Mix Examples-Trigonometrical Equations and Inequations, Properties of Triangles, Height and Distance Questions in Gujarati

(A) $\triangle ABC$ માં,$\angle A + \angle B + \angle C = 180^{\circ}$.
$\angle C = \frac{\pi}{2} = 90^{\circ}$ હોવાથી,$\angle A + \angle B = 90^{\circ}$ થાય.
તેથી,$\frac{A}{2} + \frac{B}{2} = 45^{\circ} = \frac{\pi}{4}$.
આપેલ છે કે $\tan \left(\frac{A}{2}\right)$ અને $\tan \left(\frac{B}{2}\right)$ એ $a_1 x^2 + b_1 x + c_1 = 0$ ના બીજ છે,તેથી બીજ અને સહગુણકો વચ્ચેના સંબંધ મુજબ:
બીજનો સરવાળો: $\tan \left(\frac{A}{2}\right) + \tan \left(\frac{B}{2}\right) = -\frac{b_1}{a_1}$.
બીજનો ગુણાકાર: $\tan \left(\frac{A}{2}\right) \cdot \tan \left(\frac{B}{2}\right) = \frac{c_1}{a_1}$.
સૂત્ર $\tan \left(\frac{A}{2} + \frac{B}{2}\right) = \frac{\tan \left(\frac{A}{2}\right) + \tan \left(\frac{B}{2}\right)}{1 - \tan \left(\frac{A}{2}\right) \tan \left(\frac{B}{2}\right)}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\tan \left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{-\frac{b_1}{a_1}}{1 - \frac{c_1}{a_1}}$.
$1 = \frac{-b_1}{a_1 - c_1}$.
$a_1 - c_1 = -b_1$,જેનો અર્થ છે કે $a_1 + b_1 = c_1$.

(C) આપેલ સમીકરણો $\cos \theta = \frac{1}{\sqrt{2}}$ અને $\tan \theta = -1$ છે,જ્યાં $\theta \in [0, 2\pi]$.
$\cos \theta = \frac{1}{\sqrt{2}}$ માટે,$\theta$ ના શક્ય મૂલ્યો $\frac{\pi}{4}$ અને $\frac{7\pi}{4}$ છે.
$\tan \theta = -1$ માટે,$\theta$ ના શક્ય મૂલ્યો $\frac{3\pi}{4}$ અને $\frac{7\pi}{4}$ છે.
બંને સમીકરણોનું સમાધાન કરતું સામાન્ય મૂલ્ય $\theta = \frac{7\pi}{4}$ છે.

(D) $\triangle ABC$ માં પ્રોજેક્શન નિયમનો ઉપયોગ કરતા,આપણી પાસે $c = a \cos B + b \cos A$ અને $b = a \cos C + c \cos A$ છે.
આપેલ પદાવલિ $E = \frac{\cos B+\cos C}{b+c}+\frac{\cos A}{a}$ છે.
સામાન્ય છેદ લેતા: $E = \frac{a(\cos B+\cos C) + (b+c)\cos A}{a(b+c)}$.
અંશનું વિસ્તરણ કરતા: $E = \frac{a \cos B + a \cos C + b \cos A + c \cos A}{a(b+c)}$.
પદોને ગોઠવતા: $E = \frac{(a \cos B + b \cos A) + (a \cos C + c \cos A)}{a(b+c)}$.
પ્રોજેક્શન નિયમો મૂકતા: $E = \frac{c + b}{a(b+c)}$.
સાદું રૂપ આપતા: $E = \frac{b+c}{a(b+c)} = \frac{1}{a}$.

(A) આપેલ સમીકરણ: $a \cos 2 \theta + b \sin 2 \theta = c$
નિત્યસમ $\cos 2 \theta = \frac{1 - \tan^2 \theta}{1 + \tan^2 \theta}$ અને $\sin 2 \theta = \frac{2 \tan \theta}{1 + \tan^2 \theta}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$a \left( \frac{1 - \tan^2 \theta}{1 + \tan^2 \theta} \right) + b \left( \frac{2 \tan \theta}{1 + \tan^2 \theta} \right) = c$
બંને બાજુ $(1 + \tan^2 \theta)$ વડે ગુણતા:
$a(1 - \tan^2 \theta) + 2b \tan \theta = c(1 + \tan^2 \theta)$
$a - a \tan^2 \theta + 2b \tan \theta = c + c \tan^2 \theta$
$\tan \theta$ માં દ્વિઘાત સમીકરણ મેળવવા માટે પદોને ગોઠવતા:
$(a + c) \tan^2 \theta - 2b \tan \theta + (c - a) = 0$
$\alpha$ અને $\beta$ બીજ હોવાથી,$\tan \alpha$ અને $\tan \beta$ એ આ દ્વિઘાત સમીકરણના બીજ છે.
દ્વિઘાત સમીકરણ $Ax^2 + Bx + C = 0$ માટે બીજનો સરવાળો $-\frac{B}{A}$ થાય છે:
$\tan \alpha + \tan \beta = -\frac{-2b}{a + c} = \frac{2b}{c + a}$

(C) આપેલ છે કે $a, b, c$ એ $A.P.$ માં છે,તેથી $2b = a + c$.
આપણે $a \cos ^2 \frac{C}{2} + c \cos ^2 \frac{A}{2}$ ની કિંમત શોધવાની છે.
નિત્યસમ $\cos ^2 \theta = \frac{1 + \cos 2\theta}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$a \left( \frac{1 + \cos C}{2} \right) + c \left( \frac{1 + \cos A}{2} \right)$
$= \frac{a + a \cos C + c + c \cos A}{2}$
$= \frac{(a + c) + (a \cos C + c \cos A)}{2}$
પ્રક્ષેપ સૂત્ર મુજબ,$b = a \cos C + c \cos A$.
$a + c = 2b$ અને $a \cos C + c \cos A = b$ મૂકતા:
$= \frac{2b + b}{2} = \frac{3b}{2}$.

(D) ચક્રીય ચતુષ્કોણ $ABCD$ હોવાથી,સામસામેના ખૂણાઓનો સરવાળો $180^{\circ}$ થાય છે.
તેથી,$A + C = 180^{\circ}$ અને $B + D = 180^{\circ}$.
આનો અર્થ એ છે કે $A = 180^{\circ} - C$ અને $B = 180^{\circ} - D$.
ગુણધર્મ $\cos(180^{\circ} - \theta) = -\cos \theta$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\cos A = \cos(180^{\circ} - C) = -\cos C \implies \cos A + \cos C = 0$.
$\cos B = \cos(180^{\circ} - D) = -\cos D \implies \cos B + \cos D = 0$.
આ બંનેનો સરવાળો કરતા,$\cos A + \cos B + \cos C + \cos D = 0 + 0 = 0$ મળે છે.

