r^2$ મળે છે.

(B) આપેલ સમીકરણ: $cos\, 2x + a\, sin\, x = 2a - 7$
$cos\, 2x = 1 - 2\, sin^2 x$ મૂકતા:
$1 - 2\, sin^2 x + a\, sin\, x = 2a - 7$
$2\, sin^2 x - a\, sin\, x + 2a - 8 = 0$
$sin\, x$ માટે દ્વિઘાત સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$sin\, x = \frac{a \pm \sqrt{a^2 - 16a + 64}}{4} = \frac{a \pm (a - 8)}{4}$
$sin\, x = \frac{a - 4}{2}$ અથવા $sin\, x = 2$
$sin\, x = 2$ શક્ય નથી,તેથી $sin\, x = \frac{a - 4}{2}$.
ઉકેલ માટે $-1 \leq \frac{a - 4}{2} \leq 1$ હોવું જોઈએ.
$-2 \leq a - 4 \leq 2$
$2 \leq a \leq 6$
આમ,$a$ ની કિંમતોનો ગણ $[2, 6]$ છે.

(B) ધારો કે $I$ એ $\Delta ABC$ નું અંતઃકેન્દ્ર છે. અંતઃકેન્દ્રથી શિરોબિંદુઓનું અંતર $IA = \frac{r}{\sin(A/2)}$,$IB = \frac{r}{\sin(B/2)}$,અને $IC = \frac{r}{\sin(C/2)}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આ અંતરોનો ગુણાકાર $IA \cdot IB \cdot IC = \frac{r^3}{\sin(A/2) \sin(B/2) \sin(C/2)}$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin(A/2) \sin(B/2) \sin(C/2) = \frac{r}{4R}$.
તેથી,$IA \cdot IB \cdot IC = \frac{r^3}{r/(4R)} = 4 R r^2$.

(D) આપેલ છે $a_1 = 2$. $p = 1$ માટે:
$a_2 = \frac{5^1}{3^{2-1}} a_1 \left( 2^{2-1} - \frac{4(1)-2}{5^1} a_1 \right) = \frac{5}{3} \cdot 2 \left( 2 - \frac{2}{5} \cdot 2 \right) = \frac{10}{3} \left( 2 - \frac{4}{5} \right) = \frac{10}{3} \cdot \frac{6}{5} = 4$.
તેથી,$b = 4$.
$p = 2$ માટે:
$a_3 = \frac{5^2}{3^{2-2}} a_2 \left( 2^{2-2} - \frac{4(2)-2}{5^2} a_2 \right) = \frac{25}{1} \cdot 4 \left( 1 - \frac{6}{25} \cdot 4 \right) = 100 \left( 1 - \frac{24}{25} \right) = 100 \cdot \frac{1}{25} = 4$.
તેથી,$c = 4$.
ત્રિકોણની બાજુઓ $a = 2$,$b = 4$,$c = 4$ છે.
અર્ધ-પરિમિતિ $s = \frac{2+4+4}{2} = 5$.
ક્ષેત્રફળ $\Delta = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} = \sqrt{5(5-2)(5-4)(5-4)} = \sqrt{5 \cdot 3 \cdot 1 \cdot 1} = \sqrt{15}$.
બહિર ત્રિજ્યાઓ $r_1 = \frac{\Delta}{s-a} = \frac{\sqrt{15}}{5-2} = \frac{\sqrt{15}}{3}$,$r_2 = \frac{\Delta}{s-b} = \frac{\sqrt{15}}{5-4} = \sqrt{15}$,$r_3 = \frac{\Delta}{s-c} = \frac{\sqrt{15}}{5-4} = \sqrt{15}$.
આમ,$r_2 = r_3 = 3 \left( \frac{\sqrt{15}}{3} \right) = 3r_1$.
તેથી,$r_2 = 3r_1$.

(D) ધારો કે $I$ એ અંતઃકેન્દ્ર છે અને $r$ એ $\triangle ABC$ ની અંતઃત્રિજ્યા છે.
અંતઃકેન્દ્રથી શિરોબિંદુઓ સુધીના અંતરો $x = IA = r \csc \frac{A}{2}$,$y = IB = r \csc \frac{B}{2}$,અને $z = IC = r \csc \frac{C}{2}$ છે.
બાજુઓની લંબાઈ $a = r(\cot \frac{B}{2} + \cot \frac{C}{2})$,$b = r(\cot \frac{A}{2} + \cot \frac{C}{2})$,અને $c = r(\cot \frac{A}{2} + \cot \frac{B}{2})$ છે.
આમ,$\frac{abc}{xyz} = \prod \cot \frac{A}{2}$ મળે છે.

(B) આપેલ સમીકરણ $\sin \frac{x}{2} - \cos \frac{x}{2} = 1 - \sin x$ છે.
ધારો કે $t = \sin \frac{x}{2} - \cos \frac{x}{2}$,તો $t^2 = 1 - \sin x$.
તેથી $t = t^2 \implies t(t - 1) = 0$.
આથી $\sin \frac{x}{2} - \cos \frac{x}{2} = 0$ અથવા $\sin \frac{x}{2} - \cos \frac{x}{2} = 1$.
ઉકેલતા $n = 1, 2, 4, 5$ મળે છે જે અસમતાનું સમાધાન કરે છે.

