Set Based probability Questions in Hindi

(B) दिया गया है: $P(A) = \frac{2}{5}$ और $P(B) = \frac{4}{7}$।
हमें वह प्रायिकता ज्ञात करनी है कि उनमें से केवल एक चुना जाए।
इसके लिए सूत्र है: $P(\text{केवल एक}) = P(A \cap B') + P(A' \cap B)$।
चूंकि घटनाएं स्वतंत्र हैं,$P(A \cap B') = P(A) \times P(B')$ और $P(A' \cap B) = P(A') \times P(B)$।
यहाँ,$P(A') = 1 - P(A) = 1 - \frac{2}{5} = \frac{3}{5}$ और $P(B') = 1 - P(B) = 1 - \frac{4}{7} = \frac{3}{7}$।
मान रखने पर:
$P(\text{केवल एक}) = \left(\frac{2}{5} \times \frac{3}{7}\right) + \left(\frac{3}{5} \times \frac{4}{7}\right)$
$= \frac{6}{35} + \frac{12}{35}$
$= \frac{18}{35}$।

(B) मान लीजिए $P(A), P(B),$ और $P(C)$ क्रमशः छात्रों $A, B,$ और $C$ द्वारा समस्या को हल करने की प्रायिकताएँ हैं।
$P(A) = \frac{1}{2}, P(B) = \frac{1}{3}, P(C) = \frac{1}{4}$
समस्या किसी के द्वारा हल न होने की प्रायिकता वह है कि तीनों छात्र इसे हल करने में विफल रहते हैं।
$P(A') = 1 - P(A) = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$
$P(B') = 1 - P(B) = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$
$P(C') = 1 - P(C) = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$
चूंकि छात्र स्वतंत्र रूप से प्रयास करते हैं,इसलिए प्रायिकता कि कोई भी समस्या हल नहीं कर पाता है:
$P(\text{कोई हल नहीं}) = P(A') \times P(B') \times P(C') = \frac{1}{2} \times \frac{2}{3} \times \frac{3}{4} = \frac{1}{4}$
समस्या के हल होने की प्रायिकता,समस्या के हल न होने की प्रायिकता की पूरक है:
$P(\text{हल हो गई}) = 1 - P(\text{कोई हल नहीं}) = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$

(A) मान लीजिए $P(A)$ भौतिकी में अनुत्तीर्ण होने की प्रायिकता है और $P(B)$ गणित में अनुत्तीर्ण होने की प्रायिकता है।
दिया गया है $P(A) = \frac{20}{100} = 0.2$ और $P(B) = \frac{10}{100} = 0.1$।
यह मानते हुए कि घटनाएं स्वतंत्र हैं,कम से कम एक विषय में अनुत्तीर्ण होने की प्रायिकता $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि घटनाएं स्वतंत्र हैं,$P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B) = 0.2 \times 0.1 = 0.02$।
अतः,$P(A \cup B) = 0.2 + 0.1 - 0.02 = 0.28$।
प्रतिशत में बदलने पर,$0.28 \times 100 = 28 \%$।

(D) जब पासे के एक जोड़े को फेंका जाता है,तो कुल संभावित परिणामों की संख्या $6 \times 6 = 36$ होती है।
एक सम अभाज्य संख्या वह संख्या है जो सम और अभाज्य दोनों है। एकमात्र सम अभाज्य संख्या $2$ है।
प्रत्येक पासे के लिए,$2$ संख्या प्राप्त करने की प्रायिकता $\frac{1}{6}$ है।
चूंकि दोनों पासे स्वतंत्र रूप से फेंके जाते हैं,इसलिए प्रत्येक पासे पर एक सम अभाज्य संख्या प्राप्त करने की प्रायिकता उनकी व्यक्तिगत प्रायिकताओं का गुणनफल है:
$P = \frac{1}{6} \times \frac{1}{6} = \frac{1}{36}$।
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(C) जब पासे के एक जोड़े को फेंका जाता है,तो कुल संभावित परिणामों की संख्या $6 \times 6 = 36$ होती है।
पासे पर सम संख्या $2, 4,$ या $6$ हो सकती है।
अतः,प्रत्येक पासे के लिए $3$ अनुकूल परिणाम हैं।
दोनों पासों पर सम संख्या आने के अनुकूल परिणामों की संख्या $3 \times 3 = 9$ है।
प्रायिकता अनुकूल परिणामों और कुल परिणामों का अनुपात है:
$P = \frac{9}{36} = \frac{1}{4}$.

