Mathematical logic Questions in Hindi

(C) दिया गया व्यंजक $x \leftrightarrow \sim y$ है।
हम जानते हैं कि $p \leftrightarrow q \equiv (p$ $\rightarrow q) \wedge (q$ $\rightarrow p)$.
अतः,$x \leftrightarrow \sim y \equiv (x$ $\rightarrow \sim y) \wedge (\sim y$ $\rightarrow x)$.
सर्वसमिका $p \rightarrow q \equiv \sim p \vee q$ का उपयोग करने पर:
$x \leftrightarrow \sim y \equiv (\sim x \vee \sim y) \wedge (y \vee x)$.
अब,हम निषेध ज्ञात करते हैं:
$\sim(x \leftrightarrow \sim y) \equiv \sim((\sim x \vee \sim y) \wedge (x \vee y))$.
डी मॉर्गन के नियम के अनुसार,$\sim(A \wedge B) \equiv \sim A \vee \sim B$:
$\sim(x \leftrightarrow \sim y) \equiv \sim(\sim x \vee \sim y) \vee \sim(x \vee y)$.
पुनः डी मॉर्गन के नियम को लागू करने पर:
$\sim(x \leftrightarrow \sim y) \equiv (x \wedge y) \vee (\sim x \wedge \sim y)$.

(B) प्रतिबंधात्मक कथन $(p \rightarrow q)$ का प्रतिधनात्मक $(\sim q \rightarrow \sim p)$ होता है।
यहाँ,$p$ कथन "$n^{3}-1$ सम है" है और $q$ कथन "$n$ विषम है" है।
निषेध $\sim q$ का अर्थ है "$n$ विषम नहीं है",जिसका अर्थ है "$n$ सम है"।
निषेध $\sim p$ का अर्थ है "$n^{3}-1$ सम नहीं है",जिसका अर्थ है "$n^{3}-1$ विषम है"।
अतः,प्रतिधनात्मक कथन है: "एक पूर्णांक $n$ के लिए,यदि $n$ सम है,तो $n^{3}-1$ विषम है।"

(C) दिया गया व्यंजक: $p \vee (\sim p \wedge q)$
वितरण नियम का उपयोग करने पर: $p \vee (\sim p \wedge q) = (p \vee \sim p) \wedge (p \vee q)$
चूंकि $(p \vee \sim p) = T$ (पुनरुक्ति):
$= T \wedge (p \vee q) = p \vee q$
अब,$(p \vee q)$ का निषेध ज्ञात करने पर:
$\sim (p \vee q) = \sim p \wedge \sim q$
अतः,सही विकल्प $C$ है.

(C) माना कि प्रत्येक चतुर्थांश में बाहरी संख्याएँ $(a, b)$ हैं और आंतरिक संख्या $k$ है। पैटर्न $k = (a - b)^{n!}$ है,जहाँ $n$ चतुर्थांश से संबंधित एक सूचकांक है।
प्रथम चतुर्थांश के लिए: $(2 - 1)^{1!} = 1^{1} = 1$.
द्वितीय चतुर्थांश के लिए: $(12 - 8)^{4!} = 4^{24}$.
तृतीय चतुर्थांश के लिए: $(7 - 4)^{3!} = 3^{6}$.
चतुर्थ चतुर्थांश के लिए: $(5 - 3)^{2!} = 2^{2} = 4$.
अतः,लुप्त मान $4$ है।

(A) हम विकल्पों की जाँच करते हैं कि कौन सा व्यंजक पुनरुक्ति $(t)$ देता है:
विकल्प $A$: $(p \wedge q)$ $\rightarrow (p$ $\rightarrow q)$
$= \sim(p \wedge q) \vee (\sim p \vee q)$
$= (\sim p \vee \sim q) \vee (\sim p \vee q)$
$= \sim p \vee (\sim q \vee q)$
$= \sim p \vee t$
$= t$ (यह एक पुनरुक्ति है)।
विकल्प $B$: $(p \wedge q) \wedge (p \vee q) = (p \wedge q)$ (पुनरुक्ति नहीं है)।
विकल्प $C$: $(p \wedge q) \vee (p \rightarrow q) = (p \wedge q) \vee (\sim p \vee q) = \sim p \vee q$ (पुनरुक्ति नहीं है)।
विकल्प $D$: $(p \wedge q) \wedge (p \rightarrow q) = (p \wedge q) \wedge (\sim p \vee q) = p \wedge q$ (पुनरुक्ति नहीं है)।
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(B) आइए सभी विकल्पों के लिए पूर्ववृत्त $((P \Rightarrow Q) \wedge \sim Q)$ को सरल करें:
$((P \Rightarrow Q) \wedge \sim Q) \equiv ((\sim P \vee Q) \wedge \sim Q)$
वितरण नियम का उपयोग करते हुए: $(\sim P \wedge \sim Q) \vee (Q \wedge \sim Q)$
चूंकि $(Q \wedge \sim Q) \equiv F$,हमारे पास $(\sim P \wedge \sim Q) \vee F \equiv \sim P \wedge \sim Q$ है।
अब,प्रत्येक विकल्प की जाँच करें:
$(A) (\sim P \wedge \sim Q)$ $\Rightarrow Q \equiv \sim(\sim P \wedge \sim Q) \vee Q \equiv (P \vee Q) \vee Q \equiv P \vee Q$ (पुनरुक्ति नहीं है)
$(B) (\sim P \wedge \sim Q)$ $\Rightarrow \sim P \equiv \sim(\sim P \wedge \sim Q) \vee \sim P \equiv (P \vee Q) \vee \sim P \equiv (P \vee \sim P) \vee Q \equiv T \vee Q \equiv T$ (पुनरुक्ति है)
$(C) (\sim P \wedge \sim Q)$ $\Rightarrow P \equiv \sim(\sim P \wedge \sim Q) \vee P \equiv (P \vee Q) \vee P \equiv P \vee Q$ (पुनरुक्ति नहीं है)
$(D) (\sim P \wedge \sim Q) \Rightarrow (P \wedge Q) \equiv (P \vee Q) \vee (P \wedge Q) \equiv P \vee Q$ (पुनरुक्ति नहीं है)
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(D) यह जाँचने के लिए कि कथन $[A \wedge (A$ $\rightarrow B)]$ $\rightarrow B$ एक पुनरुक्ति है या नहीं,हम इसे तार्किक नियमों का उपयोग करके सरल करते हैं:
$[A \wedge (A$ $\rightarrow B)]$ $\rightarrow B$
$= [A \wedge (\sim A \vee B)] \rightarrow B$
$= [(A \wedge \sim A) \vee (A \wedge B)] \rightarrow B$
$= [F \vee (A \wedge B)] \rightarrow B$
$= (A \wedge B) \rightarrow B$
$= \sim (A \wedge B) \vee B$
$= (\sim A \vee \sim B) \vee B$
$= \sim A \vee (\sim B \vee B)$
$= \sim A \vee T$
$= T$
चूँकि अंतिम परिणाम $T$ (पुनरुक्ति) है,इसलिए कथन $[A \wedge (A$ $\rightarrow B)]$ $\rightarrow B$ एक पुनरुक्ति है।

