જો અનંત $G.P.$ માં પ્રથમ પદ બાકીના પદોના સરવાળાના બમણા જેટલું હોય,તો તેનો સામાન્ય ગુણોત્તર કેટલો થાય?

એક $G.P.$ ના અનંત પદોનો સરવાળો $x$ છે અને તેના દરેક પદનો વર્ગ કરવાથી મળતી શ્રેણીનો સરવાળો $y$ થાય છે,તો આ શ્રેણીનો સામાન્ય ગુણોત્તર શોધો.

જો સમીકરણ $x^3 - ax^2 + bx - c = 0$ ના બીજ સમગુણોત્તર શ્રેણી $(GP)$ માં હોય,તો $\frac{b^3}{a^3}$ ની કિંમત શું થાય?

ધારો કે $a$ અને $b$ બે ભિન્ન ધન વાસ્તવિક સંખ્યાઓ છે. એક $GP$ જેનું પ્રથમ પદ $a$ અને ત્રીજું પદ $b$ છે,તેનું $11$મું પદ એ બીજા $GP$ ના $p$મા પદ જેટલું છે,જેનું પ્રથમ પદ $a$ અને પાંચમું પદ $b$ છે. તો $p$ ની કિંમત શોધો.

સાબિત કરો કે $G.P.$ ના પ્રથમ $n$ પદોના સરવાળા અને $(n+1)^{th}$ થી $(2n)^{th}$ પદ સુધીના પદોના સરવાળાનો ગુણોત્તર $\frac{1}{r^{n}}$ છે.

ધારો કે $729, 81, 9, 1, \dots$ એક શ્રેણી છે અને $P_{n}$ એ આ શ્રેણીના પ્રથમ $n$ પદોનો ગુણાકાર દર્શાવે છે. જો $2\sum_{n=1}^{40}(P_{n})^{\frac{1}{n}}=\frac{3^{\alpha}-1}{3^{\beta}}$ અને $\gcd(\alpha,\beta)=1$ હોય,તો $\alpha+\beta$ ની કિંમત શોધો.