(B) जब पासे के एक जोड़े को फेंका जाता है,तो संभावित परिणामों की कुल संख्या $6 \times 6 = 36$ होती है।
एक सम अभाज्य संख्या वह संख्या है जो सम और अभाज्य दोनों हो। एकमात्र सम अभाज्य संख्या $2$ है।
प्रत्येक पासे के लिए,$2$ प्राप्त करने की प्रायिकता $\frac{1}{6}$ है।
चूंकि पासे फेंकना स्वतंत्र घटनाएं हैं,इसलिए दोनों पासों पर $2$ प्राप्त करने की प्रायिकता $\frac{1}{6} \times \frac{1}{6} = \frac{1}{36}$ होगी।
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(C) जब पासे के एक जोड़े को फेंका जाता है,तो कुल संभावित परिणामों की संख्या $6 \times 6 = 36$ होती है।
पासे पर एक सम संख्या $2, 4,$ या $6$ हो सकती है। इस प्रकार,प्रत्येक पासे के लिए $3$ अनुकूल परिणाम हैं।
दोनों पासों पर सम संख्या प्राप्त करने के लिए अनुकूल परिणामों की संख्या $3 \times 3 = 9$ है।
प्रायिकता $P$ अनुकूल परिणामों और कुल परिणामों के अनुपात द्वारा दी जाती है:
$P = \frac{9}{36} = \frac{1}{4}$.

(B) दिया है,$P(A) = \frac{1}{2}, P(B) = \frac{1}{4}, P(C) = \frac{1}{3}$.
अतः,समस्या हल न होने की प्रायिकताएं $P(\bar{A}) = \frac{1}{2}, P(\bar{B}) = \frac{3}{4}, P(\bar{C}) = \frac{2}{3}$ हैं।
समस्या के ठीक दो व्यक्तियों द्वारा हल किए जाने की प्रायिकता $= P(A)P(B)P(\bar{C}) + P(A)P(\bar{B})P(C) + P(\bar{A})P(B)P(C)$.
$= (\frac{1}{2} \times \frac{1}{4} \times \frac{2}{3}) + (\frac{1}{2} \times \frac{3}{4} \times \frac{1}{3}) + (\frac{1}{2} \times \frac{1}{4} \times \frac{1}{3})$.
$= \frac{2}{24} + \frac{3}{24} + \frac{1}{24} = \frac{6}{24} = \frac{1}{4}$.

(D) जब दो पासे फेंके जाते हैं,तो कुल संभावित परिणामों की संख्या $6 \times 6 = 36$ होती है।
माना $S$ दोनों पासों पर आने वाली संख्याओं का योग है। हमें $S > 5$ होने की प्रायिकता ज्ञात करनी है।
$S \leq 5$ होने की प्रायिकता की गणना करना आसान है।
$S \leq 5$ वाले परिणाम हैं:
$S=2: (1,1)$
$S=3: (1,2), (2,1)$
$S=4: (1,3), (2,2), (3,1)$
$S=5: (1,4), (2,3), (3,2), (4,1)$
$S \leq 5$ वाले कुल परिणामों की संख्या $1 + 2 + 3 + 4 = 10$ है।
अतः,$S > 5$ वाले परिणामों की संख्या $36 - 10 = 26$ है।
अभीष्ट प्रायिकता $P(S > 5) = \frac{26}{36} = \frac{13}{18}$ है।

(C) चूँकि $A, B, C$ परस्पर अपवर्जी और निशेष घटनाएँ हैं,इसलिए उनकी प्रायिकताओं का योग $1$ होगा:
$P(A) + P(B) + P(C) = 1$
दिया गया है कि $P(A) = 2P(B) = 3P(C)$,इसलिए हम $P(A)$ और $P(C)$ को $P(B)$ के पदों में लिख सकते हैं:
$P(A) = 2P(B)$
$P(C) = \frac{2P(B)}{3}$
इन मानों को योग के समीकरण में रखने पर:
$2P(B) + P(B) + \frac{2P(B)}{3} = 1$
हर को हटाने के लिए पूरे समीकरण को $3$ से गुणा करने पर:
$6P(B) + 3P(B) + 2P(B) = 3$
$11P(B) = 3$
$P(B) = \frac{3}{11}$

(B) लाल कंचों की कुल संख्या $6$ है $(1, 2, 3, 4, 5, 6)$।
सफेद कंचों की कुल संख्या $4$ है $(12, 13, 14, 15)$।
बॉक्स में कंचों की कुल संख्या $6 + 4 = 10$ है।
हमें एक ऐसा कंचा चाहिए जो सफेद हो और विषम संख्या वाला हो।
सफेद कंचे ${12, 13, 14, 15}$ हैं।
इनमें से,विषम संख्या वाले कंचे $13$ और $15$ हैं।
अतः,अनुकूल परिणामों की संख्या $2$ है।
प्रायिकता $P$ अनुकूल परिणामों और कुल परिणामों का अनुपात है:
$P = \frac{\text{अनुकूल परिणामों की संख्या}}{\text{कुल परिणामों की संख्या}} = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$.

(C) जब दो पासे एक साथ फेंके जाते हैं,तो कुल संभावित परिणामों की संख्या $6 \times 6 = 36$ होती है।
कुल योग $5$ प्राप्त करने के लिए अनुकूल परिणाम $(1, 4), (4, 1), (2, 3), \text{ और } (3, 2)$ हैं।
अनुकूल परिणामों की संख्या $4$ है।
प्रायिकता $P(E)$ अनुकूल परिणामों की संख्या और कुल परिणामों की संख्या का अनुपात है:
$P(E) = \frac{4}{36} = \frac{1}{9}$.