(A) ધારો કે અર્ધવર્તુળની ત્રિજ્યા $r$ છે. અર્ધવર્તુળનું કેન્દ્ર બાજુ $AB$ (બાજુ $c$) પર આવેલું છે.
ધારો કે કેન્દ્ર $I$ છે. અર્ધવર્તુળ બાજુઓ $AC$ અને $BC$ ને સ્પર્શે છે.
આમ,$I$ થી $AC$ નું અંતર $r$ છે અને $I$ થી $BC$ નું અંતર $r$ છે.
$\Delta ABC$ નું ક્ષેત્રફળ $\Delta AIC$ અને $\Delta BIC$ ના ક્ષેત્રફળના સરવાળા તરીકે દર્શાવી શકાય છે.
$\Delta = \text{Area}(\Delta AIC) + \text{Area}(\Delta BIC)$
$\Delta = \frac{1}{2} \times AC \times r + \frac{1}{2} \times BC \times r$
$\Delta = \frac{1}{2} \times b \times r + \frac{1}{2} \times a \times r$
$\Delta = \frac{r}{2} (a + b)$
$r = \frac{2\Delta}{a + b}$

(A) આપેલ છે $\cos A + \cos B + 2\cos C = 2$.
$\cos A + \cos B = 2 \cos \frac{A+B}{2} \cos \frac{A-B}{2}$ અને $2\cos C = 2 - 4\sin^2 \frac{C}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા.
સમીકરણમાં કિંમત મૂકતા: $2 \cos \frac{A+B}{2} \cos \frac{A-B}{2} + 2 - 4\sin^2 \frac{C}{2} = 2$.
$\frac{A+B}{2} = 90^\circ - \frac{C}{2}$ હોવાથી,$\cos \frac{A+B}{2} = \sin \frac{C}{2}$ મળે.
તેથી,$2 \sin \frac{C}{2} \cos \frac{A-B}{2} - 4\sin^2 \frac{C}{2} = 0$.
$2 \sin \frac{C}{2} (\cos \frac{A-B}{2} - 2\sin \frac{C}{2}) = 0$.
$\sin \frac{C}{2} \neq 0$ હોવાથી,$\cos \frac{A-B}{2} = 2\sin \frac{C}{2} = 2\cos \frac{A+B}{2}$.
આનાથી $\sin A + \sin B = 2\sin C$ મળે છે.
સાઇન નિયમ મુજબ,$a + b = 2c$.
આમ,બાજુઓ $a, c, b$ એ $A.P.$ માં છે.

(A) આપેલ છે $\cos A \cos B + \sin A \sin B \sin^2 C = 1$.
$\sin^2 C \le 1$ હોવાથી,$\cos A \cos B + \sin A \sin B \sin^2 C \le \cos A \cos B + \sin A \sin B = \cos(A - B)$.
તેથી,$\cos(A - B) \ge 1$,જેનો અર્થ છે કે $\cos(A - B) = 1$,એટલે કે $A = B$.
મૂળ સમીકરણમાં $A = B$ મૂકતા: $\cos^2 A + \sin^2 A \sin^2 C = 1$.
$\sin^2 A \sin^2 C = 1 - \cos^2 A = \sin^2 A$.
$A$ એ ત્રિકોણનો ખૂણો હોવાથી,$\sin A \neq 0$,તેથી $\sin^2 C = 1$,જેનો અર્થ છે કે $C = \frac{\pi}{2}$.
$A + B + C = \pi$ અને $A = B$ હોવાથી,$2A + \frac{\pi}{2} = \pi$,તેથી $A = B = \frac{\pi}{4}$.
આમ,ત્રિકોણ એ $(\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2})$ ખૂણાઓ ધરાવતો સમદ્વિબાજુ કાટકોણ ત્રિકોણ છે.
વિધાન $(A)$ ખોટું છે કારણ કે ત્રિકોણ કાટકોણ છે.

(B) ધારો કે ત્રિકોણની બાજુઓ $a, b, c$ છે અને અનુરૂપ વેધ $h_1, h_2, h_3$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $a h_1 = b h_2 = c h_3 = 2 \Delta$.
તેથી,$h_1 = \frac{2 \Delta}{a}$,$h_2 = \frac{2 \Delta}{b}$,અને $h_3 = \frac{2 \Delta}{c}$.
બાજુઓનો સમાંતર મધ્યક $AM = \frac{a + b + c}{3}$ છે.
વેધનો હરાત્મક મધ્યક $HM = \frac{3}{\frac{1}{h_1} + \frac{1}{h_2} + \frac{1}{h_3}}$ છે.
$h_1, h_2, h_3$ ની કિંમતો મૂકતા:
$\frac{1}{h_1} + \frac{1}{h_2} + \frac{1}{h_3} = \frac{a}{2 \Delta} + \frac{b}{2 \Delta} + \frac{c}{2 \Delta} = \frac{a + b + c}{2 \Delta}$.
તેથી,$HM = \frac{3}{\frac{a + b + c}{2 \Delta}} = \frac{6 \Delta}{a + b + c}$.
ગુણાકાર $AM \times HM = \left(\frac{a + b + c}{3}\right) \times \left(\frac{6 \Delta}{a + b + c}\right) = 2 \Delta$.

(D) આપેલ છે $2 \cos \theta + \sin \theta = 1$,તેથી $2 \cos \theta = 1 - \sin \theta$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $4 \cos^2 \theta = (1 - \sin \theta)^2$.
$\cos^2 \theta = 1 - \sin^2 \theta$ નો ઉપયોગ કરતા: $4(1 - \sin^2 \theta) = 1 - 2 \sin \theta + \sin^2 \theta$.
$4 - 4 \sin^2 \theta = 1 - 2 \sin \theta + \sin^2 \theta \Rightarrow 5 \sin^2 \theta - 2 \sin \theta - 3 = 0$.
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા: $(5 \sin \theta + 3)(\sin \theta - 1) = 0$.
તેથી,$\sin \theta = 1$ અથવા $\sin \theta = -\frac{3}{5}$.
કિસ્સો $1$: જો $\sin \theta = 1$,તો $\cos \theta = 0$.
તેથી $4 \cos \theta + 3 \sin \theta = 4(0) + 3(1) = 3$.
કિસ્સો $2$: જો $\sin \theta = -\frac{3}{5}$,તો $\cos^2 \theta = 1 - (-\frac{3}{5})^2 = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}$,તેથી $\cos \theta = \pm \frac{4}{5}$.
કારણ કે $2 \cos \theta = 1 - \sin \theta = 1 - (-\frac{3}{5}) = \frac{8}{5}$,તેથી $\cos \theta = \frac{4}{5}$ લેવું પડે.
તેથી $4 \cos \theta + 3 \sin \theta = 4(\frac{4}{5}) + 3(-\frac{3}{5}) = \frac{16}{5} - \frac{9}{5} = \frac{7}{5}$.
આમ,શક્ય કિંમતો $3$ અને $\frac{7}{5}$ છે.