(D) दिया गया कथन $A$ $\rightarrow (B$ $\rightarrow A)$ है।
निगमन नियम $p \rightarrow q \equiv \sim p \vee q$ का उपयोग करने पर:
$A$ $\rightarrow (B$ $\rightarrow A) \equiv \sim A \vee (\sim B \vee A)$
साहचर्य और क्रमविनिमेय नियमों द्वारा:
$\equiv (\sim A \vee A) \vee \sim B$
$\equiv T \vee \sim B \equiv T$ (पुनरुक्ति).
अब,विकल्पों की जाँच करने पर:
विकल्प $D$ है $A \rightarrow (A \vee B) \equiv \sim A \vee (A \vee B) \equiv (\sim A \vee A) \vee B \equiv T \vee B \equiv T$.
चूँकि मूल व्यंजक और विकल्प $D$ दोनों पुनरुक्ति हैं,इसलिए वे समतुल्य हैं।

(B) यह निर्धारित करने के लिए कि कोई कथन पुनरुक्ति है या नहीं,हम प्रत्येक के लिए एक सत्यता सारणी (truth table) बनाते हैं।
कथन $(a)$ के लिए: $(\sim q \wedge (p$ $\rightarrow q))$ $\rightarrow \sim p$
(सत्यता सारणी के अनुसार,अंतिम कॉलम में सभी मान $T$ हैं,इसलिए $(a)$ एक पुनरुक्ति है।)
कथन $(b)$ के लिए: $((p \vee q) \wedge \sim p) \rightarrow q$
(सत्यता सारणी के अनुसार,अंतिम कॉलम में सभी मान $T$ हैं,इसलिए $(b)$ भी एक पुनरुक्ति है।)
अतः,$(a)$ और $(b)$ दोनों पुनरुक्ति हैं।

(B) हम कथन $\sim p \wedge (p \vee q)$ का निषेध ज्ञात करना चाहते हैं।
डी मॉर्गन के नियम को लागू करने पर: $\sim (\sim p \wedge (p \vee q)) \equiv \sim (\sim p) \vee \sim (p \vee q)$।
द्वि-निषेध और डी मॉर्गन के नियम का उपयोग करने पर: $p \vee (\sim p \wedge \sim q)$।
वितरण नियम को लागू करने पर: $(p \vee \sim p) \wedge (p \vee \sim q)$।
चूंकि $(p \vee \sim p) \equiv T$ (पुनरुक्ति),इसलिए $T \wedge (p \vee \sim q)$।
अतः,परिणाम $p \vee \sim q$ है।

(C) एक सशर्त कथन $p \rightarrow q$ का प्रतिधनात्मक $\sim q \rightarrow \sim p$ के रूप में परिभाषित होता है।
यहाँ,कथन $p$ "आप काम करेंगे" है और $q$ "आप पैसे कमाएंगे" है।
इसलिए,प्रतिधनात्मक $\sim q \rightarrow \sim p$ "यदि आप पैसे नहीं कमाएंगे,तो आप काम नहीं करेंगे" होगा।

(C) $F_{1}(A, B, C) = (A \wedge \sim B) \vee [\sim C \wedge (A \vee B)] \vee \sim A$ के लिए:
वितरण नियम का उपयोग करते हुए:
$F_{1} = [(A \wedge \sim B) \vee \sim A] \vee [\sim C \wedge (A \vee B)]$
$F_{1} = [(A \vee \sim A) \wedge (\sim B \vee \sim A)] \vee [\sim C \wedge (A \vee B)]$
चूंकि $(A \vee \sim A) = t$ (पुनरुक्ति):
$F_{1} = [t \wedge (\sim A \vee \sim B)] \vee [\sim C \wedge (A \vee B)]$
$F_{1} = (\sim A \vee \sim B) \vee [\sim C \wedge (A \vee B)]$.
यह व्यंजक $A, B, C$ के मानों पर निर्भर करता है,इसलिए यह पुनरुक्ति नहीं है।
$F_{2}(A, B) = (A \vee B) \vee (B \rightarrow \sim A)$ के लिए:
निहितार्थ नियम $(P \rightarrow Q) = (\sim P \vee Q)$ का उपयोग करते हुए:
$F_{2} = (A \vee B) \vee (\sim B \vee \sim A)$
क्रमविनिमेय और साहचर्य नियमों द्वारा:
$F_{2} = (A \vee \sim A) \vee (B \vee \sim B)$
$F_{2} = t \vee t = t$.
अतः,$F_{2}$ एक पुनरुक्ति है।