(A) दिया गया है कि $A$ और $B$ स्वतंत्र घटनाएँ हैं।
हम जानते हैं कि $P(A) = 1 - P(A^{\prime})$ और $P(B) = 1 - P(B^{\prime})$ होता है।
यहाँ $P(A^{\prime}) = \frac{2}{3}$ दिया है,इसलिए $P(A) = 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$।
यहाँ $P(B^{\prime}) = \frac{2}{7}$ दिया है,इसलिए $P(B) = 1 - \frac{2}{7} = \frac{5}{7}$।
चूँकि $A$ और $B$ स्वतंत्र घटनाएँ हैं,इसलिए $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$ होगा।
अतः,$P(A \cap B) = \frac{1}{3} \cdot \frac{5}{7} = \frac{5}{21}$।

(C) सभी परिणामों की प्रायिकताओं का योग $1$ होता है।
$\frac{1}{6} + a + b + c + \frac{1}{12} = 1$.
$a + b + c = \frac{3}{4}$.
$12a + 12b = 1 \Rightarrow a + b = \frac{1}{12}$.
अतः $c = \frac{3}{4} - \frac{1}{12} = \frac{2}{3}$.

(B) पासे पर कुल फलकों की संख्या $2 + 3 + 1 = 6$ है।
$1$ प्राप्त करने की प्रायिकता $P(1) = \frac{2}{6}$ है।
$3$ प्राप्त करने की प्रायिकता $P(3) = \frac{1}{6}$ है।
चूंकि घटनाएं परस्पर अपवर्जी हैं,इसलिए $P(1 \text{ or } 3) = P(1) + P(3) = \frac{2}{6} + \frac{1}{6} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$.

(C) दिया गया है,$P(A)=0.59, P(B)=0.30$ और $P(A \cap B)=0.21$।
डी मॉर्गन के नियम के अनुसार,$P(A^{\prime} \cap B^{\prime}) = P((A \cup B)^{\prime}) = 1 - P(A \cup B)$।
प्रायिकता के योग नियम का उपयोग करते हुए,$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$।
मान रखने पर: $P(A \cup B) = 0.59 + 0.30 - 0.21 = 0.89 - 0.21 = 0.68$।
अतः,$P(A^{\prime} \cap B^{\prime}) = 1 - 0.68 = 0.32$।

(C) दिया गया है: $P(A) = 0.5$ और $P(B) = 0.3$.
चूंकि $A$ और $B$ परस्पर अपवर्जी घटनाएँ हैं,इसलिए $P(A \cap B) = 0$.
$A$ या $B$ के घटित होने की प्रायिकता $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) = 0.5 + 0.3 - 0 = 0.8$ है।
न तो $A$ और न ही $B$ के घटित होने की प्रायिकता $P(A' \cap B') = P((A \cup B)') = 1 - P(A \cup B)$ है।
अतः,$P(A' \cap B') = 1 - 0.8 = 0.2$.

(C) जब पासे के एक जोड़े को फेंका जाता है,तो कुल संभावित परिणामों की संख्या $6 \times 6 = 36$ होती है।
हमें $7$ से अधिक योग प्राप्त करने की प्रायिकता ज्ञात करनी है।
$7$ से अधिक योग वाले परिणाम हैं:
योग $= 8$: $(2,6), (3,5), (4,4), (5,3), (6,2)$ ($5$ परिणाम)
योग $= 9$: $(3,6), (4,5), (5,4), (6,3)$ ($4$ परिणाम)
योग $= 10$: $(4,6), (5,5), (6,4)$ ($3$ परिणाम)
योग $= 11$: $(5,6), (6,5)$ ($2$ परिणाम)
योग $= 12$: $(6,6)$ ($1$ परिणाम)
कुल अनुकूल परिणाम $= 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 15$।
अतः,अभीष्ट प्रायिकता $P = \frac{15}{36} = \frac{5}{12}$ है।

(C) हमें फलन $f(x) = x^2 - 5x + 4$ दिया गया है। हमें $x \in \{1, 2, 3, \dots, 20\}$ के लिए $f(x) > 10$ होने की प्रायिकता ज्ञात करनी है।
असमिका $x^2 - 5x + 4 > 10$ को हल करने पर:
$x^2 - 5x - 6 > 0$
$(x - 6)(x + 1) > 0$
चूंकि $x$ एक प्राकृतिक संख्या है,$x + 1$ हमेशा धनात्मक है। अतः,हमें $x - 6 > 0$ की आवश्यकता है,जिसका अर्थ है $x > 6$।
$1$ से $20$ तक की प्राकृतिक संख्याएँ जो $x > 6$ को संतुष्ट करती हैं,वे $\{7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20\}$ हैं।
ऐसी संख्याओं की कुल संख्या $14$ है।
प्राकृतिक संख्याओं की कुल संख्या $20$ है।
अतः प्रायिकता $\frac{14}{20} = \frac{7}{10}$ है।

