Set Based probability Questions in Hindi

(C) दिया गया है कि $A$ और $B$ में से कम से कम एक के घटित होने की प्रायिकता $P(A \cup B) = 0.6$ है।
साथ ही,$A$ और $B$ के एक साथ घटित होने की प्रायिकता $P(A \cap B) = 0.3$ है।
हम जानते हैं कि $P(A \cup B) = 1 - P(A' \cap B')$,इसलिए $P(A' \cap B') = 1 - 0.6 = 0.4$।
डी मॉर्गन के नियम के अनुसार,$P(A' \cap B') = P((A \cup B)')$।
हमें $P(A') + P(B')$ ज्ञात करना है।
सूत्र $P(A' \cup B') = P(A') + P(B') - P(A' \cap B')$ का उपयोग करने पर:
$P(A' \cup B') = P((A \cap B)') = 1 - P(A \cap B) = 1 - 0.3 = 0.7$।
मान रखने पर:
$0.7 = P(A') + P(B') - 0.4$।
अतः,$P(A') + P(B') = 0.7 + 0.4 = 1.1$।

(C) समुच्चयों के वितरण नियम का उपयोग करते हुए,हमारे पास $A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C)$ है।
प्रायिकता के योग प्रमेय $P(X \cup Y) = P(X) + P(Y) - P(X \cap Y)$ को लागू करने पर,जहाँ $X = (A \cap B)$ और $Y = (A \cap C)$:
$P(A \cap (B \cup C)) = P((A \cap B) \cup (A \cap C))$
$= P(A \cap B) + P(A \cap C) - P((A \cap B) \cap (A \cap C))$
$= P(A \cap B) + P(A \cap C) - P(A \cap B \cap C)$.

(C) तीन घटनाओं $E_1, E_2, E_3$ के लिए:
$1.$ $P(\text{केवल एक घटित हो}) = P(E_1\bar{E}_2\bar{E}_3 + \bar{E}_1E_2\bar{E}_3 + \bar{E}_1\bar{E}_2E_3)$। विकल्प $(A)$ गलत है।
$2.$ $P(\text{कोई भी घटित न हो}) = P(\bar{E}_1 \cap \bar{E}_2 \cap \bar{E}_3) \neq P(\bar{E}_1 + \bar{E}_2 + \bar{E}_3)$। विकल्प $(B)$ गलत है।
$3.$ $P(\text{कम से कम एक घटित हो}) = P(E_1 \cup E_2 \cup E_3)$। यह घटनाओं के संघ (union) की परिभाषा है। विकल्प $(C)$ सही है।
$4.$ $P(\text{तीनों घटित हों}) = P(E_1 \cap E_2 \cap E_3) \neq P(E_1 + E_2 + E_3)$। विकल्प $(D)$ गलत है।
अतः,सही कथन $(C)$ है।

(C) हम जानते हैं कि घटना $\bar{A} \cap B$ घटना $B$ के घटित होने लेकिन घटना $A$ के घटित न होने को दर्शाती है।
इसे $P(\bar{A} \cap B) = P(B) - P(A \cap B)$ के रूप में लिखा जा सकता है।
दिया गया है कि $P(B) = y$ और $P(A \cap B) = z$,इन मानों को सूत्र में रखने पर।
अतः,$P(\bar{A} \cap B) = y - z$.

(A) माना $P(A) = \frac{1}{2}$,$P(B) = \frac{1}{4}$,और $P(C) = \frac{1}{6}$ तीन छात्रों द्वारा प्रश्न हल करने की प्रायिकताएं हैं।
प्रश्न तब हल होता है यदि कम से कम एक छात्र इसे हल कर ले। प्रश्न के हल होने की प्रायिकता $P(A \cup B \cup C) = 1 - P(\text{कोई भी हल न कर सके})$ है।
छात्र $A$ द्वारा प्रश्न न हल करने की प्रायिकता $P(\bar{A}) = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$ है।
छात्र $B$ द्वारा प्रश्न न हल करने की प्रायिकता $P(\bar{B}) = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$ है।
छात्र $C$ द्वारा प्रश्न न हल करने की प्रायिकता $P(\bar{C}) = 1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6}$ है।
चूंकि घटनाएं स्वतंत्र हैं,इसलिए किसी के भी द्वारा प्रश्न न हल करने की प्रायिकता $P(\bar{A}) \times P(\bar{B}) \times P(\bar{C}) = \frac{1}{2} \times \frac{3}{4} \times \frac{5}{6} = \frac{15}{48}$ है।
अतः,प्रश्न के हल होने की प्रायिकता $1 - \frac{15}{48} = \frac{48 - 15}{48} = \frac{33}{48}$ है।

(D) हम जानते हैं कि घटना $B$ को दो परस्पर अपवर्जी घटनाओं के संघ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है: $B = (B \cap A) \cup (B \cap \bar{A})$.
चूंकि ये घटनाएँ परस्पर अपवर्जी हैं,इसलिए $P(B) = P(B \cap A) + P(B \cap \bar{A})$ होता है।
$P(\bar{A} \cap B)$ के लिए पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $P(\bar{A} \cap B) = P(B) - P(A \cap B)$ प्राप्त होता है।

