Set Based probability Questions in Hindi

(A) माना $A$ वह घटना है कि चयनित छात्र ने $NCC$ चुना है और $B$ वह घटना है कि चयनित छात्र ने $NSS$ चुना है।
कुल छात्रों की संख्या $= 60$.
$NCC$ चुनने वाले छात्रों की संख्या,$n(A) = 30$.
$NSS$ चुनने वाले छात्रों की संख्या,$n(B) = 32$.
$NCC$ और $NSS$ दोनों को चुनने वाले छात्रों की संख्या,$n(A \cap B) = 24$.
हमें उस छात्र के $NSS$ चुनने लेकिन $NCC$ न चुनने की प्रायिकता ज्ञात करनी है,जो $P(B - A)$ है।
$NSS$ चुनने वाले लेकिन $NCC$ न चुनने वाले छात्रों की संख्या $n(B - A) = n(B) - n(A \cap B)$ द्वारा दी जाती है।
$n(B - A) = 32 - 24 = 8$.
प्रायिकता $P(B - A) = \frac{n(B - A)}{\text{कुल छात्र}} = \frac{8}{60}$.
भिन्न को सरल करने पर,हमें $\frac{8}{60} = \frac{2}{15}$ प्राप्त होता है।

(C) पासे पर कुल फलकों की संख्या $= 6$ है।
$2$ अंक वाले फलकों की संख्या $= 3$ है।
प्रायिकता $P(2) = \frac{\text{अनुकूल परिणामों की संख्या}}{\text{कुल परिणामों की संख्या}} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$।

(A) पासे पर कुल फलकों की संख्या $6$ है।
$1$ अंक वाले फलकों की संख्या $2$ है।
$3$ अंक वाले फलकों की संख्या $1$ है।
$1$ या $3$ प्राप्त करने की प्रायिकता इस प्रकार है:
$P(1 \text{ या } 3) = P(1) + P(3) = \frac{2}{6} + \frac{1}{6} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$.

(C) पासे पर कुल फलकों की संख्या $= 6$ है।
संख्या $3$ वाले फलकों की संख्या $= 1$ है।
अतः,$3$ प्राप्त करने की प्रायिकता $P(3) = \frac{1}{6}$ है।
इस प्रकार,$3$ न प्राप्त करने की प्रायिकता $P(\text{not } 3) = 1 - P(3) = 1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6}$ है।

(B) बेचे गए कुल टिकटों की संख्या $= 10,000$ है।
दिए गए पुरस्कारों की संख्या $= 10$ है।
यदि हम एक टिकट खरीदते हैं,तो पुरस्कार जीतने की प्रायिकता $P(\text{winning}) = \frac{10}{10000} = \frac{1}{1000}$ है।
पुरस्कार न मिलने की प्रायिकता $P(\text{not winning}) = 1 - P(\text{winning})$ है।
$P(\text{not winning}) = 1 - \frac{1}{1000} = \frac{999}{1000}$.

(A) माना दो अनुभाग $S_1$ ($40$ छात्र) और $S_2$ ($60$ छात्र) हैं।
दोनों छात्रों के एक ही अनुभाग में होने की प्रायिकता:
$S_1$ में दोनों के होने की प्रायिकता $= \frac{40}{100} \times \frac{39}{99} = \frac{26}{165}$.
$S_2$ में दोनों के होने की प्रायिकता $= \frac{60}{100} \times \frac{59}{99} = \frac{59}{165}$.
दोनों के एक ही अनुभाग में होने की कुल प्रायिकता $= \frac{26}{165} + \frac{59}{165} = \frac{85}{165} = \frac{17}{33}$.
दोनों के अलग-अलग अनुभागों में होने की प्रायिकता $= 1 - \frac{17}{33} = \frac{16}{33}$.

(A) दिया गया है कि $P(A)=0.54$,$P(B)=0.69$,और $P(A \cap B)=0.35$ है।
हम जानते हैं कि घटना $A$ के घटित होने और $B$ के घटित न होने की प्रायिकता का सूत्र है:
$P(A \cap B^{\prime}) = P(A) - P(A \cap B)$।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$P(A \cap B^{\prime}) = 0.54 - 0.35$।
$P(A \cap B^{\prime}) = 0.19$।

(A) दिया गया है कि $P(A)=0.54$,$P(B)=0.69$,और $P(A \cap B)=0.35$ है।
हम जानते हैं कि घटना $B$ के घटित होने लेकिन $A$ के न घटित होने की प्रायिकता $P(B \cap A^{\prime}) = P(B) - P(A \cap B)$ द्वारा दी जाती है।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$P(B \cap A^{\prime}) = 0.69 - 0.35$।
अतः,$P(B \cap A^{\prime}) = 0.34$।

(C) माना $S = \{1, 2, 3, 4, 5\}$ है। $S$ के कुल उपसमुच्चयों की संख्या $2^{5} = 32$ है।
चूंकि दो उपसमुच्चय $A$ और $B$ यादृच्छिक रूप से चुने जाते हैं,कुल युग्मों की संख्या $32 \times 32 = 2^{10}$ है।
प्रत्येक अवयव $x \in S$ के लिए,$A$ और $B$ में उसकी सदस्यता के लिए $4$ संभावनाएं हैं।
हमें चाहिए कि $A \cap B$ में ठीक $2$ अवयव हों।
$5$ में से $2$ अवयव चुनने के तरीके $\binom{5}{2} = 10$ हैं।
शेष $3$ अवयवों के लिए,प्रत्येक के पास $3$ विकल्प हैं,जिससे $3^{3} = 27$ तरीके मिलते हैं।
अतः,अनुकूल परिणामों की संख्या $10 \times 27 = 270$ है।
प्रायिकता $\frac{270}{2^{10}} = \frac{135}{2^{9}}$ है।

