Set Based probability Questions in Hindi

(A) दी गई असमिका $x + \frac{336}{x} \le 50$ है।
चूंकि $x$,$1$ से $50$ तक का एक धनात्मक पूर्णांक है,हम असमिका के चिह्न को बदले बिना $x$ से गुणा कर सकते हैं:
$x^2 + 336 \le 50x$
$x^2 - 50x + 336 \le 0$
द्विघात व्यंजक का गुणनखंड करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$(x - 8)(x - 42) \le 0$
यह असमिका $x \in [8, 42]$ के लिए सत्य है।
चूंकि $x$ एक पूर्णांक है,$x$ के संभावित मान $\{8, 9, 10, \dots, 42\}$ हैं।
ऐसे पूर्णांकों की संख्या $42 - 8 + 1 = 35$ है।
$1$ से $50$ तक के कुल पूर्णांकों की संख्या $50$ है।
अतः,प्रायिकता $P = \frac{35}{50} = \frac{7}{10}$ है।

(A) माना $P(P), P(Q), P(R)$ क्रमशः $P, Q, R$ द्वारा लक्ष्य को भेदने की प्रायिकताएँ हैं।
$P(P) = \frac{3}{4}, P(Q) = \frac{1}{2}, P(R) = \frac{5}{8}$.
लक्ष्य को न भेदने की प्रायिकताएँ $P(P') = \frac{1}{4}, P(Q') = \frac{1}{2}$ और $P(R') = \frac{3}{8}$ हैं।
वह घटना कि लक्ष्य $P$ या $Q$ द्वारा भेदा जाता है लेकिन $R$ द्वारा नहीं,$(P \cap Q' \cap R') \cup (P' \cap Q \cap R') \cup (P \cap Q \cap R')$ है।
अभीष्ट प्रायिकता $= P(P)P(Q')P(R') + P(P')P(Q)P(R') + P(P)P(Q)P(R')$.
$= (\frac{3}{4} \times \frac{1}{2} \times \frac{3}{8}) + (\frac{1}{4} \times \frac{1}{2} \times \frac{3}{8}) + (\frac{3}{4} \times \frac{1}{2} \times \frac{3}{8})$.
$= \frac{9}{64} + \frac{3}{64} + \frac{9}{64} = \frac{21}{64}$.

(D) दिया गया है कि $P(A \cup B) = P(A \cap B)$.
हम जानते हैं कि $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$.
दी गई शर्त को प्रतिस्थापित करने पर,$P(A \cap B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$,जिसका अर्थ है $P(A) + P(B) = 2P(A \cap B)$.
साथ ही,$P(A \cap B') = P(A) - P(A \cap B)$ और $P(A' \cap B) = P(B) - P(A \cap B)$.
चूंकि $P(A \cup B) = P(A \cap B)$,इसका अर्थ है $A = B$,इसलिए $P(A) = P(B) = P(A \cap B) = P(A \cup B)$.
अतः,$P(A \cap B') = 0$ और $P(A' \cap B) = 0$ सत्य हैं।
इसलिए,$P(A) + P(B) = 1$ आवश्यक रूप से सत्य नहीं है।

(B) माना $S = \{x_1, x_2, x_3, x_4, x_5, x_6, x_7\}$ है।
$S$ के अरिक्त उपसमुच्चयों की कुल संख्या $2^7 - 1 = 127$ है।
माना चुना गया अवयव $x_i$ है। हमें उन अरिक्त उपसमुच्चयों $A$ की संख्या ज्ञात करनी है जिनमें $x_i \in A$ हो।
किसी भी उपसमुच्चय $A$ के लिए,$7$ अवयवों में से प्रत्येक को शामिल किया जा सकता है या बाहर रखा जा सकता है,जिससे कुल $2^7$ उपसमुच्चय प्राप्त होते हैं।
यदि हम $x_i$ को उपसमुच्चय में निश्चित कर दें,तो शेष $6$ अवयवों को शामिल किया जा सकता है या बाहर रखा जा सकता है,जिससे $2^6 = 64$ ऐसे उपसमुच्चय प्राप्त होते हैं।
चूंकि $64$ शून्य नहीं है,इसलिए ये सभी $64$ उपसमुच्चय अरिक्त हैं।
अतः,$x \in A$ होने की प्रायिकता $\frac{64}{127}$ है।

(A) हमें असमिका $\frac{(x-10)(x-50)}{(x-30)} \ge 0$ दी गई है।
व्यंजक $f(x) = \frac{(x-10)(x-50)}{(x-30)}$ के लिए वेवी कर्व विधि (चिह्न योजना) का उपयोग करने पर,क्रांतिक बिंदु $x = 10, 30, 50$ हैं।
विभिन्न अंतरालों में $f(x)$ का चिह्न इस प्रकार है:
- $x < 10$ के लिए: $f(x) < 0$
- $10 \le x < 30$ के लिए: $f(x) \ge 0$
- $30 < x < 50$ के लिए: $f(x) < 0$
- $x \ge 50$ के लिए: $f(x) \ge 0$
चूंकि $x \in \{1, 2, \dots, 100\}$,हम अंतरालों $[10, 30)$ और $[50, 100]$ में पूर्णांक $x$ देखते हैं।
अंतराल $[10, 30)$ में,पूर्णांक $\{10, 11, \dots, 29\}$ हैं। ऐसे पूर्णांकों की संख्या $29 - 10 + 1 = 20$ है।
अंतराल $[50, 100]$ में,पूर्णांक $\{50, 51, \dots, 100\}$ हैं। ऐसे पूर्णांकों की संख्या $100 - 50 + 1 = 51$ है।
अनुकूल परिणामों की कुल संख्या $20 + 51 = 71$ है।
संभावित परिणामों की कुल संख्या $100$ है।
अतः,$P(A) = \frac{71}{100} = 0.71$.

