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Set Based probability Questions in Hindi
Class 11 Mathematics · Probability · Set Based probability
510+
Questions
Hindi
Language
100%
With Solutions
Showing 50 of 510 questions in Hindi
251
Medium
दो पासे फेंके जाते हैं। घटनाएँ $A, B$ और $C$ इस प्रकार हैं:
$A:$ पहले पासे पर सम संख्या प्राप्त करना।
$B:$ पहले पासे पर विषम संख्या प्राप्त करना।
$C:$ पासों पर संख्याओं का योग $\leq 5$ प्राप्त करना।
घटनाओं $A$ और $B$ का वर्णन कीजिए।
$A:$ पहले पासे पर सम संख्या प्राप्त करना।
$B:$ पहले पासे पर विषम संख्या प्राप्त करना।
$C:$ पासों पर संख्याओं का योग $\leq 5$ प्राप्त करना।
घटनाओं $A$ और $B$ का वर्णन कीजिए।
Solution
(A) जब दो पासे फेंके जाते हैं,तो प्रतिदर्श समष्टि $S$ इस प्रकार है: $S = \{(x, y) : x, y \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}\}$.
घटना $A$ को पहले पासे पर सम संख्या प्राप्त करने के रूप में परिभाषित किया गया है। अतः,पहला निर्देशांक $x$ $2, 4,$ या $6$ होना चाहिए।
$A = \{(2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6), (4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6), (6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6)\}$.
घटना $B$ को पहले पासे पर विषम संख्या प्राप्त करने के रूप में परिभाषित किया गया है। अतः,पहला निर्देशांक $x$ $1, 3,$ या $5$ होना चाहिए।
$B = \{(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6), (3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6), (5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6)\}$.
घटना $A$ को पहले पासे पर सम संख्या प्राप्त करने के रूप में परिभाषित किया गया है। अतः,पहला निर्देशांक $x$ $2, 4,$ या $6$ होना चाहिए।
$A = \{(2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6), (4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6), (6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6)\}$.
घटना $B$ को पहले पासे पर विषम संख्या प्राप्त करने के रूप में परिभाषित किया गया है। अतः,पहला निर्देशांक $x$ $1, 3,$ या $5$ होना चाहिए।
$B = \{(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6), (3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6), (5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6)\}$.
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MediumMCQ
यदि एक लीप वर्ष को यादृच्छिक रूप से चुना जाता है,तो इसकी क्या संभावना है कि इसमें $53$ मंगलवार होंगे?
A
$\frac{1}{7}$
B
$\frac{2}{7}$
C
$\frac{3}{7}$
D
$\frac{4}{7}$
Solution
(B) एक लीप वर्ष में $366$ दिन होते हैं,जो $52$ सप्ताह और $2$ अतिरिक्त दिनों के बराबर है।
$52$ सप्ताहों में,सटीक $52$ मंगलवार होते हैं।
$53$ मंगलवार होने के लिए,शेष $2$ दिनों में से एक मंगलवार होना चाहिए।
$2$ अतिरिक्त दिनों के लिए संभावित जोड़े हैं:
(सोमवार,मंगलवार),(मंगलवार,बुधवार),(बुधवार,गुरुवार),(गुरुवार,शुक्रवार),(शुक्रवार,शनिवार),(शनिवार,रविवार),(रविवार,सोमवार)।
कुल संभावित परिणामों की संख्या $= 7$ है।
अनुकूल परिणाम जिनमें कम से कम एक दिन मंगलवार है,वे (सोमवार,मंगलवार) और (मंगलवार,बुधवार) हैं।
अनुकूल परिणामों की संख्या $= 2$ है।
अतः,प्रायिकता $= \frac{\text{अनुकूल परिणाम}}{\text{कुल परिणाम}} = \frac{2}{7}$।
$52$ सप्ताहों में,सटीक $52$ मंगलवार होते हैं।
$53$ मंगलवार होने के लिए,शेष $2$ दिनों में से एक मंगलवार होना चाहिए।
$2$ अतिरिक्त दिनों के लिए संभावित जोड़े हैं:
(सोमवार,मंगलवार),(मंगलवार,बुधवार),(बुधवार,गुरुवार),(गुरुवार,शुक्रवार),(शुक्रवार,शनिवार),(शनिवार,रविवार),(रविवार,सोमवार)।
कुल संभावित परिणामों की संख्या $= 7$ है।
अनुकूल परिणाम जिनमें कम से कम एक दिन मंगलवार है,वे (सोमवार,मंगलवार) और (मंगलवार,बुधवार) हैं।
अनुकूल परिणामों की संख्या $= 2$ है।
अतः,प्रायिकता $= \frac{\text{अनुकूल परिणाम}}{\text{कुल परिणाम}} = \frac{2}{7}$।
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MediumMCQ
दो पासे फेंके जाते हैं। यदि दोनों पासों के छह फलकों पर $1, 2, 3, 5, 7$ और $11$ अंकित हैं,तो ऊपर के फलकों पर संख्याओं का योग $8$ या उससे कम होने की प्रायिकता क्या है?
A
$\frac{4}{9}$
B
$\frac{17}{36}$
C
$\frac{5}{12}$
D
$\frac{1}{2}$
Solution
(B) दो पासे फेंकने पर कुल परिणामों की संख्या $6 \times 6 = 36$ है।
मान लीजिए परिणाम $(x, y)$ हैं जहाँ $x, y \in \{1, 2, 3, 5, 7, 11\}$ है।
हमें योग $x + y \leq 8$ चाहिए।
संभावित जोड़े $(x, y)$ इस प्रकार हैं:
यदि $x=1$,तो $y \in \{1, 2, 3, 5, 7\}$ ($5$ परिणाम)।
यदि $x=2$,तो $y \in \{1, 2, 3, 5\}$ ($4$ परिणाम)।
यदि $x=3$,तो $y \in \{1, 2, 3, 5\}$ ($4$ परिणाम)।
यदि $x=5$,तो $y \in \{1, 2, 3\}$ ($3$ परिणाम)।
यदि $x=7$,तो $y \in \{1\}$ ($1$ परिणाम)।
यदि $x=11$,तो कोई भी $y$ शर्त को पूरा नहीं करता है।
कुल अनुकूल परिणाम $n(E) = 5 + 4 + 4 + 3 + 1 = 17$ हैं।
अतः,प्रायिकता $P(E) = \frac{n(E)}{n(S)} = \frac{17}{36}$।
मान लीजिए परिणाम $(x, y)$ हैं जहाँ $x, y \in \{1, 2, 3, 5, 7, 11\}$ है।
हमें योग $x + y \leq 8$ चाहिए।
संभावित जोड़े $(x, y)$ इस प्रकार हैं:
यदि $x=1$,तो $y \in \{1, 2, 3, 5, 7\}$ ($5$ परिणाम)।
यदि $x=2$,तो $y \in \{1, 2, 3, 5\}$ ($4$ परिणाम)।
यदि $x=3$,तो $y \in \{1, 2, 3, 5\}$ ($4$ परिणाम)।
यदि $x=5$,तो $y \in \{1, 2, 3\}$ ($3$ परिणाम)।
यदि $x=7$,तो $y \in \{1\}$ ($1$ परिणाम)।
यदि $x=11$,तो कोई भी $y$ शर्त को पूरा नहीं करता है।
कुल अनुकूल परिणाम $n(E) = 5 + 4 + 4 + 3 + 1 = 17$ हैं।
अतः,प्रायिकता $P(E) = \frac{n(E)}{n(S)} = \frac{17}{36}$।
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Medium
दो पासे फेंके जाते हैं। घटनाएँ $A, B$ और $C$ इस प्रकार हैं:
$A:$ पहले पासे पर सम संख्या प्राप्त करना।
$B:$ पहले पासे पर विषम संख्या प्राप्त करना।
$C:$ पासों पर संख्याओं का योग $\leq 5$ प्राप्त करना।
घटनाओं $B$ और $C$ का वर्णन कीजिए।
$A:$ पहले पासे पर सम संख्या प्राप्त करना।
$B:$ पहले पासे पर विषम संख्या प्राप्त करना।
$C:$ पासों पर संख्याओं का योग $\leq 5$ प्राप्त करना।
घटनाओं $B$ और $C$ का वर्णन कीजिए।
Solution
(N/A) जब दो पासे फेंके जाते हैं,तो प्रतिदर्श समष्टि $S$ में $36$ परिणाम होते हैं:
$S = \{(x, y) : x, y \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6\} \}$.
घटना $B$ पहले पासे पर विषम संख्या प्राप्त करना है:
$B = \{(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6), (3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6), (5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6)\}$.
घटना $C$ पासों पर संख्याओं का योग $\leq 5$ प्राप्त करना है:
$C = \{(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (3, 1), (3, 2), (4, 1)\}$.
$S = \{(x, y) : x, y \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6\} \}$.
घटना $B$ पहले पासे पर विषम संख्या प्राप्त करना है:
$B = \{(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6), (3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6), (5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6)\}$.
घटना $C$ पासों पर संख्याओं का योग $\leq 5$ प्राप्त करना है:
$C = \{(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (3, 1), (3, 2), (4, 1)\}$.