(B) मान लीजिए विपरीत फलकों का युग्म $(a, b)$ है जहाँ $a+b=7$ है। $a$ प्राप्त करने की प्रायिकता $P(a) = \frac{1}{6}-x$ है और $P(b) = \frac{1}{6}+x$ है। विपरीत फलकों के अन्य दो युग्मों के लिए,प्रत्येक फलक की प्रायिकता $\frac{1}{6}$ है।
दो उछालों का योग $7$ होता है यदि परिणाम $(1,6), (6,1), (2,5), (5,2), (3,4), (4,3)$ हों।
योग $7$ होने की प्रायिकता $= 2[P(1)P(6) + P(2)P(5) + P(3)P(4)]$.
मान लीजिए $(1,6)$ वे फलक हैं जिनकी प्रायिकताएँ $\frac{1}{6}-x$ और $\frac{1}{6}+x$ हैं,तो $P(2)=P(5)=\frac{1}{6}$ और $P(3)=P(4)=\frac{1}{6}$ होगा।
योग की प्रायिकता $= 2[(\frac{1}{6}-x)(\frac{1}{6}+x) + (\frac{1}{6})(\frac{1}{6}) + (\frac{1}{6})(\frac{1}{6})] = \frac{13}{96}$.
$2[(\frac{1}{36}-x^2) + \frac{1}{36} + \frac{1}{36}] = \frac{13}{96}$.
$2[\frac{3}{36}-x^2] = \frac{13}{96} \Rightarrow \frac{1}{6}-2x^2 = \frac{13}{96}$.
$2x^2 = \frac{1}{6}-\frac{13}{96} = \frac{16-13}{96} = \frac{3}{96} = \frac{1}{32}$.
$x^2 = \frac{1}{64} \Rightarrow x = \frac{1}{8}$.

(A) $2$-अंकीय संख्याओं की कुल संख्या $90$ है ($10$ से $99$ तक)।
हमें यह जांचना है कि $(2^{n}-2)$,$3$ का गुणज कब है।
व्यंजक को $3$ के मापांक (modulo) में देखें:
$2 \equiv -1 \pmod{3}$
अतः,$2^{n}-2 \equiv (-1)^{n}-2 \pmod{3}$।
यदि $n$ सम है,तो $(-1)^{n}-2 = 1-2 = -1 \equiv 2 \pmod{3}$।
यदि $n$ विषम है,तो $(-1)^{n}-2 = -1-2 = -3 \equiv 0 \pmod{3}$।
इस प्रकार,$(2^{n}-2)$,$3$ का गुणज तभी है जब $n$ एक विषम संख्या हो।
$2$-अंकीय संख्याओं के समुच्चय ${10, 11, 12, \dots, 99}$ में,विषम संख्याएँ ${11, 13, 15, \dots, 99}$ हैं।
इस सीमा में विषम पूर्णांकों की संख्या $\frac{99-11}{2} + 1 = 44 + 1 = 45$ है।
प्रायिकता $= \frac{\text{अनुकूल परिणामों की संख्या}}{\text{कुल परिणामों की संख्या}} = \frac{45}{90} = \frac{1}{2}$।

(B) यह क्षेत्र $y$-अक्ष $(x=0)$,$2y+x=6$ और $5x-6y=30$ द्वारा घिरा हुआ है। त्रिभुज के शीर्ष $B(0, 3)$,$C(0, -5)$ और $A(6, 0)$ हैं।
$\triangle ABC$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊंचाई} = \frac{1}{2} \times 8 \times 6 = 24$.
रेखा $y=1$,$2y+x=6$ को $D(4, 1)$ पर और $y$-अक्ष को $E(0, 1)$ पर काटती है।
वह क्षेत्र जहाँ $y < 1$ है,चतुर्भुज $ADEC$ है।
$\triangle BDE$ का क्षेत्रफल (जहाँ $y \ge 1$) $= \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊंचाई} = \frac{1}{2} \times 4 \times 2 = 4$.
अभीष्ट प्रायिकता $= 1 - \frac{\text{Area}(\triangle BDE)}{\text{Area}(\triangle ABC)} = 1 - \frac{4}{24} = 1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6}$.

(B) किसी भी घटना $E_{i}$ के लिए,$0 \leq P(E_{i}) \leq 1$ होता है।
$P(E_{1}) = \frac{2+3p}{6}$ के लिए,$0 \leq 2+3p \leq 6 \implies -\frac{2}{3} \leq p \leq \frac{4}{3}$।
$P(E_{2}) = \frac{2-p}{8}$ के लिए,$0 \leq 2-p \leq 8 \implies -6 \leq p \leq 2$।
$P(E_{3}) = \frac{1-p}{2}$ के लिए,$0 \leq 1-p \leq 2 \implies -1 \leq p \leq 1$।
चूंकि $E_{1}, E_{2}, E_{3}$ परस्पर अपवर्जी हैं,$P(E_{1}) + P(E_{2}) + P(E_{3}) \leq 1$।
$\frac{2+3p}{6} + \frac{2-p}{8} + \frac{1-p}{2} \leq 1$।
$24$ से गुणा करने पर: $4(2+3p) + 3(2-p) + 12(1-p) \leq 24$।
$26 - 3p \leq 24 \implies p \geq \frac{2}{3}$।
सभी शर्तों को संयोजित करने पर: $p \in [\frac{2}{3}, 1]$।
अतः,$p_{1} = 1$ और $p_{2} = \frac{2}{3}$।
$p_{1} + p_{2} = 1 + \frac{2}{3} = \frac{5}{3}$।

(C) कुल $5$ अंकों की संख्याएँ $n(S) = 9 \times 10^4 = 90000$ हैं।
मान लीजिए $A$ उन संख्याओं का समुच्चय है जो $7$ का गुणज हैं लेकिन $5$ से विभाज्य नहीं हैं।
$7$ से विभाज्य सबसे छोटी $5$ अंकों की संख्या $10003$ है।
$7$ से विभाज्य सबसे बड़ी $5$ अंकों की संख्या $99995$ है।
सूत्र $a_n = a + (n-1)d$ का उपयोग करते हुए,$99995 = 10003 + (n-1)7$,जिससे $n = 12857$ प्राप्त होता है।
अब,$7$ और $5$ दोनों से विभाज्य संख्याएँ ज्ञात करें,अर्थात $35$ से विभाज्य।
$35$ से विभाज्य सबसे छोटी $5$ अंकों की संख्या $10010$ है।
$35$ से विभाज्य सबसे बड़ी $5$ अंकों की संख्या $99995$ है।
$99995 = 10010 + (P-1)35$,जिससे $P = 2572$ प्राप्त होता है।
समुच्चय $A$ में अवयवों की संख्या $12857 - 2572 = 10285$ है।
प्रायिकता $p = \frac{10285}{90000}$ है।
अतः,$9p = 9 \times \frac{10285}{90000} = \frac{10285}{10000} = 1.0285$.