(C) निहितार्थ $A \rightarrow B$ केवल तभी असत्य होता है जब $A$ सत्य हो और $B$ असत्य हो।
यहाँ,$A = (p \vee q) \wedge (q \rightarrow r) \wedge (\sim r)$ और $B = (p \wedge q)$ है।
$B = (p \wedge q)$ के असत्य होने के लिए,$p$ या $q$ में से कम से कम एक असत्य होना चाहिए।
$A$ के सत्य होने के लिए,सभी घटक $(p \vee q)$,$(q \rightarrow r)$,और $(\sim r)$ सत्य होने चाहिए।
चूंकि $(\sim r)$ सत्य है,इसलिए $r$ असत्य होना चाहिए।
चूंकि $(q \rightarrow r)$ सत्य है और $r$ असत्य है,इसलिए $q$ असत्य होना चाहिए।
चूंकि $(p \vee q)$ सत्य है और $q$ असत्य है,इसलिए $p$ सत्य होना चाहिए।
अतः,सत्यता मान $p=T, q=F, r=F$ हैं।
विकल्प $C$ की जाँच करने पर: $p=T, q=F, r=F$ लेने पर $A = (T \vee F) \wedge (F \rightarrow F) \wedge (\sim F) = T \wedge T \wedge T = T$ और $B = (T \wedge F) = F$ प्राप्त होता है।
चूंकि $T \rightarrow F$ असत्य है,इसलिए विकल्प $C$ सही है।

(C) $(S1)$ के लिए: $(p$ $\rightarrow q) \vee (\sim q$ $\rightarrow p)$
निहितार्थ नियम $(a \rightarrow b \equiv \sim a \vee b)$ का उपयोग करने पर:
$(\sim p \vee q) \vee (q \vee p)$
$= (q \vee \sim p) \vee (q \vee p) = q \vee (\sim p \vee p) = q \vee t = t$.
अतः,$(S1)$ एक पुनरुक्ति है।
$(S2)$ के लिए: $(p \wedge \sim q) \wedge (\sim p \vee q)$
डी मॉर्गन के नियम का उपयोग करने पर,$(\sim p \vee q) \equiv \sim (p \wedge \sim q)$.
इसलिए,$(S2) = (p \wedge \sim q) \wedge \sim (p \wedge \sim q) = C$ (व्याघात)।
अतः,$(S1)$ और $(S2)$ दोनों सत्य हैं।

(A) माना कथन $S = (p \wedge (p$ $\rightarrow q) \wedge (q$ $\rightarrow r))$ $\rightarrow r$ है।
निहितार्थ नियम $a \rightarrow b \equiv \sim a \vee b$ का उपयोग करने पर:
$S \equiv \sim (p \wedge (p$ $\rightarrow q) \wedge (q$ $\rightarrow r)) \vee r$
डी मॉर्गन के नियम $\sim (A \wedge B \wedge C) \equiv \sim A \vee \sim B \vee \sim C$ का उपयोग करने पर:
$S \equiv \sim p \vee \sim (p$ $\rightarrow q) \vee \sim (q$ $\rightarrow r) \vee r$
चूंकि $\sim (a \rightarrow b) \equiv a \wedge \sim b$:
$S \equiv \sim p \vee (p \wedge \sim q) \vee (q \wedge \sim r) \vee r$
वितरण नियम $\sim p \vee (p \wedge \sim q) \equiv (\sim p \vee p) \wedge (\sim p \vee \sim q) \equiv T \wedge (\sim p \vee \sim q) \equiv \sim p \vee \sim q$ का उपयोग करने पर:
$S \equiv (\sim p \vee \sim q) \vee (q \wedge \sim r) \vee r$
साहचर्य और वितरण नियमों का उपयोग करने पर:
$S \equiv \sim p \vee \sim q \vee (q \vee r) \wedge (\sim r \vee r)$
$S \equiv \sim p \vee \sim q \vee (q \vee r) \wedge T$
$S \equiv \sim p \vee (\sim q \vee q) \vee r$
$S \equiv \sim p \vee T \vee r \equiv T$
चूंकि परिणाम हमेशा सत्य है,इसलिए यह कथन एक पुनरुक्ति है।

(A) दिया गया व्यंजक: $(p \wedge q) \Rightarrow ((r \wedge q) \wedge p)$
निहितार्थ नियम $A \Rightarrow B \equiv \sim A \vee B$ का उपयोग करने पर:
$\sim(p \wedge q) \vee ((r \wedge q) \wedge p)$
साहचर्य और क्रमविनिमेय गुणों का उपयोग करने पर:
$\sim(p \wedge q) \vee ((r \wedge p) \wedge (p \wedge q))$
वितरण नियम $X \vee (Y \wedge Z) \equiv (X \vee Y) \wedge (X \vee Z)$ का उपयोग करने पर:
$(\sim(p \wedge q) \vee (r \wedge p)) \wedge (\sim(p \wedge q) \vee (p \wedge q))$
चूंकि $\sim A \vee A \equiv t$ (पुनरुक्ति):
$(\sim(p \wedge q) \vee (r \wedge p)) \wedge t$
$\equiv \sim(p \wedge q) \vee (r \wedge p)$
वापस निहितार्थ रूप में बदलने पर:
$(p \wedge q) \Rightarrow (r \wedge p)$

(C) हम सत्यता सारणी का उपयोग करके व्यंजक $(p \wedge \sim q) \Rightarrow (p \vee q)$ की जाँच करते हैं:

$p, q$	$p \wedge \sim q$	$p \vee q$	$(p \wedge \sim q) \Rightarrow (p \vee q)$
$T, T$	$F$	$T$	$T$
$T, F$	$T$	$T$	$T$
$F, T$	$F$	$T$	$T$
$F, F$	$F$	$F$	$T$

चूँकि अंतिम कॉलम में सभी मान $T$ हैं,इसलिए जब $* = \wedge$ और $\square = \vee$ होता है,तो यह व्यंजक एक पुनरुक्ति है।

(A) निहित कथन $A \Rightarrow B$ का निषेध $A \wedge \sim B$ द्वारा दिया जाता है।
इसलिए,$\sim((p \vee r) \Rightarrow (q \vee r)) = (p \vee r) \wedge \sim(q \vee r)$.
डी मॉर्गन के नियम का उपयोग करते हुए,$\sim(q \vee r) = (\sim q \wedge \sim r)$.
अतः,व्यंजक $(p \vee r) \wedge (\sim q \wedge \sim r)$ हो जाता है।
वितरण नियम द्वारा,यह $((p \vee r) \wedge \sim r) \wedge \sim q$ है।
चूँकि $(p \vee r) \wedge \sim r = (p \wedge \sim r) \vee (r \wedge \sim r) = (p \wedge \sim r) \vee F = p \wedge \sim r$.
इस प्रकार,अंतिम व्यंजक $(p \wedge \sim r) \wedge \sim q$ है,जो $p \wedge \sim q \wedge \sim r$ है।

