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Mathematical logic Questions in Hindi
Class 11 Mathematics · Mathematical Reasoning · Mathematical logic
584+
Questions
Hindi
Language
100%
With Solutions
Showing 49 of 584 questions in Hindi
351
DifficultMCQ
मान लीजिए $\Delta, \nabla \in \{\wedge, \vee\}$ इस प्रकार हैं कि $( p \rightarrow q ) \Delta ( p \nabla q )$ एक पुनरुक्ति (tautology) है। तो
A
$\Delta=\wedge, \nabla=\vee$
B
$\Delta=\vee, \nabla=\wedge$
C
$\Delta=\vee, \nabla=\vee$
D
$\Delta=\wedge, \nabla=\wedge$
Solution
(C) यह निर्धारित करने के लिए कि कौन सा संयोजन पुनरुक्ति (tautology) है,हम प्रत्येक मामले के लिए सत्यता सारणी का मूल्यांकन करते हैं:
$1$. $\Delta=\wedge, \nabla=\vee$ के लिए: व्यंजक $(p \rightarrow q) \wedge (p \vee q)$ है। यदि $p=T, q=F$ है,तो $(T \rightarrow F) \wedge (T \vee F) = F \wedge T = F$। यह पुनरुक्ति नहीं है।
$2$. $\Delta=\vee, \nabla=\wedge$ के लिए: व्यंजक $(p \rightarrow q) \vee (p \wedge q)$ है। यदि $p=T, q=F$ है,तो $(T \rightarrow F) \vee (T \wedge F) = F \vee F = F$। यह पुनरुक्ति नहीं है।
$3$. $\Delta=\vee, \nabla=\vee$ के लिए: व्यंजक $(p \rightarrow q) \vee (p \vee q)$ है।
- यदि $p=T, q=T$: $T \vee T = T$
- यदि $p=T, q=F$: $F \vee T = T$
- यदि $p=F, q=T$: $T \vee T = T$
- यदि $p=F, q=F$: $T \vee F = T$
चूंकि सभी मान $T$ हैं,यह एक पुनरुक्ति है।
$4$. $\Delta=\wedge, \nabla=\wedge$ के लिए: व्यंजक $(p \rightarrow q) \wedge (p \wedge q)$ है। यदि $p=F, q=F$ है,तो $T \wedge F = F$। यह पुनरुक्ति नहीं है।
अतः,सही विकल्प $\Delta=\vee, \nabla=\vee$ है।
$1$. $\Delta=\wedge, \nabla=\vee$ के लिए: व्यंजक $(p \rightarrow q) \wedge (p \vee q)$ है। यदि $p=T, q=F$ है,तो $(T \rightarrow F) \wedge (T \vee F) = F \wedge T = F$। यह पुनरुक्ति नहीं है।
$2$. $\Delta=\vee, \nabla=\wedge$ के लिए: व्यंजक $(p \rightarrow q) \vee (p \wedge q)$ है। यदि $p=T, q=F$ है,तो $(T \rightarrow F) \vee (T \wedge F) = F \vee F = F$। यह पुनरुक्ति नहीं है।
$3$. $\Delta=\vee, \nabla=\vee$ के लिए: व्यंजक $(p \rightarrow q) \vee (p \vee q)$ है।
- यदि $p=T, q=T$: $T \vee T = T$
- यदि $p=T, q=F$: $F \vee T = T$
- यदि $p=F, q=T$: $T \vee T = T$
- यदि $p=F, q=F$: $T \vee F = T$
चूंकि सभी मान $T$ हैं,यह एक पुनरुक्ति है।
$4$. $\Delta=\wedge, \nabla=\wedge$ के लिए: व्यंजक $(p \rightarrow q) \wedge (p \wedge q)$ है। यदि $p=F, q=F$ है,तो $T \wedge F = F$। यह पुनरुक्ति नहीं है।
अतः,सही विकल्प $\Delta=\vee, \nabla=\vee$ है।
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DifficultMCQ
यदि $p, q$ और $r$ तीन कथन हैं,तो $p, q$ और $r$ के सत्य मानों का कौन सा संयोजन तार्किक व्यंजक $\{(p \vee q) \wedge ((\sim p) \vee r)\} \rightarrow ((\sim q) \vee r)$ को असत्य बनाता है?
A
$p = T, q = F, r = T$
B
$p = T, q = T, r = F$
C
$p = F, q = T, r = F$
D
$p = T, q = F, r = F$
Solution
(C) एक सशर्त कथन $A \rightarrow B$ केवल तब असत्य होता है जब $A$ सत्य हो और $B$ असत्य हो।
मान लीजिए $A = (p \vee q) \wedge ((\sim p) \vee r)$ और $B = ((\sim q) \vee r)$ है।
हमें वह स्थिति ज्ञात करनी है जहाँ $A = T$ और $B = F$ हो।
$B = ((\sim q) \vee r)$ के असत्य होने के लिए,$(\sim q)$ और $r$ दोनों को असत्य होना चाहिए।
इसका अर्थ है $q = T$ और $r = F$ है।
अब,$q = T$ और $r = F$ को $A = (p \vee q) \wedge ((\sim p) \vee r)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$A = (p \vee T) \wedge ((\sim p) \vee F)$
$A = T \wedge (\sim p)$
$A$ के सत्य होने के लिए,$(\sim p)$ को सत्य होना चाहिए,जिसका अर्थ है $p = F$ है।
अतः,संयोजन $p = F, q = T, r = F$ व्यंजक को असत्य बनाता है।
मान लीजिए $A = (p \vee q) \wedge ((\sim p) \vee r)$ और $B = ((\sim q) \vee r)$ है।
हमें वह स्थिति ज्ञात करनी है जहाँ $A = T$ और $B = F$ हो।
$B = ((\sim q) \vee r)$ के असत्य होने के लिए,$(\sim q)$ और $r$ दोनों को असत्य होना चाहिए।
इसका अर्थ है $q = T$ और $r = F$ है।
अब,$q = T$ और $r = F$ को $A = (p \vee q) \wedge ((\sim p) \vee r)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$A = (p \vee T) \wedge ((\sim p) \vee F)$
$A = T \wedge (\sim p)$
$A$ के सत्य होने के लिए,$(\sim p)$ को सत्य होना चाहिए,जिसका अर्थ है $p = F$ है।
अतः,संयोजन $p = F, q = T, r = F$ व्यंजक को असत्य बनाता है।
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DifficultMCQ
कथन $B \Rightarrow ((\sim A) \vee B)$ किसके समतुल्य है?
A
$B$ $\Rightarrow (A$ $\Rightarrow B)$
B
$A \Rightarrow (A \Leftrightarrow B)$
C
$A$ $\Rightarrow ((\sim A)$ $\Rightarrow B)$
D
$B$ $\Rightarrow ((\sim A)$ $\Rightarrow B)$
Solution
(C) दिया गया कथन $B \Rightarrow ((\sim A) \vee B)$ है।
तार्किक समतुल्यता $P \Rightarrow Q \equiv (\sim P) \vee Q$ का उपयोग करने पर:
$B \Rightarrow ((\sim A) \vee B) \equiv (\sim B) \vee ((\sim A) \vee B)$
क्रमविनिमेय और साहचर्य नियमों का उपयोग करने पर:
$(\sim B) \vee B \vee (\sim A) \equiv T \vee (\sim A) \equiv T$
चूंकि यह कथन एक पुनरुक्ति (tautology) है,हम विकल्पों की जांच करते हैं।
विकल्प $C$ है $A$ $\Rightarrow ((\sim A)$ $\Rightarrow B) \equiv (\sim A) \vee ((\sim A)$ $\Rightarrow B) \equiv (\sim A) \vee (A \vee B) \equiv (\sim A \vee A) \vee B \equiv T \vee B \equiv T$ है।
अतः,यह कथन $A$ $\Rightarrow ((\sim A)$ $\Rightarrow B)$ के समतुल्य है।
तार्किक समतुल्यता $P \Rightarrow Q \equiv (\sim P) \vee Q$ का उपयोग करने पर:
$B \Rightarrow ((\sim A) \vee B) \equiv (\sim B) \vee ((\sim A) \vee B)$
क्रमविनिमेय और साहचर्य नियमों का उपयोग करने पर:
$(\sim B) \vee B \vee (\sim A) \equiv T \vee (\sim A) \equiv T$
चूंकि यह कथन एक पुनरुक्ति (tautology) है,हम विकल्पों की जांच करते हैं।
विकल्प $C$ है $A$ $\Rightarrow ((\sim A)$ $\Rightarrow B) \equiv (\sim A) \vee ((\sim A)$ $\Rightarrow B) \equiv (\sim A) \vee (A \vee B) \equiv (\sim A \vee A) \vee B \equiv T \vee B \equiv T$ है।
अतः,यह कथन $A$ $\Rightarrow ((\sim A)$ $\Rightarrow B)$ के समतुल्य है।
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DifficultMCQ
कथनों के बीच:
$(S1) \quad (( p \vee q )$ $\Rightarrow r ) \Leftrightarrow ( p$ $\Rightarrow r )$
$(S2) \quad (( p \vee q )$ $\Rightarrow r ) \Leftrightarrow (( p$ $\Rightarrow r ) \vee ( q$ $\Rightarrow r ))$
$(S1) \quad (( p \vee q )$ $\Rightarrow r ) \Leftrightarrow ( p$ $\Rightarrow r )$
$(S2) \quad (( p \vee q )$ $\Rightarrow r ) \Leftrightarrow (( p$ $\Rightarrow r ) \vee ( q$ $\Rightarrow r ))$
A
केवल $(S1)$ एक पुनरुक्ति (tautology) है
B
न तो $(S1)$ और न ही $(S2)$ एक पुनरुक्ति है
C
केवल $(S2)$ एक पुनरुक्ति है
D
$(S1)$ और $(S2)$ दोनों पुनरुक्तियाँ हैं
Solution
(B) यह जांचने के लिए कि क्या कोई कथन पुनरुक्ति है,हम सत्यता सारणी का उपयोग करते हैं।
$(S1)$ के लिए: यदि $p=F, q=T, r=F$ है,तो $(p \vee q) \Rightarrow r$ का मान $F$ है,जबकि $p \Rightarrow r$ का मान $T$ है। अतः,यह पुनरुक्ति नहीं है।
$(S2)$ के लिए: तार्किक तुल्यता का उपयोग करते हुए,$(p \vee q)$ $\Rightarrow r \equiv (p$ $\Rightarrow r) \wedge (q$ $\Rightarrow r)$।
यह $(p$ $\Rightarrow r) \vee (q$ $\Rightarrow r)$ के तुल्य नहीं है,इसलिए $(S2)$ भी पुनरुक्ति नहीं है।
अतः,न तो $(S1)$ और न ही $(S2)$ एक पुनरुक्ति है।
$(S1)$ के लिए: यदि $p=F, q=T, r=F$ है,तो $(p \vee q) \Rightarrow r$ का मान $F$ है,जबकि $p \Rightarrow r$ का मान $T$ है। अतः,यह पुनरुक्ति नहीं है।
$(S2)$ के लिए: तार्किक तुल्यता का उपयोग करते हुए,$(p \vee q)$ $\Rightarrow r \equiv (p$ $\Rightarrow r) \wedge (q$ $\Rightarrow r)$।
यह $(p$ $\Rightarrow r) \vee (q$ $\Rightarrow r)$ के तुल्य नहीं है,इसलिए $(S2)$ भी पुनरुक्ति नहीं है।
अतः,न तो $(S1)$ और न ही $(S2)$ एक पुनरुक्ति है।
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DifficultMCQ
निम्नलिखित कथनों पर विचार करें:
$P$: मुझे बुखार है
$Q$: मैं दवा लूंगा
$R$: मैं आराम करूंगा
कथन "यदि मुझे बुखार है,तो मैं दवा नहीं लूंगा और मैं आराम करूंगा" किसके समतुल्य है?
$P$: मुझे बुखार है
$Q$: मैं दवा लूंगा
$R$: मैं आराम करूंगा
कथन "यदि मुझे बुखार है,तो मैं दवा नहीं लूंगा और मैं आराम करूंगा" किसके समतुल्य है?
A
$(\sim P \vee \sim Q) \wedge (\sim P \vee R)$
B
$(\sim P \vee \sim Q) \wedge (\sim P \vee \sim R)$
C
$(P \vee Q) \wedge (\sim P \vee R)$
D
$(P \vee \sim Q) \wedge (P \vee \sim R)$
Solution
(A) मान लीजिए कथन हैं:
$P$: मुझे बुखार है
$Q$: मैं दवा लूंगा
$R$: मैं आराम करूंगा
दिया गया कथन है: "यदि मुझे बुखार है,तो मैं दवा नहीं लूंगा और मैं आराम करूंगा".
इसे $P \rightarrow (\sim Q \wedge R)$ के रूप में लिखा जा सकता है।
तार्किक समतुल्यता $A \rightarrow B \equiv \sim A \vee B$ का उपयोग करते हुए:
$P \rightarrow (\sim Q \wedge R) \equiv \sim P \vee (\sim Q \wedge R)$.
वितरण नियम $A \vee (B \wedge C) \equiv (A \vee B) \wedge (A \vee C)$ का उपयोग करते हुए:
$\sim P \vee (\sim Q \wedge R) \equiv (\sim P \vee \sim Q) \wedge (\sim P \vee R)$.
$P$: मुझे बुखार है
$Q$: मैं दवा लूंगा
$R$: मैं आराम करूंगा
दिया गया कथन है: "यदि मुझे बुखार है,तो मैं दवा नहीं लूंगा और मैं आराम करूंगा".
इसे $P \rightarrow (\sim Q \wedge R)$ के रूप में लिखा जा सकता है।
तार्किक समतुल्यता $A \rightarrow B \equiv \sim A \vee B$ का उपयोग करते हुए:
$P \rightarrow (\sim Q \wedge R) \equiv \sim P \vee (\sim Q \wedge R)$.
वितरण नियम $A \vee (B \wedge C) \equiv (A \vee B) \wedge (A \vee C)$ का उपयोग करते हुए:
$\sim P \vee (\sim Q \wedge R) \equiv (\sim P \vee \sim Q) \wedge (\sim P \vee R)$.
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DifficultMCQ
$(S1) (p \Rightarrow q) \vee (p \wedge (\sim q))$ एक पुनरुक्ति (tautology) है। $(S2) ((\sim p) \Rightarrow (\sim q)) \wedge ((\sim p) \vee q)$ एक व्याघात (contradiction) है। तो
A
केवल $(S2)$ सही है
B
$(S1)$ और $(S2)$ दोनों सही हैं
C
$(S1)$ और $(S2)$ दोनों गलत हैं
D
केवल $(S1)$ सही है
Solution
(D) यह जांचने के लिए कि क्या $(S1)$ एक पुनरुक्ति है,हम $(p \Rightarrow q) \vee (p \wedge (\sim q))$ के लिए सत्यता सारणी बनाते हैं।
चूंकि अंतिम कॉलम में सभी मान $T$ हैं,इसलिए $(S1)$ एक पुनरुक्ति है।
यह जांचने के लिए कि क्या $(S2)$ एक व्याघात है,हम $((\sim p) \Rightarrow (\sim q)) \wedge ((\sim p) \vee q)$ के लिए सत्यता सारणी बनाते हैं।
चूंकि अंतिम कॉलम में $T$ और $F$ दोनों शामिल हैं,इसलिए यह एक आकस्मिक कथन है,व्याघात नहीं।
इसलिए,केवल $(S1)$ सही है।
चूंकि अंतिम कॉलम में सभी मान $T$ हैं,इसलिए $(S1)$ एक पुनरुक्ति है।
यह जांचने के लिए कि क्या $(S2)$ एक व्याघात है,हम $((\sim p) \Rightarrow (\sim q)) \wedge ((\sim p) \vee q)$ के लिए सत्यता सारणी बनाते हैं।
चूंकि अंतिम कॉलम में $T$ और $F$ दोनों शामिल हैं,इसलिए यह एक आकस्मिक कथन है,व्याघात नहीं।
इसलिए,केवल $(S1)$ सही है।
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DifficultMCQ
$r \in \{p, q, \sim p, \sim q\}$ के उन मानों की संख्या ज्ञात कीजिए जिनके लिए $((p \wedge q)$ $\Rightarrow (r \vee q)) \wedge ((p \wedge r)$ $\Rightarrow q)$ एक पुनरुक्ति (tautology) है:
A
$3$
B
$2$
C
$1$
D
$4$
Solution
(B) माना दिया गया व्यंजक $S = ((p \wedge q)$ $\Rightarrow (r \vee q)) \wedge ((p \wedge r)$ $\Rightarrow q)$ है।
सर्वसमिका $A \Rightarrow B \equiv \sim A \vee B$ का उपयोग करने पर:
$S = (\sim(p \wedge q) \vee (r \vee q)) \wedge (\sim(p \wedge r) \vee q)$
$S = (\sim p \vee \sim q \vee r \vee q) \wedge (\sim p \vee \sim r \vee q)$
चूंकि $\sim q \vee q = T$ (पुनरुक्ति),पहला भाग $\sim p \vee r \vee T = T$ हो जाता है।
अतः,$S = T \wedge (\sim p \vee \sim r \vee q) = \sim p \vee \sim r \vee q$.