(C) $p$ और $q$ के लिए संभावित मानों का समुच्चय $S = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ है।
कुल युग्मों $(p, q)$ की संख्या $6 \times 6 = 36$ है।
हमें $p/q$ के रूप में भिन्न परिमेय संख्याएँ ज्ञात करनी हैं।
भिन्न मान: $\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, 1/6, 2/3, 2/5, 3/2, 3/4, 3/5, 4/3, 4/5, 5/2, 5/3, 5/4, 5/6, 6/5\}$ हैं।
कुल $23$ भिन्न परिमेय संख्याएँ हैं।
उचित भिन्न वह है जिसमें $p < q$ हो।
उचित भिन्न: $\{1/2, 1/3, 1/4, 1/5, 1/6, 2/3, 2/5, 3/4, 3/5, 4/5, 5/6\}$ हैं।
ऐसे कुल $11$ उचित भिन्न हैं।
अतः,प्रायिकता $11/23$ है।

(B) जब दो पासे फेंके जाते हैं,तो कुल परिणामों की संख्या $6 \times 6 = 36$ होती है।
मान लीजिए $S$ दो पासों पर संख्याओं का योग है। $S$ के लिए संभावित मान $\{2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12\}$ हैं।
घटना $A$ वह घटना है जिसमें योग एक अभाज्य संख्या है: $A = \{2, 3, 5, 7, 11\}$।
घटना $B$ वह घटना है जिसमें योग $8$ से बड़ा है: $B = \{9, 10, 11, 12\}$।
हमें $P(A \cap \overline{B})$ ज्ञात करना है,जो घटना $A$ के होने और $B$ के न होने की प्रायिकता है।
इसका अर्थ है कि योग एक अभाज्य संख्या है और योग $8$ या उससे कम है।
$A \cap \overline{B} = \{2, 3, 5, 7\}$।
अब,प्रत्येक योग के लिए परिणामों की संख्या गिनते हैं:
योग $= 2: (1,1) \rightarrow 1$ परिणाम
योग $= 3: (1,2), (2,1) \rightarrow 2$ परिणाम
योग $= 5: (1,4), (2,3), (3,2), (4,1) \rightarrow 4$ परिणाम
योग $= 7: (1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1) \rightarrow 6$ परिणाम
$A \cap \overline{B}$ के लिए कुल परिणाम $= 1 + 2 + 4 + 6 = 13$।
अतः,$P(A \cap \overline{B}) = \frac{13}{36}$।

(C) तीन पासे फेंकने पर कुल संभावित परिणाम $6^3 = 216$ हैं।
तीन पासों के साथ योग $S$ प्राप्त करने के तरीकों की संख्या $n(S)$ है।
योग $S = 13$ प्राप्त करने के तरीकों की संख्या $n(13) = 21$ है।
योग $S > 13$ प्राप्त करने के तरीकों की संख्या $n(14) + n(15) + n(16) + n(17) + n(18)$ है।
$n(14) = 15, n(15) = 10, n(16) = 6, n(17) = 3, n(18) = 1$.
इनका योग: $15 + 10 + 6 + 3 + 1 = 35$.
अतः,$B$ का योग $13$ से अधिक होने की प्रायिकता $\frac{35}{216}$ है।

(B) जब दो पासे फेंके जाते हैं तो कुल परिणामों की संख्या $6 \times 6 = 36$ होती है।
योग $10$ होने वाले परिणाम $(4, 6), (5, 5), (6, 4)$ हैं।
योग $11$ होने वाले परिणाम $(5, 6), (6, 5)$ हैं।
अनुकूल परिणामों की कुल संख्या $3 + 2 = 5$ है।
अतः,अभीष्ट प्रायिकता $\frac{5}{36}$ है।

(A) मान लीजिए $S$ में $n$ अवयव हैं। प्रत्येक अवयव $x \in S$ के लिए चार स्थितियाँ संभव हैं:
$1. x \in A$ और $x \in B$
$2. x \in A$ और $x \notin B$
$3. x \notin A$ और $x \in B$
$4. x \notin A$ और $x \notin B$
कुल चयन के तरीके $4^n$ हैं।
शर्त $A \cap B = \phi$ और $A \cup B = S$ के अनुसार,प्रत्येक अवयव या तो $A$ में होगा या $B$ में,लेकिन दोनों में नहीं।
अतः प्रत्येक अवयव के लिए $2$ विकल्प हैं।
अनुकूल परिणामों की संख्या $2^n$ है।
प्रायिकता $= \frac{2^n}{4^n} = \frac{1}{2^n}$.