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Medium
दो पासे फेंके जाते हैं। घटनाएँ $A$,$B$ और $C$ इस प्रकार हैं:
$A$: पहले पासे पर सम संख्या प्राप्त करना।
$B$: पहले पासे पर विषम संख्या प्राप्त करना।
$C$: पासों पर संख्याओं का योग $\leq 5$ प्राप्त करना।
सत्य या असत्य बताइए: (अपने उत्तर का कारण दें)
कथन: $A$ और $B$ परस्पर अपवर्जी (mutually exclusive) हैं।
$A$: पहले पासे पर सम संख्या प्राप्त करना।
$B$: पहले पासे पर विषम संख्या प्राप्त करना।
$C$: पासों पर संख्याओं का योग $\leq 5$ प्राप्त करना।
सत्य या असत्य बताइए: (अपने उत्तर का कारण दें)
कथन: $A$ और $B$ परस्पर अपवर्जी (mutually exclusive) हैं।
Solution
(A) दो पासे फेंकने के लिए प्रतिदर्श समष्टि $S$ में $36$ परिणाम होते हैं।
घटना $A$ (पहले पासे पर सम संख्या) इस प्रकार है:
$A = \{(2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6), (4,1), (4,2), (4,3), (4,4), (4,5), (4,6), (6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6)\}$
घटना $B$ (पहले पासे पर विषम संख्या) इस प्रकार है:
$B = \{(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6), (3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (3,5), (3,6), (5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6)\}$
दो घटनाएँ परस्पर अपवर्जी होती हैं यदि उनका सर्वनिष्ठ (intersection) एक रिक्त समुच्चय हो,अर्थात $A \cap B = \phi$।
चूंकि पहला पासा एक ही समय में सम और विषम दोनों नहीं हो सकता,इसलिए $A$ और $B$ के बीच कोई सामान्य परिणाम नहीं है।
अतः,$A \cap B = \phi$।
इसलिए,दिया गया कथन सत्य है।
घटना $A$ (पहले पासे पर सम संख्या) इस प्रकार है:
$A = \{(2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6), (4,1), (4,2), (4,3), (4,4), (4,5), (4,6), (6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6)\}$
घटना $B$ (पहले पासे पर विषम संख्या) इस प्रकार है:
$B = \{(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6), (3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (3,5), (3,6), (5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6)\}$
दो घटनाएँ परस्पर अपवर्जी होती हैं यदि उनका सर्वनिष्ठ (intersection) एक रिक्त समुच्चय हो,अर्थात $A \cap B = \phi$।
चूंकि पहला पासा एक ही समय में सम और विषम दोनों नहीं हो सकता,इसलिए $A$ और $B$ के बीच कोई सामान्य परिणाम नहीं है।
अतः,$A \cap B = \phi$।
इसलिए,दिया गया कथन सत्य है।
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View Solution256
Medium
दो पासे फेंके जाते हैं। घटनाएँ $A, B$ और $C$ इस प्रकार हैं:
$A:$ पहले पासे पर सम संख्या प्राप्त करना।
$B:$ पहले पासे पर विषम संख्या प्राप्त करना।
$C:$ पासों पर संख्याओं का योग $\leq 5$ प्राप्त करना।
सत्य या असत्य बताइए: (अपने उत्तर का कारण दें)
कथन: $A$ और $B$ परस्पर अपवर्जी और निशेष घटनाएँ हैं।
$A:$ पहले पासे पर सम संख्या प्राप्त करना।
$B:$ पहले पासे पर विषम संख्या प्राप्त करना।
$C:$ पासों पर संख्याओं का योग $\leq 5$ प्राप्त करना।
सत्य या असत्य बताइए: (अपने उत्तर का कारण दें)
कथन: $A$ और $B$ परस्पर अपवर्जी और निशेष घटनाएँ हैं।
Solution
(A) दो पासे फेंकने के लिए प्रतिदर्श समष्टि $S$ में $36$ परिणाम होते हैं।
$A = \{(2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6), (4,1), (4,2), (4,3), (4,4), (4,5), (4,6), (6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6)\}$
$B = \{(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6), (3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (3,5), (3,6), (5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6)\}$
यदि $A \cap B = \phi$ हो तो दो घटनाएँ परस्पर अपवर्जी होती हैं। यहाँ,$A$ में पहले पासे पर केवल सम संख्याएँ हैं और $B$ में पहले पासे पर केवल विषम संख्याएँ हैं,इसलिए $A \cap B = \phi$.
यदि $A \cup B = S$ हो तो दो घटनाएँ निशेष होती हैं। चूंकि $S$ के प्रत्येक परिणाम में पहले पासे पर या तो सम या विषम संख्या होती है,इसलिए $A \cup B = S$.
अतः,दिया गया कथन सत्य है।
$A = \{(2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6), (4,1), (4,2), (4,3), (4,4), (4,5), (4,6), (6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6)\}$
$B = \{(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6), (3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (3,5), (3,6), (5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6)\}$
यदि $A \cap B = \phi$ हो तो दो घटनाएँ परस्पर अपवर्जी होती हैं। यहाँ,$A$ में पहले पासे पर केवल सम संख्याएँ हैं और $B$ में पहले पासे पर केवल विषम संख्याएँ हैं,इसलिए $A \cap B = \phi$.
यदि $A \cup B = S$ हो तो दो घटनाएँ निशेष होती हैं। चूंकि $S$ के प्रत्येक परिणाम में पहले पासे पर या तो सम या विषम संख्या होती है,इसलिए $A \cup B = S$.
अतः,दिया गया कथन सत्य है।
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Easy
दो पासे फेंके जाते हैं। घटनाएँ $A, B$ और $C$ इस प्रकार हैं:
$A:$ पहले पासे पर सम संख्या प्राप्त करना।
$B:$ पहले पासे पर विषम संख्या प्राप्त करना।
$C:$ पासों पर संख्याओं का योग $\leq 5$ प्राप्त करना।
बताइए कि निम्नलिखित कथन सत्य है या असत्य और कारण दीजिए:
कथन: $A = B^{\prime}$
$A:$ पहले पासे पर सम संख्या प्राप्त करना।
$B:$ पहले पासे पर विषम संख्या प्राप्त करना।
$C:$ पासों पर संख्याओं का योग $\leq 5$ प्राप्त करना।
बताइए कि निम्नलिखित कथन सत्य है या असत्य और कारण दीजिए:
कथन: $A = B^{\prime}$
Solution
(A) दो पासे फेंकने के लिए प्रतिदर्श समष्टि $S$ में $36$ परिणाम होते हैं।
घटना $A$ पहले पासे पर सम संख्या प्राप्त करना है:
$A = \{(2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6), (4,1), (4,2), (4,3), (4,4), (4,5), (4,6), (6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6)\}$
घटना $B$ पहले पासे पर विषम संख्या प्राप्त करना है:
$B = \{(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6), (3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (3,5), (3,6), (5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6)\}$
$B$ का पूरक,जिसे $B^{\prime}$ के रूप में दर्शाया जाता है,में $S$ के वे सभी परिणाम शामिल हैं जो $B$ में नहीं हैं। चूंकि पहले पासे पर केवल सम या विषम संख्या ही आ सकती है,इसलिए पहले पासे पर विषम संख्या प्राप्त करने का पूरक पहले पासे पर सम संख्या प्राप्त करना है।
अतः,$B^{\prime} = \{(2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6), (4,1), (4,2), (4,3), (4,4), (4,5), (4,6), (6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6)\}$
समुच्चयों की तुलना करने पर,हम देखते हैं कि $A = B^{\prime}$ है।
अतः,दिया गया कथन सत्य है।
घटना $A$ पहले पासे पर सम संख्या प्राप्त करना है:
$A = \{(2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6), (4,1), (4,2), (4,3), (4,4), (4,5), (4,6), (6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6)\}$
घटना $B$ पहले पासे पर विषम संख्या प्राप्त करना है:
$B = \{(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6), (3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (3,5), (3,6), (5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6)\}$
$B$ का पूरक,जिसे $B^{\prime}$ के रूप में दर्शाया जाता है,में $S$ के वे सभी परिणाम शामिल हैं जो $B$ में नहीं हैं। चूंकि पहले पासे पर केवल सम या विषम संख्या ही आ सकती है,इसलिए पहले पासे पर विषम संख्या प्राप्त करने का पूरक पहले पासे पर सम संख्या प्राप्त करना है।
अतः,$B^{\prime} = \{(2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6), (4,1), (4,2), (4,3), (4,4), (4,5), (4,6), (6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6)\}$
समुच्चयों की तुलना करने पर,हम देखते हैं कि $A = B^{\prime}$ है।
अतः,दिया गया कथन सत्य है।
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View Solution258
Easy
दो पासे फेंके जाते हैं। घटनाएँ $A, B$ और $C$ इस प्रकार हैं:
$A:$ पहले पासे पर सम संख्या प्राप्त करना।
$B:$ पहले पासे पर विषम संख्या प्राप्त करना।
$C:$ पासों पर संख्याओं का योग $\leq 5$ प्राप्त करना।
सत्य या असत्य बताइए: (अपने उत्तर का कारण दें)
कथन: $A', B', C$ परस्पर अपवर्जी और निशेष हैं।
$A:$ पहले पासे पर सम संख्या प्राप्त करना।
$B:$ पहले पासे पर विषम संख्या प्राप्त करना।
$C:$ पासों पर संख्याओं का योग $\leq 5$ प्राप्त करना।
सत्य या असत्य बताइए: (अपने उत्तर का कारण दें)
कथन: $A', B', C$ परस्पर अपवर्जी और निशेष हैं।
Solution
(B) प्रतिदर्श समष्टि $S$ में $36$ परिणाम हैं।
$A = \{(2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6), (4,1), (4,2), (4,3), (4,4), (4,5), (4,6), (6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6)\}$
$B = \{(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6), (3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (3,5), (3,6), (5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6)\}$
चूंकि $A$ पहले पासे पर सम संख्या प्राप्त करने की घटना है,इसलिए $A' = B$। इसी प्रकार,$B' = A$।
$C = \{(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (2,1), (2,2), (2,3), (3,1), (3,2), (4,1)\}$
घटनाओं के परस्पर अपवर्जी होने के लिए,किन्हीं दो घटनाओं का सर्वनिष्ठ रिक्त समुच्चय $(\phi)$ होना चाहिए।
$B' \cap C = A \cap C = \{(2,1), (2,2), (2,3), (4,1)\} \neq \phi$ की जाँच करें।
चूंकि सर्वनिष्ठ रिक्त नहीं है,इसलिए घटनाएँ परस्पर अपवर्जी नहीं हैं।
अतः,दिया गया कथन असत्य है।
$A = \{(2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6), (4,1), (4,2), (4,3), (4,4), (4,5), (4,6), (6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6)\}$
$B = \{(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6), (3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (3,5), (3,6), (5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6)\}$
चूंकि $A$ पहले पासे पर सम संख्या प्राप्त करने की घटना है,इसलिए $A' = B$। इसी प्रकार,$B' = A$।
$C = \{(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (2,1), (2,2), (2,3), (3,1), (3,2), (4,1)\}$
घटनाओं के परस्पर अपवर्जी होने के लिए,किन्हीं दो घटनाओं का सर्वनिष्ठ रिक्त समुच्चय $(\phi)$ होना चाहिए।
$B' \cap C = A \cap C = \{(2,1), (2,2), (2,3), (4,1)\} \neq \phi$ की जाँच करें।
चूंकि सर्वनिष्ठ रिक्त नहीं है,इसलिए घटनाएँ परस्पर अपवर्जी नहीं हैं।
अतः,दिया गया कथन असत्य है।
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EasyMCQ
$52$ ताश के पत्तों की एक अच्छी तरह से फेंटी गई गड्डी से एक पत्ता निकाला जाता है। यदि प्रत्येक परिणाम समान रूप से संभावित है,तो इस बात की प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि पत्ता ईंट (diamond) का होगा।
A
$1/4$
B
$1/13$
C
$1/2$
D
$3/4$
Solution
(A) ताश की एक अच्छी तरह से फेंटी गई गड्डी में कुल पत्तों की संख्या $52$ है।
ताश की गड्डी में $4$ सूट होते हैं,और प्रत्येक सूट में $13$ पत्ते होते हैं।
ईंट (diamond) के पत्तों की संख्या $13$ है।
ईंट का पत्ता निकालने की प्रायिकता $P(A)$ अनुकूल परिणामों की संख्या और कुल संभावित परिणामों की संख्या के अनुपात द्वारा दी जाती है।
$P(A) = \frac{13}{52} = \frac{1}{4}$.