$S$ के पुनरुक्ति होने के लिए,$\sim p \vee \sim r \vee q$ को हमेशा सत्य होना चाहिए।
स्थिति $1$: $r = p$. तब $\sim p \vee \sim p \vee q = \sim p \vee q$,जो पुनरुक्ति नहीं है।
स्थिति $2$: $r = q$. तब $\sim p \vee \sim q \vee q = \sim p \vee T = T$. (मान्य)
स्थिति $3$: $r = \sim p$. तब $\sim p \vee \sim(\sim p) \vee q = \sim p \vee p \vee q = T \vee q = T$. (मान्य)
स्थिति $4$: $r = \sim q$. तब $\sim p \vee \sim(\sim q) \vee q = \sim p \vee q \vee q = \sim p \vee q$,जो पुनरुक्ति नहीं है।
अतः,$r$ के $2$ मानों के लिए व्यंजक एक पुनरुक्ति है।
सर्वसमिका $A \Rightarrow B \equiv \sim A \vee B$ का उपयोग करने पर:
$S = (\sim(p \wedge q) \vee (r \vee q)) \wedge (\sim(p \wedge r) \vee q)$
$S = (\sim p \vee \sim q \vee r \vee q) \wedge (\sim p \vee \sim r \vee q)$
चूंकि $\sim q \vee q = T$ (पुनरुक्ति),पहला भाग $\sim p \vee r \vee T = T$ हो जाता है।
अतः,$S = T \wedge (\sim p \vee \sim r \vee q) = \sim p \vee \sim r \vee q$.
$S$ के पुनरुक्ति होने के लिए,$\sim p \vee \sim r \vee q$ को हमेशा सत्य होना चाहिए।
स्थिति $1$: $r = p$. तब $\sim p \vee \sim p \vee q = \sim p \vee q$,जो पुनरुक्ति नहीं है।
स्थिति $2$: $r = q$. तब $\sim p \vee \sim q \vee q = \sim p \vee T = T$. (मान्य)
स्थिति $3$: $r = \sim p$. तब $\sim p \vee \sim(\sim p) \vee q = \sim p \vee p \vee q = T \vee q = T$. (मान्य)
स्थिति $4$: $r = \sim q$. तब $\sim p \vee \sim(\sim q) \vee q = \sim p \vee q \vee q = \sim p \vee q$,जो पुनरुक्ति नहीं है।
अतः,$r$ के $2$ मानों के लिए व्यंजक एक पुनरुक्ति है।
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DifficultMCQ
व्यंजक $q \vee ((\sim q) \wedge p)$ का निषेध (negation) किसके समतुल्य है?
A
$(\sim p) \wedge (\sim q)$
B
$p \wedge (\sim q)$
C
$(\sim p) \vee (\sim q)$
D
$(\sim p) \vee q$
Solution
(A) हमें व्यंजक $q \vee ((\sim q) \wedge p)$ का निषेध ज्ञात करना है।
माना $E = q \vee ((\sim q) \wedge p)$ है।
डी मॉर्गन के नियम का उपयोग करते हुए,$\sim(A \vee B) = (\sim A) \wedge (\sim B)$:
$\sim E = \sim q \wedge \sim((\sim q) \wedge p)$
पुनः डी मॉर्गन के नियम का उपयोग करते हुए,$\sim(A \wedge B) = (\sim A) \vee (\sim B)$:
$\sim E = \sim q \wedge (q \vee \sim p)$
वितरण नियम का उपयोग करते हुए,$A \wedge (B \vee C) = (A \wedge B) \vee (A \wedge C)$:
$\sim E = (\sim q \wedge q) \vee (\sim q \wedge \sim p)$
चूंकि $(\sim q \wedge q)$ एक व्याघात (contradiction,$F$) है:
$\sim E = F \vee (\sim q \wedge \sim p)$
चूंकि $F \vee X = X$:
$\sim E = (\sim q \wedge \sim p)$.
माना $E = q \vee ((\sim q) \wedge p)$ है।
डी मॉर्गन के नियम का उपयोग करते हुए,$\sim(A \vee B) = (\sim A) \wedge (\sim B)$:
$\sim E = \sim q \wedge \sim((\sim q) \wedge p)$
पुनः डी मॉर्गन के नियम का उपयोग करते हुए,$\sim(A \wedge B) = (\sim A) \vee (\sim B)$:
$\sim E = \sim q \wedge (q \vee \sim p)$
वितरण नियम का उपयोग करते हुए,$A \wedge (B \vee C) = (A \wedge B) \vee (A \wedge C)$:
$\sim E = (\sim q \wedge q) \vee (\sim q \wedge \sim p)$
चूंकि $(\sim q \wedge q)$ एक व्याघात (contradiction,$F$) है:
$\sim E = F \vee (\sim q \wedge \sim p)$
चूंकि $F \vee X = X$:
$\sim E = (\sim q \wedge \sim p)$.
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DifficultMCQ
नीचे दिए गए कथनों में से कौन सा कथन 'टॉटोलॉजी' (पुनरुक्ति) है?
A
$p$ $\rightarrow (p \land (p$ $\rightarrow q))$
B
$(p \land q)$ $\rightarrow (\sim p$ $\rightarrow q)$
C
$(p \land (p$ $\rightarrow q))$ $\rightarrow \sim q$
D
$p \lor (p \land q)$
Solution
(B) यदि किसी कथन का सत्यता मान उसके सभी घटकों के लिए हमेशा सत्य (True) रहता है,तो उसे टॉटोलॉजी (पुनरुक्ति) कहा जाता है।
$(B)$ विकल्प $(p \land q)$ $\rightarrow (\sim p$ $\rightarrow q)$ के लिए:
$\sim(p \land q) \lor (p \lor q) \equiv (\sim p \lor \sim q) \lor (p \lor q) \equiv (\sim p \lor p) \lor (\sim q \lor q) \equiv T \lor T \equiv T$.
अतः,यह एक टॉटोलॉजी है।
$(B)$ विकल्प $(p \land q)$ $\rightarrow (\sim p$ $\rightarrow q)$ के लिए:
$\sim(p \land q) \lor (p \lor q) \equiv (\sim p \lor \sim q) \lor (p \lor q) \equiv (\sim p \lor p) \lor (\sim q \lor q) \equiv T \lor T \equiv T$.
अतः,यह एक टॉटोलॉजी है।
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DifficultMCQ
कथन $(P$ $\Rightarrow Q) \wedge (R$ $\Rightarrow Q)$ तार्किक रूप से किसके समतुल्य है?
A
$(P \vee R) \Rightarrow Q$
B
$(P$ $\Rightarrow R) \wedge (Q$ $\Rightarrow R)$
C
$(P$ $\Rightarrow R) \vee (Q$ $\Rightarrow R)$
D
$(P \wedge R) \Rightarrow Q$
Solution
(A) दी गई अभिव्यक्ति: $(P$ $\Rightarrow Q) \wedge (R$ $\Rightarrow Q)$
हम जानते हैं कि निहितार्थ $P \Rightarrow Q$,$\sim P \vee Q$ के तार्किक रूप से समतुल्य है।
इस मान को अभिव्यक्ति में प्रतिस्थापित करने पर:
$(\sim P \vee Q) \wedge (\sim R \vee Q)$
वितरण नियम का उपयोग करके,हम $Q$ को उभयनिष्ठ ले सकते हैं:
$(\sim P \wedge \sim R) \vee Q$
डी मॉर्गन के नियम के अनुसार,$\sim P \wedge \sim R$,$\sim(P \vee R)$ के समतुल्य है:
$\sim(P \vee R) \vee Q$
निहितार्थ नियम $\sim A \vee B \equiv A \Rightarrow B$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$(P \vee R) \Rightarrow Q$
अतः,सही विकल्प $A$ है.
हम जानते हैं कि निहितार्थ $P \Rightarrow Q$,$\sim P \vee Q$ के तार्किक रूप से समतुल्य है।
इस मान को अभिव्यक्ति में प्रतिस्थापित करने पर:
$(\sim P \vee Q) \wedge (\sim R \vee Q)$
वितरण नियम का उपयोग करके,हम $Q$ को उभयनिष्ठ ले सकते हैं:
$(\sim P \wedge \sim R) \vee Q$
डी मॉर्गन के नियम के अनुसार,$\sim P \wedge \sim R$,$\sim(P \vee R)$ के समतुल्य है:
$\sim(P \vee R) \vee Q$
निहितार्थ नियम $\sim A \vee B \equiv A \Rightarrow B$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$(P \vee R) \Rightarrow Q$
अतः,सही विकल्प $A$ है.
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DifficultMCQ
कथनों में से:
$(S1): (p \Rightarrow q) \vee ((\sim p) \wedge q)$ एक पुनरुक्ति (tautology) है
$(S2): (q \Rightarrow p) \Rightarrow ((\sim p) \wedge q)$ एक व्याघात (contradiction) है
$(S1): (p \Rightarrow q) \vee ((\sim p) \wedge q)$ एक पुनरुक्ति (tautology) है
$(S2): (q \Rightarrow p) \Rightarrow ((\sim p) \wedge q)$ एक व्याघात (contradiction) है
A
न तो $(S1)$ और न ही $(S2)$ सत्य है
B
केवल $(S1)$ सत्य है
C
केवल $(S2)$ सत्य है
D
$(S1)$ और $(S2)$ दोनों सत्य हैं
Solution
(A) यह निर्धारित करने के लिए कि कथन सत्य हैं या नहीं,हम प्रत्येक के लिए सत्यता सारणी (truth table) बनाते हैं।
$(S1): (p \Rightarrow q) \vee ((\sim p) \wedge q)$ के लिए:
| $p$ | $q$ | $p \Rightarrow q$ | $\sim p \wedge q$ | $(p \Rightarrow q) \vee (\sim p \wedge q)$ |
|---|---|---|---|---|
| $T$ | $T$ | $T$ | $F$ | $T$ |
| $T$ | $F$ | $F$ | $F$ | $F$ |
| $F$ | $T$ | $T$ | $T$ | $T$ |
| $F$ | $F$ | $T$ | $F$ | $T$ |
चूंकि अंतिम कॉलम में $F$ है,इसलिए $(S1)$ एक पुनरुक्ति नहीं है। अतः,$(S1)$ असत्य है।
$(S2): (q \Rightarrow p) \Rightarrow ((\sim p) \wedge q)$ के लिए:
| $p$ | $q$ | $q \Rightarrow p$ | $\sim p \wedge q$ | $(q \Rightarrow p) \Rightarrow (\sim p \wedge q)$ |
|---|---|---|---|---|
| $T$ | $T$ | $T$ | $F$ | $F$ |
| $T$ | $F$ | $T$ | $F$ | $F$ |
| $F$ | $T$ | $F$ | $T$ | $T$ |
| $F$ | $F$ | $T$ | $F$ | $F$ |
चूंकि अंतिम कॉलम में $T$ और $F$ दोनों हैं,इसलिए $(S2)$ न तो पुनरुक्ति है और न ही व्याघात। अतः,$(S2)$ असत्य है।
इसलिए,न तो $(S1)$ और न ही $(S2)$ सत्य है।
$(S1): (p \Rightarrow q) \vee ((\sim p) \wedge q)$ के लिए:
| $p$ | $q$ | $p \Rightarrow q$ | $\sim p \wedge q$ | $(p \Rightarrow q) \vee (\sim p \wedge q)$ |
|---|---|---|---|---|
| $T$ | $T$ | $T$ | $F$ | $T$ |
| $T$ | $F$ | $F$ | $F$ | $F$ |
| $F$ | $T$ | $T$ | $T$ | $T$ |
| $F$ | $F$ | $T$ | $F$ | $T$ |
चूंकि अंतिम कॉलम में $F$ है,इसलिए $(S1)$ एक पुनरुक्ति नहीं है। अतः,$(S1)$ असत्य है।
$(S2): (q \Rightarrow p) \Rightarrow ((\sim p) \wedge q)$ के लिए:
| $p$ | $q$ | $q \Rightarrow p$ | $\sim p \wedge q$ | $(q \Rightarrow p) \Rightarrow (\sim p \wedge q)$ |
|---|---|---|---|---|
| $T$ | $T$ | $T$ | $F$ | $F$ |
| $T$ | $F$ | $T$ | $F$ | $F$ |
| $F$ | $T$ | $F$ | $T$ | $T$ |
| $F$ | $F$ | $T$ | $F$ | $F$ |
चूंकि अंतिम कॉलम में $T$ और $F$ दोनों हैं,इसलिए $(S2)$ न तो पुनरुक्ति है और न ही व्याघात। अतः,$(S2)$ असत्य है।
इसलिए,न तो $(S1)$ और न ही $(S2)$ सत्य है।
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View Solution362
MediumMCQ
$(p$ $\Rightarrow q)$ $\Rightarrow (q$ $\Rightarrow p)$ का निषेध क्या है?
A
$(\sim p) \vee q$
B
$(\sim q) \wedge p$
C
$q \wedge (\sim p)$
D
$p \vee (\sim q)$
Solution
(C) माना $S = (p$ $\Rightarrow q)$ $\Rightarrow (q$ $\Rightarrow p)$ है।
सर्वसमिका $A \Rightarrow B \equiv \sim A \vee B$ का उपयोग करने पर:
$S \equiv \sim (p$ $\Rightarrow q) \vee (q$ $\Rightarrow p)$
$S \equiv \sim (\sim p \vee q) \vee (\sim q \vee p)$
$S \equiv (p \wedge \sim q) \vee (\sim q \vee p)$
साहचर्य और क्रमविनिमेय नियमों का उपयोग करने पर:
$S \equiv (p \vee \sim q \vee p) \wedge (\sim q \vee \sim q \vee p)$
$S \equiv (p \vee \sim q) \wedge (\sim q \vee p) \equiv p \vee \sim q$ प्राप्त होता है।
अब,$S$ का निषेध $\sim (p \vee \sim q)$ है।
डी मॉर्गन के नियम के अनुसार,$\sim (p \vee \sim q) \equiv \sim p \wedge \sim (\sim q) \equiv \sim p \wedge q$ या $q \wedge (\sim p)$ है।
सर्वसमिका $A \Rightarrow B \equiv \sim A \vee B$ का उपयोग करने पर:
$S \equiv \sim (p$ $\Rightarrow q) \vee (q$ $\Rightarrow p)$
$S \equiv \sim (\sim p \vee q) \vee (\sim q \vee p)$
$S \equiv (p \wedge \sim q) \vee (\sim q \vee p)$
साहचर्य और क्रमविनिमेय नियमों का उपयोग करने पर:
$S \equiv (p \vee \sim q \vee p) \wedge (\sim q \vee \sim q \vee p)$
$S \equiv (p \vee \sim q) \wedge (\sim q \vee p) \equiv p \vee \sim q$ प्राप्त होता है।
अब,$S$ का निषेध $\sim (p \vee \sim q)$ है।
डी मॉर्गन के नियम के अनुसार,$\sim (p \vee \sim q) \equiv \sim p \wedge \sim (\sim q) \equiv \sim p \wedge q$ या $q \wedge (\sim p)$ है।
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MediumMCQ
$(p \wedge (\sim q)) \vee (\sim p)$ का निषेध किसके समतुल्य है?
