Set Based probability Questions in Hindi

(B) प्रतिदर्श समष्टि $S$ में वे टिकट शामिल हैं जिनके अंकों का गुणनफल $0$ है। अंकों का गुणनफल $0$ तब होता है जब कम से कम एक अंक $0$ हो। ऐसी संख्याएँ हैं: $00, 01, 02, 03, 04, 05, 06, 07, 08, 09, 10, 20, 30, 40$।
कुल टिकटों की संख्या $n(S) = 14$ है।
मान लीजिए $A$ वह घटना है जिसमें अंकों का योग $8$ है।
संख्याओं की जाँच करने पर: $00 (0), 01 (1), 02 (2), 03 (3), 04 (4), 05 (5), 06 (6), 07 (7), 08 (8), 09 (9), 10 (1), 20 (2), 30 (3), 40 (4)$।
केवल $08$ ही ऐसी संख्या है जिसके अंकों का योग $8$ है।
अतः,$n(A) = 1$।
प्रायिकता $P(A) = \frac{n(A)}{n(S)} = \frac{1}{14}$।

(C) प्रतिदर्श समष्टि $S = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ है,इसलिए $n(S) = 6$ है।
घटना $A$ $3$ से बड़ी संख्या प्राप्त करना है,इसलिए $A = \{4, 5, 6\}$ और $n(A) = 3$ है।
घटना $B$ $5$ से छोटी संख्या प्राप्त करना है,इसलिए $B = \{1, 2, 3, 4\}$ और $n(B) = 4$ है।
सर्वनिष्ठ $A \cap B$ उन संख्याओं का समुच्चय है जो $3$ से बड़ी और $5$ से छोटी हैं,इसलिए $A \cap B = \{4\}$ और $n(A \cap B) = 1$ है।
संघ $A \cup B$ उन संख्याओं का समुच्चय है जो $A$ या $B$ में हैं,इसलिए $A \cup B = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ और $n(A \cup B) = 6$ है।
अतः,$P(A \cup B) = \frac{n(A \cup B)}{n(S)} = \frac{6}{6} = 1$ है।

(C) कुल गुलाबों की संख्या = $4 + 3 + 5 + 8 = 20$.
लाल गुलाबों की संख्या = $4$.
सफेद गुलाबों की संख्या = $8$.
अनुकूल परिणामों की संख्या (लाल या सफेद) = $4 + 8 = 12$.
प्रायिकता = $\frac{\text{अनुकूल परिणाम}}{\text{कुल परिणाम}} = \frac{12}{20} = \frac{3}{5}$.

(C) तीन निष्पक्ष पासों को एक साथ उछालने पर कुल परिणामों की संख्या $6 \times 6 \times 6 = 216$ है। अतः,$n = 216$.
माना $A$ वह घटना है जिसमें तीनों पासों पर समान पूर्णांक प्राप्त होते हैं।
अनुकूल परिणाम $A = \{(1,1,1), (2,2,2), (3,3,3), (4,4,4), (5,5,5), (6,6,6)\}$ हैं।
अतः,अनुकूल परिणामों की संख्या $r = 6$ है।
प्रायिकता $P(A) = \frac{r}{n} = \frac{6}{216} = \frac{1}{36}$ है।

(A) जब एक पासे को दो बार फेंका जाता है,तो कुल संभावित परिणामों की संख्या $6 \times 6 = 36$ होती है।
मान लीजिए $E$ कम से कम एक बार $4$ आने की घटना है।
पूरक घटना $E'$ की प्रायिकता ज्ञात करना आसान है,जो यह है कि किसी भी उछाल में $4$ न आए।
एक उछाल के लिए,$4$ न आने वाले परिणाम $\{1, 2, 3, 5, 6\}$ हैं,जो $5$ परिणाम हैं।
दो उछाल के लिए,उन परिणामों की संख्या जिनमें $4$ नहीं आता है,$5 \times 5 = 25$ है।
अतः,एक भी बार $4$ न आने की प्रायिकता $P(E') = \frac{25}{36}$ है।
कम से कम एक बार $4$ आने की प्रायिकता $P(E) = 1 - P(E') = 1 - \frac{25}{36} = \frac{11}{36}$ है।

(C) मान लीजिए $R_1$ वह घटना है कि पहली गेंद लाल है और $W_1$ वह घटना है कि पहली गेंद सफेद है।
मान लीजिए $R_2$ वह घटना है कि दूसरी गेंद लाल है और $W_2$ वह घटना है कि दूसरी गेंद सफेद है।
हमें वह प्रायिकता ज्ञात करनी है कि गेंदें अलग-अलग रंगों की हों,जिसका अर्थ है कि परिणाम $(R_1, W_2)$ या $(W_1, R_2)$ हैं।
कुल गेंदों की संख्या $6$ है।
$P(R_1, W_2) = P(R_1) \times P(W_2 | R_1) = \frac{3}{6} \times \frac{3}{5} = \frac{9}{30} = \frac{3}{10}$.
$P(W_1, R_2) = P(W_1) \times P(R_2 | W_1) = \frac{3}{6} \times \frac{3}{5} = \frac{9}{30} = \frac{3}{10}$.
कुल प्रायिकता $P(R_1, W_2) + P(W_1, R_2) = \frac{3}{10} + \frac{3}{10} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$ है।

(A) एक लीप वर्ष में $366$ दिन होते हैं।
$366$ दिन = $52$ सप्ताह और $2$ अतिरिक्त दिन।
ये $2$ अतिरिक्त दिन हो सकते हैं: (रविवार,सोमवार),(सोमवार,मंगलवार),(मंगलवार,बुधवार),(बुधवार,गुरुवार),(गुरुवार,शुक्रवार),(शुक्रवार,शनिवार),या (शनिवार,रविवार)।
इन $2$ दिनों के लिए $7$ संभावित परिणाम हैं।
वर्ष में $53$ रविवार होने के लिए,$2$ अतिरिक्त दिनों में से एक रविवार होना चाहिए।
यह $2$ मामलों में होता है: (शनिवार,रविवार) और (रविवार,सोमवार)।
इसलिए,प्रायिकता $2/7$ है।
चूंकि कथन-$II$ लीप वर्ष में अतिरिक्त दिनों की गणना का आधार प्रदान करता है,इसलिए यह कथन-$I$ का सही स्पष्टीकरण है।

(D) एक निष्पक्ष पासे के लिए प्रतिदर्श समष्टि $S = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ है।
घटना $A = \{4, 5, 6\}$ ($3$ से बड़े पूर्णांक)।
घटना $B = \{1, 2, 3, 4\}$ ($5$ से छोटे पूर्णांक)।
घटनाओं $A$ और $B$ का संघ $A \cup B = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ है।
अतः,$P(A \cup B) = P(S) = 1$.