(C) किसी भी घटना $E$ के लिए,प्रायिकता $P(E)$ को $0 \le P(E) \le 1$ को संतुष्ट करना चाहिए।
घटना $A$ के लिए: $0 \le \frac{3x+1}{3} \le 1 \Rightarrow 0 \le 3x+1 \le 3 \Rightarrow -1 \le 3x \le 2 \Rightarrow -\frac{1}{3} \le x \le \frac{2}{3}$.
घटना $B$ के लिए: $0 \le \frac{1-x}{4} \le 1 \Rightarrow 0 \le 1-x \le 4 \Rightarrow -1 \le -x \le 3 \Rightarrow -3 \le x \le 1$.
चूंकि $A$ और $B$ परस्पर अपवर्जी हैं,$P(A \cup B) = P(A) + P(B) \le 1$.
$\frac{3x+1}{3} + \frac{1-x}{4} \le 1 \Rightarrow \frac{4(3x+1) + 3(1-x)}{12} \le 1 \Rightarrow 12x + 4 + 3 - 3x \le 12 \Rightarrow 9x + 7 \le 12 \Rightarrow 9x \le 5 \Rightarrow x \le \frac{5}{9}$.
सभी शर्तों को संयोजित करने पर: $x \ge -\frac{1}{3}$,$x \le \frac{2}{3}$,$x \ge -3$,$x \le 1$,और $x \le \frac{5}{9}$.
इन अंतरालों का प्रतिच्छेदन $[-\frac{1}{3}, \frac{5}{9}]$ है।

(A) माना कि चार व्यक्तियों द्वारा लक्ष्य को भेदने की प्रायिकताएँ $P(A) = \frac{1}{2}$,$P(B) = \frac{1}{3}$,$P(C) = \frac{1}{4}$,और $P(D) = \frac{1}{8}$ हैं।
लक्ष्य के भेद जाने की प्रायिकता $1 - P(\text{कोई भी लक्ष्य को नहीं भेद पाता})$ है।
चूँकि घटनाएँ स्वतंत्र हैं,$P(\text{कोई नहीं}) = P(\overline{A}) \cdot P(\overline{B}) \cdot P(\overline{C}) \cdot P(\overline{D})$.
$P(\overline{A}) = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$,$P(\overline{B}) = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$,$P(\overline{C}) = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$,और $P(\overline{D}) = 1 - \frac{1}{8} = \frac{7}{8}$.
$P(\text{कोई नहीं}) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{7}{8} = \frac{7}{32}$.
अतः,लक्ष्य के भेद जाने की प्रायिकता $1 - \frac{7}{32} = \frac{25}{32}$ है।

(D) मान लीजिए $P(A)$ और $P(B)$ क्रमशः घटनाओं $A$ और $B$ की प्रायिकताएँ हैं।
उनमें से ठीक एक के घटित होने की प्रायिकता $P(A) + P(B) - 2P(A \cap B) = \frac{2}{5}$ है।
$A$ या $B$ के घटित होने की प्रायिकता $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) = \frac{1}{2}$ है।
दूसरे समीकरण में से पहले समीकरण को घटाने पर:
$(P(A) + P(B) - P(A \cap B)) - (P(A) + P(B) - 2P(A \cap B)) = \frac{1}{2} - \frac{2}{5}$.
$P(A \cap B) = \frac{5 - 4}{10} = \frac{1}{10} = 0.10$.

(A) तीन सिक्कों को उछालने के लिए प्रतिदर्श समष्टि $S$ है:
$S = \{HHH, HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH, TTT\}$,इसलिए $n(S) = 8$.
घटनाएँ हैं:
$E = \{HHH, TTT\} \implies P(E) = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$
$F = \{HHH, HHT, HTH, THH\} \implies P(F) = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$
$G = \{HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH, TTT\} \implies P(G) = \frac{7}{8}$
सर्वनिष्ठ (Intersection):
$E \cap F = \{HHH\} \implies P(E \cap F) = \frac{1}{8}$
$E \cap G = \{TTT\} \implies P(E \cap G) = \frac{1}{8}$
$F \cap G = \{HHT, HTH, THH\} \implies P(F \cap G) = \frac{3}{8}$
स्वतंत्रता की जाँच $(P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B))$:
$1$. $(E, F)$ के लिए: $P(E) \cdot P(F) = \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{8} = P(E \cap F)$. अतः,$(E, F)$ स्वतंत्र हैं।
$2$. $(E, G)$ के लिए: $P(E) \cdot P(G) = \frac{1}{4} \cdot \frac{7}{8} = \frac{7}{32} \neq P(E \cap G) = \frac{1}{8}$. अतः,$(E, G)$ आश्रित हैं।
$3$. $(F, G)$ के लिए: $P(F) \cdot P(G) = \frac{1}{2} \cdot \frac{7}{8} = \frac{7}{16} \neq P(F \cap G) = \frac{3}{8}$. अतः,$(F, G)$ आश्रित हैं।