A
$p \wedge q$
B
$p \wedge (\sim q)$
C
$p \wedge (q \wedge (\sim p))$
D
$p \vee (q \vee (\sim p))$
Solution
(A) माना कि दिया गया व्यंजक $S = (p \wedge (\sim q)) \vee (\sim p)$ है।
वितरण नियम का उपयोग करने पर:
$S = (p \vee (\sim p)) \wedge ((\sim q) \vee (\sim p))$
चूंकि $(p \vee (\sim p))$ एक पुनरुक्ति $(T)$ है,इसलिए:
$S = T \wedge ((\sim q) \vee (\sim p)) = (\sim q) \vee (\sim p)$
अब,हमें $S$ का निषेध ज्ञात करना है:
$\sim S = \sim ((\sim q) \vee (\sim p))$
डी मॉर्गन के नियम का उपयोग करने पर,$\sim (A \vee B) = (\sim A) \wedge (\sim B)$:
$\sim S = (\sim (\sim q)) \wedge (\sim (\sim p))$
$\sim S = q \wedge p = p \wedge q$
अतः,निषेध $p \wedge q$ के समतुल्य है।
वितरण नियम का उपयोग करने पर:
$S = (p \vee (\sim p)) \wedge ((\sim q) \vee (\sim p))$
चूंकि $(p \vee (\sim p))$ एक पुनरुक्ति $(T)$ है,इसलिए:
$S = T \wedge ((\sim q) \vee (\sim p)) = (\sim q) \vee (\sim p)$
अब,हमें $S$ का निषेध ज्ञात करना है:
$\sim S = \sim ((\sim q) \vee (\sim p))$
डी मॉर्गन के नियम का उपयोग करने पर,$\sim (A \vee B) = (\sim A) \wedge (\sim B)$:
$\sim S = (\sim (\sim q)) \wedge (\sim (\sim p))$
$\sim S = q \wedge p = p \wedge q$
अतः,निषेध $p \wedge q$ के समतुल्य है।
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MediumMCQ
कथन $(p \vee q) \wedge (q \vee (\sim r))$ का निषेध है
A
$(\sim p \wedge \sim q) \vee (\sim q \wedge r)$
B
$(\sim p \wedge \sim q) \vee (\sim q \vee r)$
C
$(\sim p \vee \sim q) \wedge (\sim q \vee r)$
D
$(\sim p \wedge \sim q) \vee (q \wedge r)$
Solution
(A) माना कथन $S = (p \vee q) \wedge (q \vee (\sim r))$ है।
$S$ का निषेध $\sim S = \sim [(p \vee q) \wedge (q \vee (\sim r))]$ है।
डी मॉर्गन के नियम का उपयोग करते हुए,$\sim (A \wedge B) = (\sim A) \vee (\sim B)$:
$\sim S = \sim (p \vee q) \vee \sim (q \vee (\sim r))$.
पुनः डी मॉर्गन के नियम को लागू करने पर,$\sim (p \vee q) = (\sim p \wedge \sim q)$ और $\sim (q \vee (\sim r)) = (\sim q \wedge r)$:
$\sim S = (\sim p \wedge \sim q) \vee (\sim q \wedge r)$.
$S$ का निषेध $\sim S = \sim [(p \vee q) \wedge (q \vee (\sim r))]$ है।
डी मॉर्गन के नियम का उपयोग करते हुए,$\sim (A \wedge B) = (\sim A) \vee (\sim B)$:
$\sim S = \sim (p \vee q) \vee \sim (q \vee (\sim r))$.
पुनः डी मॉर्गन के नियम को लागू करने पर,$\sim (p \vee q) = (\sim p \wedge \sim q)$ और $\sim (q \vee (\sim r)) = (\sim q \wedge r)$:
$\sim S = (\sim p \wedge \sim q) \vee (\sim q \wedge r)$.
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MediumMCQ
कथन $\sim[p \vee (\sim(p \wedge q))]$ किसके समतुल्य है?
A
$(\sim(p \wedge q)) \wedge q$
B
$\sim(p \wedge q)$
C
$\sim(p \vee q)$
D
$(p \wedge q) \wedge (\sim p)$
Solution
(D) दिया गया कथन: $\sim[p \vee (\sim(p \wedge q))]$
डी मॉर्गन के नियम का उपयोग करने पर: $\sim p \wedge \sim(\sim(p \wedge q))$
द्वि-निषेध के नियम का उपयोग करने पर: $\sim p \wedge (p \wedge q)$
साहचर्य नियम का उपयोग करने पर: $(\sim p \wedge p) \wedge q$
चूंकि $(\sim p \wedge p)$ एक व्याघात $(F)$ है,इसलिए: $F \wedge q = F$
विकल्पों की जांच करने पर,विकल्प $D$ है $(p \wedge q) \wedge (\sim p)$,जो $(p \wedge \sim p) \wedge q = F \wedge q = F$ के समतुल्य है।
अतः,यह कथन $(p \wedge q) \wedge (\sim p)$ के समतुल्य है.
डी मॉर्गन के नियम का उपयोग करने पर: $\sim p \wedge \sim(\sim(p \wedge q))$
द्वि-निषेध के नियम का उपयोग करने पर: $\sim p \wedge (p \wedge q)$
साहचर्य नियम का उपयोग करने पर: $(\sim p \wedge p) \wedge q$
चूंकि $(\sim p \wedge p)$ एक व्याघात $(F)$ है,इसलिए: $F \wedge q = F$
विकल्पों की जांच करने पर,विकल्प $D$ है $(p \wedge q) \wedge (\sim p)$,जो $(p \wedge \sim p) \wedge q = F \wedge q = F$ के समतुल्य है।
अतः,यह कथन $(p \wedge q) \wedge (\sim p)$ के समतुल्य है.
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MediumMCQ
$p, q$ और $r$ के सत्य मानों के उन क्रमित त्रिकों (ordered triplets) की संख्या ज्ञात कीजिए जिनके लिए कथन $(p \vee q) \wedge (p \vee r) \Rightarrow (q \vee r)$ का सत्य मान सत्य $(T)$ है।
A
$6$
B
$7$
C
$5$
D
$4$
Solution
(B) कथन $(p \vee q) \wedge (p \vee r) \Rightarrow (q \vee r)$ के सत्य होने के लिए क्रमित त्रिकों $(p, q, r)$ की संख्या ज्ञात करने हेतु,हम सत्यता सारणी (truth table) बनाते हैं:
| $p$ | $q$ | $r$ | $p \vee q$ | $p \vee r$ | $(p \vee q) \wedge (p \vee r)$ | $q \vee r$ | $(p \vee q) \wedge (p \vee r) \Rightarrow (q \vee r)$ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| $T$ | $T$ | $T$ | $T$ | $T$ | $T$ | $T$ | $T$ |
| $T$ | $T$ | $F$ | $T$ | $T$ | $T$ | $T$ | $T$ |
| $T$ | $F$ | $T$ | $T$ | $T$ | $T$ | $T$ | $T$ |
| $T$ | $F$ | $F$ | $T$ | $T$ | $T$ | $F$ | $F$ |
| $F$ | $T$ | $T$ | $T$ | $T$ | $T$ | $T$ | $T$ |
| $F$ | $T$ | $F$ | $T$ | $F$ | $F$ | $T$ | $T$ |
| $F$ | $F$ | $T$ | $F$ | $T$ | $F$ | $T$ | $T$ |
| $F$ | $F$ | $F$ | $F$ | $F$ | $F$ | $F$ | $T$ |
उन पंक्तियों की गणना करने पर जहाँ अंतिम कॉलम $T$ है,हमें $7$ स्थितियाँ प्राप्त होती हैं।
अतः,क्रमित त्रिकों की कुल संख्या $7$ है।
| $p$ | $q$ | $r$ | $p \vee q$ | $p \vee r$ | $(p \vee q) \wedge (p \vee r)$ | $q \vee r$ | $(p \vee q) \wedge (p \vee r) \Rightarrow (q \vee r)$ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| $T$ | $T$ | $T$ | $T$ | $T$ | $T$ | $T$ | $T$ |
| $T$ | $T$ | $F$ | $T$ | $T$ | $T$ | $T$ | $T$ |
| $T$ | $F$ | $T$ | $T$ | $T$ | $T$ | $T$ | $T$ |
| $T$ | $F$ | $F$ | $T$ | $T$ | $T$ | $F$ | $F$ |
| $F$ | $T$ | $T$ | $T$ | $T$ | $T$ | $T$ | $T$ |
| $F$ | $T$ | $F$ | $T$ | $F$ | $F$ | $T$ | $T$ |
| $F$ | $F$ | $T$ | $F$ | $T$ | $F$ | $T$ | $T$ |
| $F$ | $F$ | $F$ | $F$ | $F$ | $F$ | $F$ | $T$ |
उन पंक्तियों की गणना करने पर जहाँ अंतिम कॉलम $T$ है,हमें $7$ स्थितियाँ प्राप्त होती हैं।
अतः,क्रमित त्रिकों की कुल संख्या $7$ है।
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DifficultMCQ
कथन $((\sim p) \wedge q) \Rightarrow r$ का विलोम (converse) है
A
$(\sim r) \Rightarrow ((\sim p) \wedge q)$
B
$r \Rightarrow ((\sim p) \wedge q)$
C
$r \Rightarrow (p \vee (\sim q))$
D
$(p \vee (\sim q)) \Rightarrow (\sim r)$
Solution
(B) एक सशर्त कथन $P \Rightarrow Q$ का विलोम $Q \Rightarrow P$ के रूप में परिभाषित होता है।
दिया गया कथन $((\sim p) \wedge q) \Rightarrow r$ है,जहाँ $P = ((\sim p) \wedge q)$ और $Q = r$ है।
अतः,इसका विलोम $Q \Rightarrow P$ होगा,जो कि $r \Rightarrow ((\sim p) \wedge q)$ है।
दिया गया कथन $((\sim p) \wedge q) \Rightarrow r$ है,जहाँ $P = ((\sim p) \wedge q)$ और $Q = r$ है।
अतः,इसका विलोम $Q \Rightarrow P$ होगा,जो कि $r \Rightarrow ((\sim p) \wedge q)$ है।
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MediumMCQ
दो कथनों के बीच:
$(S1): (p \Rightarrow q) \wedge (q \wedge (\sim q))$ एक व्याघात (contradiction) है और
$(S2): (p \wedge q) \vee ((\sim p) \wedge q) \vee (p \wedge (\sim q)) \vee ((\sim p) \wedge (\sim q))$ एक पुनरुक्ति (tautology) है।
$(S1): (p \Rightarrow q) \wedge (q \wedge (\sim q))$ एक व्याघात (contradiction) है और
$(S2): (p \wedge q) \vee ((\sim p) \wedge q) \vee (p \wedge (\sim q)) \vee ((\sim p) \wedge (\sim q))$ एक पुनरुक्ति (tautology) है।
A
केवल $(S2)$ सत्य है
B
केवल $(S1)$ सत्य है
C
दोनों असत्य हैं
D
दोनों सत्य हैं
Solution
(D) $(S1): (p \Rightarrow q) \wedge (q \wedge (\sim q))$ के लिए
चूंकि $(q \wedge (\sim q))$ हमेशा असत्य $(F)$ है,इसलिए पूरा व्यंजक $(p \Rightarrow q) \wedge F$ हमेशा असत्य है। अतः,$(S1)$ एक व्याघात है।
$(S2): (p \wedge q) \vee ((\sim p) \wedge q) \vee (p \wedge (\sim q)) \vee ((\sim p) \wedge (\sim q))$ के लिए
हम वितरण नियमों का उपयोग करके इसे सरल बना सकते हैं:
$= [q \wedge (p \vee (\sim p))] \vee [(\sim q) \wedge (p \vee (\sim p))]$
$= [q \wedge T] \vee [(\sim q) \wedge T]$
$= q \vee (\sim q) = T$
चूंकि परिणाम हमेशा सत्य $(T)$ है,इसलिए $(S2)$ एक पुनरुक्ति है।
अतः,दोनों कथन सत्य हैं।
चूंकि $(q \wedge (\sim q))$ हमेशा असत्य $(F)$ है,इसलिए पूरा व्यंजक $(p \Rightarrow q) \wedge F$ हमेशा असत्य है। अतः,$(S1)$ एक व्याघात है।
$(S2): (p \wedge q) \vee ((\sim p) \wedge q) \vee (p \wedge (\sim q)) \vee ((\sim p) \wedge (\sim q))$ के लिए
हम वितरण नियमों का उपयोग करके इसे सरल बना सकते हैं:
$= [q \wedge (p \vee (\sim p))] \vee [(\sim q) \wedge (p \vee (\sim p))]$
$= [q \wedge T] \vee [(\sim q) \wedge T]$
$= q \vee (\sim q) = T$
चूंकि परिणाम हमेशा सत्य $(T)$ है,इसलिए $(S2)$ एक पुनरुक्ति है।
अतः,दोनों कथन सत्य हैं।
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DifficultMCQ
कथन $(( A \wedge ( B \vee C ))$ $\Rightarrow ( A \vee B ))$ $\Rightarrow A$ का निषेध है
A
$\sim A$ के समतुल्य
B
$\sim C$ के समतुल्य
C
$B \vee \sim C$ के समतुल्य
D
एक असत्य कथन (fallacy)
Solution
(A) माना कि $p = (( A \wedge ( B \vee C ))$ $\Rightarrow ( A \vee B ))$ $\Rightarrow A$ है।
निहितार्थ नियम $X \Rightarrow Y \equiv \sim X \vee Y$ का उपयोग करने पर:
$p \equiv \sim (( A \wedge ( B \vee C )) \Rightarrow ( A \vee B )) \vee A$.
निषेध नियम $\sim (X \Rightarrow Y) \equiv X \wedge \sim Y$ का उपयोग करने पर:
$p \equiv (( A \wedge ( B \vee C )) \wedge \sim ( A \vee B )) \vee A$.
डी मॉर्गन के नियम $\sim ( A \vee B ) \equiv \sim A \wedge \sim B$ का उपयोग करने पर:
$p \equiv (( A \wedge ( B \vee C )) \wedge ( \sim A \wedge \sim B )) \vee A$.
चूंकि $( A \wedge \sim A ) \equiv F$ (असत्य) है,व्यंजक सरल होकर प्राप्त होता है:
$p \equiv ( F \wedge ( B \vee C ) \wedge \sim B ) \vee A \equiv F \vee A \equiv A$.
अतः,कथन का निषेध $\sim p \equiv \sim A$ है।
निहितार्थ नियम $X \Rightarrow Y \equiv \sim X \vee Y$ का उपयोग करने पर:
$p \equiv \sim (( A \wedge ( B \vee C )) \Rightarrow ( A \vee B )) \vee A$.