(A) जब दो पासे फेंके जाते हैं,तो प्रतिदर्श समष्टि $S = \{(1, 1), (1, 2), ..., (6, 6)\}$ है।
कुल परिणामों की संख्या $n(S) = 6 \times 6 = 36$ है।
$(1)$ मान लीजिए $E_1$ वह घटना है जिसमें दोनों पासों पर समान संख्याएँ आती हैं।
$E_1 = \{(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (6, 6)\}$.
$n(E_1) = 6$.
$P(E_1) = \frac{n(E_1)}{n(S)} = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$.
$(2)$ मान लीजिए $E_2$ वह घटना है जिसमें संख्याओं के बीच का अंतर $1$ है।
$E_2 = \{(1, 2), (2, 1), (2, 3), (3, 2), (3, 4), (4, 3), (4, 5), (5, 4), (5, 6), (6, 5)\}$.
$n(E_2) = 10$.
$P(E_2) = \frac{n(E_2)}{n(S)} = \frac{10}{36} = \frac{5}{18}$.

(A) मान लीजिए $A, B,$ और $C$ द्वारा समस्या हल करने की प्रायिकता $P(A), P(B),$ और $P(C)$ है।
$P(A) = 1/2, P(B) = 1/3, P(C) = 1/4$.
समस्या हल न होने की प्रायिकता वह है जब तीनों इसे हल करने में विफल रहते हैं।
$P(\text{not } A) = 1 - 1/2 = 1/2$
$P(\text{not } B) = 1 - 1/3 = 2/3$
$P(\text{not } C) = 1 - 1/4 = 3/4$
चूंकि घटनाएं स्वतंत्र हैं,इसलिए किसी के द्वारा भी समस्या हल न करने की प्रायिकता है:
$P(\text{none solve}) = \frac{1}{2} \times \frac{2}{3} \times \frac{3}{4} = \frac{1}{4}$.
समस्या हल होने की प्रायिकता $1 - P(\text{none solve})$ है।
$P(\text{solved}) = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$.

(A) दिया गया है: $P(A) = 0.25$,$P(B) = 0.50$,और $P(A \cap B) = 0.14$.
हमें वह प्रायिकता ज्ञात करनी है कि न तो $A$ और न ही $B$ घटित हो,जो कि $P(A^c \cap B^c)$ है।
डी मॉर्गन के नियम के अनुसार,$P(A^c \cap B^c) = P((A \cup B)^c) = 1 - P(A \cup B)$.
योग प्रमेय का उपयोग करते हुए,$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$.
$P(A \cup B) = 0.25 + 0.50 - 0.14 = 0.61$.
अतः,$P(A^c \cap B^c) = 1 - 0.61 = 0.39$.

(B) मान लीजिए $A$ और $B$ वे घटनाएँ हैं कि कृष्णा और हरि $10$ वर्षों में जीवित हैं।
दिया गया है $P(A) = \frac{7}{15}$ और $P(B) = \frac{7}{10}$।
कृष्णा के मरने की प्रायिकता $P(A^c) = 1 - P(A) = 1 - \frac{7}{15} = \frac{8}{15}$ है।
हरि के मरने की प्रायिकता $P(B^c) = 1 - P(B) = 1 - \frac{7}{10} = \frac{3}{10}$ है।
चूंकि घटनाएँ स्वतंत्र हैं,इसलिए दोनों के मरने की प्रायिकता $P(A^c \cap B^c) = P(A^c) \times P(B^c)$ होगी।
$P(A^c \cap B^c) = \frac{8}{15} \times \frac{3}{10} = \frac{24}{150}$।

(A) $X$ के कुल उपसमुच्चयों की संख्या $2^n$ है।
$A$ और $B$ को चुनने के कुल तरीके $2^n \times 2^n = 2^{2n}$ हैं।
$X$ के $r$ अवयव वाले उपसमुच्चयों की संख्या ${}^nC_r$ है।
$A$ और $B$ में समान अवयव होने के लिए,यदि दोनों में $r$ अवयव हैं,तो चुनने के तरीके $({}^nC_r)^2$ होंगे।
कुल अनुकूल परिणाम $\sum_{r=0}^{n} ({}^nC_r)^2 = {}^{2n}C_n$ हैं।
अतः,प्रायिकता $= \frac{{}^{2n}C_n}{2^{2n}}$ है।

(D) मान लीजिए $b$ एक लड़के को और $g$ एक लड़की को दर्शाता है।
चूँकि $3$ परिवार हैं,प्रतिदर्श समष्टि $S$ प्रत्येक परिवार से विकल्पों का कार्तीय गुणनफल है:
$S = \{b, g\} \times \{b, g\} \times \{b, g\}$
$S = \{bbb, bbg, bgb, bgg, gbb, gbg, ggb, ggg\}$
केवल लड़कियों को चुनने की घटना का अर्थ है तीनों परिवारों से $g$ का चयन करना।
अतः,घटना $\{ggg\}$ है।

(D) कुल घोड़ों की संख्या = $5$.
श्रीमान $A$ द्वारा चुने गए घोड़ों की संख्या = $2$.
श्रीमान $A$ द्वारा न चुने गए घोड़ों की संख्या = $5 - 2 = 3$.
केवल $1$ ही जीतने वाला घोड़ा है।
इस बात की प्रायिकता कि जीतने वाला घोड़ा श्रीमान $A$ द्वारा न चुने गए $3$ घोड़ों में से है:
$P(\text{जीतने वाला घोड़ा नहीं चुना गया}) = \frac{3}{5}$.
इस बात की प्रायिकता कि जीतने वाला घोड़ा श्रीमान $A$ द्वारा चुने गए $2$ घोड़ों में से है:
$P(\text{जीतने वाला घोड़ा चुना गया}) = 1 - \frac{3}{5} = \frac{2}{5}$.