(C) दिया गया है कि $P(A \cup B) = 3/5$ और $P(A \cap B) = 1/5$.
हम जानते हैं कि $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$.
अतः,$P(A) + P(B) = P(A \cup B) + P(A \cap B) = 3/5 + 1/5 = 4/5$.
हमें $P(A') + P(B')$ ज्ञात करना है।
चूंकि $P(A') = 1 - P(A)$ और $P(B') = 1 - P(B)$,
$P(A') + P(B') = (1 - P(A)) + (1 - P(B)) = 2 - (P(A) + P(B))$.
$P(A) + P(B)$ का मान रखने पर,
$P(A') + P(B') = 2 - 4/5 = 6/5$.

(A) दिया गया है: $P(A \cup B) = 3/4,$ $P(A \cap B) = 1/4,$ और $P(\bar{A}) = 2/3.$
सबसे पहले,$P(A)$ ज्ञात करें:
$P(A) = 1 - P(\bar{A}) = 1 - 2/3 = 1/3.$
प्रायिकता के योग प्रमेय का उपयोग करते हुए: $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B).$
$3/4 = 1/3 + P(B) - 1/4.$
$P(B) = 3/4 + 1/4 - 1/3 = 1 - 1/3 = 2/3.$
अब,$P(\bar{A} \cap B)$ की गणना करें:
$P(\bar{A} \cap B) = P(B) - P(A \cap B).$
$P(\bar{A} \cap B) = 2/3 - 1/4 = (8 - 3)/12 = 5/12.$

(A) दिया गया है कि $P(A) = P(B) = x$ और $P(A \cap B) = \frac{1}{3}$.
साथ ही,$P(A' \cap B') = \frac{1}{3}$.
डी मॉर्गन के नियम के अनुसार,$P(A' \cap B') = P((A \cup B)') = 1 - P(A \cup B) = \frac{1}{3}$.
अतः,$P(A \cup B) = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$.
योग प्रमेय का उपयोग करने पर,$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$.
मान रखने पर,$\frac{2}{3} = x + x - \frac{1}{3}$.
$\frac{2}{3} + \frac{1}{3} = 2x$.
$1 = 2x \Rightarrow x = \frac{1}{2}$.

(A) दिया गया है $P(\overline{A \cup B}) = \frac{1}{6}$ और $P(A \cap B) = \frac{1}{4}$।
चूँकि $P(\bar{A}) = \frac{1}{4}$,इसलिए $P(A) = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$।
हम जानते हैं कि $P(\overline{A \cup B}) = 1 - P(A \cup B) = 1 - [P(A) + P(B) - P(A \cap B)]$।
मान रखने पर: $\frac{1}{6} = 1 - [\frac{3}{4} + P(B) - \frac{1}{4}] = 1 - [\frac{1}{2} + P(B)] = \frac{1}{2} - P(B)$।
अतः,$P(B) = \frac{1}{2} - \frac{1}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$।
अब,स्वतंत्रता की जाँच: $P(A) \times P(B) = \frac{3}{4} \times \frac{1}{3} = \frac{1}{4}$।
चूँकि $P(A \cap B) = P(A) \times P(B) = \frac{1}{4}$,घटनाएँ $A$ और $B$ स्वतंत्र हैं।
चूँकि $P(A) = \frac{3}{4}$ और $P(B) = \frac{1}{3}$,$P(A) \neq P(B)$,इसलिए वे समान रूप से संभावित नहीं हैं।
अतः,घटनाएँ $A$ और $B$ स्वतंत्र हैं लेकिन समान रूप से संभावित नहीं हैं।

(D) प्रत्येक अवयव $x \in S$ के लिए,$A$ और $B$ में उसकी सदस्यता के लिए $4$ संभावनाएं हैं:
$1$. $x \in A$ और $x \notin B$
$2$. $x \notin A$ और $x \in B$
$3$. $x \in A$ और $x \in B$
$4$. $x \notin A$ और $x \notin B$
चूंकि $n$ अवयव हैं,इसलिए दो उपसमुच्चय $A$ और $B$ चुनने के कुल तरीके $4^n = (2^2)^n = (2^n)^2$ हैं।
शर्त $A \cup B = S$ और $A \cap B = \phi$ को पूरा करने के लिए,प्रत्येक अवयव $x \in S$ के लिए,या तो ($x \in A$ और $x \notin B$) या ($x \notin A$ और $x \in B$) होना चाहिए।
इसका मतलब है कि प्रत्येक $n$ अवयवों के लिए,ठीक $2$ विकल्प हैं।
अतः,अनुकूल मामलों की संख्या $2^n$ है।
अभीष्ट प्रायिकता $\frac{2^n}{(2^n)^2} = \frac{2^n}{2^{2n}} = \frac{1}{2^n}$ है।

(B) दिया है $P(A') = 0.3$,इसलिए $P(A) = 1 - 0.3 = 0.7$.
दिया है $P(B) = 0.4$,इसलिए $P(B') = 1 - 0.4 = 0.6$.
दिया है $P(A \cap B') = 0.5$.
प्रायिकता के योग प्रमेय का उपयोग करते हुए,$P(A \cup B') = P(A) + P(B') - P(A \cap B')$.
मान रखने पर,$P(A \cup B') = 0.7 + 0.6 - 0.5 = 0.8$.