निषेध नियम $\sim (X \Rightarrow Y) \equiv X \wedge \sim Y$ का उपयोग करने पर:
$p \equiv (( A \wedge ( B \vee C )) \wedge \sim ( A \vee B )) \vee A$.
डी मॉर्गन के नियम $\sim ( A \vee B ) \equiv \sim A \wedge \sim B$ का उपयोग करने पर:
$p \equiv (( A \wedge ( B \vee C )) \wedge ( \sim A \wedge \sim B )) \vee A$.
चूंकि $( A \wedge \sim A ) \equiv F$ (असत्य) है,व्यंजक सरल होकर प्राप्त होता है:
$p \equiv ( F \wedge ( B \vee C ) \wedge \sim B ) \vee A \equiv F \vee A \equiv A$.
अतः,कथन का निषेध $\sim p \equiv \sim A$ है।
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DifficultMCQ
कथन $(p \wedge (\sim q)) \vee ((\sim p) \wedge q) \vee ((\sim p) \wedge (\sim q))$ किसके समतुल्य है?
A
$(\sim p) \vee (\sim q)$
B
$p \vee (\sim q)$
C
$(\sim p) \vee q$
D
$p \vee q$
Solution
(A) दिया गया व्यंजक: $(p \wedge (\sim q)) \vee ((\sim p) \wedge q) \vee ((\sim p) \wedge (\sim q))$
$(\sim p)$ वाले पदों को समूहित करने पर:
$(p \wedge (\sim q)) \vee ((\sim p) \wedge (q \vee (\sim q)))$
चूंकि $(q \vee (\sim q)) = t$ (पुनरुक्ति):
$(p \wedge (\sim q)) \vee ((\sim p) \wedge t)$
$(p \wedge (\sim q)) \vee (\sim p)$
वितरण नियम $(A \vee (B \wedge C) = (A \vee B) \wedge (A \vee C))$ का उपयोग करने पर:
$((\sim p) \vee p) \wedge ((\sim p) \vee (\sim q))$
चूंकि $((\sim p) \vee p) = t$:
$t \wedge ((\sim p) \vee (\sim q))$
$= (\sim p) \vee (\sim q)$
$(\sim p)$ वाले पदों को समूहित करने पर:
$(p \wedge (\sim q)) \vee ((\sim p) \wedge (q \vee (\sim q)))$
चूंकि $(q \vee (\sim q)) = t$ (पुनरुक्ति):
$(p \wedge (\sim q)) \vee ((\sim p) \wedge t)$
$(p \wedge (\sim q)) \vee (\sim p)$
वितरण नियम $(A \vee (B \wedge C) = (A \vee B) \wedge (A \vee C))$ का उपयोग करने पर:
$((\sim p) \vee p) \wedge ((\sim p) \vee (\sim q))$
चूंकि $((\sim p) \vee p) = t$:
$t \wedge ((\sim p) \vee (\sim q))$
$= (\sim p) \vee (\sim q)$
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MediumMCQ
$p \wedge (q \wedge \sim(p \wedge q))$ का निषेध है
A
$\sim(p \vee q)$
B
$p \vee q$
C
$(\sim(p \wedge q)) \wedge q$
D
$(\sim(p \wedge q)) \vee p$
Solution
(D) हमें कथन $S = p \wedge (q \wedge \sim(p \wedge q))$ का निषेध ज्ञात करना है।
डी मॉर्गन के नियम का उपयोग करते हुए,$\sim S = \sim p \vee (\sim q \vee (p \wedge q))$।
वितरण नियम के अनुसार,$\sim q \vee (p \wedge q) = (\sim q \vee p) \wedge (\sim q \vee q) = \sim q \vee p$।
अतः,$\sim S = \sim p \vee \sim q \vee p = T$ (पुनरुक्ति)।
दिए गए विकल्पों के अनुसार,विकल्प $D$ सबसे निकटतम तार्किक उत्तर है।
डी मॉर्गन के नियम का उपयोग करते हुए,$\sim S = \sim p \vee (\sim q \vee (p \wedge q))$।
वितरण नियम के अनुसार,$\sim q \vee (p \wedge q) = (\sim q \vee p) \wedge (\sim q \vee q) = \sim q \vee p$।
अतः,$\sim S = \sim p \vee \sim q \vee p = T$ (पुनरुक्ति)।
दिए गए विकल्पों के अनुसार,विकल्प $D$ सबसे निकटतम तार्किक उत्तर है।
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EasyMCQ
$x_{1} = 1, x_{2} = 0, x_{3} = 0$ पर $f(x_{1}, x_{2}, x_{3}) = 1$ को संतुष्ट करने वाला फलन $f(x_{1}, x_{2}, x_{3})$ ज्ञात कीजिए।
A
$x_{1}' \cdot x_{2}$
B
$x_{1} \cdot x_{2}'$
C
$(x_{1} + x_{2} + x_{3})' \cdot x_{2}$
D
$(x_{1}' + x_{3}) \cdot x_{3}$
Solution
(B) हमें शर्त $x_{1} = 1, x_{2} = 0, x_{3} = 0$ दी गई है।
हम दिए गए विकल्पों का मूल्यांकन करते हैं:
विकल्प $B$ के लिए: $x_{1} \cdot x_{2}' = 1 \cdot (0)' = 1 \cdot 1 = 1$.
अतः,फलन $f(x_{1}, x_{2}, x_{3}) = x_{1} \cdot x_{2}'$ शर्त को संतुष्ट करता है।
हम दिए गए विकल्पों का मूल्यांकन करते हैं:
विकल्प $B$ के लिए: $x_{1} \cdot x_{2}' = 1 \cdot (0)' = 1 \cdot 1 = 1$.
अतः,फलन $f(x_{1}, x_{2}, x_{3}) = x_{1} \cdot x_{2}'$ शर्त को संतुष्ट करता है।
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MediumMCQ
बूलियन फलन $(x \cdot y)+[(x+y') \cdot y]'$ को सरल कीजिए।
A
$0$
B
$1$
C
$x+y$
D
$x y$
Solution
(B) दिया गया व्यंजक: $(x \cdot y)+[(x+y') \cdot y]'$
डी मॉर्गन के नियम $(a \cdot b)' = a' + b'$ का उपयोग करते हुए:
$= (x \cdot y) + [(x+y')' + y']$
डी मॉर्गन के नियम $(a+b)' = a' \cdot b'$ और इनवोल्यूशन नियम $(y')' = y$ का उपयोग करते हुए:
$= (x \cdot y) + [x' \cdot (y')' + y']$
$= (x \cdot y) + [x' \cdot y + y']$
$= x \cdot y + x' \cdot y + y'$
पहले दो पदों से $y$ को उभयनिष्ठ लेने पर:
$= y \cdot (x + x') + y'$
चूंकि $x + x' = 1$:
$= y \cdot 1 + y'$
$= y + y'$
चूंकि $y + y' = 1$:
$= 1$
डी मॉर्गन के नियम $(a \cdot b)' = a' + b'$ का उपयोग करते हुए:
$= (x \cdot y) + [(x+y')' + y']$
डी मॉर्गन के नियम $(a+b)' = a' \cdot b'$ और इनवोल्यूशन नियम $(y')' = y$ का उपयोग करते हुए:
$= (x \cdot y) + [x' \cdot (y')' + y']$
$= (x \cdot y) + [x' \cdot y + y']$
$= x \cdot y + x' \cdot y + y'$
पहले दो पदों से $y$ को उभयनिष्ठ लेने पर:
$= y \cdot (x + x') + y'$
चूंकि $x + x' = 1$:
$= y \cdot 1 + y'$
$= y + y'$
चूंकि $y + y' = 1$:
$= 1$
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EasyMCQ
दी गई सर्किट किसके समतुल्य है?
A
B
C
D
Solution
(A) माना $p$ स्विच $S_1$ है और $q$ स्विच $S_2$ है। दी गई सर्किट का प्रतीकात्मक रूप $(p \wedge \sim q) \vee (\sim p \wedge q) \vee (\sim p \wedge \sim q)$ है।
व्यंजक का सरलीकरण:
$= (p \wedge \sim q) \vee [\sim p \wedge (q \vee \sim q)]$
$= (p \wedge \sim q) \vee [\sim p \wedge t]$
$= (p \wedge \sim q) \vee \sim p$
$= \sim p \vee (p \wedge \sim q)$
$= (\sim p \vee p) \wedge (\sim p \vee \sim q)$
$= t \wedge (\sim p \vee \sim q)$
$= \sim p \vee \sim q$
व्यंजक $\sim p \vee \sim q$ समानांतर में जुड़े दो स्विच $S_1'$ और $S_2'$ को दर्शाता है।
व्यंजक का सरलीकरण:
$= (p \wedge \sim q) \vee [\sim p \wedge (q \vee \sim q)]$
$= (p \wedge \sim q) \vee [\sim p \wedge t]$
$= (p \wedge \sim q) \vee \sim p$
$= \sim p \vee (p \wedge \sim q)$
$= (\sim p \vee p) \wedge (\sim p \vee \sim q)$
$= t \wedge (\sim p \vee \sim q)$
$= \sim p \vee \sim q$
व्यंजक $\sim p \vee \sim q$ समानांतर में जुड़े दो स्विच $S_1'$ और $S_2'$ को दर्शाता है।
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MediumMCQ
तीन कथनों पर विचार करें -
$p: \forall n \in N, 10n-3$ एक अभाज्य संख्या है,जब $n, 3$ से विभाज्य नहीं है।
$q: \frac{2}{\sqrt{3}}, \frac{-2}{\sqrt{3}}, \frac{-1}{\sqrt{3}}$ एक निर्देशित रेखा के दिक कोज्या (direction cosines) हैं।
$r: \sin x$ अंतराल $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ में एक वर्धमान फलन है।
तो निम्नलिखित में से किस कथन पैटर्न का सत्य मान सत्य है?
$p: \forall n \in N, 10n-3$ एक अभाज्य संख्या है,जब $n, 3$ से विभाज्य नहीं है।
$q: \frac{2}{\sqrt{3}}, \frac{-2}{\sqrt{3}}, \frac{-1}{\sqrt{3}}$ एक निर्देशित रेखा के दिक कोज्या (direction cosines) हैं।
$r: \sin x$ अंतराल $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ में एक वर्धमान फलन है।
तो निम्नलिखित में से किस कथन पैटर्न का सत्य मान सत्य है?
A
$(p \wedge q) \leftrightarrow r$
B
$(p$ $\rightarrow q)$ $\rightarrow \sim r$
C
$(\sim p \vee q) \wedge r$
D
$(\sim p \wedge \sim q) \leftrightarrow \sim r$
Solution
(C) $1$. कथन $p$ का विश्लेषण: $n=1$ के लिए,$10(1)-3 = 7$ (अभाज्य)। $n=8$ के लिए,$10(8)-3 = 77 = 7 \times 11$ (अभाज्य नहीं)। अतः,$p$ असत्य $(F)$ है।
$2$. कथन $q$ का विश्लेषण: दिक कोज्याओं के वर्गों का योग $1$ होना चाहिए। यहाँ,$(\frac{2}{\sqrt{3}})^2 + (\frac{-2}{\sqrt{3}})^2 + (\frac{-1}{\sqrt{3}})^2 = 3 \neq 1$। अतः,$q$ असत्य $(F)$ है।
$3$. कथन $r$ का विश्लेषण: $\sin x$ अंतराल $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ में एक वर्धमान फलन है। अतः,$r$ सत्य $(T)$ है।
$4$. विकल्पों की जाँच करने पर: विकल्प $C$ में,$(\sim F \vee F) \wedge T$ $\Rightarrow (T \vee F) \wedge T$ $\Rightarrow T \wedge T$ $\Rightarrow T$। अतः,सही विकल्प $C$ है।
$2$. कथन $q$ का विश्लेषण: दिक कोज्याओं के वर्गों का योग $1$ होना चाहिए। यहाँ,$(\frac{2}{\sqrt{3}})^2 + (\frac{-2}{\sqrt{3}})^2 + (\frac{-1}{\sqrt{3}})^2 = 3 \neq 1$। अतः,$q$ असत्य $(F)$ है।
$3$. कथन $r$ का विश्लेषण: $\sin x$ अंतराल $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ में एक वर्धमान फलन है। अतः,$r$ सत्य $(T)$ है।
$4$. विकल्पों की जाँच करने पर: विकल्प $C$ में,$(\sim F \vee F) \wedge T$ $\Rightarrow (T \vee F) \wedge T$ $\Rightarrow T \wedge T$ $\Rightarrow T$। अतः,सही विकल्प $C$ है।
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MediumMCQ
कथन पैटर्न $[(p$ $\rightarrow q) \wedge \sim q]$ $\rightarrow r$ एक पुनरुक्ति (tautology) है जब $r$ किसके समतुल्य है?
A
$p \wedge \sim q$
B
$q \vee p$
C
$p \wedge q$
D
$\sim p$
Solution
(D) यह निर्धारित करने के लिए कि कथन पैटर्न $[(p$ $\rightarrow q) \wedge \sim q]$ $\rightarrow r$ कब एक पुनरुक्ति है,हम पहले पूर्ववृत्त $[(p \rightarrow q) \wedge \sim q]$ को सरल करते हैं।
निहितार्थ नियम $p \rightarrow q \equiv \sim p \vee q$ का उपयोग करते हुए,हमें मिलता है:
$[(\sim p \vee q) \wedge \sim q] \rightarrow r$
वितरण नियम द्वारा,यह $[(\sim p \wedge \sim q) \vee (q \wedge \sim q)] \rightarrow r$ बन जाता है।
चूंकि $q \wedge \sim q \equiv F$ (एक विरोधाभास),हमारे पास है:
$[(\sim p \wedge \sim q) \vee F]$ $\rightarrow r \equiv (\sim p \wedge \sim q)$ $\rightarrow r$.
इसे पुनरुक्ति होने के लिए,$p$ और $q$ के सभी सत्य मानों के लिए अभिव्यक्ति सत्य होनी चाहिए।
यदि $r = \sim p$ है,तो अभिव्यक्ति $(\sim p \wedge \sim q) \rightarrow \sim p$ बन जाती है।
चूंकि $(\sim p \wedge \sim q)$,$\sim p$ को इंगित करता है,इसलिए निहितार्थ हमेशा सत्य है।
अतः,जब $r = \sim p$ होता है तो कथन एक पुनरुक्ति होता है।
निहितार्थ नियम $p \rightarrow q \equiv \sim p \vee q$ का उपयोग करते हुए,हमें मिलता है:
$[(\sim p \vee q) \wedge \sim q] \rightarrow r$
वितरण नियम द्वारा,यह $[(\sim p \wedge \sim q) \vee (q \wedge \sim q)] \rightarrow r$ बन जाता है।
चूंकि $q \wedge \sim q \equiv F$ (एक विरोधाभास),हमारे पास है:
$[(\sim p \wedge \sim q) \vee F]$ $\rightarrow r \equiv (\sim p \wedge \sim q)$ $\rightarrow r$.
इसे पुनरुक्ति होने के लिए,$p$ और $q$ के सभी सत्य मानों के लिए अभिव्यक्ति सत्य होनी चाहिए।
यदि $r = \sim p$ है,तो अभिव्यक्ति $(\sim p \wedge \sim q) \rightarrow \sim p$ बन जाती है।
चूंकि $(\sim p \wedge \sim q)$,$\sim p$ को इंगित करता है,इसलिए निहितार्थ हमेशा सत्य है।
अतः,जब $r = \sim p$ होता है तो कथन एक पुनरुक्ति होता है।
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EasyMCQ
निम्नलिखित में से कौन से समतुल्य परिपथ (equivalent circuits) के जोड़े हैं?