(C) जब दो निष्पक्ष पासे एक साथ फेंके जाते हैं,तो कुल संभावित परिणामों की संख्या $n(S) = 6 \times 6 = 36$ होती है।
माना $A$ दोनों पासों पर समान अंक प्राप्त करने की घटना है।
अनुकूल परिणाम $A = \{(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (6, 6)\}$ हैं।
अनुकूल परिणामों की संख्या $n(A) = 6$ है।
घटना $A$ की प्रायिकता $P(A) = \frac{n(A)}{n(S)} = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$ है।

(B) जब दो पासे फेंके जाते हैं,तो कुल संभावित परिणामों की संख्या $6 \times 6 = 36$ होती है।
द्विक (doublet) तब प्राप्त होता है जब दोनों पासों पर समान अंक आते हैं। अनुकूल परिणाम $(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (6, 6)$ हैं।
अनुकूल परिणामों की संख्या $6$ है।
द्विक प्राप्त करने की प्रायिकता $= \frac{\text{अनुकूल परिणामों की संख्या}}{\text{कुल परिणामों की संख्या}} = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$.

(C) $PROBABILITY$ शब्द में कुल $11$ अक्षर हैं।
इस शब्द में स्वर $O, A, I, I$ हैं।
कुल स्वरों की संख्या $4$ है।
स्वर चुनने की प्रायिकता अनुकूल परिणामों की संख्या और कुल परिणामों की संख्या का अनुपात है।
प्रायिकता $= \frac{4}{11}$।

(B) एक प्रयास में पक्षी को मारने की प्रायिकता $P(H) = 1/3$ है।
एक प्रयास में पक्षी को न मार पाने (चूक जाने) की प्रायिकता $P(M) = 1 - 1/3 = 2/3$ है।
तीन प्रयासों में कम से कम एक बार पक्षी को मारने की प्रायिकता $1 - P(\text{तीनों बार चूकने की प्रायिकता})$ है।
तीनों बार चूकने की प्रायिकता $P(M)^3 = (2/3)^3 = 8/27$ है।
अतः, पक्षी को मारने की प्रायिकता $1 - 8/27 = 19/27$ है।

(C) एक घटना $A$ स्वयं से स्वतंत्र है यदि $P(A \cap A) = P(A)P(A)$ हो।
चूंकि $A \cap A = A$,इसलिए $P(A) = P(A)^2$ प्राप्त होता है।
इसका अर्थ है $P(A)^2 - P(A) = 0$।
$P(A)(P(A) - 1) = 0$।
अतः,$P(A) = 0$ या $P(A) = 1$।

(D) कार्तीय गुणन $A \times B$ में कुल अवयवों की संख्या $n(A \times B) = n(A) \times n(B) = 5 \times 4 = 20$ है।
$a + b = 9$ होने वाले क्रमित युग्म $\{(1, 8), (3, 6), (5, 4), (7, 2)\}$ हैं।
अनुकूल परिणामों की संख्या $r = 4$ है।
घटना की प्रायिकता $P = \frac{r}{n} = \frac{4}{20} = \frac{1}{5}$ है।

(C) $52$ पत्तों में से $2$ पत्ते चुनने के कुल तरीके $^{52}C_2$ हैं।
मान लीजिए $A$ वह घटना है जिसमें दोनों पत्ते लाल हैं।
मान लीजिए $B$ वह घटना है जिसमें दोनों पत्ते राजा हैं।
हमें $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$ ज्ञात करना है।
कुल $26$ लाल पत्ते हैं,इसलिए $2$ लाल पत्ते चुनने के तरीके $^{26}C_2$ हैं।
$P(A) = \frac{^{26}C_2}{^{52}C_2} = \frac{325}{1326}$.
कुल $4$ राजा हैं,इसलिए $2$ राजा चुनने के तरीके $^4C_2$ हैं।
$P(B) = \frac{^4C_2}{^{52}C_2} = \frac{6}{1326} = \frac{1}{221}$.
$A \cap B$ वह घटना है जिसमें दोनों पत्ते लाल राजा हैं। $2$ लाल राजा होते हैं (पान का राजा और ईंट का राजा),इसलिए $2$ लाल राजा चुनने के तरीके $^2C_2 = 1$ हैं।
$P(A \cap B) = \frac{^2C_2}{^{52}C_2} = \frac{1}{1326}$.
सूत्र का उपयोग करते हुए: $P(A \cup B) = \frac{325}{1326} + \frac{6}{1326} - \frac{1}{1326} = \frac{330}{1326}$.
भिन्न को सरल करने पर: $\frac{330}{1326} = \frac{55}{221}$.