(D) हम जानते हैं कि निहितार्थ (implication) $p \rightarrow q$ तार्किक रूप से $\sim p \vee q$ के समतुल्य है।
इसलिए,निहितार्थ का निषेध (negation) है:
$\sim(p \rightarrow q) \equiv \sim(\sim p \vee q)$
डी मॉर्गन के नियम का उपयोग करते हुए,$\sim(\sim p \vee q) \equiv \sim(\sim p) \wedge \sim q \equiv p \wedge \sim q$.
अतः,$p \wedge \sim q$ व्यंजक $\sim(p \rightarrow q)$ के समतुल्य है।

(A) दिए गए बूलियन व्यंजक को तार्किक नियमों का उपयोग करके सरल बनाने पर:
दिया गया व्यंजक: $(p \wedge \sim q) \Rightarrow (q \vee \sim p)$
निहितार्थ (implication) नियम $A \Rightarrow B \equiv \sim A \vee B$ का उपयोग करने पर:
$\equiv \sim (p \wedge \sim q) \vee (q \vee \sim p)$
डी मॉर्गन के नियम $\sim (p \wedge \sim q) \equiv \sim p \vee q$ का उपयोग करने पर:
$\equiv (\sim p \vee q) \vee (q \vee \sim p)$
साहचर्य और क्रमविनिमेय नियमों के अनुसार:
$\equiv (\sim p \vee \sim p) \vee (q \vee q)$
$\equiv \sim p \vee q$
चूंकि $\sim p \vee q \equiv p \Rightarrow q$,इसलिए यह व्यंजक $p \Rightarrow q$ के समतुल्य है।

(A) तर्कशास्त्र में,एक सशर्त कथन $P \rightarrow Q$ केवल तभी असत्य होता है जब $P$ सत्य हो और $Q$ असत्य हो। अन्यथा,यह सत्य होता है।
कथन $(A)$: $P: 3+3=7$ (असत्य),$Q: 4+3=8$ (असत्य)। चूंकि $P$ असत्य है,इसलिए $P \rightarrow Q$ सत्य है।
कथन $(B)$: $P: 5+3=8$ (सत्य),$Q: \text{पृथ्वी चपटी है}$ (असत्य)। चूंकि $P$ सत्य है और $Q$ असत्य है,इसलिए $P \rightarrow Q$ असत्य है।
कथन $(C)$: $P: (A) \text{ सत्य है और } (B) \text{ सत्य है}$ (असत्य,क्योंकि $(B)$ असत्य है),$Q: 5+6=17$ (असत्य)। चूंकि $P$ असत्य है,इसलिए $P \rightarrow Q$ सत्य है।
अतः,$(A)$ सत्य है,$(B)$ असत्य है,और $(C)$ सत्य है।

(A) हम $A \Rightarrow B \equiv \sim A \vee B$ सर्वसमिका का उपयोग करके प्रत्येक व्यंजक का मूल्यांकन करते हैं:
$A) (\sim p$ $\Rightarrow q) \vee (\sim q$ $\Rightarrow p) \equiv (p \vee q) \vee (q \vee p) \equiv p \vee q$. यह एक पुनरुक्ति नहीं है क्योंकि यह $p$ और $q$ के सत्य मानों पर निर्भर करता है।
$B) (q$ $\Rightarrow p) \vee (\sim q$ $\Rightarrow p) \equiv (\sim q \vee p) \vee (q \vee p) \equiv (\sim q \vee q) \vee p \equiv T \vee p \equiv T$. यह एक पुनरुक्ति है।
$C) (p$ $\Rightarrow q) \vee (\sim q$ $\Rightarrow p) \equiv (\sim p \vee q) \vee (q \vee p) \equiv (\sim p \vee p) \vee q \equiv T \vee q \equiv T$. यह एक पुनरुक्ति है।
$D) (p$ $\Rightarrow \sim q) \vee (\sim q$ $\Rightarrow p) \equiv (\sim p \vee \sim q) \vee (q \vee p) \equiv (\sim p \vee p) \vee (\sim q \vee q) \equiv T \vee T \equiv T$. यह एक पुनरुक्ति है।
अतः,विकल्प $A$ में दिया गया व्यंजक पुनरुक्ति नहीं है।

(D) हमें व्यंजक $(p$ $\Rightarrow q) \wedge (q$ $\Rightarrow \sim p)$ दिया गया है।
तार्किक समतुल्यता $(A \Rightarrow B) \equiv (\sim A \vee B)$ का उपयोग करते हुए,हम व्यंजक को फिर से लिखते हैं:
$(\sim p \vee q) \wedge (\sim q \vee \sim p)$
क्रमविनिमेय गुणधर्म का उपयोग करते हुए,हम पदों को पुनर्व्यवस्थित करते हैं:
$(\sim p \vee q) \wedge (\sim p \vee \sim q)$
वितरण नियम का उपयोग करते हुए,हम $(\sim p \vee)$ को बाहर निकालते हैं:
$\sim p \vee (q \wedge \sim q)$
चूंकि $(q \wedge \sim q)$ एक विरोधाभास (हमेशा असत्य) है,इसलिए व्यंजक बन जाता है:
$\sim p \vee F \equiv \sim p$
अतः,यह व्यंजक $\sim p$ के समतुल्य है।

(D) मान लीजिए $p$ कथन "मौसम अच्छा है" है।
मान लीजिए $q$ कथन "मैदान गीला नहीं है" है।
मान लीजिए $r$ कथन "मैच खेला जाएगा" है।
दिया गया कथन $r \implies (p \wedge q)$ है।
$r \implies (p \wedge q)$ का निषेध $\sim(r \implies (p \wedge q)) \equiv r \wedge \sim(p \wedge q)$ है।
डी मॉर्गन के नियम का उपयोग करते हुए,$\sim(p \wedge q) \equiv \sim p \vee \sim q$ है।
अतः,निषेध "मैच खेला जाएगा और (मौसम अच्छा नहीं है या मैदान गीला है)" है।

(B) कथन $(P \vee Q) \wedge (\sim P) \Rightarrow Q$ के लिए सत्यता सारणी बनाने पर:

