Mathematical logic Questions in Hindi

(D) एक कथन वह घोषणात्मक वाक्य है जो या तो सत्य होता है या असत्य,लेकिन दोनों नहीं।
$(a)$,$(b)$,और $(c)$ आज्ञावाचक वाक्य हैं,जो कथन नहीं हैं।
$(d)$ $2 + 2 = 4$ एक सत्य घोषणात्मक वाक्य है,इसलिए यह एक कथन है।

(C) तर्कशास्त्र में एक कथन वह घोषणात्मक वाक्य है जो या तो सत्य होता है या असत्य,लेकिन दोनों नहीं हो सकता।
$(a)$ $May \text{ you live long!}$ एक इच्छावाचक वाक्य है।
$(b)$ $May \text{ God bless you!}$ एक इच्छावाचक वाक्य है।
$(c)$ $The \text{ sun is a star.}$ एक घोषणात्मक वाक्य है जो सत्य है,अतः यह एक कथन है।
$(d)$ $Hurrah! \text{ We have won the match.}$ एक विस्मयादिबोधक वाक्य है।
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(D) तर्कशास्त्र में एक कथन वह घोषणात्मक वाक्य है जो या तो सत्य है या असत्य,लेकिन दोनों नहीं हो सकता।
$(a)$ $Roses \text{ are red}$ एक कथन है।
$(b)$ $New \text{ Delhi is in India}$ एक कथन है।
$(c)$ $Every \text{ square is a rectangle}$ एक कथन है।
$(d)$ $Alas! I have failed$ एक विस्मयादिबोधक वाक्य है,जो तीव्र भावना व्यक्त करता है और इसे सत्य या असत्य के रूप में वर्गीकृत नहीं किया जा सकता है। इसलिए,यह एक कथन नहीं है।

(C) एक कथन वह घोषणात्मक वाक्य है जो या तो सत्य होता है या असत्य,लेकिन दोनों नहीं हो सकता।
$(a)$ "प्रत्येक समुच्चय एक परिमित समुच्चय है" एक असत्य कथन है।
$(b)$ "$8$,$6$ से कम है" एक असत्य कथन है।
$(c)$ "तुम कहाँ जा रहे हो?" एक प्रश्नवाचक वाक्य है,न कि घोषणात्मक,इसलिए यह कथन नहीं है।
$(d)$ "त्रिभुज के आंतरिक कोणों का योग $180^{\circ}$ होता है" एक सत्य कथन है।
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(A) तर्कशास्त्र में एक कथन वह घोषणात्मक वाक्य है जो या तो सत्य होता है या असत्य,लेकिन दोनों नहीं हो सकता।
$(A)$ "कृपया मेरी मदद करें" एक आज्ञावाचक वाक्य (अनुरोध) है,जिसे सत्य या असत्य के रूप में वर्गीकृत नहीं किया जा सकता है। इसलिए,यह एक कथन नहीं है।
$(B)$ "$2$ एक सम पूर्णांक है" एक सत्य कथन है।
$(C)$ "$2 + 1 = 3$" एक सत्य कथन है।
$(D)$ "संख्या $17$ अभाज्य है" एक सत्य कथन है।
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(A) तर्कशास्त्र में एक कथन वह घोषणात्मक वाक्य है जो या तो सत्य है या असत्य,लेकिन दोनों नहीं हो सकता।
$(A)$ "मुझे एक गिलास पानी दो" एक आज्ञावाचक वाक्य (अनुरोध) है,घोषणात्मक वाक्य नहीं,इसलिए यह एक कथन नहीं है।
$(B)$ "एशिया एक महाद्वीप है" एक सत्य घोषणात्मक वाक्य है।
$(C)$ "पृथ्वी सूर्य के चारों ओर घूमती है" एक सत्य घोषणात्मक वाक्य है।
$(D)$ "संख्या $6$ के दो अभाज्य गुणनखंड $2, 3$ हैं" एक सत्य घोषणात्मक वाक्य है।
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(A) एक खुला कथन वह घोषणात्मक वाक्य है जिसमें एक या अधिक चर होते हैं,जिसका सत्य मान चर को दिए गए मानों पर निर्भर करता है।
$(a)$ "$x$ एक प्राकृतिक संख्या है" एक खुला कथन है क्योंकि इसका सत्य मान $x$ के मान पर निर्भर करता है।
$(b)$,$(c)$,और $(d)$ आज्ञावाचक या विस्मयादिबोधक वाक्य हैं,जिन्हें गणितीय तर्क में कथन नहीं माना जाता है।