(B) दो पासे फेंकने पर कुल संभावित परिणामों की संख्या $6^2 = 36$ है।
मान लीजिए $E$ वह घटना है जिसमें कम से कम एक पासे पर $3$ से बड़ी संख्या आती है।
पूरक घटना $E'$ की प्रायिकता ज्ञात करना आसान है,जिसमें किसी भी पासे पर $3$ से बड़ी संख्या नहीं आती है।
इसका अर्थ है कि दोनों पासों पर $\{1, 2, 3\}$ में से कोई अंक होना चाहिए।
$E'$ के लिए परिणामों की संख्या $3 \times 3 = 9$ है।
ये परिणाम हैं: $(1, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (3, 1), (3, 2), (3, 3)$।
अतः,$P(E') = \frac{9}{36} = \frac{1}{4}$।
अभीष्ट घटना की प्रायिकता $P(E) = 1 - P(E') = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$ है।

(C) दो पासे फेंकने पर कुल संभावित परिणामों की संख्या $6^2 = 36$ है।
$4$ के गुणज वाले योग $4, 8$ और $12$ हैं।
इन योगों को प्राप्त करने वाले जोड़े $(x, y)$ इस प्रकार हैं:
योग $= 4$ के लिए: $(1, 3), (2, 2), (3, 1)$
योग $= 8$ के लिए: $(2, 6), (3, 5), (4, 4), (5, 3), (6, 2)$
योग $= 12$ के लिए: $(6, 6)$
अतः,अनुकूल परिणामों की कुल संख्या $3 + 5 + 1 = 9$ है।
इसलिए,अभीष्ट प्रायिकता $P = \frac{9}{36} = \frac{1}{4}$ है।

(C) दिया गया है कि कम से कम एक घटना के घटित होने की प्रायिकता $P(A \cup B) = 0.6$ है।
डी मॉर्गन के नियम के अनुसार,$P(A \cup B) = 1 - P(A' \cap B') = 0.6$,इसलिए $P(A' \cap B') = 0.4$ है।
हम जानते हैं कि $P(A \cap B) = 0.3$ है।
सूत्र $P(A' \cup B') = P(A') + P(B') - P(A' \cap B')$ का उपयोग करने पर,
जहाँ $P(A' \cup B') = 1 - P(A \cap B) = 1 - 0.3 = 0.7$ है।
मान रखने पर: $0.7 = P(A') + P(B') - 0.4$।
अतः,$P(A') + P(B') = 0.7 + 0.4 = 1.1$।

(D) मान लीजिए कि तीन सिक्कों के परिणाम स्वतंत्र घटनाएँ $A, B,$ और $C$ हैं।
पहले सिक्के पर चित आने की प्रायिकता $P(A) = 1/2$ है।
दूसरे सिक्के पर पट आने की प्रायिकता $P(B) = 1/2$ है।
तीसरे सिक्के पर चित आने की प्रायिकता $P(C) = 1/2$ है।
चूंकि घटनाएँ स्वतंत्र हैं,इसलिए संयुक्त प्रायिकता $P(A \cap B \cap C) = P(A) \times P(B) \times P(C)$ होगी।
$P(A \cap B \cap C) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{8}$.

(B) मान लीजिए $P(A) = p$ $A$ के मरने की प्रायिकता है,इसलिए $P(A') = 1 - p$ $A$ के जीवित रहने की प्रायिकता है।
मान लीजिए $P(B) = q$ $B$ के मरने की प्रायिकता है,इसलिए $P(B') = 1 - q$ $B$ के जीवित रहने की प्रायिकता है।
वर्ष के अंत में केवल एक व्यक्ति के जीवित रहने की घटना का अर्थ है या तो ($A$ मर जाए और $B$ जीवित रहे) या ($B$ मर जाए और $A$ जीवित रहे)।
चूँकि घटनाएँ स्वतंत्र हैं,अभीष्ट प्रायिकता $P(A \cap B') + P(B \cap A') = P(A) \cdot P(B') + P(B) \cdot P(A')$ है।
मान रखने पर: $p(1 - q) + q(1 - p) = p - pq + q - pq = p + q - 2pq$।

(A) $P(\overline{A \cup B}) = \frac{1}{6} \implies P(A \cup B) = 1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6}$.
दिया गया है $P(A \cap B) = \frac{1}{4}$ और $P(\bar{A}) = \frac{1}{4}$,इसलिए $P(A) = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$.
योग प्रमेय का उपयोग करते हुए,$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$.
मान रखने पर: $\frac{5}{6} = \frac{3}{4} + P(B) - \frac{1}{4}$.
$\frac{5}{6} = \frac{1}{2} + P(B) \implies P(B) = \frac{5}{6} - \frac{1}{2} = \frac{5-3}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.
अब,स्वतंत्रता की जाँच करें: $P(A) \cdot P(B) = \frac{3}{4} \times \frac{1}{3} = \frac{1}{4} = P(A \cap B)$.
चूँकि $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$,घटनाएँ स्वतंत्र हैं।
चूँकि $P(A) = \frac{3}{4}$ और $P(B) = \frac{1}{3}$,$P(A) \neq P(B)$,इसलिए वे समान रूप से संभावित नहीं हैं।

(B) प्रतिदर्श समष्टि $S$ में $6 \times 6 = 36$ परिणाम हैं।
$E_1 = \{(4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6)\}$,इसलिए $P(E_1) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$।
$E_2 = \{(1, 2), (2, 2), (3, 2), (4, 2), (5, 2), (6, 2)\}$,इसलिए $P(E_2) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$।
$E_3$ वह घटना है कि योग विषम है,जो तब होता है जब एक पासा सम और दूसरा विषम हो। $P(E_3) = \frac{18}{36} = \frac{1}{2}$।
$E_1 \cap E_2 = \{(4, 2)\}$,इसलिए $P(E_1 \cap E_2) = \frac{1}{36} = P(E_1)P(E_2)$। अतः,$E_1$ और $E_2$ स्वतंत्र हैं।
$E_1 \cap E_3 = \{(4, 1), (4, 3), (4, 5)\}$,इसलिए $P(E_1 \cap E_3) = \frac{3}{36} = \frac{1}{12} = P(E_1)P(E_3)$। अतः,$E_1$ और $E_3$ स्वतंत्र हैं।
$E_2 \cap E_3 = \{(1, 2), (3, 2), (5, 2)\}$,इसलिए $P(E_2 \cap E_3) = \frac{3}{36} = \frac{1}{12} = P(E_2)P(E_3)$। अतः,$E_2$ और $E_3$ स्वतंत्र हैं।
$E_1, E_2, E_3$ के स्वतंत्र होने के लिए,$P(E_1 \cap E_2 \cap E_3) = P(E_1)P(E_2)P(E_3)$ होना चाहिए।
$E_1 \cap E_2 \cap E_3 = \{(4, 2)\} \cap E_3 = \emptyset$ क्योंकि योग $4+2=6$ सम है। इसलिए $P(E_1 \cap E_2 \cap E_3) = 0$।
चूंकि $0 \neq \frac{1}{72}$,इसलिए ये घटनाएं परस्पर स्वतंत्र नहीं हैं।