A
$(A)$ और $(B)$
B
$(B)$ और $(D)$
C
$(C)$ और $(E)$
D
$(A)$ और $(C)$
Solution
(D) हम परिपथों को बूलियन बीजगणित का उपयोग करके दर्शाते हैं,जहाँ एक बंद स्विच $1$ है और एक खुला स्विच $0$ है। यदि परिपथ बंद है तो लैंप $L$ जलता है।
$(A)$ परिपथ में दो समानांतर शाखाएँ हैं: $(S_1 \land S_2)$ और $(S_1 \land S_3)$। व्यंजक $(S_1 \land S_2) \lor (S_1 \land S_3) = S_1 \land (S_2 \lor S_3)$ है।
$(B)$ परिपथ में दो समानांतर शाखाएँ हैं: $S_1$ और $(S_2 \land S_3)$। व्यंजक $S_1 \lor (S_2 \land S_3)$ है।
$(C)$ परिपथ में $S_1$,$S_2$ और $S_3$ के समानांतर संयोजन के साथ श्रेणीक्रम में है। व्यंजक $S_1 \land (S_2 \lor S_3)$ है।
$(D)$ परिपथ में $S_1, S_2, S_3$ श्रेणीक्रम में हैं। व्यंजक $S_1 \land S_2 \land S_3$ है।
$(E)$ परिपथ में दो समानांतर शाखाएँ हैं: $(S_1 \land S_2)$ और $S_3$। व्यंजक $(S_1 \land S_2) \lor S_3$ है।
व्यंजकों की तुलना करने पर,परिपथ $(A)$ और परिपथ $(C)$ का बूलियन व्यंजक समान है: $S_1 \land (S_2 \lor S_3)$।
अतः,$(A)$ और $(C)$ समतुल्य परिपथ हैं।
$(A)$ परिपथ में दो समानांतर शाखाएँ हैं: $(S_1 \land S_2)$ और $(S_1 \land S_3)$। व्यंजक $(S_1 \land S_2) \lor (S_1 \land S_3) = S_1 \land (S_2 \lor S_3)$ है।
$(B)$ परिपथ में दो समानांतर शाखाएँ हैं: $S_1$ और $(S_2 \land S_3)$। व्यंजक $S_1 \lor (S_2 \land S_3)$ है।
$(C)$ परिपथ में $S_1$,$S_2$ और $S_3$ के समानांतर संयोजन के साथ श्रेणीक्रम में है। व्यंजक $S_1 \land (S_2 \lor S_3)$ है।
$(D)$ परिपथ में $S_1, S_2, S_3$ श्रेणीक्रम में हैं। व्यंजक $S_1 \land S_2 \land S_3$ है।
$(E)$ परिपथ में दो समानांतर शाखाएँ हैं: $(S_1 \land S_2)$ और $S_3$। व्यंजक $(S_1 \land S_2) \lor S_3$ है।
व्यंजकों की तुलना करने पर,परिपथ $(A)$ और परिपथ $(C)$ का बूलियन व्यंजक समान है: $S_1 \land (S_2 \lor S_3)$।
अतः,$(A)$ और $(C)$ समतुल्य परिपथ हैं।
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EasyMCQ
कथन पैटर्न $[p \rightarrow (q \wedge \sim p)] \vee [(p \vee \sim q) \wedge p]$ की सत्यता सारणी में अंतिम स्तंभ है
A
$TTTF$
B
$TFFF$
C
$TTTT$
D
$FFTT$
Solution
(C) आइए दिए गए कथन पैटर्न के लिए सत्यता सारणी का निर्माण करें:
$1$. $p$ | $q$ | $\sim p$ | $\sim q$ | $(q \wedge \sim p)$ | $p \rightarrow (q \wedge \sim p)$ | $(p \vee \sim q)$ | $(p \vee \sim q) \wedge p$ | $[p \rightarrow (q \wedge \sim p)] \vee [(p \vee \sim q) \wedge p]$
$2$. $T$ | $T$ | $F$ | $F$ | $F$ | $F$ | $T$ | $T$ | $T$
$3$. $T$ | $F$ | $F$ | $T$ | $F$ | $F$ | $T$ | $T$ | $T$
$4$. $F$ | $T$ | $T$ | $F$ | $T$ | $T$ | $F$ | $F$ | $T$
$5$. $F$ | $F$ | $T$ | $T$ | $F$ | $T$ | $T$ | $F$ | $T$
अतः,अंतिम स्तंभ के मान $T, T, T, T$ हैं।
$1$. $p$ | $q$ | $\sim p$ | $\sim q$ | $(q \wedge \sim p)$ | $p \rightarrow (q \wedge \sim p)$ | $(p \vee \sim q)$ | $(p \vee \sim q) \wedge p$ | $[p \rightarrow (q \wedge \sim p)] \vee [(p \vee \sim q) \wedge p]$
$2$. $T$ | $T$ | $F$ | $F$ | $F$ | $F$ | $T$ | $T$ | $T$
$3$. $T$ | $F$ | $F$ | $T$ | $F$ | $F$ | $T$ | $T$ | $T$
$4$. $F$ | $T$ | $T$ | $F$ | $T$ | $T$ | $F$ | $F$ | $T$
$5$. $F$ | $F$ | $T$ | $T$ | $F$ | $T$ | $T$ | $F$ | $T$
अतः,अंतिम स्तंभ के मान $T, T, T, T$ हैं।
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MediumMCQ
$(\sim p \wedge q) \vee (\sim p \wedge \sim q) \vee (p \wedge \sim q)$ का तार्किक रूप से समतुल्य कथन है
A
$(\sim p) \wedge q$
B
$(\sim p) \vee (\sim q)$
C
$(\sim p) \wedge (\sim q)$
D
$p \vee q$
Solution
(B) दी गई अभिव्यक्ति: $(\sim p \wedge q) \vee (\sim p \wedge \sim q) \vee (p \wedge \sim q)$
पहले दो पदों पर वितरण नियम का उपयोग करने पर: $(\sim p \wedge (q \vee \sim q)) \vee (p \wedge \sim q)$
चूंकि $(q \vee \sim q) \equiv T$ (तत:सत्य),अभिव्यक्ति बन जाती है: $(\sim p \wedge T) \vee (p \wedge \sim q)$
यह सरल होकर बनता है: $(\sim p) \vee (p \wedge \sim q)$
पुनः वितरण नियम लागू करने पर: $(\sim p \vee p) \wedge (\sim p \vee \sim q)$
चूंकि $(\sim p \vee p) \equiv T$,अभिव्यक्ति बन जाती है: $T \wedge (\sim p \vee \sim q)$
अतः,अंतिम समतुल्य कथन है: $(\sim p) \vee (\sim q)$
पहले दो पदों पर वितरण नियम का उपयोग करने पर: $(\sim p \wedge (q \vee \sim q)) \vee (p \wedge \sim q)$
चूंकि $(q \vee \sim q) \equiv T$ (तत:सत्य),अभिव्यक्ति बन जाती है: $(\sim p \wedge T) \vee (p \wedge \sim q)$
यह सरल होकर बनता है: $(\sim p) \vee (p \wedge \sim q)$
पुनः वितरण नियम लागू करने पर: $(\sim p \vee p) \wedge (\sim p \vee \sim q)$
चूंकि $(\sim p \vee p) \equiv T$,अभिव्यक्ति बन जाती है: $T \wedge (\sim p \vee \sim q)$
अतः,अंतिम समतुल्य कथन है: $(\sim p) \vee (\sim q)$
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MediumMCQ
यदि कथन $q$ का सत्यता मान $False$ है और $(p \wedge q) \leftrightarrow r$ का सत्यता मान $True$ है,तो निम्नलिखित में से किसका सत्यता मान $True$ है?
A
$p \wedge q$
B
$p \vee r$
C
$p \wedge r$
D
$(p \wedge r) \rightarrow (p \vee r)$
Solution
(D) दिया गया है कि $q$ का सत्यता मान $False$ है और $(p \wedge q) \leftrightarrow r$ का सत्यता मान $True$ है।
चूंकि $q$ का मान $False$ है,इसलिए $(p \wedge q)$ हमेशा $False$ होगा,चाहे $p$ का सत्यता मान कुछ भी हो।
इसे द्वि-प्रतिबंधक कथन में रखने पर: $False \leftrightarrow r$ का मान $True$ है।
एक द्वि-प्रतिबंधक कथन के $True$ होने के लिए,दोनों पक्षों का सत्यता मान समान होना चाहिए। इसलिए,$r$ का मान $False$ होना चाहिए।
अब,विकल्पों का मूल्यांकन करते हैं:
$A) p \wedge q = p \wedge False = False$.
$B) p \vee r = p \vee False = p$. यह $p$ पर निर्भर करता है,इसलिए यह हमेशा $True$ नहीं है।
$C) p \wedge r = p \wedge False = False$.
$D) (p \wedge r)$ $\rightarrow (p \vee r) = (p \wedge False)$ $\rightarrow (p \vee False) = False$ $\rightarrow p$.
चूंकि $False \rightarrow p$ किसी भी $p$ के सत्यता मान के लिए हमेशा $True$ होता है,इसलिए विकल्प $D$ $True$ है।
चूंकि $q$ का मान $False$ है,इसलिए $(p \wedge q)$ हमेशा $False$ होगा,चाहे $p$ का सत्यता मान कुछ भी हो।
इसे द्वि-प्रतिबंधक कथन में रखने पर: $False \leftrightarrow r$ का मान $True$ है।
एक द्वि-प्रतिबंधक कथन के $True$ होने के लिए,दोनों पक्षों का सत्यता मान समान होना चाहिए। इसलिए,$r$ का मान $False$ होना चाहिए।
अब,विकल्पों का मूल्यांकन करते हैं:
$A) p \wedge q = p \wedge False = False$.
$B) p \vee r = p \vee False = p$. यह $p$ पर निर्भर करता है,इसलिए यह हमेशा $True$ नहीं है।
$C) p \wedge r = p \wedge False = False$.
$D) (p \wedge r)$ $\rightarrow (p \vee r) = (p \wedge False)$ $\rightarrow (p \vee False) = False$ $\rightarrow p$.
चूंकि $False \rightarrow p$ किसी भी $p$ के सत्यता मान के लिए हमेशा $True$ होता है,इसलिए विकल्प $D$ $True$ है।
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EasyMCQ
"यदि एक त्रिभुज के तीन शीर्ष इकाई के घनमूलों द्वारा निरूपित होते हैं,तो त्रिभुज एक समबाहु त्रिभुज है" का समतुल्य कथन है
A
एक त्रिभुज के तीन शीर्ष इकाई के घनमूलों द्वारा निरूपित होते हैं और त्रिभुज एक समबाहु त्रिभुज नहीं है।
B
यदि एक त्रिभुज एक समबाहु त्रिभुज है,तो त्रिभुज के तीन शीर्ष इकाई के घनमूलों द्वारा निरूपित होते हैं।
C
यदि त्रिभुज के तीन शीर्ष इकाई के घनमूलों द्वारा निरूपित नहीं होते हैं,तो त्रिभुज एक समबाहु त्रिभुज नहीं है।
D
यदि एक त्रिभुज एक समबाहु त्रिभुज नहीं है,तो त्रिभुज के तीन शीर्षों को इकाई के घनमूलों द्वारा निरूपित नहीं किया जा सकता है।
Solution
(D) मान लीजिए $P$ कथन है: "त्रिभुज के तीन शीर्ष इकाई के घनमूलों द्वारा निरूपित होते हैं".
मान लीजिए $Q$ कथन है: "त्रिभुज एक समबाहु त्रिभुज है".
दिया गया कथन $P \implies Q$ के रूप में है.
एक सशर्त कथन $P \implies Q$ का प्रतिधनात्मक (contrapositive) $\neg Q \implies \neg P$ होता है,जो मूल कथन के तार्किक रूप से समतुल्य है.
यहाँ,$\neg Q$ है: "त्रिभुज एक समबाहु त्रिभुज नहीं है".
यहाँ,$\neg P$ है: "त्रिभुज के तीन शीर्ष इकाई के घनमूलों द्वारा निरूपित नहीं होते हैं".
अतः,समतुल्य कथन $\neg Q \implies \neg P$ है,जो है: "यदि एक त्रिभुज एक समबाहु त्रिभुज नहीं है,तो त्रिभुज के तीन शीर्षों को इकाई के घनमूलों द्वारा निरूपित नहीं किया जा सकता है".
इसलिए,सही विकल्प $D$ है.
मान लीजिए $Q$ कथन है: "त्रिभुज एक समबाहु त्रिभुज है".
दिया गया कथन $P \implies Q$ के रूप में है.
एक सशर्त कथन $P \implies Q$ का प्रतिधनात्मक (contrapositive) $\neg Q \implies \neg P$ होता है,जो मूल कथन के तार्किक रूप से समतुल्य है.
यहाँ,$\neg Q$ है: "त्रिभुज एक समबाहु त्रिभुज नहीं है".
यहाँ,$\neg P$ है: "त्रिभुज के तीन शीर्ष इकाई के घनमूलों द्वारा निरूपित नहीं होते हैं".
अतः,समतुल्य कथन $\neg Q \implies \neg P$ है,जो है: "यदि एक त्रिभुज एक समबाहु त्रिभुज नहीं है,तो त्रिभुज के तीन शीर्षों को इकाई के घनमूलों द्वारा निरूपित नहीं किया जा सकता है".
इसलिए,सही विकल्प $D$ है.
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MediumMCQ
$(p \wedge \sim q) \rightarrow (p \vee \sim q)$ का निषेध है
A
एक पुनरुक्ति (tautology)
B
एक आकस्मिक (contingency)
C
एक विरोधाभास (contradiction)
D
$p \wedge q$ के समतुल्य
Solution
(C) माना $S$ कथन $(p \wedge \sim q) \rightarrow (p \vee \sim q)$ है।
याद रखें कि निहितार्थ $A \rightarrow B$ का निषेध $A \wedge \sim B$ होता है।
यहाँ,$A = (p \wedge \sim q)$ और $B = (p \vee \sim q)$ है।
अतः,निषेध $(p \wedge \sim q) \wedge \sim (p \vee \sim q)$ होगा।
डी मॉर्गन के नियम का उपयोग करते हुए,$\sim (p \vee \sim q) \equiv \sim p \wedge \sim (\sim q) \equiv \sim p \wedge q$ प्राप्त होता है।
इस प्रकार,निषेध $(p \wedge \sim q) \wedge (\sim p \wedge q)$ है।
साहचर्य और क्रमविनिमेय गुणों द्वारा,यह $(p \wedge \sim p) \wedge (\sim q \wedge q)$ हो जाता है।
चूंकि $p \wedge \sim p$ एक विरोधाभास $(F)$ है और $\sim q \wedge q$ एक विरोधाभास $(F)$ है,इसलिए यह व्यंजक $F \wedge F$ बन जाता है,जो $F$ है।
जो कथन हमेशा गलत होता है उसे विरोधाभास कहा जाता है।
याद रखें कि निहितार्थ $A \rightarrow B$ का निषेध $A \wedge \sim B$ होता है।
यहाँ,$A = (p \wedge \sim q)$ और $B = (p \vee \sim q)$ है।
अतः,निषेध $(p \wedge \sim q) \wedge \sim (p \vee \sim q)$ होगा।
डी मॉर्गन के नियम का उपयोग करते हुए,$\sim (p \vee \sim q) \equiv \sim p \wedge \sim (\sim q) \equiv \sim p \wedge q$ प्राप्त होता है।
इस प्रकार,निषेध $(p \wedge \sim q) \wedge (\sim p \wedge q)$ है।
साहचर्य और क्रमविनिमेय गुणों द्वारा,यह $(p \wedge \sim p) \wedge (\sim q \wedge q)$ हो जाता है।
चूंकि $p \wedge \sim p$ एक विरोधाभास $(F)$ है और $\sim q \wedge q$ एक विरोधाभास $(F)$ है,इसलिए यह व्यंजक $F \wedge F$ बन जाता है,जो $F$ है।
जो कथन हमेशा गलत होता है उसे विरोधाभास कहा जाता है।
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MediumMCQ
यदि कथन पैटर्न $(p \wedge q) \rightarrow (r \vee \sim s)$ असत्य है,तो $p, q, r$ और $s$ के सत्य मान क्रमशः क्या हैं?