(B) આપેલ છે કે $a^2, b^2, c^2$ એ $A$.$P$. માં છે,તેથી $2b^2 = a^2 + c^2$.
નિત્યસમ $\sin 3B = 3\sin B - 4\sin^3 B$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $\frac{\sin 3B}{\sin B} = 3 - 4\sin^2 B$ મળે છે.
$\sin^2 B = 1 - \cos^2 B$ મૂકતા,આપણને $3 - 4(1 - \cos^2 B) = 4\cos^2 B - 1$ મળે છે.
કોસાઇન નિયમ $\cos B = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac}$ નો ઉપયોગ કરીને,$a^2 + c^2 = 2b^2$ મૂકતા:
$\cos B = \frac{2b^2 - b^2}{2ac} = \frac{b^2}{2ac}$.
તેથી,$4\cos^2 B - 1 = 4\left(\frac{b^2}{2ac}\right)^2 - 1 = \frac{4b^4}{4a^2c^2} - 1 = \frac{b^4 - a^2c^2}{a^2c^2}$.
કારણ કે $b^2 = \frac{a^2 + c^2}{2}$,તેથી $b^4 = \frac{(a^2 + c^2)^2}{4}$.
આ કિંમત મૂકતા: $\frac{\frac{(a^2 + c^2)^2}{4} - a^2c^2}{a^2c^2} = \frac{(a^2 + c^2)^2 - 4a^2c^2}{4a^2c^2} = \frac{(a^2 - c^2)^2}{4a^2c^2} = \left(\frac{a^2 - c^2}{2ac}\right)^2$.

(A) કોઈપણ $\triangle ABC$ માં,ટેન્જેન્ટના સરવાળા માટેનું નિત્યસમ $\tan A + \tan B + \tan C = \tan A \tan B \tan C$ છે.
આપેલ છે કે $\tan A + \tan B + \tan C = 6$,તેથી $\tan A \tan B \tan C = 6$ થાય.
આપણને $\tan A \cdot \tan B = 2$ પણ આપેલ છે.
આ કિંમતને નિત્યસમમાં મૂકતા,$2 \cdot \tan C = 6$ મળે.
તેથી,$\tan C = \frac{6}{2} = 3$.

(B) ધારો કે બાજુઓ $a = \sin \theta$,$b = \cos \theta$,અને $c = \sqrt{1 + \sin \theta \cos \theta}$ છે.
$0 < \theta < \frac{\pi}{2}$ હોવાથી,$\sin \theta$ અને $\cos \theta$ બંને ધન છે અને $1$ કરતા નાના છે.
બાજુઓના વર્ગોની સરખામણી કરતા: $a^2 = \sin^2 \theta$,$b^2 = \cos^2 \theta$,અને $c^2 = 1 + \sin \theta \cos \theta$.
$c^2 = \sin^2 \theta + \cos^2 \theta + \sin \theta \cos \theta$ હોવાથી,સ્પષ્ટ છે કે $c^2 > a^2$ અને $c^2 > b^2$,તેથી $c$ સૌથી મોટી બાજુ છે.
સૌથી મોટો ખૂણો $C$ એ બાજુ $c$ ની સામેનો ખૂણો છે.
કોસાઇનના નિયમનો ઉપયોગ કરતા: $\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}$.
$\cos C = \frac{\sin^2 \theta + \cos^2 \theta - (1 + \sin \theta \cos \theta)}{2 \sin \theta \cos \theta}$.
$\cos C = \frac{1 - 1 - \sin \theta \cos \theta}{2 \sin \theta \cos \theta} = \frac{-\sin \theta \cos \theta}{2 \sin \theta \cos \theta} = -\frac{1}{2}$.
$\cos C = -\frac{1}{2}$ હોવાથી,$C = 120^{\circ} = \frac{2 \pi}{3}$.

(C) આપેલ સમીકરણ: $\sqrt{3} \sec x+\operatorname{cosec} x+2(\tan x-\cot x)=0$
$2$ વડે ભાગતા: $\frac{\sqrt{3}}{2} \sec x+\frac{1}{2} \operatorname{cosec} x=\cot x-\tan x$
$\sin x$ અને $\cos x$ માં રૂપાંતર કરતા: $\frac{\sqrt{3}}{2 \cos x}+\frac{1}{2 \sin x}=\frac{\cos x}{\sin x}-\frac{\sin x}{\cos x}$
$\sin x \cos x$ વડે ગુણતા: $\frac{\sqrt{3}}{2} \sin x+\frac{1}{2} \cos x=\cos^2 x-\sin^2 x$
$\cos(A-B)$ અને $\cos 2x$ ના સૂત્રોનો ઉપયોગ કરતા: $\cos(x-\frac{\pi}{6})=\cos 2x$
વ્યાપક ઉકેલ: $2x = 2n\pi \pm (x-\frac{\pi}{6})$
કિસ્સો $1$: $2x = 2n\pi + x - \frac{\pi}{6} \implies x = 2n\pi - \frac{\pi}{6}$
$n=0$ માટે,$x=-\frac{\pi}{6} \in S$. $n=1$ માટે,$x=\frac{11\pi}{6} \notin S$.
કિસ્સો $2$: $2x = 2n\pi - (x - \frac{\pi}{6}) \implies 3x = 2n\pi + \frac{\pi}{6} \implies x = \frac{2n\pi}{3} + \frac{\pi}{18}$
$n=0$ માટે,$x=\frac{\pi}{18} \in S$. $n=1$ માટે,$x=\frac{13\pi}{18} \in S$. $n=-1$ માટે,$x=-\frac{11\pi}{18} \in S$.
ઉકેલોનો સરવાળો: $-\frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{18} + \frac{13\pi}{18} - \frac{11\pi}{18} = \frac{-3\pi + \pi + 13\pi - 11\pi}{18} = 0$.

(C) $\triangle ABC$ માં,$C$ કાટખૂણો છે,ખૂણા $A, B, C$ ની સામેની બાજુઓ અનુક્રમે $a, b, c$ છે.
$\tan A = \frac{\text{સામેની બાજુ}}{\text{પાસેની બાજુ}} = \frac{a}{b}$
$\tan B = \frac{\text{સામેની બાજુ}}{\text{પાસેની બાજુ}} = \frac{b}{a}$
$\tan A + \tan B = \frac{a}{b} + \frac{b}{a}$
$= \frac{a^2 + b^2}{ab}$
પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ,$a^2 + b^2 = c^2$.
તેથી,$\tan A + \tan B = \frac{c^2}{ab}$.

(C) આપેલ છે કે,$a=2$.
$\triangle ABC$ માં,$B=\tan ^{-1}(\frac{1}{2})$ અને $C=\tan ^{-1}(\frac{1}{3})$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\triangle ABC$ માં,$A+B+C=\pi$.
$A = \pi - (B+C) = \pi - (\tan ^{-1}(\frac{1}{2}) + \tan ^{-1}(\frac{1}{3}))$.
સૂત્ર $\tan ^{-1} x + \tan ^{-1} y = \tan ^{-1}(\frac{x+y}{1-xy})$ નો ઉપયોગ કરતા:
$B+C = \tan ^{-1}(\frac{1/2 + 1/3}{1 - 1/6}) = \tan ^{-1}(\frac{5/6}{5/6}) = \tan ^{-1}(1) = \frac{\pi}{4}$.
તેથી,$A = \pi - \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4}$.
હવે,$\sin A = \sin(\frac{3\pi}{4}) = \sin(135^{\circ}) = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
કારણ કે $\tan B = \frac{1}{2}$,તેથી $\sin B = \frac{1}{\sqrt{1^2+2^2}} = \frac{1}{\sqrt{5}}$.
સાઇન નિયમ મુજબ,$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B}$.
$b = a \cdot \frac{\sin B}{\sin A} = 2 \cdot \frac{1/\sqrt{5}}{1/\sqrt{2}} = \frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{5}}$.
તેથી,$(A, b) = (\frac{3\pi}{4}, \frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{5}})$.

