Set Based probability Questions in Hindi

(A) माना $P(A)$ एथलीट $A$ के जीतने की प्रायिकता है और $P(B)$ एथलीट $B$ के जीतने की प्रायिकता है।
दिया गया है $P(A) = \frac{1}{5}$ और $P(B) = \frac{1}{4}$।
$A$ के न जीतने की प्रायिकता $P(A') = 1 - P(A) = 1 - \frac{1}{5} = \frac{4}{5}$ है।
$B$ के न जीतने की प्रायिकता $P(B') = 1 - P(B) = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$ है।
चूंकि घटनाएँ स्वतंत्र हैं,इसलिए प्रायिकता कि उनमें से कोई भी न जीते $P(A' \cap B') = P(A') \times P(B')$ है।
$P(A' \cap B') = \frac{4}{5} \times \frac{3}{4} = \frac{3}{5}$।

(B) तीन सिक्कों को उछालने के लिए प्रतिदर्श समष्टि $S = \{HHH, HHT, HTH, HTT, THH, THT, TTH, TTT\}$ है।
कुल संभावित परिणामों की संख्या $n(S) = 8$ है।
वे परिणाम जिनमें चित और पट बारी-बारी से आते हैं,वे $HTH$ और $THT$ हैं।
अनुकूल परिणामों की संख्या $n(E) = 2$ है।
अतः,अभीष्ट प्रायिकता $P(E) = \frac{n(E)}{n(S)} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$ है।

(A) एक निश्चित घटना वह घटना है जिसका होना तय है,इसलिए $P(A) = 1$ है।
पूरक घटना के नियम के अनुसार,$P(\text{not } A) = 1 - P(A)$ होता है।
मान रखने पर,$P(\text{not } A) = 1 - 1 = 0$ प्राप्त होता है।
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(D) प्रथम दस प्राकृतिक संख्याएँ $\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\}$ हैं।
कुल परिणामों की संख्या $= 10$.
इस समुच्चय में विषम और पूर्ण वर्ग संख्याएँ $\{1, 9\}$ हैं।
अनुकूल परिणामों की संख्या $= 2$.
अतः,अभीष्ट प्रायिकता $= \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$.

(D) जब दो पासे फेंके जाते हैं,तो पहले पासे पर $5$ आने वाले कुल परिणाम $6$ हैं। ये परिणाम $(5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6)$ हैं।
हम उन परिणामों की तलाश कर रहे हैं जहाँ संख्याओं का योग $8$ या उससे अधिक हो।
दिए गए परिणामों के लिए योग इस प्रकार है:
$(5, 1) \rightarrow 6$
$(5, 2) \rightarrow 7$
$(5, 3) \rightarrow 8$
$(5, 4) \rightarrow 9$
$(5, 5) \rightarrow 10$
$(5, 6) \rightarrow 11$
अनुकूल परिणाम $(5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6)$ हैं,जो कुल $4$ हैं।
आवश्यक प्रायिकता $\frac{\text{अनुकूल परिणामों की संख्या}}{\text{कुल परिणाम}} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$ है।

(A) ताश की गड्डी में कुल पत्तों की संख्या $= 52$।
इक्कों की संख्या $= 4$।
राजाओं की संख्या $= 4$।
कुल पत्ते जो या तो इक्का हैं या राजा $= 4 + 4 = 8$।
वे पत्ते जो न तो इक्का हैं और न ही राजा $= 52 - 8 = 44$।
अभीष्ट प्रायिकता $= \frac{44}{52} = \frac{11}{13}$।

(C) एक घटना $A$ स्वयं से स्वतंत्र है यदि और केवल यदि $P(A \cap A) = P(A) \cdot P(A)$ हो।
चूंकि $A \cap A = A$,इसलिए स्थिति $P(A) = P(A)^2$ बन जाती है।
समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $P(A)^2 - P(A) = 0$ प्राप्त होता है।
गुणनखंड करने पर $P(A)(P(A) - 1) = 0$ मिलता है।
अतः,$P(A) = 0$ या $P(A) = 1$।

(A) गड्डी में कुल पत्तों की संख्या = $52$ है।
डेक में पान का $2$ और ईंट का $2$ केवल एक-एक होता है।
अनुकूल परिणामों की संख्या = $1 + 1 = 2$ है।
आवश्यक प्रायिकता = $\frac{\text{अनुकूल परिणामों की संख्या}}{\text{कुल परिणामों की संख्या}} = \frac{2}{52} = \frac{1}{26}$।

