Mathematical logic Questions in Hindi

(N/A) घटक कथन निम्नलिखित हैं:
$p: \sqrt{2}$ एक परिमेय संख्या है।
$q: \sqrt{2}$ एक अपरिमेय संख्या है।
पहला कथन $p$ असत्य है,क्योंकि $\sqrt{2}$ को $\frac{p}{q}$ के रूप में व्यक्त नहीं किया जा सकता जहाँ $p, q$ पूर्णांक हैं और $q \neq 0$ है।
दूसरा कथन $q$ सत्य है।
चूंकि संयोजक शब्द 'या' (or) है,इसलिए संयुक्त कथन तब सत्य होता है जब कम से कम एक घटक कथन सत्य हो। अतः,यह संयुक्त कथन सत्य है।

(N/A) घटक कथन निम्नलिखित हैं:
$p: 24, 2$ का एक गुणज है।
$q: 24, 4$ का एक गुणज है।
$r: 24, 8$ का एक गुणज है।
तीनों कथन सत्य हैं। यहाँ,जोड़ने वाला शब्द 'और' है। इस प्रकार,हम देखते हैं कि मिश्रित कथन दो या दो से अधिक कथनों को 'और','या' आदि जैसे शब्दों द्वारा जोड़कर बनाए जाते हैं। गणित में इन शब्दों के विशेष अर्थ होते हैं।

(N/A) इस कथन का निषेध है: चेन्नई तमिलनाडु की राजधानी नहीं है।

(N/A) एक कथन $p$ का निषेध $\sim p$ द्वारा दर्शाया जाता है।
दिया गया कथन $p$: $\sqrt{2}$ एक सम्मिश्र संख्या नहीं है।
इसका निषेध $\sim p$ है: $\sqrt{2}$ एक सम्मिश्र संख्या है।

(N/A) "सभी त्रिभुज समबाहु त्रिभुज नहीं हैं" कथन का निषेध "कम से कम एक त्रिभुज ऐसा है जो समबाहु त्रिभुज है" होगा।

(B) कथन $P$ का निषेध $\sim P$ द्वारा दर्शाया जाता है।
दिया गया कथन $P$: संख्या $2$,$7$ से बड़ी है।
अतः,निषेध $\sim P$ है: संख्या $2$,$7$ से बड़ी नहीं है।

(N/A) कथन "प्रत्येक प्राकृत संख्या एक पूर्णांक है" का निषेध "कम से कम एक ऐसी प्राकृत संख्या है जो पूर्णांक नहीं है" होगा।

(A) पहले कथन '$x$ एक परिमेय संख्या नहीं है' का निषेध '$x$ एक परिमेय संख्या है' होता है।
चूंकि वास्तविक संख्याओं का समुच्चय परिमेय और अपरिमेय संख्याओं से बना होता है,इसलिए कथन '$x$ एक अपरिमेय संख्या नहीं है' तार्किक रूप से '$x$ एक परिमेय संख्या है' के बराबर है।
अतः,दिए गए दोनों कथन एक-दूसरे के निषेध हैं।

(A) पहले कथन '$x$ एक परिमेय संख्या है' का निषेध '$x$ एक परिमेय संख्या नहीं है' होता है।
चूंकि एक वास्तविक संख्या जो परिमेय नहीं है,वह परिभाषा के अनुसार एक अपरिमेय संख्या है,इसलिए कथन '$x$ एक परिमेय संख्या नहीं है' का अर्थ '$x$ एक अपरिमेय संख्या है' के समान है।
अतः,दिए गए कथनों के जोड़े वास्तव में एक-दूसरे के निषेध हैं।

(N/A) घटक कथन निम्नलिखित हैं:
$p: \text{संख्या } 3 \text{ अभाज्य है.}$
$q: \text{संख्या } 3 \text{ विषम है.}$
चूँकि $3$ एक अभाज्य संख्या है,कथन $p$ सत्य है।
चूँकि $3$ एक विषम संख्या है,कथन $q$ सत्य है।
अतः,दोनों घटक कथन सत्य हैं।

(N/A) घटक कथन इस प्रकार हैं:
$p:$ सभी पूर्णांक धनात्मक हैं।
$q:$ सभी पूर्णांक ऋणात्मक हैं।
दोनों कथन असत्य हैं क्योंकि $0$ एक पूर्णांक है जो न तो धनात्मक है और न ही ऋणात्मक।