$P$	$Q$	$P \vee Q$	$\sim P$	$(P \vee Q) \wedge (\sim P)$	$(P \vee Q) \wedge (\sim P) \Rightarrow Q$
$T$	$T$	$T$	$F$	$F$	$T$
$T$	$F$	$T$	$F$	$F$	$T$
$F$	$T$	$T$	$T$	$T$	$T$
$F$	$F$	$F$	$T$	$F$	$T$

अंतिम स्तंभ दर्शाता है कि यह कथन एक पुनरुक्ति (tautology) है।
विकल्प $B$ है $\sim(P \Rightarrow Q) \Leftrightarrow P \wedge \sim Q$। चूँकि $\sim(P \Rightarrow Q) \equiv P \wedge \sim Q$,इसलिए $\sim(P \Rightarrow Q) \Leftrightarrow P \wedge \sim Q$ भी एक पुनरुक्ति है।
अतः,दिया गया कथन विकल्प $B$ के समतुल्य है।

(C) मान लीजिए कि कथन $P$ है: "सभी $M > 0$ के लिए,एक ऐसा $x \in S$ मौजूद है कि $x \geq M$."
क्वांटिफायर वाले कथन का निषेध निम्नलिखित नियमों का पालन करता है:
$1$. "सभी के लिए" $(\forall)$ का निषेध "मौजूद है" $(\exists)$ होता है।
$2$. "मौजूद है" $(\exists)$ का निषेध "सभी के लिए" $(\forall)$ होता है।
$3$. $x \geq M$ का निषेध $x < M$ होता है।
$P$ पर इन नियमों को लागू करने पर:
$\sim P$: "एक ऐसा $M > 0$ मौजूद है कि सभी $x \in S$ के लिए,$x < M$."
अतः,सही विकल्प $C$ है.

(A) माना कि दिया गया कथन $P \rightarrow B$ है,जहाँ $P = (A \wedge C)$ है।
यह कथन $(A \wedge C) \rightarrow B$ है।
एक निहितार्थ $P \rightarrow Q$ का निषेध $P \wedge (\sim Q)$ होता है।
यहाँ,$P = (A \wedge C)$ और $Q = B$ है।
अतः,निषेध $(A \wedge C) \wedge (\sim B)$ है।

(B) माना कथन $S$ है: $(p \Delta q) \Rightarrow ((p \Delta \sim q) \vee ((\sim p) \Delta q))$।
प्रत्येक संकारक (operator) के लिए जाँच करने पर:
$1$. यदि $\Delta = \wedge$ है,तो यह पुनरुक्ति नहीं है।
$2$. यदि $\Delta = \vee$ है,तो $(p \vee q) \Rightarrow (T) = T$,जो एक पुनरुक्ति है।
$3$. यदि $\Delta = \Rightarrow$ है,तो यह सभी सत्यता मानों के लिए पुनरुक्ति सिद्ध होता है।
$4$. यदि $\Delta = \Leftrightarrow$ है,तो यह पुनरुक्ति नहीं है।
अतः,कुल $2$ विकल्प संभव हैं: $\vee$ और $\Rightarrow$.

(C) माना कि दिया गया व्यंजक $S = ((\sim q) \wedge p) \Rightarrow ((\sim p) \vee q)$ है।
निहितार्थ नियम $A \Rightarrow B \equiv \sim A \vee B$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$S \equiv \sim((\sim q) \wedge p) \vee ((\sim p) \vee q)$.
डी मॉर्गन के नियम को लागू करने पर: $\sim((\sim q) \wedge p) \equiv q \vee (\sim p)$.
अतः,$S \equiv (q \vee \sim p) \vee (\sim p \vee q) \equiv \sim p \vee q$.
हम जानते हैं कि $\sim p \vee q \equiv p \Rightarrow q$.
इसलिए,व्यंजक का निषेध $\sim(p \Rightarrow q)$ है।

(C) दिया गया है कि कथन $p \rightarrow ((\sim p) \vee q)$ का मान $FALSE$ है।
एक प्रतिबंधन $A \rightarrow B$ केवल तब $FALSE$ होता है जब $A$ $TRUE$ हो और $B$ $FALSE$ हो।
इसलिए,$p$ को $TRUE$ होना चाहिए और $((\sim p) \vee q)$ को $FALSE$ होना चाहिए।
चूंकि $p$ $TRUE$ है,इसलिए $\sim p$ $FALSE$ है।
$(\sim p \vee q)$ को $FALSE$ होने के लिए,$\sim p$ और $q$ दोनों को $FALSE$ होना चाहिए। अतः,$q$ $FALSE$ है।
अब,$p = TRUE, q = FALSE$ के लिए $P_1$ और $P_2$ का मूल्यांकन करें:
$P_1 = \sim(p$ $\rightarrow \sim q) = \sim(T$ $\rightarrow \sim F) = \sim(T$ $\rightarrow T) = \sim(T) = FALSE$.
$P_2 = (p \wedge \sim q) \wedge ((\sim p) \vee q) = (T \wedge \sim F) \wedge ((\sim T) \vee F) = (T \wedge T) \wedge (F \vee F) = T \wedge F = FALSE$.
अतः,$P_1$ और $P_2$ दोनों $FALSE$ हैं।

(C) यह निर्धारित करने के लिए कि कौन सा $r$ कथन $r \vee (\sim p) \Rightarrow (p \wedge q) \vee r$ को एक पुनरुक्ति बनाता है,हम सत्यता सारणी का उपयोग करते हैं।
$r = \sim p$ के लिए:
कथन $(\sim p \vee \sim p) \Rightarrow (p \wedge q) \vee \sim p$ बन जाता है।
यह सरल होकर $\sim p \Rightarrow (p \wedge q) \vee \sim p$ हो जाता है।
अवशोषण नियम का उपयोग करते हुए,$(p \wedge q) \vee \sim p$,$(\sim p \vee p) \wedge (\sim p \vee q)$ के बराबर है,जो $T \wedge (\sim p \vee q) = \sim p \vee q$ है।
अतः कथन $\sim p \Rightarrow (\sim p \vee q)$ है।
चूंकि $\sim p \Rightarrow (\sim p \vee q)$,$\neg(\sim p) \vee (\sim p \vee q) = p \vee \sim p \vee q = T \vee q = T$ के बराबर है,इसलिए यह कथन एक पुनरुक्ति है।
अतः,$r = \sim p$ सही विकल्प है।