(C) एक वृत्ताकार मेज के चारों ओर $32$ व्यक्ति बैठे हैं। $X_1$ की स्थिति को स्थिर करें। $X_3$ को बैठाने के लिए $31$ शेष सीटें हैं,जिनमें से प्रत्येक की प्रायिकता $\frac{1}{31}$ है।
$X_1$ और $X_3$ श्रवण सीमा के भीतर तब होते हैं यदि उनके बीच लघु चाप पर अधिकतम $3$ व्यक्ति हों। मान लीजिए $k$ उन व्यक्तियों की संख्या है जो $X_1$ और $X_3$ के बीच हैं।
यदि $k=0$ है,तो $X_3$,$X_1$ के बगल में है। ऐसी $2$ स्थितियाँ हैं (बाएँ या दाएँ)।
यदि $k=1$ है,तो $X_1$ और $X_3$ के बीच $1$ व्यक्ति है। ऐसी $2$ स्थितियाँ हैं।
यदि $k=2$ है,तो $X_1$ और $X_3$ के बीच $2$ व्यक्ति हैं। ऐसी $2$ स्थितियाँ हैं।
यदि $k=3$ है,तो $X_1$ और $X_3$ के बीच $3$ व्यक्ति हैं। ऐसी $2$ स्थितियाँ हैं।
$X_3$ के लिए कुल अनुकूल स्थितियाँ $= 2 + 2 + 2 + 2 = 8$.
$X_3$ के लिए कुल संभावित स्थितियाँ $= 31$.
अतः,प्रायिकता $\frac{8}{31}$ है।

(C) हमारे पास $S_n = \frac{n(n+1)}{2}$ है।
योग की श्रृंखला $S_1=1, S_2=3, S_3=6, S_4=10, S_5=15, S_6=21, S_7=28, S_8=36, \ldots$ है।
$S_n$ की सम-विषम स्थिति का अवलोकन करने पर:
$S_1$ (विषम),$S_2$ (विषम),$S_3$ (सम),$S_4$ (सम),$S_5$ (विषम),$S_6$ (विषम),$S_7$ (सम),$S_8$ (सम),...
यह पैटर्न हर $4$ पदों के बाद दोहराया जाता है: (विषम,विषम,सम,सम)।
समुच्चय ${S_1, S_2, \ldots, S_{99}}$ में कुल $99$ पद हैं।
चूँकि $99 = 4 \times 24 + 3$,हमारे पास (विषम,विषम,सम,सम) के $24$ पूर्ण चक्र हैं और अगले चक्र के पहले $3$ पद (विषम,विषम,सम) हैं।
सम पदों की कुल संख्या = $24 \times 2 + 1 = 49$ है।
कार्डों की कुल संख्या = $99$ है।
सम संख्या निकालने की प्रायिकता = $\frac{\text{सम पदों की संख्या}}{\text{कुल पदों की संख्या}} = \frac{49}{99}$।

(C) खिलाड़ी $A$ के पास $\{3, 5, 6\}$ कार्ड हैं। दो कार्डों के संभावित गुणनफल हैं:
$(3 \times 5) = 15$,$(3 \times 6) = 18$,$(5 \times 6) = 30$.
प्रत्येक गुणनफल की प्रायिकता $\frac{1}{3}$ है।
खिलाड़ी $B$ के पास $\{8, 9, 10\}$ कार्ड हैं। दो कार्डों के संभावित योग हैं:
$(8 + 9) = 17$,$(8 + 10) = 18$,$(9 + 10) = 19$.
प्रत्येक योग की प्रायिकता $\frac{1}{3}$ है।
$A$ जीतता है यदि गुणनफल योग से बड़ा हो।
यदि $P_A = 15$ (प्रायिकता $\frac{1}{3}$): $A$ जीतता है यदि $S_B < 15$. कोई परिणाम नहीं।
यदि $P_A = 18$ (प्रायिकता $\frac{1}{3}$): $A$ जीतता है यदि $S_B < 18$. केवल $S_B = 17$ संभव है (प्रायिकता $\frac{1}{3}$). प्रायिकता = $\frac{1}{3} \times \frac{1}{3} = \frac{1}{9}$.
यदि $P_A = 30$ (प्रायिकता $\frac{1}{3}$): $A$ जीतता है यदि $S_B < 30$. सभी $S_B$ मान $(17, 18, 19)$ संभव हैं (प्रायिकता $1$). प्रायिकता = $\frac{1}{3} \times 1 = \frac{1}{3}$.
कुल प्रायिकता = $\frac{1}{9} + \frac{1}{3} = \frac{4}{9}$.

(C) प्रायिकता सिद्धांत में,प्रतिदर्श समष्टि $\Omega$ और घटना $A \subseteq \Omega$ के लिए:
$1$. यदि $P(A) = 0$ है,तो इसका अर्थ है कि घटना $A$ एक असंभव घटना है,जिसका अर्थ है $A = \phi$। अतः,$(S1)$ सत्य है।
$2$. यदि $P(A) = 1$ है,तो इसका अर्थ है कि घटना $A$ एक निश्चित घटना है,जिसका अर्थ है $A = \Omega$। अतः,$(S2)$ सत्य है।
इसलिए,दोनों कथन $(S1)$ और $(S2)$ सत्य हैं।

(B) दो पूर्णांकों $x$ और $66-x$ का गुणनफल $f(x) = x(66-x)$ है।
यह एक नीचे की ओर खुलने वाला परवलय है जिसका अधिकतम मान $x = 33$ पर है।
अतः,$M = 33 \times 33 = 1089$.
हमें $x(66-x) \geq \frac{5}{9} \times 1089 = 5 \times 121 = 605$ की आवश्यकता है।
$66x - x^2 \geq 605 \implies x^2 - 66x + 605 \leq 0$.
द्विघात सूत्र का उपयोग करके $x^2 - 66x + 605 = 0$ को हल करने पर: $x = \frac{66 \pm \sqrt{4356 - 2420}}{2} = \frac{66 \pm 44}{2}$.
अतः,$x_1 = 11$ और $x_2 = 55$.
समुच्चय $S = \{11, 12, \ldots, 55\}$,इसलिए अवयवों की संख्या $n(S) = 55 - 11 + 1 = 45$.
घटना $A$ में $S$ के $3$ के गुणज शामिल हैं: $A = \{12, 15, 18, \ldots, 54\}$.
यह एक समांतर श्रेणी है जिसमें $a = 12$,$l = 54$,और $d = 3$ है।
$54 = 12 + (n-1)3 \implies 42 = (n-1)3 \implies n = 15$.
अतः,$n(A) = 15$.
$P(A) = \frac{n(A)}{n(S)} = \frac{15}{45} = \frac{1}{3}$.