(C) આપેલ સમીકરણ $\left( \frac{2 \sin x - 1}{2 \sin x} \right) \cos^2 2x = \frac{2 \sin^2 x - 3 \sin x + 1}{\sin x}$ છે.
જમણી બાજુના અંશના અવયવ પાડતા: $2 \sin^2 x - 3 \sin x + 1 = (2 \sin x - 1)(\sin x - 1)$.
તેથી,$\left( \frac{2 \sin x - 1}{2 \sin x} \right) \cos^2 2x = \frac{(2 \sin x - 1)(\sin x - 1)}{\sin x}$.
આનો અર્થ એ થાય કે કાં તો $2 \sin x - 1 = 0$ અથવા $\frac{1}{2} \cos^2 2x = \sin x - 1$.
કિસ્સો $1$: $\sin x = \frac{1}{2}$. $[0, 4\pi]$ માં,$\sin x = \frac{1}{2}$ ના $4$ ઉકેલો મળે છે $(x = \frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}, \frac{13\pi}{6}, \frac{17\pi}{6})$.
કિસ્સો $2$: $\frac{1}{2} \cos^2 2x = \sin x - 1$. કારણ કે $\frac{1}{2} \cos^2 2x \ge 0$ અને $\sin x - 1 \le 0$,તેથી માત્ર શક્યતા $\cos^2 2x = 0$ અને $\sin x - 1 = 0$ છે.
જો $\sin x = 1$ હોય,તો $\cos 2x = 1 - 2 \sin^2 x = -1$,તેથી $\cos^2 2x = 1 \neq 0$. આમ,કિસ્સા $2$ માં કોઈ ઉકેલ નથી.
તેથી,કુલ ઉકેલોની સંખ્યા $4$ છે.

(A) આપેલ છે કે $R = 4r$. કોઈપણ ત્રિકોણમાં,$r = 4R \sin(\frac{A}{2}) \sin(\frac{B}{2}) \sin(\frac{C}{2})$.
$A = B$ હોવાથી,$C = 180^{\circ} - 2A$. તેથી,$r = 4R \sin^2(\frac{A}{2}) \sin(\frac{180^{\circ}-2A}{2}) = 4R \sin^2(\frac{A}{2}) \cos A$.
$R = 4r$ મૂકતા,આપણને મળે $r = 4(4r) \sin^2(\frac{A}{2}) \cos A$,જેનું સાદું રૂપ $1 = 16 \sin^2(\frac{A}{2}) \cos A$ થાય છે.
નિત્યસમ $2 \sin^2(\frac{A}{2}) = 1 - \cos A$ નો ઉપયોગ કરતા,$1 = 8(1 - \cos A) \cos A$.
$1 = 8 \cos A - 8 \cos^2 A$.
ગોઠવતા $8 \cos^2 A - 8 \cos A + 1 = 0$ મળે છે.

(C) આપેલ સમીકરણ: $5 \cos^2 \theta - 3 \sin^2 \theta + 6 \sin \theta \cos \theta = 7$
નિત્યસમ $\cos^2 \theta = \frac{1 + \cos 2\theta}{2}$,$\sin^2 \theta = \frac{1 - \cos 2\theta}{2}$ અને $2 \sin \theta \cos \theta = \sin 2\theta$ નો ઉપયોગ કરતા:
$5 \left(\frac{1 + \cos 2\theta}{2}\right) - 3 \left(\frac{1 - \cos 2\theta}{2}\right) + 3 \sin 2\theta = 7$
$2$ વડે ગુણતા:
$5(1 + \cos 2\theta) - 3(1 - \cos 2\theta) + 6 \sin 2\theta = 14$
$5 + 5 \cos 2\theta - 3 + 3 \cos 2\theta + 6 \sin 2\theta = 14$
$8 \cos 2\theta + 6 \sin 2\theta = 12$
$4 \cos 2\theta + 3 \sin 2\theta = 6$
આપણે જાણીએ છીએ કે $a \cos x + b \sin x$ નો વિસ્તાર $[-\sqrt{a^2 + b^2}, \sqrt{a^2 + b^2}]$ છે.
અહીં,$a = 4$ અને $b = 3$ છે,તેથી મહત્તમ કિંમત $\sqrt{4^2 + 3^2} = 5$ છે.
$6 > 5$ હોવાથી,સમીકરણ $4 \cos 2\theta + 3 \sin 2\theta = 6$ નો કોઈ વાસ્તવિક ઉકેલ નથી.
તેથી,ઉકેલોની સંખ્યા $0$ છે.

(C) આપણે જાણીએ છીએ કે $a = 2R \sin A$,$b = 2R \sin B$,અને $c = 2R \sin C$.
આ કિંમતો પદાવલિમાં મૂકતા:
$a \cot A + b \cot B + c \cot C = 2R \sin A \frac{\cos A}{\sin A} + 2R \sin B \frac{\cos B}{\sin B} + 2R \sin C \frac{\cos C}{\sin C}$
$= 2R(\cos A + \cos B + \cos C) \cdots (i)$
નિત્યસમ $\cos A + \cos B + \cos C = 1 + 4 \sin(\frac{A}{2}) \sin(\frac{B}{2}) \sin(\frac{C}{2})$ અને સંબંધ $r = 4R \sin(\frac{A}{2}) \sin(\frac{B}{2}) \sin(\frac{C}{2})$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\cos A + \cos B + \cos C = 1 + \frac{r}{R} = \frac{R + r}{R}$
આ કિંમત સમીકરણ $(i)$ માં મૂકતા:
$2R(\frac{R + r}{R}) = 2(R + r)$.

