Basic of Set theory Questions in Gujarati

(C) આપેલ છે કે $D_{30} = \{1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30\}$.
આપણે $f(2, 5, 15) = (2+5) \cdot (5^{\prime} + 15)$ ની ગણતરી કરવાની છે.
પહેલા,$2+5 = \operatorname{LCM}(2, 5) = 10$.
ત્યારબાદ,$5^{\prime} = \frac{30}{5} = 6$.
પછી,$5^{\prime} + 15 = 6 + 15 = \operatorname{LCM}(6, 15) = 30$.
અંતે,$f(2, 5, 15) = 10 \cdot 30 = \operatorname{GCD}(10, 30) = 10$.

(A) બુલિયન અભિવ્યક્તિનું દ્વૈત (dual) શોધવા માટે,આપણે $OR$ ઓપરેટર $(+)$ ને $AND$ ઓપરેટર $(\cdot)$ સાથે બદલીએ છીએ અને તેનાથી ઉલટું,તેમજ $0$ ને $1$ સાથે અને $1$ ને $0$ સાથે બદલીએ છીએ.
આપેલ અભિવ્યક્તિ: $(x+y) \cdot (x^{\prime} \cdot 1)$.
$+$ ને $\cdot$ સાથે અને $\cdot$ ને $+$ સાથે બદલતા,આપણને મળે છે: $(x \cdot y) + (x^{\prime} + 1)$.

(C) આપેલ પરિપથ બે સમાંતર શાખાઓનો બનેલો છે. પ્રથમ શાખામાં $S_1$ અને $S_2$ શ્રેણીમાં છે,જેને તાર્કિક પદ $(S_1 \land S_2)$ દ્વારા દર્શાવી શકાય છે.
બીજી શાખામાં $S_1$ અને $S_3$ શ્રેણીમાં છે,જેને તાર્કિક પદ $(S_1 \land S_3)$ દ્વારા દર્શાવી શકાય છે.
આ બે શાખાઓ સમાંતરમાં હોવાથી,કુલ પરિપથને $(S_1 \land S_2) \lor (S_1 \land S_3)$ પદ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.
બુલિયન બીજગણિતના વિભાજનના નિયમનો ઉપયોગ કરીને,આપણે $S_1$ ને સામાન્ય લઈ શકીએ છીએ:
$(S_1 \land S_2) \lor (S_1 \land S_3) = S_1 \land (S_2 \lor S_3)$.
આ પદ સ્વીચ $S_1$ ને $S_2$ અને $S_3$ ના સમાંતર જોડાણ સાથે શ્રેણીમાં દર્શાવે છે.

(B) ચાલો ગણ $A = \{2, 3, 4, 5, 6\}$ માટે દરેક વિધાનનું મૂલ્યાંકન કરીએ.
$A$: $\exists x \in A$ જેથી $(x-2) \in \mathbb{N}$. જો $x=3$ લઈએ,તો $3-2=1 \in \mathbb{N}$. આ સત્ય છે.
$B$: $\forall x \in A, x+6$ એ $2$ વડે વિભાજ્ય છે. જો $x=3$ લઈએ,તો $3+6=9$,જે $2$ વડે વિભાજ્ય નથી. આ અસત્ય છે.
$C$: $\exists x \in A$ જેથી $x+2$ એ અવિભાજ્ય સંખ્યા છે. જો $x=3$ લઈએ,તો $3+2=5$,જે અવિભાજ્ય છે. આ સત્ય છે.
$D$: $\exists x \in A$ જેથી $x^{2}+1$ એ બેકી સંખ્યા છે. જો $x=3$ લઈએ,તો $3^{2}+1=10$,જે બેકી સંખ્યા છે. આ સત્ય છે.
તેથી,વિકલ્પ $B$ માં આપેલ વિધાન અસત્ય છે.

(A) આપણને ગણ $A = \{x \in \mathbb{R} : x^2 + 5|x| + 6 = 0\}$ આપેલ છે.
કારણ કે $x^2 = |x|^2$,સમીકરણને $|x|^2 + 5|x| + 6 = 0$ તરીકે લખી શકાય.
ધારો કે $|x| = t$,જ્યાં $t \ge 0$. સમીકરણ $t^2 + 5t + 6 = 0$ બને છે.
અવયવ પાડતા,આપણને $(t + 2)(t + 3) = 0$ મળે છે.
આથી $t = -2$ અથવા $t = -3$ મળે.
કારણ કે $t = |x|$ એ ઋણ ન હોઈ શકે $(t \ge 0)$,તેથી $x$ ની કોઈ વાસ્તવિક કિંમત આ શરતોનું પાલન કરતી નથી.
તેથી,ગણ $A$ એ ખાલી ગણ છે,એટલે કે $A = \emptyset$.
આમ,$A$ માં ઘટકોની સંખ્યા $n(A) = 0$ છે.