(B) माना $H$ पति के चयन की घटना है और $W$ पत्नी के चयन की घटना है।
दिया गया है $P(H) = \frac{1}{7}$ और $P(W) = \frac{1}{5}$।
पति के चयन न होने की प्रायिकता $P(H') = 1 - \frac{1}{7} = \frac{6}{7}$ है।
पत्नी के चयन न होने की प्रायिकता $P(W') = 1 - \frac{1}{5} = \frac{4}{5}$ है।
केवल पति के चयन होने की प्रायिकता $P(H \cap W') = P(H) \times P(W') = \frac{1}{7} \times \frac{4}{5} = \frac{4}{35}$ है।
केवल पत्नी के चयन होने की प्रायिकता $P(W \cap H') = P(W) \times P(H') = \frac{1}{5} \times \frac{6}{7} = \frac{6}{35}$ है।
चूंकि ये घटनाएं परस्पर अपवर्जी हैं,इसलिए केवल एक के चयन होने की प्रायिकता $P(H \cap W') + P(W \cap H') = \frac{4}{35} + \frac{6}{35} = \frac{10}{35} = \frac{2}{7}$ है।

(B) माना $P(A) = \frac{1}{3}, P(B) = \frac{2}{7}, P(C) = \frac{3}{8}$.
अतः समस्या हल न करने की प्रायिकता $P(A') = \frac{2}{3}, P(B') = \frac{5}{7},$ और $P(C') = \frac{5}{8}$ है।
केवल एक व्यक्ति द्वारा समस्या हल करने की प्रायिकता $= P(A)P(B')P(C') + P(A')P(B)P(C') + P(A')P(B')P(C)$
$= (\frac{1}{3} \times \frac{5}{7} \times \frac{5}{8}) + (\frac{2}{3} \times \frac{2}{7} \times \frac{5}{8}) + (\frac{2}{3} \times \frac{5}{7} \times \frac{3}{8})$
$= \frac{25}{168} + \frac{20}{168} + \frac{30}{168} = \frac{75}{168} = \frac{25}{56}$.

(A) जब दो पासे फेंके जाते हैं,तो कुल संभावित परिणामों की संख्या $6 \times 6 = 36$ होती है।
$7$ का योग देने वाले परिणाम: $\{(6, 1), (5, 2), (4, 3), (3, 4), (2, 5), (1, 6)\}$ हैं। ऐसे $6$ परिणाम हैं।
$9$ का योग देने वाले परिणाम: $\{(6, 3), (5, 4), (4, 5), (3, 6)\}$ हैं। ऐसे $4$ परिणाम हैं।
चूंकि ये घटनाएं परस्पर अपवर्जी हैं,इसलिए अनुकूल परिणामों की कुल संख्या $6 + 4 = 10$ है।
अपेक्षित प्रायिकता $\frac{10}{36} = \frac{5}{18}$ है।

(A) माना $P(A) = \frac{1}{2}$,$P(B) = \frac{1}{3}$,और $P(C) = \frac{1}{4}$ लक्ष्य को भेदने की प्रायिकताएँ हैं।
अतः,लक्ष्य से चूकने की प्रायिकताएँ $P(\bar{A}) = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$,$P(\bar{B}) = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$,और $P(\bar{C}) = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$ हैं।
केवल एक व्यक्ति के लक्ष्य को भेदने की प्रायिकता इस प्रकार है:
$P = P(A)P(\bar{B})P(\bar{C}) + P(\bar{A})P(B)P(\bar{C}) + P(\bar{A})P(\bar{B})P(C)$
$P = (\frac{1}{2} \times \frac{2}{3} \times \frac{3}{4}) + (\frac{1}{2} \times \frac{1}{3} \times \frac{3}{4}) + (\frac{1}{2} \times \frac{2}{3} \times \frac{1}{4})$
$P = \frac{6}{24} + \frac{3}{24} + \frac{2}{24} = \frac{11}{24}$.

(D) कुल गेंदों की संख्या = $3 + 3 + 2 = 8$.
माना $R_3$ वह घटना है कि तीसरी निकाली गई गेंद लाल है।
प्रायिकता में समरूपता के सिद्धांत के अनुसार,बिना प्रतिस्थापन के किसी भी स्थान (प्रथम,द्वितीय या तृतीय) पर लाल गेंद निकालने की प्रायिकता थैले में लाल गेंदों के प्रारंभिक अनुपात के बराबर होती है।
$P(R_3) = \frac{\text{लाल गेंदों की संख्या}}{\text{कुल गेंदों की संख्या}} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$.