(B) दो पासे फेंकने पर कुल परिणामों की संख्या $n(S) = 6 \times 6 = 36$ है।
दिया गया है कि $N - 2, \sqrt{3N}, N + 2$ गुणोत्तर श्रेणी ($G$.$P$.) में हैं,इसलिए मध्य पद का वर्ग चरम पदों के गुणनफल के बराबर होना चाहिए:
$(\sqrt{3N})^2 = (N - 2)(N + 2)$
$3N = N^2 - 4$
$N^2 - 3N - 4 = 0$
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर:
$(N - 4)(N + 1) = 0$
चूंकि $N$ दो पासों का योग है,$N \geq 2$,इसलिए $N = 4$ ही एकमात्र मान्य हल है।
योग $N = 4$ प्राप्त करने वाले परिणाम: $(1, 3), (3, 1), (2, 2)$ हैं।
अतः,अनुकूल परिणामों की संख्या $n(A) = 3$ है।
प्रायिकता $P(A) = \frac{3}{36} = \frac{1}{12}$ है।
हमें $P(A) = \frac{k}{48}$ दिया गया है,इसलिए:
$\frac{k}{48} = \frac{1}{12}$
$k = \frac{48}{12} = 4$.

(D) माना दो संख्याएँ $x$ और $y$ हैं जहाँ $0 \le x, y \le 60$ है। प्रतिदर्श समष्टि का कुल क्षेत्रफल $60 \times 60 = 3600$ है।
प्रतिबंध $|x - y| \le a$ है,जिसका अर्थ है $-a \le x - y \le a$.
वह क्षेत्र जहाँ $|x - y| > a$ है,दो समकोण त्रिभुजों का क्षेत्रफल है जिनकी भुजाएँ $(60 - a)$ हैं।
$|x - y| > a$ वाले क्षेत्र का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2}(60 - a)^2 + \frac{1}{2}(60 - a)^2 = (60 - a)^2$.
अतः,वह क्षेत्र जहाँ $|x - y| \le a$ है,उसका क्षेत्रफल $3600 - (60 - a)^2$ है।
दिया गया है $P(A) = \frac{3600 - (60 - a)^2}{3600} = \frac{11}{36}$.
$3600$ से गुणा करने पर,हमें $3600 - (60 - a)^2 = 1100$ प्राप्त होता है।
$(60 - a)^2 = 3600 - 1100 = 2500$.
$60 - a = 50 \Rightarrow a = 10$.

(A) मान लीजिए दो पांसों के परिणाम $(x, y)$ हैं जहाँ $x, y \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ है। कुल परिणामों की संख्या $6 \times 6 = 36$ है।
घटना $A$: $x < y$। परिणामों की संख्या $5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 15$ है।
घटना $B$: $x \in \{2, 4, 6\}$ और $y \in \{1, 3, 5\}$। परिणामों की संख्या $3 \times 3 = 9$ है।
घटना $C$: $x \in \{1, 3, 5\}$ और $y \in \{2, 4, 6\}$। परिणामों की संख्या $3 \times 3 = 9$ है।
अब,$(A \cup B) \cap C = (A \cap C) \cup (B \cap C)$ है।
$B \cap C$: $x$ सम और विषम दोनों हो,जो असंभव है,इसलिए $B \cap C = \emptyset$ है।
$A \cap C$: $x < y$ और $x \in \{1, 3, 5\}, y \in \{2, 4, 6\}$।
यदि $x=1$,$y \in \{2, 4, 6\}$ ($3$ स्थितियाँ)।
यदि $x=3$,$y \in \{4, 6\}$ ($2$ स्थितियाँ)।
यदि $x=5$,$y \in \{6\}$ ($1$ स्थिति)।
$A \cap C$ के लिए कुल स्थितियाँ $3 + 2 + 1 = 6$ हैं।
अतः,$(A \cup B) \cap C$ के लिए अनुकूल परिणामों की संख्या $6 + 0 = 6$ है।

(A) मान लीजिए $N$ दो पासों पर संख्याओं का योग है। $N$ के संभावित मान $2, 3, 4, \dots, 12$ हैं।
हमें उस प्रायिकता को ज्ञात करना है जिसके लिए $2^{N} < N!$ हो।
प्रत्येक $N$ के लिए शर्त $2^{N} < N!$ की जाँच करते हैं:
$N=2$ के लिए: $2^2 = 4, 2! = 2$. $4 < 2$ असत्य है।
$N=3$ के लिए: $2^3 = 8, 3! = 6$. $8 < 6$ असत्य है।
$N=4$ के लिए: $2^4 = 16, 4! = 24$. $16 < 24$ सत्य है।
$N=5$ के लिए: $2^5 = 32, 5! = 120$. $32 < 120$ सत्य है।
$N \geq 4$ के लिए,शर्त $2^N < N!$ सत्य है।
अतः,हमें $N \geq 4$ होने की प्रायिकता ज्ञात करनी है।
$P(N \geq 4) = 1 - P(N < 4) = 1 - (P(N=2) + P(N=3))$.
कुल परिणामों की संख्या $6 \times 6 = 36$ है।
$P(N=2) = \frac{1}{36}$ (परिणाम: $(1,1)$)।
$P(N=3) = \frac{2}{36}$ (परिणाम: $(1,2), (2,1)$)।
$P(N < 4) = \frac{1}{36} + \frac{2}{36} = \frac{3}{36} = \frac{1}{12}$।
इसलिए,$P(N \geq 4) = 1 - \frac{1}{12} = \frac{11}{12}$।
यहाँ,$m = 11$ और $n = 12$ है। चूँकि $11$ और $12$ सह-अभाज्य हैं,इसलिए $4m - 3n = 4(11) - 3(12) = 44 - 36 = 8$।