घटक कथन इस प्रकार हैं:
$p: 100, 3$ से विभाज्य है।
$q: 100, 11$ से विभाज्य है।
$r: 100, 5$ से विभाज्य है।
सत्यता मानों की जाँच करने पर:
$100, 3$ से विभाज्य नहीं है,इसलिए $p$ असत्य है।
$100, 11$ से विभाज्य नहीं है,इसलिए $q$ असत्य है।
$100, 5$ से विभाज्य है,इसलिए $r$ सत्य है।

(N/A) घटक कथन इस प्रकार हैं:
$p:$ एक रेखा सीधी होती है।
$q:$ एक रेखा दोनों दिशाओं में अनिश्चित रूप से विस्तृत होती है।
ये दोनों कथन सत्य हैं,इसलिए,संयुक्त कथन सत्य है।

(N/A) घटक कथन इस प्रकार हैं:
$p: 0$ प्रत्येक धनात्मक पूर्णांक से छोटा है।
$q: 0$ प्रत्येक ऋणात्मक पूर्णांक से छोटा है।
चूंकि $0$ प्रत्येक ऋणात्मक पूर्णांक से बड़ा होता है,इसलिए कथन $q$ असत्य है।
चूंकि संयुक्त कथन 'और' (and) से जुड़ा है,यह केवल तभी सत्य होता है जब दोनों घटक कथन सत्य हों।
अतः,संयुक्त कथन असत्य है।

(B) दो घटक कथन इस प्रकार हैं:
$p:$ सभी जीवित प्राणियों के दो पैर होते हैं।
$q:$ सभी जीवित प्राणियों की दो आँखें होती हैं।
ये दोनों कथन असत्य हैं क्योंकि कई जीवित प्राणियों (जैसे मछली,पक्षी या कीड़े) के दो पैर या दो आँखें नहीं होती हैं। इसलिए,यह संयुक्त कथन असत्य है।

(A) इस कथन में,"या" समावेशी (inclusive) है। इसका कारण यह है कि एक व्यक्ति के पास पासपोर्ट और मतदाता पंजीकरण कार्ड दोनों एक साथ हो सकते हैं,और देश में प्रवेश करने के लिए कोई एक या दोनों दस्तावेज पर्याप्त हैं।

(A) इस कथन में,"या" समावेशी है। स्कूल छुट्टी होने पर,रविवार होने पर,या दोनों होने पर (उदाहरण के लिए,एक रविवार जो छुट्टी भी है) बंद रहता है। चूंकि इन सभी स्थितियों में शर्त पूरी होती है,इसलिए यह एक समावेशी "या" है।

(B) यहाँ उपयोग किया गया "Or" अनन्य (exclusive) है।
कारण: दो रेखाओं के लिए एक ही समय में एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करना और समांतर होना असंभव है। चूँकि दोनों स्थितियाँ एक साथ सत्य नहीं हो सकतीं,इसलिए यह "Or" अनन्य है।

(B) इस कथन में,"या" विशिष्ट (exclusive) है।
इसका कारण यह है कि एक छात्र को आमतौर पर अपनी तीसरी भाषा के रूप में केवल एक ही भाषा चुननी होती है और वह एक साथ फ्रेंच और संस्कृत दोनों नहीं ले सकता है।

(B) घटक कथन इस प्रकार हैं:
$p: \sqrt{2}$ एक परिमेय संख्या है।
$q: \sqrt{2}$ एक अपरिमेय संख्या है।
यहाँ,पहला कथन $p$ असत्य है और दूसरा कथन $q$ सत्य है।
चूंकि $\sqrt{2}$ एक ही समय में परिमेय और अपरिमेय दोनों नहीं हो सकता,इसलिए यहाँ प्रयुक्त "या" विशिष्ट (exclusive) है।
एक विशिष्ट "या" कथन में,यदि एक घटक सत्य है और दूसरा असत्य है,तो संयुक्त कथन सत्य होता है।
अतः,संयुक्त कथन सत्य है।

(N/A) घटक कथन इस प्रकार हैं:
$p:$ सार्वजनिक पुस्तकालय में प्रवेश करने के लिए बच्चों को पहचान पत्र की आवश्यकता होती है।
$q:$ सार्वजनिक पुस्तकालय में प्रवेश करने के लिए बच्चों को स्कूल अधिकारियों से एक पत्र की आवश्यकता होती है।
बच्चे पुस्तकालय में प्रवेश कर सकते हैं यदि उनके पास दोनों में से कोई एक हो,पहचान पत्र या पत्र,साथ ही जब उनके पास दोनों हों। इसलिए,यह एक समावेशी (inclusive) "या" है। संयुक्त कथन तब सत्य होता है यदि बच्चे के पास पहचान पत्र या पत्र,या दोनों हों।