(C) ગણ $A$ એ $0$ અને $9$ ની વચ્ચેની અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ ધરાવે છે.
$A = \{2, 3, 5, 7\}$.
ગણ $A$ માં સભ્યોની સંખ્યા $n(A) = 4$ છે.
$A$ ના ઘાતગણના સભ્યોની સંખ્યા $2^{n(A)}$ દ્વારા મળે છે.
$2^{4} = 16$.

(D) આપેલ ગણ $A = \{x \in R : x^2 - 5|x| + 6 = 0\}$ છે.
$x^2 = |x|^2$ હોવાથી,સમીકરણ $|x|^2 - 5|x| + 6 = 0$ બને છે.
ધારો કે $|x| = t$,તો $t^2 - 5t + 6 = 0$.
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા: $(t - 2)(t - 3) = 0$.
તેથી,$|x| = 2$ અથવા $|x| = 3$.
જો $|x| = 2$ હોય,તો $x = 2$ અથવા $x = -2$.
જો $|x| = 3$ હોય,તો $x = 3$ અથવા $x = -3$.
આમ,ગણ $A = \{-3, -2, 2, 3\}$ થાય.
ગણ $A$ માં ઘટકોની સંખ્યા $n(A) = 4$ છે.

(B) હેન્ડશેકિંગ લેમ્મા મુજબ,ગ્રાફના તમામ શિરોબિંદુઓની ડિગ્રીનો સરવાળો એ ધારની સંખ્યાના બમણા જેટલો હોય છે,જે એક બેકી સંખ્યા છે.
ધારો કે $V_{odd}$ એ એકી ડિગ્રી ધરાવતા શિરોબિંદુઓનો સમૂહ છે અને $V_{even}$ એ બેકી ડિગ્રી ધરાવતા શિરોબિંદુઓનો સમૂહ છે.
ડિગ્રીનો સરવાળો $\sum_{v \in V_{odd}} \text{deg}(v) + \sum_{v \in V_{even}} \text{deg}(v) = 2|E|$ છે.
કારણ કે $\sum_{v \in V_{even}} \text{deg}(v)$ હંમેશા બેકી હોય છે,તેથી કુલ સરવાળો બેકી રહે તે માટે $\sum_{v \in V_{odd}} \text{deg}(v)$ પણ બેકી હોવો જોઈએ.
$m$ એકી સંખ્યાઓનો સરવાળો બેકી થાય તે માટે,$m$ એ બેકી સંખ્યા હોવી જોઈએ.
તેથી,એકી ડિગ્રી ધરાવતા શિરોબિંદુઓની સંખ્યા $m$ હંમેશા બેકી હોય છે.

(D) જૂથ $(Z_{5}, +_{5})$ એ $p = 5$ અવિભાજ્ય ક્રમનું ચક્રીય જૂથ છે.
લેગ્રાન્જના પ્રમેય મુજબ,કોઈપણ ઉપજૂથનો ક્રમ જૂથના ક્રમનો ભાજક હોવો જોઈએ.
$5$ એ અવિભાજ્ય સંખ્યા હોવાથી,તેના માત્ર $1$ અને $5$ ભાજકો છે.
તેથી,માત્ર બે જ ઉપજૂથો શક્ય છે: $1$ ક્રમનું તુચ્છ ઉપજૂથ ${0}$ અને $5$ ક્રમનું જૂથ પોતે $Z_{5}$.
આમ,ઉપજૂથોની કુલ સંખ્યા $2$ છે.