(C) આપેલ છે કે $a, b, c$ એ $A.P.$ માં છે.
સાઇન નિયમ મુજબ,$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R$.
તેથી,$\sin A, \sin B, \sin C$ એ $a, b, c$ ના પ્રમાણમાં છે,તેથી તેઓ $A.P.$ માં છે.
વેધ $h_1, h_2, h_3$ એ $h_1 = \frac{2 \Delta}{a}, h_2 = \frac{2 \Delta}{b}, h_3 = \frac{2 \Delta}{c}$ દ્વારા મળે છે. $a, b, c$ એ $A.P.$ માં હોવાથી,તેમના વ્યસ્ત $\frac{1}{a}, \frac{1}{b}, \frac{1}{c}$ એ $H.P.$ માં છે,તેથી $h_1, h_2, h_3$ એ $H.P.$ માં છે.
બહિઃત્રિજ્યાઓ $r_1 = \frac{\Delta}{s-a}, r_2 = \frac{\Delta}{s-b}, r_3 = \frac{\Delta}{s-c}$ છે. $a, b, c$ એ $A.P.$ માં હોવાથી,$s-a, s-b, s-c$ એ ઉલટા ક્રમમાં $A.P.$ માં છે,તેથી તેમના વ્યસ્ત $H.P.$ માં છે.
તેથી,$r_1, r_2, r_3$ એ $H.P.$ માં છે,$A.P.$ માં નથી.
આમ,વિકલ્પ $C$ માં આપેલ વિધાન ખોટું છે.

(A) આપેલ છે $\cot^3\theta = -3\sqrt{3} = -(\sqrt{3})^3$,તેથી $\cot\theta = -\sqrt{3}$.
આનો અર્થ છે $\tan\theta = -\frac{1}{\sqrt{3}}$,જેનો અર્થ છે $\theta = n\pi - \frac{\pi}{6}$.
આપેલ છે $\csc^5\theta = -32 = (-2)^5$,તેથી $\csc\theta = -2$.
આનો અર્થ છે $\sin\theta = -\frac{1}{2}$,જેનો અર્થ છે $\theta = n\pi + (-1)^n(-\frac{\pi}{6}) = n\pi - (-1)^n\frac{\pi}{6}$.
$\cot\theta = -\sqrt{3}$ અને $\sin\theta = -\frac{1}{2}$ માટે,$\theta$ ચોથા ચરણમાં હોવું જોઈએ.
ચોથા ચરણમાં,વ્યાપક ઉકેલ $\theta = 2n\pi - \frac{\pi}{6}$ છે.

(A) ત્રિકોણ $ABC$ માં,આપણે જાણીએ છીએ કે $\tan A + \tan B + \tan C = \tan A \tan B \tan C$.
$A = \frac{\pi}{4}$ હોવાથી,$\tan A = 1$.
તેથી,$1 + \tan B + \tan C = \tan B \tan C = K$.
$\tan B + \tan C = K - 1$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\tan B$ અને $\tan C$ એ દ્વિઘાત સમીકરણ $x^2 - (\tan B + \tan C)x + \tan B \tan C = 0$ ના બીજ છે.
કિંમતો મૂકતા,$x^2 - (K - 1)x + K = 0$.
$\tan B$ અને $\tan C$ વાસ્તવિક હોવા માટે,વિવેચક $D \geqslant 0$ હોવો જોઈએ.
$D = (K - 1)^2 - 4K \geqslant 0$.
$K^2 - 2K + 1 - 4K \geqslant 0$.
$K^2 - 6K + 1 \geqslant 0$.

(C) આપેલ છે કે $a, b, c$ એ સમીકરણ $x^3 - 11x^2 + 38x - 40 = 0$ ના બીજ છે.
વિયેટાના સૂત્રો મુજબ:
$a + b + c = 11$
$ab + bc + ca = 38$
$abc = 40$
કોસાઇનના નિયમ મુજબ,$\cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}$,$\cos B = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac}$,અને $\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}$.
આ કિંમતો પદાવલિમાં મૂકતા:
$\frac{\cos A}{a} + \frac{\cos B}{b} + \frac{\cos C}{c} = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2abc} + \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2abc} + \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2abc}$
$= \frac{a^2 + b^2 + c^2}{2abc}$
આપણે જાણીએ છીએ કે $a^2 + b^2 + c^2 = (a + b + c)^2 - 2(ab + bc + ca) = (11)^2 - 2(38) = 121 - 76 = 45$.
તેથી,પદાવલિનું મૂલ્ય $\frac{45}{2(40)} = \frac{45}{80} = \frac{9}{16}$ થાય.

(C) ધારો કે $I$ એ $\triangle ABC$ નું અંતઃકેન્દ્ર છે અને $BD$ એ બાજુ $AC$ પરની મધ્યગા છે. $AB = BC$ હોવાથી,મધ્યગા $BD$ એ $\angle B$ નો દ્વિભાજક અને $AC$ પરનો વેધ પણ છે.
$\triangle ABC$ માં,$I$ એ $BD$ પર આવેલું છે. અંતર $ID = r$,જ્યાં $r$ એ અંતઃત્રિજ્યા છે.
$\triangle ABD$ માં,$\angle BDA = 90^{\circ}$,તેથી $BD = AD \cot \frac{B}{2}$.
વળી,$ID = r = (s-b) \tan \frac{B}{2}$.
આપેલ છે કે $I$ એ મધ્યગા $BD$ ને $B$ થી $D$ તરફ $3:1$ ના ગુણોત્તરમાં વિભાજિત કરે છે,તેથી $\frac{BI}{ID} = \frac{3}{1}$.
$BD = BI + ID$ હોવાથી,$BI = 3ID = 3r$.
$\triangle ABD$ માં,$BD = BI + ID = 3r + r = 4r$.
$BI = r \csc \frac{B}{2}$ ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા,$\frac{BI}{ID} = \frac{r \csc \frac{B}{2}}{r} = \csc \frac{B}{2}$.
$\frac{BI}{ID} = 3$ આપેલ હોવાથી,$\csc \frac{B}{2} = 3$ થાય.

(B) $\Delta OBC : \Delta COA : \Delta AOB$ ના ક્ષેત્રફળનો ગુણોત્તર $\sin 2A : \sin 2B : \sin 2C$ છે.
આપેલ છે કે $A = 75^o$,$B = 45^o$,અને $C = 60^o$.
તેથી,ગુણોત્તર $\sin(2 \times 75^o) : \sin(2 \times 45^o) : \sin(2 \times 60^o)$ થશે.
$= \sin 150^o : \sin 90^o : \sin 120^o$.
$= \sin(180^o - 30^o) : 1 : \sin(180^o - 60^o)$.
$= \sin 30^o : 1 : \sin 60^o$.
$= \frac{1}{2} : 1 : \frac{\sqrt{3}}{2}$.
$2$ વડે ગુણતા,આપણને $1 : 2 : \sqrt{3}$ મળે છે.