(A) जब एक सिक्के को $3$ बार उछाला जाता है,तो कुल परिणामों की संख्या $2^3 = 8$ होती है।
प्रतिदर्श समष्टि $S = \{HHH, HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH, TTT\}$ है।
ठीक दो चित वाले परिणाम $\{HHT, HTH, THH\}$ हैं।
अनुकूल परिणामों की संख्या $3$ है।
अतः,ठीक दो चित प्राप्त करने की प्रायिकता $\frac{\text{अनुकूल परिणामों की संख्या}}{\text{कुल परिणामों की संख्या}} = \frac{3}{8}$ है।

(C) जब एक सिक्के को $3$ बार उछाला जाता है,तो कुल परिणामों की संख्या $2^3 = 8$ होती है।
प्रतिदर्श समष्टि $S = \{HHH, HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH, TTT\}$ है।
'कम से कम दो चित' का अर्थ है $2$ चित या $3$ चित प्राप्त करना।
अनुकूल परिणाम $\{HHH, HHT, HTH, THH\}$ हैं।
अनुकूल परिणामों की संख्या $4$ है।
अतः,अभीष्ट प्रायिकता $\frac{4}{8} = \frac{1}{2}$ है।

(A) चूंकि $\frac{1 + 3p}{3}, \frac{1 - p}{4}$ और $\frac{1 - 2p}{2}$ तीन घटनाओं की प्रायिकताएं हैं,प्रत्येक प्रायिकता को $[0, 1]$ अंतराल में होना चाहिए।
$1$) $0 \le \frac{1 + 3p}{3} \le 1 \Rightarrow 0 \le 1 + 3p \le 3 \Rightarrow -1 \le 3p \le 2 \Rightarrow -\frac{1}{3} \le p \le \frac{2}{3}$
$2$) $0 \le \frac{1 - p}{4} \le 1 \Rightarrow 0 \le 1 - p \le 4 \Rightarrow -1 \le -p \le 3 \Rightarrow -3 \le p \le 1$
$3$) $0 \le \frac{1 - 2p}{2} \le 1 \Rightarrow 0 \le 1 - 2p \le 2 \Rightarrow -1 \le -2p \le 1 \Rightarrow -\frac{1}{2} \le p \le \frac{1}{2}$
परस्पर अपवर्जी घटनाओं के लिए,प्रायिकताओं का योग $\le 1$ होना चाहिए:
$\frac{1 + 3p}{3} + \frac{1 - p}{4} + \frac{1 - 2p}{2} \le 1$
$12$ से गुणा करने पर: $4(1 + 3p) + 3(1 - p) + 6(1 - 2p) \le 12$
$4 + 12p + 3 - 3p + 6 - 12p \le 12$
$13 - 3p \le 12 \Rightarrow -3p \le -1 \Rightarrow p \ge \frac{1}{3}$
सभी शर्तों का प्रतिच्छेदन लेने पर:
$p \in [-\frac{1}{3}, \frac{2}{3}] \cap [-3, 1] \cap [-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}] \cap [\frac{1}{3}, \infty)$
प्रतिच्छेदन $\frac{1}{3} \le p \le \frac{1}{2}$ प्राप्त होता है।

(A) $n$ अवयवों वाले समुच्चय $X$ के कुल उपसमुच्चयों की संख्या $2^n$ है।
चूंकि दो उपसमुच्चय $A$ और $B$ चुने जाते हैं,इसलिए $(A, B)$ के युग्म को चुनने के कुल तरीके $2^n \times 2^n = 2^{2n}$ हैं।
$A$ और $B$ में अवयवों की संख्या समान होने के लिए,मान लीजिए यह संख्या $r$ है,जहाँ $0 \le r \le n$ है।
$r$ अवयवों वाला उपसमुच्चय चुनने के तरीके $^nC_r$ हैं।
अतः,$A$ और $B$ को इस प्रकार चुनने के तरीके कि $|A| = |B| = r$ हो,$(^nC_r)^2$ हैं।
अनुकूल परिणामों की कुल संख्या $\sum_{r=0}^{n} (^nC_r)^2$ है।
सर्वसमिका $\sum_{r=0}^{n} (^nC_r)^2 = ^{2n}C_n$ का उपयोग करते हुए,अनुकूल तरीकों की कुल संख्या $^{2n}C_n$ है।
अतः,अभीष्ट प्रायिकता $\frac{^{2n}C_n}{2^{2n}}$ है।