(A) दिया गया व्यंजक $(p \nabla q) \Rightarrow ((p \nabla q) \nabla r)$ एक पुनरुक्ति है।
$Case-I$: यदि $\nabla \equiv \wedge$ है,तो $(p \wedge q) \Rightarrow ((p \wedge q) \wedge r)$। यह पुनरुक्ति नहीं है क्योंकि यदि $p=T, q=T, r=F$ है,तो व्यंजक $T \Rightarrow F$ हो जाता है,जो $F$ है।
$Case-II$: यदि $\nabla \equiv \vee$ है,तो $(p \vee q) \Rightarrow ((p \vee q) \vee r)$। यह एक पुनरुक्ति है क्योंकि यदि पूर्ववर्ती $(p \vee q)$ सत्य $(T)$ है,तो परिणामी $((p \vee q) \vee r)$ भी सत्य $(T)$ होगा।
चूंकि $\nabla \equiv \vee$,हमें $(p \nabla q) \Delta r$ का मूल्यांकन करना है,जो $(p \vee q) \Delta r$ है।
यदि $\Delta \equiv \vee$ है,तो $(p \vee q) \vee r \equiv (p \vee r) \vee q$,जो विकल्प $(A)$ यानी $(p \Delta r) \vee q$ से मेल खाता है।
अतः,व्यंजक $(p \Delta r) \vee q$ के तार्किक रूप से समतुल्य है।

(C) दिया गया व्यंजक: $(\sim(p \wedge q)) \vee q$
डी मॉर्गन के नियम का उपयोग करने पर: $(\sim p \vee \sim q) \vee q$
साहचर्य नियम का उपयोग करने पर: $\sim p \vee (\sim q \vee q)$
चूंकि $(\sim q \vee q) = t$ (पुनरुक्ति),इसलिए व्यंजक $\sim p \vee t = t$ हो जाता है।
अतः,यह व्यंजक एक पुनरुक्ति (tautology) है।
अब,विकल्पों की जाँच करने पर:
$C. p \rightarrow (p \vee q) \equiv \sim p \vee (p \vee q) \equiv (\sim p \vee p) \vee q \equiv t \vee q \equiv t$ (पुनरुक्ति)
इसलिए,सही विकल्प $C$ है।

(A) मान लीजिए कि दिए गए कथन $C_1, C_2, \dots, C_9$ हैं। हम $p, q, r, s$ के लिए सत्य मानों का परीक्षण करते हैं।
यदि हम $p=F, q=F, r=T, s=F$ लेते हैं:
$C_1: F \vee T \vee F = T$
$C_2: F \vee F \vee T = T$
$C_3: F \vee T \vee F = T$
$C_4: T \vee F \vee F = T$
$C_5: T \vee F \vee T = T$
$C_6: T \vee F \vee T = T$
$C_7: F \vee T \vee T = T$
$C_8: F \vee F \vee T = T$
$C_9: T \vee T \vee T = T$
इस असाइनमेंट के लिए सभी $9$ कथन सत्य हैं।

(C) दिया गया है $S_{1}: ((\sim p) \vee q) \vee ((\sim p) \vee r)$.
साहचर्य और वर्गसम नियमों का उपयोग करते हुए,$S_{1} \equiv (\sim p \vee \sim p) \vee (q \vee r) \equiv \sim p \vee (q \vee r)$.
दिया गया है $S_{2}: p \rightarrow (q \vee r)$.
प्रतिबंधात्मक नियम $p \rightarrow x \equiv \sim p \vee x$ का उपयोग करते हुए,$S_{2} \equiv \sim p \vee (q \vee r)$.
चूंकि $S_{1} \equiv S_{2}$,उनका सत्यता मान हमेशा समान होता है।
इसलिए,यदि $S_{2}$ असत्य है,तो $S_{1}$ भी असत्य होना चाहिए।
अतः,कथन 'यदि $S_{2}$ असत्य है,तो $S_{1}$ सत्य है' सत्य नहीं है।

(C) माना कथन $S = (p \vee q) \Rightarrow ((\sim r) \vee p)$ है।
निहित नियम $A \Rightarrow B \equiv \sim A \vee B$ का उपयोग करने पर:
$S \equiv \sim (p \vee q) \vee ((\sim r) \vee p)$
$S \equiv (\sim p \wedge \sim q) \vee (\sim r \vee p)$
वितरण नियम $(A \wedge B) \vee C \equiv (A \vee C) \wedge (B \vee C)$ का उपयोग करने पर:
$S \equiv (\sim p \vee \sim r \vee p) \wedge (\sim q \vee \sim r \vee p)$
चूंकि $(\sim p \vee p) \equiv T$ (तर्कवाक्य),हमारे पास है:
$S \equiv (T \vee \sim r) \wedge (\sim q \vee \sim r \vee p)$
$S \equiv T \wedge (\sim q \vee \sim r \vee p) \equiv \sim q \vee \sim r \vee p$
अब,$S$ का निषेध $\sim (\sim q \vee \sim r \vee p)$ है।
डी मॉर्गन के नियम के अनुसार,$\sim (A \vee B \vee C) \equiv \sim A \wedge \sim B \wedge \sim C$:
$\sim S \equiv q \wedge r \wedge \sim p$
पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $(\sim p) \wedge q \wedge r$ प्राप्त होता है।

(C) सबसे पहले,व्यंजक $(p \vee q) \Rightarrow q$ को सरल करें:
$(p \vee q) \Rightarrow q \equiv \sim(p \vee q) \vee q$
$\equiv (\sim p \wedge \sim q) \vee q$
$\equiv (\sim p \vee q) \wedge (\sim q \vee q)$
$\equiv (\sim p \vee q) \wedge t \equiv \sim p \vee q$.
अब,$(p \wedge q) \Delta (\sim p \vee q)$ के लिए विकल्पों की जाँच करें।
विकल्प $C$ $(\Rightarrow)$ के लिए:
$(p \wedge q) \Rightarrow (\sim p \vee q) \equiv \sim(p \wedge q) \vee (\sim p \vee q)$
$\equiv (\sim p \vee \sim q) \vee (\sim p \vee q)$
$\equiv \sim p \vee (\sim q \vee q)$
$\equiv \sim p \vee t \equiv t$.
चूँकि परिणाम एक पुनरुक्ति है,इसलिए $\Delta$ का मान $\Rightarrow$ है।