ताश की गड्डी में $4$ सूट होते हैं,और प्रत्येक सूट में $13$ पत्ते होते हैं।
ईंट (diamond) के पत्तों की संख्या $13$ है।
ईंट का पत्ता निकालने की प्रायिकता $P(A)$ अनुकूल परिणामों की संख्या और कुल संभावित परिणामों की संख्या के अनुपात द्वारा दी जाती है।
$P(A) = \frac{13}{52} = \frac{1}{4}$.
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EasyMCQ
$52$ ताश के पत्तों की एक अच्छी तरह से फेंटी गई गड्डी से एक पत्ता निकाला जाता है। यदि प्रत्येक परिणाम समान रूप से संभावित है,तो इस बात की प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि पत्ता ईंट (डायमंड) का हो लेकिन इक्का न हो।
A
$\frac{3}{52}$
B
$\frac{1}{4}$
C
$\frac{12}{52}$
D
$\frac{1}{13}$
Solution
(C) ताश की गड्डी में कुल पत्तों की संख्या = $52$.
ईंट (डायमंड) के पत्तों की संख्या = $13$.
गड्डी में ईंट का $1$ इक्का होता है।
हमें ईंट के ऐसे पत्ते की प्रायिकता ज्ञात करनी है जो इक्का न हो।
अनुकूल परिणामों की संख्या = (कुल ईंट के पत्ते) - (ईंट का इक्का) = $13 - 1 = 12$.
प्रायिकता = $\frac{\text{अनुकूल परिणामों की संख्या}}{\text{कुल परिणामों की संख्या}} = \frac{12}{52} = \frac{3}{13}$.
ईंट (डायमंड) के पत्तों की संख्या = $13$.
गड्डी में ईंट का $1$ इक्का होता है।
हमें ईंट के ऐसे पत्ते की प्रायिकता ज्ञात करनी है जो इक्का न हो।
अनुकूल परिणामों की संख्या = (कुल ईंट के पत्ते) - (ईंट का इक्का) = $13 - 1 = 12$.
प्रायिकता = $\frac{\text{अनुकूल परिणामों की संख्या}}{\text{कुल परिणामों की संख्या}} = \frac{12}{52} = \frac{3}{13}$.
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$52$ ताश के पत्तों की एक अच्छी तरह से फेंटी गई गड्डी से एक पत्ता निकाला जाता है। यदि प्रत्येक परिणाम समान रूप से संभावित है,तो इस बात की प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि निकाला गया पत्ता एक काला पत्ता (अर्थात,चिड़ी या हुकुम) होगा।
A
$1/2$
B
$1/4$
C
$1/13$
D
$3/4$
Solution
(A) ताश की गड्डी में कुल पत्तों की संख्या $52$ है। अतः,कुल संभावित परिणामों की संख्या $52$ है।
एक मानक गड्डी में दो काले रंग के सूट होते हैं: चिड़ी और हुकुम। प्रत्येक सूट में $13$ पत्ते होते हैं।
इसलिए,काले पत्तों की कुल संख्या $13 + 13 = 26$ है।
मान लीजिए $C$ काला पत्ता निकालने की घटना है। अनुकूल परिणामों की संख्या $26$ है।
प्रायिकता $P(C)$ अनुकूल परिणामों और कुल परिणामों के अनुपात द्वारा दी जाती है:
$P(C) = \frac{26}{52} = \frac{1}{2}$.
एक मानक गड्डी में दो काले रंग के सूट होते हैं: चिड़ी और हुकुम। प्रत्येक सूट में $13$ पत्ते होते हैं।
इसलिए,काले पत्तों की कुल संख्या $13 + 13 = 26$ है।
मान लीजिए $C$ काला पत्ता निकालने की घटना है। अनुकूल परिणामों की संख्या $26$ है।
प्रायिकता $P(C)$ अनुकूल परिणामों और कुल परिणामों के अनुपात द्वारा दी जाती है:
$P(C) = \frac{26}{52} = \frac{1}{2}$.
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$52$ ताश के पत्तों की एक अच्छी तरह से फेंटी गई गड्डी से एक पत्ता निकाला जाता है। यदि प्रत्येक परिणाम समान रूप से संभावित है,तो इस बात की प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि निकाला गया पत्ता ईंट (डायमंड) का नहीं होगा।
A
$\frac{1}{4}$
B
$\frac{1}{2}$
C
$\frac{3}{4}$
D
$\frac{1}{13}$
Solution
(C) अच्छी तरह से फेंटी गई $52$ ताश के पत्तों की गड्डी में कुल पत्तों की संख्या $52$ है।
मान लीजिए $A$ वह घटना है कि निकाला गया पत्ता ईंट का है।
$52$ पत्तों की गड्डी में $13$ ईंट के पत्ते होते हैं।
इसलिए,ईंट का पत्ता निकालने की प्रायिकता $P(A) = \frac{13}{52} = \frac{1}{4}$ है।
घटना 'निकाला गया पत्ता ईंट का नहीं है' घटना $A$ की पूरक घटना है,जिसे $A'$ के रूप में दर्शाया गया है।
पूरक घटना की प्रायिकता $P(A') = 1 - P(A)$ द्वारा दी जाती है।
मान रखने पर,हमें $P(A') = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$ प्राप्त होता है।
मान लीजिए $A$ वह घटना है कि निकाला गया पत्ता ईंट का है।
$52$ पत्तों की गड्डी में $13$ ईंट के पत्ते होते हैं।
इसलिए,ईंट का पत्ता निकालने की प्रायिकता $P(A) = \frac{13}{52} = \frac{1}{4}$ है।
घटना 'निकाला गया पत्ता ईंट का नहीं है' घटना $A$ की पूरक घटना है,जिसे $A'$ के रूप में दर्शाया गया है।
पूरक घटना की प्रायिकता $P(A') = 1 - P(A)$ द्वारा दी जाती है।
मान रखने पर,हमें $P(A') = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$ प्राप्त होता है।
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$52$ ताश के पत्तों की एक अच्छी तरह से फेंटी गई गड्डी से एक पत्ता निकाला जाता है। यदि प्रत्येक परिणाम समान रूप से संभावित है,तो प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि निकाला गया पत्ता काला नहीं होगा।
A
$1/4$
B
$1/2$
C
$3/4$
D
$1/13$
Solution
(B) ताश की गड्डी में कुल पत्तों की संख्या $= 52$.
काले पत्तों की संख्या (हुकुम और चिड़ी) $= 26$.
लाल पत्तों की संख्या (पान और ईंट) $= 26$.
मान लीजिए $E$ वह घटना है कि निकाला गया पत्ता काला नहीं है। इसका अर्थ है कि पत्ता लाल होना चाहिए।
अनुकूल परिणामों की संख्या $= 26$.
प्रायिकता $P(E) = \frac{\text{अनुकूल परिणामों की संख्या}}{\text{कुल परिणामों की संख्या}} = \frac{26}{52} = \frac{1}{2}$.
काले पत्तों की संख्या (हुकुम और चिड़ी) $= 26$.
लाल पत्तों की संख्या (पान और ईंट) $= 26$.
मान लीजिए $E$ वह घटना है कि निकाला गया पत्ता काला नहीं है। इसका अर्थ है कि पत्ता लाल होना चाहिए।
अनुकूल परिणामों की संख्या $= 26$.
प्रायिकता $P(E) = \frac{\text{अनुकूल परिणामों की संख्या}}{\text{कुल परिणामों की संख्या}} = \frac{26}{52} = \frac{1}{2}$.
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एक थैले में $9$ डिस्क हैं जिनमें से $4$ लाल,$3$ नीली और $2$ पीली हैं। डिस्क आकार और माप में समान हैं। थैले से एक डिस्क यादृच्छिक रूप से निकाली जाती है। इसके लाल होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए। ($/9$ में)
A
$4$
B
$3$
C
$2$
D
$1$
Solution
(A) थैले में कुल डिस्क की संख्या $9$ है। इसलिए,कुल संभावित परिणामों की संख्या $9$ है।
माना $A$ वह घटना है कि निकाली गई डिस्क लाल है।
लाल डिस्क की संख्या $4$ है,इसलिए अनुकूल परिणामों की संख्या $n(A) = 4$ है।
लाल डिस्क निकालने की प्रायिकता सूत्र द्वारा दी जाती है:
$P(A) = \frac{\text{अनुकूल परिणामों की संख्या}}{\text{कुल संभावित परिणामों की संख्या}}$
$P(A) = \frac{4}{9}$
माना $A$ वह घटना है कि निकाली गई डिस्क लाल है।
लाल डिस्क की संख्या $4$ है,इसलिए अनुकूल परिणामों की संख्या $n(A) = 4$ है।
लाल डिस्क निकालने की प्रायिकता सूत्र द्वारा दी जाती है:
$P(A) = \frac{\text{अनुकूल परिणामों की संख्या}}{\text{कुल संभावित परिणामों की संख्या}}$
$P(A) = \frac{4}{9}$
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एक थैले में $9$ डिस्क हैं जिनमें से $4$ लाल,$3$ नीली और $2$ पीली हैं। डिस्क आकार और माप में समान हैं। थैले से एक डिस्क यादृच्छिक रूप से निकाली जाती है। इसके पीली होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए। ($/9$ में)
A
$2$
B
$4$
C
$3$
D
$1$
Solution
(A) कुल डिस्क की संख्या $= 4 + 3 + 2 = 9$ है।
अतः,कुल संभावित परिणामों की संख्या $9$ है।
मान लीजिए $E$ पीली डिस्क निकालने की घटना है।
पीली डिस्क की संख्या $2$ है।
इसलिए,अनुकूल परिणामों की संख्या $2$ है।
प्रायिकता $P(E)$ सूत्र द्वारा दी जाती है:
$P(E) = \frac{\text{अनुकूल परिणामों की संख्या}}{\text{कुल संभावित परिणामों की संख्या}} = \frac{2}{9}$.
अतः,कुल संभावित परिणामों की संख्या $9$ है।
मान लीजिए $E$ पीली डिस्क निकालने की घटना है।
पीली डिस्क की संख्या $2$ है।
इसलिए,अनुकूल परिणामों की संख्या $2$ है।
प्रायिकता $P(E)$ सूत्र द्वारा दी जाती है:
$P(E) = \frac{\text{अनुकूल परिणामों की संख्या}}{\text{कुल संभावित परिणामों की संख्या}} = \frac{2}{9}$.