(B) माना समुच्चय $S = \{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\}$ है।
दो अलग-अलग संख्याएँ चुनने के कुल तरीके $n(S) = \binom{11}{2} = 55$ हैं।
माना दो संख्याएँ $x$ और $y$ हैं जहाँ $x > y$ है।
शर्त के अनुसार $(x+y)$ और $(x-y)$ दोनों $4$ के गुणज होने चाहिए।
इसका अर्थ है कि $x$ और $y$ दोनों सम संख्याएँ होनी चाहिए और $x \equiv y \pmod{4}$ होना चाहिए।
समुच्चय $\{0, 2, 4, 6, 8, 10\}$ से संभव जोड़े:
$x, y \equiv 0 \pmod{4}$ के लिए: $(4, 0), (8, 0), (8, 4)$।
$x, y \equiv 2 \pmod{4}$ के लिए: $(6, 2), (10, 2), (10, 6)$।
कुल अनुकूल परिणाम $n(E) = 6$ हैं।
अतः,प्रायिकता $P(E) = \frac{6}{55}$ है।

(B) चूंकि घटनाएं परस्पर अपवर्जी और निशेष हैं,इसलिए उनकी प्रायिकताओं का योग $1$ होना चाहिए।
$\frac{1 - 3p}{2} + \frac{1 + 4p}{3} + \frac{1 + p}{6} = 1$
$6$ से गुणा करने पर,$3(1 - 3p) + 2(1 + 4p) + (1 + p) = 6$ प्राप्त होता है।
$3 - 9p + 2 + 8p + 1 + p = 6$
$6 = 6$,जो $p$ के किसी भी मान के लिए सत्य है। हालाँकि,प्रत्येक प्रायिकता को $[0, 1]$ अंतराल में होना चाहिए।
$1) \ 0 \le \frac{1 - 3p}{2} \le 1 \Rightarrow 0 \le 1 - 3p \le 2 \Rightarrow -1 \le -3p \le 1 \Rightarrow -\frac{1}{3} \le p \le \frac{1}{3}$.
$2) \ 0 \le \frac{1 + 4p}{3} \le 1 \Rightarrow 0 \le 1 + 4p \le 3 \Rightarrow -1 \le 4p \le 2 \Rightarrow -\frac{1}{4} \le p \le \frac{1}{2}$.
$3) \ 0 \le \frac{1 + p}{6} \le 1 \Rightarrow 0 \le 1 + p \le 6 \Rightarrow -1 \le p \le 5$.
इन सभी अंतरालों का प्रतिच्छेदन लेने पर: $[-\frac{1}{3}, \frac{1}{3}] \cap [-\frac{1}{4}, \frac{1}{2}] \cap [-1, 5] = [-\frac{1}{4}, \frac{1}{3}]$.

(A) माना $H$ सिक्के पर चित आने की घटना है,$P(H) = \frac{1}{2}$। चित न आने की प्रायिकता $P(H') = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$ है।
माना $D$ पासे पर $5$ या $6$ आने की घटना है,$P(D) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$। $5$ या $6$ न आने की प्रायिकता $P(D') = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$ है।
व्यक्ति सिक्के से शुरुआत करता है और बारी-बारी से प्रयास करता है। वह तब जीतता है यदि उसे $5$ या $6$ आने से पहले चित मिल जाए।
यह निम्नलिखित तरीकों से हो सकता है:
$1$. वह पहले प्रयास में चित प्राप्त करता है: $P_1 = \frac{1}{2}$।
$2$. वह पहले सिक्के के उछाल में विफल रहता है,पहले पासे के फेंक में विफल रहता है और दूसरे सिक्के के उछाल में चित प्राप्त करता है: $P_2 = (\frac{1}{2} \times \frac{2}{3}) \times \frac{1}{2}$।
$3$. वह पहले दो सिक्कों के उछाल और पहले दो पासे के फेंक में विफल रहता है और तीसरे सिक्के के उछाल में चित प्राप्त करता है: $P_3 = (\frac{1}{2} \times \frac{2}{3})^2 \times \frac{1}{2}$।
कुल प्रायिकता इस अनंत गुणोत्तर श्रेणी का योग है:
$P = \frac{1}{2} + (\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3}) \cdot \frac{1}{2} + (\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3})^2 \cdot \frac{1}{2} + \dots$
$P = \frac{1}{2} [1 + \frac{1}{3} + (\frac{1}{3})^2 + \dots]$
अनंत गुणोत्तर श्रेणी के योग के सूत्र $S = \frac{a}{1-r}$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $a=1$ और $r=\frac{1}{3}$:
$P = \frac{1}{2} \times \frac{1}{1 - 1/3} = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2/3} = \frac{1}{2} \times \frac{3}{2} = \frac{3}{4}$।

(D) जब दो पासों को फेंका जाता है,तो कुल संभावित परिणामों की संख्या $6 \times 6 = 36$ होती है।
माना $X$ पहले पासे पर आने वाली संख्या है और $Y$ दूसरे पासे पर आने वाली संख्या है।
हमें प्रायिकता $P(X < Y)$ ज्ञात करनी है।
$X < Y$ होने के लिए संभावित जोड़े $(X, Y)$ इस प्रकार हैं:
यदि $X=1$,तो $Y \in \{2, 3, 4, 5, 6\}$ ($5$ परिणाम)।
यदि $X=2$,तो $Y \in \{3, 4, 5, 6\}$ ($4$ परिणाम)।
यदि $X=3$,तो $Y \in \{4, 5, 6\}$ ($3$ परिणाम)।
यदि $X=4$,तो $Y \in \{5, 6\}$ ($2$ परिणाम)।
यदि $X=5$,तो $Y \in \{6\}$ ($1$ परिणाम)।
यदि $X=6$,तो $Y$ के लिए कोई मान संभव नहीं है जिससे $X < Y$ हो।
कुल अनुकूल परिणाम $= 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 15$ हैं।
अतः अभीष्ट प्रायिकता $\frac{15}{36} = \frac{5}{12}$ है।