(A) एक सिक्के को तीन बार उछालने पर प्रतिदर्श समष्टि $S$ में $2^3 = 8$ परिणाम होते हैं: $S = \{HHH, HHT, HTH, HTT, THH, THT, TTH, TTT\}$.
घटना $A$ (तीन चित प्राप्त करना) = $\{HHH\}$,इसलिए $P(A) = \frac{1}{8}$.
घटना $B$ (पहली उछाल पर चित प्राप्त करना) = $\{HHH, HHT, HTH, HTT\}$,इसलिए $P(B) = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$.
सर्वनिष्ठ $A \cap B = \{HHH\}$,इसलिए $P(A \cap B) = \frac{1}{8}$.
घटनाओं के स्वतंत्र होने के लिए,$P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$ होना चाहिए।
यहाँ $P(A) \times P(B) = \frac{1}{8} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{16}$.
चूंकि $P(A \cap B) = \frac{1}{8} \neq \frac{1}{16}$,इसलिए ये घटनाएँ आश्रित हैं।

(D) कुल परिणामों की संख्या $= 30$ है।
$1$ से $30$ के बीच $3$ के गुणज हैं: $3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30$ (कुल $10$)।
$1$ से $30$ के बीच $5$ के गुणज हैं: $5, 10, 15, 20, 25, 30$ (कुल $6$)।
$3$ और $5$ दोनों के गुणज (अर्थात $15$ के गुणज) हैं: $15, 30$ (कुल $2$)।
अनुकूल परिणामों की संख्या $= 10 + 6 - 2 = 14$ है।
अतः,अभीष्ट प्रायिकता $= \frac{14}{30} = \frac{7}{15}$ है।

(A) एक सिक्के को $3$ बार उछालने पर कुल परिणामों की संख्या $2^3 = 8$ है। प्रतिदर्श समष्टि $S = \{HHH, HHT, HTH, HTT, THH, THT, TTH, TTT\}$ है।
लड़का तब जीतता है जब सभी उछालों में समान परिणाम मिलते हैं,जो कि $\{HHH, TTT\}$ हैं।
जीतने वाले परिणामों की संख्या $2$ है।
हारने वाले परिणामों की संख्या $8 - 2 = 6$ है। ये परिणाम $\{HHT, HTH, HTT, THH, THT, TTH\}$ हैं।
लड़के के खेल हारने की प्रायिकता $P(\text{Lose}) = \frac{\text{हारने वाले परिणामों की संख्या}}{\text{कुल परिणामों की संख्या}} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}$ है।

(A) एक सामान्य वर्ष में $365$ दिन होते हैं,जो $52$ सप्ताह और $1$ अतिरिक्त दिन के बराबर है।
चूंकि $52$ सप्ताह होते हैं,इसलिए $52$ रविवार तो निश्चित रूप से होंगे।
वर्ष में $53$ रविवार होने के लिए,अतिरिक्त दिन का रविवार होना आवश्यक है।
अतिरिक्त दिन के लिए संभावित परिणामों का समुच्चय $\{ \text{सोमवार}, \text{मंगलवार}, \text{बुधवार}, \text{गुरुवार}, \text{शुक्रवार}, \text{शनिवार}, \text{रविवार} \}$ है।
कुल संभावित परिणामों की संख्या $= 7$ है।
अनुकूल परिणामों की संख्या (दिन का रविवार होना) $= 1$ है।
अतः,प्रायिकता $= \frac{\text{अनुकूल परिणामों की संख्या}}{\text{कुल परिणामों की संख्या}} = \frac{1}{7}$।

(D) कुल टिकटों की संख्या = $35$ है।
इनाम वाले टिकटों की संख्या = $10$ है।
बिना इनाम वाले टिकटों की संख्या = $35 - 10 = 25$ है।
इनाम न मिलने की प्रायिकता = $\frac{\text{बिना इनाम वाले टिकटों की संख्या}}{\text{कुल टिकटों की संख्या}} = \frac{25}{35} = \frac{5}{7}$.

(D) कुल गेंदों की संख्या $= 7 + 5 = 12$.
पहली हरी गेंद निकालने की प्रायिकता $= \frac{7}{12}$.
चूंकि गेंदों को प्रतिस्थापित नहीं किया जाता है,इसलिए शेष हरी गेंदों की संख्या $6$ है और कुल गेंदों की संख्या $11$ है।
दूसरी हरी गेंद निकालने की प्रायिकता $= \frac{6}{11}$.
दो हरी गेंदें निकालने के बाद,शेष हरी गेंदों की संख्या $5$ है और कुल गेंदों की संख्या $10$ है।
तीसरी हरी गेंद निकालने की प्रायिकता $= \frac{5}{10} = \frac{1}{2}$.
तीनों गेंदों के हरे होने की प्रायिकता इन व्यक्तिगत प्रायिकताओं का गुणनफल है:
$P = \frac{7}{12} \times \frac{6}{11} \times \frac{5}{10} = \frac{7 \times 6 \times 5}{12 \times 11 \times 10} = \frac{210}{1320} = \frac{7}{44}$.