(B) दिया गया है कि $P(A) = 0.5$ और $P(B) = 0.3$ है।
चूंकि $A$ और $B$ परस्पर अपवर्जी घटनाएँ हैं,इसलिए $P(A \cap B) = 0$ है।
न तो $A$ और न ही $B$ के होने की प्रायिकता $P(\overline{A} \cap \overline{B})$ है।
डी मॉर्गन के नियम के अनुसार,$P(\overline{A} \cap \overline{B}) = P(\overline{A \cup B}) = 1 - P(A \cup B)$ है।
परस्पर अपवर्जी घटनाओं के लिए,$P(A \cup B) = P(A) + P(B) = 0.5 + 0.3 = 0.8$ है।
अतः,अभीष्ट प्रायिकता $1 - 0.8 = 0.2$ है।

(A) मान लीजिए $X_1, X_2, X_3, X_4$ चार उछालों के परिणाम हैं।
हम चाहते हैं कि प्रत्येक $i = 1, 2, 3, 4$ के लिए $2 \le X_i \le 5$ हो।
प्रत्येक उछाल के लिए,कुल संभव परिणाम $\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ हैं,इसलिए कुल $6$ परिणाम हैं।
प्रत्येक उछाल के लिए अनुकूल परिणाम $\{2, 3, 4, 5\}$ हैं,जो $4$ अनुकूल परिणाम देते हैं।
एक उछाल में $2$ और $5$ के बीच मान प्राप्त करने की प्रायिकता $p = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$ है।
चूंकि चारों उछाल स्वतंत्र हैं,इसलिए चारों उछालों में $2$ और $5$ के बीच मान प्राप्त करने की प्रायिकता $p^4 = (\frac{2}{3})^4 = \frac{16}{81}$ है।

(A) $4$ उछालों में एक भी चित न आने की प्रायिकता:
$P(\text{no tail}) = (1/2) \times (1/2) \times (1/2) \times (1/2) = 1/16$.
कम से कम एक चित आने की प्रायिकता:
$P(\text{at least one tail}) = 1 - 1/16 = 15/16$.

(C) माना कि दो पूर्णांक $x$ और $y$ हैं। $(x, y)$ के लिए संभावित समता संयोजन (सम,सम),(सम,विषम),(विषम,सम),और (विषम,विषम) हैं।
प्रत्येक संयोजन की प्रायिकता $1/4$ है।
$1$. (सम,सम): गुणनफल सम है।
$2$. (सम,विषम): गुणनफल सम है।
$3$. (विषम,सम): गुणनफल सम है।
$4$. (विषम,विषम): गुणनफल विषम है।
अतः,$4$ में से $3$ मामलों में गुणनफल सम है।
इसलिए,प्रायिकता $3/4$ है।

(A) माना $P(A) = 4/5$,$P(B) = 3/4$,और $P(C) = 2/3$ है। निशाना चूकने की प्रायिकताएँ $P(\overline{A}) = 1/5$,$P(\overline{B}) = 1/4$,और $P(\overline{C}) = 1/3$ हैं।
ठीक दो लोगों के निशाना लगाने की घटना तीन परस्पर अपवर्जी स्थितियों में होती है: $(A \cap B \cap \overline{C})$,$(A \cap \overline{B} \cap C)$,और $(\overline{A} \cap B \cap C)$।
चूंकि $A, B$ और $C$ स्वतंत्र घटनाएँ हैं:
$P(A \cap B \cap \overline{C}) = (4/5) \times (3/4) \times (1/3) = 12/60$.
$P(A \cap \overline{B} \cap C) = (4/5) \times (1/4) \times (2/3) = 8/60$.
$P(\overline{A} \cap B \cap C) = (1/5) \times (3/4) \times (2/3) = 6/60$.
कुल प्रायिकता = $12/60 + 8/60 + 6/60 = 26/60 = 13/30$।

(C) तीन समचतुष्फलकों को फेंकने पर कुल परिणामों की संख्या $n = 4 \times 4 \times 4 = 64$ है।
माना $A$ वह घटना है जिसमें अंकों का योग $5$ है।
संभावित परिणाम $(2, 2, 1), (2, 1, 2), (1, 2, 2), (1, 1, 3), (1, 3, 1), (3, 1, 1)$ हैं।
अनुकूल परिणामों की संख्या $r = 6$ है।
अतः,प्रायिकता $P(A) = \frac{r}{n} = \frac{6}{64} = \frac{3}{32}$ है।

(B) जब तीन पासे फेंके जाते हैं,तो कुल संभावित परिणामों की संख्या $6 \times 6 \times 6 = 216$ होती है।
अनुकूल परिणाम जहाँ तीनों पासों पर समान संख्या आती है,वे हैं: $(1, 1, 1), (2, 2, 2), (3, 3, 3), (4, 4, 4), (5, 5, 5), (6, 6, 6)$।
ऐसे $6$ अनुकूल परिणाम हैं।
अतः,अभीष्ट प्रायिकता $P = \frac{6}{216} = \frac{1}{36}$ है।

(A) $P(A') = \frac{2}{3}$ दिया गया है,इसलिए $P(A) = 1 - P(A') = 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$.
प्रायिकता के योग प्रमेय का उपयोग करते हुए,$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$.
मान रखने पर: $\frac{3}{4} = \frac{1}{3} + P(B) - \frac{1}{4}$.
$P(B)$ के लिए हल करने पर: $P(B) = \frac{3}{4} + \frac{1}{4} - \frac{1}{3} = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$.
हम जानते हैं कि $P(A' \cap B) = P(B) - P(A \cap B)$.
अतः,$P(A' \cap B) = \frac{2}{3} - \frac{1}{4} = \frac{8 - 3}{12} = \frac{5}{12}$.