A
$T, F, T, F$
B
$T, T, T, F$
C
$T, T, F, F$
D
$T, T, F, T$
Solution
(D) प्रतिबंधात्मक कथन $(p \wedge q) \rightarrow (r \vee \sim s)$ केवल तब असत्य होता है जब पूर्ववर्ती $(p \wedge q)$ सत्य हो और परिणामी $(r \vee \sim s)$ असत्य हो।
$(p \wedge q)$ के सत्य होने के लिए,$p$ और $q$ दोनों का सत्य $(T)$ होना आवश्यक है।
$(r \vee \sim s)$ के असत्य होने के लिए,$r$ और $\sim s$ दोनों का असत्य $(F)$ होना आवश्यक है।
चूंकि $\sim s$ असत्य है,इसलिए $s$ सत्य $(T)$ होना चाहिए।
अतः,सत्य मान $p = T, q = T, r = F, s = T$ हैं।
$(p \wedge q)$ के सत्य होने के लिए,$p$ और $q$ दोनों का सत्य $(T)$ होना आवश्यक है।
$(r \vee \sim s)$ के असत्य होने के लिए,$r$ और $\sim s$ दोनों का असत्य $(F)$ होना आवश्यक है।
चूंकि $\sim s$ असत्य है,इसलिए $s$ सत्य $(T)$ होना चाहिए।
अतः,सत्य मान $p = T, q = T, r = F, s = T$ हैं।
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MediumMCQ
तार्किक कथन $[\sim(\sim p \vee q) \vee (p \wedge r) \wedge (\sim q \wedge r)]$ किसके समतुल्य है?
A
$(p \wedge r) \wedge \sim q$
B
$(\sim p \wedge \sim q) \wedge r$
C
$\sim p \vee r$
D
$(p \wedge \sim q) \vee r$
Solution
(A) दिया गया व्यंजक: $[\sim(\sim p \vee q) \vee (p \wedge r) \wedge (\sim q \wedge r)]$.
पहले भाग में डी मॉर्गन का नियम लागू करने पर: $\sim(\sim p \vee q) \equiv (p \wedge \sim q)$.
अब व्यंजक यह हो जाता है: $[(p \wedge \sim q) \vee ((p \wedge r) \wedge (\sim q \wedge r))]$.
साहचर्य और क्रमविनिमेय गुणों का उपयोग करने पर: $(p \wedge r) \wedge (\sim q \wedge r) \equiv (p \wedge \sim q) \wedge (r \wedge r) \equiv (p \wedge \sim q) \wedge r$.
इसे वापस रखने पर: $(p \wedge \sim q) \vee ((p \wedge \sim q) \wedge r)$.
अवशोषण नियम का उपयोग करने पर: $A \vee (A \wedge B) \equiv A$,जहाँ $A = (p \wedge \sim q)$ और $B = r$.
अतः,व्यंजक $(p \wedge \sim q)$ में सरल हो जाता है।
पहले भाग में डी मॉर्गन का नियम लागू करने पर: $\sim(\sim p \vee q) \equiv (p \wedge \sim q)$.
अब व्यंजक यह हो जाता है: $[(p \wedge \sim q) \vee ((p \wedge r) \wedge (\sim q \wedge r))]$.
साहचर्य और क्रमविनिमेय गुणों का उपयोग करने पर: $(p \wedge r) \wedge (\sim q \wedge r) \equiv (p \wedge \sim q) \wedge (r \wedge r) \equiv (p \wedge \sim q) \wedge r$.
इसे वापस रखने पर: $(p \wedge \sim q) \vee ((p \wedge \sim q) \wedge r)$.
अवशोषण नियम का उपयोग करने पर: $A \vee (A \wedge B) \equiv A$,जहाँ $A = (p \wedge \sim q)$ और $B = r$.
अतः,व्यंजक $(p \wedge \sim q)$ में सरल हो जाता है।
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DifficultMCQ
तार्किक कथन $[\{q \wedge (\sim q \vee r)\} \wedge \{\sim p \vee (p \wedge \sim r)\}] \vee (p \wedge r)$ के लिए सही सरलीकृत परिपथ आरेख क्या है,जहाँ $p, q, r$ क्रमशः स्विच $S_1, S_2, S_3$ का प्रतिनिधित्व करते हैं।
A
B
C
D
Solution
(B) माना कि दिया गया तार्किक कथन $L = [\{q \wedge (\sim q \vee r)\} \wedge \{\sim p \vee (p \wedge \sim r)\}] \vee (p \wedge r)$ है।
वितरण नियम का उपयोग करते हुए,$\{q \wedge (\sim q \vee r)\} = (q \wedge \sim q) \vee (q \wedge r) = F \vee (q \wedge r) = (q \wedge r)$.
वितरण नियम का उपयोग करते हुए,$\{\sim p \vee (p \wedge \sim r)\} = (\sim p \vee p) \wedge (\sim p \vee \sim r) = T \wedge (\sim p \vee \sim r) = (\sim p \vee \sim r)$.
इन मानों को $L$ में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $L = [(q \wedge r) \wedge (\sim p \vee \sim r)] \vee (p \wedge r)$ प्राप्त होता है।
वितरण नियम का उपयोग करते हुए,$(q \wedge r) \wedge (\sim p \vee \sim r) = (q \wedge r \wedge \sim p) \vee (q \wedge r \wedge \sim r) = (q \wedge r \wedge \sim p) \vee F = (q \wedge r \wedge \sim p)$.
अब,$L = (q \wedge r \wedge \sim p) \vee (p \wedge r) = r \wedge [(q \wedge \sim p) \vee p]$.
वितरण नियम का उपयोग करते हुए,$(q \wedge \sim p) \vee p = (q \vee p) \wedge (\sim p \vee p) = (q \vee p) \wedge T = (q \vee p)$.
अतः,$L = r \wedge (p \vee q)$.
स्विच के संदर्भ में,$r$ का अर्थ $S_3$,$p$ का अर्थ $S_1$,और $q$ का अर्थ $S_2$ है।
इसलिए,$L = S_3 \wedge (S_1 \vee S_2)$.
यह स्विच $S_3$ को स्विच $S_1$ और $S_2$ के समानांतर संयोजन के साथ श्रेणीक्रम में दर्शाता है।
वितरण नियम का उपयोग करते हुए,$\{q \wedge (\sim q \vee r)\} = (q \wedge \sim q) \vee (q \wedge r) = F \vee (q \wedge r) = (q \wedge r)$.
वितरण नियम का उपयोग करते हुए,$\{\sim p \vee (p \wedge \sim r)\} = (\sim p \vee p) \wedge (\sim p \vee \sim r) = T \wedge (\sim p \vee \sim r) = (\sim p \vee \sim r)$.
इन मानों को $L$ में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $L = [(q \wedge r) \wedge (\sim p \vee \sim r)] \vee (p \wedge r)$ प्राप्त होता है।
वितरण नियम का उपयोग करते हुए,$(q \wedge r) \wedge (\sim p \vee \sim r) = (q \wedge r \wedge \sim p) \vee (q \wedge r \wedge \sim r) = (q \wedge r \wedge \sim p) \vee F = (q \wedge r \wedge \sim p)$.
अब,$L = (q \wedge r \wedge \sim p) \vee (p \wedge r) = r \wedge [(q \wedge \sim p) \vee p]$.
वितरण नियम का उपयोग करते हुए,$(q \wedge \sim p) \vee p = (q \vee p) \wedge (\sim p \vee p) = (q \vee p) \wedge T = (q \vee p)$.
अतः,$L = r \wedge (p \vee q)$.
स्विच के संदर्भ में,$r$ का अर्थ $S_3$,$p$ का अर्थ $S_1$,और $q$ का अर्थ $S_2$ है।
इसलिए,$L = S_3 \wedge (S_1 \vee S_2)$.
यह स्विच $S_3$ को स्विच $S_1$ और $S_2$ के समानांतर संयोजन के साथ श्रेणीक्रम में दर्शाता है।
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MediumMCQ
यदि ${(p \wedge \sim q) \wedge (p \wedge r)} \rightarrow (\sim p \vee q)$ का सत्यता मान $False$ है,तो कथनों $p, q, r$ के सत्यता मान क्रमशः क्या हैं?
A
$T, T, T$
B
$F, F, F$
C
$F, F, T$
D
$T, F, T$
Solution
(D) एक सशर्त कथन $A \rightarrow B$,$False$ होता है यदि और केवल यदि $A$ सत्य $(True)$ हो और $B$ असत्य $(False)$ हो।
यहाँ,$A = \{(p \wedge \sim q) \wedge (p \wedge r)\}$ और $B = (\sim p \vee q)$ है।
$B = (\sim p \vee q)$ को $False$ होने के लिए,$\sim p$ और $q$ दोनों को $False$ होना चाहिए।
इसका अर्थ है $p = True$ और $q = False$।
अब,इन मानों को $A$ में प्रतिस्थापित करें:
$A = \{(T \wedge \sim F) \wedge (T \wedge r)\} = \{(T \wedge T) \wedge (T \wedge r)\} = \{T \wedge (T \wedge r)\} = (T \wedge r)$।
$A$ को $True$ होने के लिए,$r$ को $True$ होना चाहिए।
अतः,सत्यता मान $p = True, q = False, r = True$ हैं।
यहाँ,$A = \{(p \wedge \sim q) \wedge (p \wedge r)\}$ और $B = (\sim p \vee q)$ है।
$B = (\sim p \vee q)$ को $False$ होने के लिए,$\sim p$ और $q$ दोनों को $False$ होना चाहिए।
इसका अर्थ है $p = True$ और $q = False$।
अब,इन मानों को $A$ में प्रतिस्थापित करें:
$A = \{(T \wedge \sim F) \wedge (T \wedge r)\} = \{(T \wedge T) \wedge (T \wedge r)\} = \{T \wedge (T \wedge r)\} = (T \wedge r)$।
$A$ को $True$ होने के लिए,$r$ को $True$ होना चाहिए।
अतः,सत्यता मान $p = True, q = False, r = True$ हैं।
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View Solution387
MediumMCQ
निम्नलिखित में से किस कथन का सत्यता मान $T$ है?
$A$: इकाई के घनमूल गुणोत्तर श्रेणी में हैं और उनका योग $0$ है।
$B$: $4+7 > 10$ यदि और केवल यदि $2+8 < 10$.
$C$: $\exists x \in N$ इस प्रकार कि $x^2-3x+2=0$ और $\exists n \in N$ इस प्रकार कि $n$ एक विषम संख्या है।
$D$: $3+i$ एक सम्मिश्र संख्या है या $\sqrt{2}+\sqrt{3}=\sqrt{5}$.
$A$: इकाई के घनमूल गुणोत्तर श्रेणी में हैं और उनका योग $0$ है।
$B$: $4+7 > 10$ यदि और केवल यदि $2+8 < 10$.
$C$: $\exists x \in N$ इस प्रकार कि $x^2-3x+2=0$ और $\exists n \in N$ इस प्रकार कि $n$ एक विषम संख्या है।
$D$: $3+i$ एक सम्मिश्र संख्या है या $\sqrt{2}+\sqrt{3}=\sqrt{5}$.
A
केवल $A$
B
$B, C$ और $D$
C
$A$ और $C$ दोनों
D
$C$ और $D$ दोनों
Solution
(D) प्रत्येक कथन का मूल्यांकन करते हैं:
$A$: इकाई के घनमूल $1, \omega, \omega^2$ हैं। वे सार्व अनुपात $\omega$ के साथ गुणोत्तर श्रेणी बनाते हैं। उनका योग $1+\omega+\omega^2 = 0$ है। कथन कहता है कि योग $1$ है,जो गलत है। अतः,$A$ का मान $F$ है।
$B$: $4+7 > 10$ का अर्थ $11 > 10$ $(T)$ है। $2+8 < 10$ का अर्थ $10 < 10$ $(F)$ है। $T \iff F$ का मान $F$ होता है। अतः,$B$ का मान $F$ है।
$C$: $\exists x \in N$ इस प्रकार कि $x^2-3x+2=0$। मूल $x=1$ और $x=2$ हैं,जो दोनों $N$ में हैं। यह भाग $T$ है। $\exists n \in N$ इस प्रकार कि $n$ एक विषम संख्या है,यह $T$ है। $T \land T$ का मान $T$ है। अतः,$C$ का मान $T$ है।
$D$: $3+i$ एक सम्मिश्र संख्या है $(T)$। $\sqrt{2}+\sqrt{3}=\sqrt{5}$ गलत है $(F)$। $T \lor F$ का मान $T$ है। अतः,$D$ का मान $T$ है।
अतः,$C$ और $D$ दोनों का सत्यता मान $T$ है।
$A$: इकाई के घनमूल $1, \omega, \omega^2$ हैं। वे सार्व अनुपात $\omega$ के साथ गुणोत्तर श्रेणी बनाते हैं। उनका योग $1+\omega+\omega^2 = 0$ है। कथन कहता है कि योग $1$ है,जो गलत है। अतः,$A$ का मान $F$ है।
$B$: $4+7 > 10$ का अर्थ $11 > 10$ $(T)$ है। $2+8 < 10$ का अर्थ $10 < 10$ $(F)$ है। $T \iff F$ का मान $F$ होता है। अतः,$B$ का मान $F$ है।
$C$: $\exists x \in N$ इस प्रकार कि $x^2-3x+2=0$। मूल $x=1$ और $x=2$ हैं,जो दोनों $N$ में हैं। यह भाग $T$ है। $\exists n \in N$ इस प्रकार कि $n$ एक विषम संख्या है,यह $T$ है। $T \land T$ का मान $T$ है। अतः,$C$ का मान $T$ है।
$D$: $3+i$ एक सम्मिश्र संख्या है $(T)$। $\sqrt{2}+\sqrt{3}=\sqrt{5}$ गलत है $(F)$। $T \lor F$ का मान $T$ है। अतः,$D$ का मान $T$ है।
अतः,$C$ और $D$ दोनों का सत्यता मान $T$ है।
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MediumMCQ
यदि कथन पैटर्न $[p \wedge \sim r] \rightarrow [\sim r \wedge q]$ का सत्यता मान असत्य $(F)$ है,तो निम्नलिखित में से किसका सत्यता मान असत्य है?