(N/A) यह कथन दो घटक कथनों से बना है:
$p$: एक आयत एक चतुर्भुज है।
$q$: एक आयत एक $5$-भुजाओं वाला बहुभुज है।
यहाँ,प्रयुक्त "या" अपवर्जित (exclusive) है क्योंकि एक आयत एक ही समय में चतुर्भुज और $5$-भुजाओं वाला बहुभुज नहीं हो सकता है।
चूंकि $p$ सत्य है और $q$ असत्य है,इसलिए वियोजन $p \lor q$ सत्य है।

(N/A) दिया गया संयुक्त कथन है: 'सभी परिमेय संख्याएँ वास्तविक हैं और सभी वास्तविक संख्याएँ सम्मिश्र नहीं हैं।'
$1$. संयोजक शब्द 'और' है।
$2$. घटक कथन इस प्रकार हैं:
$p:$ सभी परिमेय संख्याएँ वास्तविक हैं।
$q:$ सभी वास्तविक संख्याएँ सम्मिश्र नहीं हैं।

(N/A) यहाँ संयोजक शब्द "या" (Or) है।
घटक कथन इस प्रकार हैं:
$p:$ एक पूर्णांक का वर्ग धनात्मक होता है।
$q:$ एक पूर्णांक का वर्ग ऋणात्मक होता है।

(N/A) यहाँ,संयोजक शब्द 'और' (and) है।
घटक कथन इस प्रकार हैं:
$p:$ रेत सूर्य में जल्दी गर्म हो जाती है।
$q:$ रेत रात में जल्दी ठंडी नहीं होती है।

(N/A) यहाँ संयोजक शब्द 'और' है।
घटक कथन इस प्रकार हैं:
$p: x = 2$ समीकरण $3x^{2} - x - 10 = 0$ का एक मूल है।
$q: x = 3$ समीकरण $3x^{2} - x - 10 = 0$ का एक मूल है।

(N/A) कथन में परिमाणक 'ऐसी एक संख्या का अस्तित्व है' (There exists) है।
'ऐसी एक संख्या का अस्तित्व है जो अपने वर्ग के बराबर है' कथन का निषेध 'ऐसी किसी संख्या का अस्तित्व नहीं है जो अपने वर्ग के बराबर हो' है।

(N/A) परिमाणक 'प्रत्येक' (For every) है।
इस कथन का निषेध निम्नलिखित है:
एक ऐसी वास्तविक संख्या $x$ का अस्तित्व है जिसके लिए $x, x+1$ से कम नहीं है।

(N/A) कथन है: 'भारत के प्रत्येक राज्य के लिए एक राजधानी का अस्तित्व है।'
$1$. परिमाणक 'अस्तित्व है' (There exists) है।
$2$. कथन का निषेध है: 'भारत में एक ऐसा राज्य है जिसकी कोई राजधानी नहीं है।'

(A) मान लीजिए $P$ कथन है: 'ऐसी वास्तविक संख्याएँ $x$ और $y$ मौजूद हैं जिनके लिए $x+y=y+x.$'
यह एक अस्तित्वपरक कथन है।
अस्तित्वपरक कथन का निषेध 'सभी के लिए' होता है।
अतः,$P$ का निषेध है: 'सभी वास्तविक संख्याओं $x$ और $y$ के लिए,$x+y \neq y+x.$'
अतः,दिए गए कथन एक-दूसरे के निषेध हैं।

(A) "सूर्य उगता है या चंद्रमा अस्त होता है" कथन में,"या" अपवर्जक (exclusive) है।
इसका कारण यह है कि सूर्य का उगना और चंद्रमा का अस्त होना दो अलग-अलग खगोलीय घटनाएं हैं जो एक ही संदर्भ में एक साथ नहीं हो सकती हैं।

(B) इस कथन में,"या" शब्द समावेशी है।
इसका कारण यह है कि ड्राइविंग लाइसेंस के लिए आवेदन करने हेतु एक व्यक्ति के पास राशन कार्ड और पासपोर्ट दोनों हो सकते हैं।
चूंकि शर्त तब भी पूरी होती है जब किसी व्यक्ति के पास या तो एक या दोनों दस्तावेज हों,इसलिए यह एक समावेशी "या" है।