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एक थैले में $9$ डिस्क हैं जिनमें से $4$ लाल,$3$ नीली और $2$ पीली हैं। डिस्क आकार और माप में समान हैं। थैले से एक डिस्क यादृच्छिक रूप से निकाली जाती है। इसके नीली होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
A
$1/9$
B
$1/3$
C
$2/9$
D
$4/9$
Solution
(B) थैले में कुल $9$ डिस्क हैं,इसलिए संभावित परिणामों की कुल संख्या $9$ है।
मान लीजिए $C$ वह घटना है कि निकाली गई डिस्क नीली है।
नीली डिस्क की संख्या $3$ है,इसलिए अनुकूल परिणामों की संख्या $n(C) = 3$ है।
नीली डिस्क निकालने की प्रायिकता $P(C) = \frac{\text{अनुकूल परिणामों की संख्या}}{\text{कुल संभावित परिणामों की संख्या}}$ द्वारा दी जाती है।
$P(C) = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}$.
मान लीजिए $C$ वह घटना है कि निकाली गई डिस्क नीली है।
नीली डिस्क की संख्या $3$ है,इसलिए अनुकूल परिणामों की संख्या $n(C) = 3$ है।
नीली डिस्क निकालने की प्रायिकता $P(C) = \frac{\text{अनुकूल परिणामों की संख्या}}{\text{कुल संभावित परिणामों की संख्या}}$ द्वारा दी जाती है।
$P(C) = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}$.
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एक थैले में $9$ डिस्क हैं जिनमें से $4$ लाल,$3$ नीली और $2$ पीली हैं। डिस्क आकार और माप में समान हैं। थैले से यादृच्छिक रूप से एक डिस्क निकाली जाती है। इसके नीली न होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
A
$\frac{1}{3}$
B
$\frac{2}{3}$
C
$\frac{4}{9}$
D
$\frac{5}{9}$
Solution
(B) थैले में कुल डिस्क की संख्या $9$ है। अतः,कुल संभावित परिणामों की संख्या $9$ है।
मान लीजिए $C$ वह घटना है कि निकाली गई डिस्क नीली है।
नीली डिस्क की संख्या $3$ है।
इसलिए,नीली डिस्क निकालने की प्रायिकता $P(C) = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}$ है।
'नीली नहीं' घटना $C$ की पूरक घटना है,जिसे $C'$ के रूप में दर्शाया जाता है।
हम जानते हैं कि $P(C') = 1 - P(C)$.
अतः,$P(C') = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$.
मान लीजिए $C$ वह घटना है कि निकाली गई डिस्क नीली है।
नीली डिस्क की संख्या $3$ है।
इसलिए,नीली डिस्क निकालने की प्रायिकता $P(C) = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}$ है।
'नीली नहीं' घटना $C$ की पूरक घटना है,जिसे $C'$ के रूप में दर्शाया जाता है।
हम जानते हैं कि $P(C') = 1 - P(C)$.
अतः,$P(C') = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$.
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MediumMCQ
एक थैले में $9$ डिस्क हैं जिनमें से $4$ लाल,$3$ नीली और $2$ पीली हैं। डिस्क आकार और माप में समान हैं। थैले से एक डिस्क यादृच्छिक रूप से निकाली जाती है। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि वह या तो लाल है या नीली।
A
$\frac{1}{9}$
B
$\frac{2}{9}$
C
$\frac{7}{9}$
D
$\frac{4}{9}$
Solution
(C) कुल डिस्क की संख्या $= 4 + 3 + 2 = 9$.
कुल संभावित परिणामों की संख्या $= 9$.
माना $R$ लाल डिस्क निकालने की घटना है और $B$ नीली डिस्क निकालने की घटना है।
लाल डिस्क की संख्या $= 4$,इसलिए $P(R) = \frac{4}{9}$.
नीली डिस्क की संख्या $= 3$,इसलिए $P(B) = \frac{3}{9}$.
चूंकि घटनाएं परस्पर अपवर्जी हैं,इसलिए लाल या नीली डिस्क निकालने की प्रायिकता $P(R \cup B) = P(R) + P(B)$ होगी।
$P(R \cup B) = \frac{4}{9} + \frac{3}{9} = \frac{7}{9}$.
कुल संभावित परिणामों की संख्या $= 9$.
माना $R$ लाल डिस्क निकालने की घटना है और $B$ नीली डिस्क निकालने की घटना है।
लाल डिस्क की संख्या $= 4$,इसलिए $P(R) = \frac{4}{9}$.
नीली डिस्क की संख्या $= 3$,इसलिए $P(B) = \frac{3}{9}$.
चूंकि घटनाएं परस्पर अपवर्जी हैं,इसलिए लाल या नीली डिस्क निकालने की प्रायिकता $P(R \cup B) = P(R) + P(B)$ होगी।
$P(R \cup B) = \frac{4}{9} + \frac{3}{9} = \frac{7}{9}$.
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MediumMCQ
दो छात्र अनिल और आशिमा एक परीक्षा में उपस्थित हुए। अनिल के परीक्षा उत्तीर्ण करने की प्रायिकता $0.05$ है और आशिमा के परीक्षा उत्तीर्ण करने की प्रायिकता $0.10$ है। दोनों के परीक्षा उत्तीर्ण करने की प्रायिकता $0.02$ है। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि अनिल और आशिमा दोनों परीक्षा उत्तीर्ण नहीं करेंगे।
A
$0.87$
B
$0.13$
C
$0.15$
D
$0.98$
Solution
(A) मान लीजिए $E$ और $F$ क्रमशः अनिल और आशिमा के परीक्षा उत्तीर्ण करने की घटनाएँ हैं।
दिया गया है कि $P(E) = 0.05$,$P(F) = 0.10$,और $P(E \cap F) = 0.02$.
'अनिल और आशिमा दोनों परीक्षा उत्तीर्ण नहीं करेंगे' घटना को $E' \cap F'$ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।
डी मॉर्गन के नियम के अनुसार,$E' \cap F' = (E \cup F)'$.
सबसे पहले,हम प्रायिकता ज्ञात करते हैं कि कम से कम एक उत्तीर्ण हो:
$P(E \cup F) = P(E) + P(F) - P(E \cap F)$
$P(E \cup F) = 0.05 + 0.10 - 0.02 = 0.13$.
अब,प्रायिकता कि दोनों उत्तीर्ण नहीं होंगे:
$P(E' \cap F') = P((E \cup F)') = 1 - P(E \cup F)$
$P(E' \cap F') = 1 - 0.13 = 0.87$.
दिया गया है कि $P(E) = 0.05$,$P(F) = 0.10$,और $P(E \cap F) = 0.02$.
'अनिल और आशिमा दोनों परीक्षा उत्तीर्ण नहीं करेंगे' घटना को $E' \cap F'$ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।
डी मॉर्गन के नियम के अनुसार,$E' \cap F' = (E \cup F)'$.
सबसे पहले,हम प्रायिकता ज्ञात करते हैं कि कम से कम एक उत्तीर्ण हो:
$P(E \cup F) = P(E) + P(F) - P(E \cap F)$
$P(E \cup F) = 0.05 + 0.10 - 0.02 = 0.13$.
अब,प्रायिकता कि दोनों उत्तीर्ण नहीं होंगे:
$P(E' \cap F') = P((E \cup F)') = 1 - P(E \cup F)$
$P(E' \cap F') = 1 - 0.13 = 0.87$.
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EasyMCQ
दो छात्र,अनिल और आशिमा,एक परीक्षा में शामिल हुए। अनिल के परीक्षा उत्तीर्ण करने की प्रायिकता $0.05$ है और आशिमा के परीक्षा उत्तीर्ण करने की प्रायिकता $0.10$ है। दोनों के परीक्षा उत्तीर्ण करने की प्रायिकता $0.02$ है। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि उनमें से कम से कम एक परीक्षा उत्तीर्ण नहीं करेगा।
A
$0.98$
B
$0.95$
C
$0.90$
D
$0.87$
Solution
(A) माना $E$ और $F$ वे घटनाएँ हैं कि अनिल और आशिमा परीक्षा उत्तीर्ण करते हैं।
दिया गया है:
$P(E) = 0.05$
$P(F) = 0.10$
$P(E \cap F) = 0.02$
हमें वह प्रायिकता ज्ञात करनी है कि उनमें से कम से कम एक परीक्षा उत्तीर्ण नहीं करेगा।
यह उस घटना की पूरक घटना है कि दोनों परीक्षा उत्तीर्ण करते हैं।
अतः,अभीष्ट प्रायिकता $= 1 - P(E \cap F)$
$= 1 - 0.02$
$= 0.98$
दिया गया है:
$P(E) = 0.05$
$P(F) = 0.10$
$P(E \cap F) = 0.02$
हमें वह प्रायिकता ज्ञात करनी है कि उनमें से कम से कम एक परीक्षा उत्तीर्ण नहीं करेगा।
यह उस घटना की पूरक घटना है कि दोनों परीक्षा उत्तीर्ण करते हैं।
अतः,अभीष्ट प्रायिकता $= 1 - P(E \cap F)$
$= 1 - 0.02$
$= 0.98$
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MediumMCQ
दो छात्र,अनिल और आशिमा,एक परीक्षा में शामिल हुए। अनिल के परीक्षा उत्तीर्ण करने की प्रायिकता $0.05$ है और आशिमा के परीक्षा उत्तीर्ण करने की प्रायिकता $0.10$ है। दोनों के परीक्षा उत्तीर्ण करने की प्रायिकता $0.02$ है। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि उनमें से केवल एक ही परीक्षा उत्तीर्ण करेगा।
A
$0.11$
B
$0.13$
C
$0.15$
D
$0.07$
Solution
(A) मान लीजिए कि $E$ और $F$ क्रमशः अनिल और आशिमा के परीक्षा उत्तीर्ण करने की घटनाएँ हैं।
दिया गया है कि $P(E) = 0.05$,$P(F) = 0.10$,और $P(E \cap F) = 0.02$.
वह घटना कि उनमें से केवल एक ही परीक्षा उत्तीर्ण करेगा,$(E \cap F') \cup (E' \cap F)$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि ये घटनाएँ परस्पर अपवर्जी हैं,इसलिए प्रायिकता है:
$P(\text{केवल एक}) = P(E \cap F') + P(E' \cap F)$
$= [P(E) - P(E \cap F)] + [P(F) - P(E \cap F)]$
$= (0.05 - 0.02) + (0.10 - 0.02)$
$= 0.03 + 0.08 = 0.11$.
दिया गया है कि $P(E) = 0.05$,$P(F) = 0.10$,और $P(E \cap F) = 0.02$.
वह घटना कि उनमें से केवल एक ही परीक्षा उत्तीर्ण करेगा,$(E \cap F') \cup (E' \cap F)$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि ये घटनाएँ परस्पर अपवर्जी हैं,इसलिए प्रायिकता है:
$P(\text{केवल एक}) = P(E \cap F') + P(E' \cap F)$
$= [P(E) - P(E \cap F)] + [P(F) - P(E \cap F)]$
$= (0.05 - 0.02) + (0.10 - 0.02)$
$= 0.03 + 0.08 = 0.11$.