(D) मान लीजिए $A, B$ और $C$ वे घटनाएँ हैं जिनमें छात्र क्रमशः परीक्षा $I, II$ और $III$ में उत्तीर्ण होता है। छात्र सफल होता है यदि वह $(I \text{और } II)$ या $(I \text{ और} III)$ में उत्तीर्ण होता है।
इसे घटना $(A \cap B) \cup (A \cap C)$ द्वारा दर्शाया गया है।
समावेशन-अपवर्जन सिद्धांत का उपयोग करते हुए,$P((A \cap B) \cup (A \cap C)) = P(A \cap B) + P(A \cap C) - P(A \cap B \cap C)$.
चूंकि घटनाएँ स्वतंत्र हैं,$P(A \cap B) = P(A)P(B) = pq$,$P(A \cap C) = P(A)P(C) = p(\frac{1}{2})$,और $P(A \cap B \cap C) = P(A)P(B)P(C) = pq(\frac{1}{2})$.
अतः,सफलता की प्रायिकता $pq + \frac{p}{2} - \frac{pq}{2} = \frac{pq}{2} + \frac{p}{2} = \frac{p}{2}(q + 1)$ है।
सफलता की प्रायिकता $\frac{1}{2}$ दी गई है,इसलिए $\frac{p}{2}(q + 1) = \frac{1}{2}$,जो सरल होकर $p(q + 1) = 1$ हो जाता है।
यदि $p=1$ है,तो $1+q=1 \Rightarrow q=0$. यदि $p=\frac{2}{3}$ है,तो $\frac{2}{3}(q+1)=1 \Rightarrow q+1=\frac{3}{2} \Rightarrow q=\frac{1}{2}$.
चूंकि $p(q+1)=1$ को संतुष्ट करने वाले कई जोड़े $(p, q)$ हैं,इसलिए $p$ और $q$ के अनंत मान संभव हैं। अतः,विकल्प $A, B$ और $C$ सभी सही हैं।

(A) माना $P(W_i)$ और $P(B_i)$ क्रमशः $i$-वें बक्से से एक सफेद और एक काली गेंद निकालने की प्रायिकताएं हैं,जहाँ $i = 1, 2, 3$ है।
$P(W_1) = \frac{3}{4}, P(B_1) = \frac{1}{4}$
$P(W_2) = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}, P(B_2) = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$
$P(W_3) = \frac{1}{4}, P(B_3) = \frac{3}{4}$
दो सफेद और एक काली गेंद को $3$ बक्सों से निम्नलिखित तीन तरीकों से निकाला जा सकता है:

$Way 1$	$W, W, B$
$Way 2$	$W, B, W$
$Way 3$	$B, W, W$

अभीष्ट प्रायिकता $= P(W_1)P(W_2)P(B_3) + P(W_1)P(B_2)P(W_3) + P(B_1)P(W_2)P(W_3)$
$= (\frac{3}{4} \times \frac{2}{4} \times \frac{3}{4}) + (\frac{3}{4} \times \frac{2}{4} \times \frac{1}{4}) + (\frac{1}{4} \times \frac{2}{4} \times \frac{1}{4})$
$= \frac{18}{64} + \frac{6}{64} + \frac{2}{64} = \frac{26}{64} = \frac{13}{32}$.

(D) समुच्चय $\{1, 2, \dots, 15\}$ से दो अलग-अलग संख्याएँ $x$ और $y$ चुनने के कुल तरीके $15 \times 14 = 210$ हैं।
$(0, 0)$ से गुजरने वाली और $\frac{2}{3}$ ढाल वाली रेखा का समीकरण $y = \frac{2}{3}x$ है,जो $2x = 3y$ के बराबर है।
हमें ऐसे युग्म $(x, y)$ खोजने हैं जहाँ $x, y \in \{1, 2, \dots, 15\}$ और $2x = 3y$ हो।
संभावित युग्म: $(3, 2), (6, 4), (9, 6), (12, 8), (15, 10)$ हैं।
अतः,अनुकूल परिणामों की संख्या $5$ है।
प्रायिकता $= \frac{5}{210} = \frac{1}{42}$ है।

(A) कुल गेंदों की संख्या $= 5 + 4 + 3 = 12$ है।
माना $R_1, R_2, R_3$ वे घटनाएँ हैं जिनमें पहले,दूसरे और तीसरे प्रयास में विशेष लाल गेंद नहीं मिलती है,और $E$ वह घटना है जिसमें चौथे प्रयास में विशेष लाल गेंद मिलती है।
प्रायिकता $= \frac{11}{12} \times \frac{10}{11} \times \frac{9}{10} \times \frac{1}{9} = \frac{1}{12}$.

(C) असमिका $\frac{(x - 10)(x - 50)}{(x - 30)} \geqslant 0$ को हल करने के लिए,हम वेवी कर्व विधि (चिह्न योजना) का उपयोग करते हैं।
क्रांतिक बिंदु $x = 10, 30, 50$ हैं।
अंतरालों की जाँच करने पर:
$x > 50$ के लिए,व्यंजक धनात्मक है।
$30 < x < 50$ के लिए,व्यंजक ऋणात्मक है।
$10 < x < 30$ के लिए,व्यंजक धनात्मक है।
$x < 10$ के लिए,व्यंजक ऋणात्मक है।
असमिका $\geqslant 0$ पर विचार करते हुए:
- $x = 10$ और $x = 50$ पर व्यंजक शून्य है।
- $x = 30$ पर व्यंजक अपरिभाषित है।
- अतः,हल समुच्चय $x \in [10, 30) \cup [50, 100]$ है।
इस समुच्चय में पूर्णांकों की गणना करने पर:
- $[10, 29]$ में,$29 - 10 + 1 = 20$ पूर्णांक हैं।
- $[50, 100]$ में,$100 - 50 + 1 = 51$ पूर्णांक हैं।
- अनुकूल पूर्णांकों की कुल संख्या $= 20 + 51 = 71$ है।
समुच्चय $\{1, 2, ..., 100\}$ में पूर्णांकों की कुल संख्या $100$ है।
इसलिए,प्रायिकता $\frac{71}{100} = 0.71$ है।