(A) समुच्चय $\{0, 1, 2, \ldots, 10\}$ से प्रतिस्थापन के साथ दो पूर्णांक $x$ और $y$ चुनने के कुल तरीके $11 \times 11 = 121$ हैं।
हमें उन युग्मों $(x, y)$ की संख्या ज्ञात करनी है जिनके लिए $|x-y| > 5$ हो।
स्थिति $1$: $x - y > 5 \implies x - y \in \{6, 7, 8, 9, 10\}$.
यदि $x=6, y=0$; यदि $x=7, y=0, 1$; यदि $x=8, y=0, 1, 2$; यदि $x=9, y=0, 1, 2, 3$; यदि $x=10, y=0, 1, 2, 3, 4$.
ऐसे युग्मों की संख्या $1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15$ है।
स्थिति $2$: $y - x > 5 \implies y - x \in \{6, 7, 8, 9, 10\}$.
समरूपता से,ऐसे युग्मों की संख्या भी $15$ है।
कुल अनुकूल परिणाम $= 15 + 15 = 30$.
अतः,अभीष्ट प्रायिकता $\frac{30}{121}$ है।

(B) माना $A$ अजय के परीक्षा में उपस्थित होने की घटना है और $V$ विजय के परीक्षा में उपस्थित होने की घटना है।
दिया गया है: $P(\overline{A}) = \frac{2}{7}$,इसलिए $P(A) = 1 - P(\overline{A}) = 1 - \frac{2}{7} = \frac{5}{7}$.
दिया गया है: $P(A \cap V) = \frac{1}{5}$.
हमें वह प्रायिकता ज्ञात करनी है कि अजय उपस्थित हो और विजय उपस्थित न हो,जो $P(A \cap \overline{V})$ है।
समुच्चय के गुण का उपयोग करते हुए,$P(A) = P(A \cap V) + P(A \cap \overline{V})$.
मान रखने पर: $\frac{5}{7} = \frac{1}{5} + P(A \cap \overline{V})$.
$P(A \cap \overline{V}) = \frac{5}{7} - \frac{1}{5} = \frac{25 - 7}{35} = \frac{18}{35}$.

(D) मान लीजिए कि दो धनात्मक पूर्णांक $x$ और $y$ हैं। दिया गया है कि $x+y=24$,जहाँ $x, y \in \mathbb{N}$ है।
गुणनफल $P = xy$ है। $AM-GM$ असमिका के अनुसार,$\frac{x+y}{2} \geq \sqrt{xy}$,इसलिए $\sqrt{xy} \leq 12$,जिसका अर्थ है कि $xy \leq 144$ है। सबसे बड़ा धनात्मक गुणनफल $144$ है (जब $x=12, y=12$ हो)।
हमें वह प्रायिकता ज्ञात करनी है कि $xy \geq \frac{3}{4} \times 144$,जिसका अर्थ है $xy \geq 108$ है।
चूंकि $y = 24-x$ है,इसलिए हमें $x(24-x) \geq 108$,या $24x - x^2 \geq 108$ प्राप्त होता है,जो $x^2 - 24x + 108 \leq 0$ में सरल हो जाता है।
द्विघात सूत्र का उपयोग करके $x^2 - 24x + 108 = 0$ को हल करने पर: $x = \frac{24 \pm \sqrt{576 - 432}}{2} = \frac{24 \pm \sqrt{144}}{2} = \frac{24 \pm 12}{2}$ प्राप्त होता है।
अतः,$x = 6$ या $x = 18$ है। असमिका $6 \leq x \leq 18$ के लिए सत्य है।
$x$ के लिए संभावित मान ${6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18}$ हैं।
ऐसे कुल $13$ मान हैं।
$x+y=24$ के लिए $(x, y)$ के कुल युग्मों की संख्या $23$ है (क्योंकि $x$ का मान $1$ से $23$ तक हो सकता है)।
प्रायिकता $\frac{13}{23} = \frac{m}{n}$ है।
अतः,$m=13$ और $n=23$ है। इसलिए $n-m = 23-13 = 10$ है।

(B) $x+y+z=n$ के लिए गैर-ऋणात्मक पूर्णांक हलों की कुल संख्या $\binom{n+k-1}{k-1}$ सूत्र द्वारा दी जाती है,जहाँ $k=3$ और $n=10$ है।
कुल हल $= \binom{10+3-1}{3-1} = \binom{12}{2} = \frac{12 \times 11}{2} = 66$.
$z$ के सम होने के लिए,$z \in \{0, 2, 4, 6, 8, 10\}$ लें।
यदि $z=k$ है,तो $x+y=10-k$। $x+y=m$ के लिए हलों की संख्या $m+1$ है।
$z=0$ के लिए,$x+y=10$,हल $= 11$।
$z=2$ के लिए,$x+y=8$,हल $= 9$।
$z=4$ के लिए,$x+y=6$,हल $= 7$।
$z=6$ के लिए,$x+y=4$,हल $= 5$।
$z=8$ के लिए,$x+y=2$,हल $= 3$।
$z=10$ के लिए,$x+y=0$,हल $= 1$।
कुल अनुकूल हल $= 11+9+7+5+3+1 = 36$।
प्रायिकता $P = \frac{36}{66} = \frac{6}{11}$।

(A) मान लीजिए $P(A) = \frac{1}{2}, P(B) = \frac{3}{4}, P(C) = \frac{1}{4}, P(D) = \frac{1}{8}$ समस्या को सही ढंग से हल करने की प्रायिकताएं हैं।
प्रायिकता कि समस्या किसी के द्वारा हल नहीं की जाती है,$P(\overline{A}) \times P(\overline{B}) \times P(\overline{C}) \times P(\overline{D})$ है।
$P(\overline{A}) = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$
$P(\overline{B}) = 1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4}$
$P(\overline{C}) = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$
$P(\overline{D}) = 1 - \frac{1}{8} = \frac{7}{8}$
$P(\text{कोई हल नहीं करता}) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{4} \times \frac{3}{4} \times \frac{7}{8} = \frac{21}{256}$
समस्या के कम से कम एक व्यक्ति द्वारा हल किए जाने की प्रायिकता $1 - P(\text{कोई हल नहीं करता}) = 1 - \frac{21}{256} = \frac{235}{256}$ है।