A
$(p \vee r) \rightarrow \sim r$
B
$(r \vee q) \rightarrow \sim p$
C
$\sim(p \vee q) \rightarrow \sim r$
D
$\sim(r \vee q) \rightarrow \sim p$
Solution
(D) दिया गया कथन पैटर्न $[p \wedge \sim r] \rightarrow [\sim r \wedge q]$ है और इसका सत्यता मान $F$ है।
एक प्रतिबन्धित कथन $A \rightarrow B$ केवल तब $F$ होता है जब $A = T$ और $B = F$ हो।
अतः,$[p \wedge \sim r] = T$ और $[\sim r \wedge q] = F$ है।
$[p \wedge \sim r] = T$ से,हमें $p = T$ और $\sim r = T$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $r = F$।
चूंकि $r = F$,इसलिए $\sim r = T$ है।
$\sim r = T$ को $[\sim r \wedge q] = F$ में रखने पर,हमें $[T \wedge q] = F$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $q = F$।
इस प्रकार,सत्यता मान $p = T, q = F, r = F$ हैं।
अब,विकल्पों की जाँच करें:
$D$: $\sim(r \vee q)$ $\rightarrow \sim p \implies \sim(F \vee F)$ $\rightarrow F \implies \sim F$ $\rightarrow F \implies T$ $\rightarrow F = F$।
अतः,असत्य सत्यता मान वाला कथन $\sim(r \vee q) \rightarrow \sim p$ है।
एक प्रतिबन्धित कथन $A \rightarrow B$ केवल तब $F$ होता है जब $A = T$ और $B = F$ हो।
अतः,$[p \wedge \sim r] = T$ और $[\sim r \wedge q] = F$ है।
$[p \wedge \sim r] = T$ से,हमें $p = T$ और $\sim r = T$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $r = F$।
चूंकि $r = F$,इसलिए $\sim r = T$ है।
$\sim r = T$ को $[\sim r \wedge q] = F$ में रखने पर,हमें $[T \wedge q] = F$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $q = F$।
इस प्रकार,सत्यता मान $p = T, q = F, r = F$ हैं।
अब,विकल्पों की जाँच करें:
$D$: $\sim(r \vee q)$ $\rightarrow \sim p \implies \sim(F \vee F)$ $\rightarrow F \implies \sim F$ $\rightarrow F \implies T$ $\rightarrow F = F$।
अतः,असत्य सत्यता मान वाला कथन $\sim(r \vee q) \rightarrow \sim p$ है।
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यदि $p$: स्विच $S_1$ बंद है,$q$: स्विच $S_2$ बंद है,$r$: स्विच $S_3$ बंद है,तो निम्नलिखित स्विचिंग सर्किट का प्रतीकात्मक रूप किसके समतुल्य है:
A
$p \wedge (q \vee r)$
B
$p \wedge (q \wedge r)$
C
$p \vee (q \wedge r)$
D
$(p \wedge (q \vee r)) \vee (r \wedge q \wedge p)$
Solution
(D) यह सर्किट लैंप $L$ के साथ श्रेणीक्रम में जुड़ी दो समानांतर शाखाओं से बना है।
शाखा $1$ में स्विच $S_1$ और उसके साथ $S_2$ तथा $S_3$ का समानांतर संयोजन श्रेणीक्रम में है। इस शाखा का प्रतीकात्मक रूप $p \wedge (q \vee r)$ है।
शाखा $2$ में स्विच $S_3$,$S_2$,और $S_1$ तीनों श्रेणीक्रम में हैं। इस शाखा का प्रतीकात्मक रूप $r \wedge q \wedge p$ है।
चूंकि ये दोनों शाखाएं समानांतर में हैं,इसलिए कुल प्रतीकात्मक रूप $(p \wedge (q \vee r)) \vee (r \wedge q \wedge p)$ होगा।
शाखा $1$ में स्विच $S_1$ और उसके साथ $S_2$ तथा $S_3$ का समानांतर संयोजन श्रेणीक्रम में है। इस शाखा का प्रतीकात्मक रूप $p \wedge (q \vee r)$ है।
शाखा $2$ में स्विच $S_3$,$S_2$,और $S_1$ तीनों श्रेणीक्रम में हैं। इस शाखा का प्रतीकात्मक रूप $r \wedge q \wedge p$ है।
चूंकि ये दोनों शाखाएं समानांतर में हैं,इसलिए कुल प्रतीकात्मक रूप $(p \wedge (q \vee r)) \vee (r \wedge q \wedge p)$ होगा।
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$p$: यदि $7$ एक विषम संख्या है,तो $7$,$2$ से विभाज्य है।
$q$: यदि $7$ एक अभाज्य संख्या है,तो $7$ एक विषम संख्या है।
यदि $V_1$ और $V_2$ क्रमशः $p$ और $q$ के प्रतिधनात्मक (contrapositive) के सत्य मान हैं,तो $(V_1, V_2) \equiv$
$q$: यदि $7$ एक अभाज्य संख्या है,तो $7$ एक विषम संख्या है।
यदि $V_1$ और $V_2$ क्रमशः $p$ और $q$ के प्रतिधनात्मक (contrapositive) के सत्य मान हैं,तो $(V_1, V_2) \equiv$
A
$(T, T)$
B
$(T, F)$
C
$(F, T)$
D
$(F, F)$
Solution
(C) एक सशर्त कथन $P \implies Q$ का प्रतिधनात्मक $\neg Q \implies \neg P$ होता है।
कथन $p$ के लिए: $P$ है '$7$ एक विषम संख्या है' (सत्य),$Q$ है '$7$,$2$ से विभाज्य है' (असत्य)। प्रतिधनात्मक है 'यदि $7$,$2$ से विभाज्य नहीं है,तो $7$ एक विषम संख्या नहीं है'। चूँकि $7$,$2$ से विभाज्य नहीं है (सत्य) और $7$ एक विषम संख्या है (सत्य),इसलिए 'यदि सत्य,तो असत्य' कथन असत्य है। अतः,$V_1 = F$.
कथन $q$ के लिए: $P$ है '$7$ एक अभाज्य संख्या है' (सत्य),$Q$ है '$7$ एक विषम संख्या है' (सत्य)। प्रतिधनात्मक है 'यदि $7$ एक विषम संख्या नहीं है,तो $7$ एक अभाज्य संख्या नहीं है'। चूँकि $7$ एक विषम संख्या है (सत्य),इसलिए पूर्ववर्ती 'यदि $7$ एक विषम संख्या नहीं है' असत्य है। असत्य पूर्ववर्ती वाला सशर्त कथन हमेशा सत्य होता है। अतः,$V_2 = T$.
इसलिए,$(V_1, V_2) = (F, T)$.
कथन $p$ के लिए: $P$ है '$7$ एक विषम संख्या है' (सत्य),$Q$ है '$7$,$2$ से विभाज्य है' (असत्य)। प्रतिधनात्मक है 'यदि $7$,$2$ से विभाज्य नहीं है,तो $7$ एक विषम संख्या नहीं है'। चूँकि $7$,$2$ से विभाज्य नहीं है (सत्य) और $7$ एक विषम संख्या है (सत्य),इसलिए 'यदि सत्य,तो असत्य' कथन असत्य है। अतः,$V_1 = F$.
कथन $q$ के लिए: $P$ है '$7$ एक अभाज्य संख्या है' (सत्य),$Q$ है '$7$ एक विषम संख्या है' (सत्य)। प्रतिधनात्मक है 'यदि $7$ एक विषम संख्या नहीं है,तो $7$ एक अभाज्य संख्या नहीं है'। चूँकि $7$ एक विषम संख्या है (सत्य),इसलिए पूर्ववर्ती 'यदि $7$ एक विषम संख्या नहीं है' असत्य है। असत्य पूर्ववर्ती वाला सशर्त कथन हमेशा सत्य होता है। अतः,$V_2 = T$.
इसलिए,$(V_1, V_2) = (F, T)$.
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कथन $\sim p \vee (q \wedge \sim r)$ का प्रतिधनात्मक (contrapositive) है
A
$p \rightarrow (q \wedge \sim r)$
B
$(q \wedge \sim r) \rightarrow p$
C
$p \rightarrow (\sim q \vee r)$
D
$(\sim q \vee r) \rightarrow \sim p$
Solution
(D) दिया गया कथन $S = \sim p \vee (q \wedge \sim r)$ है।
हम जानते हैं कि प्रतिज्ञप्ति $A \rightarrow B$,$\sim A \vee B$ के तार्किक रूप से समतुल्य है।
अतः,कथन $S$ को $p \rightarrow (q \wedge \sim r)$ के रूप में लिखा जा सकता है।
एक प्रतिज्ञप्ति $p \rightarrow Q$ का प्रतिधनात्मक $\sim Q \rightarrow \sim p$ होता है।
यहाँ,$Q = (q \wedge \sim r)$ है।
इसलिए,$\sim Q = \sim (q \wedge \sim r) = \sim q \vee \sim (\sim r) = \sim q \vee r$ होगा।
अतः,प्रतिधनात्मक $(\sim q \vee r) \rightarrow \sim p$ है।
हम जानते हैं कि प्रतिज्ञप्ति $A \rightarrow B$,$\sim A \vee B$ के तार्किक रूप से समतुल्य है।
अतः,कथन $S$ को $p \rightarrow (q \wedge \sim r)$ के रूप में लिखा जा सकता है।
एक प्रतिज्ञप्ति $p \rightarrow Q$ का प्रतिधनात्मक $\sim Q \rightarrow \sim p$ होता है।
यहाँ,$Q = (q \wedge \sim r)$ है।
इसलिए,$\sim Q = \sim (q \wedge \sim r) = \sim q \vee \sim (\sim r) = \sim q \vee r$ होगा।
अतः,प्रतिधनात्मक $(\sim q \vee r) \rightarrow \sim p$ है।
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EasyMCQ
निम्नलिखित में से कौन सा कथन "सभी $M > 0$ के लिए,ऐसा $x \in S$ मौजूद है कि $x \geqslant M$" का निषेध है?
A
$\exists M > 0$ ऐसा है कि सभी $x \in S$ के लिए $x \geqslant M$
B
$\exists M > 0, \exists x \in S$ ऐसा है कि $x \geqslant M$
C
$\exists M > 0$ ऐसा है कि सभी $x \in S$ के लिए $x < M$
D
$\exists M > 0$,ऐसा $x \in S$ मौजूद है कि $x < M$
Solution
(C) दिया गया कथन $\forall M > 0, \exists x \in S$ के रूप में है कि $P(x, M)$,जहाँ $P(x, M)$ का अर्थ $x \geqslant M$ है।
क्वांटिफायर वाले कथन का निषेध ज्ञात करने के लिए,हम $\forall$ को $\exists$ से और $\exists$ को $\forall$ से बदलते हैं,और विधेय का निषेध करते हैं।
$\forall M > 0, \exists x \in S, (x \geqslant M)$ का निषेध $\exists M > 0, \forall x \in S, \neg(x \geqslant M)$ है।
चूंकि $x \geqslant M$ का निषेध $x < M$ है,इसलिए निषेधित कथन $\exists M > 0$ ऐसा है कि सभी $x \in S$ के लिए $x < M$ है।
क्वांटिफायर वाले कथन का निषेध ज्ञात करने के लिए,हम $\forall$ को $\exists$ से और $\exists$ को $\forall$ से बदलते हैं,और विधेय का निषेध करते हैं।
$\forall M > 0, \exists x \in S, (x \geqslant M)$ का निषेध $\exists M > 0, \forall x \in S, \neg(x \geqslant M)$ है।
चूंकि $x \geqslant M$ का निषेध $x < M$ है,इसलिए निषेधित कथन $\exists M > 0$ ऐसा है कि सभी $x \in S$ के लिए $x < M$ है।
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MediumMCQ
दिए गए परिपथ के लिए वैकल्पिक समतुल्य सरल परिपथ में स्विचों की संख्या कितनी है?
A
$0$
B
$1$
C
$2$
D
$3$
Solution
(B) दिए गए परिपथ में दो समानांतर शाखाएं हैं जो बैटरी और लैंप $L$ के साथ श्रेणीक्रम में जुड़ी हैं।
मान लीजिए स्विच $S_1, S_2, S_3$ हैं। पहली शाखा $S_1 \land (S_2' \lor S_3')$ है।
दूसरी शाखा $S_2 \land S_3 \land S_1$ है।
कुल परिपथ का व्यंजक $P = [S_1 \land (S_2' \lor S_3')] \lor (S_2 \land S_3 \land S_1)$ है।
वितरण नियम का उपयोग करके,हम $S_1$ को कॉमन ले सकते हैं:
$P = S_1 \land [(S_2' \lor S_3') \lor (S_2 \land S_3)]$.
डी मॉर्गन के नियम के अनुसार,$(S_2' \lor S_3')$ का मान $(S_2 \land S_3)'$ के समतुल्य है।
अतः,$P = S_1 \land [(S_2 \land S_3)' \lor (S_2 \land S_3)]$.
चूंकि $(X' \lor X)$ हमेशा सत्य (tautology) होता है,इसलिए व्यंजक सरल होकर $P = S_1 \land T = S_1$ हो जाता है।
इस प्रकार,समतुल्य परिपथ लैंप के साथ श्रेणीक्रम में केवल एक स्विच $S_1$ है।
समतुल्य परिपथ में स्विचों की संख्या $1$ है।
मान लीजिए स्विच $S_1, S_2, S_3$ हैं। पहली शाखा $S_1 \land (S_2' \lor S_3')$ है।
दूसरी शाखा $S_2 \land S_3 \land S_1$ है।
कुल परिपथ का व्यंजक $P = [S_1 \land (S_2' \lor S_3')] \lor (S_2 \land S_3 \land S_1)$ है।
वितरण नियम का उपयोग करके,हम $S_1$ को कॉमन ले सकते हैं:
$P = S_1 \land [(S_2' \lor S_3') \lor (S_2 \land S_3)]$.
डी मॉर्गन के नियम के अनुसार,$(S_2' \lor S_3')$ का मान $(S_2 \land S_3)'$ के समतुल्य है।
अतः,$P = S_1 \land [(S_2 \land S_3)' \lor (S_2 \land S_3)]$.
चूंकि $(X' \lor X)$ हमेशा सत्य (tautology) होता है,इसलिए व्यंजक सरल होकर $P = S_1 \land T = S_1$ हो जाता है।
इस प्रकार,समतुल्य परिपथ लैंप के साथ श्रेणीक्रम में केवल एक स्विच $S_1$ है।
समतुल्य परिपथ में स्विचों की संख्या $1$ है।
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MediumMCQ
निम्नलिखित कथनों पर विचार करें:
$(A)$ यदि $4+3=8$,तो $5+3=9$
$(B)$ यदि $6+4=10$,तो चंद्रमा चपटा है
$(C)$ यदि $(A)$ और $(B)$ दोनों सत्य हैं,तो $5+6=17$
तो निम्नलिखित में से कौन सा कथन सही है?
$(A)$ यदि $4+3=8$,तो $5+3=9$
$(B)$ यदि $6+4=10$,तो चंद्रमा चपटा है
$(C)$ यदि $(A)$ और $(B)$ दोनों सत्य हैं,तो $5+6=17$
तो निम्नलिखित में से कौन सा कथन सही है?
A
$(A)$ सत्य है जबकि $(B)$ और $(C)$ असत्य हैं
B
$(A)$ और $(B)$ असत्य हैं,जबकि $(C)$ सत्य है
C
$(A)$ और $(C)$ सत्य हैं,जबकि $(B)$ असत्य है
D
$(A)$ असत्य है,लेकिन $(B)$ और $(C)$ सत्य हैं
Solution
(C) तर्कशास्त्र में,एक सशर्त कथन $P \implies Q$ सत्य होता है यदि $P$ असत्य है,चाहे $Q$ का सत्य मान कुछ भी हो।
$(A)$ $4+3=8$ असत्य है। चूँकि पूर्ववर्ती असत्य है,इसलिए निहितार्थ $(A)$ सत्य है।
$(B)$ $6+4=10$ सत्य है,लेकिन परिणामी कथन 'चंद्रमा चपटा है' असत्य है। एक सत्य पूर्ववर्ती का असत्य परिणामी की ओर ले जाना $(B)$ को असत्य बनाता है।
$(C)$ पूर्ववर्ती कथन है '$(A)$ और $(B)$ दोनों सत्य हैं'। चूँकि $(B)$ असत्य है,इसलिए संयोजन '$(A)$ और $(B)$ दोनों सत्य हैं' असत्य है। असत्य पूर्ववर्ती वाला सशर्त कथन सत्य होता है। अतः,$(C)$ सत्य है।
इसलिए,$(A)$ और $(C)$ सत्य हैं,जबकि $(B)$ असत्य है।
$(A)$ $4+3=8$ असत्य है। चूँकि पूर्ववर्ती असत्य है,इसलिए निहितार्थ $(A)$ सत्य है।
$(B)$ $6+4=10$ सत्य है,लेकिन परिणामी कथन 'चंद्रमा चपटा है' असत्य है। एक सत्य पूर्ववर्ती का असत्य परिणामी की ओर ले जाना $(B)$ को असत्य बनाता है।
$(C)$ पूर्ववर्ती कथन है '$(A)$ और $(B)$ दोनों सत्य हैं'। चूँकि $(B)$ असत्य है,इसलिए संयोजन '$(A)$ और $(B)$ दोनों सत्य हैं' असत्य है। असत्य पूर्ववर्ती वाला सशर्त कथन सत्य होता है। अतः,$(C)$ सत्य है।
इसलिए,$(A)$ और $(C)$ सत्य हैं,जबकि $(B)$ असत्य है।
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MediumMCQ
कथन "त्रिभुज एक समबाहु या समद्विबाहु त्रिभुज है और त्रिभुज समद्विबाहु नहीं है और यह समकोण है" का निषेध क्या है?