(B) जब दो पासे फेंके जाते हैं,तो कुल संभावित परिणामों की संख्या $6 \times 6 = 36$ होती है।
$8$ का योग प्राप्त करने वाले परिणाम हैं: $(2, 6), (3, 5), (4, 4), (5, 3), (6, 2)$।
अनुकूल परिणामों की संख्या $5$ है।
अतः,अभीष्ट प्रायिकता $\frac{\text{अनुकूल परिणामों की संख्या}}{\text{कुल परिणामों की संख्या}} = \frac{5}{36}$ है।

(B) किसी भी घटना $A$ के लिए,घटना $\bar{A}$,$A$ की पूरक घटना को दर्शाती है।
चूंकि किसी घटना और उसकी पूरक घटना की प्रायिकता का योग हमेशा $1$ होता है,इसलिए $P(A) + P(\bar{A}) = 1$ होता है।
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(C) कुल कार्डों की संख्या = $100$.
$1$ से $100$ के बीच पूर्ण वर्ग संख्याएँ हैं: $1^2=1, 2^2=4, 3^2=9, 4^2=16, 5^2=25, 6^2=36, 7^2=49, 8^2=64, 9^2=81, 10^2=100$.
अनुकूल परिणामों की संख्या = $10$.
प्रायिकता = $\frac{\text{अनुकूल परिणामों की संख्या}}{\text{कुल परिणामों की संख्या}} = \frac{10}{100} = \frac{1}{10}$.

(C) घटना $A_i$ के घटित न होने की प्रायिकता $P(A_i^c) = 1 - P(A_i) = 1 - \frac{1}{i + 1} = \frac{i}{i + 1}$ है।
चूंकि घटनाएं स्वतंत्र हैं,इसलिए कोई भी घटना न होने की प्रायिकता उनके व्यक्तिगत न होने की प्रायिकताओं का गुणनफल है:
$P(\text{कोई नहीं}) = P(A_1^c) \times P(A_2^c) \times \dots \times P(A_n^c)$
$= \left( \frac{1}{2} \right) \times \left( \frac{2}{3} \right) \times \left( \frac{3}{4} \right) \times \dots \times \left( \frac{n}{n + 1} \right)$
$= \frac{1 \times 2 \times 3 \times \dots \times n}{2 \times 3 \times 4 \times \dots \times (n + 1)}$
$= \frac{1}{n + 1}$.

(D) माना $P(T)$ कक्षा में टेस्ट होने की प्रायिकता है,जहाँ $P(T) = 1/5$ है। टेस्ट न होने की प्रायिकता $P(T') = 1 - 1/5 = 4/5$ है।
छात्र $2$ कक्षाओं के लिए अनुपस्थित है। माना $T_1$ और $T_2$ क्रमशः पहली और दूसरी कक्षा में टेस्ट होने की घटनाएँ हैं।
छात्र कम से कम एक टेस्ट तब छोड़ता है यदि पहली कक्षा,दूसरी कक्षा,या दोनों में टेस्ट होता है।
यह उस घटना का पूरक है जिसमें दोनों कक्षाओं में से किसी में भी टेस्ट नहीं होता है।
दोनों कक्षाओं में टेस्ट न होने की प्रायिकता $P(\text{No test}) = P(T_1') \times P(T_2') = (4/5) \times (4/5) = 16/25$ है।
कम से कम एक टेस्ट छूटने की प्रायिकता $= 1 - P(\text{No test}) = 1 - 16/25 = 9/25$ है।

(C) जब दो पासे फेंके जाते हैं,तो कुल संभावित परिणामों की संख्या $6 \times 6 = 36$ होती है।
$3$ का योग प्राप्त करने के लिए अनुकूल परिणाम: $(1, 2), (2, 1)$ (कुल $2$ मामले)।
$5$ का योग प्राप्त करने के लिए अनुकूल परिणाम: $(1, 4), (2, 3), (3, 2), (4, 1)$ (कुल $4$ मामले)।
$11$ का योग प्राप्त करने के लिए अनुकूल परिणाम: $(5, 6), (6, 5)$ (कुल $2$ मामले)।
कुल अनुकूल परिणाम $= 2 + 4 + 2 = 8$।
आवश्यक प्रायिकता $= \frac{\text{अनुकूल परिणाम}}{\text{कुल परिणाम}} = \frac{8}{36} = \frac{2}{9}$।

(B) ताश की गड्डी में कुल पत्तों की संख्या $= 52$.
राजाओं की संख्या $= 4$.
रानियों की संख्या $= 4$.
चूंकि घटनाएं परस्पर अपवर्जी हैं,इसलिए राजा या रानी प्राप्त करने की प्रायिकता उनकी व्यक्तिगत प्रायिकताओं का योग है।
$P(\text{राजा}) = \frac{4}{52} = \frac{1}{13}$.
$P(\text{रानी}) = \frac{4}{52} = \frac{1}{13}$.
$P(\text{राजा या रानी}) = P(\text{राजा}) + P(\text{रानी}) = \frac{1}{13} + \frac{1}{13} = \frac{2}{13}$.