(B) माना कि $p$ : पेरिस फ्रांस में है।
माना कि $q$ : लंदन इंग्लैंड में है।
दिया गया कथन $p \wedge q$ है।
डी मॉर्गन के नियम के अनुसार,निषेध $\sim (p \wedge q) = \sim p \vee \sim q$ होता है।
यहाँ,$\sim p$ का अर्थ है "पेरिस फ्रांस में नहीं है" और $\sim q$ का अर्थ है "लंदन इंग्लैंड में नहीं है"।
अतः,निषेध "पेरिस फ्रांस में नहीं है या लंदन इंग्लैंड में नहीं है" होगा।

(C) मान लीजिए कि $p$ कथन "$2 + 3 = 5$" है और $q$ कथन "$8 < 10$" है।
दिया गया संयुक्त कथन $p \wedge q$ है।
संयोजन का निषेध डी मॉर्गन के नियम द्वारा दिया जाता है: $\sim(p \wedge q) = \sim p \vee \sim q$.
यहाँ,$\sim p$ "$2 + 3 \neq 5$" है और $\sim q$ "$8 \nless 10$" है।
अतः,निषेध "$2 + 3 \neq 5$ या $8 \nless 10$" है।

(D) माना $p$: राम कक्षा $X$ में है।
माना $q$: रश्मि कक्षा $XII$ में है।
दिया गया कथन $p \vee q$ है।
डी मॉर्गन के नियम के अनुसार,निषेध $\sim (p \vee q) = \sim p \wedge \sim q$ होता है।
अतः,निषेध है: "राम कक्षा $X$ में नहीं है और रश्मि कक्षा $XII$ में नहीं है"।
दिए गए विकल्पों की तुलना करने पर,कोई भी विकल्प $A$,$B$,या $C$ इस परिणाम से मेल नहीं खाता है।
इसलिए,सही विकल्प $D$ है।

(A) यह निर्धारित करने के लिए कि कथन $(p \wedge q) \implies p$ एक पुनरुक्ति है या नहीं,हम एक सत्यता सारणी (Truth Table) बनाते हैं:

$p$	$q$	$p \wedge q$	$(p \wedge q) \implies p$
$T$	$T$	$T$	$T$
$T$	$F$	$F$	$T$
$F$	$T$	$F$	$T$
$F$	$F$	$F$	$T$

चूंकि अंतिम कॉलम में $p$ और $q$ के सभी संभावित मानों के लिए केवल $T$ (सत्य) मान हैं,इसलिए यह कथन एक पुनरुक्ति है।

(A) एक कथन व्याघात (contradiction) होता है यदि उसके घटकों के सभी संभावित सत्य मानों के लिए उसका सत्य मान $F$ (असत्य) हो।
आइए $(p \wedge q) \wedge \sim (p \vee q)$ के लिए सत्यता सारणी बनाएं:

$p, q$	$(p \wedge q) \wedge \sim (p \vee q)$
$T, T$	$F$
$T, F$	$F$
$F, T$	$F$
$F, F$	$F$

चूंकि अंतिम कॉलम में केवल $F$ है,इसलिए $(p \wedge q) \wedge \sim (p \vee q)$ एक व्याघात है।

(A) गणितीय तर्क में डी मॉर्गन के नियम के अनुसार,संयोजन का निषेध निषेधों का वियोजन होता है।
अतः,$\sim (p \wedge q) \equiv \sim p \vee \sim q$.

(B) द्वि-निषेध के नियम (Law of Double Negation) के अनुसार,हम जानते हैं कि $\sim (\sim p) \equiv p$ होता है।
अतः,दिया गया व्यंजक $(\sim (\sim p)) \wedge q$ सरल होकर $p \wedge q$ हो जाता है।

(B) डी मॉर्गन के नियम का उपयोग करते हुए,$\sim (p \vee r) \equiv \sim p \wedge \sim r$ होता है।
दिए गए व्यंजक पर इसे लागू करने पर:
$\sim (p \vee (\sim q)) \equiv \sim p \wedge \sim (\sim q)$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\sim (\sim q) \equiv q$ होता है,इसलिए व्यंजक सरल होकर:
$\sim p \wedge q$ हो जाता है।

(A) डी मॉर्गन के नियम का उपयोग करते हुए,$\sim (A \wedge B) \equiv (\sim A) \vee (\sim B)$.
दिए गए व्यंजक पर इसे लागू करने पर:
$\sim ((\sim p) \wedge q) \equiv \sim (\sim p) \vee (\sim q)$.
चूंकि $\sim (\sim p) \equiv p$,इसलिए व्यंजक सरल होकर प्राप्त होता है:
$p \vee (\sim q)$.