(N/A) एक सिक्के और एक पासे को उछालने पर प्रतिदर्श समष्टि $S$ इस प्रकार है:
$S = \{(H, 1), (H, 2), (H, 3), (H, 4), (H, 5), (H, 6), (T, 1), (T, 2), (T, 3), (T, 4), (T, 5), (T, 6)\}$
कुल परिणामों की संख्या $n(S) = 12$ है।
मान लीजिए $A$ घटना 'सिक्के पर चित आता है' है:
$A = \{(H, 1), (H, 2), (H, 3), (H, 4), (H, 5), (H, 6)\}$
$P(A) = \frac{n(A)}{n(S)} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$.
मान लीजिए $B$ घटना 'पासे पर $3$ आता है' है:
$B = \{(H, 3), (T, 3)\}$
$P(B) = \frac{n(B)}{n(S)} = \frac{2}{12} = \frac{1}{6}$.
घटना $A \cap B$ का अर्थ है 'सिक्के पर चित और पासे पर $3$ आता है':
$A \cap B = \{(H, 3)\}$
$P(A \cap B) = \frac{n(A \cap B)}{n(S)} = \frac{1}{12}$.
अब,स्वतंत्रता की जाँच करें:
$P(A) \times P(B) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{6} = \frac{1}{12}$.
चूँकि $P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$,इसलिए घटनाएँ $A$ और $B$ स्वतंत्र हैं।

(N/A) जब एक पासा उछाला जाता है,तो प्रतिदर्श समष्टि $S = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ है।
मान लीजिए $A$ संख्या के सम होने की घटना है,इसलिए $A = \{2, 4, 6\}$।
अतः,$P(A) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$।
मान लीजिए $B$ संख्या के लाल होने की घटना है,इसलिए $B = \{1, 2, 3\}$।
अतः,$P(B) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$।
सर्वनिष्ठ $A \cap B$ उन संख्याओं का समुच्चय है जो सम और लाल दोनों हैं,इसलिए $A \cap B = \{2\}$।
अतः,$P(A \cap B) = \frac{1}{6}$।
अब,$P(A) \times P(B) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$ की गणना करें।
चूंकि $P(A \cap B) = \frac{1}{6}$ और $P(A) \times P(B) = \frac{1}{4}$,हम देख सकते हैं कि $P(A \cap B) \neq P(A) \times P(B)$।
इसलिए,घटनाएँ $A$ और $B$ स्वतंत्र नहीं हैं।

(A) हमें दिया गया है $P(A) = \frac{1}{4}$,$P(B) = \frac{1}{2}$ और $P(A \cap B) = \frac{1}{8}$।
हमें $P(A' \cap B')$ ज्ञात करना है,जहाँ $A'$ और $B'$ घटना $A$ और $B$ के पूरक हैं।
डी मॉर्गन के नियम के अनुसार,$A' \cap B' = (A \cup B)'$।
अतः,$P(A' \cap B') = P((A \cup B)') = 1 - P(A \cup B)$।
योग प्रमेय का उपयोग करते हुए,$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$।
$P(A \cup B) = \frac{1}{4} + \frac{1}{2} - \frac{1}{8} = \frac{2+4-1}{8} = \frac{5}{8}$।
इस प्रकार,$P(A' \cap B') = 1 - \frac{5}{8} = \frac{3}{8}$।

(C) पासे के एक उछाल में विषम संख्या प्राप्त करने की प्रायिकता $P(\text{Odd}) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$ है।
पासे के एक उछाल में सम संख्या प्राप्त करने की प्रायिकता $P(\text{Even}) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$ है।
जब एक पासे को तीन बार उछाला जाता है,तो तीनों उछालों में सम संख्या प्राप्त करने की प्रायिकता $P(\text{Even, Even, Even}) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{8}$ है।
कम से कम एक बार विषम संख्या प्राप्त करने की प्रायिकता $1 - P(\text{किसी भी उछाल में विषम संख्या न प्राप्त हो})$ द्वारा दी जाती है।
यह $1 - P(\text{तीनों उछालों में सम संख्या प्राप्त हो})$ के बराबर है।
अतः,प्रायिकता $1 - \frac{1}{8} = \frac{7}{8}$ है।

(C) मान लीजिए $A$ द्वारा समस्या हल करने की प्रायिकता $P(A) = \frac{1}{2}$ है।
मान लीजिए $B$ द्वारा समस्या हल करने की प्रायिकता $P(B) = \frac{1}{3}$ है।
समस्या तब हल होती है यदि कम से कम एक व्यक्ति इसे हल कर ले।
प्रायिकता कि समस्या किसी के द्वारा हल नहीं की जाती है,$P(A') \times P(B')$ है।
$P(A') = 1 - P(A) = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$.
$P(B') = 1 - P(B) = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$.
समस्या हल न होने की प्रायिकता $= P(A') \times P(B') = \frac{1}{2} \times \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$.
समस्या हल होने की प्रायिकता $= 1 - P(\text{हल न होने की}) = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$.

(B) माना $A$ द्वारा समस्या हल करने की प्रायिकता $P(A) = \frac{1}{2}$ है।
माना $B$ द्वारा समस्या हल करने की प्रायिकता $P(B) = \frac{1}{3}$ है।
अतः,$P(A') = 1 - P(A) = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$ और $P(B') = 1 - P(B) = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$ है।
प्रायिकता कि उनमें से केवल एक ही समस्या को हल करता है,$P(A \cap B') + P(B \cap A')$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि घटनाएं स्वतंत्र हैं,यह $P(A) \cdot P(B') + P(B) \cdot P(A')$ के बराबर है।
$= (\frac{1}{2} \times \frac{2}{3}) + (\frac{1}{3} \times \frac{1}{2})$
$= \frac{2}{6} + \frac{1}{6} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$।