(D) मान लीजिए $A, B, C$ क्रमशः $I, II$ और $III$ डिवीजन प्राप्त करने की घटनाएँ हैं,और $D$ परीक्षा में अनुत्तीर्ण होने की घटना है।
चूँकि ये घटनाएँ परस्पर अपवर्जी और निशेष हैं,इसलिए उनकी प्रायिकताओं का योग $1$ होगा।
$P(A) = \frac{1}{10}, P(B) = \frac{3}{5}, P(C) = \frac{1}{4}$.
$P(A) + P(B) + P(C) + P(D) = 1$
$\frac{1}{10} + \frac{3}{5} + \frac{1}{4} + P(D) = 1$
भिन्नों को जोड़ने के लिए $10, 5, 4$ का लघुत्तम समापवर्त्य $20$ है।
$\frac{2}{20} + \frac{12}{20} + \frac{5}{20} + P(D) = 1$
$\frac{19}{20} + P(D) = 1$
$P(D) = 1 - \frac{19}{20} = \frac{1}{20}$.
अतः,सही उत्तर $D$ (इनमें से कोई नहीं) है।

(A) जब दो पासे फेंके जाते हैं,तो कुल संभावित परिणामों की संख्या $6 \times 6 = 36$ होती है।
मान लीजिए $E$ वह घटना है कि कम से कम एक पासे पर $6$ आता है।
वे परिणाम जिनमें कम से कम एक पासे पर $6$ आता है: $(6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6), (1, 6), (2, 6), (3, 6), (4, 6), (5, 6)$ हैं।
अनुकूल परिणामों की संख्या $11$ है।
अतः,प्रायिकता $P(E) = \frac{\text{अनुकूल परिणामों की संख्या}}{\text{कुल परिणामों की संख्या}} = \frac{11}{36}$।

(A) सिक्के का प्रत्येक उछाल एक स्वतंत्र घटना है।
पांचवें उछाल में हेड (head) आने की घटना पहले चार उछालों के परिणामों पर निर्भर नहीं करती है।
अतः,पांचवें उछाल में हेड आने की प्रायिकता $P(\text{Head}) = \frac{1}{2}$ है।

(B) वर्ग का अंतिम अंक केवल पूर्णांक के अंतिम अंक पर निर्भर करता है।
माना पूर्णांक का अंतिम अंक $x \in \{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$ है।
इन अंकों के वर्ग का अंतिम अंक इस प्रकार है:
$0^2 \to 0, 1^2 \to 1, 2^2 \to 4, 3^2 \to 9, 4^2 \to 6, 5^2 \to 5, 6^2 \to 6, 7^2 \to 9, 8^2 \to 4, 9^2 \to 1$.
यदि पूर्णांक का अंतिम अंक $1$ या $9$ है,तो वर्ग का अंतिम अंक $1$ होता है।
यदि पूर्णांक का अंतिम अंक $5$ है,तो वर्ग का अंतिम अंक $5$ होता है।
अतः,$10$ संभावित अंकों में से $3$ अनुकूल परिणाम हैं।
अभीष्ट प्रायिकता $= \frac{3}{10}$.

(B) मान लीजिए कि दो पूर्णांक $x$ और $y$ हैं। प्रत्येक पूर्णांक सम $(E)$ या विषम $(O)$ हो सकता है।
युग्म $(x, y)$ के लिए $4$ संभावित परिणाम हैं: $(E, E), (E, O), (O, E), (O, O)$।
प्रत्येक परिणाम की प्रायिकता $\frac{1}{4}$ है।
$1$. यदि दोनों सम हैं $(E, E)$,तो गुणनफल सम होता है।
$2$. यदि एक सम और एक विषम है $(E, O)$ या $(O, E)$,तो गुणनफल सम होता है।
$3$. यदि दोनों विषम हैं $(O, O)$,तो गुणनफल विषम होता है।
सम गुणनफल देने वाले परिणाम $(E, E), (E, O), (O, E)$ हैं।
अतः,अभीष्ट प्रायिकता $\frac{3}{4}$ है।