(C) द्विशर्तक कथन $p \Leftrightarrow q$ को $(p$ $\Rightarrow q) \wedge (q$ $\Rightarrow p)$ के रूप में परिभाषित किया गया है।
चूंकि $p \Rightarrow q \equiv \sim p \vee q$,इसलिए $p \Leftrightarrow q \equiv (\sim p \vee q) \wedge (\sim q \vee p)$ होता है।
इसका निषेध लेने पर: $\sim (p \Leftrightarrow q) \equiv \sim ((\sim p \vee q) \wedge (\sim q \vee p))$।
डी मॉर्गन के नियम का उपयोग करने पर: $\sim (p \Leftrightarrow q) \equiv \sim (\sim p \vee q) \vee \sim (\sim q \vee p)$।
इसे सरल करने पर $(p \wedge \sim q) \vee (q \wedge \sim p)$ प्राप्त होता है।

(B) तार्किक निहितार्थ $p \Rightarrow q$ वियोजन $\sim p \vee q$ के समतुल्य है।
यह एक मानक तार्किक समतुल्यता है जहाँ सशर्त कथन केवल तब गलत होता है जब $p$ सत्य हो और $q$ असत्य हो,जो $\sim p \vee q$ की सत्यता सारणी से मेल खाता है।

(A) दिए गए सत्यता मान: $p = T, q = F, r = T$.
सबसे पहले,$\sim p$ का मूल्यांकन करें: $\sim T = F$.
इसके बाद,$\sim r$ का मूल्यांकन करें: $\sim T = F$.
अब,$(\sim p \vee q)$ का मूल्यांकन करें: $F \vee F = F$.
फिर,$(\sim p \vee q) \wedge \sim r$ का मूल्यांकन करें: $F \wedge F = F$.
अंत में,$[(\sim p \vee q) \wedge \sim r] \Rightarrow p$ का मूल्यांकन करें: $F \Rightarrow T$.
चूंकि $F \Rightarrow T$ का मान $True$ होता है,इसलिए अंतिम सत्यता मान $True$ है।

(A) प्रतिबंधात्मक कथन $(p \wedge \sim r) \Rightarrow (q \vee r)$ केवल तब असत्य होता है जब पूर्ववर्ती $(p \wedge \sim r)$ सत्य हो और परिणामी $(q \vee r)$ असत्य हो।
दिया गया है कि $q$ और $r$ दोनों असत्य हैं,इसलिए परिणामी $(q \vee r)$ का मान $(F \vee F) = F$ होगा,जो कथन के असत्य होने की शर्त के अनुरूप है।
पूर्ववर्ती $(p \wedge \sim r)$ को सत्य होने के लिए,$p$ और $\sim r$ दोनों को सत्य होना चाहिए।
चूंकि $r$ असत्य है,इसलिए $\sim r$ सत्य है।
अतः,$p \wedge T = T$ यह दर्शाता है कि $p$ को सत्य होना चाहिए।

(B) दिया गया तार्किक व्यंजक $(p \wedge q) \wedge (q \wedge r) = T$ है।
दो कथनों के संयोजन (conjunction) को सत्य होने के लिए,दोनों घटकों का सत्य होना आवश्यक है।
इसलिए,$(p \wedge q) = T$ और $(q \wedge r) = T$।
$(p \wedge q) = T$ के लिए,$p$ और $q$ दोनों सत्य होने चाहिए।
$(q \wedge r) = T$ के लिए,$q$ और $r$ दोनों सत्य होने चाहिए।
अतः,$p, q, r$ तीनों सत्य हैं।

(C) दिया गया कथन $\sim (p \Rightarrow q) \Leftrightarrow \sim p \vee \sim q$ है।
तर्क के नियमों के अनुसार,$\sim (p \Rightarrow q) \equiv p \wedge \sim q$ होता है।
अतः,व्यंजक $(p \wedge \sim q) \Leftrightarrow (\sim p \vee \sim q)$ बन जाता है।
सत्यता सारणी के अनुसार,अंतिम कॉलम में $T$ और $F$ दोनों मान होने के कारण,यह कथन न तो पुनरुक्ति है और न ही व्याघात। अतः,सही विकल्प $C$ है।

(A) दी गई अभिव्यक्ति $(p \wedge \sim q) \wedge (\sim p \vee q)$ है।
सत्यता सारणी (Truth Table) का उपयोग करके हम इसका मूल्यांकन करते हैं:

$p$	$q$	$\sim p$	$\sim q$	$p \wedge \sim q$	$\sim p \vee q$	$(p \wedge \sim q) \wedge (\sim p \vee q)$
$T$	$T$	$F$	$F$	$F$	$T$	$F$
$T$	$F$	$F$	$T$	$T$	$F$	$F$
$F$	$T$	$T$	$F$	$F$	$T$	$F$
$F$	$F$	$T$	$T$	$F$	$T$	$F$

चूंकि अंतिम कॉलम में सभी मान $F$ (असत्य) हैं,इसलिए यह कथन एक विरोधाभास है।

(B) मान लीजिए $P$ कथन "एक संख्या वास्तविक है" है और $Q$ कथन "एक संख्या परिमेय या अपरिमेय है" है।
दिया गया कथन $P \implies Q$ है।
$P \implies Q$ का प्रतिधनात्मक (contrapositive) $\neg Q \implies \neg P$ है।
यहाँ,$\neg Q$ का अर्थ है "एक संख्या न तो परिमेय है और न ही अपरिमेय है" और $\neg P$ का अर्थ है "एक संख्या वास्तविक नहीं है"।
अतः,प्रतिधनात्मक है: "यदि कोई संख्या न तो परिमेय है और न ही अपरिमेय है,तो वह वास्तविक नहीं है"।
विकल्प $D$ मूल कथन $P \implies Q$ है।
विकल्प $C$ प्रतिधनात्मक $\neg Q \implies \neg P$ है।
विकल्प $A$ भी प्रतिधनात्मक के समतुल्य है।
विकल्प $B$ कहता है: "यदि कोई संख्या परिमेय नहीं है या अपरिमेय नहीं है,तो वह वास्तविक नहीं है"। यह तार्किक रूप से गलत है क्योंकि एक संख्या अपरिमेय (परिमेय नहीं) होने पर भी वास्तविक हो सकती है,या परिमेय (अपरिमेय नहीं) होने पर भी वास्तविक हो सकती है। इसलिए,$B$ तार्किक रूप से समतुल्य नहीं है।

(A) दिए गए कथन हैं:
$p$: आज बारिश होती है
$q$: मैं स्कूल जाता हूँ
$r$: मैं अपने दोस्त से मिलूँगा
$s$: मैं फिल्म देखने जाऊँगा
कथन है: "यदि बारिश नहीं होती है या यदि मैं स्कूल नहीं जाता हूँ,तो मैं अपने दोस्त से मिलूँगा और फिल्म देखने जाऊँगा।"
"बारिश नहीं होती है" का अर्थ है $\sim p$.
"मैं स्कूल नहीं जाता हूँ" का अर्थ है $\sim q$.
"बारिश नहीं होती है या मैं स्कूल नहीं जाता हूँ" का अर्थ है $(\sim p \vee \sim q)$.
डी मॉर्गन के नियम के अनुसार,$(\sim p \vee \sim q) \equiv \sim (p \wedge q)$.
"मैं अपने दोस्त से मिलूँगा और फिल्म देखने जाऊँगा" का अर्थ है $(r \wedge s)$.
अतः,कथन $\sim (p \wedge q) \Rightarrow (r \wedge s)$ है।
इसलिए,सही विकल्प $A$ है।

(D) दिया गया कथन $S = p \vee (\sim p \vee q)$ है।
हमें निषेध $\sim S = \sim [p \vee (\sim p \vee q)]$ ज्ञात करना है।
डी मॉर्गन के नियम का उपयोग करते हुए,$\sim (A \vee B) \equiv \sim A \wedge \sim B$,हमें प्राप्त होता है:
$\sim S \equiv \sim p \wedge \sim (\sim p \vee q)$.
दूसरे भाग पर पुनः डी मॉर्गन का नियम लागू करने पर,$\sim (\sim p \vee q) \equiv \sim (\sim p) \wedge \sim q \equiv p \wedge \sim q$.
अतः,$\sim S \equiv \sim p \wedge (p \wedge \sim q)$.
दिए गए विकल्पों में से कोई भी इसके समतुल्य नहीं है,इसलिए सही विकल्प $D$ है।

(C) हम जानते हैं कि एक निहितार्थ का निषेध $\sim (p \Rightarrow q) \equiv p \wedge \sim q$ द्वारा दिया जाता है।
विकल्प $C$ में दिए गए व्यंजक पर इसे लागू करने पर:
$\sim (\sim p \Rightarrow \sim q) \equiv (\sim p) \wedge \sim (\sim q)$
$\equiv \sim p \wedge q$.
अतः,विकल्प $C$ में दिया गया कथन सत्य है।