(C) ધારો કે ગણ $A$ માં $m$ ઘટકો છે અને ગણ $B$ માં $n$ ઘટકો છે.
ગણ $A$ ના ઉપગણોની સંખ્યા $2^m$ છે અને ગણ $B$ ના ઉપગણોની સંખ્યા $2^n$ છે.
રકમ મુજબ,$2^m - 2^n = 56$.
આને $2^n(2^{m-n} - 1) = 56$ તરીકે લખી શકાય.
$56$ ના અવયવો પાડતા,$56 = 8 \times 7 = 2^3 \times (2^3 - 1)$.
$2^n(2^{m-n} - 1) = 2^3(2^3 - 1)$ ની સરખામણી કરતા,આપણને $n = 3$ અને $m - n = 3$ મળે છે.
$m - n = 3$ માં $n = 3$ મૂકતા,$m - 3 = 3$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $m = 6$.
આમ,$m$ અને $n$ ની કિંમતો અનુક્રમે $6$ અને $3$ છે.

(A) વિકલ્પ $A$ માટે: $x^2+1=0 \Rightarrow x^2=-1$. કોઈપણ વાસ્તવિક સંખ્યા $x \in \mathbb{R}$ નો વર્ગ હંમેશા અ-ઋણ $(x^2 \ge 0)$ હોય છે,તેથી એવી કોઈ વાસ્તવિક સંખ્યા $x$ નથી જે $x^2=-1$ નું સમાધાન કરે. આમ,આ ગણ ખાલી ગણ છે.
વિકલ્પ $B$ માટે: $x^2-9=0$ $\Rightarrow x^2=9$ $\Rightarrow x = \pm 3$. આ ગણ $\{3, -3\}$ છે,જે ખાલી ગણ નથી.
વિકલ્પ $C$ માટે: $x^2-x-2=0$ $\Rightarrow (x-2)(x+1)=0$ $\Rightarrow x=2, -1$. આ ગણ $\{2, -1\}$ છે,જે ખાલી ગણ નથી.
વિકલ્પ $D$ માટે: $x^2-1=0$ $\Rightarrow x^2=1$ $\Rightarrow x = \pm 1$. આ ગણ $\{1, -1\}$ છે,જે ખાલી ગણ નથી.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(A) આપેલ છે,$A = \{1, 2, 3, \ldots, 10\}$.
$A$ માં રહેલી એકી સંખ્યાઓનો ગણ $S = \{1, 3, 5, 7, 9\}$ છે.
$S$ માં ઘટકોની સંખ્યા $n = 5$ છે.
$S$ ના કુલ ઉપગણોની સંખ્યા $2^n = 2^5 = 32$ થાય.
પ્રશ્નમાં માત્ર એકી સંખ્યાઓ ધરાવતા ઉપગણો પૂછ્યા હોવાથી,આપણે ખાલી ગણ (જેમાં કોઈ ઘટક નથી) ને બાદ કરીશું.
તેથી,અરિક્ત ઉપગણોની સંખ્યા $2^5 - 1 = 32 - 1 = 31$ થાય.

(C) આપેલ ગણ $ A = \{-1, 1\} $ છે.
આપેલા વિકલ્પો તપાસતા:
વિકલ્પ $ C $ માટે,સમીકરણ $ x^{2} = 1 $ છે.
$ x^{2} = 1 $ ને ઉકેલતા,આપણને $ x = \pm 1 $ મળે છે.
આમ,બીજનો ગણ $ \{-1, 1\} $ છે.
તેથી,ગુણધર્મની રીતે નિરૂપણ $ A = \{x : x \text{ એ સમીકરણ } x^{2} = 1 \text{ નું બીજ છે} \} $ થાય.

(A) ધારો કે $f(n) = n(n+1)(2n+1)$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $2n+1 = (n-1) + (n+2)$,તેથી $n(n+1)(2n+1) = n(n+1)(n-1+n+2) = n(n+1)(n-1) + n(n+1)(n+2)$.
નોંધો કે $n(n+1)(n-1)$ એ ત્રણ ક્રમિક પૂર્ણાંકોનો ગુણાકાર છે,જે હંમેશા $3! = 6$ વડે વિભાજ્ય હોય છે.
તે જ રીતે,$n(n+1)(n+2)$ પણ ત્રણ ક્રમિક પૂર્ણાંકોનો ગુણાકાર છે,જે હંમેશા $3! = 6$ વડે વિભાજ્ય હોય છે.
તેથી,$f(n)$ એ તમામ $n \in \mathbb{Z}$ માટે $6$ વડે વિભાજ્ય છે.
આમ,$\{n(n+1)(2n+1) : n \in \mathbb{Z}\} \subset \{6k : k \in \mathbb{Z}\}$.