(D) $x$ के लिए समुच्चय $\{1, 2, 3, 4\}$ है और $y$ के लिए समुच्चय $\{5, 6, 7\}$ है।
कुल संभावित परिणामों की संख्या $4 \times 3 = 12$ है।
गुणनफल $xy$ सम होता है यदि $x$ या $y$ में से कम से कम एक संख्या सम हो।
वैकल्पिक रूप से,$xy$ विषम केवल तब होता है जब $x$ और $y$ दोनों विषम हों।
$x$ में विषम संख्याएँ $\{1, 3\}$ हैं (संख्या = $2$)।
$y$ में विषम संख्याएँ $\{5, 7\}$ हैं (संख्या = $2$)।
परिणामों की संख्या जहाँ $xy$ विषम है = $2 \times 2 = 4$।
परिणामों की संख्या जहाँ $xy$ सम है = $\text{कुल परिणाम} - \text{विषम परिणाम} = 12 - 4 = 8$।
$xy$ के सम होने की प्रायिकता = $\frac{8}{12} = \frac{2}{3}$।

(C) यह ध्यान दिया जा सकता है कि यदि गेंद न तो लाल है और न ही हरी,तो वह नीली होनी चाहिए।
नीली गेंदों की संख्या $= 7$.
कुल गेंदों की संख्या $= 8 + 7 + 6 = 21$.
अतः,नीली गेंद चुनने की प्रायिकता $= \frac{7}{21} = \frac{1}{3}$ है।

(D) माना कुल राशि $S = 20000$ है। $X$ और $Y$ कर्मचारियों को दी गई राशि है।
दिया गया है कि $X + Y = 20000$ और $X > Y$।
चूंकि $X$ बड़ा भाग है,इसलिए $X$ का मान $(10000, 20000]$ के बीच होगा।
$X$ के लिए प्रतिदर्श समष्टि की कुल लंबाई $20000 - 10000 = 10000$ है।
हमें $X \geq 2Y$ होने की प्रायिकता ज्ञात करनी है।
$Y = 20000 - X$ प्रतिस्थापित करने पर,$X \geq 2(20000 - X)$ प्राप्त होता है।
$X \geq 40000 - 2X \Rightarrow 3X \geq 40000 \Rightarrow X \geq 40000/3$।
चूंकि $X$ का अधिकतम मान $20000$ है,इसलिए अनुकूल अंतराल $[40000/3, 20000]$ है।
इस अंतराल की लंबाई $20000 - 40000/3 = 20000/3$ है।
प्रायिकता $\frac{20000/3}{10000} = \frac{2}{3}$ है।

(C) जब दो पासे एक साथ फेंके जाते हैं,तो कुल परिणामों की संख्या $6 \times 6 = 36$ होती है।
जिन जोड़ों का योग $9$ होता है,वे $(3,6), (4,5), (5,4), (6,3)$ हैं।
अतः,अनुकूल परिणामों की संख्या $4$ है।
योग $9$ प्राप्त करने की प्रायिकता अनुकूल परिणामों और कुल परिणामों का अनुपात है:
$P(\text{योग } 9) = \frac{4}{36} = \frac{1}{9}$.

(B) जब दो पासे फेंके जाते हैं,तो कुल संभावित परिणामों की संख्या $6 \times 6 = 36$ होती है।
कुल योग $2$ से $12$ के बीच हो सकता है।
इस सीमा में अभाज्य संख्याएँ $2, 3, 5, 7, 11$ हैं।
इन योगों को प्राप्त करने वाले परिणाम हैं:
योग $= 2: (1,1)$
योग $= 3: (1,2), (2,1)$
योग $= 5: (1,4), (2,3), (3,2), (4,1)$
योग $= 7: (1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1)$
योग $= 11: (5,6), (6,5)$
अनुकूल परिणामों की कुल संख्या $= 1 + 2 + 4 + 6 + 2 = 15$ है।
प्रायिकता $\frac{15}{36} = \frac{5}{12}$ है।

(A) जब पासे को $4$ बार उछाला जाता है तो कुल परिणामों की संख्या $6^4 = 1296$ होती है।
प्रत्येक उछाल के लिए,मान $\{2, 3, 4, 5\}$ के सेट में होना चाहिए ताकि यह शर्त पूरी हो सके कि न्यूनतम $\ge 2$ और अधिकतम $\le 5$ हो।
प्रत्येक उछाल के लिए ऐसे $4$ अनुकूल परिणाम हैं।
$4$ उछालों के लिए अनुकूल परिणामों की संख्या $4^4 = 256$ है।
अभीष्ट प्रायिकता $\frac{4^4}{6^4} = \left(\frac{4}{6}\right)^4 = \left(\frac{2}{3}\right)^4 = \frac{16}{81}$ है।

(C) कुल कार्ड $= 30$.
सफेद कार्डों की संख्या $= 17$.
हरे कार्डों की संख्या $= 30 - 17 = 13$.
$IMPORTANT$ कार्डों की संख्या $= 4 + 5 = 9$.
हरे और $IMPORTANT$ दोनों कार्डों की संख्या $= 5$.
माना $G$ हरा कार्ड चुनने की घटना है और $I$ $IMPORTANT$ कार्ड चुनने की घटना है।
हमें $P(G \cup I) = P(G) + P(I) - P(G \cap I)$ ज्ञात करना है।
$P(G) = \frac{13}{30}$,$P(I) = \frac{9}{30}$,$P(G \cap I) = \frac{5}{30}$.
$P(G \cup I) = \frac{13}{30} + \frac{9}{30} - \frac{5}{30} = \frac{17}{30}$.