(A) डी मॉर्गन के नियम का उपयोग करते हुए,$\sim (p \vee q) \equiv (\sim p \wedge \sim q)$.
अतः,व्यंजक $(\sim p \wedge \sim q) \vee (\sim p \wedge q)$ बन जाता है।
वितरण नियम द्वारा,हम $\sim p$ को उभयनिष्ठ ले सकते हैं:
$\sim p \wedge (\sim q \vee q)$.
चूंकि $(\sim q \vee q) \equiv T$ (एक पुनरुक्ति),
$\sim p \wedge T \equiv \sim p$.

(A) दिए गए परिपथ में,स्विच $p$ दो $q$ लेबल वाले स्विचों के समानांतर संयोजन के साथ श्रेणीक्रम में है,और यह पूरा संयोजन स्विच $r$ के साथ श्रेणीक्रम में है।
विद्युत धारा प्रवाहित होने के लिए,परिपथ का पूर्ण होना आवश्यक है।
इसके लिए स्विच $p$ का बंद होना,कम से कम एक $q$ स्विच का बंद होना,और स्विच $r$ का बंद होना आवश्यक है।
अतः,धारा प्रवाहित होने की शर्त $p \land (q \lor q) \land r$ है,जो सरल होकर $p \land q \land r$ हो जाती है।
इस प्रकार,$p, q,$ और $r$ तीनों का बंद होना आवश्यक है।

(B) $q \vee \sim (p \wedge r)$ कथन का निषेध ज्ञात करने के लिए,हम डी मॉर्गन के नियम का उपयोग करते हैं: $\sim (A \vee B) = \sim A \wedge \sim B$।
इसे लागू करने पर,हमें प्राप्त होता है: $\sim (q \vee \sim (p \wedge r)) = \sim q \wedge \sim (\sim (p \wedge r))$।
द्वि-निषेध के नियम $\sim (\sim P) = P$ का उपयोग करके,हम व्यंजक को सरल बनाते हैं: $\sim q \wedge (p \wedge r)$।
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(C) तार्किक तुल्यता $(p \Rightarrow q) \equiv (\sim p \vee q)$ एक मानक पहचान है।
दोनों पक्षों पर निषेध ऑपरेटर लागू करने पर:
$\sim (p \Rightarrow q) \equiv \sim (\sim p \vee q)$
डी मॉर्गन के नियम के अनुसार,$\sim (A \vee B) \equiv (\sim A \wedge \sim B)$:
$\sim (p \Rightarrow q) \equiv (\sim (\sim p) \wedge \sim q)$
चूंकि $\sim (\sim p) \equiv p$,इसलिए हमें प्राप्त होता है:
$\sim (p \Rightarrow q) \equiv (p \wedge \sim q)$

(C) किसी निहितार्थ $P \Rightarrow Q$ का प्रतिधनात्मक $\sim Q \Rightarrow \sim P$ के रूप में परिभाषित होता है।
दिए गए निहितार्थ $(p \vee q) \Rightarrow r$ के लिए,$P = (p \vee q)$ और $Q = r$ है।
नियम लागू करने पर,प्रतिधनात्मक $\sim r \Rightarrow \sim (p \vee q)$ प्राप्त होता है।
डी मॉर्गन के नियम का उपयोग करते हुए,$\sim (p \vee q)$ का मान $(\sim p \wedge \sim q)$ के बराबर होता है।
अतः,प्रतिधनात्मक $\sim r \Rightarrow (\sim p \wedge \sim q)$ है।

(B) कथन $(p$ $\Rightarrow q) \Leftrightarrow (\sim q$ $\Rightarrow \;\sim p)$ एक पुनरुक्ति है क्योंकि $p \Rightarrow q$ अपने प्रतिधनात्मक (contrapositive) $\sim q \Rightarrow \;\sim p$ के तार्किक रूप से समतुल्य है।
चूंकि यह एक पुनरुक्ति है,इसलिए यह व्याघात नहीं हो सकता।
अतः,विकल्प $B$ में दिया गया कथन असत्य है।