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प्रतिदर्श समष्टि $S = \{\omega_{1}, \omega_{2}, \omega_{3}, \omega_{4}, \omega_{5}, \omega_{6}, \omega_{7}\}$ के परिणामों के लिए निम्नलिखित में से कौन सा प्रायिकता का वैध असाइनमेंट नहीं हो सकता है?
| परिणाम | प्रायिकता |
| $\omega_{1}$ | $\frac{1}{14}$ |
| $\omega_{2}$ | $\frac{2}{14}$ |
| $\omega_{3}$ | $\frac{3}{14}$ |
| $\omega_{4}$ | $\frac{4}{14}$ |
| $\omega_{5}$ | $\frac{5}{14}$ |
| $\omega_{6}$ | $\frac{6}{14}$ |
| $\omega_{7}$ | $\frac{15}{14}$ |
Solution
(D) किसी भी प्रायिकता असाइनमेंट के वैध होने के लिए,इसे दो शर्तों को पूरा करना होगा:
$1$. प्रत्येक प्रायिकता $P(\omega_{i})$ ऐसी होनी चाहिए कि $0 \leq P(\omega_{i}) \leq 1$ हो।
$2$. सभी प्रायिकताओं का योग $1$ के बराबर होना चाहिए,अर्थात $\sum P(\omega_{i}) = 1$।
दी गई तालिका में,हम देखते हैं कि $\omega_{7}$ को दी गई प्रायिकता $P(\omega_{7}) = \frac{15}{14}$ है।
चूंकि $\frac{15}{14} > 1$,यह प्रायिकता के उस मूलभूत सिद्धांत का उल्लंघन करता है जो कहता है कि सभी $i$ के लिए $P(\omega_{i}) \leq 1$ होना चाहिए।
इसलिए,यह असाइनमेंट वैध नहीं है।
$1$. प्रत्येक प्रायिकता $P(\omega_{i})$ ऐसी होनी चाहिए कि $0 \leq P(\omega_{i}) \leq 1$ हो।
$2$. सभी प्रायिकताओं का योग $1$ के बराबर होना चाहिए,अर्थात $\sum P(\omega_{i}) = 1$।
दी गई तालिका में,हम देखते हैं कि $\omega_{7}$ को दी गई प्रायिकता $P(\omega_{7}) = \frac{15}{14}$ है।
चूंकि $\frac{15}{14} > 1$,यह प्रायिकता के उस मूलभूत सिद्धांत का उल्लंघन करता है जो कहता है कि सभी $i$ के लिए $P(\omega_{i}) \leq 1$ होना चाहिए।
इसलिए,यह असाइनमेंट वैध नहीं है।
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EasyMCQ
एक सिक्के को दो बार उछाला जाता है। कम से कम एक पट (tail) आने की प्रायिकता क्या है?
A
$1/4$
B
$1/2$
C
$3/4$
D
$1$
Solution
(C) जब एक सिक्के को दो बार उछाला जाता है,तो प्रतिदर्श समष्टि $S$ इस प्रकार है:
$S = \{HH, HT, TH, TT\}$
कुल परिणामों की संख्या $n(S) = 4$ है।
माना $A$ कम से कम एक पट (tail) आने की घटना है।
अनुकूल परिणाम $HT, TH,$ और $TT$ हैं।
अतः,$A = \{HT, TH, TT\}$ और $n(A) = 3$ है।
प्रायिकता $P(A)$ इस प्रकार है:
$P(A) = \frac{n(A)}{n(S)} = \frac{3}{4}$
$S = \{HH, HT, TH, TT\}$
कुल परिणामों की संख्या $n(S) = 4$ है।
माना $A$ कम से कम एक पट (tail) आने की घटना है।
अनुकूल परिणाम $HT, TH,$ और $TT$ हैं।
अतः,$A = \{HT, TH, TT\}$ और $n(A) = 3$ है।
प्रायिकता $P(A)$ इस प्रकार है:
$P(A) = \frac{n(A)}{n(S)} = \frac{3}{4}$
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EasyMCQ
एक पासा फेंका जाता है। निम्नलिखित घटना की प्रायिकता ज्ञात कीजिए: एक अभाज्य संख्या प्राप्त होगी।
A
$1/2$
B
$1/3$
C
$1/6$
D
$2/3$
Solution
(A) पासा फेंकने के प्रयोग का प्रतिदर्श समष्टि $S$ इस प्रकार है:
$S = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$
कुल संभावित परिणामों की संख्या $n(S) = 6$ है।
माना $A$ एक अभाज्य संख्या प्राप्त होने की घटना है।
प्रतिदर्श समष्टि में अभाज्य संख्याएँ $2, 3,$ और $5$ हैं।
अतः,$A = \{2, 3, 5\}$।
अनुकूल परिणामों की संख्या $n(A) = 3$ है।
घटना $A$ की प्रायिकता है:
$P(A) = \frac{n(A)}{n(S)} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$।
$S = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$
कुल संभावित परिणामों की संख्या $n(S) = 6$ है।
माना $A$ एक अभाज्य संख्या प्राप्त होने की घटना है।
प्रतिदर्श समष्टि में अभाज्य संख्याएँ $2, 3,$ और $5$ हैं।
अतः,$A = \{2, 3, 5\}$।
अनुकूल परिणामों की संख्या $n(A) = 3$ है।
घटना $A$ की प्रायिकता है:
$P(A) = \frac{n(A)}{n(S)} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$।
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EasyMCQ
एक पासा फेंका जाता है। निम्नलिखित घटना की प्रायिकता ज्ञात कीजिए: $3$ या $3$ से बड़ी संख्या प्राप्त हो।
A
$1/3$
B
$1/2$
C
$2/3$
D
$5/6$
Solution
(C) दिए गए प्रयोग का प्रतिदर्श समष्टि $S = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ है।
माना $B$ एक ऐसी घटना है जिसमें $3$ या $3$ से बड़ी संख्या प्राप्त होती है।
अतः,$B = \{3, 4, 5, 6\}$।
अनुकूल परिणामों की संख्या $n(B) = 4$ है।
कुल संभावित परिणामों की संख्या $n(S) = 6$ है।
इसलिए,प्रायिकता $P(B) = \frac{n(B)}{n(S)} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$।
माना $B$ एक ऐसी घटना है जिसमें $3$ या $3$ से बड़ी संख्या प्राप्त होती है।
अतः,$B = \{3, 4, 5, 6\}$।
अनुकूल परिणामों की संख्या $n(B) = 4$ है।
कुल संभावित परिणामों की संख्या $n(S) = 6$ है।
इसलिए,प्रायिकता $P(B) = \frac{n(B)}{n(S)} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$।
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View Solution276
EasyMCQ
एक पासा फेंका जाता है। निम्नलिखित घटना की प्रायिकता ज्ञात कीजिए: $1$ के बराबर या उससे छोटी संख्या प्राप्त हो।
A
$\frac{1}{6}$
B
$\frac{1}{3}$
C
$\frac{1}{2}$
D
$\frac{2}{3}$
Solution
(A) दिए गए प्रयोग का प्रतिदर्श समष्टि $S = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ है।
मान लीजिए $C$ एक ऐसी घटना है जिसमें $1$ के बराबर या उससे छोटी संख्या प्राप्त होती है।
अतः,$C = \{1\}$।
यहाँ,अनुकूल परिणामों की संख्या $n(C) = 1$ और कुल संभावित परिणामों की संख्या $n(S) = 6$ है।
$\therefore P(C) = \frac{n(C)}{n(S)} = \frac{1}{6}$।
मान लीजिए $C$ एक ऐसी घटना है जिसमें $1$ के बराबर या उससे छोटी संख्या प्राप्त होती है।
अतः,$C = \{1\}$।
यहाँ,अनुकूल परिणामों की संख्या $n(C) = 1$ और कुल संभावित परिणामों की संख्या $n(S) = 6$ है।
$\therefore P(C) = \frac{n(C)}{n(S)} = \frac{1}{6}$।
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एक पासा फेंका जाता है। निम्नलिखित घटना की प्रायिकता ज्ञात कीजिए: $6$ से बड़ी संख्या प्राप्त हो।
A
$0$
B
$1/6$
C
$1/3$
D
$1$
Solution
(A) पासा फेंकने के प्रयोग के लिए प्रतिदर्श समष्टि $S = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ है।
कुल संभावित परिणामों की संख्या $n(S) = 6$ है।
माना $D$ एक ऐसी घटना है जिसमें $6$ से बड़ी संख्या प्राप्त होती है।
चूंकि एक मानक पासे पर $6$ से बड़ी कोई संख्या नहीं होती है,इसलिए $D = \emptyset$ है।
अतः,अनुकूल परिणामों की संख्या $n(D) = 0$ है।
प्रायिकता $P(D) = \frac{n(D)}{n(S)} = \frac{0}{6} = 0$ है।
कुल संभावित परिणामों की संख्या $n(S) = 6$ है।
माना $D$ एक ऐसी घटना है जिसमें $6$ से बड़ी संख्या प्राप्त होती है।
चूंकि एक मानक पासे पर $6$ से बड़ी कोई संख्या नहीं होती है,इसलिए $D = \emptyset$ है।
अतः,अनुकूल परिणामों की संख्या $n(D) = 0$ है।
प्रायिकता $P(D) = \frac{n(D)}{n(S)} = \frac{0}{6} = 0$ है।
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एक पासा फेंका जाता है। निम्नलिखित घटना की प्रायिकता ज्ञात कीजिए: $6$ से कम संख्या प्राप्त होना।
A
$1/6$
B
$2/3$
C
$5/6$
D
$1/2$
Solution
(C) दिए गए प्रयोग का प्रतिदर्श समष्टि $S = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ है।
माना $E$,$6$ से कम संख्या प्राप्त होने की घटना है।
तदनुसार,$E = \{1, 2, 3, 4, 5\}$ है।
अतः,अनुकूल परिणामों की संख्या $n(E) = 5$ है और कुल संभावित परिणामों की संख्या $n(S) = 6$ है।
$P(E) = \frac{n(E)}{n(S)} = \frac{5}{6}$.
माना $E$,$6$ से कम संख्या प्राप्त होने की घटना है।
तदनुसार,$E = \{1, 2, 3, 4, 5\}$ है।
अतः,अनुकूल परिणामों की संख्या $n(E) = 5$ है और कुल संभावित परिणामों की संख्या $n(S) = 6$ है।
$P(E) = \frac{n(E)}{n(S)} = \frac{5}{6}$.