(B) मान लीजिए $P(K)$ फलक $K$ प्राप्त करने की प्रायिकता है। चूँकि $P(K) \propto K$,हमारे पास $P(K) = cK$ है,जहाँ $c$ एक स्थिरांक है।
सभी प्रायिकताओं का योग $1$ होना चाहिए,इसलिए $\sum_{K=1}^{6} cK = 1$ है।
$c(1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) = 1 \implies 21c = 1 \implies c = \frac{1}{21}$ है।
सम संख्याएँ $2, 4, 6$ हैं।
सम संख्या प्राप्त करने की प्रायिकता $P(2) + P(4) + P(6) = c(2 + 4 + 6) = 12c$ है।
$c = \frac{1}{21}$ रखने पर,हमें $\frac{12}{21} = \frac{4}{7}$ प्राप्त होता है।

(C) एक पासा फेंकने के लिए प्रतिदर्श समष्टि $S = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ है।
कुल परिणामों की संख्या $n(S) = 6$ है।
पासे पर सम संख्याएँ $\{2, 4, 6\}$ हैं।
अनुकूल परिणामों की संख्या $n(E) = 3$ है।
प्रायिकता $P(E) = \frac{n(E)}{n(S)} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$।

(D) जब तीन सिक्कों को उछाला जाता है,तो कुल संभावित परिणामों की संख्या $2^3 = 8$ होती है।
प्रतिदर्श समष्टि $S = \{HHH, HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH, TTT\}$ है।
मान लीजिए $E$ कम से कम एक चित प्राप्त करने की घटना है।
पूरक घटना $E'$ कोई भी चित न प्राप्त करने की घटना है,जिसका अर्थ है कि सभी पट (tails) प्राप्त होते हैं।
$E' = \{TTT\}$,इसलिए $n(E') = 1$ है।
कोई भी चित न प्राप्त करने की प्रायिकता $P(E') = \frac{n(E')}{n(S)} = \frac{1}{8}$ है।
कम से कम एक चित प्राप्त करने की प्रायिकता $P(E) = 1 - P(E') = 1 - \frac{1}{8} = \frac{7}{8}$ है।

(C) दो पासे फेंकने पर कुल परिणामों की संख्या $6 \times 6 = 36$ है।
अनुकूल परिणाम जहाँ पहले पासे पर $1$ आता है,वे हैं: $(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6)$।
अनुकूल परिणामों की संख्या $6$ है।
अतः,अभीष्ट प्रायिकता $\frac{6}{36} = \frac{1}{6}$ है।

(C) गुणनफल का अंतिम अंक केवल व्यक्तिगत संख्याओं के अंतिम अंकों पर निर्भर करता है।
किसी भी एक संख्या के लिए,संभावित अंतिम अंक $\{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$ हैं,इसलिए $10$ संभावनाएँ हैं।
चार संख्याओं के गुणनफल का अंतिम अंक $1, 3, 5$ या $7$ प्राप्त करने के लिए,यह आवश्यक है कि चारों संख्याओं का अंतिम अंक $\{1, 3, 5, 7\}$ समुच्चय से हो।
एक संख्या का अंतिम अंक $\{1, 3, 5, 7\}$ में होने की प्रायिकता $P = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$ है।
चूंकि चार संख्याएँ स्वतंत्र रूप से चुनी जाती हैं,इसलिए चारों का अंतिम अंक $\{1, 3, 5, 7\}$ में होने की प्रायिकता $\left(\frac{2}{5}\right)^4 = \frac{16}{625}$ है।

(A) मान लीजिए $P(A), P(B),$ और $P(C)$ क्रमशः छात्रों $A, B,$ और $C$ द्वारा समस्या को हल करने की प्रायिकताएँ हैं।
$P(A) = \frac{1}{2}, P(B) = \frac{1}{3}, P(C) = \frac{1}{4}$.
$A$ द्वारा समस्या हल न होने की प्रायिकता $P(A') = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$ है।
$B$ द्वारा समस्या हल न होने की प्रायिकता $P(B') = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$ है।
$C$ द्वारा समस्या हल न होने की प्रायिकता $P(C') = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$ है।
किसी के द्वारा भी समस्या हल न होने की प्रायिकता $P(\text{none}) = P(A') \times P(B') \times P(C') = \frac{1}{2} \times \frac{2}{3} \times \frac{3}{4} = \frac{6}{24} = \frac{1}{4}$ है।
समस्या के हल होने की प्रायिकता $P(\text{solved}) = 1 - P(\text{none}) = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$ है।

(B) $2$ पासे फेंकने पर कुल परिणामों की संख्या $6 \times 6 = 36$ है।
डबलेट तब प्राप्त होता है जब दोनों पासों पर समान अंक आते हैं।
अनुकूल परिणाम $(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (6, 6)$ हैं।
अनुकूल परिणामों की संख्या $= 6$.
प्रायिकता $= \frac{\text{अनुकूल परिणामों की संख्या}}{\text{कुल परिणामों की संख्या}} = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$.