(D) निहितार्थ $p \Rightarrow (\sim p \vee q)$ केवल तब असत्य होता है जब पूर्ववर्ती $p$ सत्य हो और परिणामी $(\sim p \vee q)$ असत्य हो।
$(\sim p \vee q)$ के असत्य होने के लिए,$\sim p$ और $q$ दोनों का असत्य होना आवश्यक है।
चूंकि $\sim p$ असत्य है,इसलिए $p$ सत्य होना चाहिए।
चूंकि $q$ असत्य है,इसलिए सत्यता मान $p = T$ और $q = F$ हैं।

(C) कथन एक ऐसा घोषणात्मक वाक्य है जो या तो सत्य होता है या असत्य,लेकिन दोनों नहीं।
विकल्प $(A)$ एक असत्य कथन है।
विकल्प $(B)$ एक सत्य कथन है।
विकल्प $(D)$ एक असत्य कथन है।
विकल्प $(C)$ 'गणित रोचक है' एक कथन नहीं है क्योंकि यह व्यक्तिपरक (subjective) है; यह कुछ लोगों के लिए रोचक हो सकता है और कुछ के लिए नहीं। इसलिए,इसे निश्चित रूप से सत्य या असत्य के रूप में वर्गीकृत नहीं किया जा सकता है।

(B) दी गई अभिव्यक्ति: $(p \wedge \sim q) \wedge (\sim p \wedge q)$
तर्कशास्त्र के साहचर्य और क्रमविनिमेय नियमों का उपयोग करके,हम पदों को पुनर्व्यवस्थित कर सकते हैं:
$= (p \wedge \sim p) \wedge (\sim q \wedge q)$
हम जानते हैं कि किसी भी कथन $p$ के लिए,$(p \wedge \sim p) = F$ (एक व्याघात).
$= F \wedge F = F$
चूंकि अंतिम सत्यता मान हमेशा $F$ (असत्य) है,इसलिए यह कथन एक व्याघात है.

(D) तार्किक निहितार्थ $q \to p$,$\sim q \vee p$ के समतुल्य है।
दोनों पक्षों का निषेध लेने पर,हमें $\sim (q \to p) \equiv \sim (\sim q \vee p)$ प्राप्त होता है।
डी मॉर्गन के नियम के अनुसार,$\sim (\sim q \vee p) \equiv (\sim \sim q) \wedge (\sim p)$।
यह $q \wedge \sim p$ में सरल हो जाता है,जो $\sim p \wedge q$ के समतुल्य है।
अतः,$\sim p \wedge q \equiv \sim (q \to p)$।

(B) माना $p$ कथन है: "एक संख्या अभाज्य है।"
माना $q$ कथन है: "वह विषम है।"
दिया गया कथन $p \Rightarrow q$ है।
$p \Rightarrow q$ का प्रतिलोम (inverse) $\sim p \Rightarrow \sim q$ होता है।
यहाँ,$\sim p$ है: "एक संख्या अभाज्य नहीं है।"
$\sim q$ है: "वह विषम नहीं है।"
अतः,प्रतिलोम है: "यदि एक संख्या अभाज्य नहीं है तो वह विषम नहीं है।"
इस प्रकार,सही विकल्प $B$ है।

(D) मान लीजिए $p$,$q$ और $r$ निम्नलिखित कथन हैं:
$p$: एक संख्या $15$ से विभाज्य है।
$q$: एक संख्या $5$ से विभाज्य है।
$r$: एक संख्या $3$ से विभाज्य है।
दिया गया कथन $p \rightarrow (q \wedge r)$ के रूप में है।
निषेध का सूत्र $\sim(p \rightarrow S) \equiv p \wedge \sim S$ है।
अतः,निषेध $p \wedge \sim(q \wedge r)$ होगा।
डी मॉर्गन के नियम के अनुसार,$\sim(q \wedge r) \equiv (\sim q \vee \sim r)$।
इस प्रकार,निषेध $p \wedge (\sim q \vee \sim r)$ है,जिसका अर्थ है: "संख्या $15$ से विभाज्य है और वह $5$ से विभाज्य नहीं है या $3$ से विभाज्य नहीं है।"
दिए गए विकल्पों के अनुसार,विकल्प $D$ सही उत्तर है।