(A) समुच्चय में कुल अवयवों की संख्या $n(S) = 100$ है।
$1$ से $100$ के बीच पूर्ण घन संख्याएँ $1^3 = 1$,$2^3 = 8$,$3^3 = 27$,और $4^3 = 64$ हैं।
अतः,अनुकूल परिणामों का समुच्चय $E = \{1, 8, 27, 64\}$ है,इसलिए $n(E) = 4$ है।
अभीष्ट प्रायिकता $P(E) = \frac{n(E)}{n(S)} = \frac{4}{100} = \frac{1}{25}$ है।

(C) कुल गेंदों की संख्या = $3 + 2 + 5 = 10$।
लाल न होने वाली गेंदों की संख्या = $3$ (सफेद) + $2$ (नीली) = $5$।
लाल न होने वाली गेंद निकालने की प्रायिकता = $\frac{\text{लाल न होने वाली गेंदों की संख्या}}{\text{कुल गेंदों की संख्या}} = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}$।

(B) ताश की गड्डी में कुल पत्तों की संख्या $52$ है।
एक गड्डी में $4$ गुलाम,$4$ बेगम और $4$ बादशाह होते हैं।
फेस कार्ड की कुल संख्या = $4 + 4 + 4 = 12$ है।
फेस कार्ड निकालने की प्रायिकता,फेस कार्ड की संख्या और कुल पत्तों की संख्या का अनुपात है।
$P(\text{Face Card}) = \frac{12}{52} = \frac{3}{13}$.

(C) माना $A$ सड़क का ठेका मिलने की घटना है और $B$ भवन निर्माण का ठेका मिलने की घटना है।
दिया गया है: $P(A) = \frac{2}{9}$,$P(B) = \frac{5}{9}$,और $P(A \cap B) = \frac{1}{6}$.
हमें कोई भी ठेका न मिलने की प्रायिकता ज्ञात करनी है,जो $P(A' \cap B') = P((A \cup B)')$ है।
सबसे पहले,कम से कम एक ठेका मिलने की प्रायिकता ज्ञात करें:
$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$
$P(A \cup B) = \frac{2}{9} + \frac{5}{9} - \frac{1}{6} = \frac{7}{9} - \frac{1}{6}$
हर समान करने पर $(18)$:
$P(A \cup B) = \frac{14}{18} - \frac{3}{18} = \frac{11}{18}$.
अब,कोई भी ठेका न मिलने की प्रायिकता:
$P((A \cup B)') = 1 - P(A \cup B) = 1 - \frac{11}{18} = \frac{7}{18}$.
अतः,प्रायिकता $\frac{7}{18}$ है।

(C) दिया गया है,$P(A)=\frac{1}{3}, P(B)=\frac{1}{4}, P(A \cup B)=\frac{1}{2}$.
सूत्र $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$ का उपयोग करके $P(A \cap B)$ ज्ञात करते हैं:
$P(A \cap B) = P(A) + P(B) - P(A \cup B) = \frac{1}{3} + \frac{1}{4} - \frac{1}{2} = \frac{1}{12}$.
स्वतंत्रता की जाँच: $P(A) \cdot P(B) = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{12}$. चूँकि $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$,$A$ और $B$ स्वतंत्र हैं। (विकल्प $A$ सही है)।
$P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{1/12}{1/4} = \frac{1}{3}$. (विकल्प $B$ सही है)।
$P(A^C \cap B) = P(B) - P(A \cap B) = \frac{1}{4} - \frac{1}{12} = \frac{1}{6}$. (विकल्प $C$ गलत है)।
$P(A \cap B^C) = P(A) - P(A \cap B) = \frac{1}{3} - \frac{1}{12} = \frac{1}{4}$. (विकल्प $D$ सही है)।
अतः,गलत कथन $P(A^C \cap B) = \frac{1}{3}$ है।

(C) हम जानते हैं कि $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$.
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $P(A) + P(B) = P(A \cup B) + P(A \cap B)$ प्राप्त होता है।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर,$P(A) + P(B) = 0.65 + 0.15 = 0.8$.
हमें $P(A^C) + P(B^C)$ का मान ज्ञात करना है।
पूरक नियम का उपयोग करते हुए,$P(A^C) = 1 - P(A)$ और $P(B^C) = 1 - P(B)$.
अतः,$P(A^C) + P(B^C) = (1 - P(A)) + (1 - P(B)) = 2 - (P(A) + P(B))$.
$P(A) + P(B) = 0.8$ का मान रखने पर,हमें $2 - 0.8 = 1.2$ प्राप्त होता है।