(A) આપેલ છે,$R = \frac{\pi}{4}$.
$P+Q+R = \pi$ હોવાથી,$P+Q = \pi - \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4}$.
$3$ વડે ભાગતા,$\frac{P}{3} + \frac{Q}{3} = \frac{\pi}{4}$ મળે.
બંને બાજુ ટેન્જન્ટ લેતા,$\tan(\frac{P}{3} + \frac{Q}{3}) = \tan(\frac{\pi}{4}) = 1$.
સૂત્ર $\tan(A+B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B}$ નો ઉપયોગ કરતા,$\frac{\tan(\frac{P}{3}) + \tan(\frac{Q}{3})}{1 - \tan(\frac{P}{3})\tan(\frac{Q}{3})} = 1$.
$\tan(\frac{P}{3})$ અને $\tan(\frac{Q}{3})$ એ $ax^2 + bx + c = 0$ ના બીજ હોવાથી,બીજનો સરવાળો $-\frac{b}{a}$ અને ગુણાકાર $\frac{c}{a}$ થાય.
આ કિંમતો સમીકરણમાં મૂકતા: $\frac{-b/a}{1 - c/a} = 1$.
આથી $\frac{-b}{a-c} = 1$,જેનો અર્થ છે કે $-b = a - c$,અથવા $a+b = c$.

(A) આપેલ છે કે $r_1, r_2, r_3$ એ $HP$ માં છે.
$r_1 = \frac{\Delta}{s-a}$,$r_2 = \frac{\Delta}{s-b}$,અને $r_3 = \frac{\Delta}{s-c}$ હોવાથી,જ્યાં $\Delta$ એ ક્ષેત્રફળ છે અને $s$ એ અર્ધ-પરિમિતિ છે.
$r_1, r_2, r_3$ એ $HP$ માં હોવા માટે:
$\frac{2}{r_2} = \frac{1}{r_1} + \frac{1}{r_3}$
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{2(s-b)}{\Delta} = \frac{s-a}{\Delta} + \frac{s-c}{\Delta}$
$2s - 2b = s - a + s - c$
$2s - 2b = 2s - (a + c)$
$-2b = -(a + c)$
$2b = a + c$
આ દર્શાવે છે કે $a, b$ અને $c$ એ $AP$ માં છે.

(B) આપેલ છે: $\sin^2 B = \sin A$ અને $2 \cos^2 A = 3 \cos^2 B$.
$\cos^2 \theta = 1 - \sin^2 \theta$ નો ઉપયોગ કરતા,$2(1 - \sin^2 A) = 3(1 - \sin^2 B)$.
$\sin^2 B = \sin A$ મૂકતા,$2 - 2 \sin^2 A = 3 - 3 \sin A$.
તેથી $2 \sin^2 A - 3 \sin A + 1 = 0$.
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા: $(2 \sin A - 1)(\sin A - 1) = 0$.
આથી $\sin A = 1/2$ અથવા $\sin A = 1$.
જો $\sin A = 1$,તો $A = 90^\circ$. જો $A = 90^\circ$,તો $\sin^2 B = 1$,તેથી $B = 90^\circ$. ત્રિકોણમાં $A+B+C = 180^\circ$ હોવાથી આ શક્ય નથી.
જો $\sin A = 1/2$,તો $A = 30^\circ$ અથવા $150^\circ$.
જો $A = 30^\circ$,તો $\sin^2 B = 1/2$,તેથી $\cos^2 B = 1/2$.
બીજા સમીકરણમાં કિંમત મૂકતા: $2 \cos^2 30^\circ = 2(3/4) = 3/2$ અને $3 \cos^2 B = 3(1/2) = 3/2$.
બંને સમાન હોવાથી,ત્રિકોણ ગુરુકોણ ત્રિકોણ છે.

(C) આપેલ છે કે $\cos ^2 A + \cos ^2 B + \cos ^2 C = 1$.
$\cos ^2 C = 1 - \sin ^2 C$ નિત્યસમનો ઉપયોગ કરતા:
$\cos ^2 A + \cos ^2 B + 1 - \sin ^2 C = 1$
$\Rightarrow \cos ^2 A + \cos ^2 B = \sin ^2 C$
$\triangle ABC$ માં $C = 180^{\circ} - (A + B)$,તેથી $\sin C = \sin(A + B)$.
$\Rightarrow \cos ^2 A + \cos ^2 B = \sin ^2(A + B)$
આ સમીકરણને ઉકેલતા આપણને મળે છે:
$2 \cos A \cos B \cos C = 0$
તેથી,$\cos A = 0$ અથવા $\cos B = 0$ અથવા $\cos C = 0$.
આનો અર્થ એ છે કે $A = 90^{\circ}$ અથવા $B = 90^{\circ}$ અથવા $C = 90^{\circ}$.
તેથી,$\triangle ABC$ એ કાટકોણ ત્રિકોણ છે.

(C) આપેલ છે કે $\cos 3A + \cos 3B + \cos 3C + \cos 3\pi = 0$. $\cos 3\pi = -1$ હોવાથી,$\cos 3A + \cos 3B + \cos 3C = 1$.
$A+B+C = \pi$ માટે નિત્યસમ $\cos 3A + \cos 3B + \cos 3C = 1 - 4 \cos \frac{3A}{2} \cos \frac{3B}{2} \cos \frac{3C}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$1 - 4 \cos \frac{3A}{2} \cos \frac{3B}{2} \cos \frac{3C}{2} = 1$
$\Rightarrow 4 \cos \frac{3A}{2} \cos \frac{3B}{2} \cos \frac{3C}{2} = 0$.
આનો અર્થ એ છે કે $\cos \frac{3A}{2} = 0$ અથવા $\cos \frac{3B}{2} = 0$ અથવા $\cos \frac{3C}{2} = 0$.
$\triangle ABC$ માટે,$0 < A, B, C < \pi$,તેથી $0 < \frac{3A}{2} < \frac{3\pi}{2}$.
$\cos \frac{3A}{2} = 0$ $\Rightarrow \frac{3A}{2} = \frac{\pi}{2}$ $\Rightarrow A = \frac{\pi}{3}$.
જો એક ખૂણો $\frac{\pi}{3}$ હોય,તો બાકીના બે ખૂણાઓનો સરવાળો $\pi - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}$ થાય.
પરંતુ,જો આપણે એવો કિસ્સો લઈએ કે જેમાં એક ખૂણો $\frac{2\pi}{3}$ હોય,તો બાકીના બેનો સરવાળો $\frac{\pi}{3}$ થાય.
આમ,બે ખૂણાઓના સરવાળાનું ન્યૂનતમ મૂલ્ય $\frac{\pi}{3}$ છે.