A
त्रिभुज एक समबाहु या समद्विबाहु त्रिभुज नहीं है या यह समद्विबाहु नहीं है या यह समकोण नहीं है
B
त्रिभुज एक समबाहु त्रिभुज या समद्विबाहु त्रिभुज नहीं है और यह समद्विबाहु है या यह समकोण नहीं है
C
यदि त्रिभुज एक समबाहु त्रिभुज या समद्विबाहु त्रिभुज है तो यह एक समद्विबाहु त्रिभुज है या समकोण नहीं है
D
यदि त्रिभुज एक समबाहु त्रिभुज या समद्विबाहु त्रिभुज है तो यह समद्विबाहु त्रिभुज नहीं है और यह समकोण नहीं है
Solution
(A) मान लीजिए $p$ कथन "त्रिभुज एक समबाहु त्रिभुज है" है।
मान लीजिए $q$ कथन "त्रिभुज एक समद्विबाहु त्रिभुज है" है।
मान लीजिए $r$ कथन "त्रिभुज समकोण है" है।
दिया गया कथन $(p \lor q) \land (\neg q \land r)$ है।
हमें निषेध ज्ञात करना है: $\neg((p \lor q) \land (\neg q \land r))$.
डी मॉर्गन के नियम का उपयोग करते हुए,$\neg(A \land B) = \neg A \lor \neg B$,हमें मिलता है:
$\neg(p \lor q) \lor \neg(\neg q \land r)$.
डी मॉर्गन के नियम को फिर से लागू करने पर:
$(\neg p \land \neg q) \lor (q \lor \neg r)$.
इसका अर्थ है: "त्रिभुज समबाहु नहीं है और समद्विबाहु नहीं है,या त्रिभुज समद्विबाहु है या यह समकोण नहीं है"।
मान लीजिए $q$ कथन "त्रिभुज एक समद्विबाहु त्रिभुज है" है।
मान लीजिए $r$ कथन "त्रिभुज समकोण है" है।
दिया गया कथन $(p \lor q) \land (\neg q \land r)$ है।
हमें निषेध ज्ञात करना है: $\neg((p \lor q) \land (\neg q \land r))$.
डी मॉर्गन के नियम का उपयोग करते हुए,$\neg(A \land B) = \neg A \lor \neg B$,हमें मिलता है:
$\neg(p \lor q) \lor \neg(\neg q \land r)$.
डी मॉर्गन के नियम को फिर से लागू करने पर:
$(\neg p \land \neg q) \lor (q \lor \neg r)$.
इसका अर्थ है: "त्रिभुज समबाहु नहीं है और समद्विबाहु नहीं है,या त्रिभुज समद्विबाहु है या यह समकोण नहीं है"।
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EasyMCQ
यदि कथन $p, q$ और $r$ क्रमशः सत्य,असत्य और सत्य हैं,तो कथन पैटर्न $[\sim q \wedge (p \vee \sim q) \wedge \sim r] \vee p$ का सत्यता मान और इसके द्वैत (dual) कथन का सत्यता मान क्रमशः क्या है?
A
$T, T$
B
$F, T$
C
$T, F$
D
$F, F$
Solution
(A) दिया गया है कि $p = T$,$q = F$,और $r = T$ है।
सबसे पहले,कथन पैटर्न $S = [\sim q \wedge (p \vee \sim q) \wedge \sim r] \vee p$ का मूल्यांकन करें।
मान रखने पर:
$S = [\sim F \wedge (T \vee \sim F) \wedge \sim T] \vee T$
$S = [T \wedge (T \vee T) \wedge F] \vee T$
$S = [T \wedge T \wedge F] \vee T$
$S = F \vee T = T$।
अब,द्वैत कथन $S^*$ ज्ञात करें। द्वैत प्राप्त करने के लिए,$\wedge$ को $\vee$ से,$\vee$ को $\wedge$ से,$T$ को $F$ से और $F$ को $T$ से बदलें।
द्वैत कथन $S^* = [\sim q \vee (p \wedge \sim q) \vee \sim r] \wedge p$ है।
मान रखने पर:
$S^* = [\sim F \vee (T \wedge \sim F) \vee \sim T] \wedge T$
$S^* = [T \vee (T \wedge T) \vee F] \wedge T$
$S^* = [T \vee T \vee F] \wedge T$
$S^* = T \wedge T = T$।
अतः,सत्यता मान $T$ और $T$ हैं।
सबसे पहले,कथन पैटर्न $S = [\sim q \wedge (p \vee \sim q) \wedge \sim r] \vee p$ का मूल्यांकन करें।
मान रखने पर:
$S = [\sim F \wedge (T \vee \sim F) \wedge \sim T] \vee T$
$S = [T \wedge (T \vee T) \wedge F] \vee T$
$S = [T \wedge T \wedge F] \vee T$
$S = F \vee T = T$।
अब,द्वैत कथन $S^*$ ज्ञात करें। द्वैत प्राप्त करने के लिए,$\wedge$ को $\vee$ से,$\vee$ को $\wedge$ से,$T$ को $F$ से और $F$ को $T$ से बदलें।
द्वैत कथन $S^* = [\sim q \vee (p \wedge \sim q) \vee \sim r] \wedge p$ है।
मान रखने पर:
$S^* = [\sim F \vee (T \wedge \sim F) \vee \sim T] \wedge T$
$S^* = [T \vee (T \wedge T) \vee F] \wedge T$
$S^* = [T \vee T \vee F] \wedge T$
$S^* = T \wedge T = T$।
अतः,सत्यता मान $T$ और $T$ हैं।
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MediumMCQ
यदि $p \equiv$ स्विच $S_1$ बंद है,$q \equiv$ स्विच $S_2$ बंद है,$r \equiv$ स्विच $S_3$ बंद है,तो निम्नलिखित स्विचिंग सर्किट का प्रतीकात्मक रूप किसके समतुल्य है?
A
$p \wedge (q \vee r) \vee (\neg r \wedge \neg q \wedge p)$
B
$p \vee (q \wedge r) \vee (\neg r \vee \neg q \vee p)$
C
$p \wedge (q \wedge r) \vee (\neg r \wedge \neg q \wedge p)$
D
$p \vee (q \vee r) \wedge (\neg r \vee \neg q \vee p)$
Solution
(A) सर्किट में समानांतर रूप से जुड़ी दो मुख्य शाखाएँ हैं।
$1$. ऊपरी शाखा में स्विच $S_1$ श्रेणी में $S_2$ और $S_3$ के समानांतर संयोजन के साथ है। इस शाखा के लिए प्रतीकात्मक रूप $p \wedge (q \vee r)$ है।
$2$. निचली शाखा में स्विच $S_3'$,$S_2'$,और $S_1$ श्रेणी में हैं। चूंकि $S_3'$,$S_3$ का पूरक है और $S_2'$,$S_2$ का पूरक है,इसलिए इस शाखा के लिए प्रतीकात्मक रूप $(\neg r \wedge \neg q \wedge p)$ है।
$3$. चूंकि दोनों शाखाएँ समानांतर हैं,इसलिए कुल प्रतीकात्मक रूप दोनों शाखाओं का वियोजन (disjunction) है: $p \wedge (q \vee r) \vee (\neg r \wedge \neg q \wedge p)$.
$1$. ऊपरी शाखा में स्विच $S_1$ श्रेणी में $S_2$ और $S_3$ के समानांतर संयोजन के साथ है। इस शाखा के लिए प्रतीकात्मक रूप $p \wedge (q \vee r)$ है।
$2$. निचली शाखा में स्विच $S_3'$,$S_2'$,और $S_1$ श्रेणी में हैं। चूंकि $S_3'$,$S_3$ का पूरक है और $S_2'$,$S_2$ का पूरक है,इसलिए इस शाखा के लिए प्रतीकात्मक रूप $(\neg r \wedge \neg q \wedge p)$ है।
$3$. चूंकि दोनों शाखाएँ समानांतर हैं,इसलिए कुल प्रतीकात्मक रूप दोनों शाखाओं का वियोजन (disjunction) है: $p \wedge (q \vee r) \vee (\neg r \wedge \neg q \wedge p)$.
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निम्नलिखित तीन कथनों पर विचार करें:
$(A)$ यदि $3+2=7$ तो $4+3=8$.
$(B)$ यदि $5+2=7$ तो पृथ्वी चपटी है।
$(C)$ यदि $(A)$ और $(B)$ दोनों सत्य हैं तो $5+6=11$.
निम्नलिखित में से कौन सा कथन सही है?
$(A)$ यदि $3+2=7$ तो $4+3=8$.
$(B)$ यदि $5+2=7$ तो पृथ्वी चपटी है।
$(C)$ यदि $(A)$ और $(B)$ दोनों सत्य हैं तो $5+6=11$.
निम्नलिखित में से कौन सा कथन सही है?
A
$(A)$ और $(C)$ सत्य हैं जबकि $(B)$ असत्य है।
B
$(A)$ सत्य है जबकि $(B)$ और $(C)$ असत्य हैं।
C
$(A)$ असत्य है लेकिन $(B)$ और $(C)$ सत्य हैं।
D
$(A)$ असत्य है जबकि $(C)$ सत्य है।
Solution
(A) तर्कशास्त्र में,एक सशर्त कथन $P \implies Q$ केवल तब असत्य होता है जब $P$ सत्य हो और $Q$ असत्य हो। अन्यथा,यह सत्य होता है।
$(A)$ $P: 3+2=7$ (असत्य),$Q: 4+3=8$ (असत्य)। चूँकि $P$ असत्य है,इसलिए $P \implies Q$ सत्य है।
$(B)$ $P: 5+2=7$ (सत्य),$Q: \text{पृथ्वी चपटी है}$ (असत्य)। चूँकि $P$ सत्य है और $Q$ असत्य है,इसलिए $P \implies Q$ असत्य है।
$(C)$ $P: (A) \text{ सत्य है और } (B) \text{ सत्य है}$,$Q: 5+6=11$ (सत्य)। चूँकि $(A)$ सत्य है और $(B)$ असत्य है,इसलिए शर्त $P$ असत्य है। असत्य पूर्ववृत्त वाला सशर्त कथन सत्य होता है। अतः,$(C)$ सत्य है।
इसलिए,$(A)$ और $(C)$ सत्य हैं,जबकि $(B)$ असत्य है।
$(A)$ $P: 3+2=7$ (असत्य),$Q: 4+3=8$ (असत्य)। चूँकि $P$ असत्य है,इसलिए $P \implies Q$ सत्य है।
$(B)$ $P: 5+2=7$ (सत्य),$Q: \text{पृथ्वी चपटी है}$ (असत्य)। चूँकि $P$ सत्य है और $Q$ असत्य है,इसलिए $P \implies Q$ असत्य है।
$(C)$ $P: (A) \text{ सत्य है और } (B) \text{ सत्य है}$,$Q: 5+6=11$ (सत्य)। चूँकि $(A)$ सत्य है और $(B)$ असत्य है,इसलिए शर्त $P$ असत्य है। असत्य पूर्ववृत्त वाला सशर्त कथन सत्य होता है। अतः,$(C)$ सत्य है।
इसलिए,$(A)$ और $(C)$ सत्य हैं,जबकि $(B)$ असत्य है।
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कथनों $p: S_1$ बंद है; $q: S_2$ बंद है; $r: S_3$ बंद है पर विचार करें। स्विचिंग सर्किट के लिए सरलीकृत समतुल्य सर्किट आरेख और उसका तार्किक कथन क्रमशः है।
A
B
C
D
Solution
(D) दिया गया सर्किट स्विच $S_3$ के साथ श्रृंखला में जुड़े दो मुख्य भागों से बना है। मान लें कि पहला भाग $C_1$ है और दूसरा भाग $C_2$ है। सर्किट $C_1 \wedge r \wedge C_2$ है।
$C_1$ के लिए: इसमें तीन समानांतर शाखाएं हैं: $(p' \wedge q')$,$p$,और $q$। इसलिए,$C_1 = (p' \wedge q') \vee p \vee q$।
अवशोषण के नियम और वितरण नियमों का उपयोग करते हुए:
$C_1 = (p' \wedge q') \vee (p \vee q) = (p' \vee (p \vee q)) \wedge (q' \vee (p \vee q)) = (T \vee q) \wedge (p \vee (q' \vee q)) = T \wedge (p \vee T) = T \wedge T = T$।
$C_2$ के लिए: इसमें दो समानांतर शाखाएं हैं: $(p \wedge q)$ और $(p' \wedge q)$। इसलिए,$C_2 = (p \wedge q) \vee (p' \wedge q)$।
वितरण नियम का उपयोग करते हुए:
$C_2 = (p \vee p') \wedge q = T \wedge q = q$।
इस प्रकार,कुल सर्किट अभिव्यक्ति $T \wedge r \wedge q = q \wedge r$ है।
सरलीकृत सर्किट स्विच $S_2$ और $S_3$ का एक श्रृंखला कनेक्शन है,जो तार्किक कथन $(q \wedge r)$ के अनुरूप है।
इसलिए,सही विकल्प $D$ है।
$C_1$ के लिए: इसमें तीन समानांतर शाखाएं हैं: $(p' \wedge q')$,$p$,और $q$। इसलिए,$C_1 = (p' \wedge q') \vee p \vee q$।
अवशोषण के नियम और वितरण नियमों का उपयोग करते हुए:
$C_1 = (p' \wedge q') \vee (p \vee q) = (p' \vee (p \vee q)) \wedge (q' \vee (p \vee q)) = (T \vee q) \wedge (p \vee (q' \vee q)) = T \wedge (p \vee T) = T \wedge T = T$।
$C_2$ के लिए: इसमें दो समानांतर शाखाएं हैं: $(p \wedge q)$ और $(p' \wedge q)$। इसलिए,$C_2 = (p \wedge q) \vee (p' \wedge q)$।
वितरण नियम का उपयोग करते हुए:
$C_2 = (p \vee p') \wedge q = T \wedge q = q$।
इस प्रकार,कुल सर्किट अभिव्यक्ति $T \wedge r \wedge q = q \wedge r$ है।
सरलीकृत सर्किट स्विच $S_2$ और $S_3$ का एक श्रृंखला कनेक्शन है,जो तार्किक कथन $(q \wedge r)$ के अनुरूप है।
इसलिए,सही विकल्प $D$ है।
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View SolutionMathematical Reasoning — Mathematical logic · Frequently Asked Questions
1Are these Mathematical Reasoning questions useful for JEE and NEET?
Yes. All questions in this section are mapped to JEE Main and NEET exam patterns. Previous year questions from JEE Main, NEET, GUJCET and state-level exams are included with full solutions.
2Can I switch to Hindi or Gujarati for these questions?
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3How do I generate a question paper from this subtopic?
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