(D) $2$ पासे फेंकने पर कुल परिणामों की संख्या $6 \times 6 = 36$ है।
योग $7$ प्राप्त करने के लिए अनुकूल परिणाम $(1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2), (6, 1)$ हैं,जो $6$ परिणाम हैं।
योग $12$ प्राप्त करने के लिए अनुकूल परिणाम केवल $(6, 6)$ है,जो $1$ परिणाम है।
अतः,कुल प्रायिकता $\frac{6}{36} + \frac{1}{36} = \frac{7}{36}$ है।

(B) एक लीप वर्ष में $366$ दिन होते हैं,जो $52$ सप्ताह और $2$ अतिरिक्त दिनों के बराबर है।
$52$ सप्ताहों में निश्चित रूप से $52$ रविवार होते हैं।
शेष $2$ दिनों के लिए संभावित संयोजन इस प्रकार हैं:
$(i)$ रविवार और सोमवार,$(ii)$ सोमवार और मंगलवार,$(iii)$ मंगलवार और बुधवार,$(iv)$ बुधवार और गुरुवार,$(v)$ गुरुवार और शुक्रवार,$(vi)$ शुक्रवार और शनिवार,$(vii)$ शनिवार और रविवार।
शेष $2$ दिनों के लिए कुल $7$ संभावित परिणाम हैं।
वर्ष में $53$ रविवार होने के लिए,शेष दो दिनों में से एक रविवार होना चाहिए।
यह $2$ स्थितियों में संभव है: $(i)$ रविवार और सोमवार,और $(vii)$ शनिवार और रविवार।
अतः,अभीष्ट प्रायिकता $\frac{2}{7}$ है।

(C) पहले बॉक्स में पेनों की कुल संख्या = $4 + 2 = 6$ है।
दूसरे बॉक्स में पेनों की कुल संख्या = $3 + 5 = 8$ है।
पहले बॉक्स से सफेद पेन चुनने की प्रायिकता = $\frac{4}{6} = \frac{2}{3}$ है।
दूसरे बॉक्स से सफेद पेन चुनने की प्रायिकता = $\frac{3}{8}$ है।
चूंकि घटनाएं स्वतंत्र हैं,इसलिए दोनों पेन के सफेद होने की प्रायिकता = $\frac{2}{3} \times \frac{3}{8} = \frac{6}{24} = \frac{1}{4}$ है।

(B) माना $A$ पहला थैला है और $B$ दूसरा थैला है।
थैले $A$ के लिए: $P(\text{लाल}) = \frac{3}{8}$,$P(\text{काली}) = \frac{5}{8}$.
थैले $B$ के लिए: $P(\text{लाल}) = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$,$P(\text{काली}) = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$.
यह घटना कि एक गेंद लाल और दूसरी काली हो,दो तरीकों से हो सकती है:
$1$. थैले $A$ से लाल और थैले $B$ से काली।
$2$. थैले $A$ से काली और थैले $B$ से लाल।
अभीष्ट प्रायिकता $= (P(\text{लाल}_A) \times P(\text{काली}_B)) + (P(\text{काली}_A) \times P(\text{लाल}_B))$
$= (\frac{3}{8} \times \frac{4}{10}) + (\frac{5}{8} \times \frac{6}{10})$
$= \frac{12}{80} + \frac{30}{80} = \frac{42}{80} = \frac{21}{40}$.

(C) जब चार सिक्के उछाले जाते हैं,तो कुल परिणामों की संख्या $2^4 = 16$ होती है।
'कम से कम एक चित' आने की घटना,'कोई चित न आने' की घटना की पूरक घटना है।
कोई चित न आने (अर्थात सभी पट आने) की प्रायिकता $P(\text{no head}) = (1/2)^4 = 1/16$ है।
अतः,कम से कम एक चित आने की प्रायिकता $1 - P(\text{no head}) = 1 - 1/16 = 15/16$ है।

(C) माना $P(X)$ वह प्रायिकता है कि $X$ सच बोलता है और $P(Y)$ वह प्रायिकता है कि $Y$ सच बोलता है।
दिया गया है $P(X) = 60\% = \frac{3}{5}$ और $P(Y) = 50\% = \frac{1}{2}$.
तब $P(\bar{X}) = 1 - \frac{3}{5} = \frac{2}{5}$ और $P(\bar{Y}) = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$.
वे एक-दूसरे का खंडन तब करते हैं जब एक सच बोलता है और दूसरा झूठ बोलता है।
आवश्यक प्रायिकता $= P(X) \cdot P(\bar{Y}) + P(\bar{X}) \cdot P(Y)$
$= (\frac{3}{5} \cdot \frac{1}{2}) + (\frac{2}{5} \cdot \frac{1}{2})$
$= \frac{3}{10} + \frac{2}{10} = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}$.