(B) ધારો કે ત્રિકોણ $ABC$ છે.
વર્તુળના કેન્દ્ર પર જીવા દ્વારા બનતો ખૂણો પરિઘ પર બનતા ખૂણા કરતા બમણો હોય છે,તેથી $\angle A = \frac{\alpha}{2}$,$\angle B = \frac{\beta}{2}$,$\angle C = \frac{\gamma}{2}$.
$A+B+C = \pi$ હોવાથી,$\alpha + \beta + \gamma = 2\pi$ મળે.
આપેલ પદોનો $A.M.$ $\frac{1}{3} [\cos (\alpha + \frac{\pi}{2}) + \cos (\beta + \frac{\pi}{2}) + \cos (\gamma + \frac{\pi}{2})]$ છે.
$\cos(\theta + \frac{\pi}{2}) = -\sin \theta$ નો ઉપયોગ કરતા,આ $-\frac{1}{3} [\sin \alpha + \sin \beta + \sin \gamma]$ થાય.
$\sin \alpha + \sin \beta + \sin \gamma = 4 \sin A \sin B \sin C$ હોવાથી,$A.M. = -\frac{4}{3} \sin A \sin B \sin C$ મળે.
$A+B+C = \pi$ માટે,$\sin A \sin B \sin C$ નું મહત્તમ મૂલ્ય $A=B=C = \frac{\pi}{3}$ પર મળે છે.
તેથી,ન્યૂનતમ મૂલ્ય $-\frac{4}{3} (\sin \frac{\pi}{3})^3 = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ થાય.

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે $r = \frac{\Delta}{s}$,$r_1 = \frac{\Delta}{s-a}$,$r_2 = \frac{\Delta}{s-b}$,$r_3 = \frac{\Delta}{s-c}$,અને $\cot \frac{A}{2} = \frac{s(s-a)}{\Delta}$.
આ કિંમતોને પદાવલિમાં મૂકતા:
$r r_1 \cot \frac{A}{2} = \left(\frac{\Delta}{s}\right) \left(\frac{\Delta}{s-a}\right) \left(\frac{s(s-a)}{\Delta}\right) = \Delta$.
તે જ રીતે,$r r_2 \cot \frac{B}{2} = \Delta$ અને $r r_3 \cot \frac{C}{2} = \Delta$.
તેથી,સરવાળો $\Delta + \Delta + \Delta = 3 \Delta$ થાય.

(B) આપેલ છે કે $A, B, C$ સમાંતર શ્રેણીમાં છે,તેથી $2B = A + C$. $A + B + C = 180^{\circ}$ હોવાથી,$3B = 180^{\circ}$,એટલે કે $B = 60^{\circ}$.
$B = 60^{\circ}$ ને સમીકરણમાં મૂકતા: $\cos A + \cos 60^{\circ} + \cos C = \frac{1 + \sqrt{2} + \sqrt{3}}{2 \sqrt{2}}$.
$\cos A + \cos C = \frac{1 + \sqrt{2} + \sqrt{3}}{2 \sqrt{2}} - \frac{1}{2} = \frac{1 + \sqrt{3}}{2 \sqrt{2}}$.
સરવાળાથી ગુણાકારના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $2 \cos \left( \frac{A+C}{2} \right) \cos \left( \frac{A-C}{2} \right) = \frac{1 + \sqrt{3}}{2 \sqrt{2}}$.
$A+C = 120^{\circ}$ હોવાથી,$\frac{A+C}{2} = 60^{\circ}$,તેથી $\cos \left( \frac{A-C}{2} \right) = \frac{1 + \sqrt{3}}{2 \sqrt{2}} = \cos 75^{\circ}$.
આમ,$\frac{A-C}{2} = 15^{\circ}$,એટલે કે $A-C = 30^{\circ}$.
$A+C = 120^{\circ}$ અને $A-C = 30^{\circ}$ ઉકેલતા $A = 75^{\circ}$ મળે.
છેલ્લે,$\tan A = \tan 75^{\circ} = 2 + \sqrt{3}$.

(B) આપેલ પદાવલિ: $\frac{\sin A+\sin B+\sin C}{\sin ^2 \frac{A}{2}-\sin ^2 \frac{B}{2}+\sin ^2 \frac{C}{2}-1}$
$\sin A + \sin B = 2 \sin \frac{A+B}{2} \cos \frac{A-B}{2}$ અને $\sin C = 2 \sin \frac{C}{2} \cos \frac{C}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા,અંશ $2 \cos \frac{C}{2} (\cos \frac{A-B}{2} + \sin \frac{C}{2})$ બને છે.
$A+B+C = \pi$ હોવાથી,$\sin \frac{C}{2} = \cos \frac{A+B}{2}$.
અંશ $= 2 \cos \frac{C}{2} (\cos \frac{A-B}{2} + \cos \frac{A+B}{2}) = 4 \cos \frac{A}{2} \cos \frac{B}{2} \cos \frac{C}{2}$.
છેદ માટે: $\sin ^2 \frac{A}{2} - \sin ^2 \frac{B}{2} + \sin ^2 \frac{C}{2} - 1 = \sin ^2 \frac{A}{2} - \sin ^2 \frac{B}{2} - \cos ^2 \frac{C}{2} = \sin(\frac{A-B}{2}) \sin(\frac{A+B}{2}) - \cos^2 \frac{C}{2}$.
$\sin(\frac{A+B}{2}) = \cos \frac{C}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા,છેદ $= \cos \frac{C}{2} (\sin \frac{A-B}{2} - \sin \frac{A+B}{2}) = \cos \frac{C}{2} (-2 \cos \frac{A}{2} \sin \frac{B}{2})$.
અંશને છેદ વડે ભાગતા: $\frac{4 \cos \frac{A}{2} \cos \frac{B}{2} \cos \frac{C}{2}}{-2 \cos \frac{A}{2} \sin \frac{B}{2} \cos \frac{C}{2}} = -2 \cot \frac{B}{2}$.

(D) આપેલ છે કે $3 \cos^2 B = 2 \cos^2 C$.
$\cos^2 \theta = 1 - \sin^2 \theta$ મૂકતા,$3(1 - \sin^2 B) = 2(1 - \sin^2 C)$ મળે.
$\sin^2 B = \sin C$ હોવાથી,સમીકરણમાં કિંમત મૂકતા:
$3(1 - \sin C) = 2(1 - \sin^2 C)$.
$3 - 3 \sin C = 2 - 2 \sin^2 C$.
$2 \sin^2 C - 3 \sin C + 1 = 0$.
$(2 \sin C - 1)(\sin C - 1) = 0$.
તેથી,$\sin C = \frac{1}{2}$ અથવા $\sin C = 1$.
જો $\sin C = 1$ હોય,તો $C = \frac{\pi}{2}$,જેનો અર્થ છે કે $\sin^2 B = \sin C = 1$,તેથી $B = \frac{\pi}{2}$. ત્રિકોણમાં $B+C = \pi$ હોવાથી આ શક્ય નથી.
તેથી,$\sin C = \frac{1}{2}$,એટલે કે $C = \frac{\pi}{6}$ અથવા $C = \frac{5\pi}{6}$.
જો $C = \frac{\pi}{6}$ હોય,તો $\sin^2 B = \sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$,તેથી $\sin B = \frac{1}{\sqrt{2}}$,જેનો અર્થ છે કે $B = \frac{\pi}{4}$ અથવા $B = \frac{3\pi}{4}$.
જો $B = \frac{\pi}{4}$ અને $C = \frac{\pi}{6}$ હોય,તો $A = \pi - (\frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{6}) = \frac{7\pi}{12}$.
બધા ખૂણા $A, B, C$ અલગ હોવાથી,$\triangle ABC$ એ વિષમબાજુ ત્રિકોણ છે.