(A) जब दो पासे फेंके जाते हैं,तो कुल संभावित परिणामों की संख्या $6 \times 6 = 36$ होती है।
एकमात्र सम अभाज्य संख्या $2$ है।
मान लीजिए $E$ प्रत्येक पासे पर एक सम अभाज्य संख्या प्राप्त करने की घटना है।
चूंकि प्रत्येक पासे पर $2$ आना चाहिए,इसलिए अनुकूल परिणाम $(2, 2)$ है।
अतः,अनुकूल परिणामों की संख्या $1$ है।
प्रायिकता $P(E) = \frac{\text{अनुकूल परिणामों की संख्या}}{\text{कुल परिणामों की संख्या}} = \frac{1}{36}$ है।
अतः,सही उत्तर $A$ है।

(A) चूंकि दोनों सिक्के अलग-अलग हैं (एक रुपये का सिक्का और दो रुपये का सिक्का),हम परिणामों को क्रमित युग्म $(C_1, C_2)$ के रूप में दर्शा सकते हैं,जहाँ $C_1$ एक रुपये के सिक्के का परिणाम है और $C_2$ दो रुपये के सिक्के का परिणाम है।
प्रत्येक सिक्के पर चित $(H)$ या पट $(T)$ आ सकता है।
संभावित परिणाम इस प्रकार हैं:
$1$. दोनों सिक्कों पर चित: $(H, H) = HH$
$2$. पहले सिक्के पर चित और दूसरे पर पट: $(H, T) = HT$
$3$. पहले सिक्के पर पट और दूसरे पर चित: $(T, H) = TH$
$4$. दोनों सिक्कों पर पट: $(T, T) = TT$
अतः,प्रतिदर्श समष्टि $S = \{ HH, HT, TH, TT \}$ है।

(A) मान लीजिए कि सिक्कों को उनके मूल्यों द्वारा दर्शाया गया है: $1, 2, 5$।
चूंकि वह एक के बाद एक दो सिक्के निकालता है,इसलिए क्रम मायने रखता है।
पहला सिक्का तीन में से कोई भी हो सकता है: $1, 2, 5$।
यदि पहला सिक्का $1$ है,तो दूसरा $2$ या $5$ हो सकता है। परिणाम: $(1, 2), (1, 5)$।
यदि पहला सिक्का $2$ है,तो दूसरा $1$ या $5$ हो सकता है। परिणाम: $(2, 1), (2, 5)$।
यदि पहला सिक्का $5$ है,तो दूसरा $1$ या $2$ हो सकता है। परिणाम: $(5, 1), (5, 2)$।
अतः,प्रतिदर्श समष्टि $S = \{ (1, 2), (1, 5), (2, 1), (2, 5), (5, 1), (5, 2) \}$ है।

(N/A) अवलोकन के वर्ष के दौरान एक व्यस्त राजमार्ग पर दुर्घटनाओं की संख्या $0$ (कोई दुर्घटना नहीं),$1$,$2$,या कोई अन्य धनात्मक पूर्णांक हो सकती है। अतः,इस प्रयोग से संबंधित प्रतिदर्श समष्टि $S = \{0, 1, 2, 3, \ldots\}$ है।

(N/A) मान लीजिए कि नीली गेंदों को $B_1, B_2, B_3$ और सफेद गेंदों को $W_1, W_2, W_3, W_4$ द्वारा दर्शाया गया है।
प्रयोग की प्रतिदर्श समष्टि $S$ सभी संभावित परिणामों का समूह है।
यदि सिक्के पर चित $(H)$ आता है,तो हम $7$ गेंदों में से एक गेंद निकालते हैं। परिणाम ${HB_1, HB_2, HB_3, HW_1, HW_2, HW_3, HW_4}$ हैं।
यदि सिक्के पर पट $(T)$ आता है,तो हम एक पासा फेंकते हैं। परिणाम ${T1, T2, T3, T4, T5, T6}$ हैं।
अतः,प्रतिदर्श समष्टि:
$S = \{HB_1, HB_2, HB_3, HW_1, HW_2, HW_3, HW_4, T1, T2, T3, T4, T5, T6\}$ है।

(A) इस प्रयोग में,सिक्के को तब तक उछाला जाता है जब तक कि चित $(H)$ न आ जाए।
यदि पहले उछाल पर चित आता है,तो परिणाम $H$ है।
यदि दूसरे उछाल पर चित आता है,तो परिणाम $TH$ है।
यदि तीसरे उछाल पर चित आता है,तो परिणाम $TTH$ है।
यदि चौथे उछाल पर चित आता है,तो परिणाम $TTTH$ है,और इसी प्रकार आगे भी।
अतः,प्रतिदर्श समष्टि $S$ सभी संभावित परिणामों का समुच्चय है:
$S = \{ H, TH, TTH, TTTH, TTTTH, \dots \}$

(A) एक सिक्के के दो फलक होते हैं: चित $(H)$ और पट $(T)$।
जब एक सिक्के को तीन बार उछाला जाता है,तो कुल संभावित परिणामों की संख्या $2^{3} = 8$ होती है।
अतः,प्रतिदर्श समष्टि $S$ सभी संभावित परिणामों का समुच्चय है:
$S = \{ HHH, HHT, HTH, HTT, THH, THT, TTH, TTT \}$

जब एक पासा फेंका जाता है,तो संभावित परिणाम $1, 2, 3, 4, 5,$ या $6$ होते हैं।
जब एक पासे को दो बार फेंका जाता है,तो प्रतिदर्श समष्टि $S$ उन सभी क्रमित युग्मों $(x, y)$ का समुच्चय है जहाँ $x$ और $y$ क्रमशः पहले और दूसरे उछाल के परिणामों को दर्शाते हैं,ताकि $x, y \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ हो।
इस प्रतिदर्श समष्टि में कुल अवयवों की संख्या $6 \times 6 = 36$ है।
प्रतिदर्श समष्टि $S$ इस प्रकार है:
$S = \{(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6), (2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6), (3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (3,5), (3,6), (4,1), (4,2), (4,3), (4,4), (4,5), (4,6), (5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6), (6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6)\}$