(A) "सभी पूर्णांक धनात्मक या ऋणात्मक होते हैं" कथन में,"या" अपवर्जक (exclusive) है।
इसका कारण यह है कि कोई पूर्णांक एक ही समय में धनात्मक और ऋणात्मक दोनों नहीं हो सकता है। चूंकि दोनों शर्तें एक ही समय में सत्य नहीं हो सकती हैं,इसलिए यह एक अपवर्जक "या" है।

(C) $P \implies Q$ रूप के कथन का प्रतिधनात्मक कथन $\neg Q \implies \neg P$ होता है।
यहाँ,$P$ है "एक संख्या $9$ से विभाज्य है" और $Q$ है "एक संख्या $3$ से विभाज्य है।"
अतः,प्रतिधनात्मक कथन है: "यदि कोई संख्या $3$ से विभाज्य नहीं है,तो वह $9$ से विभाज्य नहीं है।"

(B) $P \implies Q$ के रूप वाले एक सशर्त कथन का प्रतिधनात्मक $\neg Q \implies \neg P$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,$P$ है "आप भारत में पैदा हुए हैं" और $Q$ है "आप भारत के नागरिक हैं"।
इसलिए,$\neg Q$ है "आप भारत के नागरिक नहीं हैं" और $\neg P$ है "आप भारत में पैदा नहीं हुए हैं"।
अतः,प्रतिधनात्मक है: "यदि आप भारत के नागरिक नहीं हैं,तो आप भारत में पैदा नहीं हुए हैं।"

(A) $P \implies Q$ रूप के कथन का प्रतिधनात्मक $\neg Q \implies \neg P$ होता है।
यहाँ,$P$ है "एक त्रिभुज समबाहु है" और $Q$ है "एक त्रिभुज समद्विबाहु है"।
अतः,प्रतिधनात्मक कथन "यदि एक त्रिभुज समद्विबाहु नहीं है,तो वह समबाहु नहीं है" होगा।

(N/A) "यदि $p$,तो $q$" कथन का विलोम "यदि $q$,तो $p$" होता है।
दिया गया कथन: यदि $n$ सम है,तो $n^{2}$ सम है।
अतः,इसका विलोम है: यदि $n^{2}$ सम है,तो $n$ सम है।

(N/A) "यदि $P$,तो $Q$" के रूप वाले सशर्त कथन का विलोम "यदि $Q$,तो $P$" होता है।
दिया गया कथन: यदि आप पुस्तक के सभी अभ्यास करते हैं $(P)$,तो आपको कक्षा में $A$ ग्रेड मिलता है $(Q)$।
अतः,इसका विलोम है: यदि आपको कक्षा में $A$ ग्रेड मिलता है,तो आपने पुस्तक के सभी अभ्यास कर लिए हैं।

(N/A) "यदि $P$,तो $Q$" रूप के कथन का विलोम "यदि $Q$,तो $P$" होता है।
यहाँ,$P$ है "दो पूर्णांक $a$ और $b$ इस प्रकार हैं कि $a > b$" और $Q$ है "$a - b$ सदैव एक धनात्मक पूर्णांक है"।
अतः,विलोम कथन है: "यदि $a - b$ सदैव एक धनात्मक पूर्णांक है,तो दो पूर्णांक $a$ और $b$ इस प्रकार हैं कि $a > b$।"

(N/A) घटक कथन इस प्रकार हैं:
$p: \text{त्रिभुज } ABC \text{ समबाहु है।}$
$q: \text{त्रिभुज } ABC \text{ समद्विबाहु है।}$
चूँकि प्रत्येक समबाहु त्रिभुज एक समद्विबाहु त्रिभुज भी होता है,इसलिए दिया गया संयुक्त कथन सत्य है।

(N/A) घटक कथन इस प्रकार हैं:
$p: a$ और $b$ पूर्णांक हैं।
$q: ab$ एक परिमेय संख्या है।
चूंकि दो पूर्णांकों का गुणनफल हमेशा एक पूर्णांक होता है,और प्रत्येक पूर्णांक एक परिमेय संख्या होती है,इसलिए यह संयुक्त कथन सत्य है।

(N/A) एक आयत एक वर्ग है यदि और केवल यदि उसकी चारों भुजाएँ बराबर हैं।

(N/A) एक संख्या $3$ से विभाज्य है यदि और केवल यदि उसके अंकों का योग $3$ से विभाज्य है।