(A) माना $P(A) = \frac{1}{2}, P(B) = \frac{1}{3}, P(C) = \frac{1}{4}$.
अतः $P(\overline{A}) = \frac{1}{2}, P(\overline{B}) = \frac{2}{3}, P(\overline{C}) = \frac{3}{4}$.
$\lambda$ ठीक दो निशानेबाजों द्वारा लक्ष्य भेदने की प्रायिकता है:
$\lambda = P(A)P(B)P(\overline{C}) + P(A)P(\overline{B})P(C) + P(\overline{A})P(B)P(C)$
$\lambda = (\frac{1}{2} \times \frac{1}{3} \times \frac{3}{4}) + (\frac{1}{2} \times \frac{2}{3} \times \frac{1}{4}) + (\frac{1}{2} \times \frac{1}{3} \times \frac{1}{4})$
$\lambda = \frac{3}{24} + \frac{2}{24} + \frac{1}{24} = \frac{6}{24} = \frac{1}{4}$.
$\mu$ कम से कम दो निशानेबाजों द्वारा लक्ष्य भेदने की प्रायिकता है:
$\mu = \lambda + P(A)P(B)P(C)$
$\mu = \frac{6}{24} + (\frac{1}{2} \times \frac{1}{3} \times \frac{1}{4}) = \frac{6}{24} + \frac{1}{24} = \frac{7}{24}$.
$\lambda + \mu = \frac{6}{24} + \frac{7}{24} = \frac{13}{24}$.

(B) दी गई असमिका $x^2 - 13x - 30 \leq 0$ है।
द्विघात व्यंजक का गुणनखंड करने पर,हमें $(x - 15)(x + 2) \leq 0$ प्राप्त होता है।
इस गुणनफल के शून्य या शून्य से कम होने के लिए,$x$ को $[-2, 15]$ अंतराल में होना चाहिए।
चूंकि $x$ एक प्राकृतिक संख्या है $(x \in \mathbb{N})$,इसलिए $x$ के संभावित मान ${1, 2, 3, \dots, 15}$ हैं।
समुच्चय ${1, 2, \dots, 100}$ में कुल प्राकृतिक संख्याओं की संख्या $100$ है।
अनुकूल परिणामों की संख्या $15$ है।
अतः,अभीष्ट प्रायिकता $\frac{15}{100} = \frac{3}{20}$ है।

(D) मान लीजिए $E_1, E_2, E_3, E_4$ क्रमशः पहली,दूसरी,तीसरी और चौथी बार में विमान के हिट होने की घटनाएं हैं।
दी गई प्रायिकताएं $P(E_1) = 0.4, P(E_2) = 0.3, P(E_3) = 0.2, P(E_4) = 0.1$ हैं।
किसी भी फायर में विमान के हिट न होने की प्रायिकता $P(E_i^c) = 1 - P(E_i)$ है।
$P(E_1^c) = 1 - 0.4 = 0.6$
$P(E_2^c) = 1 - 0.3 = 0.7$
$P(E_3^c) = 1 - 0.2 = 0.8$
$P(E_4^c) = 1 - 0.1 = 0.9$
गन द्वारा विमान के कम से कम एक बार हिट होने की प्रायिकता $1 - P(\text{किसी भी फायर में विमान के हिट न होने की प्रायिकता})$ है।
अभीष्ट प्रायिकता $= 1 - (P(E_1^c) \times P(E_2^c) \times P(E_3^c) \times P(E_4^c))$
$= 1 - (0.6 \times 0.7 \times 0.8 \times 0.9)$
$= 1 - 0.3024$
$= 0.6976$

(A) दी गई असमिका $x + \frac{336}{x} \leq 50$ है।
चूंकि $x$ एक धनात्मक पूर्णांक है,हम असमिका के चिह्न को बदले बिना $x$ से गुणा कर सकते हैं: $x^2 + 336 \leq 50x$।
पदों को व्यवस्थित करने पर,हमें $x^2 - 50x + 336 \leq 0$ प्राप्त होता है।
द्विघात व्यंजक का गुणनखंड करने पर,हमें $(x - 8)(x - 42) \leq 0$ प्राप्त होता है।
यह असमिका $x$ के $[8, 42]$ अंतराल के लिए सत्य है।
चूंकि $x$ एक पूर्णांक होना चाहिए,$x$ के संभावित मान ${8, 9, 10, \dots, 42}$ हैं।
ऐसे पूर्णांकों की संख्या $42 - 8 + 1 = 35$ है।
$1$ से $50$ तक कुल पूर्णांकों की संख्या $50$ है।
अतः,अभीष्ट प्रायिकता $\frac{35}{50} = \frac{7}{10}$ है।

(A) $6$ बच्चे होने के कुल तरीके $2^6 = 64$ हैं।
चूंकि कम से कम एक बच्चा लड़की है,हम उस स्थिति को घटा देंगे जहाँ सभी बच्चे लड़के हैं (जो $1$ तरीका है)।
अतः,कुल संभावित परिणाम $2^6 - 1 = 63$ हैं।
$3$ लड़कों और $3$ लड़कियों के होने के तरीके $\binom{6}{3} = \frac{6!}{3!3!} = 20$ हैं।
इसलिए,अभीष्ट प्रायिकता $\frac{20}{63}$ है।