जब एक सिक्के को एक बार उछाला जाता है,तो दो संभावित परिणाम होते हैं: चित $(H)$ और पट $(T)$।
जब एक सिक्के को चार बार उछाला जाता है,तो कुल संभावित परिणामों की संख्या $2^{4} = 16$ होती है।
अतः,जब एक सिक्के को चार बार उछाला जाता है,तो प्रतिदर्श समष्टि $S$ इस प्रकार है:
$S = \{ HHHH, HHHT, HHTH, HHTT, HTHH, HTHT, HTTH, HTTT, THHH, THHT, THTH, THTT, TTHH, TTHT, TTTH, TTTT \}$

(A) एक सिक्के के दो फलक होते हैं: चित $(H)$ और पट $(T)$।
एक पासे के छह फलक होते हैं जिन पर $1$ से $6$ तक की संख्याएँ अंकित होती हैं।
अतः,जब एक सिक्का उछाला जाता है और एक पासा फेंका जाता है,तो प्रतिदर्श समष्टि इस प्रकार है:
$S = \{H1, H2, H3, H4, H5, H6, T1, T2, T3, T4, T5, T6\}$

(N/A) एक सिक्के के दो फलक होते हैं: चित $(H)$ और पट $(T)$।
एक पासे के $1$ से $6$ तक अंकित छह फलक होते हैं।
प्रयोग के अनुसार,यदि पट $(T)$ आता है,तो पासा नहीं फेंका जाता है। यदि चित $(H)$ आता है,तो पासा फेंका जाता है।
अतः,प्रतिदर्श समष्टि $S$ सभी संभावित परिणामों का समुच्चय है:
$S = \{H1, H2, H3, H4, H5, H6, T\}$

(N/A) मान लीजिए कि कमरे $X$ में $2$ लड़कों और $2$ लड़कियों को क्रमशः $B_{1}, B_{2}$ और $G_{1}, G_{2}$ के रूप में दर्शाया गया है।
मान लीजिए कि कमरे $Y$ में $1$ लड़के और $3$ लड़कियों को क्रमशः $B_{3}$ और $G_{3}, G_{4}, G_{5}$ के रूप में दर्शाया गया है।
जब पहले एक कमरा चुना जाता है और फिर एक व्यक्ति,तो संभावित परिणाम कमरे और उस कमरे के व्यक्तियों के संयोजन होते हैं।
अतः,आवश्यक प्रतिदर्श समष्टि $S$ इस प्रकार है:
$S = \{X B_{1}, X B_{2}, X G_{1}, X G_{2}, Y B_{3}, Y G_{3}, Y G_{4}, Y G_{5}\}$

एक पासे में छह फलक होते हैं जिन पर $1$ से $6$ तक की संख्याएँ अंकित होती हैं,प्रत्येक फलक पर एक संख्या होती है। मान लीजिए कि लाल,सफेद और नीले पासे को क्रमशः $R$,$W$ और $B$ से दर्शाया गया है।
तदनुसार,जब एक पासा चुना जाता है और फिर फेंका जाता है,तो प्रतिदर्श समष्टि $S$ इस प्रकार है:
$S = \{R1, R2, R3, R4, R5, R6, W1, W2, W3, W4, W5, W6, B1, B2, B3, B4, B5, B6\}$

(A) $2$ बच्चों वाले प्रयोग में,प्रत्येक बच्चा या तो लड़का $(B)$ या लड़की $(G)$ हो सकता है।
चूंकि हम जन्म के क्रम में रुचि रखते हैं,इसलिए हम $2$ लंबाई के सभी संभावित अनुक्रमों पर विचार करते हैं।
संभावित परिणाम इस प्रकार हैं:
$1$. पहला बच्चा लड़का,दूसरा लड़का: $BB$
$2$. पहला बच्चा लड़का,दूसरा लड़की: $BG$
$3$. पहला बच्चा लड़की,दूसरा लड़का: $GB$
$4$. पहला बच्चा लड़की,दूसरा लड़की: $GG$
अतः,प्रतिदर्श समष्टि $S = \{ BB, BG, GB, GG \}$ है।

(N/A) चूंकि प्रत्येक परिवार में बच्चों की अधिकतम संख्या $2$ है,इसलिए एक परिवार में $2$ लड़कियां,$1$ लड़की या $0$ लड़कियां हो सकती हैं।
अतः,लड़कियों की संख्या के लिए प्रतिदर्श समष्टि $S = \{0, 1, 2\}$ है।

(B) बक्से में $1$ लाल गेंद $(R)$ और $3$ समान सफेद गेंदें $(W)$ हैं।
चूंकि गेंदें बिना प्रतिस्थापन के निकाली जाती हैं,पहली गेंद लाल या सफेद हो सकती है।
यदि पहली गेंद लाल है,तो दूसरी गेंद सफेद होनी चाहिए (क्योंकि लाल गेंद केवल $1$ है)।
यदि पहली गेंद सफेद है,तो दूसरी गेंद लाल या सफेद हो सकती है।
अतः,संभावित परिणाम हैं:
$1$. पहली लाल,दूसरी सफेद: $(R, W)$
$2$. पहली सफेद,दूसरी लाल: $(W, R)$
$3$. पहली सफेद,दूसरी सफेद: $(W, W)$
इसलिए,प्रतिदर्श समष्टि $S = \{ RW, WR, WW \}$ है।