(B) एक सामान्य वर्ष में $365$ दिन होते हैं।
$365$ दिन $= 52$ सप्ताह और $1$ दिन।
$52$ सप्ताह में $52$ रविवार होते हैं।
शेष $1$ दिन सप्ताह के $7$ दिनों में से कोई भी हो सकता है (सोमवार,मंगलवार,बुधवार,गुरुवार,शुक्रवार,शनिवार,रविवार)।
वर्ष में $53$ रविवार होने के लिए,शेष $1$ दिन का रविवार होना आवश्यक है।
अतः,प्रायिकता $= 1/7$।

(B) घटना $A$ या $B$ में से केवल एक के घटित होने की प्रायिकता वह है जहाँ $A$ घटित हो और $B$ न हो,या $B$ घटित हो और $A$ न हो।
इसे इस प्रकार व्यक्त किया जाता है: $P(A \cap \bar{B}) + P(\bar{A} \cap B)$
गुणधर्म $P(A \cap \bar{B}) = P(A) - P(A \cap B)$ और $P(\bar{A} \cap B) = P(B) - P(A \cap B)$ का उपयोग करते हुए,
हमें प्राप्त होता है: $P(A) - P(A \cap B) + P(B) - P(A \cap B)$
$= P(A) + P(B) - 2P(A \cap B)$

(B) एक सिक्के और एक पासे को उछालने के लिए प्रतिदर्श समष्टि $S$ इस प्रकार है:
$S = \{H1, H2, H3, H4, H5, H6, T1, T2, T3, T4, T5, T6\}$
कुल परिणामों की संख्या $n(S) = 12$ है।
माना $E$ सिक्के पर चित $(H)$ और पासे पर $6$ आने की घटना है।
$E = \{H6\}$
अनुकूल परिणामों की संख्या $n(E) = 1$ है।
अतः,प्रायिकता $P(E) = \frac{n(E)}{n(S)} = \frac{1}{12}$.

(C) जब दो पासे फेंके जाते हैं,तो कुल संभावित परिणामों की संख्या $6 \times 6 = 36$ होती है।
अनुकूल परिणाम जहाँ संख्याओं का योग $5$ है: $\{(1, 4), (4, 1), (2, 3), (3, 2)\}$।
अनुकूल परिणामों की संख्या $r = 4$ है।
प्रायिकता $P(A)$ इस प्रकार है:
$P(A) = \frac{r}{n} = \frac{4}{36} = \frac{1}{9}$।

(B) जब दो पासे फेंके जाते हैं,तो कुल संभावित परिणामों की संख्या $6 \times 6 = 36$ होती है।
योग $7$ प्राप्त करने वाले परिणाम हैं: $(1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2), (6, 1)$।
ऐसे कुल $6$ अनुकूल परिणाम हैं।
प्रायिकता = $\frac{\text{अनुकूल परिणाम}}{\text{कुल परिणाम}} = \frac{6}{36}$।

(C) एक निष्पक्ष पासे को फेंकने पर कुल संभावित परिणामों की संख्या $n = 6$ है,जहाँ प्रतिदर्श समष्टि $S = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ है।
$1$ या $6$ प्राप्त करने के अनुकूल परिणाम $\{1, 6\}$ हैं,इसलिए अनुकूल परिणामों की संख्या $r = 2$ है।
प्रायिकता $P$ का सूत्र $P = \frac{r}{n}$ है।
मान रखने पर,$P = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$।

(C) जब दो पासे फेंके जाते हैं,तो कुल संभावित परिणाम $6 \times 6 = 36$ होते हैं।
पहली बार के लिए,योग $10$ होने के परिणाम $(4, 6), (5, 5), (6, 4)$ हैं। अतः,अनुकूल परिणाम $3$ हैं। प्रायिकता $P(10) = 3/36 = 1/12$ है।
दूसरी बार के लिए,योग $11$ होने के परिणाम $(5, 6), (6, 5)$ हैं। अतः,अनुकूल परिणाम $2$ हैं। प्रायिकता $P(11) = 2/36 = 1/18$ है।
तीसरी बार के लिए,योग $12$ होने का परिणाम $(6, 6)$ है। अतः,अनुकूल परिणाम $1$ है। प्रायिकता $P(12) = 1/36$ है।
चूंकि फेंक स्वतंत्र हैं,कुल प्रायिकता $P(10) \times P(11) \times P(12) = (1/12) \times (1/18) \times (1/36) = 1/7776$ होगी।