(A) ત્રણ વાસ્તવિક સંખ્યાઓ $a, b, c$ સાથે બનેલો ગણ જેમાં ઘટકોનો ક્રમ નિશ્ચિત અથવા અગાઉથી નક્કી કરેલ હોય તેને ક્રમિત ત્રિપુટી કહેવામાં આવે છે,જેને $(a, b, c)$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે.

(A) ધારો કે $f(n) = n(n+1)(2n+1)$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $n(n+1)(2n+1) = n(n+1)(n-1+n+2) = n(n+1)(n-1) + n(n+1)(n+2)$.
દરેક પદ $n(n+1)(n-1)$ અને $n(n+1)(n+2)$ એ ત્રણ ક્રમિક પૂર્ણાંકોનો ગુણાકાર છે.
ત્રણ ક્રમિક પૂર્ણાંકોનો ગુણાકાર હંમેશા $3! = 6$ વડે વિભાજ્ય હોય છે.
તેથી,$n(n+1)(n-1) = 6k_1$ અને $n(n+1)(n+2) = 6k_2$ કોઈ પૂર્ણાંક $k_1, k_2$ માટે.
આમ,$f(n) = 6(k_1 + k_2) = 6k$ કોઈ પૂર્ણાંક $k$ માટે.
તેથી,આ ગણ $\{6k : k \in \mathbb{Z}\}$ નો ઉપગણ છે.

(B) આપેલ છે કે $x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{15}$ એ ગણ $\{1, 2, 3, \ldots, 15\}$ માંથી પસંદ કરેલી $15$ ભિન્ન સંખ્યાઓ છે.
ગણમાં બરાબર $15$ ભિન્ન સંખ્યાઓ હોવાથી અને આપણે $15$ ભિન્ન સંખ્યાઓ પસંદ કરી રહ્યા છીએ,તેથી ગણ $\{x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{15}\}$ એ $\{1, 2, 3, \ldots, 15\}$ જ હોવો જોઈએ.
તેથી,કોઈ એક $x_{i}$ નું મૂલ્ય $1$ હોવું જ જોઈએ.
જો કોઈ $i \in \{1, 2, \ldots, 15\}$ માટે $x_{i} = 1$ હોય,તો પદ $(x_{i}-1) = (1-1) = 0$ થાય.
ગુણાકારમાં $0$ નો અવયવ હોવાથી,સમગ્ર ગુણાકાર $(x_{1}-1)(x_{2}-1) \ldots (x_{15}-1)$ નું મૂલ્ય $0$ થાય.

(B) આપણે પદ $(A \setminus B) \setminus C$ નું મૂલ્યાંકન કરીએ:
ગણના તફાવતની વ્યાખ્યા મુજબ,$A \setminus B = A \cap B'$.
તેથી,$(A \setminus B) \setminus C = (A \cap B') \cap C'$.
છેદના જૂથના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,આપણને $A \cap (B' \cap C')$ મળે છે.
ડી મોર્ગનના નિયમ મુજબ,$B' \cap C' = (B \cup C)'$.
તેથી,$(A \setminus B) \setminus C = A \cap (B \cup C)' = A \setminus (B \cup C)$.
આમ,વિકલ્પ $B$ માં આપેલ વિધાન સાચું છે.

(B) ગણ $P$ એ પ્રથમ ચરણમાં એકમ વર્તુળ $x^2 + y^2 = 1$ નો ચાપ દર્શાવે છે $(x > 0, y > 0)$.
ગણ $T$ એ પ્રથમ ચરણમાં વક્ર $x^8 + y^8 = 1$ ની અંદરનો પ્રદેશ દર્શાવે છે.
પ્રથમ ચરણમાં વર્તુળ $x^2 + y^2 = 1$ પરના કોઈપણ બિંદુ $(x, y)$ માટે,આપણી પાસે $0 < x < 1$ અને $0 < y < 1$ છે.
કારણ કે $0 < x < 1$,તેથી $x^8 < x^2$ અને $0 < y < 1$ હોવાથી,$y^8 < y^2$ મળે છે.
તેથી,$x^8 + y^8 < x^2 + y^2 = 1$.
આનો અર્થ એ છે કે $P$ માંનું દરેક બિંદુ $(x, y)$ એ $x^8 + y^8 < 1$ શરતનું પણ પાલન કરે છે,તેથી $P \subset T$.
આમ,$P \cap T = P$.