(N/A) सिक्के के दो फलक होते हैं: चित $(H)$ और पट $(T)$।
पासे के छह फलक होते हैं जिन पर $1$ से $6$ तक अंक अंकित होते हैं।
यदि पहले उछाल में चित $(H)$ आता है,तो सिक्के को फिर से उछाला जाता है,जिससे $(HH)$ या $(HT)$ प्राप्त होता है।
यदि पहले उछाल में पट $(T)$ आता है,तो पासा फेंका जाता है,जिससे $(T1), (T2), (T3), (T4), (T5),$ या $(T6)$ प्राप्त होता है।
अतः,प्रतिदर्श समष्टि $S$ इस प्रकार है:
$S = \{HH, HT, T1, T2, T3, T4, T5, T6\}$

(N/A) चूंकि प्रत्येक बल्ब या तो दोषपूर्ण $(D)$ या गैर-दोषपूर्ण $(N)$ हो सकता है,और कुल $3$ बल्ब हैं,इसलिए प्रत्येक बल्ब के लिए $2$ संभावित परिणाम हैं।
कुल परिणामों की संख्या $= 2^3 = 8$.
प्रतिदर्श समष्टि $S$ सभी संभावित परिणामों का समुच्चय है:
$S = \{ DDD, DDN, DND, DNN, NDD, NDN, NND, NNN \}$

(N/A) जब एक सिक्का उछाला जाता है,तो संभावित परिणाम चित $(H)$ और पट $(T)$ होते हैं।
जब एक पासा फेंका जाता है,तो संभावित परिणाम $1, 2, 3, 4, 5,$ या $6$ होते हैं।
यदि सिक्के पर $T$ आता है,तो प्रयोग समाप्त हो जाता है।
यदि सिक्के पर $H$ आता है,तो पासा फेंका जाता है। यदि परिणाम विषम $(1, 3, 5)$ है,तो प्रयोग समाप्त हो जाता है।
यदि परिणाम सम $(2, 4, 6)$ है,तो पासा फिर से फेंका जाता है।
अतः,प्रतिदर्श समष्टि $S$ है:
$S = \{T, H1, H3, H5, H21, H22, H23, H24, H25, H26, H41, H42, H43, H44, H45, H46, H61, H62, H63, H64, H65, H66\}$

(N/A) पासे पर $1$ से $6$ तक के अंक होते हैं। इनमें $2, 4,$ और $6$ सम संख्याएँ हैं,जबकि $1, 3,$ और $5$ विषम संख्याएँ हैं।
सिक्के के दो पहलू होते हैं: चित $(H)$ और पट $(T)$।
यदि संख्या सम है,तो परिणाम (संख्या,सिक्के का पहलू) होगा। यदि संख्या विषम है,तो परिणाम (संख्या,सिक्के का पहलू $1$,सिक्के का पहलू $2$) होगा।
प्रतिदर्श समष्टि $S$ इस प्रकार है:
$S = \{(2, H), (2, T), (4, H), (4, T), (6, H), (6, T), (1, H, H), (1, H, T), (1, T, H), (1, T, T), (3, H, H), (3, H, T), (3, T, H), (3, T, T), (5, H, H), (5, H, T), (5, T, H), (5, T, T)\}$

बॉक्स में $2$ लाल गेंदें और $3$ काली गेंदें हैं। मान लीजिए कि $2$ लाल गेंदों को $R_{1}, R_{2}$ और $3$ काली गेंदों को $B_{1}, B_{2}, B_{3}$ के रूप में दर्शाया गया है।
इस प्रयोग की प्रतिदर्श समष्टि $S$ सभी संभावित परिणामों का समुच्चय है।
यदि सिक्का पट $(T)$ दर्शाता है,तो हम बॉक्स से एक गेंद निकालते हैं,जिसके परिणाम: $TR_{1}, TR_{2}, TB_{1}, TB_{2}, TB_{3}$ हैं।
यदि सिक्का चित $(H)$ दर्शाता है,तो हम एक पासा फेंकते हैं,जिसके परिणाम: $H1, H2, H3, H4, H5, H6$ हैं।
अतः,प्रतिदर्श समष्टि $S = \{TR_{1}, TR_{2}, TB_{1}, TB_{2}, TB_{3}, H1, H2, H3, H4, H5, H6\}$ है।

(D) प्रतिदर्श समष्टि $S$ में $36$ परिणाम हैं: $S = \{(x, y) : x, y \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}\}$.
$A = \{(1,1), (1,3), (1,5), (2,2), (2,4), (2,6), (3,1), (3,3), (3,5), (4,2), (4,4), (4,6), (5,1), (5,3), (5,5), (6,2), (6,4), (6,6)\}$
$B = \{(1,2), (2,1), (1,5), (5,1), (3,3), (2,4), (4,2), (3,6), (6,3), (4,5), (5,4), (6,6)\}$
$C = \{(1,1), (1,2), (2,1)\}$
$D = \{(6,6)\}$
यदि दो घटनाओं का सर्वनिष्ठ (intersection) रिक्त समुच्चय $(\phi)$ है,तो वे परस्पर अपवर्जी घटनाएं हैं।
सर्वनिष्ठ की जाँच करने पर:
$A \cap B = \{(1,5), (2,4), (3,3), (4,2), (5,1), (6,6)\} \neq \phi$
$A \cap D = \{(6,6)\} \neq \phi$
$B \cap D = \{(6,6)\} \neq \phi$
$C \cap D = \phi$
चूंकि $C \cap D = \phi$ है,इसलिए घटनाएँ $C$ और $D$ परस्पर अपवर्जी हैं।