(C) समुच्चय $S$ में $x^2+bx+c=0$ प्रकार के समीकरण हैं जहाँ $b, c \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ है।
ऐसे कुल समीकरणों की संख्या $n(S) = 6 \times 6 = 36$ है।
एक द्विघात समीकरण $x^2+bx+c=0$ के वास्तविक मूल होते हैं यदि विविक्तकर $D = b^2-4ac \geq 0$ हो।
यहाँ $a=1$ है,इसलिए शर्त $b^2 \geq 4c$ हो जाती है।
$b$ के मान $1$ से $6$ तक जाँचने पर:
यदि $b=1$,$1 \geq 4c$ (कोई मान नहीं)
यदि $b=2$,$4 \geq 4c \implies c \leq 1$ ($c=1$,$1$ स्थिति)
यदि $b=3$,$9 \geq 4c \implies c \leq 2.25$ ($c=1, 2$,$2$ स्थितियाँ)
यदि $b=4$,$16 \geq 4c \implies c \leq 4$ ($c=1, 2, 3, 4$,$4$ स्थितियाँ)
यदि $b=5$,$25 \geq 4c \implies c \leq 6.25$ ($c=1, 2, 3, 4, 5, 6$,$6$ स्थितियाँ)
यदि $b=6$,$36 \geq 4c \implies c \leq 9$ ($c=1, 2, 3, 4, 5, 6$,$6$ स्थितियाँ)
अनुकूल परिणामों की कुल संख्या $n(E) = 0 + 1 + 2 + 4 + 6 + 6 = 19$.
प्रायिकता $P(E) = \frac{n(E)}{n(S)} = \frac{19}{36}$.

(A) गेंदों की कुल संख्या = $3 + 5 + 8 = 16$।
नीली गेंदों की संख्या = $5$।
नीली गेंद प्राप्त करने की प्रायिकता,$P(B) = \frac{5}{16}$।
नीली गेंद न प्राप्त करने की प्रायिकता,$P(\bar{B}) = 1 - P(B) = 1 - \frac{5}{16} = \frac{11}{16}$।

(A) हम जानते हैं कि किन्हीं दो घटनाओं $A$ और $B$ के लिए,उनके संघ की प्रायिकता $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$ द्वारा दी जाती है।
दिया गया है $P(A) = 0.9$ और $P(B) = 0.8$,इसलिए $P(A \cup B) = 1.7 - P(A \cap B)$।
चूंकि $P(A \cap B) \geq 0.7$,इसलिए $P(A \cup B) \leq 1.7 - 0.7 = 1.0$।
किसी भी प्रायिकता के लिए $P(A \cup B) \leq 1$ होना आवश्यक है,इसलिए यह स्थिति हमेशा सत्य है।

(B) एक साधारण वर्ष में $365$ दिन होते हैं।
$365 = 52 \times 7 + 1$.
इसका अर्थ है कि एक साधारण वर्ष में $52$ पूर्ण सप्ताह और $1$ अतिरिक्त दिन होता है।
इस अतिरिक्त दिन के लिए प्रतिदर्श समष्टि (sample space) $S = \{\text{सोमवार, मंगलवार, बुधवार, गुरुवार, शुक्रवार, शनिवार, रविवार}\}$ है।
कुल परिणामों की संख्या $n(S) = 7$ है।
वर्ष में $53$ सोमवार होने के लिए,अतिरिक्त दिन का सोमवार होना आवश्यक है।
अनुकूल परिणामों की संख्या $n(A) = 1$ है।
अतः,प्रायिकता $P = \frac{n(A)}{n(S)} = \frac{1}{7}$ है।
इसलिए,विकल्प $B$ सही है।

(D) जब दो पासे फेंके जाते हैं,तो कुल संभावित परिणामों की संख्या $6 \times 6 = 36$ होती है।
मान लीजिए $E$ वह घटना है कि कम से कम एक पासे पर $6$ आता है।
पूरक घटना $E'$ की प्रायिकता ज्ञात करना आसान है,जो वह घटना है कि किसी भी पासे पर $6$ नहीं आता है।
यदि किसी भी पासे पर $6$ नहीं आता है,तो प्रत्येक पासा $1$ से $5$ तक की कोई भी संख्या दिखा सकता है।
अतः,$E'$ के लिए परिणामों की संख्या $5 \times 5 = 25$ है।
$E'$ की प्रायिकता $P(E') = \frac{25}{36}$ है।
घटना $E$ की प्रायिकता $P(E) = 1 - P(E') = 1 - \frac{25}{36} = \frac{11}{36}$ है।

(A) किसी भी घटना $E$ के लिए,प्रायिकता $P(E)$ को $0 \leq P(E) \leq 1$ को संतुष्ट करना चाहिए।
परस्पर अपवर्जी घटनाओं $A$ और $B$ के लिए,$P(A \cup B) = P(A) + P(B) \leq 1$ होता है।
चरण $1$: व्यक्तिगत प्रायिकताओं पर प्रतिबंध:
$0 \leq \frac{1+3P}{3} \leq 1 \Rightarrow -\frac{1}{3} \leq P \leq \frac{2}{3}$.
$0 \leq \frac{1-2P}{2} \leq 1 \Rightarrow -\frac{1}{2} \leq P \leq \frac{1}{2}$.
चरण $2$: परस्पर अपवर्जी घटनाओं के लिए शर्त:
$P(A) + P(B) \leq 1
$ $\Rightarrow \frac{1+3P}{3} + \frac{1-2P}{2} \leq 1
$ $\Rightarrow 5 \leq 6$.
यह हमेशा सत्य है।
चरण $3$: सभी अंतरालों का प्रतिच्छेदन:
$P \in [-\frac{1}{3}, \frac{2}{3}] \cap [-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}] = [-\frac{1}{3}, \frac{1}{2}]$.