(A) जब एक पासे को $2$ बार फेंका जाता है,तो कुल परिणामों की संख्या $6^2 = 36$ होती है।
माना $E$ कम से कम एक बार $4$ प्राप्त करने की घटना है।
पूरक घटना $E'$ की प्रायिकता ज्ञात करना आसान है,जो दोनों बार $4$ न आने की घटना है।
एक बार फेंकने पर $4$ न आने की प्रायिकता $\frac{5}{6}$ है।
चूंकि दोनों फेंक स्वतंत्र हैं,इसलिए दोनों बार $4$ न आने की प्रायिकता $P(E') = \frac{5}{6} \times \frac{5}{6} = \frac{25}{36}$ है।
अतः,कम से कम एक बार $4$ प्राप्त करने की प्रायिकता $P(E) = 1 - P(E') = 1 - \frac{25}{36} = \frac{11}{36}$ है।

(B) थैले में गेंदों की कुल संख्या $= 6 + 5 + 4 = 15$ है।
माना $A$ सफेद गेंद प्राप्त करने की घटना है और $B$ काली गेंद प्राप्त करने की घटना है।
सफेद गेंदों की संख्या $6$ है,इसलिए $P(A) = \frac{6}{15}$।
काली गेंदों की संख्या $5$ है,इसलिए $P(B) = \frac{5}{15}$।
चूंकि घटनाएँ $A$ और $B$ परस्पर अपवर्जित (mutually exclusive) हैं,इसलिए सफेद या काली गेंद प्राप्त करने की प्रायिकता $P(A \cup B) = P(A) + P(B)$ होगी।
$P(A \cup B) = \frac{6}{15} + \frac{5}{15} = \frac{11}{15}$।

(C) प्रारंभ में,पात्र में $2$ काली गेंदें हैं।
$1$ सफेद गेंद डालने के बाद,पात्र में गेंदों की कुल संख्या $2 + 1 = 3$ हो जाती है।
अब पात्र में $2$ काली गेंदें और $1$ सफेद गेंद है।
सफेद गेंद निकालने की प्रायिकता $P$,सफेद गेंदों की संख्या और कुल गेंदों की संख्या का अनुपात है।
$P(\text{white}) = \frac{\text{सफेद गेंदों की संख्या}}{\text{कुल गेंदों की संख्या}} = \frac{1}{3}$.

(A) दिया गया है: $P(A \cup B) = \frac{3}{4}$,$P(A \cap B) = \frac{1}{4}$ और $P(\overline{A}) = \frac{2}{3}$.
चूँकि $P(A) = 1 - P(\overline{A})$,इसलिए $P(A) = 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$.
योग प्रमेय का उपयोग करने पर: $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$.
मान रखने पर: $\frac{3}{4} = \frac{1}{3} + P(B) - \frac{1}{4}$.
$P(B) = \frac{3}{4} + \frac{1}{4} - \frac{1}{3} = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$.
हमें $P(\overline{A} \cap B)$ ज्ञात करना है.
ध्यान दें कि $P(\overline{A} \cap B) = P(B) - P(A \cap B)$.
$P(\overline{A} \cap B) = \frac{2}{3} - \frac{1}{4} = \frac{8 - 3}{12} = \frac{5}{12}$.

(B) ताश की गड्डी में कुल पत्तों की संख्या $= 52$ है।
राजाओं की संख्या $= 4$ है।
रानियों की संख्या $= 4$ है।
चूंकि घटनाएं परस्पर अपवर्जी हैं,अनुकूल परिणामों की संख्या (राजा या रानी) $= 4 + 4 = 8$ है।
अतः,अभीष्ट प्रायिकता $= \frac{8}{52} = \frac{2}{13}$ है।

(C) मान लीजिए $P(A) = 1/2, P(B) = 1/3$ और $P(C) = 1/4$ क्रमशः छात्रों $A, B$ और $C$ द्वारा समस्या को हल करने की प्रायिकताएं हैं।
समस्या तब हल हो जाती है यदि उनमें से कम से कम एक इसे हल कर ले।
किसी के द्वारा भी समस्या हल न होने की प्रायिकता:
$P(\text{not solved}) = P(A') \times P(B') \times P(C')$
$P(\text{not solved}) = (1 - 1/2) \times (1 - 1/3) \times (1 - 1/4)$
$P(\text{not solved}) = (1/2) \times (2/3) \times (3/4) = 1/4$
समस्या के हल होने की प्रायिकता:
$P(\text{solved}) = 1 - P(\text{not solved})$
$P(\text{solved}) = 1 - 1/4 = 3/4$

(B) मान लीजिए $A$ पहली बार में $4, 5$ या $6$ प्राप्त करने की घटना है। अनुकूल परिणामों की संख्या $3$ है। एक पासे के लिए कुल परिणाम $6$ हैं। अतः,$P(A) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$.
मान लीजिए $B$ दूसरी बार में $1, 2, 3$ या $4$ प्राप्त करने की घटना है। अनुकूल परिणामों की संख्या $4$ है। एक पासे के लिए कुल परिणाम $6$ हैं। अतः,$P(B) = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$.
चूँकि दोनों फेंक स्वतंत्र घटनाएँ हैं,इसलिए दोनों के एक साथ होने की प्रायिकता $P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$ होगी।
$P(A \cap B) = \frac{1}{2} \times \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$.