(C) एक गैर-लीप वर्ष में $365$ दिन होते हैं,जो $52$ सप्ताह और $1$ अतिरिक्त दिन है।
यह अतिरिक्त दिन सप्ताह के $7$ दिनों में से कोई भी हो सकता है।
$53$ शनिवार होने की प्रायिकता $P(A) = \frac{1}{7}$ है और $53$ रविवार होने की प्रायिकता $P(B) = \frac{1}{7}$ है।
चूंकि ये घटनाएं परस्पर अपवर्जी हैं,इसलिए $53$ शनिवार या $53$ रविवार होने की प्रायिकता $P(A \cup B) = \frac{1}{7} + \frac{1}{7} = \frac{2}{7}$ है।

(A) प्रत्येक $3$ व्यक्ति स्वतंत्र रूप से $3$ घरों में से किसी एक को चुन सकते हैं।
$3$ व्यक्तियों द्वारा घरों को चुनने के कुल तरीके $= 3 \times 3 \times 3 = 27$ हैं।
तीनों व्यक्तियों के एक ही घर के लिए आवेदन करने के लिए,उन्हें या तो घर $1$,या घर $2$,या घर $3$ चुनना होगा।
अतः,अनुकूल परिणामों की संख्या $= 3$ है।
इसलिए,अभीष्ट प्रायिकता $= \frac{3}{27} = \frac{1}{9}$ है।

(A) दिया गया है कि,उनमें से केवल एक के घटित होने की प्रायिकता $P(A \cup B) - P(A \cap B) = \frac{2}{5} \dots (i)$
$A$ या $B$ के घटित होने की प्रायिकता $P(A \cup B) = \frac{1}{2} \dots (ii)$
हम जानते हैं कि केवल एक घटना के घटित होने की प्रायिकता $P(A \cup B) - P(A \cap B)$ द्वारा दी जाती है।
$(i)$ और $(ii)$ से मान रखने पर:
$\frac{1}{2} - P(A \cap B) = \frac{2}{5}$
$P(A \cap B) = \frac{1}{2} - \frac{2}{5}$
$P(A \cap B) = \frac{5 - 4}{10} = \frac{1}{10} = 0.1$

(C) जब दो निष्पक्ष पासे फेंके जाते हैं,तो कुल संभावित परिणामों की संख्या $6 \times 6 = 36$ होती है।
हम चाहते हैं कि ऊपर के फलकों पर संख्याओं का योग कम से कम $9$ हो,जिसका अर्थ है कि योग $9, 10, 11,$ या $12$ हो सकता है।
अनुकूल परिणाम हैं:
योग $= 9: (3, 6), (4, 5), (5, 4), (6, 3)$
योग $= 10: (4, 6), (5, 5), (6, 4)$
योग $= 11: (5, 6), (6, 5)$
योग $= 12: (6, 6)$
कुल अनुकूल परिणामों की संख्या $4 + 3 + 2 + 1 = 10$ है।
अतः,अभीष्ट प्रायिकता $\frac{10}{36} = \frac{5}{18}$ है।

(A) माना $X$ वह घटना है कि टिकट पर अंकित संख्या एक पूर्ण वर्ग है।
$\therefore X = \{1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100\}$
$\therefore n(X) = 10$
$\text{साथ ही, } n(S) = 100$
$\therefore \text{अभीष्ट प्रायिकता} = \frac{n(X)}{n(S)} = \frac{10}{100} = \frac{1}{10}$

(D) कुल पत्तों की संख्या $n(S) = 52$ है।
माना घटना $A$ काला पत्ता निकालने की है और घटना $B$ फेस कार्ड निकालने की है।
काले पत्तों की संख्या $n(A) = 26$ है।
फेस कार्ड की संख्या $n(B) = 12$ है।
काले फेस कार्ड की संख्या $n(A \cap B) = 6$ है (क्योंकि दो काले सूट में से प्रत्येक में $3$ काले फेस कार्ड होते हैं)।
काला पत्ता या फेस कार्ड निकालने की प्रायिकता $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$ द्वारा दी जाती है।
$P(A \cup B) = \frac{26}{52} + \frac{12}{52} - \frac{6}{52} = \frac{32}{52} = \frac{8}{13}$.

(A) प्रतिदर्श समष्टि $S$ में सभी संभावित जोड़े $(x, y)$ हैं जहाँ $x, y \in \{1, 2, 3, 5, 7, 11\}$ है।
चूंकि प्रत्येक पासे पर $6$ फलक हैं,इसलिए कुल परिणामों की संख्या $n(S) = 6 \times 6 = 36$ है।
मान लीजिए $A$ वह घटना है कि संख्याओं का योग एक अभाज्य संख्या है।
अनुकूल परिणाम: $(1,1), (1,2), (2,1), (2,3), (2,5), (2,11), (3,2), (5,2), (11,2)$ हैं।
अतः,$n(A) = 9$ है।
प्रायिकता $P(A) = \frac{n(A)}{n(S)} = \frac{9}{36} = \frac{1}{4}$ है।

(B) मान लीजिए $B$ एक लड़के को और $G$ एक लड़की को दर्शाता है। $3$ बच्चों वाले परिवार के लिए प्रतिदर्श समष्टि $S$ है:
$S = \{BBB, BBG, BGB, BGG, GBB, GBG, GGB, GGG\}$
कुल परिणामों की संख्या $n(S) = 8$ है।
मान लीजिए $E$ वह घटना है जिसमें सबसे बड़ा और सबसे छोटा बच्चा एक ही लिंग के हैं।
अनुकूल परिणाम हैं:
$E = \{BBB, BGB, GBG, GGG\}$
अनुकूल परिणामों की संख्या $n(E) = 4$ है।
प्रायिकता $P(E) = \frac{n(E)}{n(S)} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$.