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$52$ ताश के पत्तों की एक गड्डी से एक पत्ता चुना जाता है। प्रतिदर्श समष्टि (sample space) में कितने बिंदु हैं?
A
$52$
B
$26$
C
$13$
D
$4$
Solution
(A) ताश की एक मानक गड्डी में $52$ अलग-अलग पत्ते होते हैं।
जब गड्डी से एक पत्ता चुना जाता है,तो $52$ पत्तों में से कोई भी एक चुना जा सकता है।
इसलिए,प्रतिदर्श समष्टि में संभावित परिणामों की कुल संख्या $52$ है।
अतः,प्रतिदर्श समष्टि में $52$ बिंदु हैं।
जब गड्डी से एक पत्ता चुना जाता है,तो $52$ पत्तों में से कोई भी एक चुना जा सकता है।
इसलिए,प्रतिदर्श समष्टि में संभावित परिणामों की कुल संख्या $52$ है।
अतः,प्रतिदर्श समष्टि में $52$ बिंदु हैं।
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EasyMCQ
$52$ ताश के पत्तों की एक गड्डी से एक पत्ता निकाला जाता है। इस बात की प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि वह पत्ता हुकुम का इक्का (ace of spades) है।
A
$1/52$
B
$1/26$
C
$1/13$
D
$4/52$
Solution
(A) मान लीजिए $A$ वह घटना है जिसमें निकाला गया पत्ता हुकुम का इक्का है।
$52$ ताश के पत्तों की एक मानक गड्डी में,केवल $1$ हुकुम का इक्का होता है।
इसलिए,अनुकूल परिणामों की संख्या $n(A) = 1$ है।
कुल संभावित परिणामों की संख्या $n(S) = 52$ है।
प्रायिकता $P(A)$ इस प्रकार है:
$P(A) = \frac{n(A)}{n(S)} = \frac{1}{52}$.
$52$ ताश के पत्तों की एक मानक गड्डी में,केवल $1$ हुकुम का इक्का होता है।
इसलिए,अनुकूल परिणामों की संख्या $n(A) = 1$ है।
कुल संभावित परिणामों की संख्या $n(S) = 52$ है।
प्रायिकता $P(A)$ इस प्रकार है:
$P(A) = \frac{n(A)}{n(S)} = \frac{1}{52}$.
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EasyMCQ
$52$ ताश के पत्तों की एक गड्डी से एक पत्ता निकाला जाता है। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि वह पत्ता एक इक्का (ace) है।
A
$1/13$
B
$1/26$
C
$4/13$
D
$1/52$
Solution
(A) मान लीजिए कि $E$ वह घटना है जिसमें निकाला गया पत्ता एक इक्का है।
चूंकि $52$ ताश के पत्तों की गड्डी में $4$ इक्के होते हैं,इसलिए अनुकूल परिणामों की संख्या $n(E) = 4$ है।
कुल संभावित परिणामों की संख्या $n(S) = 52$ है।
अतः,प्रायिकता $P(E)$ इस प्रकार है:
$P(E) = \frac{n(E)}{n(S)} = \frac{4}{52} = \frac{1}{13}$.
चूंकि $52$ ताश के पत्तों की गड्डी में $4$ इक्के होते हैं,इसलिए अनुकूल परिणामों की संख्या $n(E) = 4$ है।
कुल संभावित परिणामों की संख्या $n(S) = 52$ है।
अतः,प्रायिकता $P(E)$ इस प्रकार है:
$P(E) = \frac{n(E)}{n(S)} = \frac{4}{52} = \frac{1}{13}$.
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$52$ ताश के पत्तों की एक गड्डी से एक पत्ता निकाला जाता है। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि निकाला गया पत्ता काला है।
A
$1/2$
B
$1/4$
C
$1/13$
D
$3/4$
Solution
(A) माना कि $F$ वह घटना है जिसमें निकाला गया पत्ता काला है।
चूंकि $52$ पत्तों की गड्डी में $26$ काले पत्ते होते हैं,इसलिए $n(F) = 26$ है।
कुल संभावित परिणामों की संख्या $n(S) = 52$ है।
अतः,प्रायिकता $P(F) = \frac{n(F)}{n(S)} = \frac{26}{52} = \frac{1}{2}$।
चूंकि $52$ पत्तों की गड्डी में $26$ काले पत्ते होते हैं,इसलिए $n(F) = 26$ है।
कुल संभावित परिणामों की संख्या $n(S) = 52$ है।
अतः,प्रायिकता $P(F) = \frac{n(F)}{n(S)} = \frac{26}{52} = \frac{1}{2}$।
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एक निष्पक्ष सिक्का जिसके एक फलक पर $1$ और दूसरे पर $6$ अंकित है और एक निष्पक्ष पासा दोनों उछाले जाते हैं। प्राप्त संख्याओं का योग $3$ होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
A
$\frac{1}{12}$
B
$\frac{1}{6}$
C
$\frac{1}{4}$
D
$\frac{1}{3}$
Solution
(A) निष्पक्ष सिक्के पर $1$ और $6$ अंकित हैं। निष्पक्ष पासे पर $1, 2, 3, 4, 5,$ और $6$ अंकित हैं।
प्रतिदर्श समष्टि $S$ सभी संभावित क्रमित युग्मों $(c, d)$ का समुच्चय है,जहाँ $c$ सिक्के का परिणाम है और $d$ पासे का परिणाम है:
$S = \{(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6), (6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6)\}$
कुल परिणामों की संख्या $n(S) = 12$ है।
मान लीजिए $A$ वह घटना है जिसमें संख्याओं का योग $3$ है। प्रतिदर्श समष्टि को देखने पर,केवल $(1, 2)$ ही ऐसा परिणाम है जहाँ योग $3$ है।
अतः,$A = \{(1, 2)\}$ और $n(A) = 1$.
प्रायिकता $P(A)$ इस प्रकार है:
$P(A) = \frac{n(A)}{n(S)} = \frac{1}{12}$
प्रतिदर्श समष्टि $S$ सभी संभावित क्रमित युग्मों $(c, d)$ का समुच्चय है,जहाँ $c$ सिक्के का परिणाम है और $d$ पासे का परिणाम है:
$S = \{(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6), (6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6)\}$
कुल परिणामों की संख्या $n(S) = 12$ है।
मान लीजिए $A$ वह घटना है जिसमें संख्याओं का योग $3$ है। प्रतिदर्श समष्टि को देखने पर,केवल $(1, 2)$ ही ऐसा परिणाम है जहाँ योग $3$ है।
अतः,$A = \{(1, 2)\}$ और $n(A) = 1$.
प्रायिकता $P(A)$ इस प्रकार है:
$P(A) = \frac{n(A)}{n(S)} = \frac{1}{12}$
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एक निष्पक्ष सिक्का जिसके एक फलक पर $1$ और दूसरे पर $6$ अंकित है और एक निष्पक्ष पासे को उछाला जाता है। प्राप्त संख्याओं का योग $12$ होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
A
$\frac{1}{12}$
B
$\frac{1}{6}$
C
$\frac{1}{3}$
D
$\frac{1}{2}$
Solution
(A) निष्पक्ष सिक्के पर $1$ और $6$ अंकित हैं। पासे पर $1, 2, 3, 4, 5,$ और $6$ अंकित हैं।
दोनों को उछालने पर प्रतिदर्श समष्टि $S = \{(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6), (6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6)\}$ है।
कुल परिणामों की संख्या $n(S) = 12$ है।
माना $B$ वह घटना है जिसमें संख्याओं का योग $12$ है।
इसके लिए केवल एक परिणाम $(6, 6)$ संभव है,अतः $B = \{(6, 6)\}$।
अनुकूल परिणामों की संख्या $n(B) = 1$ है।
अतः,प्रायिकता $P(B) = \frac{n(B)}{n(S)} = \frac{1}{12}$।
दोनों को उछालने पर प्रतिदर्श समष्टि $S = \{(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6), (6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6)\}$ है।
कुल परिणामों की संख्या $n(S) = 12$ है।
माना $B$ वह घटना है जिसमें संख्याओं का योग $12$ है।
इसके लिए केवल एक परिणाम $(6, 6)$ संभव है,अतः $B = \{(6, 6)\}$।
अनुकूल परिणामों की संख्या $n(B) = 1$ है।
अतः,प्रायिकता $P(B) = \frac{n(B)}{n(S)} = \frac{1}{12}$।
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नगर परिषद में चार पुरुष और छह महिलाएं हैं। यदि समिति के लिए एक सदस्य को यादृच्छिक रूप से चुना जाता है,तो इस बात की क्या प्रायिकता है कि चुना गया सदस्य एक महिला है ($/5$ में)?
A
$1$
B
$2$
C
$3$
D
$4$
Solution
(C) नगर परिषद के सदस्यों की कुल संख्या $4 + 6 = 10$ है।
मान लीजिए $S$ प्रतिदर्श समष्टि है,इसलिए $n(S) = 10$ है।
मान लीजिए $A$ वह घटना है जिसमें चुना गया सदस्य एक महिला है।
परिषद में महिलाओं की संख्या $6$ है,इसलिए $n(A) = 6$ है।
प्रायिकता $P(A)$ सूत्र $P(A) = \frac{n(A)}{n(S)}$ द्वारा दी जाती है।
अतः,$P(A) = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$।
मान लीजिए $S$ प्रतिदर्श समष्टि है,इसलिए $n(S) = 10$ है।
मान लीजिए $A$ वह घटना है जिसमें चुना गया सदस्य एक महिला है।
परिषद में महिलाओं की संख्या $6$ है,इसलिए $n(A) = 6$ है।
प्रायिकता $P(A)$ सूत्र $P(A) = \frac{n(A)}{n(S)}$ द्वारा दी जाती है।
अतः,$P(A) = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$।
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तीन सिक्कों को एक बार उछाला जाता है। $3$ चित (heads) प्राप्त करने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
A
$1/8$
B
$3/8$
C
$1/2$
D
$7/8$
Solution
(A) जब तीन सिक्कों को एक बार उछाला जाता है,तो प्रतिदर्श समष्टि $S$ इस प्रकार है:
$S = \{HHH, HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH, TTT\}$
अतः,कुल संभावित परिणामों की संख्या $n(S) = 8$ है।
मान लीजिए $E$ तीन चित प्राप्त करने की घटना है। अनुकूल परिणाम है:
$E = \{HHH\}$
अतः,अनुकूल परिणामों की संख्या $n(E) = 1$ है।
घटना $E$ की प्रायिकता है:
$P(E) = \frac{n(E)}{n(S)} = \frac{1}{8}$
$S = \{HHH, HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH, TTT\}$
अतः,कुल संभावित परिणामों की संख्या $n(S) = 8$ है।
मान लीजिए $E$ तीन चित प्राप्त करने की घटना है। अनुकूल परिणाम है:
$E = \{HHH\}$
अतः,अनुकूल परिणामों की संख्या $n(E) = 1$ है।
घटना $E$ की प्रायिकता है:
$P(E) = \frac{n(E)}{n(S)} = \frac{1}{8}$
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EasyMCQ
तीन सिक्कों को एक बार उछाला जाता है। $2$ चित (heads) प्राप्त करने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
A
$3/8$
B
$1/8$
C
$1/2$
D
$1/4$
Solution
(A) जब तीन सिक्कों को एक बार उछाला जाता है,तो प्रतिदर्श समष्टि $S = \{HHH, HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH, TTT\}$ है।
$\therefore n(S) = 8$.