(B) कथन $p$ $\rightarrow (q$ $\rightarrow p)$ एक पुनरुक्ति (tautology) है क्योंकि यह केवल तभी गलत हो सकता है जब $p$ सत्य हो और $(q \rightarrow p)$ असत्य हो,जो असंभव है क्योंकि $p$ सत्य है।
अब,$p \rightarrow (p \vee q)$ का मूल्यांकन करते हैं।
यह कथन केवल तभी असत्य होता है जब $p$ सत्य हो और $(p \vee q)$ असत्य हो।
यदि $p$ सत्य है,तो $(p \vee q)$ सत्य ही होगा (वियोजन की परिभाषा के अनुसार)।
अतः,$p \rightarrow (p \vee q)$ भी एक पुनरुक्ति है।
चूंकि दोनों कथन पुनरुक्ति हैं,इसलिए वे तार्किक रूप से समतुल्य हैं।
इसलिए,$p$ $\rightarrow (q$ $\rightarrow p) \equiv p$ $\rightarrow (p \vee q)$।

(B) गणितीय तर्क में एक कथन एक घोषणात्मक वाक्य है जो या तो सत्य है या असत्य,लेकिन दोनों नहीं हो सकता।
$(A)$ 'अहमदाबाद साबरमती नदी के तट पर स्थित है' एक सत्य कथन है।
$(B)$ 'कल छुट्टी है' एक कथन नहीं है क्योंकि इसका सत्य मान 'कल' के संदर्भ पर निर्भर करता है,जो अस्पष्ट है।
$(C)$ 'शून्यतर संख्याओं $x$ और $y$ के लिए $x^2 + y^2 \neq 0$' एक सत्य कथन है।
$(D)$ 'पाइथागोरस एक गणितज्ञ थे' एक सत्य कथन है।
अतः,विकल्प $B$ एक कथन नहीं है।

(B) कथन $(p$ $\rightarrow q) \equiv (\sim q$ $\rightarrow$ $\rightarrow \sim p)$ निहितार्थ का प्रतिधनात्मक (contrapositive) है,जो तार्किक रूप से समतुल्य है।
निहितार्थ की परिभाषा $p \rightarrow q \equiv \sim p \vee q$ का उपयोग करते हुए:
प्रतिधनात्मक के लिए: $\sim q \rightarrow \sim p \equiv \sim (\sim q) \vee \sim p$
$\equiv q \vee \sim p$
$\equiv \sim p \vee q$
$\equiv p \rightarrow q$
अतः,$(p$ $\rightarrow q) \equiv (\sim q$ $\rightarrow \sim p)$ सत्य है।

(B) कथन-$I$ के लिए: $(p \wedge \sim q) \wedge (\sim p \wedge q) = p \wedge (\sim q \wedge \sim p) \wedge q = (p \wedge \sim p) \wedge (\sim q \wedge q) = F \wedge F = F$. चूँकि परिणाम हमेशा असत्य है,यह एक व्याघात है। अतः,कथन-$I$ सत्य है।
कथन-$II$ के लिए: व्यंजक $(p$ $\rightarrow q) \Leftrightarrow (\sim q$ $\rightarrow \sim p)$ एक सशर्त कथन और उसके प्रतिधनात्मक (contrapositive) के बीच तुल्यता को दर्शाता है। चूँकि एक सशर्त कथन हमेशा अपने प्रतिधनात्मक के तार्किक रूप से समतुल्य होता है,इसलिए यह एक पुनरुक्ति है। अतः,कथन-$II$ सत्य है।
चूँकि कथन-$II$ यह स्पष्ट नहीं करता है कि कथन-$I$ व्याघात क्यों है,इसलिए विकल्प $B$ सही है।

(A) दिया गया है $p$: $x$ अपरिमेय है,इसलिए $\sim p$: $x$ परिमेय है।
दिया गया है $q$: $y$ अबीजीय है।
कथन $r$ है '$x$ परिमेय है या $y$ अबीजीय है',जो $\sim p \lor q$ है।
सत्यता सारणी के अनुसार:

$p$	$q$	$\sim p$	$\sim q$	$r = (\sim p \lor q)$	$q \lor p$	$(p \Leftrightarrow \sim q)$
$T$	$T$	$F$	$F$	$T$	$T$	$F$
$T$	$F$	$F$	$T$	$F$	$T$	$T$
$F$	$T$	$T$	$F$	$T$	$T$	$T$
$F$	$F$	$T$	$T$	$T$	$F$	$F$

सारणी से स्पष्ट है कि कथन-$1$ और कथन-$2$ दोनों गलत हैं।

(D) परिभाषा के अनुसार,द्वि-प्रतिबंधक कथन $p \Leftrightarrow q$ को $p \Rightarrow q$ और $q \Rightarrow p$ के संयोजन के रूप में परिभाषित किया गया है।
अतः,$p \Leftrightarrow q \equiv (p$ $\Rightarrow q) \wedge (q$ $\Rightarrow p)$.