(B) આપેલ છે $7 \cos \theta - \sin \theta = 5$.
સમીકરણને ફરીથી ગોઠવતા,$\sin \theta = 7 \cos \theta - 5$ મળે.
નિત્યસમ $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ નો ઉપયોગ કરીને,$\sin \theta$ ની કિંમત મૂકતા:
$(7 \cos \theta - 5)^2 + \cos^2 \theta = 1$.
$49 \cos^2 \theta - 70 \cos \theta + 25 + \cos^2 \theta = 1$.
$50 \cos^2 \theta - 70 \cos \theta + 24 = 0$.
$2$ વડે ભાગતા,$25 \cos^2 \theta - 35 \cos \theta + 12 = 0$ મળે.
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા: $(5 \cos \theta - 3)(5 \cos \theta - 4) = 0$.
તેથી,$\cos \theta = \frac{3}{5}$ અથવા $\cos \theta = \frac{4}{5}$.
જો $\cos \theta = \frac{3}{5}$ હોય,તો $\sin \theta = 7(\frac{3}{5}) - 5 = -\frac{4}{5}$. અહીં $\tan \theta = -\frac{4}{3} < 0$.
જો $\cos \theta = \frac{4}{5}$ હોય,તો $\sin \theta = 7(\frac{4}{5}) - 5 = \frac{3}{5}$. અહીં $\tan \theta = \frac{3}{4} > 0$.
કારણ કે $\tan \theta > 0$ છે,તેથી સાચો જવાબ $\tan \theta = \frac{3}{4}$ છે.

(A) વિધાન-$I$ માટે:
સમીકરણ $1$: $2 \sin^2 \theta - \cos 2\theta = 0$
$\cos 2\theta = 1 - 2 \sin^2 \theta$ નો ઉપયોગ કરતા,$2 \sin^2 \theta - (1 - 2 \sin^2 \theta) = 0 \implies 4 \sin^2 \theta = 1 \implies \sin^2 \theta = \frac{1}{4} \implies \sin \theta = \pm \frac{1}{2}$.
$[0, 2\pi]$ માં,$\theta = \frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}, \frac{7\pi}{6}, \frac{11\pi}{6}$.
સમીકરણ $2$: $2 \cos^2 \theta - 3 \sin \theta = 0$
$\cos^2 \theta = 1 - \sin^2 \theta$ નો ઉપયોગ કરતા,$2(1 - \sin^2 \theta) - 3 \sin \theta = 0 \implies 2 \sin^2 \theta + 3 \sin \theta - 2 = 0$.
$(2 \sin \theta - 1)(\sin \theta + 2) = 0$.
$\sin \theta \neq -2$ હોવાથી,$\sin \theta = \frac{1}{2}$.
$[0, 2\pi]$ માં,$\theta = \frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}$.
સામાન્ય ઉકેલો $\frac{\pi}{6}$ અને $\frac{5\pi}{6}$ છે,તેથી બે સામાન્ય ઉકેલો છે. વિધાન-$I$ સાચું છે.
વિધાન-$II$ માટે:
$[0, \pi]$ માં $2 \cos^2 \theta - 3 \sin \theta = 0$ ના ઉકેલો $\theta = \frac{\pi}{6}$ અને $\theta = \frac{5\pi}{6}$ છે. બે ઉકેલો છે. વિધાન-$II$ સાચું છે.

(C) આપેલ સમીકરણ: $2 \sin x - \cos 2x = 1$.
નિત્યસમ $\cos 2x = 1 - 2 \sin^2 x$ નો ઉપયોગ કરતા:
$2 \sin x - (1 - 2 \sin^2 x) = 1$
$2 \sin x - 1 + 2 \sin^2 x = 1$
$2 \sin^2 x + 2 \sin x - 2 = 0$
$2$ વડે ભાગતા:
$\sin^2 x + \sin x - 1 = 0$
$\sin^2 x = 1 - \sin x$
આપણે $(3 - 2 \sin^2 x)$ ની કિંમત શોધવાની છે.
$\sin^2 x = 1 - \sin x$ મૂકતા:
$3 - 2(1 - \sin x) = 3 - 2 + 2 \sin x = 1 + 2 \sin x$.
$\sin^2 x + \sin x - 1 = 0$ પરથી,$\sin x = \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2}$.
$\sin x \in [-1, 1]$ હોવાથી,$\sin x = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ લેતા.
તેથી $1 + 2 \sin x = 1 + 2(\frac{\sqrt{5} - 1}{2}) = 1 + \sqrt{5} - 1 = \sqrt{5}$.

(C) આપેલ છે: $\cos A \cos B \cos C = \frac{1}{5}$.
$\triangle ABC$ માં,$A+B+C = \pi$,તેથી $A+B = \pi - C$.
બંને બાજુ કોસાઇન લેતા: $\cos(A+B) = \cos(\pi - C) = -\cos C$.
$\cos A \cos B - \sin A \sin B = -\cos C$.
$\sin A \sin B = \cos A \cos B + \cos C$.
$\cos A \cos B$ વડે ભાગતા,$\tan A \tan B = 1 + \frac{\cos C}{\cos A \cos B}$ મળે.
તે જ રીતે,$\tan B \tan C = 1 + \frac{\cos A}{\cos B \cos C}$ અને $\tan C \tan A = 1 + \frac{\cos B}{\cos C \cos A}$.
આ ત્રણેય સમીકરણોનો સરવાળો કરતા:
$\sum \tan A \tan B = 3 + \frac{\cos^2 C + \cos^2 A + \cos^2 B}{\cos A \cos B \cos C}$.
$\triangle ABC$ માટે નિત્યસમ $\cos^2 A + \cos^2 B + \cos^2 C = 1 - 2 \cos A \cos B \cos C$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\sum \tan A \tan B = 3 + \frac{1 - 2 \cos A \cos B \cos C}{\cos A \cos B \cos C} = 3 + \frac{1}{\cos A \cos B \cos C} - 2$.
$\cos A \cos B \cos C = \frac{1}{5}$ મૂકતા:
$\sum \tan A \tan B = 3 + 5 - 2 = 6$.

(C) આપેલ સમીકરણ $4 \sin^3 x - 3 \sin x + a = 0$ છે.
પદોને ગોઠવતા,$a = 3 \sin x - 4 \sin^3 x$ મળે.
નિત્યસમ $\sin 3x = 3 \sin x - 4 \sin^3 x$ નો ઉપયોગ કરતા,સમીકરણ $\sin 3x = a$ બને છે.
કારણ કે $\angle P$ અને $\angle Q$ આ સમીકરણનું સમાધાન કરે છે,તેથી $\sin 3P = a$ અને $\sin 3Q = a$ થાય.
આમ,$\sin 3P = \sin 3Q$.
$\angle P > \angle Q$ હોવાથી,આપણે જાણીએ છીએ કે $3P + 3Q = \pi$ થાય.
તેથી,$3(P + Q) = \pi$,જેનો અર્થ છે કે $P + Q = \frac{\pi}{3}$.
$\triangle PQR$ માં,$P + Q + R = \pi$ થાય.
$P + Q = \frac{\pi}{3}$ મૂકતા,$R = \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}$ મળે.