(D) दिए गए कथन:
$P$: रामू बुद्धिमान है
$Q$: रामू अमीर है
$R$: रामू ईमानदार नहीं है
कथन "रामू बुद्धिमान और ईमानदार है यदि और केवल यदि रामू अमीर नहीं है" को $(P \wedge \sim R) \Leftrightarrow \sim Q$ के रूप में दर्शाया गया है।
कथन का निषेध $\sim[(P \wedge \sim R) \Leftrightarrow \sim Q]$ है।
सर्वसमिका $\sim(A \Leftrightarrow B) \equiv (A \wedge \sim B) \vee (B \wedge \sim A)$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $A = (P \wedge \sim R)$ और $B = \sim Q$:
$= ((P \wedge \sim R) \wedge \sim(\sim Q)) \vee (\sim Q \wedge \sim(P \wedge \sim R))$
$= ((P \wedge \sim R) \wedge Q) \vee (\sim Q \wedge (\sim P \vee \sim(\sim R)))$
$= ((P \wedge \sim R) \wedge Q) \vee (\sim Q \wedge (\sim P \vee R))$
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(D) एक कथन पुनरुक्ति है यदि इसके घटकों के सभी संभावित सत्य मानों के लिए इसका सत्य मान $T$ हो।
विकल्प $D$ के लिए: $q \Rightarrow ((\sim p) \vee q)$ पर विचार करें।
निहितार्थ नियम $A \Rightarrow B \equiv (\sim A) \vee B$ का उपयोग करने पर,यह $(\sim q) \vee ((\sim p) \vee q)$ हो जाता है।
साहचर्य नियम का उपयोग करने पर,यह $(\sim q \vee q) \vee (\sim p) = T \vee (\sim p) = T$ हो जाता है।
चूंकि परिणाम हमेशा $T$ है,इसलिए विकल्प $D$ एक पुनरुक्ति है।

(D) हम व्यंजक $p \Leftrightarrow (q \Rightarrow p)$ का निषेध ज्ञात करना चाहते हैं।
मान लीजिए $S = p \Leftrightarrow (q \Rightarrow p)$ है।
गुणधर्म $\sim(A \Leftrightarrow B) = (A \wedge \sim B) \vee (B \wedge \sim A)$ का उपयोग करते हुए,हमें मिलता है:
$\sim S = (p \wedge \sim(q$ $\Rightarrow p)) \vee ((q$ $\Rightarrow p) \wedge \sim p)$।
अब,पहले भाग को सरल करने पर: $p \wedge \sim(q \Rightarrow p) = p \wedge (q \wedge \sim p) = (p \wedge \sim p) \wedge q = F \wedge q = F$ (जहाँ $F$ एक व्याघात है)।
दूसरे भाग को सरल करने पर: $(q$ $\Rightarrow p) \wedge \sim p = (\sim q \vee p) \wedge \sim p = (\sim q \wedge \sim p) \vee (p \wedge \sim p) = (\sim p \wedge \sim q) \vee F = \sim p \wedge \sim q$।
इन दोनों को मिलाने पर,$\sim S = F \vee (\sim p \wedge \sim q) = \sim p \wedge \sim q$।

(C) दिया गया व्यंजक $(\sim( p \Leftrightarrow \sim q )) \wedge q$ है।
यहाँ,$\sim( p \Leftrightarrow \sim q ) \equiv p \Leftrightarrow q$ होता है।
अतः,व्यंजक $( p \Leftrightarrow q ) \wedge q$ बन जाता है।
इस व्यंजक का सरल रूप $p \wedge q$ है।

(D) निहितार्थ $X \rightarrow Y$ का मान $F$ होता है यदि और केवल यदि $X$ का मान $T$ हो और $Y$ का मान $F$ हो।
दिया गया है कि $(P \wedge (\sim R)) \rightarrow ((\sim R) \wedge Q)$ का मान $F$ है,इसलिए:
$P \wedge (\sim R) = T \implies P = T$ और $\sim R = T \implies R = F$.
$(\sim R) \wedge Q = F$. चूँकि $\sim R = T$,इसलिए $Q = F$ होना चाहिए।
अतः,सत्यता मान $P = T, Q = F, R = F$ हैं।
अब,विकल्पों की जाँच करते हैं:
$(A) P \vee Q$ $\rightarrow \sim R = (T \vee F)$ $\rightarrow T = T$ $\rightarrow T = T$.
$(B) R \vee Q$ $\rightarrow \sim P = (F \vee F)$ $\rightarrow F = F$ $\rightarrow F = T$.
$(C) \sim(P \vee Q)$ $\rightarrow \sim R = \sim(T \vee F)$ $\rightarrow T = \sim T$ $\rightarrow T = F$ $\rightarrow T = T$.
$(D) \sim(R \vee Q)$ $\rightarrow \sim P = \sim(F \vee F)$ $\rightarrow F = \sim F$ $\rightarrow F = T$ $\rightarrow F = F$.
अतः,विकल्प $(D)$ में दिया गया कथन $F$ है।

(C) हमें दिया गया है: $(p \wedge r) \Leftrightarrow (p \wedge (\sim q)) \equiv (\sim p)$.
यदि हम $r = q$ लेते हैं:
$(p \wedge q) \Leftrightarrow (p \wedge (\sim q))$.
यदि $p = T$ है,तो $(T \wedge q) \Leftrightarrow (T \wedge (\sim q)) \equiv q \Leftrightarrow (\sim q)$,जो $F$ है।
यदि $p = F$ है,तो $(F \wedge q) \Leftrightarrow (F \wedge (\sim q)) \equiv F \Leftrightarrow F$,जो $T$ है।
यह $(\sim p)$ की सत्यता सारणी के साथ मेल खाता है।
अतः,$r = q$ सही विकल्प है।