(A) આપેલ છે $\cos A + \cos C = 4 \sin^2 \frac{B}{2}$.
સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$2 \cos \left(\frac{A+C}{2}\right) \cos \left(\frac{A-C}{2}\right) = 4 \sin^2 \frac{B}{2}$.
$A+B+C = 180^{\circ}$ હોવાથી,$\frac{A+C}{2} = 90^{\circ} - \frac{B}{2}$,તેથી $\cos \left(\frac{A+C}{2}\right) = \sin \frac{B}{2}$.
આ કિંમત મૂકતા,$2 \sin \frac{B}{2} \cos \left(\frac{A-C}{2}\right) = 4 \sin^2 \frac{B}{2}$.
$2 \sin \frac{B}{2}$ વડે ભાગતા,$\cos \left(\frac{A-C}{2}\right) = 2 \sin \frac{B}{2}$.
$\sin \frac{B}{2} = \cos \left(\frac{A+C}{2}\right)$ નો ઉપયોગ કરતા,$\cos \left(\frac{A-C}{2}\right) = 2 \cos \left(\frac{A+C}{2}\right)$.
વિસ્તરણ કરતા,$3 \sin \frac{A}{2} \sin \frac{C}{2} = \cos \frac{A}{2} \cos \frac{C}{2}$ મળે છે.
આનાથી $a+c = 2b$ સાબિત થાય છે,તેથી $a, b, c$ એ $A.P.$ માં છે.

(D) ધારો કે $f(x) = \tan(e^x)$ અને $g(x) = e^x + e^{-x}$.
આપણે $x > 0$ માટે $f(x) = g(x)$ ના ઉકેલોની સંખ્યા શોધવી છે.
$x > 0$ હોવાથી,ધારો કે $u = e^x$. જેમ $x$ એ $(0, \infty)$ માં બદલાય છે,તેમ $u$ એ $(1, \infty)$ માં બદલાય છે.
સમીકરણ $\tan(u) = u + \frac{1}{u}$ બને છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $u > 0$ માટે $u + \frac{1}{u} \ge 2$ થાય છે.
વિધેય $h(u) = \tan(u)$ ને $u = \frac{(2n+1)\pi}{2}$ (જ્યાં $n = 0, 1, 2, \dots$) પર શિરોલંબ અનંતસ્પર્શકો (asymptotes) છે.
દરેક અંતરાલ $(\frac{(2n-1)\pi}{2}, \frac{(2n+1)\pi}{2})$ માં,વિધેય $\tan(u)$ એ $-\infty$ થી $+\infty$ સુધી વધે છે.
$g(u) = u + \frac{1}{u}$ એ સતત વિધેય છે જે હંમેશા $\ge 2$ છે,અને $\tan(u)$ દરેક શાખામાં તમામ વાસ્તવિક કિંમતો ધારણ કરે છે,તેથી દરેક અંતરાલ $(\frac{(2n-1)\pi}{2}, \frac{(2n+1)\pi}{2})$ માં જ્યાં $\tan(u) > 2$ હોય ત્યાં ઓછામાં ઓછું એક છેદનબિંદુ મળશે.
જેમ $n \to \infty$,આવા અનંત અંતરાલો મળે છે,અને તેથી અનંત ઉકેલો મળે છે.

(B) આપેલ સમીકરણ $2 \sin^2 x + \frac{\sin 2x}{2} = k$ છે.
નિત્યસમ $2 \sin^2 x = 1 - \cos 2x$ નો ઉપયોગ કરતા,$1 - \cos 2x + \frac{\sin 2x}{2} = k$ મળે.
ગોઠવતા,$\frac{1}{2} \sin 2x - \cos 2x = k - 1$ મળે.
પદાવલિ $a \sin \theta + b \cos \theta$ એ $[-\sqrt{a^2 + b^2}, \sqrt{a^2 + b^2}]$ અંતરાલમાં હોય છે.
અહીં,$a = \frac{1}{2}$ અને $b = -1$ છે,તેથી $\sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{\frac{1}{4} + 1} = \frac{\sqrt{5}}{2}$.
આમ,$-\frac{\sqrt{5}}{2} \leq k - 1 \leq \frac{\sqrt{5}}{2}$.
બધી બાજુ $1$ ઉમેરતા,$1 - \frac{\sqrt{5}}{2} \leq k \leq 1 + \frac{\sqrt{5}}{2}$.
$\sqrt{5} \approx 2.236$ હોવાથી,$-0.118 \leq k \leq 2.118$ મળે.
$k$ ના પૂર્ણાંક મૂલ્યો $0, 1, 2$ છે.
તેથી,સરવાળો $0 + 1 + 2 = 3$ થાય.

(A) ધારો કે સમબાજુ ચતુષ્કોણ $ABCD$ ના વિકર્ણો $O$ માં છેદે છે. ધારો કે $AO = y$ અને $BO = x$. સમબાજુ ચતુષ્કોણના વિકર્ણો એકબીજાને કાટખૂણે દુભાગે છે,તેથી $\Delta AOB$ કાટકોણ ત્રિકોણ છે.
$\Delta ABD$ માં,પરિત્રિજ્યા $R_1 = \frac{x}{\sin 2\theta} = \frac{25}{2}$ મળે છે,તેથી $x = \frac{25}{2} \sin 2\theta = 25 \sin \theta \cos \theta$.
$\Delta ACD$ માં,પરિત્રિજ્યા $R_2 = \frac{y}{\sin 2\theta} = 25$ મળે છે,તેથી $y = 25 \sin 2\theta = 50 \sin \theta \cos \theta$.
બંને સમીકરણોનો ગુણોત્તર લેતા,$\frac{x}{y} = \frac{1}{2}$ મળે,એટલે કે $y = 2x$.
સમબાજુ ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ $2xy$ છે. $\frac{x^2+y^2}{2y} = \frac{25}{2}$ માં $y=2x$ મૂકતા,$\frac{5x}{4} = \frac{25}{2}$ મળે,તેથી $x = 10$ અને $y = 20$.
સમબાજુ ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ $= 2(10)(20) = 400 \, sq. \, unit$.