(N/A) दिए गए कथन को निम्नलिखित पाँच अलग-अलग तरीकों से लिखा जा सकता है:
$(i)$ एक प्राकृतिक संख्या का विषम होना यह दर्शाता है कि उसका वर्ग विषम है।
$(ii)$ एक प्राकृतिक संख्या विषम है केवल यदि उसका वर्ग विषम है।
$(iii)$ एक प्राकृतिक संख्या के विषम होने के लिए,यह आवश्यक है कि उसका वर्ग विषम हो।
$(iv)$ एक प्राकृतिक संख्या के वर्ग के विषम होने के लिए,यह पर्याप्त है कि संख्या विषम हो।
$(v)$ यदि एक प्राकृतिक संख्या का वर्ग विषम नहीं है,तो वह प्राकृतिक संख्या विषम नहीं है।

(N/A) दिया गया कथन $P \implies Q$ के रूप में है,जहाँ $P$ है '$x$ एक अभाज्य संख्या है' और $Q$ है '$x$ विषम है'।
$P \implies Q$ का प्रतिधनात्मक $\neg Q \implies \neg P$ होता है।
अतः,प्रतिधनात्मक है: यदि $x$ विषम नहीं है,तो $x$ एक अभाज्य संख्या नहीं है।
$P \implies Q$ का विलोम $Q \implies P$ होता है।
अतः,विलोम है: यदि $x$ विषम है,तो वह एक अभाज्य संख्या है।

(N/A) मान लीजिए $p$ कथन है: "दो रेखाएँ समांतर हैं".
मान लीजिए $q$ कथन है: "वे एक ही समतल में प्रतिच्छेद नहीं करती हैं".
दिया गया कथन "यदि $p$,तो $q$ $(p \implies q)$" के रूप में है।
प्रतिधनात्मक कथन "यदि $q$ नहीं,तो $p$ नहीं $(
eg q \implies \neg p)$" है:
यदि दो रेखाएँ एक ही समतल में प्रतिच्छेद करती हैं,तो वे समांतर नहीं हैं।
विलोम कथन "यदि $q$,तो $p$ $(q \implies p)$" है:
यदि दो रेखाएँ एक ही समतल में प्रतिच्छेद नहीं करती हैं,तो वे समांतर हैं।

(N/A) मान लीजिए $p$ कथन 'कोई वस्तु ठंडी है' है और $q$ कथन 'उसका तापमान कम है' है।
दिया गया कथन $p \implies q$ के रूप में है।
$p \implies q$ का प्रतिधनात्मक $\neg q \implies \neg p$ होता है।
अतः,प्रतिधनात्मक है: 'यदि किसी वस्तु का तापमान कम नहीं है,तो वह ठंडी नहीं है।'
$p \implies q$ का विलोम $q \implies p$ होता है।
अतः,विलोम है: 'यदि किसी वस्तु का तापमान कम है,तो वह ठंडी है।'

(N/A) दिया गया कथन "यदि $p$,तो $q$" के रूप में है,जहाँ $p$ है "आप निगमनात्मक रूप से तर्क करना नहीं जानते हैं" और $q$ है "आप ज्यामिति को नहीं समझ सकते हैं"।
"यदि $p$,तो $q$" का प्रतिधनात्मक "यदि $q$ नहीं,तो $p$ नहीं" होता है।
यहाँ,$q$ नहीं का अर्थ है "आप ज्यामिति को समझ सकते हैं" और $p$ नहीं का अर्थ है "आप निगमनात्मक रूप से तर्क करना जानते हैं"।
अतः,प्रतिधनात्मक है: "यदि आप ज्यामिति को समझ सकते हैं,तो आप निगमनात्मक रूप से तर्क करना जानते हैं।"
"यदि $p$,तो $q$" का विलोम "यदि $q$,तो $p$" होता है।
अतः,विलोम है: "यदि आप ज्यामिति को नहीं समझ सकते हैं,तो आप निगमनात्मक रूप से तर्क करना नहीं जानते हैं।"

(N/A) दिया गया कथन है: यदि $x$ एक सम संख्या है,तो $x$,$4$ से विभाज्य है।
$1$. प्रतिधनात्मक (contrapositive) है: यदि $x$,$4$ से विभाज्य नहीं है,तो $x$ एक सम संख्या नहीं है।
$2$. विलोम (converse) है: यदि $x$,$4$ से विभाज्य है,तो $x$ एक सम संख्या है।

(N/A) यदि आपको नौकरी मिलती है,तो आपके प्रमाण-पत्र अच्छे हैं।