(D) दिए गए कथन हैं:
$p$: रमेश संगीत सुनता है।
$q$: रमेश अपने गाँव से बाहर है।
$r$: रविवार है।
$s$: शनिवार है।
हमें कथन "रमेश संगीत तभी सुनता है यदि वह अपने गाँव में है और रविवार या शनिवार है" का अनुवाद करना है।
$1$. "रमेश अपने गाँव में है" का अर्थ "रमेश अपने गाँव से बाहर है" का निषेध है,जो $\sim q$ है।
$2$. "रविवार या शनिवार है" का अर्थ $r \vee s$ है।
$3$. वाक्यांश "$p$ केवल यदि $A$" तार्किक रूप से $p \Rightarrow A$ के बराबर है।
अतः,कथन $p \Rightarrow ((\sim q) \wedge (r \vee s))$ बनता है।

(B) प्रत्येक विकल्प की जाँच करने पर:
विकल्प $B$ के लिए: $* = \vee, \odot = \vee$.
व्यंजक $(p \vee q) \vee (p \vee \sim q)$ बन जाता है।
साहचर्य और क्रमविनिमेय नियमों का उपयोग करने पर: $p \vee p \vee (q \vee \sim q) \equiv p \vee T \equiv T$.
चूंकि परिणाम $T$ (पुनरुक्ति) है,इसलिए विकल्प $B$ सही है।

(B) दिया गया कथन: $(p$ $\Rightarrow q) \vee (p$ $\Rightarrow r)$
सर्वसमिका $(p \Rightarrow q) \equiv (\sim p \vee q)$ का उपयोग करते हुए:
$= (\sim p \vee q) \vee (\sim p \vee r)$
$= \sim p \vee (q \vee r)$
$= p \Rightarrow (q \vee r)$
यह विकल्प $(C)$ से मेल खाता है।
अब अन्य विकल्पों की जाँच करें:
विकल्प $(A): (p \wedge \sim r)$ $\Rightarrow q
\equiv \sim(p \wedge \sim r) \vee q
\equiv (\sim p \vee r) \vee q
\equiv \sim p \vee (q \vee r)
\equiv p$ $\Rightarrow (q \vee r)$. (समतुल्य है)
विकल्प $(D): (p \wedge \sim q)$ $\Rightarrow r
\equiv \sim(p \wedge \sim q) \vee r
\equiv (\sim p \vee q) \vee r
\equiv \sim p \vee (q \vee r)
\equiv p$ $\Rightarrow (q \vee r)$. (समतुल्य है)
विकल्प $(B): (\sim q)$ $\Rightarrow ((\sim r) \vee p)
\equiv \sim(\sim q) \vee (\sim r \vee p)
\equiv q \vee \sim r \vee p
\equiv p \vee q \vee \sim r$. (जो $p \Rightarrow (q \vee r)$ के समतुल्य नहीं है)।

(D) दिया गया कथन: $(p \wedge q) \Rightarrow (p \wedge r)$
तार्किक समतुल्यता $A \Rightarrow B \equiv \sim A \vee B$ का उपयोग करने पर:
$\sim(p \wedge q) \vee (p \wedge r)$
डी मॉर्गन के नियम को लागू करने पर:
$(\sim p \vee \sim q) \vee (p \wedge r)$
वितरण नियम का उपयोग करने पर:
$((\sim p \vee p) \vee \sim q) \wedge (\sim p \vee \sim q \vee r)$
चूंकि $(\sim p \vee p) \equiv T$:
$T \wedge (\sim p \vee \sim q \vee r) \equiv \sim p \vee \sim q \vee r$
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर:
$(\sim p \vee \sim q) \vee r$
पुनः डी मॉर्गन के नियम को लागू करने पर:
$\sim(p \wedge q) \vee r$
इसे निहितार्थ (implication) में बदलने पर:
$(p \wedge q) \Rightarrow r$

(B) माना दिया गया कथन $r \Rightarrow s$ है,जहाँ $r = (\sim(P \wedge Q)) \vee ((\sim P) \wedge Q)$ और $s = ((\sim P) \wedge (\sim Q))$ है।
सत्यता सारणी के अनुसार,$r \Rightarrow s$ का मान $P \Leftrightarrow Q$ के समान है।

(C) हमें व्यंजक $\sim(p \wedge (p \rightarrow \sim q))$ दिया गया है।
डी मॉर्गन के नियम का उपयोग करते हुए,$\sim(A \wedge B) \equiv \sim A \vee \sim B$:
$\sim(p \wedge (p$ $\rightarrow \sim q)) \equiv \sim p \vee \sim(p$ $\rightarrow \sim q)$.
चूंकि $p \rightarrow q \equiv \sim p \vee q$,इसलिए $p \rightarrow \sim q \equiv \sim p \vee \sim q$.
इस मान को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$\equiv \sim p \vee \sim(\sim p \vee \sim q)$.
पुनः डी मॉर्गन के नियम को लागू करने पर:
$\equiv \sim p \vee (p \wedge q)$.
वितरण नियम का उपयोग करते हुए,$A \vee (B \wedge C) \equiv (A \vee B) \wedge (A \vee C)$:
$\equiv (\sim p \vee p) \wedge (\sim p \vee q)$.
चूंकि $\sim p \vee p \equiv t$ (तर्कवाक्य):
$\equiv t \wedge (\sim p \vee q)$.
$\equiv \sim p \vee q$.

(B) माना दिया गया कथन $S = (p \wedge \sim q)$ $\Rightarrow (p$ $\Rightarrow \sim q)$ है।
निगमन नियम $A \Rightarrow B \equiv \sim A \vee B$ का उपयोग करने पर:
$S \equiv \sim (p \wedge \sim q) \vee (p \Rightarrow \sim q)$
$S \equiv (\sim p \vee \sim (\sim q)) \vee (\sim p \vee \sim q)$
$S \equiv (\sim p \vee q) \vee (\sim p \vee \sim q)$
साहचर्य और क्रमविनिमेय नियमों का उपयोग करने पर:
$S \equiv \sim p \vee (q \vee \sim q)$
चूंकि $(q \vee \sim q)$ एक पुनरुक्ति $(t)$ है:
$S \equiv \sim p \vee t$
$S \equiv t$
अतः,यह कथन एक पुनरुक्ति है।