घटना $A$ की प्रायिकता $P(A) = \frac{n(A)}{n(S)}$ द्वारा दी जाती है।
मान लीजिए $C$ ठीक $2$ चित प्राप्त करने की घटना है।
अतः,$C = \{HHT, HTH, THH\}$.
$\therefore n(C) = 3$.
इस प्रकार,$P(C) = \frac{n(C)}{n(S)} = \frac{3}{8}$.
$\therefore n(S) = 8$.
घटना $A$ की प्रायिकता $P(A) = \frac{n(A)}{n(S)}$ द्वारा दी जाती है।
मान लीजिए $C$ ठीक $2$ चित प्राप्त करने की घटना है।
अतः,$C = \{HHT, HTH, THH\}$.
$\therefore n(C) = 3$.
इस प्रकार,$P(C) = \frac{n(C)}{n(S)} = \frac{3}{8}$.
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तीन सिक्कों को एक बार उछाला जाता है। कम से कम $2$ चित (heads) प्राप्त करने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
A
$\frac{1}{8}$
B
$\frac{1}{4}$
C
$\frac{1}{2}$
D
$\frac{3}{8}$
Solution
(C) जब तीन सिक्कों को एक बार उछाला जाता है,तो प्रतिदर्श समष्टि $S$ इस प्रकार है:
$S = \{HHH, HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH, TTT\}$
अतः,कुल संभावित परिणामों की संख्या $n(S) = 8$ है।
माना $D$ कम से कम $2$ चित प्राप्त करने की घटना है। अनुकूल परिणाम हैं:
$D = \{HHH, HHT, HTH, THH\}$
अतः,अनुकूल परिणामों की संख्या $n(D) = 4$ है।
घटना $D$ की प्रायिकता है:
$P(D) = \frac{n(D)}{n(S)} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$
$S = \{HHH, HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH, TTT\}$
अतः,कुल संभावित परिणामों की संख्या $n(S) = 8$ है।
माना $D$ कम से कम $2$ चित प्राप्त करने की घटना है। अनुकूल परिणाम हैं:
$D = \{HHH, HHT, HTH, THH\}$
अतः,अनुकूल परिणामों की संख्या $n(D) = 4$ है।
घटना $D$ की प्रायिकता है:
$P(D) = \frac{n(D)}{n(S)} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$
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EasyMCQ
तीन सिक्कों को एक बार उछाला जाता है। अधिकतम $2$ चित (heads) प्राप्त करने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
A
$1/8$
B
$3/8$
C
$7/8$
D
$1/2$
Solution
(C) जब तीन सिक्कों को एक बार उछाला जाता है,तो प्रतिदर्श समष्टि $S = \{HHH, HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH, TTT\}$ है।
अतः,कुल संभावित परिणामों की संख्या $n(S) = 8$ है।
मान लीजिए $E$ अधिकतम $2$ चित प्राप्त करने की घटना है। इसका अर्थ है कि हम $3$ चित $(HHH)$ वाले परिणाम को छोड़ देंगे।
अनुकूल परिणाम $E = \{HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH, TTT\}$ हैं।
इस प्रकार,$n(E) = 7$ है।
प्रायिकता $P(E) = \frac{n(E)}{n(S)} = \frac{7}{8}$ है।
अतः,कुल संभावित परिणामों की संख्या $n(S) = 8$ है।
मान लीजिए $E$ अधिकतम $2$ चित प्राप्त करने की घटना है। इसका अर्थ है कि हम $3$ चित $(HHH)$ वाले परिणाम को छोड़ देंगे।
अनुकूल परिणाम $E = \{HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH, TTT\}$ हैं।
इस प्रकार,$n(E) = 7$ है।
प्रायिकता $P(E) = \frac{n(E)}{n(S)} = \frac{7}{8}$ है।
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EasyMCQ
तीन सिक्कों को एक बार उछाला जाता है। कोई भी चित (head) न आने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
A
$1/8$
B
$1/4$
C
$3/8$
D
$1/2$
Solution
(A) जब तीन सिक्कों को एक बार उछाला जाता है,तो प्रतिदर्श समष्टि $S$ इस प्रकार है:
$S = \{HHH, HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH, TTT\}$
अतः,कुल संभावित परिणामों की संख्या $n(S) = 8$ है।
माना $F$ कोई भी चित न आने की घटना है। इस घटना के अनुकूल परिणाम है:
$F = \{TTT\}$
इस प्रकार,अनुकूल परिणामों की संख्या $n(F) = 1$ है।
घटना $F$ की प्रायिकता है:
$P(F) = \frac{n(F)}{n(S)} = \frac{1}{8}$
$S = \{HHH, HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH, TTT\}$
अतः,कुल संभावित परिणामों की संख्या $n(S) = 8$ है।
माना $F$ कोई भी चित न आने की घटना है। इस घटना के अनुकूल परिणाम है:
$F = \{TTT\}$
इस प्रकार,अनुकूल परिणामों की संख्या $n(F) = 1$ है।
घटना $F$ की प्रायिकता है:
$P(F) = \frac{n(F)}{n(S)} = \frac{1}{8}$
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View Solution291
EasyMCQ
तीन सिक्कों को एक बार उछाला जाता है। $3$ पट (tails) प्राप्त करने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
A
$1/8$
B
$3/8$
C
$1/2$
D
$7/8$
Solution
(A) जब तीन सिक्कों को एक बार उछाला जाता है,तो प्रतिदर्श समष्टि $S$ इस प्रकार है:
$S = \{HHH, HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH, TTT\}$
अतः,कुल संभावित परिणामों की संख्या $n(S) = 8$ है।
मान लीजिए $G$ तीन पट (tails) प्राप्त करने की घटना है। अनुकूल परिणाम है:
$G = \{TTT\}$
अतः,अनुकूल परिणामों की संख्या $n(G) = 1$ है।
घटना $G$ की प्रायिकता है:
$P(G) = \frac{n(G)}{n(S)} = \frac{1}{8}$
$S = \{HHH, HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH, TTT\}$
अतः,कुल संभावित परिणामों की संख्या $n(S) = 8$ है।
मान लीजिए $G$ तीन पट (tails) प्राप्त करने की घटना है। अनुकूल परिणाम है:
$G = \{TTT\}$
अतः,अनुकूल परिणामों की संख्या $n(G) = 1$ है।
घटना $G$ की प्रायिकता है:
$P(G) = \frac{n(G)}{n(S)} = \frac{1}{8}$
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View Solution292
EasyMCQ
तीन सिक्कों को एक बार उछाला जाता है। ठीक $2$ पट (tails) प्राप्त करने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
A
$1/8$
B
$3/8$
C
$1/2$
D
$3/4$
Solution
(B) जब तीन सिक्कों को एक बार उछाला जाता है,तो प्रतिदर्श समष्टि $S = \{ HHH, HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH, TTT \}$ है।
$\therefore n(S) = 8$.
किसी घटना $A$ की प्रायिकता $P(A) = \frac{n(A)}{n(S)}$ द्वारा दी जाती है।
माना $E$ ठीक $2$ पट (tails) प्राप्त करने की घटना है।
अनुकूल परिणाम $E = \{ HTT, THT, TTH \}$ हैं।
$\therefore n(E) = 3$.
अतः,$P(E) = \frac{n(E)}{n(S)} = \frac{3}{8}$.
$\therefore n(S) = 8$.
किसी घटना $A$ की प्रायिकता $P(A) = \frac{n(A)}{n(S)}$ द्वारा दी जाती है।
माना $E$ ठीक $2$ पट (tails) प्राप्त करने की घटना है।
अनुकूल परिणाम $E = \{ HTT, THT, TTH \}$ हैं।
$\therefore n(E) = 3$.
अतः,$P(E) = \frac{n(E)}{n(S)} = \frac{3}{8}$.
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View Solution293
EasyMCQ
तीन सिक्कों को एक बार उछाला जाता है। कोई भी टेल (tail) न आने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
A
$1/8$
B
$3/8$
C
$1/2$
D
$7/8$
Solution
(A) जब तीन सिक्कों को एक बार उछाला जाता है,तो प्रतिदर्श समष्टि $S$ इस प्रकार है:
$S = \{HHH, HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH, TTT\}$
अतः,कुल संभावित परिणामों की संख्या $n(S) = 8$ है।
मान लीजिए $A$ कोई भी टेल (tail) न आने की घटना है। इसका अर्थ है कि तीनों सिक्कों पर हेड (head) आना चाहिए।
$A = \{HHH\}$
अतः,अनुकूल परिणामों की संख्या $n(A) = 1$ है।
घटना $A$ की प्रायिकता इस प्रकार है:
$P(A) = \frac{n(A)}{n(S)} = \frac{1}{8}$
$S = \{HHH, HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH, TTT\}$
अतः,कुल संभावित परिणामों की संख्या $n(S) = 8$ है।
मान लीजिए $A$ कोई भी टेल (tail) न आने की घटना है। इसका अर्थ है कि तीनों सिक्कों पर हेड (head) आना चाहिए।
$A = \{HHH\}$
अतः,अनुकूल परिणामों की संख्या $n(A) = 1$ है।
घटना $A$ की प्रायिकता इस प्रकार है:
$P(A) = \frac{n(A)}{n(S)} = \frac{1}{8}$
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View Solution294
EasyMCQ
तीन सिक्कों को एक बार उछाला जाता है। अधिकतम दो पट (tails) प्राप्त करने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
A
$1/8$
B
$3/8$
C
$7/8$
D
$1/2$
Solution
(C) जब तीन सिक्कों को एक बार उछाला जाता है,तो प्रतिदर्श समष्टि $S = \{HHH, HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH, TTT\}$ है।
अतः,कुल संभावित परिणामों की संख्या $n(S) = 8$ है।
मान लीजिए $J$ अधिकतम $2$ पट (tails) प्राप्त करने की घटना है। इसका अर्थ है कि हम $3$ पट $(TTT)$ प्राप्त करने की स्थिति को छोड़ देंगे।
अतः,$J = \{HHH, HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH\}$ है।
इसलिए,$n(J) = 7$ है।
घटना $J$ की प्रायिकता $P(J) = \frac{n(J)}{n(S)} = \frac{7}{8}$ है।
अतः,कुल संभावित परिणामों की संख्या $n(S) = 8$ है।
मान लीजिए $J$ अधिकतम $2$ पट (tails) प्राप्त करने की घटना है। इसका अर्थ है कि हम $3$ पट $(TTT)$ प्राप्त करने की स्थिति को छोड़ देंगे।
अतः,$J = \{HHH, HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH\}$ है।
इसलिए,$n(J) = 7$ है।
घटना $J$ की प्रायिकता $P(J) = \frac{n(J)}{n(S)} = \frac{7}{8}$ है।
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EasyMCQ
$ASSASSINATION$ शब्द से एक अक्षर यादृच्छिक रूप से चुना जाता है। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि वह अक्षर एक स्वर है। ($/13$ में)
A
$6$
B
$5$
C
$7$
D
$8$
Solution
(A) $ASSASSINATION$ शब्द में कुल $13$ अक्षर हैं।
अतः,कुल परिणामों की संख्या $n(S) = 13$ है।
$ASSASSINATION$ शब्द में स्वर $A, A, I, A, I, O$ हैं।
शब्द में कुल $6$ स्वर हैं।
अतः,अनुकूल परिणामों की संख्या $n(E) = 6$ है।
स्वर चुनने की प्रायिकता $P(E) = \frac{n(E)}{n(S)} = \frac{6}{13}$ है।
अतः,कुल परिणामों की संख्या $n(S) = 13$ है।
$ASSASSINATION$ शब्द में स्वर $A, A, I, A, I, O$ हैं।
शब्द में कुल $6$ स्वर हैं।
अतः,अनुकूल परिणामों की संख्या $n(E) = 6$ है।
स्वर चुनने की प्रायिकता $P(E) = \frac{n(E)}{n(S)} = \frac{6}{13}$ है।
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EasyMCQ
$ASSASSINATION$ शब्द से एक अक्षर यादृच्छिक रूप से चुना जाता है। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि चुना गया अक्षर एक व्यंजन है। ($/13$ में)
A
$6$
B
$7$
C
$8$
D
$9$
Solution
(B) $ASSASSINATION$ शब्द में कुल $13$ अक्षर हैं।
अक्षर हैं: $A, S, S, A, S, S, I, N, A, T, I, O, N$.