(C) एक लीप वर्ष में $366$ दिन होते हैं,जो $52$ सप्ताह और $2$ अतिरिक्त दिन होते हैं। इन $2$ अतिरिक्त दिनों के लिए $7$ संभावित परिणाम हैं:
$(i)$ (रविवार,सोमवार),$(ii)$ (सोमवार,मंगलवार),$(iii)$ (मंगलवार,बुधवार),$(iv)$ (बुधवार,गुरुवार),$(v)$ (गुरुवार,शुक्रवार),$(vi)$ (शुक्रवार,शनिवार),$(vii)$ (शनिवार,रविवार)।
माना $A$ वह घटना है कि लीप वर्ष में $53$ रविवार हैं,और $B$ वह घटना है कि इसमें $53$ सोमवार हैं।
तब $P(A) = 2/7$,$P(B) = 2/7$,और $P(A \cap B) = 1/7$ (क्योंकि रविवार और सोमवार दोनों होने की केवल एक ही स्थिति है)।
अभीष्ट प्रायिकता $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$ है।
$P(A \cup B) = 2/7 + 2/7 - 1/7 = 3/7$।

(C) चूंकि $A, B$ और $C$ परस्पर अपवर्जी घटनाएँ हैं,$P(A \cup B \cup C) = P(A) + P(B) + P(C)$.
साथ ही,$P(A \cup B \cup C) \leq 1$ होना चाहिए।
अतः,$0 \leq \frac{3x + 1}{3} + \frac{1 - x}{4} + \frac{1 - 2x}{2} \leq 1$.
$12$ से गुणा करने पर,$0 \leq 4(3x + 1) + 3(1 - x) + 6(1 - 2x) \leq 12$.
$0 \leq 12x + 4 + 3 - 3x + 6 - 12x \leq 12$.
$0 \leq 13 - 3x \leq 12$.
$13$ घटाने पर,$-13 \leq -3x \leq -1$.
$-3$ से भाग देने पर (असमिका को उलटने पर),$\frac{1}{3} \leq x \leq \frac{13}{3}$.
इसके अतिरिक्त,किसी भी घटना $E$ के लिए,$0 \leq P(E) \leq 1$:
$1$) $0 \leq \frac{3x + 1}{3} \leq 1 \Rightarrow 0 \leq 3x + 1 \leq 3 \Rightarrow -1 \leq 3x \leq 2 \Rightarrow -\frac{1}{3} \leq x \leq \frac{2}{3}$.
$2$) $0 \leq \frac{1 - x}{4} \leq 1 \Rightarrow 0 \leq 1 - x \leq 4 \Rightarrow -1 \leq -x \leq 3 \Rightarrow -3 \leq x \leq 1$.
$3$) $0 \leq \frac{1 - 2x}{2} \leq 1 \Rightarrow 0 \leq 1 - 2x \leq 2 \Rightarrow -1 \leq -2x \leq 1 \Rightarrow -\frac{1}{2} \leq x \leq \frac{1}{2}$.
सभी शर्तों का प्रतिच्छेदन लेने पर: $x \in [\frac{1}{3}, \frac{13}{3}] \cap [-\frac{1}{3}, \frac{2}{3}] \cap [-3, 1] \cap [-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}] = [\frac{1}{3}, \frac{1}{2}]$.

(B) माना $A, B$ और $C$ क्रमशः पहले,दूसरे और तीसरे प्रहार में विमान को मार गिराने की घटनाएँ हैं।
दी गई प्रायिकताएँ $P(A) = 0.6, P(B) = 0.7, P(C) = 0.1$ हैं।
चूँकि घटनाएँ स्वतंत्र हैं,इसलिए तीनों प्रहारों में विमान को न मार गिराने की प्रायिकता $P(\overline{A}) \times P(\overline{B}) \times P(\overline{C})$ होगी।
$P(\overline{A}) = 1 - 0.6 = 0.4$
$P(\overline{B}) = 1 - 0.7 = 0.3$
$P(\overline{C}) = 1 - 0.1 = 0.9$
विमान को न मार गिराने की प्रायिकता = $0.4 \times 0.3 \times 0.9 = 0.108$.
अतः,विमान को मार गिराने की प्रायिकता $1 - 0.108 = 0.892$ होगी।