(A) प्रयोग का प्रतिदर्श समष्टि (sample space) है:
$S = \{HHH, HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH, TTT\}$
घटनाएँ इस प्रकार हैं:
$A = \{TTT\}$
$B = \{HTT, THT, TTH\}$
$C = \{HHT, HTH, THH, HHH\}$
निशेष घटनाओं के लिए जाँच:
$A \cup B \cup C = \{TTT, HTT, THT, TTH, HHT, HTH, THH, HHH\} = S$
चूंकि घटनाओं का संघ प्रतिदर्श समष्टि $S$ है,इसलिए घटनाएँ निशेष हैं।
परस्पर अपवर्जी घटनाओं के लिए जाँच:
$A \cap B = \phi$
$A \cap C = \phi$
$B \cap C = \phi$
चूंकि किन्हीं भी दो घटनाओं का सर्वनिष्ठ रिक्त समुच्चय $\phi$ है,इसलिए घटनाएँ परस्पर अपवर्जी हैं।
निष्कर्ष:
हाँ,$A, B,$ और $C$ परस्पर अपवर्जी और निशेष घटनाओं का एक समूह बनाते हैं।

(B) जब एक पासा फेंका जाता है,तो प्रतिदर्श समष्टि $S$ इस प्रकार है:
$S = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$
घटना $E$ (पासे पर $4$ आता है):
$E = \{4\}$
घटना $F$ (पासे पर सम संख्या आती है):
$F = \{2, 4, 6\}$
यह जाँचने के लिए कि क्या $E$ और $F$ परस्पर अपवर्जी हैं,हम उनका सर्वनिष्ठ (intersection) ज्ञात करते हैं:
$E \cap F = \{4\}$
चूँकि $E \cap F \neq \phi$ है,इसलिए घटनाएँ $E$ और $F$ परस्पर अपवर्जी नहीं हैं।

(D) जब एक पासा फेंका जाता है,तो प्रतिदर्श समष्टि $S = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ है।
घटना $A$ एक $7$ से छोटी संख्या है,इसलिए $A = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$।
घटना $B$ एक $7$ से बड़ी संख्या है,इसलिए $B = \emptyset$ (असंभव घटना)।
घटना $C$ एक $3$ का गुणज है,इसलिए $C = \{3, 6\}$।
अतः,$B \cup C = \emptyset \cup \{3, 6\} = \{3, 6\}$।

(A) जब पासे के एक जोड़े को फेंका जाता है,तो प्रतिदर्श समष्टि $S$ में $36$ परिणाम होते हैं।
$A = \{(3,6), (4,5), (4,6), (5,4), (5,5), (5,6), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6)\}$
$B = \{(2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6), (1,2), (3,2), (4,2), (5,2), (6,2)\}$
$C = \{(1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1), (3,6), (4,5), (5,4), (6,3), (6,6)\}$
दो घटनाएं परस्पर अपवर्जी होती हैं यदि उनका सर्वनिष्ठ (intersection) रिक्त $(\phi)$ हो।
$A \cap B = \phi$ (कोई सामान्य तत्व नहीं है)।
$B \cap C = \{(2,5), (5,2)\} \neq \phi$.
$A \cap C = \{(3,6), (4,5), (5,4), (6,3), (6,6)\} \neq \phi$.
अतः,केवल घटनाएं $A$ और $B$ परस्पर अपवर्जी हैं।

(N/A) जब तीन सिक्कों को उछाला जाता है,तो प्रतिदर्श समष्टि इस प्रकार है:
$S = \{HHH, HHT, HTH, HTT, THH, THT, TTH, TTT\}$
तदनुसार,
$A = \{HHH\}$
$B = \{HHT, HTH, THH\}$
$C = \{TTT\}$
$D = \{HHH, HHT, HTH, HTT\}$
दो घटनाएँ परस्पर अपवर्जी होती हैं यदि उनका सर्वनिष्ठ रिक्त समुच्चय $(\phi)$ हो।
$A \cap B = \phi$
$A \cap C = \phi$
$A \cap D = \{HHH\} \neq \phi$
$B \cap C = \phi$
$B \cap D = \{HHT, HTH\} \neq \phi$
$C \cap D = \phi$
अतः,परस्पर अपवर्जी युग्म $(A, B)$,$(A, C)$,$(B, C)$ और $(C, D)$ हैं।

(B) जब तीन सिक्कों को उछाला जाता है,तो प्रतिदर्श समष्टि $S$ इस प्रकार है:
$S = \{HHH, HHT, HTH, HTT, THH, THT, TTH, TTT\}$
यदि किसी घटना में प्रतिदर्श समष्टि का केवल एक ही बिंदु हो,तो उसे सरल घटना कहा जाता है।
$A = \{HHH\}$ ($1$ बिंदु है,इसलिए यह एक सरल घटना है)
$B = \{HHT, HTH, THH\}$ ($3$ बिंदु हैं,इसलिए यह एक मिश्र घटना है)
$C = \{TTT\}$ ($1$ बिंदु है,इसलिए यह एक सरल घटना है)
$D = \{HHH, HHT, HTH, HTT\}$ ($4$ बिंदु हैं,इसलिए यह एक मिश्र घटना है)
अतः,$A$ और $C$ सरल घटनाएं हैं।