स्वर हैं: $A, A, I, A, I, O$ (कुल $6$ स्वर)।
व्यंजन हैं: $S, S, S, S, N, T, N$ (कुल $7$ व्यंजन)।
अतः,व्यंजन चुनने की प्रायिकता $= \frac{\text{व्यंजनों की संख्या}}{\text{कुल अक्षरों की संख्या}} = \frac{7}{13}$।
अक्षर हैं: $A, S, S, A, S, S, I, N, A, T, I, O, N$.
स्वर हैं: $A, A, I, A, I, O$ (कुल $6$ स्वर)।
व्यंजन हैं: $S, S, S, S, N, T, N$ (कुल $7$ व्यंजन)।
अतः,व्यंजन चुनने की प्रायिकता $= \frac{\text{व्यंजनों की संख्या}}{\text{कुल अक्षरों की संख्या}} = \frac{7}{13}$।
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Easy
जांचें कि क्या निम्नलिखित प्रायिकताएं $P(A)$ और $P(B)$ सुसंगत रूप से परिभाषित हैं: $P(A) = 0.5$,$P(B) = 0.7$,$P(A \cap B) = 0.6$.
Solution
(N/A) दिया गया है: $P(A) = 0.5$,$P(B) = 0.7$,और $P(A \cap B) = 0.6$.
प्रायिकता का एक मूलभूत गुण यह है कि किन्हीं दो घटनाओं $A$ और $B$ के लिए,उनका सर्वनिष्ठ (intersection) प्रत्येक घटना का उपसमुच्चय होना चाहिए,अर्थात $(A \cap B) \subseteq A$ और $(A \cap B) \subseteq B$.
परिणामस्वरूप,सर्वनिष्ठ की प्रायिकता को $P(A \cap B) \leq P(A)$ और $P(A \cap B) \leq P(B)$ को संतुष्ट करना चाहिए।
इस मामले में,हम देखते हैं कि $P(A \cap B) = 0.6$ और $P(A) = 0.5$ है।
चूंकि $0.6 > 0.5$,इसलिए $P(A \cap B) \leq P(A)$ की शर्त का उल्लंघन होता है।
अतः,दी गई प्रायिकताएं $P(A)$ और $P(B)$ सुसंगत रूप से परिभाषित नहीं हैं।
प्रायिकता का एक मूलभूत गुण यह है कि किन्हीं दो घटनाओं $A$ और $B$ के लिए,उनका सर्वनिष्ठ (intersection) प्रत्येक घटना का उपसमुच्चय होना चाहिए,अर्थात $(A \cap B) \subseteq A$ और $(A \cap B) \subseteq B$.
परिणामस्वरूप,सर्वनिष्ठ की प्रायिकता को $P(A \cap B) \leq P(A)$ और $P(A \cap B) \leq P(B)$ को संतुष्ट करना चाहिए।
इस मामले में,हम देखते हैं कि $P(A \cap B) = 0.6$ और $P(A) = 0.5$ है।
चूंकि $0.6 > 0.5$,इसलिए $P(A \cap B) \leq P(A)$ की शर्त का उल्लंघन होता है।
अतः,दी गई प्रायिकताएं $P(A)$ और $P(B)$ सुसंगत रूप से परिभाषित नहीं हैं।
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Easy
जांचें कि क्या निम्नलिखित प्रायिकताएं $P(A) = 0.5$,$P(B) = 0.4$,और $P(A \cup B) = 0.8$ सुसंगत रूप से परिभाषित हैं।
Solution
(A) दिया गया है: $P(A) = 0.5$,$P(B) = 0.4$,और $P(A \cup B) = 0.8$।
किन्हीं दो घटनाओं $A$ और $B$ के लिए,उनके संघ (union) की प्रायिकता का सूत्र है: $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $0.8 = 0.5 + 0.4 - P(A \cap B)$।
$0.8 = 0.9 - P(A \cap B) \implies P(A \cap B) = 0.9 - 0.8 = 0.1$।
चूंकि $0 \leq P(A \cap B) \leq P(A)$ और $0 \leq P(A \cap B) \leq P(B)$,और यहाँ $0.1 \leq 0.5$ और $0.1 \leq 0.4$ है,इसलिए ये मान सुसंगत हैं।
किन्हीं दो घटनाओं $A$ और $B$ के लिए,उनके संघ (union) की प्रायिकता का सूत्र है: $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $0.8 = 0.5 + 0.4 - P(A \cap B)$।
$0.8 = 0.9 - P(A \cap B) \implies P(A \cap B) = 0.9 - 0.8 = 0.1$।
चूंकि $0 \leq P(A \cap B) \leq P(A)$ और $0 \leq P(A \cap B) \leq P(B)$,और यहाँ $0.1 \leq 0.5$ और $0.1 \leq 0.4$ है,इसलिए ये मान सुसंगत हैं।
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Easy
घटनाएँ $E$ और $F$ इस प्रकार हैं कि $P(\text{not } E \text{ and not } F) = 0.25$ है। बताइए कि क्या $E$ और $F$ परस्पर अपवर्जी (mutually exclusive) हैं?
Solution
(N/A) यह दिया गया है कि $P(\text{not } E \text{ or not } F) = 0.25$ है।
डी मॉर्गन के नियम के अनुसार,यह $P((E \cap F)') = 0.25$ के बराबर है।
हम जानते हैं कि $P(E \cap F) = 1 - P((E \cap F)')$ होता है।
मान रखने पर,हमें $P(E \cap F) = 1 - 0.25 = 0.75$ प्राप्त होता है।
चूंकि $P(E \cap F) = 0.75 \neq 0$ है,इसलिए घटनाएँ $E$ और $F$ परस्पर अपवर्जी नहीं हैं।
डी मॉर्गन के नियम के अनुसार,यह $P((E \cap F)') = 0.25$ के बराबर है।
हम जानते हैं कि $P(E \cap F) = 1 - P((E \cap F)')$ होता है।
मान रखने पर,हमें $P(E \cap F) = 1 - 0.25 = 0.75$ प्राप्त होता है।
चूंकि $P(E \cap F) = 0.75 \neq 0$ है,इसलिए घटनाएँ $E$ और $F$ परस्पर अपवर्जी नहीं हैं।
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MediumMCQ
एक छात्र के अंग्रेजी और हिंदी दोनों में अंतिम परीक्षा उत्तीर्ण करने की प्रायिकता $0.5$ है और किसी में भी उत्तीर्ण न होने की प्रायिकता $0.1$ है। यदि अंग्रेजी परीक्षा उत्तीर्ण करने की प्रायिकता $0.75$ है,तो हिंदी परीक्षा उत्तीर्ण करने की प्रायिकता क्या है?
A
$0.65$
B
$0.55$
C
$0.45$
D
$0.35$
Solution
(A) माना कि $A$ और $B$ क्रमशः अंग्रेजी और हिंदी परीक्षा उत्तीर्ण करने की घटनाएँ हैं।
दिया गया है: $P(A \cap B) = 0.5$ और $P(A' \cap B') = 0.1$.
डी मॉर्गन के नियम के अनुसार $P(A \cup B)' = P(A' \cap B') = 0.1$.
इसलिए,$P(A \cup B) = 1 - P(A \cup B)' = 1 - 0.1 = 0.9$.
हम जानते हैं कि: $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$.
$P(A) = 0.75$ दिया गया है,मान रखने पर:
$0.9 = 0.75 + P(B) - 0.5$.
$0.9 = 0.25 + P(B)$.
$P(B) = 0.9 - 0.25 = 0.65$.
अतः,हिंदी परीक्षा उत्तीर्ण करने की प्रायिकता $0.65$ है।
दिया गया है: $P(A \cap B) = 0.5$ और $P(A' \cap B') = 0.1$.
डी मॉर्गन के नियम के अनुसार $P(A \cup B)' = P(A' \cap B') = 0.1$.
इसलिए,$P(A \cup B) = 1 - P(A \cup B)' = 1 - 0.1 = 0.9$.
हम जानते हैं कि: $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$.
$P(A) = 0.75$ दिया गया है,मान रखने पर:
$0.9 = 0.75 + P(B) - 0.5$.
$0.9 = 0.25 + P(B)$.
$P(B) = 0.9 - 0.25 = 0.65$.
अतः,हिंदी परीक्षा उत्तीर्ण करने की प्रायिकता $0.65$ है।
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View SolutionProbability — Set Based probability · Frequently Asked Questions
1Are these Probability questions useful for JEE and NEET?
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2Can I switch to Hindi or Gujarati for these questions?
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3How do I generate a question paper from this subtopic?
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