(B) दो पासे फेंकने पर कुल परिणामों की संख्या $n(S) = 6 \times 6 = 36$ है।
संभावित योग $2$ से $12$ तक है। इस सीमा में अभाज्य संख्याएँ $2, 3, 5, 7, 11$ हैं।
प्रत्येक योग के लिए अनुकूल परिणाम इस प्रकार हैं:
योग $= 2: (1, 1) \rightarrow 1 \text{ परिणाम}$
योग $= 3: (1, 2), (2, 1) \rightarrow 2 \text{ परिणाम}$
योग $= 5: (1, 4), (2, 3), (3, 2), (4, 1) \rightarrow 4 \text{ परिणाम}$
योग $= 7: (1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2), (6, 1) \rightarrow 6 \text{ परिणाम}$
योग $= 11: (5, 6), (6, 5) \rightarrow 2 \text{ परिणाम}$
कुल अनुकूल परिणाम $n(E) = 1 + 2 + 4 + 6 + 2 = 15$ हैं।
प्रायिकता $P(E) = \frac{n(E)}{n(S)} = \frac{15}{36} = \frac{5}{12}$ है।

(D) दो पासे फेंकने पर कुल परिणामों की संख्या $6 \times 6 = 36$ है।
माना $A$ डबलेट प्राप्त करने की घटना है। परिणाम $(1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5), (6,6)$ हैं,इसलिए $n(A) = 6$ है।
माना $B$ योग $10$ प्राप्त करने की घटना है। परिणाम $(4,6), (5,5), (6,4)$ हैं,इसलिए $n(B) = 3$ है।
सर्वनिष्ठ $A \cap B$ परिणाम $(5,5)$ है,इसलिए $n(A \cap B) = 1$ है।
डबलेट या $10$ का योग प्राप्त करने वाले परिणामों की संख्या $n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B) = 6 + 3 - 1 = 8$ है।
वे परिणाम जो न तो डबलेट हैं और न ही जिनका योग $10$ है,उनकी संख्या $36 - 8 = 28$ है।
अतः,अभीष्ट प्रायिकता $\frac{28}{36} = \frac{7}{9}$ है।

(A) माना $H$ चित प्राप्त करने की घटना है और $D$ पासे पर $4$ से बड़ी संख्या प्राप्त करने की घटना है।
$P(H) = \frac{1}{2}$.
पासे पर $4$ से बड़ी संख्याएँ ${5, 6}$ हैं,इसलिए $P(D) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.
चूंकि घटनाएँ स्वतंत्र हैं,$P(H \cap D) = P(H) \times P(D) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{3} = \frac{1}{6}$.
हमें $H \cup D$ की प्रायिकता ज्ञात करनी है,जो $P(H \cup D) = P(H) + P(D) - P(H \cap D)$ द्वारा दी जाती है।
$P(H \cup D) = \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{6} = \frac{3+2-1}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$.

(C) हम जानते हैं कि किन्हीं दो घटनाओं $A$ और $B$ के लिए,उनके संघ की प्रायिकता इस प्रकार दी जाती है:
$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{5}{6} = \frac{1}{6} + \frac{2}{3} - P(A \cap B)$
$\frac{5}{6} = \frac{1}{6} + \frac{4}{6} - P(A \cap B)$
$\frac{5}{6} = \frac{5}{6} - P(A \cap B)$
इसका अर्थ है कि $P(A \cap B) = 0$ है।
चूंकि घटनाओं $A$ और $B$ के प्रतिच्छेदन की प्रायिकता $0$ है,इसलिए घटनाएँ $A$ और $B$ परस्पर अपवर्जी घटनाएँ हैं।

(B) कुल पत्तों की संख्या $= 52$.
इक्कों की संख्या $= 4$.
काले राजाओं की संख्या (हुकुम का राजा और चिड़ी का राजा) $= 2$.
पान की रानी की संख्या $= 1$.
चूंकि ये घटनाएं परस्पर अपवर्जी हैं,इसलिए अनुकूल परिणामों की कुल संख्या $= 4 + 2 + 1 = 7$.
$\therefore$ अभीष्ट प्रायिकता $= \frac{7}{52}$.

(C) जब दो पासे फेंके जाते हैं,तो कुल परिणामों की संख्या $6 \times 6 = 36$ होती है।
संभावित योग $2$ से $12$ तक होता है।
इस सीमा में अभाज्य संख्याएँ $2, 3, 5, 7, 11$ हैं।
प्रत्येक योग के लिए अनुकूल परिणाम:
योग $= 2$: $(1, 1)$ - $1$ स्थिति
योग $= 3$: $(1, 2), (2, 1)$ - $2$ स्थितियाँ
योग $= 5$: $(1, 4), (2, 3), (3, 2), (4, 1)$ - $4$ स्थितियाँ
योग $= 7$: $(1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2), (6, 1)$ - $6$ स्थितियाँ
योग $= 11$: $(5, 6), (6, 5)$ - $2$ स्थितियाँ
कुल अनुकूल परिणाम $= 1 + 2 + 4 + 6 + 2 = 15$।
आवश्यक प्रायिकता $= \frac{15}{36} = \frac{5}{12}$।

(A) घटनाओं $A$ या $B$ में से ठीक एक घटना के घटित होने की प्रायिकता $P(A \Delta B) = P(A \cup B) - P(A \cap B)$ द्वारा दी जाती है।
दिया गया है कि $P(A \cup B) = 0.6$ और $P(A \cap B) = 0.2$ है।
अतः,ठीक एक घटना के घटित होने की प्रायिकता $0.6 - 0.2 = 0.4$ है।

(D) जब दो पासों को फेंका जाता है,तो कुल संभावित परिणामों की संख्या $6 \times 6 = 36$ होती है।
मान लीजिए पहले पासे का परिणाम $x$ और दूसरे पासे का परिणाम $y$ है। हमें उस प्रायिकता को ज्ञात करना है जहाँ $x < y$ हो।
$x < y$ के लिए संभावित जोड़े $(x, y)$ इस प्रकार हैं:
$x=1$ के लिए,$y \in \{2, 3, 4, 5, 6\}$ ($5$ परिणाम)।
$x=2$ के लिए,$y \in \{3, 4, 5, 6\}$ ($4$ परिणाम)।
$x=3$ के लिए,$y \in \{4, 5, 6\}$ ($3$ परिणाम)।
$x=4$ के लिए,$y \in \{5, 6\}$ ($2$ परिणाम)।
$x=5$ के लिए,$y \in \{6\}$ ($1$ परिणाम)।
$x=6$ के लिए,$y$ का कोई संभावित मान नहीं है।
कुल अनुकूल परिणाम $= 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 15$।
प्रायिकता $\frac{15}{36} = \frac{5}{12}$ है।