(A) मान लीजिए कि $A$ और $B$ वे घटनाएं हैं जिनमें समस्या क्रमशः पहले और दूसरे छात्र द्वारा हल की जाती है।
दिया गया है $P(A) = \frac{1}{2}$ और $P(B) = \frac{1}{3}$।
समस्या के किसी भी छात्र द्वारा हल न होने की प्रायिकता $P(A^c \cap B^c) = P(A^c) \times P(B^c)$ है।
$P(A^c) = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$।
$P(B^c) = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$।
अतः,$P(A^c \cap B^c) = \frac{1}{2} \times \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$।
समस्या के हल होने की प्रायिकता $P(A \cup B) = 1 - P(A^c \cap B^c) = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$ है।

(D) थैले में गेंदों की कुल संख्या $= 3 + 7 = 10$ है।
मान लीजिए $E$ एक ऐसी गेंद निकालने की घटना है जो या तो सफेद है या लाल।
चूंकि थैले में सभी गेंदें या तो सफेद हैं या लाल,इसलिए यह एक निश्चित घटना है।
अनुकूल परिणामों की संख्या $= 3 + 7 = 10$ है।
कुल संभावित परिणामों की संख्या $= 10$ है।
इसलिए,प्रायिकता $P(E) = \frac{\text{अनुकूल परिणामों की संख्या}}{\text{कुल परिणामों की संख्या}} = \frac{10}{10} = 1$।

(B) सफेद गेंदों की कुल संख्या = $3$.
काली गेंदों की कुल संख्या = $5$.
गेंदों की कुल संख्या = $3 + 5 = 8$.
काली गेंद निकालने की प्रायिकता काली गेंदों की संख्या और कुल गेंदों की संख्या का अनुपात है।
अभीष्ट प्रायिकता = $\frac{\text{काली गेंदों की संख्या}}{\text{कुल गेंदों की संख्या}} = \frac{5}{8}$.

(A) पेंसिलों की कुल संख्या $= 12 + 6 + 2 = 20$ है।
अच्छी (दोषरहित) पेंसिलों की संख्या $= 12$ है।
चुनी गई पेंसिल के दोषपूर्ण न होने की प्रायिकता अच्छी पेंसिलों की संख्या और कुल पेंसिलों की संख्या का अनुपात है।
अभीष्ट प्रायिकता $= \frac{12}{20} = \frac{3}{5}$।

(A) दिया गया है $P(A \cup B) = \frac{5}{6}$,$P(A \cap B) = \frac{1}{3}$,और $P(\bar{A}) = \frac{1}{2}$.
$P(A) = 1 - P(\bar{A}) = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$.
योग प्रमेय का उपयोग करते हुए: $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$.
$\frac{5}{6} = \frac{1}{2} + P(B) - \frac{1}{3}$.
$\frac{5}{6} = \frac{1}{6} + P(B) \Rightarrow P(B) = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$.
अब,स्वतंत्रता की जाँच करें: $P(A) \times P(B) = \frac{1}{2} \times \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$.
चूँकि $P(A \cap B) = P(A) \times P(B) = \frac{1}{3}$,इसलिए घटनाएँ $A$ और $B$ स्वतंत्र हैं।

(A) हम जानते हैं कि घटना $A$ को दो परस्पर अपवर्जी घटनाओं के संघ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है: $A = (A \cap B) \cup (A \cap \bar{B})$.
प्रायिकता के योग प्रमेय के अनुसार,चूंकि ये घटनाएँ परस्पर अपवर्जी हैं,इसलिए $P(A) = P(A \cap B) + P(A \cap \bar{B})$.
$P(A \cap \bar{B})$ के लिए सूत्र को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें प्राप्त होता है $P(A \cap \bar{B}) = P(A) - P(A \cap B)$.
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $P(A \cap \bar{B}) = 0.25 - 0.15 = 0.1$.

