જો n એ પ્રાકૃતિક સંખ્યા હોય,તો left( frac{n+1 | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(B) આપણે અસમતા $\left( \frac{n+1}{2} \right)^n \ge n!$ ને $n \in \mathbb{N}$ માટે ચકાસીએ.$n = 1$ માટે: $\left( \frac{1+1}{2} \right)^1 = 1^1 = 1$ અને

Vedclass · Accepted Answer

$n \ge 1$

Vedclass · Answer

(B) આપણે અસમતા $\left( \frac{n+1}{2} \right)^n \ge n!$ ને $n \in \mathbb{N}$ માટે ચકાસીએ.$n = 1$ માટે: $\left( \frac{1+1}{2} \right)^1 = 1^1 = 1$ અને $1! = 1$. $1 \ge 1$ હોવાથી,વિધાન $n = 1$ માટે સત્ય છે.$n = 2$ માટે: $\left( \frac{2+1}{2} \right)^2 = (1.5)^2 = 2.25$ અને $2! = 2$. $2.25 \ge 2$ હોવાથી,વિધાન $n = 2$ માટે સત્ય છે.$AM$-$GM$ અસમતા મુજબ,$\frac{1+2+\dots+n}{n} \ge \sqrt[n]{n!}$.તેથી $\frac{n(n+1)}{2n} \ge (n!)^{1/n}$,જે $\frac{n+1}{2} \ge (n!)^{1/n}$ આપે છે.બંને બાજુ $n$ ઘાત લેતા,$\left( \frac{n+1}{2} \right)^n \ge n!$ મળે છે,જે તમામ $n \ge 1$ માટે સત્ય છે.

જો $n$ એ પ્રાકૃતિક સંખ્યા હોય,તો $\left( \frac{n+1}{2} \right)^n \ge n!$ ક્યારે સત્ય છે?

Similar Questions

એક $A.P.$ ના પ્રથમ $p, q,$ અને $r$ પદોનો સરવાળો અનુક્રમે $a, b,$ અને $c$ છે. સાબિત કરો કે $\frac{a}{p}(q-r)+\frac{b}{q}(r-p)+\frac{c}{r}(p-q)=0$.

જો $x_1, x_2, \dots, x_n$ અને $\frac{1}{h_1}, \frac{1}{h_2}, \dots, \frac{1}{h_n}$ એ બે $A.P.$ હોય કે જેથી $x_3 = h_2 = 8$ અને $x_8 = h_7 = 20$ થાય,તો $x_5 \cdot h_{10}$ ની કિંમત શોધો.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module