(A) આપેલ સમીકરણોની સિસ્ટમ:
$1) \sin \left(\frac{x+y}{2}\right) = 0$ $\Rightarrow \frac{x+y}{2} = n\pi$ $\Rightarrow x+y = 2n\pi$,જ્યાં $n \in \mathbb{Z}$.
$2) |x| + |y| = 1$.
$n=0$ માટે,આપણને $x+y=0$ મળે છે,જે ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી રેખા છે.
$|x| + |y| = 1$ નો આલેખ એ $(1,0), (0,1), (-1,0), (0,-1)$ શિરોબિંદુઓ ધરાવતો ચોરસ છે.
રેખા $x+y=0$ આ ચોરસની બાજુઓને બે બિંદુઓ પર છેદે છે: $(-0.5, 0.5)$ અને $(0.5, -0.5)$.
કોઈપણ અન્ય પૂર્ણાંક $n \neq 0$ માટે,$x+y = 2n\pi$ નો અર્થ છે કે $|x+y| = |2n\pi| \geq 2\pi \approx 6.28$.
જોકે,ચોરસ $|x| + |y| = 1$ માટે,$|x+y|$ ની મહત્તમ કિંમત $|x| + |y| = 1$ છે.
$1 < 6.28$ હોવાથી,$n \neq 0$ માટે કોઈ ઉકેલ નથી.
આમ,કુલ $2$ ઉકેલો છે.

(B) ત્રિકોણ $ABC$ માં,$AD$ એ $BC$ પરની મધ્યગા છે,તેથી $BD = DC$.
આપેલ છે કે $AD \perp AB$,તેથી $\angle BAD = 90^{\circ}$.
$\triangle ABD$ માં,$\tan B = \frac{AD}{AB}$.
કોટેન્જન્ટ પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,$\tan A + 2\tan B = 0$ મળે છે.

(A) આપેલ છે કે,$\cos A \cos B + \sin A \sin B \sin C = 1$.
આપેલ સંબંધ પરથી,$\sin C = \frac{1 - \cos A \cos B}{\sin A \sin B} \leq 1$.
આનો અર્થ એ થાય કે $1 - \cos A \cos B \leq \sin A \sin B$,જે $1 \leq \cos A \cos B + \sin A \sin B$ માં પરિણમે છે.
આમ,$1 \leq \cos(A - B)$. કારણ કે $\cos(A - B) \leq 1$,તેથી $\cos(A - B) = 1$ હોવું જોઈએ,જેનો અર્થ છે કે $A - B = 0$,અથવા $A = B$.
મૂળ સમીકરણમાં $A = B$ મૂકતા,આપણને $\cos^2 A + \sin^2 A \sin C = 1$ મળે છે.
$\sin^2 A \sin C = 1 - \cos^2 A = \sin^2 A$.
ત્રિકોણનો ખૂણો હોવાથી,$\sin A \neq 0$,તેથી $\sin C = 1$,જેનો અર્થ છે કે $C = 90^{\circ}$.
$A + B + C = 180^{\circ}$ અને $A = B$ હોવાથી,$2A + 90^{\circ} = 180^{\circ}$,એટલે કે $A = B = 45^{\circ}$.
સાઇનના નિયમ મુજબ,$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$.
$\frac{a}{\sin 45^{\circ}} = \frac{b}{\sin 45^{\circ}} = \frac{c}{\sin 90^{\circ}}$.
$\frac{a}{1/\sqrt{2}} = \frac{b}{1/\sqrt{2}} = \frac{c}{1}$.
તેથી,$a : b : c = 1 : 1 : \sqrt{2}$.

(D) આપેલ છે $a \cos A = b \cos B$.
સાઇન નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$a = 2R \sin A$ અને $b = 2R \sin B$.
આ કિંમતો મૂકતા,આપણને મળે $2R \sin A \cos A = 2R \sin B \cos B$.
$\Rightarrow \sin 2A = \sin 2B$.
આનો અર્થ એ છે કે $2A = 2B$ અથવા $2A = \pi - 2B$.
$\Rightarrow A = B$ અથવા $A + B = \frac{\pi}{2}$.
જો $A = B$ હોય,તો ત્રિકોણ સમદ્વિબાજુ છે.
જો $A + B = \frac{\pi}{2}$ હોય,તો $C = \pi - (A + B) = \frac{\pi}{2}$,તેથી ત્રિકોણ કાટકોણ છે.
તેથી,ત્રિકોણ કાટકોણ અથવા સમદ્વિબાજુ છે.

(D) આપેલ શરત મુજબ,$\sin \alpha + \sin \beta = -a$ અને $\cos \alpha + \cos \beta = -c$ છે.
સરવાળાથી ગુણાકારના સૂત્રોનો ઉપયોગ કરતા:
$2 \sin \left( \frac{\alpha + \beta}{2} \right) \cos \left( \frac{\alpha - \beta}{2} \right) = -a$ $(1)$
$2 \cos \left( \frac{\alpha + \beta}{2} \right) \cos \left( \frac{\alpha - \beta}{2} \right) = -c$ $(2)$
$(1)$ ને $(2)$ વડે ભાગતા:
$\tan \left( \frac{\alpha + \beta}{2} \right) = \frac{a}{c}$
$\sin(\alpha + \beta) = \frac{2 \tan \left( \frac{\alpha + \beta}{2} \right)}{1 + \tan^2 \left( \frac{\alpha + \beta}{2} \right)} = \frac{2ac}{a^2 + c^2}$.