(A) चूँकि $A$,$B$,और $C$ परस्पर अपवर्जी और निशेष घटनाएँ हैं,उनकी प्रायिकताओं का योग $1$ होता है:
$P(A) + P(B) + P(C) = 1$
दिया है $P(B) = \frac{3}{2} P(A)$ और $P(C) = \frac{1}{2} P(B) = \frac{1}{2} \times \frac{3}{2} P(A) = \frac{3}{4} P(A)$
इन मानों को समीकरण में रखने पर:
$P(A) + \frac{3}{2} P(A) + \frac{3}{4} P(A) = 1$
हर $4$ लेने पर:
$\frac{4 P(A) + 6 P(A) + 3 P(A)}{4} = 1$
$\frac{13 P(A)}{4} = 1$
$P(A) = \frac{4}{13}$

(D) जब दो पासे फेंके जाते हैं,तो कुल परिणामों की संख्या $n(S) = 6 \times 6 = 36$ होती है।
मान लीजिए $E$ वह घटना है कि संख्याओं का योग $2$ या $3$ से विभाज्य है।
संभावित योग $2$ से $12$ तक हैं।
$2$ से विभाज्य योग: $2, 4, 6, 8, 10, 12$ हैं।
$3$ से विभाज्य योग: $3, 6, 9, 12$ हैं।
अतः,$2$ या $3$ से विभाज्य योग: $2, 3, 4, 6, 8, 9, 10, 12$ हैं।
प्रत्येक योग के लिए परिणामों की गणना करने पर:
योग $2: (1,1) - 1$ परिणाम
योग $3: (1,2), (2,1) - 2$ परिणाम
योग $4: (1,3), (2,2), (3,1) - 3$ परिणाम
योग $6: (1,5), (2,4), (3,3), (4,2), (5,1) - 5$ परिणाम
योग $8: (2,6), (3,5), (4,4), (5,3), (6,2) - 5$ परिणाम
योग $9: (3,6), (4,5), (5,4), (6,3) - 4$ परिणाम
योग $10: (4,6), (5,5), (6,4) - 3$ परिणाम
योग $12: (6,6) - 1$ परिणाम
कुल अनुकूल परिणाम $n(E) = 1 + 2 + 3 + 5 + 5 + 4 + 3 + 1 = 24$ हैं।
इसलिए,प्रायिकता $P(E) = \frac{n(E)}{n(S)} = \frac{24}{36} = \frac{2}{3}$।

(A) माना $W$ सफेद गेंद और $B$ काली गेंद को दर्शाता है। बक्सों की सामग्री इस प्रकार है:
बक्सा $I$: $3W, 1B$ (कुल $4$ गेंदें)
बक्सा $II$: $2W, 2B$ (कुल $4$ गेंदें)
बक्सा $III$: $1W, 3B$ (कुल $4$ गेंदें)
हमें $2$ सफेद और $1$ काली गेंद निकालनी है। यह तीन परस्पर अनन्य तरीकों से हो सकता है:
$1$. बक्सा $I$ से $B$,बक्सा $II$ से $W$,बक्सा $III$ से $W$
$2$. बक्सा $I$ से $W$,बक्सा $II$ से $B$,बक्सा $III$ से $W$
$3$. बक्सा $I$ से $W$,बक्सा $II$ से $W$,बक्सा $III$ से $B$
आवश्यक प्रायिकता है:
$P = P(B_I)P(W_{II})P(W_{III}) + P(W_I)P(B_{II})P(W_{III}) + P(W_I)P(W_{II})P(B_{III})$
$P = (\frac{1}{4} \times \frac{2}{4} \times \frac{1}{4}) + (\frac{3}{4} \times \frac{2}{4} \times \frac{1}{4}) + (\frac{3}{4} \times \frac{2}{4} \times \frac{3}{4})$
$P = \frac{2}{64} + \frac{6}{64} + \frac{18}{64} = \frac{26}{64} = \frac{13}{32}$

(B) माना $H$ पति के चयन की घटना है और $W$ पत्नी के चयन की घटना है।
दिया गया है $P(H) = \frac{1}{7}$ और $P(W) = \frac{1}{5}$।
पति के चयन न होने की प्रायिकता $P(H') = 1 - \frac{1}{7} = \frac{6}{7}$ है।
पत्नी के चयन न होने की प्रायिकता $P(W') = 1 - \frac{1}{5} = \frac{4}{5}$ है।
केवल एक के चुने जाने की प्रायिकता $P(\text{केवल } H) + P(\text{केवल } W)$ द्वारा दी जाती है।
$P(\text{केवल } H) = P(H) \times P(W') = \frac{1}{7} \times \frac{4}{5} = \frac{4}{35}$।
$P(\text{केवल } W) = P(W) \times P(H') = \frac{1}{5} \times \frac{6}{7} = \frac{6}{35}$।
अतः,अभीष्ट प्रायिकता $\frac{4}{35} + \frac{6}{35} = \frac{10}{35} = \frac{2}{7}$ है।

(D) मान लीजिए $A, B, C,$ और $D$ वे घटनाएँ हैं जिनमें चार व्यक्ति लक्ष्य को भेदते हैं।
दी गई प्रायिकताएँ $P(A) = \frac{1}{2}, P(B) = \frac{1}{3}, P(C) = \frac{1}{4}, P(D) = \frac{1}{5}$ हैं।
लक्ष्य के किसी के द्वारा न भेद पाने की प्रायिकता वह है जब चारों व्यक्ति लक्ष्य से चूक जाते हैं।
$P(A') = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$
$P(B') = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$
$P(C') = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$
$P(D') = 1 - \frac{1}{5} = \frac{4}{5}$
चूंकि घटनाएँ स्वतंत्र हैं,इसलिए किसी के द्वारा लक्ष्य न भेद पाने की प्रायिकता:
$P(\text{कोई नहीं भेदता}) = P(A') \times P(B') \times P(C') \times P(D') = \frac{1}{2} \times \frac{2}{3} \times \frac{3}{4} \times \frac{4}{5} = \frac{1}{5}$.
लक्ष्य के कम से कम एक बार भेद जाने की प्रायिकता:
$P(\text{लक्ष्य भेद दिया गया}) = 1 - P(\text{कोई नहीं भेदता}) = 1 - \frac{1}{5} = \frac{4}{5}$.