(C) સમીકરણ $\tan x - x = 0$ ના બીજ શોધવા માટે,આપણે $y = \tan x$ અને $y = x$ ના આલેખના છેદબિંદુઓ શોધીએ છીએ.
$x = 0$ આગળ,બંને વિધેયો શૂન્ય છે,પરંતુ આપણે સૌથી નાનું ધન બીજ શોધવાનું છે.
$x \in (0, \frac{\pi}{2})$ માટે,$\tan x > x$ છે,તેથી આ અંતરાલમાં કોઈ બીજ નથી.
$x \in (\frac{\pi}{2}, \pi)$ માટે,$\tan x$ ઋણ છે જ્યારે $x$ ધન છે,તેથી કોઈ બીજ નથી.
$x \in (\pi, \frac{3\pi}{2})$ માટે,$y = \tan x$ નો આલેખ $-\infty$ થી શરૂ થઈને $+\infty$ સુધી વધે છે,જ્યારે $y = x$ એ ધન ઢાળવાળી રેખા છે. તેઓ $(\pi, \frac{3\pi}{2})$ અંતરાલમાં એક બિંદુએ છેદે છે.
આમ,સૌથી નાનું ધન બીજ $(\pi, \frac{3\pi}{2})$ અંતરાલમાં આવેલું છે.

(B) $\triangle ABC$ માં,નેપિયરના સાદ્રશ્યનો ઉપયોગ કરતા: $\tan \left(\frac{B-C}{2}\right) = \frac{b-c}{b+c} \cot \frac{A}{2}$.
આપેલ $x = \tan \left(\frac{B-C}{2}\right) \tan \frac{A}{2}$ માં કિંમત મૂકતા,$x = \frac{b-c}{b+c} \cot \frac{A}{2} \tan \frac{A}{2} = \frac{b-c}{b+c}$ મળે.
તે જ રીતે,$y = \frac{c-a}{c+a}$ અને $z = \frac{a-b}{a+b}$ મળે.
હવે,$\frac{1+x}{1-x} = \frac{1 + \frac{b-c}{b+c}}{1 - \frac{b-c}{b+c}} = \frac{b+c+b-c}{b+c-b+c} = \frac{b}{c}$ થાય.
તે જ રીતે,$\frac{1+y}{1-y} = \frac{c}{a}$ અને $\frac{1+z}{1-z} = \frac{a}{b}$ થાય.
આ ત્રણેયનો ગુણાકાર કરતા,$\left(\frac{1+x}{1-x}\right) \left(\frac{1+y}{1-y}\right) \left(\frac{1+z}{1-z}\right) = \frac{b}{c} \cdot \frac{c}{a} \cdot \frac{a}{b} = 1$ મળે.
આથી $(1+x)(1+y)(1+z) = (1-x)(1-y)(1-z)$ થાય.
બંને બાજુ વિસ્તરણ કરતા: $1 + (x+y+z) + (xy+yz+zx) + xyz = 1 - (x+y+z) + (xy+yz+zx) - xyz$.
સાદુરૂપ આપતા,$2(x+y+z) = -2xyz$,એટલે કે $x+y+z = -xyz$ મળે.

(D) આપેલ સમીકરણોની સિસ્ટમ:
$x+y = \frac{2 \pi}{3}$ $(i)$
$\cos x + \cos y = \frac{3}{2}$ (ii)
સરવાળાથી ગુણાકારના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$\cos x + \cos y = 2 \cos \left(\frac{x+y}{2}\right) \cos \left(\frac{x-y}{2}\right)$.
$(i)$ ને સૂત્રમાં મૂકતા:
$2 \cos \left(\frac{1}{2} \cdot \frac{2 \pi}{3}\right) \cos \left(\frac{x-y}{2}\right) = \frac{3}{2}$
$2 \cos \left(\frac{\pi}{3}\right) \cos \left(\frac{x-y}{2}\right) = \frac{3}{2}$
કારણ કે $\cos \left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2}$,તેથી:
$2 \left(\frac{1}{2}\right) \cos \left(\frac{x-y}{2}\right) = \frac{3}{2}$
$\cos \left(\frac{x-y}{2}\right) = \frac{3}{2}$
કોસાઇન વિધેયનો વિસ્તાર $[-1, 1]$ હોવાથી,સમીકરણ $\cos \left(\frac{x-y}{2}\right) = \frac{3}{2}$ નો કોઈ વાસ્તવિક ઉકેલ નથી.
તેથી,સમીકરણોની સિસ્ટમનો ઉકેલ ગણ ખાલી છે.

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે $\triangle ABC$ માટે,$\tan \left(\frac{A}{2}\right) \tan \left(\frac{B}{2}\right) + \tan \left(\frac{B}{2}\right) \tan \left(\frac{C}{2}\right) + \tan \left(\frac{C}{2}\right) \tan \left(\frac{A}{2}\right) = 1$.
ત્રિકોણ માટે,$\tan \left(\frac{A}{2}\right), \tan \left(\frac{B}{2}\right), \tan \left(\frac{C}{2}\right) > 0$ છે.
$AM \geq GM$ અસમતાનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{\tan \left(\frac{A}{2}\right) \tan \left(\frac{B}{2}\right) + \tan \left(\frac{B}{2}\right) \tan \left(\frac{C}{2}\right) + \tan \left(\frac{C}{2}\right) \tan \left(\frac{A}{2}\right)}{3} \geq \left[\tan^2 \left(\frac{A}{2}\right) \tan^2 \left(\frac{B}{2}\right) \tan^2 \left(\frac{C}{2}\right)\right]^{\frac{1}{3}}$.
તેથી,$\frac{1}{3} \geq \left[\tan \left(\frac{A}{2}\right) \tan \left(\frac{B}{2}\right) \tan \left(\frac{C}{2}\right)\right]^{\frac{2}{3}}$.
બંને બાજુ ઘન કરતા,$\left(\tan \frac{A}{2} \tan \frac{B}{2} \tan \frac{C}{2}\right)^2 \leq \frac{1}{27}$ મળે છે.

(C) આપેલ સમીકરણ: $\tan A + \tan B + \tan C = \cot A + \cot B + \cot C$.
કોઈપણ ત્રિકોણ માટે,$A + B + C = 180^{\circ}$.
આ શરતનું પાલન કરતા કોઈ વાસ્તવિક ત્રિકોણ શક્ય નથી.
તેથી,આવા ત્રિકોણોની સંખ્યા $0$ છે.

(B) આપેલ છે કે $a, b, c$ હાર્મોનિક શ્રેણીમાં છે,તેથી $1/a, 1/b, 1/c$ સમાંતર શ્રેણીમાં છે.
સૂત્ર $\operatorname{cosec}^2(A/2) = \frac{bc}{(s-b)(s-c)}$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $s = \frac{a+b+c}{2}$ છે.
$a, b, c$ હાર્મોનિક શ્રેણીમાં હોવાથી,$b = \frac{2ac}{a+c}$ થાય છે.
આ કિંમતો મૂકતા,તે સાબિત કરી શકાય છે કે $\operatorname{cosec}^2(A/2), \operatorname{cosec}^2(B/2), \operatorname{cosec}^2(C/2)$ સમાંતર શ્રેણીમાં છે.