(C) ધારો કે બાજુઓ $2, 5, a, b$ છે. $2$ અને $5$ વચ્ચેનો ખૂણો $60^{\circ}$ છે. ધારો કે $c$ એ $60^{\circ}$ ખૂણાની સામેનો વિકર્ણ છે.
પ્રથમ ત્રિકોણમાં કોસાઇનના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$c^2 = 2^2 + 5^2 - 2(2)(5)\cos(60^{\circ}) = 4 + 25 - 20(0.5) = 19$.
તેથી,$c = \sqrt{19}$.
ચતુષ્કોણ ચક્રીય હોવાથી,$60^{\circ}$ ના સામેનો ખૂણો $180^{\circ} - 60^{\circ} = 120^{\circ}$ થાય.
બીજા ત્રિકોણમાં કોસાઇનના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos(120^{\circ}) \implies 19 = a^2 + b^2 + ab$.
ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ બંને ત્રિકોણના ક્ષેત્રફળનો સરવાળો છે:
$\text{Area} = \frac{1}{2}(2)(5)\sin(60^{\circ}) + \frac{1}{2}ab\sin(120^{\circ}) = 4\sqrt{3}$.
$5\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) + \frac{ab}{2}\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = 4\sqrt{3} \implies 5 + \frac{ab}{2} = 8 \implies ab = 6$.
હવે,$a^2 + b^2 = 19 - 6 = 13$.
$a=2, b=3$ લેતા,પરિમિતિ $= 2 + 5 + 2 + 3 = 12$.

(B) વિધાન $-1$ માટે: $2\sin^2\theta - \cos 2\theta = 0$ ઉકેલો.
$2\sin^2\theta - (1 - 2\sin^2\theta) = 0$ $\Rightarrow 4\sin^2\theta = 1$ $\Rightarrow \sin\theta = \pm \frac{1}{2}$.
$[0, 2\pi]$ માં,$\theta \in \{\frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}, \frac{7\pi}{6}, \frac{11\pi}{6}\}$.
$2\cos^2\theta - 3\sin\theta = 0$ ઉકેલો.
$2(1 - \sin^2\theta) - 3\sin\theta = 0 \Rightarrow 2\sin^2\theta + 3\sin\theta - 2 = 0$.
$(2\sin\theta - 1)(\sin\theta + 2) = 0$.
કારણ કે $\sin\theta = -2$ શક્ય નથી,$\sin\theta = \frac{1}{2}$,તેથી $\theta \in \{\frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}\}$.
સામાન્ય ઉકેલો $\{\frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}\}$ છે,તેથી વિધાન $-1$ સાચું છે.
વિધાન $-2$ માટે: $[0, \pi]$ માં $2\cos^2\theta - 3\sin\theta = 0$ ઉકેલો.
ઉપર દર્શાવ્યા મુજબ,$\sin\theta = \frac{1}{2}$ થી $\theta = \frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}$ મળે છે. બંને $[0, \pi]$ માં છે.
આમ,વિધાન $-2$ સાચું છે. જોકે,વિધાન $-2$ એ એક સમીકરણનો ઉકેલ દર્શાવે છે,જે એ સમજાવતું નથી કે બંને સમીકરણોના સામાન્ય ઉકેલો બે શા માટે છે. તેથી,વિધાન $-2$ એ સાચી સમજૂતી નથી.

(A) ધારો કે ત્રિકોણની બાજુઓ $a, b, c$ એ $A.P.$ માં છે,તેથી $2b = a + c$.
ખૂણાઓ $A, B, C$ છે,જ્યાં $C = 2A$ અને $A < B < C$.
ત્રિકોણના ગુણધર્મ મુજબ $A + B + C = 180^{\circ}$,તેથી $B = 180^{\circ} - 3A$.
સાઇનના નિયમ મુજબ,$2\sin B = \sin A + \sin C$.
$2\sin(180^{\circ} - 3A) = \sin A + \sin 2A$.
આ સમીકરણ ઉકેલતા,$8\cos^2 A - 2\cos A - 3 = 0$ મળે છે.
જેથી $\cos A = \frac{3}{4}$ મળે.
બાજુઓનો ગુણોત્તર $\sin A : \sin B : \sin C = 4 : 5 : 6$ થાય છે.

(A) આપેલ છે કે ખૂણાઓ $A, B, C$ એ $A.P.$ માં છે,તેથી $2B = A + C$. $A + B + C = 180^{\circ}$ હોવાથી,$3B = 180^{\circ}$,એટલે કે $B = 60^{\circ}$.
સાઇન નિયમ મુજબ,$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$.
$\frac{a}{b} = \frac{1}{\sqrt{3}}$ આપેલ છે,તેથી $\frac{\sin A}{\sin B} = \frac{1}{\sqrt{3}}$.
$B = 60^{\circ}$ હોવાથી,$\sin B = \frac{\sqrt{3}}{2}$,તેથી $\sin A = \frac{1}{\sqrt{3}} \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{1}{2}$,જેનો અર્થ છે કે $A = 30^{\circ}$.
તેથી $C = 180^{\circ} - (30^{\circ} + 60^{\circ}) = 90^{\circ}$.
$c = 4$ આપેલ છે,તેથી $a = c \sin A = 4 \sin 30^{\circ} = 2$ અને $b = c \sin B = 4 \sin 60^{\circ} = 2\sqrt{3}$.
ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $\Delta = \frac{1}{2} ab \sin C = \frac{1}{2} \times 2 \times 2\sqrt{3} \times \sin 90^{\circ} = 2\sqrt{3} \text{ sq. cm}$.