(D) कुल वस्तुओं की संख्या = $10 + 6 = 16$।
मान लीजिए $E$ अच्छी या खराब वस्तु चुनने की घटना है।
चूंकि बॉक्स में प्रत्येक वस्तु या तो अच्छी है या खराब,इसलिए घटना $E$ एक निश्चित घटना है।
अतः,प्रायिकता $P(E) = \frac{\text{अनुकूल परिणामों की संख्या}}{\text{कुल परिणामों की संख्या}} = \frac{16}{16} = 1$।

(A) माना $A, B$ और $C$ द्वारा समस्या को हल करने की प्रायिकता $P(A), P(B)$ और $P(C)$ है।
$P(A) = 1/2, P(B) = 1/3, P(C) = 1/4$.
समस्या के हल न होने की प्रायिकता वह है जब तीनों छात्र इसे हल करने में विफल हो जाते हैं।
$P(\text{not } A) = 1 - 1/2 = 1/2$.
$P(\text{not } B) = 1 - 1/3 = 2/3$.
$P(\text{not } C) = 1 - 1/4 = 3/4$.
चूंकि घटनाएं स्वतंत्र हैं,इसलिए किसी के द्वारा भी समस्या हल न करने की प्रायिकता है:
$P(\text{none}) = P(\text{not } A) \times P(\text{not } B) \times P(\text{not } C) = (1/2) \times (2/3) \times (3/4) = 1/4$.
समस्या के हल होने की प्रायिकता $1 - P(\text{none})$ है।
$P(\text{solved}) = 1 - 1/4 = 3/4$.

(A) कुल पेंसिलों की संख्या = $12 + 6 + 2 = 20$.
दोषरहित (अच्छी) पेंसिलों की संख्या = $12$.
दोषरहित पेंसिल चुनने की प्रायिकता:
$P(E) = \frac{\text{अनुकूल परिणामों की संख्या}}{\text{कुल परिणामों की संख्या}} = \frac{12}{20}$.
भिन्न को सरल करने पर:
$P(E) = \frac{3}{5}$.

(B) माना कि पति के चयन की घटना $H$ है और पत्नी के चयन की घटना $W$ है।
दिया गया है $P(H) = 1/7$ और $P(W) = 1/5$।
पति के चयन न होने की प्रायिकता $P(H') = 1 - 1/7 = 6/7$ है।
पत्नी के चयन न होने की प्रायिकता $P(W') = 1 - 1/5 = 4/5$ है।
उनमें से केवल एक के चयन की प्रायिकता $P(H \cap W') + P(H' \cap W)$ है।
चूंकि घटनाएं स्वतंत्र हैं,यह $P(H) \times P(W') + P(H') \times P(W)$ होगा।
$= (1/7 \times 4/5) + (6/7 \times 1/5) = 4/35 + 6/35 = 10/35 = 2/7$।

(D) जब तीन सिक्कों को उछाला जाता है,तो कुल संभावित परिणामों की संख्या $2^3 = 8$ होती है। प्रतिदर्श समष्टि $S = \{HHH, HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH, TTT\}$ है।
'कम से कम एक चित' प्राप्त करने की घटना में $TTT$ को छोड़कर सभी परिणाम शामिल हैं।
अनुकूल परिणामों की संख्या $8 - 1 = 7$ है।
अतः,कम से कम एक चित प्राप्त करने की प्रायिकता $P$ है:
$P = \frac{\text{अनुकूल परिणामों की संख्या}}{\text{कुल परिणामों की संख्या}} = \frac{7}{8}$.

(C) दो पासे फेंकने पर कुल संभावित परिणामों की संख्या $6 \times 6 = 36$ है।
वे परिणाम जिनमें पहले पासे पर $1$ आता है: $(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6)$ हैं।
अनुकूल परिणामों की संख्या $6$ है।
अतः,प्रायिकता $= \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$ है।

(B) $50$ ओवर के मैच में सभी विषम संख्या वाले ओवरों का समुच्चय $U = \{1, 3, 5, 7, \dots, 49\}$ है।
यहाँ कुल $25$ विषम संख्याएँ हैं,इसलिए $n(U) = 25$.
हमें वे ओवर खोजने हैं जो $9$ के गुणज हैं और विषम भी हैं।
$9$ के गुणज $9, 18, 27, 36, 45, \dots$ हैं।
इनमें से विषम गुणज $A = \{9, 27, 45\}$ हैं।
अतः,अनुकूल परिणामों की संख्या $n(A) = 3$ है।
प्रायिकता $P(A) = \frac{n(A)}{n(U)} = \frac{3}{25}$ है।

(A) तीन पासे फेंकने पर कुल परिणामों की संख्या $n = 6 \times 6 \times 6 = 216$ है।
योग $16$ प्राप्त करने की घटना $A$ के परिणाम हैं:
$A = \{(6, 6, 4), (6, 4, 6), (4, 6, 6), (5, 5, 6), (5, 6, 5), (6, 5, 5)\}$.
अनुकूल परिणामों की संख्या $r = 6$ है।
अतः,प्रायिकता $P(A) = \frac{r}{n} = \frac{6}{216} = \frac{1}{36}$.