(C) આપેલ છે કે $a, b, c$ સમાંતર શ્રેણીમાં છે,તેથી $2b = a + c$.
સાઇનના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$a = 2R \sin A$,$b = 2R \sin B$,અને $c = 2R \sin C$.
આ કિંમતો મૂકતા,$2 \sin B = \sin A + \sin C$.
$A = 2C$ આપેલ હોવાથી,$2 \sin B = \sin 2C + \sin C = 2 \sin C \cos C + \sin C = \sin C (2 \cos C + 1)$.
$B = 180^{\circ} - (A + C) = 180^{\circ} - 3C$ હોવાથી,$\sin B = \sin 3C = 3 \sin C - 4 \sin^3 C$.
આ કિંમત મૂકતા,$2(3 \sin C - 4 \sin^3 C) = \sin C (2 \cos C + 1)$.
$\sin C$ વડે ભાગતા $(\sin C \neq 0)$,$6 - 8 \sin^2 C = 2 \cos C + 1$.
$\sin^2 C = 1 - \cos^2 C$ નો ઉપયોગ કરતા,$6 - 8(1 - \cos^2 C) = 2 \cos C + 1$,જેનું સાદું રૂપ $8 \cos^2 C - 2 \cos C - 3 = 0$ થાય છે.
આ દ્વિઘાત સમીકરણ ઉકેલતા,$(4 \cos C + 3)(2 \cos C - 1) = 0$.
$C$ એ ત્રિકોણનો ખૂણો હોવાથી,$\cos C = 3/4$ મળે છે.
આથી $\cos A = 1/8$,$\cos B = 9/16$,અને $\cos C = 3/4$.
તેથી $\cos A : \cos B : \cos C = 1/8 : 9/16 : 3/4 = 2 : 9 : 12$.

(D) આપેલ છે કે $A, B, C$ સમાંતર શ્રેણીમાં છે,તેથી $2B = A + C$. $A + B + C = 180^{\circ}$ હોવાથી,$3B = 180^{\circ}$,એટલે કે $B = 60^{\circ}$.
$rr_3 = r_1 r_2$ શરત પરથી,$(s-a)(s-b) = s(s-c)$ મળે છે.
આને ઉકેલતા $a^2 + b^2 = c^2$ મળે છે,જે દર્શાવે છે કે ત્રિકોણ કાટકોણ ત્રિકોણ છે.
$B = 60^{\circ}$ હોવાથી,$A = 30^{\circ}$ અને $C = 90^{\circ}$ થાય.
બાજુઓનો ગુણોત્તર $a:b:c = 1:\sqrt{3}:2$ છે.
$c = 10$ હોવાથી,$a = 5$ અને $b = 5\sqrt{3}$ મળે.
તેથી $a^2 + b^2 + c^2 = 25 + 75 + 100 = 200$.

(C) આપેલ છે,$\triangle ABC$ માં,$B=90^{\circ}$.
સાઇન નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$\frac{\sin A}{a} = \frac{\sin B}{b} = \frac{\sin C}{c} = \frac{1}{2R}$.
$B=90^{\circ}$ હોવાથી,$\frac{\sin 90^{\circ}}{b} = \frac{1}{2R} \implies b = 2R$.
અંતઃત્રિજ્યા $r$ એ $r = (s-b) \tan(\frac{B}{2})$ દ્વારા મળે છે.
$B=90^{\circ}$ મૂકતા,$r = (s-b) \tan(45^{\circ}) = s-b$.
$s = \frac{a+b+c}{2}$ હોવાથી,$r = \frac{a+b+c}{2} - b = \frac{a-b+c}{2}$.
આમ,$2r = a-b+c$.
છેલ્લે,$2(r+R) = 2r + 2R = (a-b+c) + b = a+c$.

(D) આપેલ છે કે $r: R: r_2 = 1: 3: 7$. ધારો કે $r = k, R = 3k, r_2 = 7k$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $r_2 - r = 4R \sin \frac{B}{2} \cos \left( \frac{A+C}{2} \right)$.
કિંમતો મૂકતા: $7k - k = 4(3k) \sin \frac{B}{2} \sin \frac{B}{2}$.
$6k = 12k \sin^2 \frac{B}{2} \Rightarrow \sin^2 \frac{B}{2} = \frac{1}{2}$.
આથી $\cos B = 0$,એટલે કે $B = 90^{\circ}$.
હવે,$\sin(A+C) + \sin B = \sin(\pi - B) + \sin B = 2 \sin 90^{\circ} = 2$.

(B) આપેલ છે કે $A, B, C$ સમાંતર શ્રેણીમાં છે,તેથી $2B = A + C$.
$A + B + C = 180^{\circ}$ હોવાથી,$3B = 180^{\circ}$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $B = 60^{\circ}$.
સાઇનના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R$.
તેથી,$a = 2R \sin A$,$c = 2R \sin C$.
પદાવલિ નીચે મુજબ થાય છે:
$\frac{c}{a} \sin 2A + \frac{a}{c} \sin 2C = \frac{\sin C}{\sin A} (2 \sin A \cos A) + \frac{\sin A}{\sin C} (2 \sin C \cos C)$
$= 2 \sin C \cos A + 2 \sin A \cos C$
$= 2 \sin(A + C)$.
$A + C = 180^{\circ} - B = 180^{\circ} - 60^{\circ} = 120^{\circ}$ હોવાથી,
$= 2 \sin(120^{\circ}) = 2 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$.

(D) આપેલ સમીકરણો:
$3 \sin A + 4 \cos B = 6$ ... $(i)$
$4 \sin B + 3 \cos A = 1$ ... (ii)
બંને સમીકરણોનો વર્ગ કરીને સરવાળો કરતા:
$(3 \sin A + 4 \cos B)^2 + (4 \sin B + 3 \cos A)^2 = 6^2 + 1^2$
$(9 \sin^2 A + 16 \cos^2 B + 24 \sin A \cos B) + (16 \sin^2 B + 9 \cos^2 A + 24 \sin B \cos A) = 37$
$9(\sin^2 A + \cos^2 A) + 16(\sin^2 B + \cos^2 B) + 24(\sin A \cos B + \cos A \sin B) = 37$
$9(1) + 16(1) + 24 \sin(A + B) = 37$
$25 + 24 \sin(A + B) = 37$
$24 \sin(A + B) = 12$
$\sin(A + B) = \frac{1}{2}$
$A+B+C = \pi$ હોવાથી,$\sin(A+B) = \sin(\pi - C) = \sin C$.
તેથી,$\sin C = \frac{1}{2}$.
ત્રિકોણના ખૂણાઓ માટે,$C = \frac{\pi}{6}$ અથવા $\frac{5\pi}{6}$ મળે.
પરંતુ,જો $C = \frac{5\pi}{6}$ હોય તો $A+B = \frac{\pi}{6}$ થાય,જે આપેલ સમીકરણોનું સમાધાન કરતું નથી.
તેથી,$C = \frac{\pi}{6}$.

(C) આપેલ છે,$\frac{a+b+c}{a+c}+\frac{a+b+c}{b+c}=3$.
$BC=a, AC=b, AB=c$ હોવાથી,$\frac{a+b+c}{a+c}+\frac{a+b+c}{b+c}=3$.
સાદુરૂપ આપતા,$a^2+b^2-c^2=ab$ મળે.
કોસાઇન નિયમ મુજબ,$\cos C = \frac{1}{2}$,તેથી $C = 60^\circ = \frac{\pi}{3}$.
આપણે $\tan \frac{\pi}{24}$ શોધવાનું છે.
$\tan \frac{\pi}{24} = \sqrt{6}-\sqrt{3}+\sqrt{2}-2$.