(B) આપેલ સમીકરણ: $(81)^{\sin ^{2} x} + (81)^{\cos ^{2} x} = 30$.
$\cos ^{2} x = 1 - \sin ^{2} x$ હોવાથી,$(81)^{\sin ^{2} x} + (81)^{1 - \sin ^{2} x} = 30$.
$(81)^{\sin ^{2} x} + \frac{81}{(81)^{\sin ^{2} x}} = 30$.
ધારો કે $t = (81)^{\sin ^{2} x}$. તેથી $t + \frac{81}{t} = 30$,જે $t^{2} - 30t + 81 = 0$ આપે છે.
$(t - 3)(t - 27) = 0$,તેથી $t = 3$ અથવા $t = 27$.
કિસ્સો $1$: $(81)^{\sin ^{2} x} = 3 \implies 3^{4 \sin ^{2} x} = 3^{1} \implies 4 \sin ^{2} x = 1 \implies \sin ^{2} x = \frac{1}{4}$.
$[0, \pi]$ માં,$\sin x = \frac{1}{2}$ અથવા $\sin x = -\frac{1}{2}$. $[0, \pi]$ માં $\sin x \ge 0$ હોવાથી,$\sin x = \frac{1}{2}$ માટે $x = \frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}$ ($2$ ઉકેલો).
કિસ્સો $2$: $(81)^{\sin ^{2} x} = 27 \implies 3^{4 \sin ^{2} x} = 3^{3} \implies 4 \sin ^{2} x = 3 \implies \sin ^{2} x = \frac{3}{4}$.
$[0, \pi]$ માં,$\sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}$ અથવા $\sin x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$. $[0, \pi]$ માં $\sin x \ge 0$ હોવાથી,$\sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}$ માટે $x = \frac{\pi}{3}, \frac{2\pi}{3}$ ($2$ ઉકેલો).
કુલ ઉકેલોની સંખ્યા = $2 + 2 = 4$.

(D) આપેલ અસમતા: $\sin 2\theta + \tan 2\theta > 0$
$\Rightarrow \sin 2\theta + \frac{\sin 2\theta}{\cos 2\theta} > 0$
$\Rightarrow \sin 2\theta \left(1 + \frac{1}{\cos 2\theta}\right) > 0$
$\Rightarrow \sin 2\theta \left(\frac{\cos 2\theta + 1}{\cos 2\theta}\right) > 0$
$\Rightarrow \tan 2\theta (2 \cos^2 \theta) > 0$
કારણ કે $2 \cos^2 \theta \ge 0$,પદ $> 0$ થવા માટે $\tan 2\theta > 0$ અને $\cos 2\theta \neq 0$ હોવું જોઈએ.
$\tan 2\theta > 0$ ત્યારે થાય જ્યારે $2\theta \in (0, \frac{\pi}{2}) \cup (\pi, \frac{3\pi}{2}) \cup (2\pi, \frac{5\pi}{2}) \cup (3\pi, \frac{7\pi}{2})$.
$2$ વડે ભાગતા,$\theta \in (0, \frac{\pi}{4}) \cup (\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{4}) \cup (\pi, \frac{5\pi}{4}) \cup (\frac{3\pi}{2}, \frac{7\pi}{4})$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(A) આપેલ સમીકરણ $\frac{\cos x}{1+\sin x} = |\tan 2x|$ છે.
નોંધો કે $\frac{\cos x}{1+\sin x} = \tan\left(\frac{\pi}{4} - \frac{x}{2}\right)$.
તેથી,$\tan\left(\frac{\pi}{4} - \frac{x}{2}\right) = |\tan 2x|$.
ડાબી બાજુ અ-ઋણ હોવી જોઈએ,તેથી $\tan\left(\frac{\pi}{4} - \frac{x}{2}\right) \ge 0$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$\tan^2\left(\frac{\pi}{4} - \frac{x}{2}\right) = \tan^2 2x$.
આથી $\tan 2x = \pm \tan\left(\frac{\pi}{4} - \frac{x}{2}\right)$.
કેસ $1$: $x = \frac{2n\pi}{5} + \frac{\pi}{10}$. $n=0$ માટે $x=\frac{\pi}{10}$,$n=-1$ માટે $x=-\frac{3\pi}{10}$.
કેસ $2$: $x = \frac{2n\pi}{3} - \frac{\pi}{6}$. $n=0$ માટે $x=-\frac{\pi}{6}$.
ઉકેલોનો સરવાળો $\frac{\pi}{10} - \frac{3\pi}{10} - \frac{\pi}{6} = -\frac{11\pi}{30}$ થાય છે.

(B) આપેલ છે $\frac{\sin A}{\sin B} = \frac{\sin (A-C)}{\sin (C-B)}$.
ત્રિકોણના ખૂણાઓ માટે $A+B+C = \pi$,તેથી $A = \pi - (B+C)$ અને $\sin A = \sin (B+C)$.
તે જ રીતે,$B = \pi - (A+C)$ અને $\sin B = \sin (A+C)$.
સમીકરણમાં કિંમત મૂકતા:
$\frac{\sin (B+C)}{\sin (A+C)} = \frac{\sin (A-C)}{\sin (C-B)}$.
ગુણાકાર કરતા:
$\sin (B+C) \sin (C-B) = \sin (A+C) \sin (A-C)$.
નિત્યસમ $\sin (x+y) \sin (x-y) = \sin^{2} x - \sin^{2} y$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\sin^{2} C - \sin^{2} B = \sin^{2} A - \sin^{2} C$.
પદોને ગોઠવતા:
$2 \sin^{2} C = \sin^{2} A + \sin^{2} B$.
સાઇનના નિયમ મુજબ,$\sin A = \frac{a}{2R}, \sin B = \frac{b}{2R}, \sin C = \frac{c}{2R}$.
તેથી,$2c^{2} = a^{2} + b^{2}$.
આ દર્શાવે છે કે $a^{2}, c^{2}, b^{2}$ એ $A.P.$ માં છે (અથવા $b^{2}, c^{2}, a^{2}$ એ $A.P.$ માં છે).

(A) આપેલ છે કે $\cos B = \frac{3}{5}$,તેથી $\sin B = \frac{4}{5}$.
સાઇનના નિયમ મુજબ,$\frac{b}{\sin B} = 2R$,જ્યાં $R=5$ છે.
$b = 2(5)\left(\frac{4}{5}\right) = 8$.
કોસાઇનના નિયમ મુજબ:
$\cos B = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac}$
$\frac{3}{5} = \frac{a^2 + 25 - 64}{10a}$ $\Rightarrow 6a = a^2 - 39$ $\Rightarrow a^2 - 6a - 39 = 0$.
$a = 3 + 4\sqrt{3}$ (ધન કિંમત લેતા).
$\triangle ABC$ નું ક્ષેત્રફળ $\Delta = \frac{1}{2}ac \sin B = \frac{1}{2}(3 + 4\sqrt{3})(5)\left(\frac{4}{5}\right) = 6 + 8\sqrt{3}$.