(C) हमें निम्नलिखित प्रायिकताएँ दी गई हैं:
$P(A \cap \bar{B} \cap \bar{C}) = 0.6$
$P(A) = 0.8$
$P(\bar{A} \cap B \cap C) = 0.1$
हम जानते हैं कि $P(A) = P(A \cap \bar{B} \cap \bar{C}) + P(A \cap B \cap \bar{C}) + P(A \cap \bar{B} \cap C) + P(A \cap B \cap C)$ होता है।
मान रखने पर:
$0.8 = 0.6 + P(A \cap B \cap \bar{C}) + P(A \cap \bar{B} \cap C) + P(A \cap B \cap C)$
$P(A \cap B \cap \bar{C}) + P(A \cap \bar{B} \cap C) + P(A \cap B \cap C) = 0.8 - 0.6 = 0.2$.
कम से कम दो घटनाओं के होने की प्रायिकता:
$P(\text{at least two}) = P(A \cap B \cap \bar{C}) + P(A \cap \bar{B} \cap C) + P(\bar{A} \cap B \cap C) + P(A \cap B \cap C)$.
ऊपर प्राप्त योग और $P(\bar{A} \cap B \cap C)$ का मान रखने पर:
$P(\text{at least two}) = 0.2 + 0.1 = 0.3$.

(A) दो पासे फेंकने पर कुल परिणामों की संख्या $6 \times 6 = 36$ है।
मान लीजिए $A$ पहले पासे का परिणाम है और $B$ दूसरे पासे का परिणाम है। हम उन परिणामों को खोजना चाहते हैं जहाँ $A > B$ हो।
यदि $A=2$,तो $B=1$ ($1$ परिणाम)।
यदि $A=3$,तो $B=1, 2$ ($2$ परिणाम)।
यदि $A=4$,तो $B=1, 2, 3$ ($3$ परिणाम)।
यदि $A=5$,तो $B=1, 2, 3, 4$ ($4$ परिणाम)।
यदि $A=6$,तो $B=1, 2, 3, 4, 5$ ($5$ परिणाम)।
कुल अनुकूल परिणाम $= 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15$ हैं।
प्रायिकता $= \frac{15}{36} = \frac{5}{12}$ है।

(A) मान लीजिए $P(A), P(B), P(C)$ क्रमशः छात्रों $A, B, C$ द्वारा समस्या हल करने की प्रायिकताएं हैं।
$P(A) = \frac{1}{3}, P(B) = \frac{1}{4}, P(C) = \frac{1}{5}$.
समस्या किसी के द्वारा भी हल न होने की प्रायिकता:
$P(\text{not solved}) = (1 - P(A)) \times (1 - P(B)) \times (1 - P(C))$
$P(\text{not solved}) = (1 - \frac{1}{3}) \times (1 - \frac{1}{4}) \times (1 - \frac{1}{5})$
$P(\text{not solved}) = \frac{2}{3} \times \frac{3}{4} \times \frac{4}{5} = \frac{2}{5}$.
समस्या के हल होने की प्रायिकता:
$P(\text{solved}) = 1 - P(\text{not solved}) = 1 - \frac{2}{5} = \frac{3}{5}$.

(A) $6$ बच्चे होने के कुल तरीके $2^6 = 64$ हैं।
चूँकि कम से कम एक बच्चा लड़की है,हम उस स्थिति को घटा देते हैं जिसमें सभी बच्चे लड़के हैं।
कम से कम एक लड़की होने के अनुकूल परिणामों की संख्या $64 - 1 = 63$ है।
$3$ लड़के और $3$ लड़कियाँ होने के तरीकों की संख्या $\binom{6}{3} = \frac{6!}{3!3!} = 20$ है।
अतः,अभीष्ट प्रायिकता $\frac{20}{63}$ है।

(D) $30$ में से दो अलग-अलग संख्याएँ चुनने के कुल तरीके $^{30}C_{2} = \frac{30 \times 29}{2} = 435$ हैं।
$a^2 - b^2$ के $3$ से विभाज्य होने के लिए,$(a-b)(a+b)$ का $3$ से विभाज्य होना आवश्यक है।
यह तब होता है यदि $a \equiv b \pmod{3}$ या $a \equiv -b \pmod{3}$ हो।
$3$ से भाग देने पर शेषफल के आधार पर समुच्चय:
$D_{1} = \{1, 4, 7, \dots, 28\}$ (आकार $10$,शेषफल $1$)
$D_{2} = \{2, 5, 8, \dots, 29\}$ (आकार $10$,शेषफल $2$)
$D_{3} = \{3, 6, 9, \dots, 30\}$ (आकार $10$,शेषफल $0$)
अनुकूल स्थितियाँ:
$1$. दोनों $a, b$ एक ही समुच्चय से हों: $^{10}C_{2} + ^{10}C_{2} + ^{10}C_{2} = 45 + 45 + 45 = 135$.
$2$. एक $D_{1}$ से और एक $D_{2}$ से हो: $^{10}C_{1} \times ^{10}C_{1} = 100$.
कुल अनुकूल स्थितियाँ $= 135 + 100 = 235$.
प्रायिकता $P = \frac{235}{435} = \frac{47}{87}$.

(D) मान लीजिए कि $P(i)$ पासे पर संख्या $i$ प्राप्त करने की प्रायिकता है।
दिया गया है कि $P(i) \propto \frac{1}{i}$,इसलिए $P(i) = \frac{K}{i}$ जहाँ $i = 1, 2, 3, 4, 5, 6$ और $K$ एक स्थिरांक है।
सभी प्रायिकताओं का योग $1$ होना चाहिए,इसलिए $\sum_{i=1}^{6} P(i) = 1$.
$K \left( \frac{1}{1} + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5} + \frac{1}{6} \right) = 1$.
योग के लिए सामान्य हर खोजने पर: $\frac{60+30+20+15+12+10}{60} = \frac{147}{60}$.
अतः,$K \left( \frac{147}{60} \right) = 1 \Rightarrow K = \frac{60}{147} = \frac{20}{49}$.
$3$ प्राप्त करने की प्रायिकता $P(3) = \frac{K}{3} = \frac{20}{49 \times 3} = \frac{20}{147}$ है।