(B) આપેલ છે કે $AD$ એ $\triangle ABC$ નો વેધ છે,તેથી $\angle ADB = 90^{\circ}$.
$\triangle BDP$ માં,$\angle BPD = 180^{\circ} - 90^{\circ} - \frac{B}{3} = 90^{\circ} - \frac{B}{3}$.
તેથી,$\angle APB = 180^{\circ} - \angle BPD = 180^{\circ} - (90^{\circ} - \frac{B}{3}) = 90^{\circ} + \frac{B}{3}$.
$\triangle ABP$ માં,સાઈન નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{AP}{\sin(\angle ABP)} = \frac{AB}{\sin(\angle APB)}$
$\frac{AP}{\sin(\frac{2B}{3})} = \frac{c}{\sin(90^{\circ} + \frac{B}{3})}$
$AP = \frac{c \sin(\frac{2B}{3})}{\cos(\frac{B}{3})}$
$AP = \frac{c \cdot 2 \sin(\frac{B}{3}) \cos(\frac{B}{3})}{\cos(\frac{B}{3})}$
$AP = 2c \sin \frac{B}{3}$

(B) ત્રિકોણ $ABC$ માં,આપેલ છે કે $\frac{\tan A}{2} = \frac{\tan B}{3} = \frac{\tan C}{4} = k$.
તેથી,$\tan A = 2k$,$\tan B = 3k$,અને $\tan C = 4k$.
કોઈપણ ત્રિકોણ $ABC$ માટે,$\tan A + \tan B + \tan C = \tan A \tan B \tan C$.
કિંમતો મૂકતા,$2k + 3k + 4k = (2k)(3k)(4k)$,એટલે કે $9k = 24k^3$.
$k \neq 0$ હોવાથી,$k^2 = \frac{9}{24} = \frac{3}{8}$.
આપણે $\sec^2 A + \sec^2 B + \sec^2 C = 3 + \tan^2 A + \tan^2 B + \tan^2 C$ શોધવાનું છે.
કિંમતો મૂકતા,$3 + (2k)^2 + (3k)^2 + (4k)^2 = 3 + k^2(4 + 9 + 16) = 3 + 29k^2$.
$k^2 = \frac{3}{8}$ મૂકતા,$3 + 29 \times \frac{3}{8} = 3 + \frac{87}{8} = \frac{24 + 87}{8} = \frac{111}{8}$.

(C) માટે,$r_1 r_2 \sqrt{\frac{4R-r_1-r_2}{r_1+r_2}} = \Delta$.
$(B)$ માટે,$\frac{r_2(r_3+r_1)}{\sqrt{r_1r_2+r_2r_3+r_3r_1}} = b$.
$(C)$ માટે,$\frac{a}{c} = \frac{\sin(A-B)}{\sin(B-C)} \implies a^2, b^2, c^2$ એ $AP$ માં છે.
$(D)$ માટે,$bc \cos^2 \frac{A}{2} = s(s-a)$.
આમ,સાચી જોડ $A-3, B-1, C-2, D-5$ છે,જે વિકલ્પ $(C)$ ને અનુરૂપ છે.

(D) $\triangle ABC$ માં,બાજુઓ $a, b, c$ સમગુણોત્તર શ્રેણીમાં છે,તેથી $b^2 = ac$.
આપેલ છે કે $C - A = 60^{\circ}$.
કોસાઇનના નિયમ અને સાઇન નિયમનો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે $\sin^2 B = \sin A \sin C$.
$2 \sin^2 B = \cos(A - C) - \cos(A + C) = \cos(60^{\circ}) - \cos(180^{\circ} - B) = \frac{1}{2} + \cos B$.
$2(1 - \cos^2 B) = \frac{1}{2} + \cos B$.
$4 \cos^2 B + 2 \cos B - 3 = 0$.
દ્વિઘાત સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$\cos B = \frac{-2 \pm \sqrt{52}}{8} = \frac{\sqrt{13}-1}{4}$.

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે વેધની લંબાઈ $P_1 = \frac{2\Delta}{a}$,$P_2 = \frac{2\Delta}{b}$,અને $P_3 = \frac{2\Delta}{c}$ છે,જ્યાં $\Delta$ એ ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ છે.
આ કિંમતો પદાવલિમાં મૂકતા:
$\frac{\cos A}{P_1} + \frac{\cos B}{P_2} + \frac{\cos C}{P_3} = \frac{a \cos A}{2\Delta} + \frac{b \cos B}{2\Delta} + \frac{c \cos C}{2\Delta}$
સાઇનના નિયમ $a = 2R \sin A$,$b = 2R \sin B$,$c = 2R \sin C$ નો ઉપયોગ કરતા:
$= \frac{2R \sin A \cos A + 2R \sin B \cos B + 2R \sin C \cos C}{2\Delta}$
$= \frac{R(\sin 2A + \sin 2B + \sin 2C)}{2\Delta}$
નિત્યસમ $\sin 2A + \sin 2B + \sin 2C = 4 \sin A \sin B \sin C$ નો ઉપયોગ કરતા:
$= \frac{R(4 \sin A \sin B \sin C)}{2\Delta}$
$\Delta = \frac{abc}{4R}$ હોવાથી,$\frac{1}{2\Delta} = \frac{2R}{abc}$ મળે:
$= \frac{4R \sin A \sin B \sin C}{2 \cdot \frac{abc}{4R}} = \frac{8R^2 \sin A \sin B \sin C}{abc}$
$\sin A = \frac{a}{2R}$,$\sin B = \frac{b}{2R}$,$\sin C = \frac{c}{2R}$ મૂકતા:
$= \frac{8R^2 (\frac{a}{2R}) (\frac{b}{2R}) (\frac{c}{2R})}{abc} = \frac{8R^2 \cdot \frac{abc}{8R^3}}{abc} = \frac{1}{R}$

(D) આપણને પદાવલિ $b^2 \sin 2C + c^2 \sin 2B$ આપેલ છે.
દ્વિ-ખૂણાના સૂત્ર $\sin 2\theta = 2 \sin \theta \cos \theta$ નો ઉપયોગ કરતા:
$= b^2 (2 \sin C \cos C) + c^2 (2 \sin B \cos B)$
સાઇનના નિયમ મુજબ,$\sin C = \frac{c}{2R}$ અને $\sin B = \frac{b}{2R}$:
$= 2b^2 \left(\frac{c}{2R}\right) \cos C + 2c^2 \left(\frac{b}{2R}\right) \cos B$
$= \frac{b^2 c \cos C}{R} + \frac{c^2 b \cos B}{R} = \frac{bc}{R} (b \cos C + c \cos B)$
પ્રોજેક્શન સૂત્ર મુજબ,$b \cos C + c \cos B = a$:
$= \frac{bc}{R} (a) = \frac{abc}{R}$
કારણ કે $R = \frac{abc}{4\Delta}$,તેથી $\frac{abc}{R} = 4\Delta$ થાય.