(B) घटना $A$ या $B$ में से ठीक एक घटना के घटित होने की प्रायिकता $A$ और $B$ के सममित अंतर $P(A \Delta B)$ द्वारा दी जाती है।
इसका अर्थ है कि $A$ घटित हो और $B$ न हो,या $B$ घटित हो और $A$ न हो:
$P(A \cap \bar{B}) + P(\bar{A} \cap B)$
गुणधर्म $P(A \cap \bar{B}) = P(A) - P(A \cap B)$ और $P(\bar{A} \cap B) = P(B) - P(A \cap B)$ का उपयोग करते हुए:
$= (P(A) - P(A \cap B)) + (P(B) - P(A \cap B))$
$= P(A) + P(B) - 2P(A \cap B)$.

(C) दिया गया है कि $P(A \cup B) = 0.6$ और $P(A \cap B) = 0.2$ है।
हम जानते हैं कि $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$ होता है।
चूंकि $P(A) = 1 - P(\bar{A})$ और $P(B) = 1 - P(\bar{B})$,हम इन्हें योग प्रमेय में प्रतिस्थापित कर सकते हैं:
$P(A \cup B) = (1 - P(\bar{A})) + (1 - P(\bar{B})) - P(A \cap B)$
$0.6 = 2 - (P(\bar{A}) + P(\bar{B})) - 0.2$
$0.6 = 1.8 - (P(\bar{A}) + P(\bar{B}))$
$P(\bar{A}) + P(\bar{B}) = 1.8 - 0.6 = 1.2$.

(A) माना $P(A)$ भौतिकी में अनुत्तीर्ण होने की प्रायिकता है और $P(B)$ गणित में अनुत्तीर्ण होने की प्रायिकता है।
$P(A) = \frac{20}{100} = 0.2$
$P(B) = \frac{10}{100} = 0.1$
चूंकि घटनाएं स्वतंत्र हैं,कम से कम एक विषय में अनुत्तीर्ण होने की प्रायिकता $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि घटनाएं स्वतंत्र हैं,$P(A \cap B) = P(A) \times P(B) = 0.2 \times 0.1 = 0.02$.
इसलिए,$P(A \cup B) = 0.2 + 0.1 - 0.02 = 0.28$.
प्रतिशत में बदलने पर,$0.28 \times 100 = 28\%$.

(B) माना $A$ के मरने की प्रायिकता $P(A) = p$ है,इसलिए $A$ के जीवित रहने की प्रायिकता $P(A') = 1 - p$ है।
माना $B$ के मरने की प्रायिकता $P(B) = q$ है,इसलिए $B$ के जीवित रहने की प्रायिकता $P(B') = 1 - q$ है।
हमें उस प्रायिकता को ज्ञात करना है कि वर्ष के अंत में उनमें से केवल एक जीवित रहे।
यह तब होता है यदि ($A$ जीवित है और $B$ मर जाता है) या ($B$ जीवित है और $A$ मर जाता है)।
अभीष्ट प्रायिकता $= P(A' \cap B) + P(B' \cap A)$
चूँकि घटनाएँ स्वतंत्र हैं,यह $P(A')P(B) + P(B')P(A)$ के बराबर है।
$= (1 - p)q + (1 - q)p$
$= q - pq + p - pq$
$= p + q - 2pq$.

(C) माना $P(A), P(B),$ और $P(C)$ एथलीट $A, B,$ और $C$ के जीतने की प्रायिकताएँ हैं।
दिया गया है कि $P(A) = 2P(C)$ और $P(B) = 2P(C)$.
चूंकि सभी परस्पर अनन्य परिणामों की प्रायिकताओं का योग $1$ होता है,इसलिए:
$P(A) + P(B) + P(C) = 1$
मान रखने पर:
$2P(C) + 2P(C) + P(C) = 1$
$5P(C) = 1 \Rightarrow P(C) = \frac{1}{5}$
अतः,$P(A) = \frac{2}{5}$ और $P(B) = \frac{2}{5}$.
दौड़ $A$ या $B$ द्वारा जीते जाने की प्रायिकता $P(A \cup B) = P(A) + P(B)$ है।
$P(A \cup B) = \frac{2}{5} + \frac{2}{5} = \frac{4}{5}$.

(B) डी मॉर्गन के नियम के अनुसार,$P(A' \cap B') = P((A \cup B)')$.
$P(A' \cap B') = 1 - P(A \cup B)$.
प्रायिकता के योग प्रमेय का उपयोग करते हुए,$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$.
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $P(A \cup B) = \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4}$.
$12$ का उभयनिष्ठ हर लेने पर: $P(A \cup B) = \frac{6}{12} + \frac{4}{12} - \frac{3}{12} = \frac{7}{12}$.
अतः,$P(A' \cap B') = 1 - \frac{7}{12} = \frac{5}{12}$.