(C) माना $p : ab = 0$,$q : a = 0$,और $r : b = 0$ है।
दिया गया कथन $p \Rightarrow (q \lor r)$ है।
$p \Rightarrow (q \lor r)$ का प्रतिधनात्मक $\sim (q \lor r) \Rightarrow \sim p$ होता है।
डी मॉर्गन के नियम का उपयोग करते हुए,$\sim (q \lor r) \equiv (\sim q \land \sim r)$।
अतः,प्रतिधनात्मक $(\sim q \land \sim r) \Rightarrow \sim p$ है।
मान रखने पर,हमें प्राप्त होता है: यदि $(a \neq 0 \text{ और } b \neq 0)$ है,तो $ab \neq 0$।

(A) मान लीजिए $p, q, r$ ऐसे कथन हैं कि $p: x = 5$,$q: y = -2$,और $r: x - 2y = 9$ है।
दिया गया कथन $(p \wedge q) \rightarrow r$ है।
एक सशर्त कथन $A \rightarrow B$ का प्रतिधनात्मक $\sim B \rightarrow \sim A$ होता है।
यहाँ,प्रतिधनात्मक $\sim r \rightarrow \sim (p \wedge q)$ है।
डी मॉर्गन के नियम के अनुसार,$\sim (p \wedge q) \equiv \sim p \vee \sim q$ होता है।
अतः,प्रतिधनात्मक $\sim r \rightarrow (\sim p \vee \sim q)$ है,जिसका अर्थ है: यदि $x - 2y \neq 9$ है,तो $x \neq 5$ या $y \neq -2$।

(D) $1$. $p \rightarrow q \equiv \sim p \vee q$ एक मानक तार्किक समतुल्यता है।
$2$. यदि $(p \vee q) \wedge (q \vee r)$ सत्य है,तो $(p \vee q)$ और $(q \vee r)$ दोनों को सत्य होना चाहिए। यदि $p=T, q=F, r=T$ है,तो $(T \vee F) \wedge (F \vee T) = T \wedge T = T$। यह सही है।
$3$. डी मॉर्गन के नियम के अनुसार,$\sim (p \wedge (q \vee r)) \equiv \sim p \vee \sim (q \vee r) \equiv \sim p \vee (\sim q \wedge \sim r) \equiv (\sim p \vee \sim q) \wedge (\sim p \vee \sim r)$। यह सही है।
$4$. $p \wedge \sim (p \vee q)$ के लिए,हमारे पास $p \wedge (\sim p \wedge \sim q) \equiv (p \wedge \sim p) \wedge \sim q \equiv F \wedge \sim q \equiv F$ है। अतः,यह कथन कि यह हमेशा $T$ है,असत्य है।

(D) हम कथन $((p \wedge p)$ $\rightarrow q)$ $\rightarrow p$ का मूल्यांकन करते हैं।
चूंकि $p \wedge p \equiv p$,व्यंजक $(p$ $\rightarrow q)$ $\rightarrow p$ में सरल हो जाता है।
यदि $p$ का मान $F$ (असत्य) है और $q$ का मान $T$ (सत्य) या $F$ (असत्य) है,तो $(p \rightarrow q)$ का मान $T$ होगा।
तब $(p$ $\rightarrow q)$ $\rightarrow p$ का मान $T \rightarrow F$ होगा,जो $F$ है।
चूंकि यह कथन असत्य हो सकता है,इसलिए यह एक पुनरुक्ति नहीं है।
अतः,विकल्प $D$ असत्य है।

(D) दिए गए कथन:
$p :$ आज बारिश हो रही है।
$q :$ मैं स्कूल जाता हूँ।
$r :$ मैं अपने दोस्तों से मिलूँगा।
$s :$ मैं फिल्म देखने जाऊँगा।
नकारात्मक कथन:
$\sim p :$ आज बारिश नहीं हो रही है।
$\sim q :$ मैं स्कूल नहीं जाता हूँ।
कथन है: 'यदि आज बारिश नहीं होती है या मैं स्कूल नहीं जाता हूँ,तो मैं अपने दोस्तों से मिलूँगा और फिल्म देखने जाऊँगा'।
इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है: $(\sim p \vee \sim q) \Rightarrow (r \wedge s)$.
डी मॉर्गन के नियम के अनुसार $(\sim p \vee \sim q)$,$\sim (p \wedge q)$ के बराबर है,इसलिए इस कथन को $\sim (p \wedge q) \Rightarrow (r \wedge s)$ के रूप में भी दर्शाया जा सकता है।