$1$ અને $10^{10}$ ની વચ્ચેની એવી સંખ્યાઓ કે જેમાં અંક $1$ આવતો હોય,તેની સંખ્યા શોધો:

જો અંકો $0, 1, 3, 5,$ અને $7$ નો ઉપયોગ કરીને $5,000$ થી મોટી $4$-અંકી સંખ્યાઓ યાદચ્છિક રીતે બનાવવામાં આવે,તો અંકોનું પુનરાવર્તન ન થતું હોય ત્યારે $5$ વડે વિભાજ્ય સંખ્યા બનવાની સંભાવના કેટલી છે?

અંકો $1, 3, 5, 6, 8$ નો ઉપયોગ કરીને ત્રણ અને ચાર અંકની સંખ્યાઓ બનાવવામાં આવે છે. જો $e_1$ એ ત્રણ અંકની બેકી સંખ્યાઓ છે જેમાં કોઈ અંકનું પુનરાવર્તન થતું નથી અને $e_2$ એ ચાર અંકની બેકી સંખ્યાઓ છે જેમાં કોઈ અંકનું પુનરાવર્તન થતું નથી. તેમજ $O_1$ એ ત્રણ અંકની એકી સંખ્યાઓ દર્શાવે છે જેમાં કોઈ અંકનું પુનરાવર્તન થતું નથી અને $O_2$ એ ચાર અંકની એકી સંખ્યાઓ દર્શાવે છે જેમાં કોઈ અંકનું પુનરાવર્તન થતું નથી. તો:

જો કોઈ $m, n$ માટે,${ }^6 C_{m}+2({ }^6 C_{m+1})+{ }^6 C_{m+2} > { }^8 C_3$ અને ${ }^{n-1} P_3 : { }^n P_4 = 1 : 8$ હોય,તો ${ }^n P_{m+1} + { }^{n+1} C_m$ ની કિંમત શોધો.

જો ${ }^{n} P_{r}={ }^{n} P_{r+1}$ અને ${ }^{n} C_{r}={ }^{n} C_{r-1}$ હોય,તો $r$ ની કિંમત કેટલી થાય?

$ENDEANOEL$ શબ્દના અક્ષરોના તમામ શક્ય ક્રમચયો ધ્યાનમાં લો. $Column I$ માં આપેલા વિધાનો/પદાવલિઓને $Column II$ સાથે જોડો.

$Column I$	$Column II$
$(A)$ $ENDEA$ શબ્દ ધરાવતા ક્રમચયોની સંખ્યા	$(p)$ $5!$
$(B)$ જે ક્રમચયોમાં $E$ પ્રથમ અને છેલ્લા સ્થાને આવે છે તેની સંખ્યા	$(q)$ $2 \times 5!$
$(C)$ જે ક્રમચયોમાં છેલ્લા પાંચ સ્થાનોમાં $D, L, N$ માંથી કોઈ પણ અક્ષર આવતો નથી તેની સંખ્યા	$(r)$ $7 \times 5!$
$(D)$ જે ક્રમચયોમાં $A, E, O$ માત્ર એકી સ્થાનો પર આવે છે તેની સંખ્યા	$(s)$ $21 \times 5!$