(B) जब तीन सिक्कों को उछाला जाता है,तो प्रतिदर्श समष्टि $S$ इस प्रकार है:
$S = \{HHH, HHT, HTH, HTT, THH, THT, TTH, TTT\}$
तदनुसार,घटनाएँ इस प्रकार हैं:
$A = \{HHH\}$
$B = \{HHT, HTH, THH\}$
$C = \{TTT\}$
$D = \{HHH, HHT, HTH, HTT\}$
यदि किसी घटना में एक से अधिक प्रतिदर्श बिंदु होते हैं,तो उसे मिश्रित घटना कहा जाता है।
- घटना $A$ में $1$ प्रतिदर्श बिंदु है (सरल घटना)।
- घटना $B$ में $3$ प्रतिदर्श बिंदु हैं (मिश्रित घटना)।
- घटना $C$ में $1$ प्रतिदर्श बिंदु है (सरल घटना)।
- घटना $D$ में $4$ प्रतिदर्श बिंदु हैं (मिश्रित घटना)।
अतः,$B$ और $D$ मिश्रित घटनाएँ हैं।

(N/A) जब तीन सिक्के उछाले जाते हैं,तो प्रतिदर्श समष्टि $S$ इस प्रकार है:
$S = \{HHH, HHT, HTH, HTT, THH, THT, TTH, TTT\}$
दो घटनाएँ $A$ और $B$ परस्पर अपवर्जी होती हैं यदि उनमें कोई उभयनिष्ठ परिणाम न हो,अर्थात $A \cap B = \emptyset$.
मान लीजिए $A$ कोई भी चित (head) न आने की घटना है: $A = \{TTT\}$.
मान लीजिए $B$ कोई भी पट (tail) न आने की घटना है: $B = \{HHH\}$.
चूँकि $A \cap B = \emptyset$,इसलिए ये दोनों घटनाएँ परस्पर अपवर्जी हैं।

(N/A) जब तीन सिक्के उछाले जाते हैं,तो प्रतिदर्श समष्टि $S$ इस प्रकार है:
$S = \{HHH, HHT, HTH, HTT, THH, THT, TTH, TTT\}$
तीन घटनाएं जो परस्पर अपवर्जी और निशेष हैं,उन्हें इस प्रकार परिभाषित किया जा सकता है:
$A$: कोई चित (head) न प्राप्त होना।
$B$: ठीक एक चित प्राप्त होना।
$C$: कम से कम दो चित प्राप्त होना।
इन घटनाओं को इस प्रकार दर्शाया गया है:
$A = \{TTT\}$
$B = \{HTT, THT, TTH\}$
$C = \{HHH, HHT, HTH, THH\}$
ये घटनाएं परस्पर अपवर्जी हैं क्योंकि $A \cap B = B \cap C = C \cap A = \phi$ है।
ये निशेष हैं क्योंकि $A \cup B \cup C = S$ है।

(N/A) जब तीन सिक्के उछाले जाते हैं,तो प्रतिदर्श समष्टि $S$ इस प्रकार है:
$S = \{HHH, HHT, HTH, HTT, THH, THT, TTH, TTT\}$
दो घटनाएं जो परस्पर अपवर्जी नहीं हैं,उन्हें इस प्रकार परिभाषित किया जा सकता है:
$A$: तीन चित (heads) प्राप्त करना
$B$: कम से कम $2$ चित प्राप्त करना
यहाँ,समुच्चय हैं:
$A = \{HHH\}$
$B = \{HHH, HHT, HTH, THH\}$
चूंकि $A \cap B = \{HHH\} \neq \phi$,इसलिए घटनाएं $A$ और $B$ परस्पर अपवर्जी नहीं हैं।

(N/A) जब तीन सिक्के उछाले जाते हैं,तो प्रतिदर्श समष्टि $S$ इस प्रकार है:
$S = \{HHH, HHT, HTH, HTT, THH, THT, TTH, TTT\}$
दो घटनाएं जो परस्पर अपवर्जी हैं लेकिन निशेष नहीं हैं,उन्हें इस प्रकार परिभाषित किया जा सकता है:
$A$: ठीक एक चित (head) प्राप्त करना।
$B$: ठीक एक पट (tail) प्राप्त करना।
यहाँ,समुच्चय हैं:
$A = \{HTT, THT, TTH\}$
$B = \{HHT, HTH, THH\}$
ये घटनाएं परस्पर अपवर्जी हैं क्योंकि $A \cap B = \phi$ है।
ये निशेष नहीं हैं क्योंकि $A \cup B = \{HTT, THT, TTH, HHT, HTH, THH\} \neq S$ है।

(N/A) जब तीन सिक्के उछाले जाते हैं,तो प्रतिदर्श समष्टि (sample space) $S$ इस प्रकार है:
$S = \{HHH, HHT, HTH, HTT, THH, THT, TTH, TTT\}$
तीन घटनाएं जो परस्पर अपवर्जी हैं लेकिन निशेष नहीं हैं,उन्हें इस प्रकार परिभाषित किया जा सकता है:
$A$: ठीक तीन चित (heads) प्राप्त करना,अर्थात $A = \{HHH\}$
$B$: ठीक एक चित प्राप्त करना,अर्थात $B = \{HTT, THT, TTH\}$
$C$: ठीक दो चित प्राप्त करना,अर्थात $C = \{HHT, HTH, THH\}$
ये घटनाएं परस्पर अपवर्जी हैं क्योंकि $A \cap B = \phi$,$B \cap C = \phi$,और $C \cap A = \phi$ है।
ये निशेष नहीं हैं क्योंकि $A \cup B \cup C = \{HHH, HTT, THT, TTH, HHT, HTH, THH\} \neq S$ (क्योंकि $TTT \notin A \cup B \cup C$)।